七年级数学下册第九章不等式与不等式组教案人教版
第九章不等式与不等式组9．1不等式9．1.1不等式及其解集感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义．通过解决简单的实际问题，学生自主地寻找不等式的解集，会把不等式的解集正确地表示在数轴上．重点不等式的解集的概念．难点不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．一、创设情境，引入新课 教师出示问题：一辆匀速行驶的汽车在11: 20距离A 地50千米，要在12：00以前驶过A 地，车速应该满足什么条件？教师提问：题目中有等量关系吗？ 学生回答：没有．教师追问：那是什么关系呢？ 学生讨论发言：从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A 地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到23小时，即50x ＜23.从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A 地，则以这个速度行驶23小时的路程要超过50千米，即23x ＞50.教师总结：这些是不等关系． 二、讲授新课1.不等式、一元一次不等式的概念在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：用“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．教师提问：下列式子中哪些是不等式？(1)a ＋b ＝b ＋a (2)－3>－5 (3)x ≠1 (4)x ＋3>6 (5)2m<n (6)2x －3上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数，一般地，我们把用“<”或“>”表示的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．补充说明：用“≥”和“≤”表示不等关系的式子也是不等式．2.不等式的解、不等式的解集问题1：要使汽车在12：00以前驶过A 地，你认为车速应该为多少呢？问题2：车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米昵？教师总结：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．问题3：刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式23x>50的解？问题4：判断下列数中哪些是不等式23x>50的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60. 教师提问：你还能找出这个不等式的其他解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？学生讨论后得出：当x>75时，不等式23x>50成立；当x<75或x ＝75时，不等式23x>50不成立．这就是说，任何一个大于75的数都是不等式23x>50的解，这样的解有无数个．因此x>75表示了能使不等式23x>50成立的x 的取值范围．这个解集还可以用数轴来表示．(教师示范表示方法) 教师引导：回到前面的问题，要使汽车在12：00以前驶过A 地，则车速必须大于每小时75千米．一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．三、例题讲解例：在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x>－1；(2)x ≥－1；(3)x<－1；(4)x ≤－1. 【答案】注意：1.实心点表示包括这个点，空心点表示不包括这个点．2.步骤：画数轴，定界点，走方向．教师强调：空心圆圈“”表示“>”或“<”；实心圆点“”表示“≥”或“≤”．即：若解集中含有等号，则以实心圆点表示；若解集中不含等号，则以空心圆圈表示．四、巩固练习1．用不等式表示图中的解集：2．下列数中哪些是不等式3x>6的解？－4，3，0，1，2.5，－2.5，3.2，－4.8, 12.【答案】1．(1)x<2 (2)x≤2(3)x≥－7.5 (4)x>－7.52. 3，2.5，3.2，12.五、课堂小结1．不等式的概念．2．不等式的解与不等式的解集．3．不等式的解集在数轴上的表示．本节课通过实际情境引入不等关系，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，让学生了解了不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型．9．1.2不等式的性质(1)1．经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质．2．初步体会不等式与等式的异同．重点不等式的性质和解法．难点不等号方向的确定．一、创设情境，引入新课教师出示天平，并请学生仔细观察教师的操作过程，回答下列问题： 1.天平被调整到什么状态？2.给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？3.不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？4.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？二、讲授新课1．用“>”或“<”填空．(1)－1＋2____3＋2，－1－3____3－3； (2) 5＋a____3＋a ，5－a____3－a ；(3)6×5____2×5，6×(－5)____2×(－5)； (4) (－2)×6____3×6， (－2)×(－6)____3×(－6)； (5)(－4)÷2____(－6)÷2，(－4)÷(－2)____(－6)÷(－2)． 2.在以上练习中，你发现了什么？请把你的发现告诉同学们，并与他们交流． 请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？ 3.让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出： 不等式性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 即如果a>b ，那么a ±c>b ±c. 不等式性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．即如果a>b ，c>0，那么ac>bc(或a c >bc)．不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．即如果a>b ，c<0，那么ac<bc(或a c <bc)．注意：性质2的两边乘或除的是一个正数，不等号的方向没有变；而性质3的两边乘或除的是一个负数，不等号的方向改变了．三、例题讲解例：利用不等式的性质填“>”或“<”： (1)若a>b ，则2a____2b ； (2)若－2y<10，则y____－5；(3)若a<b ，c>0，则ac －1____bc －1； (4)若a>b ，c<0，则ac ＋1____bc ＋1.【答案】(1)> (2)> (3)< (4)< 四、巩固练习 判断正误： 1．∵a ＜b ，∴a －b ＜b －b ；( ) 2．∵a ＜b ，∴a 3＜b3；( ) 3．∵a ＜b ，∴－2a ＜－2b ；( ) 4．∵－2a ＞0， ∴a ＜0.( ) 【答案】1．√ 2.√ 3.× 4.√ 五、课堂小结在学生自己总结的基础上，教师应强调两点： 1.等式性质与不等式性质的不同之处．2.在运用“不等式性质3”时应注意的问题．本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程．用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段，让学生充分进行了讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握了不等式的性质，这样就有效地突破了本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础．9．1.2不等式的性质(2)1．会根据“不等式性质1”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．2．学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力．重点一元一次不等式的解法．难点不等式性质3在解不等式中的运用．一、创设情境，引入新课小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点．小希家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米．那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？1.若设小希上午x 点从家里出发才能不迟到，则x 应满足怎样的关系式？2.你会解这个不等式吗？请说说解的过程．你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？二、讲授新课 分组探讨：对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思考，然后组内交流，并做记录，最后各组派代表发言．在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出：1．x 应满足的关系式是：x ＋15≤8.2.根据“不等式性质1”，在不等式的两边减去15，得x ＋15－15≤8－15，即x ≤745.3．这个不等式的解集在数轴上表示如下：我们在表示745的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数．三、例题讲解【例1】 利用不等式的性质解下列不等式： (1)x －7＞26； (2)3x ＜2x ＋1； (3)23x ＞50; (4)－4x ＞3. 分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a(a 为常数)的形式．解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以 x －7＋7＞26＋7， x ＞33.(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x ，不等号的方向不变，所以 3x －2x ＜2x ＋1－2x ， x ＜1.(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘32，不等号的方向不变，所以32×23x ＞32×50， x ＞75.(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以 －4x －4＜3－4， x ＜－34.【例2】 解不等式12x －1≤23(2x ＋1)．分析：我们知道，解不等式的依据是不等式的性质，而不等式的性质与等式的性质类似，因此，解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同．解：去分母，得3x －6≤4(2x ＋1)， 去括号，得3x －6≤8x ＋4， 移项，得3x －8x ≤4＋6， 合并，得－5x ≤10， 系数化为1，得x ≥－2. 教师总结：1．一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法在一般步骤上有相同之处，可分为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1(不等式的两边都除以未知数的系数)．不同的是第(5)步，系数是正数，保留原不等号；系数是负数，要把不等号方向改变．解一元一次方程，要用同解变形把原方程变成最简单的一元一次方程x ＝c 的形式．解一元一次不等式，也要通过同样变形，把原不等式变成最简单的一元一次不等式x>c 或x<c 的形式．2.(1)在解方程中易犯的错误，在解不等式中也易犯，要特别注意，如要去分母时，各项都要乘以公分母；加括号与去括号时，要遵循有关法则等．(2)注意当不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号要改变方向．四、巩固练习1．解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x＋5>－1；(2)4x<3x－5；(3)8x－2<7x＋3.2．用不等式表示下列语句并写出解集：(1)x与3的和不小于6；(2)y与1的差不大于0.【答案】1．画数轴略．(1)x>－6 (2)x＜－5 (3)x<52．(1)x＋3≥6，x≥3；(2)y－1≤0，y≤1.五、课堂小结师生共同归纳本节课所学内容：通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法，还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的．本课从发生在学生身边的事情入手，创设问题情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望．以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散思维．让学生在“做数学”的过程中，亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索、合作交流、深入研讨、步步为营的措施，为学生营造了一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟了探究、研讨、解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成为了学习的主人．9．1.2不等式的性质(3)1．使学生熟练掌握一元一次不等式的解法．2．初步认识一元一次不等式的应用价值．重点不等式的运用．难点寻找不等关系．一、创设情境，引入新课 教师出示问题：某地庆典活动需燃放某种礼花弹，为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放前转移到10米以外的地方．已知导火索的燃烧速度为0. 02 m /s ，人离开的速度是4 m /s ，导火索的长x m 应满足怎样的关系式？教师提问：你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程． 在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法． 教师规范地板书解的过程： 解一元一次不等式的步骤：1．去分母；2.去括号；3.移项；4.合并同类项；5.系数化为1. 二、例题讲解【例1】 已知x ＝3－2a 是不等式15(x －3)＜x －35的解，求a 的取值范围．分析：由不等式解的意义，你能知道什么？解：依题意得15[(3－2a)－3]＜(3－2a)－35， 15·(－2a)＜125－2a ， －2a ＜12－10a ， 8a ＜12， ∴a ＜32.【例2】 某长方体形状的容器长5 cm ，宽3 cm ，高10 cm .容器内原有水的高度为3 cm ，现准备向它继续注水．用V(单位：cm 3)表示新注入水的体积，写出V 的取值范围．解：新注入水的体积V 与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即 V ＋3×5×3≤3×5×10， V ≤105.又由于新注入水的体积V 不能是负数，因此，V 的取值范围是 V ≥0并且V ≤105.在数轴上表示V 的取值范围如图所示．三、巩固练习1．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝m ＋1，2x ＋y ＝m －1，当m 为何值时，x ＞y?2.娃哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折，若你是消费者，选哪家商场购买比较合适？【答案】 1．m>4.2．当购买40瓶以上时，去乙商场比较划算；当购买40瓶时，甲、乙两商场都一样；当购买的矿泉水少于40瓶时，去甲商场比较划算．四、课堂小结师生围绕以下几个问题进行小结：1.这节课的主要内容是什么？2.通过学习，你取得了哪些收获？3.还有哪些问题需要注意？通过创设与学生实际生活密切联系的问题情境，并由学生根据自己掌握的知识与经验列出不等式，探究它的解法，激发了学生的学习动力，唤起了他们的求知欲望，促使学生动脑、动手、动口，积极参与了教学的整个过程．在教师的指导下，学生主动地、生动活泼地、富有个性地学习．9．2一元一次不等式(1)1．体会一元一次不等式的形成过程．2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．重点在一元一次不等式建立模型的基础上，理解什么是一元一次不等式．教学的过程中，要让学生通过回顾、观察、思考，归纳出一元一次不等式的概念，并与以前学过的一元一次方程等概念加以比较，进一步加深对这些概念的理解．难点体会不等式的作用，训练解不等式的技能．一、复习引入前面我们已经学习了不等式及其相关概念，下面请同学们完成下面的题目．1.写出下列各不等式的解集．(1)x＋3>6；(2)x＋5≥9；(3)x＋7<15; (4)x－1≤9.2．化简：(1)3x≤4________(不等式性质________)；(2)x－7≥－3________(不等式性质________)．二、讲授新课师：观察下列不等式：x －7>26，3x ＜2x －1，23x>50，－4x>3.它们有哪些共同特征？生：它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1. 师：回答得很好．类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．通过前面的学习，同学们知道不等式x －7>26的解集是多少吗？生：x>33.师：是怎么解的呢？生：这个解集是通过“不等式两边都加7，不等号的方向不变”得到的．这相当于由x －7>26得x>26＋7，这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．师：一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集．【例】 解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)2(1＋x)＜3; (2)2＋x 2≥2x －13.解：(1)去括号，得2＋2x ＜3. 移项，得2x ＜3－2. 合并同类项，得 2x ＜1. 系数化为1，得 x ＜12.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)去分母，得3(2＋x)≥2(2x －1)． 去括号，得6＋3x ≥4x －2. 移项，得3x －4x ≥－2－6. 合并同类项，得 －x ≥－8. 系数化为1，得 x ≤8.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．三、巩固练习解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集． 1．2(1－x)＜x －2. 2．11－3x ≥2(x －2)． 3．x －4≥3(x ＋2)．【答案】 数轴略 1.x ＞432.x ≤33.x ≤－5.四、课堂小结在本节课的教学过程中，让学生通过与一元一次方程的解法进行类比，主动探求一元一次不等式的解法．结合等式与不等式基本性质的差异，找出方程与不等式解法中的不同之处，对于不等式的解有无数多个，学生不易理解，教学中给学生足够的时间进行交流和讨论，帮助学生理解，用数轴表示不等式的解集是数形结合的具体体现．本节课的教学重点是探求一元一次不等式的解法，并能准确地在数轴上表示不等式的解集．在技能形成初期，我让学生按照一般步骤，按照规范的格式做一些规范练习，养成良好的解题习惯，使他们认识到在数轴上表示不等式的解集时，要规范空心点与实心点的使用，理解它们在表示不等式解集时的差别．9．2一元一次不等式(2)1．会从实际问题中抽象出数学模型．2．会用一元一次不等式解决实际问题．重点寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型．难点弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式．一、创设情境，引入新课我们知道，在生产和生活中存在大量的等量关系，与此同时，我们也看到在生产和生活中存在着大量的不等关系，解决这些问题，用不等式比较方便. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你会怎么考虑？如何选择？二、讲授新课1.分组活动．先让学生独立思考，理解题意．再在组内交流，发表自己的观点．最后小组汇报，派代表论述理由．2.在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案：(1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？(3)什么情况下，两个商场收费相同？ 3.我们先来考虑方案(1)：设购买x 台电脑时，到甲商场购买更优惠． 问题1：如何列不等式？ 问题2：如何解这个不等式？在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板书如 下：解：设购买x 台电脑时，到甲商场购买更优惠， 则6000＋6000(1－25%) (x －1)<6000(1－20%)x ，去括号，得6000＋4500x －4500<4800x ， 移项且合并，得－300x<－1500， 不等式两边同除以－300，得x>5.答：购买5台以上的电脑时，甲商场更优惠． 4.让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完 成的情况，教师最后做适当点评． 三、例题讲解 【例1】 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？分析：“明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系，转化为不等式，即明年空气质量良好的天数明年天数＞70%.解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x ，去年有365×60%天空气质量良好，明年有(x ＋365×60%)天空气质良好，并且x ＋365×60%365＞70%.去分母，得x ＋219＞255.5. 移项，合并同类项，得 x ＞36.5. 由x 应为正整数，得 x ≥37.答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.【例2】 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？分析：在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠．因此，我们需要分三种情况讨论：(1)累计购物不超过50元；(2)累计购物超过50元而不超过100元； (3)累计购物超过100元．解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．(2)当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少．(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x(x ＞100)元．①若到甲商场购物花费少，则50＋0.95(x－50)＞100＋0.9(x－100)．解得x＞150.这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少．②若到乙商场购物花费少，则50＋0.95(x－50)＜100＋0.9(x－100)．解得x＜150.这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少．③若50＋0.95(x－50)＝100＋0.9(x－100)．解得x＝150.这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样．四、课堂小结用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样，要将实际问题通过列一元一次不等式转化为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题．本节课通过丰富的实际情境，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，并了解到在解决某些问题时，用不等式较方便．教学中，我利用例题让学生掌握了从实际问题中抽象出数学模型的方法，从而让学生认识到一元一次不等式在实际生活中的应用价值．9．3一元一次不等式组通过比较确定不等式组的解集与确定方程组的解集，抽象出这二者之间的异同，由此理解不等式组的公共解集．重点一元一次不等式组的解集和解法．难点对一元一次不等式组解集的理解．一、创设情境，引入新课小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？在这个问题中，设小宝的体重为x 千克．1.从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？2.你认为怎样求x 的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？ 在讨论或议论中，列出不等式： 2x ＋x<72， 2x ＋x ＋6>72.其中x 同时满足以上两个不等式． 在学生议论的基础上，老师揭示：一个量需要同时满足几个不等式的例子，在现实生活中还有很多． 二、讲授新课 教师出示问题：用每分钟可抽30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水．估计积存的污水超过1200 t 而不足1500 t ，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？设用x min 将污水抽完，则x 同时满足不等式 30x>1200， ① 30x<1500. ②类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．记作⎩⎪⎨⎪⎧30x>1200，30x<1500. 怎样确定不等式组中x 的可取值的范围呢？ 类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x 可以取值的范围．由不等式①，解得 x>40.由不等式②，解得x<50.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中容易看出，x 取值的范围为 40<x<50.这就是说，将污水抽完所用时间多于40 min 而少于50 min . 一元一次不等式组的概念和解集：把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．类比方程组的解，我们把几个不等式的解集的公共部分，叫做不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集．我们还可以利用数轴确定不等式组的解集．1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＞4，x ＞2x ＞42.⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，x ＞2 2＜x ＜43.⎩⎪⎨⎪⎧x ＞4，x ＜2 无解4.⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，x ＜2 x ＜2上面的表示可以用口诀来概括：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小不用找．注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆． 三、例题讲解【例1】 解下列不等式组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞x ＋1，①x ＋8＜4x －1；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥x ＋11，①2x ＋53－1＜2－x.②解：(1)解不等式①，得x ＞2. 解不等式②，得 x ＞3.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集． x ＞3.(2)解不等式①，得 x ≥8. 解不等式②，得 x ＜45.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解． 【例2】 x 取哪些整数值时，不等式 5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是x 可取的整数值．解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1），12x －1≤7－32x ， 得－52＜x ≤4. 所以x 可取的整数值是－2，－1，0，1，2，3，4.四、巩固练习解下列不等式组：1.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），x －12＜x 3； 2.⎩⎪⎨⎪⎧2x －7＜3（1－x ），43x ＋3≤1－23x ；3.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3＞8x －2，x －12＞2x －33. 【答案】1．不等式2x ＋5≤3(x ＋2)的解集为x ≥－1，不等式x －12＜x 3的解集为x ＜3， 故不等式组的解集为－1≤x ＜3.2．不等式2x －7＜3(1－x)的解集为x ＜2，不等式43x ＋3≤1－23x 的解集为x ≤－1， 故不等式组的公共解集为x ≤－1.3．不等式5x ＋3＞8x －2的解集为x ＜53， 不等式x －12＞2x －33的解集为x ＜3， 故不等式组的公共解集为x ＜53. 五、课堂小结学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要，也是现实生活的需要．学习不等式组时，我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念．求不等式组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在有用，今后我们还会有更深刻的体验．本节课的设计以实际问题建立数学模型，通过数学问题引导学生找出解决问题的思路．在这一过程主线下，辅以类比、探索、概括的学习方法，合理设计问题，安排讨论的最佳契机，及时揭示出数学本质，引发数学思考，让学生在自主探索中学得自然、学得真切、学得主动、学得有效．。
人教版数学七年级下册第9章不等式与不等式组教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解不等式的定义，掌握不等式的性质，能够运用不等式解决实际问题。
2.学会解一元一次不等式，包括移项、合并同类项、系数化等方法，并能够解决实际问题。
3.理解不等式组的定义，掌握解不等式组的方法，能够解决实际问题。
4.能够运用数轴表示不等式的解集，理解区间表示方法。
（3）采用讲练结合法，让学生在练习中掌握解不等式的方法，提高解题能力。
（4）小组合作学习，培养学生协作解决问题的能力，提高课堂互动性。
2.教学过程：
（1）导入：以实际情境导入，提出问题，引导学生思考，激发学习兴趣。
（2）新知：讲解不等式的性质，引导学生通过实例发现性质，加强理解。
（3）例题：讲解一元一次不等式的解法，通过典型例题，让学生掌握解题方法。
5.引导学生运用数轴表示不等式的解集，培养学生直观想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学学习的积极态度，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
2.引导学生认识到不等式在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的积极性。
3.培养学生勇于探索、克服困难的精神，让学生在解决不等式问题的过程中，体验到成功的喜悦。
5.部分学生对数学学习存在恐惧心理，需要教师关注学生的情感需求，鼓励学生积极参与课堂，增强自信心。
在教学过程中，教师应充分了解学生的实际情况，针对不同层次的学生进行差异化教学，关注学生的个体发展，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握不等式的性质，能够熟练运用性质解决实际问题。
3.拓展题：针对不等式组的内容，设计2-3道拓展题，要求学生运用所学知识解决问题，培养学生的综合应用能力。
(完整版)人教版七年级数学(下册)第九章-不等式和不等式组教案
第九章《不等式与不等式组》章节计划教材分析：第一本章主要内容包括：不等式的有关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的相关概念及其解法，利用一元一次不等式（组）分析与解决实际问题。
其中，以一元一次不等式（组）为工具分析解决实际问题是全章的重点，同时也是难点。
第二本章的编写思路第8章“二元一次方程组有大致相同。
类似于方程是解决具有相等关系的实际问题的数学模型一样，不等式（组）是解决具有不等关系的实际问题的数学模型。
本章也都是从丰富的实际问题出发，在分析解决实际问题的过程中，认识不等式（组）（主要是一元一次不等式（组）），学习解一元一次不等式（组）的方法。
这样的一种编排，就将利用一元一次不等式（组）分析解决实际问题贯穿于全章始终，突出重点，强调不等式（组）是解决实际问题的一种有效的数学模型。
第三本章首先从一个行程问题出发，通过分析问题中的不等关系列出不等式，由此引出不等式的概念，然后通过讨论满足不等式成立的x的取值，给出不等式的解集以及一元一次不等式的概念；接下去采用与等式的性质相类比的方式讨论了不等式的3条性质，这就为求出一元一次不等式的解集提供了依据；为了更好地体现不等式是解决实际问题的有效工具。
第四教课书安排了一节“实际问题与一元一次不等式”，探讨了商场购物、空气质量、知识竞赛等情景中的一些具有不等关系的问题，利用一元一次不等式解决这些实际问题，这里列出的不等式比以前见过的复杂，有需要去括号的，有需要去分母的等，这样就结合实际问题，在分析解决实际问题的过程中进一步学习一元一次不等式（组）的解法，最后类比一元一次方程的解法，归纳出求一元一次不等式解集的基本过程。
这样就将有关一元一次不等式的概念和解法融入到分析解决实际问题的过程中。
二元一次不等式组也是采用了这种方式进行编排。
第五本章内容主要是不等式的概念和一元一次不等式的解法，教学重点是不等式（组）的解法和用一元一次不等式解决实际问题。
通过本章学习，不仅使学生学会解一元一次不等式（组）的方法，更使学生体会不等式是解决实际问题的有效的数学模型不等式与不等式组课程标准（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。
新人教版七年级数学第九章不等式与不等式组教案文档
第九章不等式与不等式组单元总体分析一、教学内容：不等式的知识是初中阶段在一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，进一步探究现实世界数量关系的重要内容．数量之间除了有相等关系外，还有大小不等的关系．正如方程与方程组是讨论等量关系的有力数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有力数学工具．应用不等式的基本性质解一元一次不等式，是一项基本技能，也是学生以后学习一元二次方程、函数以及进一步学习不等式知识的基础。
教材注重了一元一次不等式（组）的解法与一元一次不等式（组）在实际问题中的应用的有机结合，让学生经历和体会“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中解释和检验”的过程。
二、教学目标1、知识与技能：①了解一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系”，体会不等式（组）是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型．②通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法．③了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为的形式），熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴涵的化归思想．④了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．2、过程与方法：使学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。
3、情感、态度与价值观：（1）体会数学与现实生活的联系，增强克服勇气和信心；（2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；（3）使学生进一步形成数学来源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点。
三、重点难点重点：了解一元一次不等式及其相关概念；掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集；了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．难点：列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系。
七年级数学下册第九章不等式与不等式组教案(7套)(新版)新人教版
第九章不等式与不等式组9.1不等式9.1.1不等式及其解集【教学目标】知识与技能1.能感受到生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式和意义；2.会寻找不等式的解，会在数轴上正确地表示出不等式的解集；3.能够根据题意准确迅速地列出相应的不等式。
过程与方法通过汽车行驶过A地这一实例的研究，使学生体会到数学来源于生活，又服务于生活，培养学生“学数学、用数学”的意识；情感、态度与价值观培养学生类比的思想方法、数形结合的思想。
【教学重难点】重点:1.不等式、一元一次不等式、不等式解与解集的意义；2.在数轴上正确地表示出不等式的解集；难点:不等式解集的意义，根据题意列出相应的不等式。
【导学过程】【情境引入】引例：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离Ａ地50千米，要在12：00之前驶过Ａ地，车速应满足什么条件？设车速是x千米/小时，(1)从时间上看，汽车要在12：00之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到小时，即＜①(2) 从路程上看，汽车要在12：00之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶小时的路程要超过50千米，即ｘ＞50 ②【新知探究】探究一、不等式、一元一次不等式的概念1.不等式请同学们观察上面的两个式子,式子左右两边的大小关系是怎样的? 左右两边相等吗?不等式：像上面的这些式子，用符号“”，“”，“”“”或“”表示不等关系的式子叫做不等式用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子叫做不等式;2.练习判断下列式子中哪些是不等式，是不等式的请在题后的括号内划“√”，不是的请划“×”(1)3＞ 2 ( ）(2)2a+1＞0 ( ）(3)a ＋b＝b＋a （）(4)x＜2x+1 （）(5)x＝2x-5 （）(6)2x+4x＜3x+1 （）(7)15≠7＋9 （）上面的不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数，大家把(2)、(4)、(6)式与(5)式类比，(5)式是一个一元一次方程，能不能给(2)、(4)、(6)式也起个名字呢?3. 一元一次不等式不等式：像上面的这些式子，用符号“”，“”，“”“”或“”表示不等关系的式子叫做不等式。
最新人教版七年级数学下册 第九章 《不等式与不等式组》教案
本章复习整体设计教材分析本章所学知识是在学生学习了一元一次方程和二元一次方程组的基础上研究简单的不等关系．首先通过具体实例建立不等式，探索不等式的性质，了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、解集在数轴上的表示、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及其简单应用．通过探究这些问题，可以进一步提高学生的类比能力，逐步渗透数学建模思想，初步体会方程与不等式的内在联系与区别．本章重点、难点是一元一次不等式及一元一次不等式组的解法．在本章的复习中，主要从两方面进行：一是帮助学生理清本章知识结构，通过引导师生共同梳理知识，建构知识框架；二是掌握一元一次不等式组的解法以及解决实际问题的数学建模训练．课时分配1课时教学目标1．归纳本章学过的知识，使学生系统地理解本章有关概念；正确掌握不等式的性质；熟练地解一元一次不等式和一元一次不等式组及它们的应用；2．通过回顾与总结，培养并提高学生归纳、对比及分析问题和解决问题的能力．教学重难点教学重点：不等式的性质及解一元一次不等式(组)．教学难点：本章知识结构与框架的建立．教学方法设计典型例题，利用问题展开探索、交流．在学生掌握基本内容的基础上，教师引导学生进一步提炼、构建知识体系，科学地进行小结与归纳．在此基础上，通过学生尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握得更灵活．教学过程一、熟悉知识体系设计说明通过引领学生回忆本章的知识要点，形成知识框架，让学生对本章知识有一个整体的把握，同时了解各知识之间的内在联系．二、知识要点回顾(一)基础知识设计说明以填空的形式引导学生回忆全章的有关知识，使学生掌握的知识更加深刻、系统．1．不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子也是不等式；使不等式成立的__________叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式的__________，组成这个不等式的解集；求__________的过程叫做解不等式．2．不等式的性质性质1：不等式两边加(或减)__________，不等号的方向__________；性质2：不等式两边乘(或除以)__________，不等号的方向__________；性质3：不等式两边乘(或除以)__________，不等号的方向__________．3．一元一次不等式只含有__________，并且未知数的最高次数是__________，这样的不等式叫做一元一次不等式．4．解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程相类似，基本步骤是：____________________，特别注意：当系数化为1时，不等式两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向__________．5．不等式解法与方程解法的对比从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的．在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程的解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出，若用不等式的三条性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集．例如：解下列方程和不等式：2＋x 2＝2x －13＋1； 2＋x 2≥2x －13＋1. 解：3(2＋x )＝2(2x －1)＋6 1.去分母： 解：3(2＋x )≥2(2x －1)＋6，6＋3x ＝4x －2＋6 2.去括号： 6＋3x ≥4x －2＋6 3x －4x ＝－2＋6－6 3.移项： 3x －4x ≥－2＋6－6－x ＝－2 4.合并同类项： －x ≥－2x ＝2 5.系数化为1: x ≤2∴x ＝2是原方程的解. ∴x ≤2是原不等式的解集． 方程的解在数轴上的表示 不等式的解集在数轴上的表示点评：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向．6．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各不等式的解集的__________叫做这个不等式组的解集．7．解一元一次不等式组的步骤(1)求出不等式组中每个不等式的解集；(2)借助数轴找出各解集的公共部分；(3)写出不等式组的解集．求公共部分的规律：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解．例 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>x ＋1， ①x ＋8<4x －1. ②解：解不等式①，得x ＞2，解不等式②，得x ＞3.在数轴上表示不等式①②的解集所以这个不等式组的解集是x ＞3.8．列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤(1)审题；(2)__________；(3)根据不等关系列不等式组；(4)__________；(5)检验并作答．以上填空题答案省略．教学说明在教学过程中，借助前面的知识框架，以提问的方式引导学生回顾以上知识点，有些知识点要借助具体问题帮助学生回忆，如一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法等．由于学生有的知识遗忘了，有的知识不能很好地用数学语言表达，教师应有充分的耐心听学生说完，并注意及时规范学生的不准确的表述．通过以上复习，使学生把全章知识串起来，使全章知识系统化、条理化、全面化．(二)例题精讲例1 解不等式：x ＋3(x ＋1)8＞1－x －52. 思考：(1)不等式的性质3你知道吗？(2)解一元一次不等式通常有哪几个步骤？(3)在去分母时，通常应注意哪两点？解：去分母，得8x ＋3(x ＋1)＞8－4(x －5)，去括号，得8x ＋3x ＋3＞8－4x ＋20，移项，得8x ＋3x ＋4x ＞8＋20－3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1，得x ＞53. 在解不等式的过程中，去分母时，不能漏乘每一项，并且要注意添括号、去括号及移项的过程中，要注意符号的变化，尤其系数化为1时，系数若为负数，一定要注意不等号方向的变化．只要抓住这几点，解一元一次不等式的知识便可掌握．例2 当x 为何值时，代数式2x ＋13－1的值不小于3＋5x 4的值？ 思考：(1)“不小于”怎样用数学符号表示？“不大于”呢？(2)解此类问题首先应干什么？解：依题意，得2x ＋13－1≥3＋5x 4， ∴4(2x ＋1)－12≥3(3＋5x )．8x －15x ≥9＋12－4，－7x ≥17，∴x ≤－177. ∴当x ≤－177时，代数式2x ＋13－1的值不小于3＋5x 4的值． 例3 x 取哪些正整数时，代数式3－x －14的值不小于代数式3(x ＋2)8的值？ 解：依题意，得3－x －14≥3(x ＋2)8. 去分母，得24－2(x －1)≥3(x ＋2)，去括号，得24－2x ＋2≥3x ＋6，移项，得－2x －3x ≥6－24－2，合并同类项，得－5x ≥－20，系数化为1，得x ≤4，x ≤4的正整数解为x ＝1,2,3,4.答：当x 取1,2,3,4时，代数式3－x －14的值不小于代数式3(x ＋2)8的值． 点评：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解．例4 已知不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7的最小整数解为方程2x －ax ＝3的解．求代数式4a －14a的值．思路分析：本例是一道不等式、方程、求代数式的值交融于一体的综合题，必须各个击破，一个问题一个问题的解决，便可攻破，这也是解综合题的常用方法．解：5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7，5x －10＋8＜6x －6＋7，5x －6x ＜－6＋7＋10－8，－x ＜3，∴x ＞－3.∴此不等式的最小整数解为x ＝－2.∵x ＝－2为方程2x －ax ＝3的解，∴2×(－2)－a ·(－2)＝3.∴a ＝72. 当a ＝72时，4a －14a ＝4×72－1472＝14－4＝10. 例5 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －32＋3≥x ＋1，①1－3(x －1)<8－x ，②并写出该不等式组的整数解．解：解不等式①，得x ≤1，解不等式②，得x ＞－2，所以不等式组的解集为－2＜x ≤1.因为x 取整数，所以x ＝－1,0,1.所以不等式组的整数解为－1,0,1.例6 工程队原计划6天内完成300土方的工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？思考：(1)列一元一次方程解应用题有哪些步骤？(2)如何依题意找相等关系？(3)如何根据题意找不等关系来解决一元一次不等式应用题？解：设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得60＋(6－1－2)x ≥300，解之，得x ≥80.答：每天平均至少要完成80土方．例7 一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一人能分到玩具，但分到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数．分析：由于最后一人能分到玩具，但分到的玩具数不足2件，所以该问题应该是建立不等式模型来解决．解：若设有x 个小朋友，则玩具有(2x ＋3)件，分到3件玩具的小朋友有(x －1)个，另一个小朋友分到玩具，但分到的玩具数不足2件，这样我们就可以得到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ (2x ＋3)－3(x －1)>0，(2x ＋3)－3(x －1)<2，解不等式，得4＜x ＜6， 因为x 取整数，所以x ＝5.所以玩具有2×5＋3＝13(件)．三、巩固训练，熟练技能1．不等式－x ＞－2的解集是( )．A ．x ＞2B ．x ＞－2C ．x ＜2D ．x ＜－22．不等式2x －7＜5－2x 的正整数解有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2<0，x ≥1的解集为( )． A ．1≤x ＜2 B ．x ≥1 C ．x ＜2 D ．无解4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ≤6，x ＋1>0的整数解是__________．5．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3(x －1)≤7，1－2－5x 3<x .6．m 取何值时，关于x 的方程x 6－6m －13＝x －5m －12的解大于1? 7．某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．(1)设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校求出所有可能的租车方案；(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2 000元、1 800元，请你选择最省钱的一种租车方案．答案：1.C 2.B 3.A 4.0,1,2 5.－2≤x ＜－12. 6．解关于x 的方程，得x ＝3m －15，由于方程的解大于1，所以3m －15＞1. 解得m ＞2.7．解：(1)设租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8－x )辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋30(8－x )≥290，10x ＋20(8－x )≥100，解得5≤x ≤6. 即共有两种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．(2)第一种租车方案的费用为5×2 000＋3×1 800＝15 400(元)；第二种租车方案的费用为6×2 000＋2×1 800＝15 600(元)．所以第一种租车方案更省钱．教学说明这一环节是为了评价本节课的教学效果，检验教学目标的达成情况，教师可根据学生反馈的具体情况作适当的评价与弥补，从而达到巩固提高的目的．四、总结反思，情意发展设计说明围绕下面四个问题，师生共同总结本节课的学习收获．1．哪些本已遗忘的知识得到巩固？2．哪些知识有新的认识？3．本章主要蕴涵了哪种数学思想？4．结合你自己的复习情况，谈谈你还有什么疑问？教学说明通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生相信自己在今后的学习中会不断进步，同时促使学生形成良好的反思习惯．五、课堂小结1．本节重点复习归纳了本章的基础知识，提高了学生各知识点的综合应用能力．2．用到的主要思想方法是数形结合思想、类比思想、模型化思想．通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想；通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想；通过实际问题的应用，进一步领会模型化思想．3．注意的问题：复习时将平时易错的知识点、感到疑难的问题做重点处理，不留尾巴．六、布置作业课本复习题9 第7,8题．七、拓展练习1．关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是( )．A ．0B ．－3C ．－2D ．－12．已知一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x <b (a ≠b )的解集为x ＜a ，则( )． A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＞b ＞0 D ．a ＜b ＜03．一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，x >b 的解集是x ＞a ，则a 与b 的关系为( )． A ．a ≥b B ．a ≤b C ．a ≥b ＞0 D ．a ≤b ＜04．不等式－0.5y ＋1≥0的正整数解有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >－3，x －1≤8－2x 的最小整数解为( )．A ．－1B ．0C ．2D ．36．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4≤0，12x ＋2>0的整数解为__________．7．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≥0，3－2x >－1的整数解有5个，求a 的取值范围．8．某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1 500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．(1)请写出制作纪念册的册数与甲公司的收费的关系式；(2)请写出制作纪念册的册数与乙公司的收费的关系式；(3)如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？答案：1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.－3，－27．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≥0，3－2x >－1可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x <2， 由于它有解集，所以解集为a ≤x ＜2，它的解集中包含五个整数，这五个整数依次为1,0，－1，－2，－3，反映在数轴上，a 只需－4＜a ≤－3.点评：要求不等式组的解集符合一些条件，先找到这个解集，然后把它描述在数轴上，结合条件得到结论．8．解：设学校准备制作x 册纪念册，则甲公司收费y 甲元，乙公司收费y 乙元，则(1)y 甲＝5x ＋1 500；(2)y 乙＝8x .(3)若两家收费相同时，5x ＋1 500＝8x ，解得x ＝500；若甲家收费较少时，即5x ＋1 500＜8x ，解得x ＞500；若乙家收费较少时，即5x ＋1 500＞8x ，解得x ＜500.所以，当x ＝500时，选择甲、乙两家都一样；当x ＞500时，选择甲公司；当x ＜500时，选择乙公司．评价与反思 本节复习是以“问题串”的形式引导学生回顾梳理主要知识点，构建知识体系——通过典型例题探究加深对主要思想方法的理解，掌握常用的解题方法．在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系．借助典型例题重点强化利用一元一次不等式(组)进行计算，训练学生解不等式(组)及利用不等式(组)解决问题的技能，从而提高他们运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．。
第九章不等式与不等式组教案(人教版初一下)
第九章不等式与不等式组教案（人教版初一下）第一节、知识梳理一、学习目标1. 把握不等式及其解〔解集〕的概念，明白得不等式的意义.2. 明白得不等式的性质并会用不等式差不多性质解简单的不等式.3. 会用数轴表示出不等式的解集.二、知识概要1. 不等式：一样地，用不等号”〉"、”v"表示不等关系的式子叫做不等式2. 不等式的解：一样地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解3. 不等式的解集：一个不等式的所有解，组成那个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集.4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式.5. 不等式的性质：性质一：不等式的两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.性质二：不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变.性质三：不等式的两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号方向改变.6. 三角形中任意两边之差小于第三边.三、重点难点重点是不等式的差不多性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的明白得.四、知识链接本周知识由往常学过的比较大小拓展而来，又为解决实际咨询题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础.五、中考视点不等式也是经常考到的内容，经常显现在选择题、填空题中，以解不等式为主. 有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范畴等.第二节、教材解读1. 常用的不等号有哪些？常用的不等号有五种，其读法和意义是：〔1〕”工"读作”不等于"，它讲明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小〔2〕”>"读作”大于'’，表示其左边的量比右边的量大〔3〕”v"读作”小于'’，表示其左边的量比右边的量小〔4〕”》"读作”大于或等于"，即”不小于"，表示左边的量不小于右边的量〔5〕y"读作”小于或等于"，即”不大于'’，表示左边的量不大于右边的量2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？〔1〕找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示〔2〕正确明白得题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义〔3〕选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来依照以下关系列不等式：a的2倍与b的亍的和不大于3.前者用代数式表示是2a+丁 b. ”不大于"确实是”小于或等于".列不等式为：2a+〒b w 3.3. 用数轴表示不等式注意什么？用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向•假设边界点在范畴内那么用实心点表示，假设边界点不在范畴内，那么用空心圆圈表示；方向是关于边界点而言，大于向右画，而小于那么向左画在同一个数轴上表示以下两个不等式：x>-3 ; x w 2.V J 」O L 2 3第三节、错题剖析一、去括号时，错用乘法分配律【例1】解不等式3x+2〔2-4x〕<19.错解：去括号，得3x+4-4x<19，解得x>-15.诊断：错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解：去括号，得3x+4-8x<19 ,-5x<15，因此x>-3.二、去括号时，忽视括号前的负号5x-3 〔2x-1〕>-6.错解：去括号，得5x-6x-3>-6，解得x<3.诊断：去括号时，当括号前面是”-〃时，去掉括号和前面的”-〃，括号内的各项都要改变符号•错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号•正解：去括号，得5x-6x+3>-6 ，因此-x>-9，因此x<9.三、移项时，不改变符号【例3】解不等式4x-5<2x-9.错解：移项，得4x+2x<-9-5 ，即6x<-14，因此弓诊断：一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了这一点.正解：移项，得4x-2x<-9+5 ，解得2x<-4，因此x<-2.四、去分母时，忽视分数线的括号作用【例4】解不等式错解：去分母，得6x-2x-5>14，解得4诊断：去分母时，假如分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时, 忽视了分数线的括号作用.正解：去分母，得6x- 〔2x-5〕>14，去括号，得6x-2x+5>14，解得儿【例5】解不等式3x —6 v 1+7x.错解：移项，得3x —7x v 1+6,即一4x v 7,因此诊断：将不等式一4x v 7的系数化为1时，不等式两边同除以一4后，依照不等式的差不多性质: 不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解正解：移项，得3x—7x<1+6，即—4x V 7，因此x > ■'【例6】x2与a的和不是正数用不等式表示.错解及分析：x 2+a<0.对”不是正数"明白得不清.x2与a的和是0或负数.正解：x2+a w 0.【例7】求不等式2 的非负整数解.—错解及分析：整理得，3x w 16，因此3故其非负整数解是1，2，3，4，5.本例的解题过程没有错误，错在对”非负整数'‘的明白得正解：整理得，3x< 16，因此故其非负整数解是0，1，2，3，4，5.【例8】解不等式3-5〔=x-2〕-4〔-1+5x〕<0.错解及分析：去括号，得3-x-2-4+5x<0，即4x<3，因此4此题一是去括号后各项没有改变符号；二是一个数乘以一个多项式时应该把那个数和多项式的每一项相乘.正解：去括号得3-x+10+4-20x<0，即-21x<-17，因此21【例9】解不等式7x-6<4x-9.错解及分析：移项，得7x+4x<-9-6 ，即11x<-15，因此LL '一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样，都要改变符号正解：移项，得7x-4x<-9+6 ，即3x<-3，因此x<-1.错解及分析：去分母，得3+2〔2-3x〕w 5〔1+x〕即11x>2,因此_'I |错误的缘故是在去分母时漏乘了不含分母的一项”3".正解：去分母，得30+2〔2-3x〕w 5〔1+x〕.即11x> 29,因此M【例11】解不等式6x-6W 1+7x.错解及分析：移项，得6x-7x w 1+6.即-x< 7,因此x<-7.将不等式-X W7的系数化为1时，不等式两边同除以-1，不等号没有改变方向，因此造成了错解正解：移项，得6x-7x<1+6.即-x< 7,因此x>-7.【例12】解关于x的不等式m〔x-2〕>x-2.错解：化简，得〔m-1〕x>2〔m-1〕，因此x>2.诊断：错解默认为m-1>0，实际上m-1还可能小于或等于0.正解：化简，得〔m-1〕x>2〔m-1〕，①当m-1>0 时，x>2;②当m-1<0 时，x<2;③当m-1=0时，无解.【例13】解不等式〔a —1〕x > 3.3错解：系数化为1,得X>4l .诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直截了当在不等式两边同时除以那个系数，应该分类讨论正解：①当a— 1 > 0时，x > ：I ；②当a= 1时，O X x> 3，不等式无解；③当a—1v 0 时，x v 口-1 .J【例14】不等式组12工-1<0的解集为错解：两个不等式相加，得x-1 v 0,因此x v 1.求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分确实是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解正解：解不等式组，得 2 .在同一条数轴上表示出它们的解集，如图,因此不等式组的解集为:［例15】解不等式组1儀+2心-£错解：因为5x-3 > 4x+2，且4x+2 > 3x-2 ,因此5x-3 > 3x-2.移项，得5x-3x > -2+3.解得x >L I.诊断：上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们能够在x>T的条件下，任取一个x的值,看是否满足不等式组•如取x = 1,将它代入5x-3 > 4x+2，得2 > 6〔不成立〕.可知x>—不是原方程组的解集，其造成错误的缘故是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集正解：由5x-3 >4x+2，得x> 5.由4x+2> 3x-2，得x>— 4.综合x>5和x>—4，得原不等式组的解集为x>5.【例16】解不等式组5—49错解：由不等式2x+ 3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.因此原不等式组的解集为2>x>3.诊断：由不等式性质可得，2>3,这是不可能的.正解：由不等式2x+ 3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.因此原不等式组无解.错解：去分母，得 3 —4x —1>9x.移项，得—4x —9x> 1 —3合并，得—13x>—2系数化为1,得.诊断：此题忽视了分数线的双重作用，去分母时，假设分子为多项式，应对其加上括号•正解：去分母，得3-〔4x —1〕> 9x去括号，得3 —4x+1 > 9x.移项，得一4x —9x>-1 —3合并，得—13x >—4系数化为1,得I」【例18】假设不等式组^ 的解集为x>2，那么a的取值范畴是〔〕.A. a<2B. a <2C. a>2D. a >2s错解及分析：原不等式组可分为爼=6得a<2,应选A.x>2 f当a=2时，原不等式组变为厶解集也为x>2.正解：应为a< 2 ,应选B.2T<7+X ■）①【例19】解不等式组殳C.②错解：②—①，得不等式组的解集为x<-13.诊断：错解中把方程组的解法套用到不等式组中正解：由不等式2x<7+x得到x<7.由不等式3x<x-6得到x<-3.因此原不等式组的解集为x<-3.第四节、思维点拨一、巧用乘法【例1】解不等式0.125x V 3.【摸索与分析】此不等式是一元一次不等式的一样形式，只需不等式两边同时除以0.125，就能够化系数为” T,然而较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷.解：两边同乘以8,得x v 24.、巧去分母【例2】解不等式【摸索与分析】常规方法是先去分母，但认真观看就会发觉，可先进行移项【例2】解不等式移项，合并同类项，得6x w -6两边同时除以6得 x < -1.三、依照条件取专门值° -4-3-2-1 0 1合并同类项，得x > -1.2?t+l _喑-2小0.25fl 25 J【摸索与分析】 常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数•但我们会注意到” 0.25 X 4 = 1, 0.5 X 2= 1”，那么利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以 4,第二项分子、分母同乘以2,如此就能够化去分母同时系数为整数解：利用分数的性质〔即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2〕，得 8X+4-2〔x — 2〕W 2,去括号，得 8x+4-2x+4W 2, ■号,【例4】 设a 、b 是不相等的任意正数,，那么x 、y 这两个数- —定是都不大于2 都不小于2 至少有一个大于2 至少有一个小于 2【摸索与分析】 不妨取a = 1,b = 3,得x = 10, y = J从而排除 A 、B ,再取 a = 3, b = 4，得，从而排除D,应选C.答案：C.【反思】用专门值法解选择题时，假如所取的专门值使部分选项取得相同的结果，那么应另选专门值再验，直至选出答案.四、依照数轴取专门值【例5】不等式组的解集在数轴上表示出来是如以下图中的〔解：移项，得 23-- ― -- >【例3】解不等式【摸索与分析】此题的常规方法是先解不等式组，然后再对比各选项选出正确答案，由于如此做要解不等式组，比较苦恼•认真观看各选项中的数轴，有两个专门数2，-1，不妨先取x = 2，代入临-I魯知常-I冶烁T之时T “2 2 不成立，故可排除A B.再取x = 0，代入丁~ 不成立，又可排除C,从而选D,如此做不仅节约了时刻，而且又减少了出错的机会.答案：D.【反思】用专门值法解选择题时，要综合运用验证法，排除法等技巧，快速选出正确答案.比较两个数或两个代数式的大小，能够运用求差法：假如a—b>0，那么a>b;假如a —b<0,那么a<b.运用求差法比较大小的一样步骤是：〔1〕作差；〔2〕判定差的符号；〔3〕确定大小.【例6】设x>y，试比较代数式-〔8-10x丨与—〔8-10y〕的大小，假如较大的代数式为正数，那么其中最小的正整数x或y的值是多少？【摸索与分析】依照求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再依照条件x>y，来判定那个差的符号，从而比较两个代数式的大小解：由两式作差得-〔8-10x 丨一［—〔8-10y 丨］=-8+10x+8-10y = 10x-10y.因为x>y，因此10x>10y，即10x-10y>0.因此-〔8-10x〕>—〔8-10y〕.又由题意得-〔8-10x〕>0,即x>3"，因此x最小的正整数值为1.【例7】有一个三口之家预备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：假设父母各买一张全票那么小孩能够按全票的七折购票；而光明旅行社那么规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80% 收费.假设两家旅行社的票价相同，那么实际哪家收费较低呢？【摸索与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们能够先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后依照求差法的步骤，求出两个式子的差，再依照条件判定那个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a+ 70%a= 2.7a ,光明旅行社的收费为3a x 80%= 2.4a.因为 2.7a — 2.4a = 0.3a>0 ,因此实际上光明旅行社的收费较低.【反思】在解题时我们什么缘故设这两家旅行社全票的价格为a元呢？因为假如不设的话，我们即使明白用求差法比较大小，也无从下手五、巧去括号【例8】【摸索与分析】观看题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，如此会使运算简便解：去中括号，得'去分母，得3x+60 v 28+8x，移项，合并同类项，得-5x V -32 ,化系数为I「得怎碍【例2】解不筹式：2呼讥討一圭山訴一【摸索与分析】观看题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便解：去小括号，得鬲二討丄]耳4,即3 3 5 4再去中括号「得去分曰•得&0x+24^ I 5% F移项「合并同类项「得血A24一北济数为1「得心-菩□J六、巧用”整体思想〃【例9】解不等式：2x-l-[3（2x-l）-b3]<|-.【摸索与分析】观看题目中括号内外可知都有相同的项：2x-1，我们把2x —1视为整体，再去中括号和分母，那么可使运算简捷.解：3〔2x-1〕-9〔2x-1〕-9 v 5.合并同类项得-6X〔2x-1〕V 14.反思：我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观看题目的特点，巧去括号可使运算简便•【例10】在欧洲足球锦标赛中，共有16支队伍参加竞赛，争夺象征欧洲足球最高荣誉的”德劳内杯" .16支队伍被分成4个小组，进行单循环赛〔即每个队需同其他三个队各赛一场〕，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分，才能确保出线？【摸索与分析】依照题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们能够分几种情形来讨论出线积分的多少.〔1〕假设某一队三战全胜积9分，那么同组的另一小队需保证小组第二才有出线的期望，在剩下的两场竞赛中，它有六种可能：两场全胜积6分，一胜一平积4分，一胜一负积3分，两平积2分，一平一负积1分，两负积0分•〔三场竞赛，确信有一场负〕因此，在这种情形中，至少积6分才能确保出线；〔2〕假设某一队三战两胜一平积7分，那么小组第二至少要两胜积6分才能出线；〔3〕假设某一队三战两胜一负积6分，那么其他两个队也可能三战两胜一负积6分，如此三队同积6分，不能确保小组出线•由以上摸索讨论可知，在小组赛中，积分可能显现三个队积分相同，为了确保出线，至少需积7分，才能保证以小组第二的身份出线.解：需7分.【小结】通过解题过程我们明白做这类题的时候要注意：在足球竞赛中，一样按积分多少排名次；积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；积分、净胜球数都相等的球队，进球数多的队名次在前；分析有关足球竞赛的咨询题时，不能单纯的利用不等关系判定，还要注意到相互之间的胜负关系第五节、竞赛数学【例1】满足：「' 的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于.【摸索与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.解：原不等式去分母，得3〔2 + x〕》2〔2x —1〕，去括号，移项，合并同类项，得—x>—8, 即卩x w8.满足x<8且绝对值不超过11的整数有0, 土 1 ,± 2,± 3,± 4,± 5,± 6,± 7,± 8,—9,—10, —11.这些整数的和为〔一9〕+〔一10〕+〔一11〕= —30.【例2】假如关于x的一元一次方程3〔x+ 4〕= 2a+ 5的解大于关于x的方程—5 》—的解，那么〔〕•A. €>2艮心<2匚* 18【摸索与分析】这道题把方程咨询题转化为解不等式咨询题，利用了转化的数学思想.由于第个方程的解大于第二个方程的解， 只要先分不解出关于 x 的两个方程的解〔两个解差不多上关于 a 的式子〕， 再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就能够求出咨询题的答案_勿-7解：关于x 的方程3〔x + 4〕= 2a + 5的解为”：丄^2【例3】 假如爭 7肛，2+c>2，那么〔答案.因此a<0.由2+c>2，得c>0,那么有一c<c. 两边都加上a ,得a-c<a+c ，排除A ;由 a<0, c>0,得 ac<0, - ac>0,从而 ac<-ac ，排除 C ; 由a<0，两边都加上 2a ,得3a<2a ，排除D.答案应该选B,事实上，由a<0,得—a>0,从而—a>a ，两边同时加上 c ,可得c — a>c + a.5【例4】 四个连续整数的和为 S , S 满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于 __________________________ .【摸索与分析】 由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就能够求出•解： 设四个连续整数为 m-1, m m+1, m+2它们的和为 S = 4m + 2.解得7<m<9.由于m 为整数，因此 m= 8,那么四个连续整数为7 , 8 , 9 ,10 ,因此最大数与最小数的平方的差2 2为 10 — 7 = 51.从数轴上看，一个数的绝对值确实是表示那个数的点离开原点的距离•但除零以外，绝对值差不多上 表示两个数的绝对值，即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于那个性质，含有绝对值号的不等式的 求解过程显现了一些C. ac>-acD. 3a>2a【摸索与分析】两个不等式分不是关于 a 和c 的不等式，求得它们的解集后，便能够找到正确的A. a-c>a+cB. c-a>c+a产旳得心警<19 ,新特点.A. 1 , 2B.1 , 2, 3C. 1 , 2, 0D. 1 , 2 , 3 , 0一个实数a 的绝对值记作I a I,指的是由a 所惟一确定的非负实数：当时；1^1= C r 当 50 时；-Or 当Q 如时. 含绝对值的不等式的性质： 〔1〕 I a I>I b I —b w |a| 或 b > -|a| ,I a IwI b I 一• I b Iw a wI b I ；〔2〕 I a I - I b IwI a+b IwII a I + I b I; 〔3〕 I a I- I b IwI a-b IwI a I + I b I .由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算•通常的手法是按照绝对值符号内 的代数式取值的正、负情形，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号 的不等式的求解，常用分类讨论法•在进行分类讨论时，要注意所划分的类不之间应该不重、不漏•下面 结合例题予以分析.【例5】解不等式丨x-5 | - | 2x+3 |< 1.【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论： 2 ' 2解：〔1〕当当x w 2时，原不等式化为-〔x-5丨-:-〔2x+3〕< 1,ra解得x<-7，结合x w ■，故x<-7是原不等式的解； 〔2〕当I 匕<x w5时，原不等式化为 -〔x-5〕-〔 2x+3〕< 1,条冷-r 结合◎理行故£炊理5解得 3丄3是原不等式的解；〔3〕当x > 5时，原不等式化为： x-5-〔 2x+3〕< 1,解得x >-9，结合x > 5,故x > 5是原不等式的解.年叱一7动I 富A --~综合〔1〕，〔2〕，〔3〕可知， 3是原不等式的解.第六节、本章训练基础训练题1.不等式x + 3< 6的非负整数解为〔 〕2. 三个连续奇数的和不超过27且大于10,如此的数组共有〔A. 1个B. 2 个C. 3个D. 4个3. 的值不小于一2,那么a的取值范畴是〔〕.yB. 心｝°^4_L 旦4. 假设I + 2x的值不大于8 —」的值，那么x的正整数解是_____________________________________ .5. 小明预备用26元钞票买火腿肠和方便面，一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面,还能够买多少根火腿肠？6. 小华用最小刻度是1厘米的刻度尺，测量一本书的长，测得结果是17.5厘米，这0.5厘米是他估量的，并不准确，假设设他所测量的书的长为x厘米，那么x应该满足的不等式是什么？答案1. C2. B3. C4. 1 ，2,5. 解：设还能够买x根火腿肠.由题意我们可列不等式5X 3+ 2x w 26,解得因为x必须为正整数，因此x= 1 , 2, 3，4，5.答：小明还能够买火腿肠的数目不超过6. 解：17V X V 18.提高训练题2.李明在第一次数学测验中得76分，在第二次测验中得92分，设第三次测验的分数为x,且三次的平均分不低于85分，求x的取值范畴3. 小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件100元，小强想买的衬衣数许多于5件，路上交> 5通费为10元，小强预备钞票时有以下几种选择：预备 400元，预备500元，预备510元，预备610元.请你讲明哪种方案可行？4. 某商城以单价260元购进一批DVD 机，出售时标价398元，由于销售不行，商场预备降价出售，但要 保证利润不低于10% .小明讲： ”可降价 100元.” 小英讲： ”可降价 150元.” 小华讲： ”降价不能超过 112元.” 你同意他们谁的讲法?5. 巧解以下不等式：〔1〕0.375x- 2W 0.5xI! 42 〔2〕7 33 72 <2 % ! 13〔4〕91 [ 9 1[6. 解以下不等式： 〔1〕9-2 〔 x — 2〕》6 〔2〕 12-3x v 8-2x答案1M ；将原不等式裂顷早字一亠一字―丄4 4 8b PR,约分得冷++” 移项峙■+ 合并得S &2. 解：由题意得我们可列不等式7百十92林3>85,解得 x >87.3. 解：设小明预备了 x 元钞票.5E-IOToo -7.我们由题意可列不等式勺3c —5解得x > 510.因此预备510元或预备610元都能够.4. 解：设降价x元.5. 〔1〕x>-16〔提示：不等式两边同乘8〕；（2）.提示原不筠式勰项再合那卩■U可消去令母）;（3）g-K提示同<5x2-1 闪」2S«H Th（4）应寻（提氐原不等武先移项再合并即可消去分母）.2.{I）兀丘壬；⑵；r>4.玄榊豳惫可知辛亠竽朋导込¥我们能够由题意列不等式398-x —260》260X 10% .解得x< 112.因此小明和小华的讲法是正确的.强化训练题a丰2 片2a+11. 假设实数a > 1，那么实数M= a, 一3的大小关系是〔〕.A . P > N> M B. M> N> PC . N > P> M D. M> P> N2. 假设0v a v 1,那么以下四个不等式中正确的选项是〔〕.A. c<l<—B T a<—<la aC. ■--I D- L U-a a3. a、b、c在数轴上的对应点的位置如下图，以下式子正确的有〔丨.£占心■_ ------- 1—«_■ -1_*_i ---- -- -2-10123① b+c > 0 :② a+b > a+c;③ be > ac;④ ab >ac.A . 1 个B. 2 个C . 3 个D. 4 个.4. 我市某初中举行”八荣八耻〃知识抢答赛，总共50道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3分,抢答错1题扣1分，不抢答得0分.小军参加了抢答竞赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分许多于50分，咨询小军至少要答对几道题？5. 前年物价涨幅〔即前年物价比上一年，也确实是大前年物价增加的百分比〕为 15%，估量今年物价涨幅降低 5个百分点，为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出必须比今年物价涨幅至少再降低 x 个百分点〔x 为整数〕那么x =〔 〕6.某商场打算投入一笔资金，采购紧销商品 .经调查发觉，如月初出售，可获利投资其他商品，那么月末又可获利 10% ;如等到月末出售可获利 30%，但需要支付仓储费用 700元.请咨询依照商场资金多少，如何购销获利较多？ 7. 小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分不为2元和32元，经了解明白这两种灯的照明成效和使用寿命差不多上一样的 .小王家所在地的电价为每度0.5元，请咨询当这两种灯的使用寿命超过多长时刻时，小王选择节能灯才合算。
人教版七年级下册第九章不等式与不等式组课程设计 (2)
人教版七年级下册第九章不等式与不等式组课程设计一、课程背景不等式是初中数学重要的数学概念之一，是解决实际问题的有效工具。
随着学习的深入，学生需要掌握不同类型的一元一次不等式，如带绝对值不等式、含分数不等式、二次不等式等，在此基础上进一步了解一个未知数的一般化不等式，即不等式组。
本课程设计旨在帮助学生从动手实践中感受不等式的运用，加深对不等式的理解，提高解决实际问题的能力。
二、教学目标1.掌握一般形式的一元一次不等式的求解方法，并能够应用到实际生活中。
2.理解不等式的本质，并能够分析不等式在实际问题中的应用。
3.掌握含有二次项的一元二次不等式的解法，为进一步学习不等式组做好准备。
4.培养学生独立发现解题方法的能力，加强对数学思维的培养。
三、课程内容与教学步骤第一课时不等式的基本概念及解法课程目标1.了解一元一次不等式的概念。
2.掌握带有一元一次不等式的简单实际问题的解法。
教学步骤1.导入课题，回顾一元一次方程的求解过程，介绍不等式，引出不等式的基本概念。
2.通过例题的讲解，介绍不等式求解方法，并结合实际问题进行练习。
3.调查记录生活中遇到的简单实际问题，分组讨论和解答。
4.提出反思问题：如何将不等式应用到求解实际问题中？第二课时带有绝对值的不等式课程目标1.了解绝对值的概念。
2.掌握带有绝对值的一元一次不等式的解法。
教学步骤1.回顾绝对值的概念，并通过例题讲解绝对值不等式的解法。
2.结合实际问题，进行实际练习。
3.制定练习计划，鼓励学生自主完成。
4.分组讨论和交流解题思路。
第三课时含分数不等式课程目标1.了解分数的概念和运算法则。
2.掌握含有分数的一元一次不等式的解法。
教学步骤1.介绍分数的概念和运算法则，并通过例题引入含有分数的不等式。
2.通过实际问题的讲解，加深学生的理解。
3.制定练习计划，鼓励学生自主完成。
4.分组讨论和交流解题思路。
第四课时一元二次不等式课程目标1.掌握基本的二次函数概念和图像特征。
人教版七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》小结与复习 教案
第九章复习教案一、教学内容：不等式与不等式组二、教学目标1、知识与技能：能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
2、方法与过程:能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题。
3、情感、态度与价值观：会运用数形结合、分类等数学思想方法解决问题，会“逆向”地思考问题，灵活的解答问题.三、教学重点：能熟练的解一元一次不等式与一元一次不等式组四、教学难点：能熟练的解一元一次不等式(组)并体会数形结合、分类讨论等数学思想。
五、教学过程（一）知识梳理1.知识结构图2.知识点回顾（1）、不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．（2）、不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．（3）、不等式的基本性质A、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-cB、不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a>b，并且c>0，那么则ac>bc（或a/c>b/c）C、不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a>b，并且c<0，那么则ac<bc(或a/c<b/c)说明：任意两个实数a、b的大小关系：①a-b>O⇔a>b；②a-b=O⇔a=b；③a-b<O⇔a<b．(4) 、一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，a，b为已知数)．（５）、解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．（６）．一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．（7）．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．x b <（同小取小）x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a <<（大小交叉取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解（大小分离解为空）（9）．解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集． ３．课堂练习(一)解：去分母，得：４（２ｘ－１）≥１２（５／４ｘ－５） 去括号，得：８ｘ－４≥１５ｘ－６０ 移项，得： ８ｘ－１５ｘ≥－６０＋４ 合并同类项得：－７ｘ≥－５６ 系数化为１，得：ｘ≤８ ２．解不等式组：解：解不等式①得：x ≤8解不等式②得：x ≥5把不等式①的解集和不等式②的解集在数轴上表示如下：∴ 原不等式组的解集为:5≤x ≤8３、求不等式（组）的特殊解：(1)求不等式 3x+1≥4x-5的正整数解解：移项，得：３ｘ－４ｘ≥－５－１ 合并同类项，得：－ｘ≥－６ 系数化为１，得：ｘ≤６2151.5,34.x x -≥-解不等式并把它的解集在数轴上表示出来 33)4(2545312+≤+-≥-x x x x所以不等式 的正整数解为：1、2、3、4、5、6（２）求不等式组 的整数解解：由不等式①得: x ＞2由不等式②得: x ≤4把不等式①的解集和不等式②的解集在数轴上表示如下：∴ 不等式组的解集为:2＜x ≤4∴不等式组的整数解为：3、4．４．不等式(组)在实际生活中的应用当应用题中出现以下的关键词,如大,小,多,少,不小于,不大于,至少,至多等,应属列不等式(组)来解决的问题,而不能列方程(组)来解.（１）我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？解：设可能有ｘ间住房安排学生住宿，则根据题意可得： ８ｘ＞５ｘ＋１２ 解这个不等式，得：ｘ＞４当ｘ＝５时，住宿的学生可能有３７人，符合题意；当ｘ＝６时，住宿的学生可能有４２人，符合题意；当ｘ＝７时，住宿的学生可能有４７人，不符合题意．答：该校可能有５间或６间住房，当有５间住房时，住宿学生有３７人；当有６间住房时，住宿学生有４２人．（２）学校要到体育用品商场购买篮球和排球共１００只．已知篮球、排球的单价分别为130元、100元。
七年级数学下册9不等式与不等式组教案新人教版
第九章不等式与不等式组1.了解不等式的概念,会从实际问题中建立不等式的数学模型.2.经历探究的过程,掌握不等式的性质,会运用它进行简单的不等式变形.3.经历问题的建模过程,感受不等式是刻画现实世界的有效模型.4.理解不等式(组)的解及解集的含义,会解简单的一元一次不等式(组),能在数轴上表示一元一次不等式(组)的解集,并能求一元一次不等式(组)的特殊解,初步体会数形结合思想.5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题.1.通过学生自己动手、动脑去体验、发现、归纳、概括不等式的性质.2.通过类比一元一次方程(组)学习一元一次不等式(组),充分利用知识的类比进行学习、探索.3.把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,加深学生对不等式(组)解集的理解,使学生形象地认识不等式解集的几何意义和它的无限性.通过对不等式、不等式的解与解集的探究,培养学生的实践能力、概括能力、类比推理能力,也培养学生的合作交流意识和探索精神.单元开始从一个实际问题引入,体现了现实生活中的不等关系,从认识不等式开始入手,在一元一次方程的基础上,依次介绍了不等式及其解的意义,不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法和一元一次不等式(组)在实际问题中的应用与探索等问题,体现了类比、化归思想在数学中的应用.【重点】一元一次不等式的解法、不等式的性质和不等式(组)的应用.【难点】1.不等式的解和不等式组的解.2.应用不等式(组)解决实际问题.1.在单元学习的过程中注意贯彻类比思想,借助于等式、一元一次方程帮助、指导学生学习一元一次不等式(组)的相关知识.2.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现,要结合教学对学生进行数形结合思想、方法的指导.3.在利用不等式(组)解决实际问题时,注意对一些关键词语的理解,同时要注意挖掘题目中所隐含的不等关系,利用建模思想,将不等关系与实际问题结合起来,并注意不等式(组)解的特殊性.9.1不等式1.了解不等式、不等式的解、不等式解集的概念.2.理解不等式的性质.3.运用不等式的性质解简单的不等式.4.能在数轴上表示不等式的解集.通过类比思想,借助于等式的概念和性质,学习和掌握不等式的性质及其解法.培养学生积极寻求研究问题方法的意识,培养学生细心探索和善于合作的精神.【重点】利用不等式的性质解简单的不等式.【难点】1.利用数轴表示不等式的解集.2.根据实际意义确定不等式的解集.9.1.1不等式及其解集感受生活中不等关系的存在,了解不等式的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程,体会数形结合思想.培养学生的合作交流意识和探索精神.【重点】理解不等式、不等式的解与解集的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.【难点】把不等式的解集正确地表示在数轴上.【教师准备】课堂教学讨论问题的投影.【学生准备】复习方程的有关定义.导入一:如图所示,小明与小丽比身高,小丽身高为q cm,小明身高为p cm,小丽站在20 cm高的箱子上还没有小明高,则q+20与p哪个大?[设计意图]通过生活情境引导学生从不等的角度思考问题,初步感受不等的数量关系.导入二:天平是物理课上常用的一种仪器,如图(1)所示的天平两边托盘上的物体一样重,此时天平平衡,若天平两边托盘上的物体不一样重,就会出现如图(2)(3)所示的情形,此时两天平不平衡.【问题思考】我们应如何表示物体A的质量呢?[设计意图]通过“天平”暗示方程与不等式的关系,暗示等式和不等式之间的联系.导入三:如图所示,小明和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸的体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸坐的一端仍然着地,后来小明借来一个质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被翘起.在上面的例子中,如果设小明的体重为x千克,那么妈妈的体重为2x千克,当爸爸所坐的一端着地时,(x+2x)千克小于72千克;当爸爸被翘起时,(x+2x+6)千克大于72千克.怎样用数学式子表示上述不等关系呢?[设计意图]借助于生活情境,帮助学生体会未知数的数量关系,为引入不等式解决问题作认知的准备.什么条件?问题1如果把原题变为:要在12:00正好到达A地,车速应该是多少?[设计意图]通过时间和路程的关系,学生很容易算出车速.以这个车速为依据,帮助学生进行下一步的思考.问题2如果设车速为x km/h,从时间上看, h和 h是什么关系?板书总结:<.①问题3如果设车速为x km/h,从路程上看,汽车要在12:00之前驶过A地,那么以这个速度行驶 h的路程和50 km是什么关系?板书总结:x>50.②问题4根据上面的式子,你能总结什么是不等式吗?总结:像①和②这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式.像a+2≠a- 2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.有些不等式中不含未知数,例如3<4,- 1>- 2.有些不等式中含有未知数,例如①和②式中字母x表示未知数.(补充)下列各式:①- 3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+2x+y2;⑤x≠2;⑥x+2>2x+3.其中属于不等式的有()A.1个B.2个C.3个D.4个〔解析〕本题直接考查不等式的定义.③是等式;④是一个代数式.③④均不是不等式.只有用不等号连接,表示不等关系的式子才是不等式.故选D.[设计意图]在鉴别不等式的过程中,加深对不等式意义的理解.培养学生主动参与、合作交流的意识,同时体会在现实生活中,不等关系要比相等关系多得多.[知识拓展]1.不等式的定义也可以叙述成“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”.2.常见的不等号有:①“>”读作“大于”;②“<”读作“小于”;③“≠”读作“不等于”,它没有明确大小关系.问题1以不等式②为例,你能说出几个使不等式成立的数值吗?例如:当x=80时,x>50;当x=78时,x>50.这就是说,当x取某些值(如80,78)时,不等式x>50成立.问题2以不等式②为例,你能说出几个使不等式不成立的数值吗?例如:当x=72时,x<50;当x=75时,x=50.这就是说,当x取某些值(如72,75)时,不等式x>50不成立.问题3你能借助方程的解,总结什么是不等式的解吗?总结:与方程的解类似,我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.思路二问题1要使汽车在12:00之前驶过A地,你认为车速应该为多少呢?问题2车速可以是每小时85千米吗?每小时82千米呢?每小时75.1千米呢?每小时74千米呢?问题3以下各数中哪些能够使不等式x>50成立?76,73,79,80,74.9,75.1,90,60.问题4“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”,那么什么是不等式的解呢?讨论后得出:当x为76,79,80,75.1,90时,也就是当x>75时,不等式x>50成立;同理可得,当x<75或x=75时,不等式x>50不成立.总结:我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.〔解析〕当>75时,不等式>50总成立;而当<75或=75时,不等式>50不成立这就是说,任何一个大于75的数都是不等式x>50的解,这样的解有无数个;任何一个小于或等于75的数都不是不等式x>50的解.因此,x>75表示能使不等式x>50成立的x的取值范围,它可以在数轴上表示,如下图所示.由上可知,在前面问题中,汽车要在12:00之前驶过A地,车速必须大于75 km/h.问题1怎样表示不等式的所有解呢?问题2什么叫解方程呢?问题3什么叫解不等式呢?总结:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.求方程解的过程叫做解方程.求不等式的解集的过程叫做解不等式.[设计意图]在数轴上表示不等式的解集,是让学生感受数形结合的思想.让学生充分发表意见,并通过计算、动手验证、动脑思考,初步体会不等式的解集的意义以及不等式的解集与方程的解的不同之处.有意识、有计划、有条理地设计一些引人入胜的问题,可让学生始终处在积极的思考状态,不知不觉中接受了新知识.(补充)如果对于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说不等式x<5的解是x=1,2,3,4,这种说法正确吗?解:这种说法不正确,因为不等式的解是一个范围内的数,不是在这个范围内的几个数,正确说法是“如果对于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说x=1,2,3,4都是不等式x<5的解”.[知识拓展]不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念:①不等式的解是指某一范围内的数,用它代替不等式中的未知数,不等式成立;②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合,简称不等式的解集,不等式的解集是一个范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解;③不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值.1.下面各式是不等式的个数为()①- 2<1;②x=1;③a+b;④2a+b>0;⑤a≠3;⑥x+1>y+4.A.1B.2C.3D.4解析:用不等号表示不等关系的式子叫不等式,①④⑤⑥是不等式.故选D.2.下列说法中正确的是()A.x=3是不等式2x>1的解B.x=3是不等式2x>1的唯一解C.x=3不是不等式2x>1的解D.x=3是不等式2x>1的解集解析:x=3能使2x>1成立,则x=3是不等式2x>1的所有解中的一个解.故选A.3.在数轴上表示不等式x<2的解集.解析:在表示2的点上画空心圆圈,表示不包含这一点.解:如下图所示.4.用不等式表示:(1)a与b的和的3倍是负数;(2)x的与3的和比5大;(3)代数式3x+2的值大于1.解:(1)3(a+b)<0. (2)x+3>5. (3)3x+2>1.9.1.1不等式及其解集1.不等式例12.不等式的解3.不等式的解集例2一、教材作业【必做题】教材第115页练习第1题.【选做题】教材第116页练习第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在下列式子中,不是不等式的是()A.2x<1B.x≠- 2C.4x+5>0D.a=32.下列说法中,错误的是()A.不等式x<5的整数解有无数多个B.不等式x>- 5的负整数解有有限个C.不等式2x>- 8的解集是x<- 4D.- 40是不等式2x<- 8的一个解3.在- ,- 1,0,,- 3中,能使不等式x+2>1成立的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.“x的4倍与2的和是负数”用不等式表示为.5.在课后的探究性学习活动中,小明、小丽和小颖三位同学对某个不等式的解集有着不同的说法:小明说,x=2.5是不等式的一个解;小丽说,- 2,- 1,0都是不等式的解;小颖说,不等式的正整数解只有1,2.请你能根据他们三位同学的描述,写出符合这样条件的一个不等式.(只写出其中一个即可,不必考虑所有情况)【能力提升】6.下列说法正确的是()A.x=3是不等式x+1>2的解集B.不等式4x<- 8的解是x<- 2C.不等式- 6x<18的解集为x<- 3D.x>是不等式2x- 1>0的解集7.下列不等式一定成立的是()A.2x<6B.- x<0C.|x|+1>0D.x2>08.如图所示,天平右盘中每个砝码的质量都是1 g,则图中显示出来的某药品A的质量的范围是()A.大于2 gB.小于3 gC.大于2 g且小于3 gD.大于2 g或小于3 g9.规定一种新运算:aΔb=a·b- a- b+1,如:3Δ4=3×4- 3- 4+1.请比较大小:(- 3)Δ44Δ(- 3)(填“<”“=”或“>”).10.先阅读下面的材料,然后解答问题:要比较a,b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数或零.若差是正数,则a大于b;若差是0,则a等于b;若差是负数,则a小于b.例如:5- 2>0,则5>2;- 6- (-4)<0,则- 6<- 4;8- 8=0,则8=8.试比较2x2- 2x+3与x2- 2x- 1的大小.【拓展探究】11.某班26名同学到人民公园举行活动.人民公园的门票是:每人5元,一次购票满30张,可以享受优惠:每张少收1元.当领队小明同学准备好了零钱到售票处买26张票时,爱动脑筋的小丽却喊住了小明,提议要买30张票.(1)如果当时你在现场,你会支持谁?为什么?(2)如果是23名同学呢?12.某学校要刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘费),若自刻,则每张需4元,此外,还需120元空白光盘费.设刻录x张电脑光盘,请用不等式或等式表示:(1)刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录省钱.(2)刻录这批电脑光盘,自刻省钱.(3)刻录这批电脑光盘,到电脑公司和自刻费用一样.【答案与解析】1.D(解析:根据不等式的概念:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案.A,B,C是不等式,D是等式.故选D.)2.C(解析:正确求出不等式的解集,就可以进行判断.A.正确;B.不等式x>- 5的负整数解有- 4,- 3,- 2,- 1,正确;C.不等式2x>- 8的解集是x>- 4,错误;D.不等式2x<- 8的解集是x<- 4,包括- 40,正确.故选C.)3.C(解析:把已知的5个数代入不等式中,- ,0和能使不等式x+2>1成立,所以能使不等式x+2>1成立的有3个.故选C.)4.4x+2<0(解析:x的4倍为4x,负数<0,据此列不等式为4x+2<0.)5.解:本题答案不唯一,例如:x- 3<0.6.D(解析:因为x=3是不等式x+1>2的一个解,而不是不等式的解集,所以A错;因为x<- 2是不等式4x<- 8的解集,而不是解,所以B错;取一个小于- 3的数代入不等式,例如当x=- 5时,不等式的左边是(- 6)×(- 5)=30>18,所以C错;选项D正确.)7.C(解析:根据不等式的定义对各选项进行逐一分析即可.A.当x为3或大于3时不成立,故本选项错误;B.当x为0或比0小时不成立,故本选项错误;C.不论x为何值,不等式均成立,故本选项正确;D.当x=0时不成立,故本选项错误.故选C.)8.C(解析:观察第一幅图易发现A的质量>2 g,再观察第二幅可以发现A的质量<3 g.故A的质量大于2 g且小于3 g.故选C.)9.=(解析:因为aΔb=a·b- a- b+1,所以(- 3)Δ4=(- 3)×4- (- 3)- 4+1=- 12,4Δ(- 3)=4×(- 3)- 4- (- 3)+1=- 12,所以(- 3)Δ4=4Δ(- 3).)10.解:因为2x2- 2x+3- (x2- 2x- 1)=2x2- 2x+3- x2+2x+1=x2+4>0,所以2x2- 2x+3>x2- 2x- 1.11.解:(1)支持小丽.因为30×(5- 1)=120(元),26×5=130(元),130>120,所以小丽的说法更有道理. (2)如果是23名同学,应该选择购买23张票,理由是30×(5-1)=120(元),23×5=115(元),120>115.12.解:因为要刻录x张电脑光盘,所以到电脑公司刻录需8x元,自刻需(120+4x)元.(1)8x<120+4x. (2)8x>120+4x. (3)8x=120+4x.本课时在教学设计时遵从学生的生活经验,从生活情境中抽象出不等量关系的数学问题,帮助学生进一步感受数学与生活的联系,让学生在生活情境体验中进行学习.借助于一元一次方程知识的学习,通过类比思想引导学生学习了不等式、不等式的解及解集等相关定义,使学生在正确理念和恰当方法的指导下进行学习.在用数轴表示不等式解集的时候,忽略了对空心圆圈表示的含义的强调.补设的例题可以让学生独立去完成,老师没必要详细讲解和示范.从学生的生活经验看,对教材中情境材料的不等量关系不存在理解困难,因此在教学的过程中,可以淡化不等量关系的计算过程,把重点放在不等式定义的总结、不等式的解和不等式解集的含义上.练习(教材第115页)1.解:(1)a>0. (2)a<0. (3)a+5<7. (4)a- 2>- 1. (5)4a>8. (6)<3.2.解:3.2,4.8,8,12是不等式x+3>6的解,- 4,- 2.5,0,1,2.5,3不是不等式x+3>6的解.3.解:(1)x>3. (2)x<4. (3)x>2.下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是?哪些是方程x+1=3的解?- 2.5,0,1,2,3.解:当x=- 2.5时,x+1=- 2.5+1=- 1.5<3,不等式x+1<3成立,所以x=- 2.5是不等式x+1<3的解.当x=0时,x+1=0+1=1<3,不等式x+1<3成立,所以x=0是不等式x+1<3的解.当x=1时,x+1=1+1=2<3,不等式x+1<3成立,所以x=1是不等式x+1<3的解.当x=2时,x+1=2+1=3,左边=右边,方程x+1=3成立,所以x=2是方程x+1=3的解,不是不等式x+1<3的解.当x=3时,x+1=3+1=4>3,不等式x+1<3不成立,方程x+1=3也不成立,所以x=3既不是不等式x+1<3的解,也不是方程x+1=3的解.[解题策略]本题主要考查不等式的解的概念.不等式的解是指能使不等式成立的未知数的值.把题中给出的值逐一代入x+1<3,若符合此不等式表示的不等关系,则该值为此不等式的解,反之不是.9.1.2不等式的性质1.理解不等式的性质.2.依据不等式的性质,会解简单的一元一次不等式.3.能在数轴上表示不等式的解集.4.能解简单的一元一次不等式的应用题.1.借助于等式、一元一次方程的知识,学习不等式的性质和解不等式.2.通过生活情境理解不等式解的特殊含义.培养学生主动探索的精神和合作交流的意识.【重点】1.不等式的性质和不等式的解法.2.不等式在生活中的简单应用.【难点】1.用数轴表示不等式的解集.2.理解不等式解集的实际意义.第课时理解不等式的性质.经历通过类比、猜测、验证,发现不等式性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性.【重点】理解并掌握不等式的性质.【难点】比较等式性质和不等式性质的区别.【教师准备】不等式性质的板书投影.【学生准备】复习等式的有关知识.导入一:设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体,现用天平称两次,情况如图所示,把▲,●,■这三种物体按质量从大到小排列.解:设▲,●,■的质量分别为a,b,c,根据图形,可得a+c>2a,2a=3b,故可得c>a>b.即■>▲>●.[设计意图]通过这个思维难度不大的情境,需要学生借助于等式的知识进行思考.同时这里也暗含了不等式的性质.导入二:对于某些简单的不等式,我们可以直接得出它们的解集,例如不等式x+3>6的解集是x>3,不等式2x<8的解集是x<4,但是对于比较复杂的不等式,例如- 2>,直接得出解集就比较困难.因此,还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样,解不等式需要依据不等式的性质.为此,我们先来看看不等式有什么性质.[设计意图]借助于教材中的这段引言,直接提出了两个问题:求不等式的解集不能完全靠观察,还需要靠计算去求得.另一个问题是依据什么去解不等式.这两个问题的提出,为本节课的两个课时的学习指明了方向.问题1等式有哪些性质?问题2用“>”或“<”填空,并总结其中的规律:(1)5>3,5+23+2,5- 23- 2;(2)- 1<3,- 1+23+2,- 1- 33- 3;(3)6>2,6×52×5,6×(- 5)2×(- 5);(4)- 2<3,(- 2)×63×6,(- 2)×(- 6)3×(- 6).根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时,不等号的方向.当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向;而乘同一个负数时,不等号的方向.问题3除以一个数,怎样用乘法去理解?[设计意图]除以一个数等于乘这个数的倒数.这问是针对不等式的性质2,3中同时除以一个数的情况设置的.[处理方式]学生集中讨论,形成共同的结论和看法.二、不等式的性质思路一问题1根据前面问题当中的(1)和(2),你总结的不等式的性质是什么?怎样用数学语言去表示?解:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.符号表示:如果a>b,那么a±c>b±c.问题2根据前面问题当中的(3)和(4),你总结的不等式的性质是什么?怎样用数学语言去表示?解:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.符号表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc.不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.符号表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc.思路二1.等式的性质.教师首先与学生一起回忆等式的性质,学生回答等式的性质:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.等式的性质2:等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数,结果仍相等.[处理方式]老师帮助学生回忆总结,关注学生术语表达的准确性.[设计意图]帮助学生回顾等式的性质的得出过程,类比本节课将要学习的知识,为探索不等式的性质做好准备,并且从学生的已有经验出发,培养学生梳理知识体系的习惯.通过类比等式的性质,探究不等式的性质,体会不等式的性质与等式性质的异同.体会类比的学习方法,积累数学活动经验.2.不等式性质的推导.师:让学生自己先确定一个不等式,仿照等式的性质1,在不等式的两边加(或减)同一个整式,看结果有何特点,在小组内讨论并总结出来.生:先任意确定一个不等式,然后按老师的要求变形,观察思考后在组内交流并总结出不等式的性质1:不等式的两边加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.符号表示:如果a>b,那么a±c>b±c.师:让学生再仿照等式的性质2,在不等式的两边乘同一个数,看结果有何特点,交流一下并总结出来.生:先自己任意确定一个不等式,然后按要求变形,观察特点,交流并总结.说明:这里教师设计了一个不容易发现的陷阱,很可能会引起学生的争论,这正是教师所期望的,思维快但考虑不周的学生可能会做出类似下面的推导:因为3<5,3×2<5×2,3×<5×,所以在不等式的两边乘同一个数,不等号的方向不变.而思维缜密的学生会做出类似的反驳:3<5,但3×(- 2)>5×(- 2),所以上面的总结是错的.师:引导学生做出正确的总结.生:细致观察发现在不等式的两边乘同一个正数与乘同一个负数结果不同,从而总结出:不等式两边乘同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘同一个负数,不等号的方向改变.[设计意图]让学生在争论中发现等式和不等式的性质的不同之处,从而更好地理解不等式的性质3.总结:不等式性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.符号表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc.不等式性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.符号表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc.三、例题讲解利用不等式的性质,填“>”或“<”.(1)若a>b,则2a+12b+1;(2)若- y<10,则y - 8,(3)若a<b,且c>0,则ac+c bc+c.;(4)若a>0,b<0,c<0,则(a- b)c 0.〔解析〕(1)因为a>b,将不等式两边都乘2,由不等式的性质2,得2a>2b,再由不等式的性质1,得2a+1>2b+1;(2)因为- y<10,将不等式两边都除以- ,由不等式的性质3,得y>- 8;(3)因为a<b,c>0,将不等式两边都乘c,由不等式性质2,得ac<bc,再由不等式的性质1,得ac+c<bc+c;(4)因为a>0,b<0,所以a- b>0,两边都乘c,而c<0,由不等式性质3,得(a- b)c<0.〔答案〕(1)>(2)>(3)<(4)<已知a,b,c在数轴上的对应点的位置如下图所示,下列式子中正确的有()①b- c>0;②a+b>a+c;③bc>ac;④ab>ac.A.1个B.2个C.3个D.4个〔解析〕由数轴上a,b,c对应点的位置可知a>0,b>0,c<0,且a>b>c.①因为b>c,所以不等式两边都减去c,不等号方向不变,所以b- c>0,正确;②因为b>c,所以不等式两边都加a,不等号方向不变,所以a+b>a+c,正确;③因为b<a,c<0,不等式两边同乘c,不等号方向改变,所以bc>ac,正确;④因为b>c,a>0,不等式两边同乘a,不等号方向不变,所以ab>ac,正确.故选D.[知识拓展]不等式的概念和性质与等式的概念和性质的相同点和不同点.相同点:不论是等式还是不等式,都可以在它的两边加或减同一个数或代数式,乘或除以同一个正数,而保持符号不变.不同点:(1)对于等式,在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数,情况是一样的,等式仍然成立;但对于不等式,在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数却大不一样:当两边乘或除以的是正数时,不等号的方向不变,而当两边乘或除以的是负数时,不等号的方向要改变.这是等式没有的性质,它是不等式特有的,在运用不等式的性质时要特别注意这一点.(2)由于不等号“>”或“<”具有方向性,所以叙述不等式的性质时不能像等式那样笼统地说“……仍是不等式”,而应明确表明变形后的不等式中的不等号的方向是改变还是不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个不为0的数时,首先要判断该数的正、负性,再决定变号与否.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.1.若a>b,则a- b>0,其根据是()A.不等式的性质1B.不等式的性质2C.不等式的性质3D.以上选项均不对解析:根据不等式的性质1,不等式两边都减去b,得a- b>0.故选A.2.若x>y,则下列式子错误的是()A.x- 3>y- 3B.- 3x>- 3yC.x+3>y+3D.>解析:由不等式的性质1,2可知把不等式x>y两边分别减3,加3,除以3,不等号的方向均不变,所以选项A,C,D正确,而由不等式的性质3可知把不等式x>y两边同时乘- 3,不等号方向应改变,所以选项B错误.故选B.3.若ax<5a的两边同时除以a后变为x>5,则a的取值范围是()A.a<0B.a>0C.a<0(或a=0)D.a>0(或a=0)解析:两边同时除以a,不等号方向发生了改变,说明a是负数,即a<0,注意a不能等于0,若a=0,则原不等式不成立.故选A.4.利用不等式的性质填“>”或“<”.(1)若a>b,则2a 2b;(2)若- 2y<10,则y - 5;(3)若a<b,c>0,则ac- 1bc- 1;(3)若a>b,c<0,则ac+1bc+1.〔解析〕根据不等式的两边发生的变化和不等式的性质解题.答案:(1)>(2)>(3)<(4)<第1课时1.探究不等式的性质2.不等式的性质性质1性质2。
七年级数学下册9不等式与不等式组教案新人教版
第九章不等式与不等式组1.了解不等式的概念,会从实际问题中成立不等式的数学模型.2.经历探讨的进程,把握不等式的性质,会运用它进行简单的不等式变形.3.经历问题的建模进程,感受不等式是刻画现实世界的有效模型.4.明白得不等式(组)的解及解集的含义,会解简单的一元一次不等式(组),能在数轴上表示一元一次不等式(组)的解集,并能求一元一次不等式(组)的特殊解,初步体会数形结合思想.5.能依照具体问题中的数量关系列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题.1.通过学生自己动手、动脑去体验、发觉、归纳、归纳不等式的性质.2.通过类比一元一次方程(组)学习一元一次不等式(组),充分利用知识的类比进行学习、探讨.3.把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,加深学生对不等式(组)解集的明白得,使学生形象地熟悉不等式解集的几何意义和它的无穷性.通过对不等式、不等式的解与解集的探讨,培育学生的实践能力、归纳能力、类比推理能力,也培育学生的合作交流意识和探讨精神.单元开始从一个实际问题引入,表现了现实生活中的不等关系,从熟悉不等式开始入手,在一元一次方程的基础上,依次介绍了不等式及其解的意义,不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法和一元一次不等式(组)在实际问题中的应用与探讨等问题,表现了类比、化归思想在数学中的应用.【重点】一元一次不等式的解法、不等式的性质和不等式(组)的应用.【难点】1.不等式的解和不等式组的解.2.应用不等式(组)解决实际问题.1.在单元学习的进程中注意贯彻类比思想,借助于等式、一元一次方程帮忙、指导学生学习一元一次不等式(组)的相关知识.2.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体表现,要结合教学对学生进行数形结合思想、方式的指导.3.在利用不等式(组)解决实际问题时,注意对一些关键词语的明白得,同时要注意挖掘题目中所隐含的不等关系,利用建模思想,将不等关系与实际问题结合起来,并注意不等式(组)解的特殊性.不等式3课时9.1.1不等式及其解集(1课时)9.1.2不等式的性质(2课时)一元一次不等式2课时一元一次不等式组2课时单元概括整合1课时不等式1.了解不等式、不等式的解、不等式解集的概念.2.明白得不等式的性质.3.运用不等式的性质解简单的不等式.4.能在数轴上表示不等式的解集.通过类比思想,借助于等式的概念和性质,学习和把握不等式的性质及其解法.培育学生踊跃寻求研究问题方式的意识,培育学生细心探讨和擅长合作的精神.【重点】利用不等式的性质解简单的不等式.【难点】1.利用数轴表示不等式的解集.2.依如实际意义确信不等式的解集.9.1.1不等式及其解集感受生活中不等关系的存在,了解不等式的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.经历探讨不等式的解与解集的不同意义的进程,体会数形结合思想.培育学生的合作交流意识和探讨精神.【重点】明白得不等式、不等式的解与解集的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.【难点】把不等式的解集正确地表示在数轴上.【教师预备】课堂教学讨论问题的投影.【学生预备】温习方程的有关概念.导入一:如下图,小明与小丽比身高,小丽身高为q cm,小明身高为p cm,小丽站在20 cm高的箱子上尚未小明高,则q+20与p哪个大?[设计用意]通过生活情境引导学生从不等的角度试探问题,初步感受不等的数量关系.导入二:天平是物理课上经常使用的一种仪器,如图(1)所示的天平两边托盘上的物体一样重,现在天平平稳,假设天平两边托盘上的物体不一样重,就会显现如图(2)(3)所示的情形,现在两天平不平稳.【问题试探】咱们应如何表示物体A的质量呢?[设计用意]通过“天平”暗示方程与不等式的关系,暗示等式和不等式之间的联系.导入三:如下图,小明和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸的体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸坐的一端仍然着地,后来小明借来一个质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被翘起.在上面的例子中,若是设小明的体重为x千克,那么妈妈的体重为2x千克,当爸爸所坐的一端着地时,(x+2x)千克小于72千克;当爸爸被翘起时,(x+2x+6)千克大于72千克.如何用数学式子表示上述不等关系呢?[设计用意]借助于生活情境,帮忙学生体会未知数的数量关系,为引入不等式解决问题作认知的预备.[过渡语]生活中不仅有等量关系还有不等量关系,从本课时开始,咱们学习新的数量关系:不等量关系.什么条件?问题1若是把原题变成:要在12:00正好抵达A地,车速应该是多少?[设计用意]通过时刻和路程的关系,学生很容易算出车速.以那个车速为依据,帮忙学生进行下一步的试探.问题2若是设车速为x km/h,从时刻上看, h和 h是什么关系?板书总结:<.①问题3若是设车速为x km/h,从路程上看,汽车要在12:00之前驶过A地,那么以那个速度行驶 h的路程和50 km是什么关系?板书总结:x>50.②问题4依照上面的式子,你能总结什么是不等式吗?总结:像①和②如此用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式.像a+2≠a- 2如此用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.有些不等式中不含未知数,例如3<4,- 1>- 2.有些不等式中含有未知数,例如①和②式中字母x表示未知数.(补充)以下各式:①- 3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+2x+y2;⑤x≠2;⑥x+2>2x+3.其中属于不等式的有()个个个个〔解析〕此题直接考查不等式的概念.③是等式;④是一个代数式.③④均不是不等式.只有效不等号连接,表示不等关系的式子才是不等式.应选D.[设计用意]在辨别不等式的进程中,加深对不等式意义的明白得.培育学生主动参与、合作交流的意识,同时体会在现实生活中,不等关系要比相等关系多得多.[知识拓展]1.不等式的概念也能够表达到“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”.2.常见的不等号有:①“>”读作“大于”;②“<”读作“小于”;③“≠”读作“不等于”,它没有明确大小关系.[过渡语]尽管不等式①和②表示了车速应知足的条件,可是咱们希望更明确地得出x能够取哪些值.上面的不等式中,有哪些数值能够知足或不知足不等式的条件呢?问题1以不等式②为例,你能说出几个使不等式成立的数值吗?例如:当x=80时,x>50;当x=78时,x>50.这确实是说,当x取某些值(如80,78)时,不等式x>50成立.问题2以不等式②为例,你能说出几个使不等式不成立的数值吗?例如:当x=72时,x<50;当x=75时,x=50.这确实是说,当x取某些值(如72,75)时,不等式x>50不成立.问题3你能借助方程的解,总结什么是不等式的解吗?总结:与方程的解类似,咱们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.思路二问题1要使汽车在12:00之前驶过A地,你以为车速应该为多少呢?问题2车速能够是每小时85千米吗?每小时82千米呢?每小时千米呢?每小时74千米呢?问题3以下各数中哪些能够使不等式x>50成立?76,73,79,80,,,90,60.问题4“使方程两边相等的未知数的值确实是方程的解”,那么什么是不等式的解呢?讨论后得出:当x为76,79,80,,90时,也确实是当x>75时,不等式x>50成立;同理可得,当x<75或x=75时,不等式x>50不成立.总结:咱们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.[过渡语]除80和78,不等式x>50还有其他解吗?若是有,这些解应知足什么条件?〔解析〕当>75时,不等式>50总成立;而当<75或=75时,不等式>50不成立这确实是说,任何一个大于75的数都是不等式x>50的解,如此的解有无数个;任何一个小于或等于75的数都不是不等式x>50的解.因此,x>75表示能使不等式x>50成立的x的取值范围,它能够在数轴上表示,如以下图所示.由上可知,在前面问题中,汽车要在12:00之前驶过A地,车速必需大于75 km/h.问题1如何表示不等式的所有解呢?问题2什么叫解方程呢?问题3什么叫解不等式呢?总结:一样地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成那个不等式的解集.求方程解的进程叫做解方程.求不等式的解集的进程叫做解不等式.[设计用意]在数轴上表示不等式的解集,是让学生感受数形结合的思想.让学生充分发表意见,并通过计算、动手验证、动脑试探,初步体会不等式的解集的意义和不等式的解集与方程的解的不同的地方.成心识、有打算、有层次地设计一些引人入胜的问题,可让学生始终处在踊跃的试探状态,不知不觉中同意了新知识.(补充)若是关于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说不等式x<5的解是x=1,2,3,4,这种说法正确吗?解:这种说法不正确,因为不等式的解是一个范围内的数,不是在那个范围内的几个数,正确说法是“若是关于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说x=1,2,3,4都是不等式x<5的解”.[知识拓展]不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念:①不等式的解是指某一范围内的数,用它代替不等式中的未知数,不等式成立;②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合,简称不等式的解集,不等式的解集是一个范围,在那个范围内的每一个数值都是不等式的一个解;③不等式的解是指知足那个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指知足那个不等式的未知数的所有值.不等式的解和解集的区别和联系如下表:区别举例:x- 1>2 概念个数表示方法不等式的解x=4,5……是一些具体的值无数个用等号表示不等式的解集x>3 是一个范围一个用不等号表示联系在不等式解集范围内的每一个数值都是此不等式的一个解或者说不等式的每一个解都在它的解集的范围内1.下面各式是不等式的个数为()①- 2<1;②x=1;③a+b;④2a+b>0;⑤a≠3;⑥x+1>y+4.解析:用不等号表示不等关系的式子叫不等式,①④⑤⑥是不等式.应选D.2.以下说法中正确的选项是()=3是不等式2x>1的解=3是不等式2x>1的唯一解=3不是不等式2x>1的解=3是不等式2x>1的解集解析:x=3能使2x>1成立,则x=3是不等式2x>1的所有解中的一个解.应选A.3.在数轴上表示不等式x<2的解集.解析:在表示2的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.解:如以下图所示.4.用不等式表示:(1)a与b的和的3倍是负数;(2)x的与3的和比5大;(3)代数式3x+2的值大于1.解:(1)3(a+b)<0. (2)x+3>5. (3)3x+2>1.9.1.1不等式及其解集1.不等式例12.不等式的解3.不等式的解集例2一、教材作业【必做题】教材第115页练习第1题.【选做题】教材第116页练习第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在以下式子中,不是不等式的是()<1 ≠- 2+5>0 =32.以下说法中,错误的选项是()A.不等式x<5的整数解有无数多个B.不等式x>- 5的负整数解有有限个C.不等式2x>- 8的解集是x<- 440是不等式2x<- 8的一个解3.在- ,- 1,0,,- 3中,能使不等式x+2>1成立的有()个个个个4.“x的4倍与2的和是负数”用不等式表示为.5.在课后的探讨性学习活动中,小明、小丽和小颖三位同窗对某个不等式的解集有着不同的说法:小明说,x=是不等式的一个解;小丽说,- 2,- 1,0都是不等式的解;小颖说,不等式的正整数解只有1,2.请你能依照他们三位同窗的描述,写出符合如此条件的一个不等式.(只写出其中一个即可,没必要考虑所有情形)【能力提升】6.以下说法正确的选项是()=3是不等式x+1>2的解集B.不等式4x<- 8的解是x<- 2C.不等式- 6x<18的解集为x<- 3>是不等式2x- 1>0的解集7.以下不等式必然成立的是()<6 x<0C.|x|+1>0 >08.如下图,天平右盘中每一个砝码的质量都是1 g,那么图中显示出来的某药品A的质量的范围是 ()A.大于2 gB.小于3 gC.大于2 g且小于3 gD.大于2 g或小于3 g9.规定一种新运算:aΔb=a·b- a- b+1,如:3Δ4=3×4- 3- 4+1.请比较大小:(- 3)Δ44Δ(- 3)(填“<”“=”或“>”).10.先阅读下面的材料,然后解答问题:要比较a,b的大小,能够先求出a与b的差,再看那个差是正数、负数或零.假设差是正数,则a大于b;假设差是0,则a等于b;假设差是负数,则a小于b.例如:5- 2>0,则5>2;- 6- (- 4)<0,则- 6<- 4;8- 8=0,则8=8.试比较2x2- 2x+3与x2- 2x- 1的大小.【拓展探讨】11.某班26名同窗到人民公园举行活动.人民公园的门票是:每人5元,一次购票满30张,能够享受优惠:每张少收1元.当领队小明同窗预备好了零钱到售票处买26张票时,爱动脑筋的小丽却喊住了小明,提议要买30张票.(1)若是那时你在现场,你会支持谁?什么缘故?(2)若是是23名同窗呢?12.某学校要刻录一批电脑光盘,假设到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘费),假设自刻,那么每张需4元,另外,还需120元空白光盘费.设刻录x张电脑光盘,请用不等式或等式表示:(1)刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录省钱.(2)刻录这批电脑光盘,自刻省钱.(3)刻录这批电脑光盘,到电脑公司和自刻费用一样.【答案与解析】(解析:依照不等式的概念:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案.A,B,C是不等式,D是等式.应选D.)(解析:正确求出不等式的解集,就能够够进行判定.A.正确;B.不等式x>- 5的负整数解有- 4,- 3,- 2,- 1,正确;C.不等式2x>- 8的解集是x>- 4,错误;D.不等式2x<- 8的解集是x<- 4,包括- 40,正确.应选C.)(解析:把已知的5个数代入不等式中,- ,0和能使不等式x+2>1成立,因此能使不等式x+2>1成立的有3个.应选C.)+2<0(解析:x的4倍为4x,负数<0,据此列不等式为4x+2<0.)5.解:此题答案不唯一,例如:x- 3<0.(解析:因为x=3是不等式x+1>2的一个解,而不是不等式的解集,因此A错;因为x<- 2是不等式4x<- 8的解集,而不是解,因此B错;取一个小于- 3的数代入不等式,例如当x=- 5时,不等式的左侧是(- 6)×(- 5)=30>18,因此C错;选项D正确.)(解析:依照不等式的概念对各选项进行一一分析即可.A.当x为3或大于3时不成立,故本选项错误;B.当x为0或比0小时不成立,故本选项错误;C.不论x为何值,不等式均成立,故本选项正确;D.当x=0时不成立,故本选项错误.应选C.)(解析:观看第一幅图易发觉A的质量>2 g,再观看第二幅能够发觉A的质量<3 g.故A的质量大于2 g且小于3 g.应选C.)9.=(解析:因为aΔb=a·b- a- b+1,因此(- 3)Δ4=(- 3)×4- (- 3)- 4+1=- 12,4Δ(- 3)=4×(- 3)- 4- (- 3)+1=- 12,因此(- 3)Δ4=4Δ(- 3).)10.解:因为2x2- 2x+3- (x2- 2x- 1)=2x2- 2x+3- x2+2x+1=x2+4>0,因此2x2- 2x+3>x2- 2x- 1.11.解:(1)支持小丽.因为30×(5- 1)=120(元),26×5=130(元),130>120,因此小丽的说法更有道理. (2)若是是23名同窗,应该选择购买23张票,理由是30×(5-1)=120(元),23×5=115(元),120>115.12.解:因为要刻录x张电脑光盘,因此到电脑公司刻录需8x元,自刻需(120+4x)元.(1)8x<120+4x. (2)8x>120+4x. (3)8x=120+4x.本课时在教学设计时遵从学生的生活体会,从生活情境中抽象出不等量关系的数学问题,帮忙学生进一步感受数学与生活的联系,让学生在生活情境体验中进行学习.借助于一元一次方程知识的学习,通过类比思想引导学生学习了不等式、不等式的解及解集等相关概念,使学生在正确理念和适当方式的指导下进行学习.在用数轴表示不等式解集的时候,忽略了对空心圆圈表示的含义的强调.补设的例题能够让学生独立去完成,教师没必要详细讲解和示范.从学生的生活体会看,对教材中情境材料的不等量关系不存在明白得困难,因此在教学的进程中,能够淡化不等量关系的计算进程,把重点放在不等式概念的总结、不等式的解和不等式解集的含义上.练习(教材第115页)1.解:(1)a>0. (2)a<0. (3)a+5<7. (4)a- 2>- 1. (5)4a>8. (6)<3.2.解:,,8,12是不等式x+3>6的解,- 4,- ,0,1,,3不是不等式x+3>6的解.3.解:(1)x>3. (2)x<4. (3)x>2.以下各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是?哪些是方程x+1=3的解?- ,0,1,2,3.解:当x=- 时,x+1=- +1=- <3,不等式x+1<3成立,因此x=- 是不等式x+1<3的解.当x=0时,x+1=0+1=1<3,不等式x+1<3成立,因此x=0是不等式x+1<3的解.当x=1时,x+1=1+1=2<3,不等式x+1<3成立,因此x=1是不等式x+1<3的解.当x=2时,x+1=2+1=3,左侧=右边,方程x+1=3成立,因此x=2是方程x+1=3的解,不是不等式x+1<3的解.当x=3时,x+1=3+1=4>3,不等式x+1<3不成立,方程x+1=3也不成立,因此x=3既不是不等式x+1<3的解,也不是方程x+1=3的解.[解题策略]此题要紧考查不等式的解的概念.不等式的解是指能使不等式成立的未知数的值.把题中给出的值一一代入x+1<3,假设符合此不等式表示的不等关系,那么该值为此不等式的解,反之不是.9.1.2不等式的性质1.明白得不等式的性质.2.依据不等式的性质,会解简单的一元一次不等式.3.能在数轴上表示不等式的解集.4.能解简单的一元一次不等式的应用题.1.借助于等式、一元一次方程的知识,学习不等式的性质和解不等式.2.通过生活情境明白得不等式解的特殊含义.培育学生主动探讨的精神和合作交流的意识.【重点】1.不等式的性质和不等式的解法.2.不等式在生活中的简单应用.【难点】1.用数轴表示不等式的解集.2.明白得不等式解集的实际意义.第课时明白得不等式的性质.经历通过类比、猜想、验证,发觉不等式性质的探讨进程,初步体会不等式与等式的异同.体会在解决问题的进程中与他人交流合作的重要性.【重点】明白得并把握不等式的性质.【难点】比较等式性质和不等式性质的区别.【教师预备】不等式性质的板书投影.【学生预备】温习等式的有关知识.导入一:设“▲”“●”“■”别离表示三种不同的物体,现用天平称两次,情形如下图,把▲,●,■这三种物体按质量从大到小排列.解:设▲,●,■的质量别离为a,b,c,依照图形,可得a+c>2a,2a=3b,故可得c>a>b.即■>▲>●.[设计用意]通过那个思维难度不大的情境,需要学生借助于等式的知识进行试探.同时那个地址也暗含了不等式的性质.导入二:关于某些简单的不等式,咱们能够直接得出它们的解集,例如不等式x+3>6的解集是x>3,不等式2x<8的解集是x<4,可是关于比较复杂的不等式,例如- 2>,直接得出解集就比较困难.因此,还要讨论如何解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样,解不等式需要依据不等式的性质.为此,咱们先来看看不等式有什么性质.[设计用意]借助于教材中的这段引言,直接提出了两个问题:求不等式的解集不能完全靠观看,还需要靠计算去求得.另一个问题是依据什么去解不等式.这两个问题的提出,为本节课的两个课时的学习指明了方向.[过渡语]咱们明白,等式两边加或减同一个数(或式子),乘或除以同一个数(除数不为0),结果仍相等.不等式是不是也有类似的性质呢?一、探讨不等式的性质问题1等式有哪些性质?问题2用“>”或“<”填空,并总结其中的规律:(1)5>3,5+23+2,5- 23- 2;(2)- 1<3,- 1+23+2,- 1- 33- 3;(3)6>2,6×52×5,6×(- 5)2×(- 5);(4)- 2<3,(- 2)×63×6,(- 2)×(- 6)3×(- 6).依照发觉的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时,不等号的方向.当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向;而乘同一个负数时,不等号的方向.问题3除以一个数,如何用乘法去明白得?[设计用意]除以一个数等于乘那个数的倒数.这问是针对不等式的性质2,3中同时除以一个数的情形设置的.[处置方式]学生集中讨论,形成一起的结论和观点.二、不等式的性质思路一问题1依照前面问题当中的(1)和(2),你总结的不等式的性质是什么?如何用数学语言去表示?解:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.符号表示:若是a>b,那么a±c>b±c.问题2依照前面问题当中的(3)和(4),你总结的不等式的性质是什么?如何用数学语言去表示?解:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.符号表示:若是a>b,c>0,那么ac>bc.不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.符号表示:若是a>b,c<0,那么ac<bc.思路二1.等式的性质.教师第一与学生一路回忆等式的性质,学生回答等式的性质:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.等式的性质2:等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数,结果仍相等.[处置方式]教师帮忙学生回忆总结,关注学生术语表达的准确性.[设计用意]帮忙学生回忆等式的性质的得出进程,类比本节课将要学习的知识,为探讨不等式的性质做好预备,而且从学生的已有体会动身,培育学生梳理知识体系的适应.通过类比等式的性质,探讨不等式的性质,体会不等式的性质与等式性质的异同.体会类比的学习方式,积存数学活动体会.2.不等式性质的推导.师:让学生自己先确信一个不等式,仿照等式的性质1,在不等式的两边加(或减)同一个整式,看结果有何特点,在小组内讨论并总结出来.生:先任意确信一个不等式,然后按教师的要求变形,观看试探后在组内交流并总结出不等式的性质1:不等式的两边加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.符号表示:若是a>b,那么a±c>b±c.师:让学生再仿照等式的性质2,在不等式的两边乘同一个数,看结果有何特点,交流一下并总结出来.生:先自己任意确信一个不等式,然后按要求变形,观看特点,交流并总结.说明:那个地址教师设计了一个不容易发觉的陷阱,极可能会引发学生的争辩,这正是教师所期望的,思维快但考虑不周的学生可能会做出类似下面的推导:因为3<5,3×2<5×2,3×<5×,因此在不等式的两边乘同一个数,不等号的方向不变.而思维缜密的学生会做出类似的反对:3<5,但3×(- 2)>5×(- 2),因此上面的总结是错的.师:引导学生做出正确的总结.生:细致观看发此刻不等式的两边乘同一个正数与乘同一个负数结果不同,从而总结出:不等式两边乘同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘同一个负数,不等号的方向改变.[设计用意]让学生在争辩中发觉等式和不等式的性质的不同的地方,从而更好地明白得不等式的性质3.总结:不等式性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.符号表示:若是a>b,c>0,那么ac>bc.不等式性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.符号表示:若是a>b,c<0,那么ac<bc.三、例题讲解利用不等式的性质,填“>”或“<”.(1)若a>b,则2a+12b+1;(2)若- y<10,则y - 8,(3)若a<b,且c>0,则ac+c bc+c.;(4)若a>0,b<0,c<0,则(a- b)c 0.〔解析〕(1)因为a>b,将不等式两边都乘2,由不等式的性质2,得2a>2b,再由不等式的性质1,得2a+1>2b+1;(2)因为- y<10,将不等式两边都除以- ,由不等式的性质3,得y>- 8;(3)因为a<b,c>0,将不等式两边都乘c,由不等式性质2,得ac<bc,再由不等式的性质1,得ac+c<bc+c;(4)因为a>0,b<0,因此a- b>0,两边都乘c,而c<0,由不等式性质3,得(a- b)c<0.〔答案〕(1)>(2)>(3)<(4)<已知a,b,c在数轴上的对应点的位置如以下图所示,以下式子中正确的有()①b- c>0;②a+b>a+c;③bc>ac;④ab>ac.个个个个〔解析〕由数轴上a,b,c对应点的位置可知a>0,b>0,c<0,且a>b>c.①因为b>c,因此不等式两边都减去c,不等号方向不变,因此b- c>0,正确;②因为b>c,因此不等式两边都加a,不等号方向不变,因此a+b>a+c,正确;③因为b<a,c<0,不等式两边同乘c,不等号方向改变,因此bc>ac,正确;④因为b>c,a>0,不等式两边同乘a,不等号方向不变,因此ab>ac,正确.应选D.[知识拓展]不等式的概念和性质与等式的概念和性质的相同点和不同点.相同点:不论是等式仍是不等式,都能够在它的两边加或减同一个数或代数式,乘或除以同一个正数,而维持符号不变.不同点:(1)关于等式,在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数,情形是一样的,等式仍然成立;但关于不等式,在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数却大不一样:当两边乘或除以的是正数时,不等号的方向不变,而当两边乘或除以的是负数时,不等号的方向要改变.这是等式没有的性质,它是不等式特有的,在运用不等式的性质时要专门注意这一点.(2)由于不等号“>”或“<”具有方向性,因此表达不等式的性质时不能像等式那样笼统地说“……仍是不等式”,而应明确说明变形后的不等式中的不等号的方向是改变。