湘教版八年级数学上册第2章 小结与复习课件
课后作业
见章末练习
∴AO ＝ BO
归纳总结
在证明三角形全等中，几种常见的隐含条件：
A
D
A
公共边 相等
B A
CB C
D
C B
公共角 (对顶角) 相等
D B
E C
E
A
D
例6 如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN=BM.
N
证明： M
∵△ACM和△BCN都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2
A
1
2 3
B
C
即∠ACN＝∠MCB
∵CA＝CM，CB＝CN
∴△CAN≌△CMB(SAS)
∴AN＝BM
课堂小结
命题与证明
内角、外角、高、角平分线、中线
性质
任意两边之和大于第三边
三
内角和定理及其推论
角
等腰（等边）三角形的性质与判定
形
线段的垂直平分线 全等三角形
性质
用尺规作三角形
判定：SAS、ASA、AAS、SSS
是 20°，∠FBC的度数是 40°. B
7.如图，在△ABC中，两条角平分线
A
BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，
那么∠A的度数是 84°.
EO
F C
D
B
C
考点三 命 题
例4 写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假： (1)全等三角形的对应角相等； (2)线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
据全等三角形的判定定理逐个判断即可. A.∠A=∠C,可
利用“ASA”判定△ADF≌△CBE；C.BE=DF,可利用“SAS”
判定△ADF≌△CBE；D.由AD∥BC得∠A=∠C,同选项A；
B.AD=CB不能判定△ADF≌△CBE. 故选B. 注意：“SSA”“AAA”不能判定两个三角形全等
针对训练
10.如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB的
平分线上,且∠PAM＝∠PBN,求证:AO ＝ BO
M
AP
在△AOP和△BOP中
O
BN
证明：∵∠PAM＝∠PBN ∴∠PAO＝∠PBO ∵点P在∠AOB的平分线上 ∴∠MOP＝∠NOP
∠PAO＝∠PBO ∠MOP＝∠NOP OP＝OP ∴△AOP≌△BOP(AAS)
A.5
B.10
C.11
D.12
2.有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段，任选其中的三条线段
组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为 （ C）
A.1
B.2
C.3
D.4
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边 长为 5,5或6,4 .
【解析】由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰， ∴分两种情况讨论.当6为底边长时，腰长为(166)÷2=5，这时另两边长分别为5,5；当6为腰长时，底 边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.故填5,5或6,4.
方法总结
当已知等腰三角形的周长和一边时，要分两种 情况讨论：已知边是底边和已知边是腰.还要注意三 边是否构成三角形.
针对训练
3.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等
腰三角形的周长为 ( C )
A.16
B.20或16
C.20
D.12
4.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周 长为 5 .
解：(1)该命题的逆命题是对应角相等的两个三角形全等. 是假命题.
(2)该命题的逆命题是到线段两端距离相等的点在线 段的垂直平分线上.是真命题.
针对训练
8.下列命题的逆命题不正确的是（ D ） A.1和-1的倒数是其本身 B.两直线平行，内错角相等 C.等腰三角形的两底角相等 D.对顶角相等
9.下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是
考点二 有关三角形内、外角的计算
例3 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件， 求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
【解析】利用三角形的内角和等于180°，列方程求解.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①, 又知∠A－∠B＝16°②, 由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ， 则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20° ∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
针对训练
5.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-
∠B，则∠B= 90°.
A
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高， 若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数 E
(1)三角形的内角和等于180° (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
并且大于和它不相邻的任何一个内角.
二、命题与证明 1. 命题 (1)定义：对某一件事情作出判断的语句（陈述句） 叫作命题. (2)结构形式：命题都是由条件和结论两部分组成 (3)表达形式：命题都可以写成“如果……，那么……” 的形式，“如果”引出的部分是条件，“那 么”引出的部分是结论.
三、等腰三角形
1. 等腰（边）三角形的性质 轴对称图形 三线合一 两底角相等(等边对等角)
2. 等腰（边）三角形的判定方法
等腰三角形
等腰三角形
有两个角相等(等角对等边) 有两条边相等
60°
60° 60°
等边三角形
等边三角形
三边相等 三个角都是60° 有一个角是60°的等腰三角形
四、线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
第2章
三角形
八年级数学上（XJ） 教学课件
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、三角形 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边
2. 三角形的分类
不等边三角形
按边分
腰和底不等的
等腰三角形 等腰三角形
等边三角形
按角分
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
3. 三角形的内角和与外角
2.作一个角等于已知角
3.作三角形 (1)根据SAS、ASA、SSS作三角形 (2)已知底边及底边上的高作等腰三角形
考点讲练
考点一 三角形的三边关系
例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ B）
A.1cm,2cm,4cm
B.4cm,6cm,8cm
C.5cm,6cm,12cm
D.2cm,3cm,5cm
【解析】根据三角形的三边关系进行判断即可.A.1+2<4, 不能组成三角形；B.4+6>8,能组成三角形；C.5+6<12,不 能组成三角形；D.2+3=5,不能组成三角形.故选B.
方法总结
判断能否构成三角形的简便方法是看较小的两边的 长度的和是否大于第三边.
针对训练
1.）
假命题的反例是（ A ）
A.a=-2
B.a=-1
C.a=1
D.a=2
考点四 全等三角形的证明
例5 如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB, A
D
那么添加下列一个条件后,仍无法
E
判定△ADF≌△CBE的是（ B ）
B
F C
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
【解析】由AE=CF 可得 AE+EF=CF+EF,即AF=CE.再根
2.逆命题 将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便 可以得到原命题的逆命题.
3. 真命题和假命题 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题
4. 证明与图形有关命题的步骤： (1)画出图形；(2)写出已知、求证；(3)写出证明过程.
5. 反证法的步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从假设出发，经过推理，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定) 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3. 线段垂直平分线的作法
五、全等三角形 1.全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等
2.全等三角形的判定 SAS ASA AAS SSS
3.三角形的稳定性
依据：SSS
六、用尺规作三角形 1.作一个角的平分线
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湘教版八年级数学上册第2章教学课件：2.2 命题与证明(共34张PPT)
欧几里得
二、新课讲解
本书中，我们把少数真命题作为基本事实.
例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短；经
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其 他命题的真假.
基本事实 同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
一般地， 对某一件事情作出判断的语句（陈述句） 叫作命题.
如上述语句中，（1），（2），（3）都是命题， （4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.
二、新课讲解
观察
下列命题的表述形式有什么共同点？ （1）如果a = b且b = c，那么a = c； （2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角
二、新课讲解
经过刚才的“证明”之旅，你能说出完整的几何命 题证明需要哪几个步骤吗？
（1）根据题意，画出图形. （2）结合图形，写出已知求证. （3）写出证明过程，并且步步有依据.
数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发， 运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通 过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.
做一做
（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如 果……，那么……”的形式：
命题
条件
结论
①能被2整除 的数是偶数.
如果一个数能被2整 除
那么这个数是偶数
②有公共顶点
的两个角是对 如果两个角有公共顶 那么这两个角是对
顶角.
点
顶角
③两直线平行， 同位角相等. 如果两条直线平行
那么它们的同位角 相等
④两同直位线角平相行等. ，如果两个同位角相等 那么这两条直线平行
反证法的步骤：
假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→
二、新课讲解
本书中，我们把少数真命题作为基本事实.
例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短；经
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其 他命题的真假.
基本事实 同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
一般地， 对某一件事情作出判断的语句（陈述句） 叫作命题.
如上述语句中，（1），（2），（3）都是命题， （4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.
二、新课讲解
观察
下列命题的表述形式有什么共同点？ （1）如果a = b且b = c，那么a = c； （2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角
二、新课讲解
经过刚才的“证明”之旅，你能说出完整的几何命 题证明需要哪几个步骤吗？
（1）根据题意，画出图形. （2）结合图形，写出已知求证. （3）写出证明过程，并且步步有依据.
数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发， 运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通 过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.
做一做
（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如 果……，那么……”的形式：
命题
条件
结论
①能被2整除 的数是偶数.
如果一个数能被2整 除
那么这个数是偶数
②有公共顶点
的两个角是对 如果两个角有公共顶 那么这两个角是对
顶角.
点
顶角
③两直线平行， 同位角相等. 如果两条直线平行
那么它们的同位角 相等
④两同直位线角平相行等. ，如果两个同位角相等 那么这两条直线平行
反证法的步骤：
假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→
最新湘教版初中数学八年级上册第2章小结与复习优质课课件
AF=CE ∠AFD=∠CEB
DF=BE ∴ △AFD≌△ CEB(SAS)
B
5.如图在△ ABC、 △ ADE中∠B=∠D， E
D
AC=AE, 且∠CAE=∠BAD，
则BC=DE 吗？为什么？
C
A
解： BC=DE，理由是： ∵ ∠CAE=∠BAD ∴ ∠CAE+ ∠ EAB ∠ =∠BAD + ∠EAB ∴ ∠CAB= ∠EAD 在△ CAB与△ EAD中 ∠CAB= ∠EAD ∠B=∠D
AC=AE ∴ △ CAB ≌ △ EAD（AAS)
等量加∴等E量D=和CB相等，等量减等量差相等，都是用来间接 找边和角相等的方法！
已 知 ，如图,AB=AC,DB=DC,F是 AD 的延长 线上的一点,试说明:BF=CF.
证明：在△ABD和△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD ∴ △ABD≌ △ACD(SSS) ∴∠BAD= ∠CAD又∵F是AD延长线 上一点，∴∠BAF= ∠CAF 在△ABF和△ACF中
△AFE(HL)
∴AC=AF, ∴EF+BE=CE+BE=BC=AC=AF,A
EF+EB
∴EF+BE+BF=AF+BF=AB=10㎝
即△EFB的周长为10㎝。
∟
C E B
F FB
有一块三角形板材,根据实际生产的需 要,工人师傅要把∠MAN平分开,现在他 手边只有一把直尺和一根细绳,你能帮 工人师傅想个办法吗？并说出你的理由？
(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件∠＿A＿=＿∠＿D＿；
AD
B E CF
(5)若∠B=∠DEF=90°BC=EF,要以“HL” 为依据， 还缺条件＿A＿C=＿”判全等
DF=BE ∴ △AFD≌△ CEB(SAS)
B
5.如图在△ ABC、 △ ADE中∠B=∠D， E
D
AC=AE, 且∠CAE=∠BAD，
则BC=DE 吗？为什么？
C
A
解： BC=DE，理由是： ∵ ∠CAE=∠BAD ∴ ∠CAE+ ∠ EAB ∠ =∠BAD + ∠EAB ∴ ∠CAB= ∠EAD 在△ CAB与△ EAD中 ∠CAB= ∠EAD ∠B=∠D
AC=AE ∴ △ CAB ≌ △ EAD（AAS)
等量加∴等E量D=和CB相等，等量减等量差相等，都是用来间接 找边和角相等的方法！
已 知 ，如图,AB=AC,DB=DC,F是 AD 的延长 线上的一点,试说明:BF=CF.
证明：在△ABD和△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD ∴ △ABD≌ △ACD(SSS) ∴∠BAD= ∠CAD又∵F是AD延长线 上一点，∴∠BAF= ∠CAF 在△ABF和△ACF中
△AFE(HL)
∴AC=AF, ∴EF+BE=CE+BE=BC=AC=AF,A
EF+EB
∴EF+BE+BF=AF+BF=AB=10㎝
即△EFB的周长为10㎝。
∟
C E B
F FB
有一块三角形板材,根据实际生产的需 要,工人师傅要把∠MAN平分开,现在他 手边只有一把直尺和一根细绳,你能帮 工人师傅想个办法吗？并说出你的理由？
(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件∠＿A＿=＿∠＿D＿；
AD
B E CF
(5)若∠B=∠DEF=90°BC=EF,要以“HL” 为依据， 还缺条件＿A＿C=＿”判全等
第2章 三角形小结与复习 湘教版八年级数学上册课件
考点二 有关三角形内、外角的计算
例3 ∠A，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，且分别满 足下列条件，求∠A，∠B，∠C 中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (2)∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4. 解【：解(析1) 】由利∠C用＝三54角°知形∠的A内＋角∠B和＝等1于801°－805°，4°＝列1方26程° 求①解，. 又知∠A－∠B＝16°②，由①②解得∠A＝71°，∠B＝55°.
例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ B ） A. 1 cm，2 cm，4 cm B. 4 cm，6 cm，8 cm C. 5 cm，6 cm，12 cm D. 2 cm，3 cm，5 cm
【解析】根据三角形的三边关系进行判断即可. A. 方1 +法2总<结4，不能组成三角形；
B. 4 +判6 断> 8能，否能构组成成三三角角形形的；简便方法是看较小的两
的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的
个数为（ C ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例2 等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两
边长为 5，5 或 6，4 .
【解析】由于题中没有指明边长为 6 的边是底还是腰， ∴分两种情况讨论.①当 6 为底边长时，腰长为(16 - 6) ÷2 = 5，这时另两边长分别为 5，5；②当 6 为腰长时， 底边长为16 - 6 - 6 = 4，这时另两边长分别为 6，4. 故 填 5，5 或 6，4.
若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度 E
F
数是 20° ，∠FBC 的度数是 40° .
B
7. 如图，在△ABC 中，两条角平分线
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第2章 三角形 第1课时 全等三角形及其性质
八年级数学上（XJ） 教学课件
第2章 三角形
2.5 全等三角形
第1课时 全等三角形及其性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 了解全等图形的概念； 2. 理解全等三角形的概念，会确定全等三角形中的 对应元素；（重点） 3. 掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单 的问题.（难点）
导入新课
（1）
形状相同 大小不同
（2）
大小相同，形状不同
（3）
形状和大小 都相同
归纳总结 全等图形的定义： 能够完全重合的两个图形叫作全等图形. 全等图形的性质： 如果两个图形全等，它们的形状相同，大小也相同！
下面哪些图形是全等形？
看大小、形状 是否完全相同
（1） （2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7） （8）
找一找下列全等图形的对应元素：
AD
A
2
B E AC
F
3
2
1 4
F
B
C
E
BD
CF D
A 1
23 4
B
C
二 全等三角形的性质 我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，
能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A
A′
B
C B′
C′
全等三角形的性质的几何语言
A
F
B
CD
E
∵△ABC≌△FDE，
∴ AB = FD，AC = FE，BC = DE (全等三角形的对应边 相等)，
∠A =∠F，∠B =∠D，∠C =∠E (全等三角形对应角相等).
第2章 三角形
2.5 全等三角形
第1课时 全等三角形及其性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 了解全等图形的概念； 2. 理解全等三角形的概念，会确定全等三角形中的 对应元素；（重点） 3. 掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单 的问题.（难点）
导入新课
（1）
形状相同 大小不同
（2）
大小相同，形状不同
（3）
形状和大小 都相同
归纳总结 全等图形的定义： 能够完全重合的两个图形叫作全等图形. 全等图形的性质： 如果两个图形全等，它们的形状相同，大小也相同！
下面哪些图形是全等形？
看大小、形状 是否完全相同
（1） （2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7） （8）
找一找下列全等图形的对应元素：
AD
A
2
B E AC
F
3
2
1 4
F
B
C
E
BD
CF D
A 1
23 4
B
C
二 全等三角形的性质 我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，
能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A
A′
B
C B′
C′
全等三角形的性质的几何语言
A
F
B
CD
E
∵△ABC≌△FDE，
∴ AB = FD，AC = FE，BC = DE (全等三角形的对应边 相等)，
∠A =∠F，∠B =∠D，∠C =∠E (全等三角形对应角相等).