2019年杭州中考数学试卷答案解析

2019年杭州市初中毕业升学文化考试数学考生须知：1. 本试卷满分为 120 分，考试时间为 100 分钟。

2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在纸卷首页指定位置位置写上姓名和座位号3. 必须在答题纸的对应位置上答题，写在其它地方无效。

答题方式详见答题纸上的说明。

4. 考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。

5. 如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。

试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。

1．计算下列各式中，值最小的是（ ） A ．2019⨯+- B ．2019+⨯- C ．2019+-⨯ D ．2019++-【答案】A 【解析】A ．20198⨯+-=-B ．2019=7+⨯--C ．2019=7+-⨯-D ．2019=6++-- 故选A2．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ） A ．3,n 2m == B ．3,n 2m =-= C ．2,n 3m ==D ．2,n 3m =-=【答案】B 【解析】两点关于y 轴对称，则1212,y x x y =-=3,2m n =-=故选B3．如图，P 为O e 外一点，,PA PB 分别切O e 于A,B 两点．若3PA =，则PB =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】,PA PB 是O e 的两条切线，由切线长定理可得：3PA PB ==故选B4．已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有x 人，则（ ）A ．23(72)30x x +-=B ．32(72)30x x +-=C ．23(30)72x x +-=D ．32(30)72x x +-=【答案】D 【解析】由题意可得，男生有x 人，则女生有(30)x -人， 男生每人种3棵树，女生每人种2棵树， ∴32(30)72x x +-=故选D5.点点同学对数据26，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）A.平均数B.中位数C.方差D.标准差【答案】B【解析】由题意可得，被涂污数字的范围在50到59之间，无论取多少，将五个数据从小到大排列之后，最中间的数字都为46，故计算结果与被涂污数字无关的是中位数。

而平均数，方差和标准差的值均会受到被涂污数字大小的影响，故选B 。

6.如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE BC ∥，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则（ ） A.AD AN AN AE = B. BD MN MN CE = C. DN NE BM MC = D. DN NEMC BM=CMBA【答案】C【解析】因为DE BC ∥ 所以ADN ABM ∽△△，ANE AMC ∽△△ 所以 DN AN BM AM =，NE ANMC AM=所以DN NEBM MC=A ，B ，D 选项由已知条件无法证明，故选C 。

7.在ABC △中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）A.必有一个内角等于30︒B.必有一个内角等于45︒C.必有一个内角等于60︒D.必有一个内角等于90︒【答案】D【解析】设三角形的三个内角分别为α，β，γ，由题意可得αβγ=-，则αγβ+=。

由三角形的内角和为180︒可得180αβγ++=︒，则2180β=︒，90β=︒。

故选D.8.已知一次函数1y ax b =+和2y bx a =+()a b ≠，函数1y 和2y 的图象可能是（ ）【答案】A【解析】当1x =时，1+y a b =，2y b a =+，即12y y =,所以1y 和2y 图象的交点横坐标为1。

若0a >，0b >，1y 与2y 的图象都经过第一、二、四象限，其他几项均不符合题意。

故选A.CD9.如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC OB ⊥，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB=a ，AD=b ，x BCO =∠，则点A 到OC 的距离等于（ ） A.x b x a sin sin + B.x b x a cos cos + C.x b x a cos sin + D.x b x a sin cos +【答案】D【解析】过A 点做OB AM ⊥交OB 于点M ，在直角三角形ABM 中，x BCO ABM =∠=∠，x a BM cos =，在矩形ABCD 中，b BC AD ==，在直角三角形BOC 中，x b BO cos =，x b x a OM sin cos +=，由题意可知，OM 即为点A 到OC 的距离。

故选D10.在平面直角坐标系中，已知b a ≠，设函数()()b x a x y ++=的图象与x 轴有M 个交点，函数()()11++=bx ax y 的图象与x 轴有N 个交点,则（ ）A.1M N =-或1M N =+B.1M N =-或2M N =+C.M N =或1M N =+D.M N =或1M N =-【答案】C【解析】分类讨论，①当0=a 且0≠b 时，函数()()()b x x b x a x y +=++=，函数有两个解0-或b ，M=2；函数()()111+=++=bx bx ax y ，函数有一个解b1-，N=1；此时1M N =+ ②当0≠a 且0=b 时，函数()()()a x x b x a x y +=++=，函数有两个解0或a -，M=2；函数()()111+=++=ax bx ax y ，函数有一个解a1-，N=1；此时1M N =+ ③当0≠a 且0≠b 且b a ≠时，函数()()b x a x y ++=，函数有两个解b a -或-，M=1；函数()()11++=bx ax y ，函数有两个解ba 1-1-或，N=1；此时M N = 综上所述，M N =或1M N =+故选C二、填空题：本题有6个小题，每题4分，共24分．11.因式分解：21x -=__________． 【答案】()()11x x -+【解析】平方差公式12.某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n +个数据的平均数等于__________． 【答案】nm nymx ++【解析】第一次m 个数据的和为mx ，第二次n 个数据的和为ny ，因此m n +个数据的平均数就是n m ny mx ++．13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度）。

已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________2cm ．【答案】113【解析】圆锥侧面展开为扇形，即求扇形面积。

2LRS =，L 为扇形弧长即圆锥底面圆的周长6π，R 为其母线长即12cm ，因此侧面积为26π236π113cm 2⨯=≈．关于数学卷第13题正式阅卷前，评卷组在制定评分标准时，发现数学卷第13题存在两个合理答案，即113或112（参考答案为113，若采用现行教材例题中近似数的计算方法，则答案为112）。

评卷组研究后认为：113或112均为正确答案，得满分。

此外，答案为36π的，减半得分。

接到反映后，为慎重起见，我院聘请相关学科领域专家组成专家组对数学卷第13题评分标准和参考答案进行第三方论证，认为数学卷第13题正确答案为113或112。

杭州市教育考试院 2019年6月22日14.在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cosC =__________． 【答案】23，552 【解析】有两种情况。

①B 为直角顶点，此时AC 为斜边，2AB AC =即30C ∠=︒，因此3cosC =．②A 为直角顶点，此时AB 和AC 同为直角边，设AB x =，则2AC x =，5BC x =，25cosC =．15.某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式__________．【答案】1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等【解析】若此函数为一次函数，设y kx b =+将1x =，0y =；0x =，1y =代入得 01k b b +=⎧⎨=⎩解得11k b =-⎧⎨=⎩．∴1y x =-+．16. 将矩形ABCD 沿EF ，GH 折叠，B 、C 两点的对应点落在AD 上的点P 处，且PF PG ⊥，4S A EP '=△，1S C PH '=△，则ABCD 矩形S =__________．【答案】6510【解析】∵矩形ABCD 沿EF ，GH 折叠，B 、C 两点的对应点落在AD 上的点P 处∴90A A '∠=∠=︒，90D D '∠=∠=︒，90ABF A PF '∠=∠=︒． 且A E PF '∥，C H PG '∥，AB A P CD C P ''===． 又∵PF PG ⊥． ∴90FPG ∠=︒∴A P G '，，在一条直线上．∴A G C H ''∥ ∴A PE C HP ''∠∠∥ 又∵A C ''∠=∠ ∴A EP C PH ''∽△△ ∴A E C PA P C H ''=''∵4S A EP '=△，1S C PH '=△． ∴41A E C H '='设4A E a '=，C H a '=． ∴4a C P a A P'=' ∴2A P C P a ''==∴1442S A EP a a '=⨯⋅=△ ∴1a =在Rt A EP '△与Rt C PH '△中．EP ==PH∴5AD AE EP PH DH =+++=+∴10S ABCD AD AB =⋅=+矩形三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分6分）化简：242142x x x ---- 圆圆的解答如下： 2242142(2)(4)42x x x x x x --=-+---- 22x x =-+圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．【解析】圆圆的解答不正确，正确的解答如下： 2242(2)4(2)(2)(2)(2)(2)(2)4(24)(4)(2)(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=--+-+-+--+--=+---=+-=-+原式18．（本题满分8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表实际称量度数折线统计图 记录数据折线统计图序号3（1）补充完整乙组数据的折线统计图．（2）①甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙写出x 甲与x 乙之间的等量关系．②甲、乙两组数据的方差分别为2S 甲，2S 乙，比较2S 甲与2S 乙的大小，并说明理由．【解析】（1）如图所示2（2）①4852474954505x ++++==Q 甲2231405x -++-+-+==乙（）（）50x x ∴=+甲乙②22S S =甲乙，理由如下：()()()()()2222221223145S x x x x x ⎡⎤=--+-+--+--+-⎣⎦Q 乙乙乙乙乙乙()()()()()222221485052504750495054505x x x x x ⎡⎤=--+--+--+--+--⎣⎦乙乙乙乙乙()()()()()22222148524749545x x x x x ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦甲甲甲甲甲2S =甲∴22S S =甲乙19．（本题满分8分）在ABC △中，AC AB BC <<,（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 交于点P ，连接AP ，求证:2APC B ∠=∠．（2）以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连接AQ ，若3AQC B ∠=∠，求B ∠的度数．Q CCBAAPB【解析】（1）证明：∵点P 在AB 的垂直平分线上， ∴PA PB = ∴PAB B ∠=∠∴2APC PAB B B ∠=∠+∠=∠． （2）根据题意，得BQ BA = ∴BAQ BQA ∠=∠设B x ∠=，∴3AQC B BAQ x ∠=∠+∠=， ∴2BAQ B x QA ∠=∠=，在ABQ △中，22180x x x ++=︒，解得36x =︒，即36B ∠=︒．20．(本题满分10分)方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t (单位:小时)，行驶速度为v (单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时． (1)求v 关于t 的函数表达式．(2)方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发，①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由．【解析】（1）根据题意得，480=vt ， ∴tv 480=， ∵4800>， ∴当120v ≤时，4t ≥∴480(4)v t t=≥ （2）①根据题意，得4.86t ≤≤ ∵4800> ∴4804806 4.8v ≤≤∴80100v ≤≤ ②不能．理由如下：由（1）知4≥t ，而11点30分前5.3<t 不满足题意故方方不能在11点30分前到达B 地．21（本题满分10分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =．（1）求线段CE 的长．（2）若点H 为BC 边上的中点，连接HD ，求证：HD HG =．【解析】根据题意，得1AD BC CD ===，90BCD ∠=︒, （1）设CD x =(01)x <<，则1DE x =-， ∵12S S =， ∴21x x =-，解得x =（负根舍去），即CE =． （2）∵点H 为BC 边的中点∴12CH =，HD =∵CG CE ==,点H ，C ，G 在同一直线上，∴12HG HC CG =+=+ ∴HD HG =．22．（本题满分12分）设二次函数12)()y x x x x =--（（1x ，2x 是实数）．（1）甲求得当0=x 时，0=y ；当1=x 时，0=y ；乙求得当21=x 时，12y =-．若甲求得的结果都是正确的．你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求出该函数的最小值（用含21,x x 的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点（m ，n 是实数）．当1201x x <<<时，求证：1610<<mn ．【解析】（1）乙求得的结果不正确，理由如下：H GFEDCBA根据题意，知图象经过点0,0（），(1,0)，所以)1(-=x x y ， 当21=x 时，111112242y ⎛⎫=⨯-=-≠- ⎪⎝⎭．所以乙求得的结果不正确． （2）函数图象对称轴为221x x x +=， 当221x x x +=时，函数有最小值M ， 212121212()224x x x x x x M x x ++-⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=．（3）∵12()()y x x x x =--， ∴12m x x =，12(1)(1)n x x =-- ∴1212(1)(1)mn x x x x =-- 221122()()x x x x =--22121111=2424x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⋅--+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵1201x x <<<，结合函数(1)y x x =-的图象 ∴211110244x ⎛⎫<--+ ⎪⎝⎭≤，221110244x ⎛⎫<--+ ⎪⎝⎭≤∴1016mn <≤∵12x x ≠， ∴1016mn <<23．（本题满分12分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，BC OD ⊥于点D ，连接OA . （1）若60BAC ∠=︒，①求证：12OD OA =．②当1=OA 时，求ABC △面积的最大值． （2）点E 在线段OA 上，OD OE =，连接DE ，设ABC m OED ∠=∠，ACB n OED ∠=∠（m 、n 是正数），若ABC ACB ∠<∠，求证：20m n -+=．【解析】（1）①证明：连接OB 、OC ，OB OC =Q ，OD BC ⊥1126022BOD BOC BAC ∴∠=∠=⨯∠=︒，1122OD OB OA ∴==．②作AF BC ⊥，垂足为点F ，则32AF AD AO OD +=≤≤（当点D O A 、、在同一直线上时取等号）.由①可知，2BC BD =，113222ABC S BC AF ∴=⋅=≤△即ABC △面积的最大值为343. （2）设OED ODE α∠=∠=，COD BOD β∠=∠= ∵ABC △是锐角三角形，∴2360AOC AOB BOD ∠+∠+∠=︒ ∴()180m n αβ++=︒∵ABC ACB ∠<∠∴2EOD AOC DOC m αβ∠=∠+∠=+ ∵180OED ODE EOD ∠+∠+∠=︒ ∴2(1)180m αβ++=︒由此可得：2(1)m n m +=+， ∴20m n -+=．。