高中数学第一讲坐标系二、极坐标系课件新人教版选修4-4

M ( , )

x
E (4,
5 6
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D( 2, )， 6 3 5 所在的位置？
4 )，F ( 3.5,
2
3
6
)
2 3
B A
3

7 6
2
11 6
C 4
3
3 2
5 3
E (4,
5 6
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D( 2, )， 6 3 5 所在的位置？
课堂练习
3.在极坐标系中，已知两点A( 3, ), 3 2 B(1, )，求A，B两点间的距离 . 3

课后作业
1. 设点 A( 2, ) ，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定>0，
3

－＜≤ ). 2.教材P.12习题1.2第4、5题.
O
x

M y N x
2. 极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系： y
x cos , y sin . ①
O
x

M y N x
2. 极坐标与直角坐标的互化
由①又可得到下面的关系式：
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
y
O
x

M y N x
2. 极坐标与直角坐标的互化
由①又可得到下面的关系式：
y x y , tan ( x 0) x
(4, 4 )，(4,

6

6
6
2 )，
2 ) 表示的点有什么
关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？
小结极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,) ( ∈R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定＞0，0＜≤2，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
第一讲坐标系
二极坐标系
问题探究
下图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： o (1)他向东偏北60 方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？实验楼图书馆 (2)如果有人打听 D C 体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
办公楼
E 45o o 50m 60 A 60m B
4 )，F ( 3.5,
2
3
6
)
2 3
B A
3
5 6
2 3
2
3
B A D
6
2
11 6

7 6
2
11 6

7 6
C 4
3
3 2
5 3
4 3
C
3 2
5 3
E (4,
5 6
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D( 2, )， 6 3 5 所在的位置？
4 )，F ( 3.5,
2
3
6
)
2 3
B A
3
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2
11 6

7 6
2
11 6

7 6
C 4
3
3 2
5 3
C 4
3
F
3 2
5 3
例2. 在图中，用点A，B，C，D，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.
D
E
C
120m 60 3m
o
45 50m
o
60 A 60m B
例2. 在图中，用点A，B，C，D，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.
D
E
C
120m 60 3m
o
45 50m
o
60 A(O) 60m B
x
思考

6
在极坐标系中， (4, )，(4,
2 2 2
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
y
O
x

M y N x
2 例3. 将点M的极坐标(5, )化成直角坐标 . 3
例4.
将点M的直角坐标 ( 3， 1)化成极坐标 .
课堂练习
1. 写出图中A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标（＞0，0≤ ＜2 ）.
2
5 6
教学楼
120m
体育馆
讲授新课
1. 极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系. M ( , ) O x
讲授新课
1. 极坐标系的概念
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角，记为.有序实数对(,) 叫做点M的极坐标，记作M(, ).
4 )，F ( 3.5,
2
3
6
)
2 3
B A
3
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2
11 6

7 6
2
11 6

7 6
C 4
3
3 2
5 3
4 3
C
3 2
5 3
E (4,
5 6
例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D( 2, )， 6 3 5 所在的位置？
M ( , )
O

x
பைடு நூலகம் 讲授新课
1. 极坐标系的概念
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角，记为.有序实数对(,) 叫做点M的极坐标，记作M(, ). 一般地，不作特殊说明时，我们认为≥0，可取任意实数. O
问题探究平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？
2. 极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系： y
4
..
C

D E
4 3
B A
5 3
2
F
G
课堂练习
2. 中央气象台在2004年7月15日10︰30 发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440 公里的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级. 请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置.

合集下载

数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)

例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
G
4 3
•
5 3
F(6, 4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
思考: 对比直角坐标系，比较异同极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 角度单位和正方向 ____________________；
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
(0, ), 可为任意值. 极点的极坐标为_________________
情境2：请问到深大附中怎么走？从这向南走200米.
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向南走 2 0 0 米！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
二、新知学习
1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点.
A(3, 0) D (5, G (6, 4 3 5 3 ) ) B ( 6 , 2 ) E (3, 5 6 ) C (3,

2
)
F (4, )
[小结] 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究如图：OM的长度为4，

高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2

φ称为高低角.
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4，，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ．－2 2，2 2，3
C ．－2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4

.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(

π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，

)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，

数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间柱坐标系与球坐标系

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系

3．点的空间坐标的互相转化公式设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝转换公式，，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
，，
1.(ρ，θ，z) 空间的点自我校对 2.正向标系逆时针球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底半径为 ρ0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行于 Oxy 坐标面的平面．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝， 6
π θ＝，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.

数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)

教学目标: 1. 理解极坐标的概念 2. 学会用极坐标表示平面上的点教学重点: 1. 理解极坐标的意义 2. 能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
一、问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：请问到深大附中怎么走？从这向南走200米。问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？
情境2：请问到深大附中怎么走？从这向南走200米.
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向南走 2 0 0 米！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
二、新知学习
1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点.
请说出点M的极坐标的其他表达式思考：这些极坐标之间有何异同？极径相同，不同的是极角思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。 π 2kπ+ 4，本题点M的极坐标统一表达式： 4 O
4

M
X
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
三、小
结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？有。（ρ ，2kπ +θ ）四、课后作业教材P14-15页5，8，9，10，11 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) (A) (10, 4) (B) (-10, - 5) (C) (10, - 2) (D)(10, 2) 3 3 3 3

人教版高中数学选修4-4 第一讲坐标系二极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为直0)角坐标方程的形
式是（）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

高中数学第一章坐标系2极坐标系课件新人教A版选修4-4

2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
将点的直角坐标化为极坐标
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0,0≤θ<2π)： (1)(－2,2 3)；(2)( 6，－ 2)；(3)32π，32π. 【思路探究】利用公式 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)，但求角 θ 时，要注意点所在的象限．
图 1-2-1
2．互化)，极坐标是(ρ，
θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 ， tan θ＝ x2＋y2
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-3第一讲-坐标系

2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化，设曲线上任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则极坐标方程与直角坐标方程的互相转化公式为：y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2.
【例 3】
π 在极坐标系中，圆 ρ＝4sinθ 的圆心到直线 θ＝6(ρ
∈R)的距离是________．
【解析】
圆 ρ＝4sinθ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，其
π 圆心为 C(0,2)，直线 l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0； 6 |0－2 3| 所以点 C 到直线 l 的距离是 d＝＝ 3. 2
【例 1】
求圆心在
并把它化为直角坐标方程．【分析】数形结合，先描绘圆的大致位置，找出圆上任一点满足的几何条件．
【解】
如图，设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任意一点，连
3 接 OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－ π，∠BMO＝ 2 π 2.
从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB. 即
与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|.
【解】
x＝ρcosθ， (1)因为 y＝ρsinθ，
所以 ρ2＝x2＋y2，
由 ρ＝2sinθ＋4cosθ，得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标

4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________．答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝（ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|；当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．

第一讲坐标系知识归纳课件(人教A选修4-4)

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考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．
返回
真题体验 1．(2012· 安徽高考)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直 π 线 θ＝ (ρ∈R)的距离是________． 6 解析：将 ρ＝4sin θ 化成直角坐标方程为 x2＋y2＝4y，即 x2
返回
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得＝，即＝，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
返回
[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
求曲线 C 的方程，并判断其形状．
[解]
x′＝2x，将 y′＝2y
代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1 中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1. 52 1 2 化简，得(x－ ) ＋(y＋3) ＝ . 2 4 5 1 该曲线是以( ，－3)为圆心，半径为的圆. 2 2
返回
返回
利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼
顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好
是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．
返回
[例1]
已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离
为4，A、B是圆上的两动点且满足∠APB＝90°，求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程． [解] 如图，以圆心O为原点，OP

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