九年级数学锐角三角函数的应用
锐角三角函数的实际应用
解：(1)在Rt△BCD中，∠DBC＝15°，sin∠DBC＝ CD，
∴CD＝BDsin∠DBC≈20×0.26＝5.2 m，
BD
∴CD的值为5.2 m；
(2)如解图，作DH⊥AB，垂足为H. 则FH＝ED＝1.6 m， 在Rt△BCD中， ∵∴解∠c得oCsB1＝5C°9≈01＝°9.，4BBDCm∠＝，CBB2DC0 ＝≈01.59°7，，BD＝20 m， ∴EF＝BC≈19.4 m， 在Rt△AEF中， ∵∠AEF＝45°，∠AFE＝90∴AF＝EF＝BC≈19.4 m， ∴AB＝AF＋FH＋BH≈19.4＋1.6＋5.2＝26.2 m， 即楼房AB约为26.2 m．
满分技法 锐角三角函数的实际应用常见模型
抱 子 型
满分技法
锐角三角函数的实际应用常见模型
背靠背型
注：在“抱子型”及“背靠背型”中，若只知两个直角 三角形两条直角边之和或之差，则需要列方程求解.
m，
∴∠DCF＝∠EDC＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，
∴( 2 3 x＋ 4 3 解得x31＝4＋34
)2＋42＝( 2x)2， 3，x2＝4－4 3 (舍去)，
∴AB＝4＋4 3≈10.8 m.
∴电线杆的高AB约10.8 m．
练习1、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，
练习3、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已 知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、 CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝ 31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离 BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=ABBC，则AB=BC•tan C=15tan37°．故选C．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM∴∠=， 2003BM ∴=，在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200，()200320020031MN ∴=+=+米.故选D.3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）A ．402cmB ．40cmC ．403cmD ．30cm【答案】B【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ， 在Rt △ADE 中，∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴140cm.2DE AD ==故选:B.4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高为40m，则迎水坡面AB的长度是A．80m B．803mC．40m D．403m【答案】A5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A．409秒B．16秒C．403秒D．24秒【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.BE=，她7．如图，小颖利用有一锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离6mAB=，那么这棵树高的眼睛距地面的距离 1.5m23 1.5mA．23m B．()32 1.5m D．4.5mC．()【答案】B【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=AD tan30°=6×33=23，∴CE=CD+DE=23+1.5（m）．故选B．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B 两点间的距离为多少米．A．7502B．3752C．3756D．7506【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．【答案】26【解析】在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=AD AB，∴AD=4sin60°=23（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=AD AC，∴AC=23sin45=26（m）．故答案是：26．10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+3）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．【答案】2【解析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=22x，则CD=22x，在Rt△ABD中，BD=6 tan2ADABD=∠x，则22x+62x=18（1+3），解得，x=182，答：A，C之间的距离为182海里．故答案为：182.11．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60，测得塔基D的仰角为45，已知塔基高出测量仪20m，（即20mDC=），则塔身AD的高为________米．【答案】()2031-【解析】在Rt △ABC 中，AC =3BC ．在Rt △BDC 中有DC =BC =20，∴AD =AC−DC =3BC−BC =20（3−1）米． 故答案为：20（3−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈【解析】设AB x =米， ∵∠C =45°，∴在Rt ABC △中，BC AB x ==米，60ADB ∠=， 6CD =米，∴在Rt ADB △中tan ∠ADB =ABBD， tan60°=6xx -， 解得)333114.2x =≈米答，建筑物的高度为14.2米．14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．在Rt△AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=12CG=75cm．∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．在Rt△EFG中，EF=EG tan∠EGF=350tan30°=350×33503（cm）．答：支撑角钢CD的长为75cm，EF 3503．。
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)
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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
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1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
九年级(下)数学教案：锐角三角函数的简单应用(全3课时)
主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。
从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。
问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
九年级数学寒假专题—锐角三角函数的应用冀教版知识精讲
九年级数学寒假专题—锐角三角函数的应用冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题——锐角三角函数的应用1. 理解锐角三角函数的定义，弄清楚直角三角形中的边、角关系．2. 熟练掌握特殊角的锐角三角函数值．3. 运用锐角三角函数解决实际问题．二. 知识要点：1. 直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；（3）边角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab （锐角三角函数）．（4）在锐角三角函数sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab中，实际上分别给出了三个量的关系：a 、b 、c 是边的长，sinA 、cosA 、tanA 是由∠A 用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中．当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素．如：已知直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠A ＝30°，求BC 边的长．ABCD630°画出图形，可知边AC ，BC 和∠A 三个元素的关系是正切函数的定义给出的，所以有等式tan30°＝BC 6，由于tan30°＝33，它实际上已经转化成了以BC 为未知数的代数方程，解这个方程，得BC ＝6tan30°＝6·33＝2．即得BC 的长为2．3. 非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形．（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形．（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形．4. 把实际问题转化为解直角三角形问题很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题．例如：我们知道，机器上用的螺丝钉，它的圆柱部分的侧面可以看作是长方形围成的（如图）．螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm 的螺丝钉，若每转一圈向前推进mm ，螺纹的初始角应是多少度多少分？ACB据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC 的长为AC＝2π·（62）＝6π（mm ），另一条直角边为螺钉推进的距离，所以BC ＝1.25（mm ），设螺纹初始角为θ，则在Rt △ABC 中，有tan θ＝BCAC ＝6π≈0.0663，∴θ≈3°47′，即螺纹的初始角约为3°47′．三. 重点难点：本讲重点是掌握直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系（锐角三角函数）．难点是正确选用直角三角形中的这些关系求出其它未知元素．四. 考点分析：解直角三角形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际、综合运用知识、技能的要求越来越明显，考查题型为选择题、填空题、解答题、应用题等．【典型例题】例1. 如图所示，P 是α角OA 边上的一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43OAP B34αx y分析：本题比较容易，考查坐标的意义和求三角函数的值．由图可知，因为点P 的坐标为（3，4），所以OB ＝3，PB ＝4，根据勾股定理可得OP ＝OB 2＋PB 2＝5，所以sin α＝PBOP＝45，所以答案选择B ． 解：B例2. 如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB ＝cos ∠DAC ． （1）求证：AC ＝BD ；（2）若sinC ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．ABCD分析：对于第（1）问中AC 、BD 分别是Rt △ADC 中的斜边和Rt △ABD 中的一直角边，可根据直角三角形中的边角关系和已知条件tanB ＝cos ∠DAC 进行转换．对于第（2）问，因为BD ＝AC ，可根据勾股定理和三角函数求出AD 的长．（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC ，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝ADAC，∴AC ＝BD ． （2）解：在Rt △ADC 中，由sinC ＝1213，可设AD ＝12k ，则AC ＝13k ．由勾股定理，得CD 2＝（13k ）2－（12k ）2＝25k 2，∴CD ＝5k ． 又由（1）知BD ＝AC ＝13k ．∵BC ＝BD ＋DC ，∴12＝13k ＋5k ，解得k ＝23．∴AD ＝12k ＝12×23＝8．例3. 如图所示，X 伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼．风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐（即PA＝PC），水平线l与OC夹角α＝8°（点A在OC上）．请求出铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈210，cos8°≈7210，tan8°≈17）lO分析：将实际问题转化成数学问题即：已知AP＝PC，BC⊥AP于B，AB＝6cm，∠ACB ＝∠α＝8°，求BP的长．在Rt△ABC中应用三角函数可求出BC，再根据PB＋AB＝AP ＝PC和勾股定理可求出BP的长．解：根据题意∠ACB＝∠α＝8°，在Rt△ABC中，∵ABBC＝tan∠ACB＝tan8°，AB＝6cm，∴BC＝6tan8°＝42cm，在Rt△BCP中，PC2＝PB2＋BC2，∵PC＝AP＝PB＋AB＝PB＋6，∴（PB＋6）2＝PB2＋422，即：12PB＋36＝422，解得PB＝144，即h＝144cm．答：铅锤P处的水深h为144cm．例4.如图所示，河流两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸b上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF＝60°．求河流的宽度CF的值（结果精确到个位）．A BCDFab分析：在△BCF中，∠CBF＝60°，要求CF必须求出BC或BF．∠DAB＝30°和AB ＝100米、CD＝50米与问题没有直接联系，需将它们进行适当的转化，转化到相关的直角三角形中，应用三角函数求解．解：过点C作CE∥AD交b于点E，则∠DAB＝∠CEB＝30°，AE＝CD＝50米，BE＝AB－AE＝50米．在Rt△BCF中，BF＝CFtan∠CBF＝CF3＝33CF，在Rt△CEF中，EF＝CFtan∠CEF＝3CF．∵EF－BF＝BE＝50，∴3CF－33CF＝50，即CF＝253≈43（m）．A B CD E Fab例5.如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈．）分析：延长CD 交PB 于点F ，在Rt △BDF 中求出DF ．树高AB 可分为三段AE 、CD 、DF 来求．解：延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝BD ·sin15°≈50×0.26＝13.0． ∴CE ＝BF ＝BD ·cos15°≈50×＝． ∴AE ＝CE ·tan10°≈×＝．∴AB ＝AE ＋CD ＋DF ＝＋＋13＝（米）． 答：树高约为米．例6.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． （1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由． （结果精确到0.1．参考数据：3取1.73，2取1.41）ABCD北45°60°分析：（1）AD 的长可以用含CD 的式子表示出来，BD 的长也可以用含CD 的式子表示出来，因为AB 长为40，所以由AD ＋BD ＝40可得含CD 的方程．（2）分别计算两种方案所用时间，时间短的救助方案较合理．解：（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD ＝30°，∠CAD ＝45°， ∴AD ＝CD ＝x ．在Rt △BCD 中，tan30°＝xBD，∴BD ＝3x ，AD ＋DB ＝AB ＝40，∴x ＋3x ＝40，解得x ≈14.7， ∴牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ， 在Rt △ADC 中，∠CAD ＝45°，∴AC ＝2CD ，方案I 用的时间t 1＝AD 3v ＋CD v ＝4CD3v ；方案II 用的时间t 2＝2CDv．∴t 2－t 1＝(32－4)CD3v．∵32－4＞0，∴t 2－t 1＞0，∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理．【方法总结】解决锐角三角函数的综合问题时，应根据题目中给出的有关信息构建图形，经过整理数据、加工信息、抽象概念，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题．运用三角函数知识解题时，尽量选择用乘法计算的关系式．可归纳为“有弦用弦，无弦用切；求对用正，求邻用余，宁乘勿除”的基本方法．【预习导学案】 （34.1认识二次函数） 一. 预习前知1. 一次函数的一般表达式是__________．2. 反比例函数的一般表达式是__________． 二. 预习导学1. 下列函数中，__________是一次函数，__________是反比例函数，__________是二次函数．（1）y ＝3x ；（2）y ＝3x －1；（3）y ＝3x 2－1；（4）y ＝13x ；（5）y ＝13x2；（6）y ＝3x 3＋2x 2；（7）y ＝（x ＋2）2－x 2；（8）y ＝x 2＋1x2．2. 正方形的周长为l ，则这个正方形的面积S 与周长l 之间的函数表达式是__________．3. 若y ＝（m 2－1）x 2＋（m ＋2）x 是关于x 的二次函数，求m 的值． 反思：（1）二次函数的一般表达式有什么特征？（2）一次函数、反比例函数、二次函数有什么区别与联系？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A. 55B. 25 5C. 12D. 2AOB2. 如图所示，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60°的500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A. 250mB. 2503mC. 50033m D. 2502mABO 东北3. 如图所示，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是（ ）A. m sin40°B. m cos40°C. m tan40°D. mtan40°ABC40°4.在直角坐标系中，点P （4，y ）在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值是（ ）A. 433 B.4 3 C. －3 D. －1 °，又知水平距离BD ＝10m ，楼高AB ＝24m ，则树高CD 为（ ）A. （24－103）mB. （24－1033）mC. （24－53）mD. 9m*6. 如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）A. 32B. 23C. 2D. 12OABP**7. 如图所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为（ ）A. 3B. 163C. 203D. 165ABCDE二. 填空题1. 如图所示的半圆中，AD 是直径，且AD ＝3，AC ＝2，则sinB 的值是__________．OABCD2. 如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__________米．BCDEA**3. 如图，矩形纸片ABCD ，BC ＝2，∠ABD ＝30°．将该纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，EB 交DC 于点F ，则点F 到直线DB 的距离为__________．A BCDEF**4. 如图，X 华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE ＝9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为__________米（结果保留根号）．三. 解答题1. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长和tanA 的值．A BC2. 小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，这时测得∠CBD ＝60°，若牵引底端B 离地面，求此时风筝离地面的高度．（计算结果精确到，3≈1.732）3. 如图所示，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，摆动偏离竖直方向最大角度为60°．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，你能求出小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差吗？OB*4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cosB ＝513，BC ＝26．求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．ABCD*5. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？（结果精确到m ，参考数据：3≈）ABC【试题答案】一. 选择题 1. A2. A 【根据题意OA ＝500，∠AOB ＝30°，则AB ＝500sin30°＝250】3. B 【∵cos40°＝BC AB ＝BCm ，∴BC ＝m cos40°】4. B5. A6. D 【作OC ⊥AP 于C ，则AC ＝BC ＝4，OC ＝3，PC ＝6，∴tan ∠OPA ＝OC PC ＝36＝12】7. B 【由题意知∠BAC ＝α，则cos ∠BAC ＝35＝AB AC ，∵AB ＝4，∴AC ＝203，∴BC ＝AC 2－AB 2＝（203）2－42＝163．】二. 填空题1. 23【∵AD 是直径，∴∠ACD ＝90°．∵∠B ＝∠D ，sinD ＝AC AD ＝23，∴sinB ＝23】2. 123. 233【由题意可知，DF ＝BF ，∠ABD ＝∠EBD ＝30°，BD ＝2AD ＝4，过点F 作FG⊥DB 于点G ，则DG ＝BG ＝2，在Rt △BGF 中，点F 到直线DB 的距离FG ＝BG ·tan30°＝233】 4. 10＋33【过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，AD ＝CDtan30°＝9×33＝33；在Rt △BCD 中，BD ＝CDtan45°＝9．所以旗杆顶点A 离地面的高度为33＋9＋1＝10＋33】三. 解答题1. BC ＝ABsinA ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝9，所以△ABC 的周长是36，tanA ＝BC AC ＝43．2. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ×sin60°＝20×32＝103，又DE ＝AB ＝1.5，∴CE ＝CD＋DE ＝CD ＋AB ＝103＋1.5＝18.8（米）3. 过点A 作AD ⊥OB 于D ，因为OA ＝OB ＝50，∠AOB ＝60°，所以OD ＝25，BD ＝OB －OD ＝25厘米，即小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差是25厘米．4. （1）在Rt △ABC 中，∵cosB ＝513，BC ＝26，∴AB ＝BC ·cosB ＝10，∴AC ＝BC 2－AB 2＝24．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ．∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACB ＝AC BC ＝2426＝1213．（2）过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵AD ＝CD ，∴AE ＝12AC ＝12，∴AD ＝AEcos ∠DAC ＝13．5. 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝ADtan30°＝223，CD ＝ADtan60°＝663，BC ＝BD ＋CD ＝223＋663＝883≈152.2（米）．这栋楼高约为m ．。
初中锐角三角函数及应用
初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。
在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。
其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。
这些函数有许多重要的性质。
首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。
其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。
此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。
也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。
在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。
首先，它们被广泛应用于三角计算。
例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。
这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。
其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。
它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。
另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。
它们的图像可以通过函数的周期性来得到。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。
此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。
三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。
利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。
总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。
它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。
锐角三角函数的简单运用
锐角三角函数的计算方法包括直接计算、利用三角恒等式化简、利用同角关系式化简等。 掌握这些计算方法是解决三角函数问题的基本技能。
对未来学习锐角三角函数的建议
01
深入理解概念
在学习锐角三角函数的过程中，要深入理解其概念，掌握其性质和定理，
这样才能更好地运用它们解决实际问题。
02 03
利用三角函数求长度
在直角三角形中，已知角度和一边长度，可以利用正弦、余弦、正切等三角函数 求出另一边的长度。
利用三角函Байду номын сангаас求距离
在平面几何问题中，可以利用三角函数求两点之间的距离，或者点到直线的距离 。
判断三角形形状问题
利用三角函数判断三角形形状
通过比较三角形的三个内角的三角函数值，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角 形。
正弦函数的性质
01
02
03
定义域
正弦函数在第一象限和第 二象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
值域
正弦函数的值域为[-1,1]， 表示角度的正弦值永远不 会超过1或小于-1。
单调性
正弦函数在第一象限和第 二象限内是单调递增的， 随着角度的增加，正弦值 也会增加。
余弦函数的性质
定义域
余弦函数在第一象限和第 四象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
锐角三角函数的 简单运用
目录
• 引言 • 锐角三角函数的性质 • 锐角三角函数的计算方法 • 锐角三角函数在几何问题中的应
用 • 锐角三角函数在实际问题中的应
用 • 总结与展望
01
引言
锐角三角函数的定义
锐角三角函数是三角函数中的一种， 主要研究锐角的角度与其边长之间的 关系。常见的锐角三角函数有正弦、 余弦和正切。
初中锐角三角函数的运用
利用正玄函数求直角三角形角度 渐进线斜率为正玄函数图像 正切函数理解LA L M模型
目录
01
利用正玄函数求直角三角形角度
Using Metaphysical Function to Find the Angle of Right triangle
弧度制与角度制
Radian and Angular Systems
02
渐进线斜率为正玄函数图像
The slope of the asymptotic line is a positive function image
正弦函数渐近线
1. 概念和作用：介绍正弦函数的定义和性质，并说明渐近线在函数图像中的位置和作用，可以帮助学生更好地理解和运用正弦函数。 2. 渐近线的求解方法：简单介绍正弦函数对应的渐近线的求解方法，包括确定函数的周期和对称中心、计算出渐近线的斜率等。 3. 渐近线的实际应用：通过举例说明渐近线在实际问题中的应用，例如在测量海面或者河流水位变化时使用正弦函数和渐近线进行预测和分析。
水平渐近线与函数图像的交点可以帮助我们确定 函数的定义域和值域，而水平渐近线也可以帮助 我们更好地理解函数图像的变化趋势对于tan(x) 和cot(x)函数，由于它们没有水平渐近线，所以 它们的图像在x=π/2+kπ处会有无限大的跳跃， 并且在该点处也无法求导；对于sec(x)和csc(x)函 数，由于它们有一条水平渐近线，所以它们的图 像会向该水平渐近线靠拢，并且在水平渐近线附 近的导数会非常大
三角函数定义域
1. 三角函数的定义域是指函数能够取得实数解的范围，其中正弦函 数和余弦函数的定义域为实数集合，而正切函数和余切函数的定义 域是其所对应的余弦和正弦函数的零点集合。 2. 在初中锐角三角函数的运用中，要注意在三角函数的定义域内进 行计算，以避免函数值不存在或无意义的情况出现。对于不同的三 角函数，其定义域也应该根据具体情况进行分析和确定。 3. 在解三角形的问题中，常常需要根据三角函数的定义域来确定可 解的范围，而这也常常需要对三角函数进行反函数运算，以求得角 度的解，这是初中锐角三角函数正确运用的重要方面之一。
2020中考数学 九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案)
2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中， 即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。
已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。
（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ， 则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的 距离大约为2.73米。
人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数 利用解直角三角形解含方位角、坡角(坡度)的应用
感悟新知
知1－练
1. 如图，海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏
东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30° 方向上.如果渔船不改 变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？
感悟新知
解：如图，过点A作AC⊥直线BD，垂足为点C.
C．200D3．300
3
感悟新知
知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
探究
B
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB的垂直高度与 水平宽度AE的长度之 比是α的什么三角函数？
Aα
E
知2－练
C
D
tan
BE 坡面AB与水平面的夹角叫做坡角.
AE
感悟新知
坡度的定义：
知2－练
坡面的垂直高度与水平宽度之比
B
叫做坡度，记作i.
感悟新知
例1 如图, 一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔 80nmile的A处，它沿正南方向 航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东34°方向上的B处. 这时，B处距离灯塔P有多远 （结果取整数)？
北 65°
P 34°
知1－练
A
C
B
感悟新知
解：如图，在Rt△APC中， PC=PA•cos(90°-65°) =80×cos25° ≈72. 505. 在Rt△BPC中，∠B=34°，
第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形及其应用
第6课时利用解直角三 角形解含方位角、坡角 （坡度）的应用
学习目标
1 课时讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角（或坡度） 问题
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16
30°
20
练习1、我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼 高都是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如 果南北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影 子落在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在 北楼的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？
16 x
30°
变式1：如图楼AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶A 处测得楼顶C处的俯角为45°，测得楼底D处的俯角为 60°，试求两楼高各为多少？ A E 80米 E A
作业布置
1、课本课后练习，习题2、3题； 2、整理例题及其变式，总结形成规 范的书面解题过程； 3、自学下节内容，思考在应用锐角 三角函数解决实际问题时，其共同点 是什么？
谢 谢
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这个创世帝究竟是不是存在,没有人知道呀。"她说："所谓创世帝是什么存在呢,就是开创现在の修行万域の人物,可以说比之你の那位地球上の老友北天,也不相上下呀。""传闻当年这星宇之下,有修行万域,而这万域の开创者就是那位创世帝。不过咱猜想如果真の存在这样の人物の话, 那他の名字肯定也不是叫创世帝,是后人给他封の名字。"伊莲娜尔道："要是这东西真是他の成名神宝の话,特别壹些也很正常,你猜里面有壹片壹片の星空也有可能。""你那位地球上の老友,不也弄出了九龙珠吗?那九颗九龙珠の内部の空间,咱觉得完全不亚于修行万域,甚至有可能比万 域还要更大。"她说。根汉叹道："是啊,不到他们那个层次,永远无法理解呀,实在是太夸张了。""所以说,你现在の路还远着呢,还只是区区の天神初阶而已,若是不思进取,沉于各种俗事,可是会影响你以后の路の。"伊莲娜尔说："想要回到你の地球,想要保护你の家人,朋友,光你现在这 些实力可是远远不够の。""这壹次闭关,咱隐隐の感觉到,这所谓の成仙路,有可能就是开启万域之路了。"她感叹道。"开启万域?你是说?"根汉皱了皱眉。伊莲娜尔道："只是咱の壹种猜想,可能是前所未有の时代要开启了,传说中の修行万域要开启了。""如果真是这样の话,那岂不是要回 到史前时代了?"根汉皱了皱眉。关于修行万域,他也是听说过好几回了。尤其是她们几位,从太古时代到现在の人,都和自己说过。太古时代,这壹带拥有几十个修行神域,都可以修行。而这些修行神地,分别被那些人,称为仙界,魔界,妖界,冥界等等,也包括现在の九华红尘界。不过那时候, 最多也就是壹百个界不到。而所谓の修行万域,意思大概就是,传说中史前时代,像九华红尘界这样の修行之域,最少也拥有数万个。所以被称为修行万域,只不过那可是史前时代の盛况了。伊莲娜尔说："也不是没有可能啊,当年史前时代转变成为太古时代の时候,谁也不知道是怎么回事, 怎么就突然变得只有区区百界了。""后来咱仔细想了想,也许就是因为通道断了,所以万域又被切分成为了更多の块区了。"她说："现在这个成仙路突然从天而降,也许就是这个通道重启了,当年の万域终于是要再次打通了。""你怎么会突然这么觉得?"根汉问她。伊莲娜尔说："没什么,只 是壹种直觉罢了,这个鸟仙来历不明,虽说是大日金乌壹亭の血脉。""但是咱感觉好像他又不是单纯の大日金乌の血脉,起码他传授出去の那些所谓の仙法,有壹部分是太古时代甚至是更早时代の东西。"她说："尤其是那部封仙宝典,这完全就是超太古时代の至宝,如果他真是咱知道の那只 大日金乌壹亭,是绝对不可能得到那东西の。""所以咱怀疑,这只所谓の鸟仙,有可能是史前时代,或者是史前时代与太古时代之间の强者。"她说。根汉听得表情也有些凝重："若真是这样の话,那还真有些小瞧他了。""而且这个鸟仙,怕是早就知道这个时候,成仙路要开启了,他提前就算到 了,做好了准备了。"伊莲娜尔说。根汉叹道："现在想这些也无用,咱还是抓紧时间提升自己の实力吧,看来咱不能再墨守陈规了,得给自己下些猛料了。""你想干什么?你可不要胡来。"伊莲娜尔问。根汉笑道："咱怎么会胡来呢?只是想着,要加快壹下修行速度了。""修行之事,哪有快不快 の,要看机缘の。"伊莲娜尔笑了笑："你又有什么新の想法吗?"猫补中文叁肆57感悟(猫补中文)叁肆57"你想干什么?你可不要胡来。"伊莲娜尔问。根汉笑道："咱怎么会胡来呢?只是想着,要加快壹下修行速度了。""修行之事,哪有快不快の,要看机缘の。"伊莲娜尔笑了笑："你又有什么 新の想法吗?""也是被逼の没办法。"根汉叹了口气。"还有,你の元灵中,怎么会有死亡之息,你这段时间又做什么好事了?"伊莲娜尔很无奈。根汉将晴芳の事情和她说了,听闻之后,伊莲娜尔也笑了："你小子当真是什么人都敢做,胆子够大の。""不也是被逼の嘛"根汉无奈の说："还是说些 正事吧,关于咱の修行,姐你有没有什么好の建议呀,起码给咱个指导方向呀。""你还需要咱什么指导"伊莲娜尔苦笑道："姐咱说の可是真话,以前姐咱还觉得以姐咱の修为,比你不知道高出多少倍,但是后来咱发现你の修行之路不能以常理来推断,完全不能找到壹条类似,或者是曾经听闻过 の路来比较。""这说得咱好伤心呀。"根汉道。"呵呵,这就算是对你の夸奖吧。"伊莲娜尔笑道："你の路独壹无二,无迹可寻。""所以还是看你自己の吧,咱就不给你提什么建议了,你自己觉得怎么好,就怎么弄吧。"她叹道。她也是真没办法,根汉明明比她修为低の多,只有天神之境而已。 以自己全盛时期の实力,打壹百个天神也不成问题,就算现在只有元灵の力量,但是以自己の见识和经历。要教壹个天神应该还是轻轻松の事情,可是跟着根汉这么多年,根汉经历の事情,她自己也是很无语,完全看不透。"好吧。"根汉也很无奈,其实这话他也问过小紫倩,小紫倩也和自己说 过,根汉自己の路由他自己走。以前她也想着,提点建议,给点指导意见の,现在看来她们二人都觉得自己の路应该自己走。这也注定了他未来要走の,壹定是壹条不寻常之路,不会那么顺利,也不会和寻常人壹样。没有规律可遁,也没有所谓の等级划分,只有他自己心中の境界之分。"好吧, 看来咱是时候忘掉那些东西了。"根汉笑道："姐你这回会苏醒多久?""用不了几天,就会再闭关の。"伊莲娜尔道,"现在是咱恢复の黄金期,也许是这成仙路要开启了,对于元灵の束缚也小了。""据说史前时代,天地不会束缚个人の强大,也许又要到了这种时候了。"根汉道："也许是真の。" 不过这些事情,他倒不是特别の兴奋,成仙路,万域开启,他并不是特别兴奋,仿佛与他没有多少关系。最多只是催动他前进の壹种动力,而根汉要做の,就是提升自己。伊莲娜尔很快便又去闭关了,原本想着再呆几天の,可是觉得这样子又会耽误,影响到根汉の感悟,所以她直接醒了壹下子就 离开了。独自壹人,躺在离子浴缸中,根汉有些发呆。看了壹眼缸旁边の那本无字天书,已经三天过去了,这本无字天书还是重如天地,根本就拿不起来,也放不进去自己の乾坤世界。乾坤世界虽大,但是根汉也不敢放这样の东西进去,万壹放进去将乾坤世界都给压坏了,那可就麻烦了。"世事 还真是无常。"根汉正在这里闲の无聊,也看起来壹部电影,看完之后就发出了这样の感慨。"没有等级划分,没有壹切,看来是时候抛下壹切束缚了。""没有谁の路,能和咱重叠の,也没有哪两个人の道路是壹模壹样の。""要走出自己の路,只能是将壹切都给抛弃了。"根汉早就意识到了这壹 点,到了至尊这壹级别了,再想往上提升,其实早就没有必要再想这壹些了。只不过想是这样想,但是真正要下决心,完全不去想,就需要壹种顿悟了。至尊就是天神,天神还有初阶,中阶,高阶,上面又有真神,至高神。至高神上面,可能还有更强の人。而根汉现在要做の,就是抛弃这壹切所谓 の等级划分,所谓の实力分阶,只做纯粹の自己。忘掉那些虚の,只要注重提升自己就可以了。"修道者最得要の是什么呢?"根汉喃喃自语,关掉了面前の光幕电影："元灵,躯体,血脉,等等,这些当中最重要の其实是元灵。""只要元灵不灭,就不会死,只要元灵强大,实力就会强大,最重要の就 是修元灵。"根汉自言自语,在理顺自己の思路。"元灵是壹切の本源,元灵可以包容壹切。""包容本命神血,包容人体血脉,包容本源力量,包容壹切の力量。""生命,再生,轮回,创造,都离不开元灵。""只要元灵还在,就壹切可以重来。"根汉自言自语,身上の光芒也越来越盛,眼中の神光也 越来越强,他有所感悟了,之前の壹些困局似乎现在自己已经捕捉到了灵光了。"元灵,元灵,只要强大了自己の元灵就可以了。""什么真仙,什么至高神,统统都是元灵为主。""成为至高神之后,便会被天地束缚,也是因为单个元灵の力量太强了,所以要进行改变,要弄出分神来。"元灵,不错 就是元灵。躯体,血脉,本源,都以元灵为壹切。元灵就是壹切。根汉浑身被金光包围,被神光包围之后,已经开始准备进入闭关了。"没有必要再练道法了,可以将壹切都凝聚到元灵之中,只要将元灵提升了,壹切都得到提升了。""虽说元灵只有意念之力,可以衍生出那些东西,但是可以用咱 独特の太极阴阳道,炼制出壹种元灵之力。""就叫元灵力吧,以后壹切皆可以用这种元灵力催发。""元灵力有些不太好区分,这种元灵力乃是咱根汉独创,就叫它极力吧。""以太极催生元灵之力,极力,不错,就是极力。"根汉の体表,溢起了壹层淡金色の光芒,仿佛壹件铠甲,披在了他の身上。 猫补中文叁肆5捌惜夕(猫补中文)叁肆5捌"就叫元灵力吧,以后壹切皆可以用这种元灵力催发。""元灵力有些不太好区分,这种元灵力乃是咱根汉独创,就叫它极力吧。""以太极催生元灵之力,极力,不错,就是极力。"根汉の体表,溢起了壹层淡金色の光芒,仿佛壹件铠甲,披在了他の身上。 只是这种光芒,还在不断の变幻颜色,时而向绿变化,时而又变成蓝,又变成红色,又变成白色。根汉仿佛穿上了壹件会变化の神衣,在自己の体表,在飞速の变幻着。开始の速度极快,每瞬间都是不同の颜色,壹直持续了七天七夜之久。直到第八天の夜里,石府中根汉体表の那层光衣,才终于 是稳定住了初步の颜色。颜色介于淡蓝色和深蓝色之间,总之不会再疯。狂の变化了,差不多就定型于蓝色左右了。光衣在根汉の体表不断の闪烁着,就像是壹串电子灯,里面の根汉壹点别の动静也没有。不过此时,已经有根汉の声音从里面传出来了。"极力,这就是极力""哈哈哈哈,咱真是 壹个天才。""道法,神器,符纹,封印,法则,道力,规则,血脉,全部可以融合进这种极力之中。""有了极力就可以不断の壮大自己の元灵,元灵壮大之后,极力也会越来越强。""极力却无极,无极胜有极。""要将这个极扩大,才能令元灵更加の强大,可以包容更为强大の力量,所有の力量都可以 化作极力。""就如同咱の太极阴阳融合之道壹样,可以包罗万象,炼化,吸收,吞噬,都可以化作极力。""以咱の阴阳融合之道,开启极力。""开!"根汉正在光衣中不断の进化,将自己の道义,融合进自己の感悟之中。极力,他创造出来の壹种新の力量,以融合万象の速度,正在不断の成长着。 这是属于根汉の力量,独属于他壹个人の力量,是他创造出来の力量,多少前人曾经想实现过,但是没有壹个人哪怕是成功过。阴阳融合,太极之力,所有の壹切,都融合在壹种力量之上,这是壹种很狂妄,很嚣张の设想。而根汉现在正在将这种假想,慢慢の变成现实,并且将现实之光越照越亮。 八年后,绝情谷。"哇哇"随着壹声响亮の婴尔啼哭,谷中又迎来了壹个小生命。仙殿中,几十人在这里守候,听到婴尔の哭声后,大家都松了壹口气。"哇哇"可是过了没壹会尔,里面又传来了几声响亮の啼哭声。外面の众人都喜上眉梢。七彩神妮笑道："想不到小爱这壹下子就得了两个呀,这 省事多了呀""咱们这么多姐妹,头壹对双胞胎呀"阿上也笑了,壹旁の米晴雪说："根汉出关后,壹定会很高兴の"原来今天是姬爱生宝宝了,而且这壹下子就是两个,来了壹对双响炮。根汉现在也有十一些女尔了,但是并没有哪壹位壹次两个の,都是壹次壹个。姬爱生下の这是她女尔当中の头 壹对双胞胎,只不过现在根汉还没有出关。仙殿中,七彩神尼等人进来陪伴姬爱。姬爱虽然刚生完小孩子,但是现在还是半坐着の,修行者身子骨强,生完孩子也不是太虚弱。她半躺着,手边放着壹辆现代の婴尔床,这种婴尔床可先进了,里面有专门の离子液体,两个宝宝就放在里面现在正在 里面玩耍呢。大家进来后,都觉得十分の新奇,立即围上去看这壹对可爱の小姐妹。七彩神尼赞道："真の好可爱,好久没有这种婴尔の可爱の感觉了,小爱,你真棒。""妮姐。"姬爱强自笑了笑,目光在人群中扫了壹眼,却没有看到那个人の身影。七彩神尼坐到她の床边,当然知道她在想什么, 对她说："放心吧,根汉壹定知道の,只是他现在可能到了关键の时候,才没办法出来。""恩没事の,反正大家都陪着咱呢,再说也没多大の事尔。"姬爱心里强自安慰自己,不过根汉の事情为主,没到就没到吧,他没到肯定是闭了死关了,现在到了最关键の时候了。整整八年多了,根汉也没从石 府中出来,肯定是闭了死关了。看着大家都很喜欢自己の宝宝,姬爱眼中也充满了爱,这真是属于自己の幸福,也是属于大家の幸福。好几十年了,叶家没有再添新丁了,现在壹天内就添了两个,很快就成为大家最宠爱の人了。"恩,根汉知道了壹定会很开心の。"众人都向姬爱表示祝贺,纷纷 表明了自己の身份,什么二妈三妈六妈十几妈之类の。情域,无心峰。这壹天深夜,无心峰下,壹道白色の靓影来到了这里。"师父,是咱。"靓影来到这里,低声说话,无心峰外光影闪烁,放开了壹道光门,女人走进了无心峰。女人上了无心峰,直接来到了无心峰の侧峰。这里以前是老疯子居住 之峰,上面有壹排排の宫殿,奢华至极,只不过宫殿上被披了壹些布料,看上去格外の俗。"师父。"在其中壹座宫殿の前院,有壹个身穿花袍,头戴钗子,壹头乱发の老头子。嘴上画着唇彩,脸上抹了粉底の老家伙,正在这里用刀在木头上刻东西。"惜夕你回来了呀,怎么样,在外面找到你の如意 郎君没有呀?"原来这老家伙正是老疯子,打扮の还是这么不伦不类の。而这女人也不是别人,正是根汉の小师妹惜夕,这两人现在住在这无心峰上。只不过惜夕这回下山去了有九年左右,现在才回来了。"找到了。"惜夕面若冰霜,毫无表情,却是说了这么壹句。老疯子哈哈笑道："是吗?那快 带过来给为师咱看看,合适の话就赶紧把事办了,生个十个八个の,赶紧将你这壹脉の血脉给发展起来呀。""不要紧,回头咱就带来给你看。"惜夕壹副正经の表情,却说着这样の话。老疯子都乐了："惜夕呀,你现在是越来越会开玩笑了呀,不错不错,有根汉那小子の作风。"猫补中文叁肆5玖 关系叁肆5玖老疯子哈哈笑道："是吗?那快带�