酉矩阵
正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵
在数学中，正规矩阵 是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说，
满足
其中 是 的共轭转置。
如果 是实系数矩阵，那么条件简化为 其中 是 的
转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经
过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵
的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵
酉矩阵
n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵
(Unitary Matrix)。
一个简单的充分必要判别准则是：
方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。即酉矩阵的逆矩阵与
其伴随矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。酉等价是标准正交基到标准正交基的
特殊基变换。
若一 n 行 n 列的复矩阵 U 满足
其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为酉矩阵或译幺正矩阵。即，矩
阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:
。
若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实向量
的内积类似，
幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：
若为n阶方阵，则下列条件等价：
1. 是酉矩阵
2. 是酉矩阵
3. 的列向量构成内积空间Cn上的一组正交基
4. 的行向量构成内积空间Cn上的一组正交基
酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩
阵行列式的值也为1。
酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，幺正酉矩阵U可被分解为
其中V是酉矩阵，Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意 n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。
性质
U
可逆
U − 1 = U
*
|det(U)| = 1
U
*
是酉矩阵
正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表
示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐
标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为
一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。则有：它的每
一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合，总的矩阵元的数量恰巧等于
质量加权坐标的个数，这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能
不变,所以正交变换又称为酉变换.
矩阵定义和相关符号
以下是一个 4 × 3 矩阵：
某矩阵 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常记为 A[i,j] 或 Ai,j。在
上述例子中 A[2,3]=7。
在C语言中，亦以 A[j] 表达。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在
C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
此外 A = (aij)，意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j，常见于数学著作
中。
一般环上构作的矩阵
给出一环 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合。若
m=n，则通常记以 M(n,R)。这些矩阵可加可乘 (请看下面)，故 M(n,R) 本身是
一个环，而此环与左 R 模 Rn 的自同态环同构。
若 R 可置换，则 M(n, R) 为一带单位元的 R-代数。其上可以莱布尼茨公
式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆。
在百度百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。
分块矩阵
分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵
可分割成 4 个 2×2 的矩阵。
此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计
等。
特殊矩阵类别
对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称, 即是 ai,j=aj,i。
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是
ai,j=a*j,i。
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对, 是 ai,j=ai+1,j+1。
随机矩阵所有列都是概率向量, 用于马尔可夫链。
矩阵运算 给出 m×n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩
阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵 A 及一数字 c，可定义标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i,
j]。 例如
这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间，维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如 A
是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n]
* B[n, j] 对所有 i 及 j。
例如
此乘法有如下性质：
(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结
合律").
(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律
")。
C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律
")。
要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。
对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
六、其他性质
线性变换，转置。
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的
连系：
以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换 f : Rn ->
Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn。 这矩阵 A "
代表了" 线性变换 f。 今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk，则
矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。
矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。矩阵秩亦是 A 的
行（或列）生成空间的维数。
m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT
或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。若 A 代表某一线性变换
则 Atr 表示其对偶算子。转置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。
注记
矩阵可看成二阶张量，因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。
七、矩阵卡
矩阵卡是由深圳网域提出的一种保护个人帐号的系统,它是由一张表格组成,
横排是A\B\C\D等英文字母,在竖排是1.2.3等阿拉伯数字,在登录时必须通过矩
阵卡的验证才可以进入游戏..。现广泛应用于各游戏公司和银行等的账号保密防
盗。
矩阵理论基本知识
矩阵理论的基本概念1.奇异矩阵1)方阵;2)行列式为零,即不可逆矩阵;3)0Ax =有非零解或无解; 非奇异矩阵:1)方阵;2)行列式不为零,即可逆矩阵;3)0Ax =只有零解,因为A 可逆.2.酉矩阵 n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix )。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U 的共轭转置乘以H U 等于单位阵，则U 是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
酉矩阵的相关性质： 设有A ，B 矩阵（1）若A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵;（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 也是酉矩阵;（3）若A 是酉矩阵，则|det |1A =;（4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的n 个列向量是两两正交的单位向量.3.矩阵的奇异值4.矩阵的特征值n 维方阵A 的特征值定义为:使()0A I x λ-=有非零解x 的λ的取值,相应的非零解x 称为λ所对应的特征向量.因为()0A I x λ-=有非零解,其充要条件为||0A I λ-=.这是特征值求解的方法.确定λ后,代入()0A I x λ-=即可求解出相应的特征向量.5.矩阵的秩定义1. 在m n ⨯阶矩阵A 中,任意取k 行和k 列(1min(,))k m n ≤≤交叉点上的元素构成A 的一个k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如，在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A 的一个2阶子式.定义2. ()ij m n A a ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA ，或rankA .特别规定零矩阵的秩为零.显然min(,)rA m n ≤,易得:若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在min(,)r m n ≤时,A 中所有的1r +阶子式全为零,则A 的秩为r . 由定义直接可得n 阶可逆矩阵的秩为n ,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det()0A >;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det()0A =.定义3. n 阶方阵的行列式 定义4. n 阶方阵A ，其对角线上元素的和称为矩阵的迹，记为1()nii i tr A a ==∑，它与矩阵的特征值之和相等。
酉相似充要条件
酉相似充要条件
在几何学中，酉相似是指两个物体之间存在着某种比例关系，使得它们的形状和结构相似。
这种相似性可以通过几何变换来实现，例如缩放、旋转或平移。
酉相似的充要条件是存在一个酉矩阵，使得两个物体之间的距离和角度都得到保持。
酉相似的充要条件可以通过以下方式来理解。
首先，我们假设有两个物体A和B，它们之间的距离和角度都得到保持。
这意味着无论我们如何缩放、旋转或平移这两个物体，它们之间的距离和角度都不会改变。
换句话说，我们可以通过一系列的几何变换将物体A变换为物体B。
现在，我们来证明酉相似的充要条件。
首先，假设存在一个酉矩阵U，使得U*A=B。
我们可以通过将物体A应用酉矩阵U来得到物体B。
由于酉矩阵保持距离和角度不变，所以物体A和物体B之间的距离和角度都得到保持。
因此，存在一个酉矩阵使得两个物体之间的距离和角度都得到保持。
接下来，我们来证明酉相似的充要条件的逆命题。
假设存在一个酉矩阵U，使得两个物体之间的距离和角度都得到保持。
我们可以通过将物体A应用酉矩阵U来得到物体B。
由于酉矩阵保持距离和角度不变，所以物体A和物体B之间的距离和角度都得到保持。
因此，存在一个酉矩阵使得U*A=B。
酉相似的充要条件是存在一个酉矩阵，使得两个物体之间的距离和角度都得到保持。
这个条件可以通过几何变换来实现，例如缩放、旋转或平移。
酉相似的充要条件是几何学中一个重要的概念，它可以用来描述物体之间的相似性和变换关系。
矩阵的相似变换
设 U C nn , P R nn
酉矩阵 U : U H U I , U H U 1 正交矩阵 P : P T P I , P T P 1
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
矩阵 A , B C nn ( 或R nn ) B U H AU —— 酉变换
即：
u i H
pi
T
u j p j
ij ij
i , j 1, 2,n
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
二、矩阵的相似变换：酉变换和正交变换
1、相似变换
两种重要的相似变换！ 后面用的多！
定义：设 A , B C nn ( 或R nn )
如果存在非奇异方阵 S 0 S C nn (或R nn )
使 B S 1 AS 成立
则称 B 与 A 相似，记 B ~ A
变换矩阵！
A S B 的变换称为相似变换。
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
注：相似变换是一种很实用的矩阵变换！
实用上，是构造一非奇异方阵[S]，进行相似变换， 使变换后[B]比[A]简单（例如：三角阵、三对角 阵等），以便快速求出[A]的特征解。
③若[U]是酉矩阵，[P]是正交矩阵，则[U]H也是酉矩 阵， [P]T也是正交矩阵。
证： U H H U H U U 1 I P T T P T P P 1 I 证毕。
第 2 节
矩 阵 的 相 似 变 换
酉 矩 阵 和 正 交 矩 振
第
一
章基 础 知 识
④若[U]和[V]都是同阶酉矩阵（或正交矩阵）
次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵
! ") 可唯一表成 )Z) 其中 ) L ) ) &[ !# & 是次厄米特矩阵 # ! 是反次厄米特矩阵 $ ! ") 是次正规矩阵 @) L L ) ) ) & !Z ! &! & &! 2 &! 2 > : > : > : > : 2 2 证!! " 因 )Z & ! " " # 令) " # " # 显然 # L )[ ) [ ! )> ) )[ ) ) )> ) ) &Z !Z & 是次厄米特 ! ! ! ! 矩阵 # 若另有次厄米特矩阵 5 使 )Z5 由) ) 5 ) 5 ! 是反次厄米特矩阵 % & 与反次厄米特矩阵 5 !# &[ !# &[ !Z & 显然 ) 所以必有 ) [5 5 5 ) 5 ) 5 5 5 ! 得) &> &Z !> !% &> & 是次厄米特矩阵 # !> ! 是反次厄米特矩阵 # &> &Z ! 即有 ) 表示式唯一 % >) 2# 5 ) 5 !Z &Z &# !Z !#
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0特征值的次酉矩阵
0特征值的次酉矩阵特征值是矩阵的重要概念之一，它描述了在矩阵变换中的特殊性质。
特征值和特征向量在线性代数中扮演着重要的角色，它们在各个领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将研究一个特殊的矩阵-次酉矩阵的特征值问题。
次酉矩阵是指满足A*A^H=I的矩阵，其中A^H表示A的共轭转置矩阵，I是单位矩阵。
这意味着A是一个酉矩阵的共轭转置矩阵。
次酉矩阵与酉矩阵具有类似的性质，但是它们的特征值存在一些特殊的关系和性质。
我们先来看一个重要的定理：定理1：次酉矩阵的特征值有两种可能的取值-1和0。
证明：设A是一个次酉矩阵，v是A的一个特征向量，即Av=λv。
对此等式两边同时取共轭转置，可得(Av)^H=(λv)^H。
利用矩阵乘法和共轭转置的性质，有v^H*A^H=v^H*λ^H。
由于A是次酉矩阵，即A*A^H=I，代入此式得v^H*I=v^H*λ^H，即v^H=λ^H，进一步可得v^H=λ。
由于v^Hv是一个实数，设为α，因此λ=λ^H=α。
由于λ是复数，因此可表示为λ=α+iβ，其中α和β是实数。
代入上式得α=α。
由于α是实数，因此α=±1、当α=1时，表示λ=1+iβ；当α=-1时，表示λ=-1+iβ。
由于特征值是方程Av=λv的解，因此0=Av-λv=(A-λI)v。
根据线性代数基本定理，当A-λI不可逆的时候，方程有非零解。
因此，当λ=1+iβ时，方程有非零解；当λ=-1+iβ时，方程也有非零解。
当然，特征向量不能为零向量，否则无法满足Av=λv。
证毕。
根据定理1，次酉矩阵的特征值只能取0和1、接下来我们研究特征值0的情况：定理2：如果次酉矩阵A的特征值为0，则A的零空间的维数等于A的秩。
证明：设 A 是一个次酉矩阵，λ 是 A 的特征值，v 是对应于特征值λ 的特征向量。
对于特征值 0，有 Av = 0v = 0。
因此特征向量 v 属于零空间 N(A)。
假设 v 属于 A 的列空间 C(A)，则根据零空间和列空间的性质，有v ⊥ C(A)，即 v 与 C(A) 中的任意向量正交。
第3节酉相似对角化
反之，Ax 0的解也是AH Ax 0的解；
因此, 线性方程组 Ax 0与AH Ax 0同解。
故 rank(A) rank(AH A)
用AH 替换A, 得 rank(A) rank(AH A) rank(AAH )
0 ( Ax, Ax) (Ax)H (Ax) xH x xH x 0, 0
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
定理
设A
C mn r
,
则rank
(
AH
A)
rank
(
AAH
)
rank
(
A)
证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，AxCm
则由 (Ax, Ax) xH (AH Ax) 0 得 Ax 0;
aa2nnn ,
a11
AH
a12 a1n
a22 a2n
ann
AH A AAH ,
n
2n
i
i
2
aij aij aij a jia ji a ji ,
j i
ji
j 1
j 1
依次取i 1,2, , n得
a11 2 a12 2 a1n 2 a11 2 , a22 2 a2n 2 a12 2 a22 2 ann 2 a1n 2 a2n 2 ann 2
若P是正交矩阵(实矩阵），即P1 PT， 则称A与B是正交相似的。
若P是酉矩阵(复矩阵），即P1 PH， 则称A与B是酉相似的。
3、Schur 定理 （1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
ACnn ,U Cnn ,U 1 U H ,
1 * *
2
U H AU
*
n
其中1，2， n为A的特征值.
正交矩阵是什么意思
正交矩阵是什么意思
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，是数学运算的一种方法，在数学领域有着较高的地位。
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为加一，则称之为特殊正交矩阵。
正交矩阵定理有：
1、方阵正交的充要条件是，行和列向量组是单位正交向量组；
2、方阵正交的充要条件是，n个行和列向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3、正交矩阵的充要条件是，行向量组两两正交且都是单位向量；
4、列向量组也是正交单位向量组；
5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
第3节酉相似对角化
AAH (UU H )(UU H )H UU HUHU H UHU H UH U H (UHU H )(UU H ) AH A
充分性
由schur定理知，A酉相似于一个上三角矩阵T，
1 * *
2
U H AU T
*
n
由于AAH AH A,所以TT H T HT,
3、Schur 定理 （1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
ACnn ,U Cnn ,U 1 U H ,
1 * *
2
U H AU
*
n
其中1，2， n为A的特征值.
Schur 定理 （2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即
A Rnn ,P Rnn , P1 PT ,
正交矩阵
AT=A-1;
酉矩阵
AH=A-1;
Hermite矩阵 AH=A;
反Hermite矩阵 AH=-A;
对角矩阵
2、酉相似
设A, B Cnn ,若存在可逆矩阵P,使P1AP B, 则称A与B是相似的。
若P是正交矩阵(实矩阵），即P1 PT， 则称A与B是正交相似的。
若P是酉矩阵(复矩阵），即P1 PH， 则称A与B是酉相似的。
0 ( Ax, Ax) (Ax)H (Ax) xH x xH x 0, 0
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
定理
设A
C mn r
,
则rank
(
AH
A)
rank
(
AAH
)
rank
(
A)
证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，AxCm
则由 (Ax, Ax) xH (AH Ax) 0 得 Ax 0;
酉矩阵在矩阵张量积交换中的应用
么存 在 一个 唧 阶的 酉矩 阵 Ｐ使得
（ Ｐ Ｉ） Ａ Ｂ Ｃ （ Ｉ）＝Ｂ Ａ Ｃ ｋ （ ） Ｐ ｋ 。
证明 （ Ｐ
厶） Ａ Ｂ Ｃ （ Ｉ） ＝ （ ） Ｐ ｋ
（ Ａ Ｂ） ＩＣ （ 厶） ＝ Ｐ （ ｋ ）Ｐ （ Ａ Ｂ） （ｋ ｉ） ＝Ｂ Ａ Ｃ Ｐ （ Ｐ） ｉｃ￣ 。
２０ ０ ８年 ２月 １ ８日收到
国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ３ 资助 １７ １７ ）
定 理 ２ ２ 设 Ａ∈Ｍ ， ∈ 脚 ， ． Ｂ Ｃ∈Ｍ 那 么存 在一 个 阶 的酉 矩 阵 Ｐ使得
（ｍ Ｐ ） Ａ Ｂ Ｃ） ， Ｐ）＝Ａ Ｃ Ｂ。 ， （ （ｍ 证 明 （ｍ Ｐ ） Ａ Ｂ Ｃ （ ｍ Ｐ） ＝ ， （ ），
， ∈ Ｃ
（
． （ ｍ … ￣Ａ ） ）（ ｋ） 厶
（ （ Ａ ） 川
一
Ｐ
）＝
Ａ ） ）
定理 ２ ４ 设 Ａ ∈Ｍ Ｂ ∈ ． …
（ Ｐ （ （ Ａ
那 么存 在一个 阶的酉矩 阵 Ｐ ， ｐ阶酉 矩 阵 Ｑ和 ｍ 阶酉矩 阵 使得
（ ，） Ｌ Ｐ ） Ｑ （ （ 厶） Ａ Ｂ Ｃ （ ）× Ｉ ）＝ Ｃ Ｂ Ａ 。 ｍ 厶）× Ｉ） ＝ ｍ Ｂ 厶Ｃ ） ）× Ｂ） 厶Ｃ Ｑ 厶）Ｘ ，） Ｌ Ｐ ） Ｑ ｍ（ （ （ 厶） Ｌ Ｐ） Ｑ （ （ 证 明 （ （ （ （
技
术
与
工
程
⑥
Ｖｏ． Ｎｏ １ Ｊ ｎ ０ ８ １８ ．２ ｕ ｅ２ ０
１７ —８ ９ ２０ ） ２３ ５ —３ ６ １ １１ （ ０ ８ １ —２７ ０
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ｃ ｅ ｃ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅ ｉ ｎ