北师大版七年级数学第二章有理数精品教案
北师大版七年级数学上
第二章有理数及其运算
本章整体说课
【教学目标】
知识与技能
1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.
2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，知道a的含义（这里a表示有理数）.
3.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）.
4.理解有理数的运算定律，能运用运算律简化计算.
5.能运用有理数的运算解决简单的问题.
过程与方法
1.在求一个数相反数和绝对值的过程中，让学生掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.
2.能按照有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除及混合运算，掌握计算的方法和技巧.
3.能用科学记数法表示数，以及用四舍五入法取近似数，掌握表示的方法.
情感、态度与价值观
1.在认识数的过程中，体验知识之间的必然联系，激发学生爱数学、学数学的兴趣.
2.培养学生养成认真做题的良好习惯，认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
3.在解决问题的过程中，能对问题提出自己的猜想，树立学好数学的信心.
【教材分析】
【重点难点】
重点：理解有理数的意义，掌握有理数的运算法则和运算律，会用科学记数法表示较大的数.
难点：利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算解决简单的实际问题.
【教学建议】
1.负数是一个比较抽象的概念.在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际背景，通过生活中具有相反意义的量的讲解，让学生接受负数的概念.
2.本章的重点内容是有理数的运算，所以一定要让学生有足够的练习的机会.只有通过一定量的计算实践，才能真正体会并熟练掌握有理数计算的一些技巧.让学生通过计算、观察、猜测、归纳等数学活动，自己总结出有理数的运算律.
3.绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程，与绝对值相关的知识、如数轴上两点之间的距离的表示、绝对值不等式等，都是在后续学习中要专门安排的，因此这里不要涉及.本章安排绝对值概念，目的是为了有理数运算作准备，会求一个数的绝对值就达到了本章的要求。教科书中用字母表示求一个数的绝对值的结论，只是给出一个数的绝对值的符号表示，教学时不要对这个符号表示进行变式训练，更不要在绝对值中出现字母并加以讨论.
4.计算器是一个既简便又实用的计算工具，让学生通过实际操作，掌握计算器的基本用用法.
5.在本章的学习中，要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用.
【课时划分】
2.1有理数
【教学目标】
知识与技能
1.通过实例理解引入新数的必要性.
2.能用正数和负数表示具有相反意义的量.
3.培养逻辑思维能力，以及按一定规律对事物进行分类整理的能力.
过程与方法
通过引导学生观察日常生活中的实际问题，使学生通过自主式学习和探究式学习，总结出表示新数的方法和意义，初步培养学生的创新能力.
情感、态度与价值观
1.通过实例，使学生深刻体会到有理数和负数的实用性，加深对数的理解.
2.让学生体会到数学中的基本概念都来源于实际需要．
3.让学生进一步了解学习数学对于解决实际中各种问题的必要性，增强学习数学知识的兴趣.
【重点难点】
重点：
1.掌握负数及有理数基本概念．
2.能够对学过的数进行分类.
难点：
1.理解负数的概念及其特点．
2.分析各个数集之间的关系.
【教学准备】
教师准备：多媒体课件
学生准备：预习教材P23-24
【教学过程】
一、教学导入
导入一
师：同学们小学都学过哪些数？
生：整数、小数、分数、奇数、偶数……
师：原始社会，从打猎记数开始，首先出现自然数，经过漫长岁月，人们用数"0"表示没有，随着人类的不断进步，在丈量土地进行分配时，又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分数。那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢？
【设计意图】通过介绍数的产生与发展，向学生渗透 "实践第一"的辩证唯物主义观点，使同学们感到，数的每一次发展都是为了满足社会生产与生活的需要。也为讲述有理数概念及分类作好铺垫.
导入二
观察课本P22的图片．
珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，记作：+8844.43米；吐鲁番盆地低于海平面155米，记作-155米.
教师出示图片，提出问题：
1.生活中我们会遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？
2.你在小学的学习中对负数有什么样的认识？
3.有了负数，数的运算与过去相比有什么区别和联系？有了负数，能解决哪些实际问题？
本章将在小学学习的基础上，进一步学习负数，研究有理数的有关概念及其运算，并利用有理数的知识解决实际问题。
[处理方式]在学生小学已经学习过用负数表示具有相反意义的量的基础上，提出以上三个问题，前两个问题由学生回顾学过的知识，思考后回答；第三个问题由学生讨论后，发表自己的意见.
【设计意图】通过提供学生熟悉的情景引导学生回顾小学有关负数的知识，三个问题不仅为本节课温故引入，也为本章的学习做了铺垫。学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用，激发了学习本章内容的兴趣。
二、新知构建
[过渡语]同学们，生活中处处有数学，下面我们一起探究实际问题与数学的联系吧.
【探究活动1】认识生活中的负数
（多媒体出示）请同学们完成以下问题，并与同伴交流．
答对答错不回答
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．两个代表队答题情况如下表：
答题情况
第
一
队
第
二
队
吗？
思路一：试完成下表：
思路二:
1.提出思考问题：（课件展示）
（1）第一队答对几题？是如何表示的？答错几题，又如何表示？
（2）第二队答对几题？是如何表示的？答错几题，又如何表示？
（3）如何理解+6和-2.
思考：生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同伴进行交流.（多媒体出示图片）
[处理方式]：学生思考交流，完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评.
师生总结：“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量.为了表示具有相反意义的量，我们把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个意义相反的量规定为负的，用负数来表示.
【设计意图】本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，用知识竞赛得分的情景启发学生用正负数表示相反意义的量.通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用正负数表示的量，从而体会学习负数的必要性.由于从学生熟悉的情景讨论问题，学生参与积极，在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要.
【探究活动2】用正、负数表示生活中具有相反意义的量
[过渡语]我们已经认识了负数，你能顺利的利用正数和负数表示生活中具有相反意义得量吗？请同学们观察例1，想一想如何解答．（多媒体出示例1）
例1（1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记
作＋0.02克，那么﹣0.03克表示什么？
（3）某大米包装袋上标注着：“净重量：10kg±150g”，这里的“10kg
±150g”表示什么？
[处理方式]：先独立思考，再小组交流，如何用正、负数表示生活中
具有相反意义的量.
思路一
如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么和逆时针方向具有相反意义的量是，所以沿顺时针方向转了12圈可表示为；一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么和超出标准质量具有相反意义的量是，所以﹣0.03克可以表示为；综上所述，“净重量：10kg±150g”，这里的“10kg±150g”表示 .
思路二
（1）想一想：什么是具有相反意义的量？
答对题的得分答错题的得分未回答题的得分第一队+6
第二队-2
（2）品一品：如何表示具有相反意义的量？
（3）考一考：和逆时针方向具有相反意义的量是，和超出标准质量具有相反意义的量是 .
学生活动，教师巡视发现问题，并及时解决.
解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈.
（2）-0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克.
（3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有150g的误差，即最多超出标准质量150g，最少少于标准质量150g.
[过渡语]同学们，我们已经知道了可以用正数和负数表示具有相反意义的量，那么一起来试一试吧.
3.反馈练习（课件展示）
（1）在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分，那么扣20分记作什么？（-20）
（2）东、西为两个相反方向，如果-4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么？物体原地不动记为什么？（向东运动2米，0米）
（3）某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨，那么运出3.8吨应记作什么？（-3.8吨）
4.议一议：
你能选定一个高度为标准，用正负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗？你是怎样表示的？与同伴交流．
[处理方式]：通过例题和练习题的分析，让学生知道用正负数表示相反意义的量时要明确“基准”.例1中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球标准质量”“10kg”. “议一议”则联系生活实际让学生学会如何选定“基准”。
学生认识当用正负数表示相反意义的量时要考虑“基准”.“0”是常用的基准，但不是所有的基准都必须为0.
【探究活动3】有理数概念及分类
1.新的整数、分数概念：引进负数后，数的范围扩大了．过去我们说整数只包括正整数和零，引进负数后，正整数前加上负号的数叫做负整数，因而整数包括正整数、负整数和零，同样分数包括正分数、负分数.
整数和分数统称为有理数．（有理数分类结构图）
2.有理数的分类
问题：为了便于研究某些问题，常常需要将有理数进行分类，需要不同，分类的方法也常常不同，根据有理数的定义可将有理数分成两类：整数和分数．有理数还有没有其他的分类方法？
待学生思考后，请学生回答、评议、补充．
教师小结：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零，并指出，在有理数范围内，正数和零统称为非负数．并向学生强调：分类可以根据不同需要，
用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．
[处理方式]：教师引导学生探讨新出现的数的分类，引出有理数的概念，认清不同的分类方法．
【设计意图】使学生在原有认知结构的基础上，将数扩充到了有理数的范围．通过练习使学生加深理解有理数的意义．
【知识拓展】对正数和负数的理解要注意以下几点：
（1）并不一定必须将某一种量规定为正，若将其中的一种量规定为正，则与其意义相反的量即为负.
（2）零既不是正数，也不是负数，这个数十分特殊，随着我们学习，对于这个零这个数将有更深刻的认识.
（3）负数前面的“一”号，表示这个数的性质，是性质符号，读作“负”号，但正数前面的“+”可以省略.
三、课堂总结
1．正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量，例如…
2．正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限.
3．有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.
四、检测反馈
1.如果将汽车向东行驶3千米，记为+3千米，那么记为﹣3千米表示的是（ ）
A .向西行驶3千米
B .向南行驶3千米
C .向北行驶3千米
D .向东南方向行驶3千米 （解析：先根据向东行驶3千米，记为+3千米，可确定向西为负，而﹣3千米表示的应是向西行驶3千米，故选A ）
2.在0，2，﹣7，﹣531，
3.14，﹣7
13，﹣3，+0.75中，负数共有（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 （解析： 在正数的前面加上“－”号即是负数，题目中的﹣7，﹣531
，﹣713，﹣3是负数.
故选D .）
3.飞机上升了﹣80米，实际上是（ ）
A .上升80米
B .下降﹣80米
C .先上升80米，再下降80米
D .下降80米
（解析：解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反，即下降.故选D .）
4.举一个能用正数、负数表示其中的量的生活实例，并解释其中相关数量的含义.
（解析：只要满足题意即可，如：河道中第一天的水位是－0.2米，第二天的水位是+0.3米，其中－0.2表示比正常水位低0.2米，+0.3表示比正常水位高0.3米.）
五、板书设计
2.1有理数
1.正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量，例如…
2.正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限.
3.有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、
零、负有理数分成三大类.
六、布置作业
（一）教材作业
必做题：教材第26页习题2.1的2、3题.
选做题：教材第26页习题2.1的4、5题.
（二）课后作业
【基础巩固】
1.下列结论中正确的是（）
A.0既是正数，又是负数
B.0是最小的正数
C.0是最大的负数
D.0既不是正数，也不是负数
2.向东运动记作“+”，向西运动记作“﹣”，下列说法正确的是（）
A.﹣5表示向东运动了5米
B.向西运动5米表示向东运动了﹣5米
C.+5表示向西运动了5米
D.向西运动5米也可以记作向西运动﹣5米
3.武汉市夏季气温比较高，若以30℃为标准，高出标准的为正，低于标准为负，则38℃与28℃分别记作（）
【能力提升】
6. 如果海平面的高度为0m，一潜水艇在海平面以下40m处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10m，处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度.
7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量：
（1）钟表的指针逆时针方向旋转20°记作，顺时针方向旋转30°记作.
（2）孔子出生于公元前551年，如果用﹣551年表示，那么司马迁出生于公元前145年可表示为，欧阳修出生于公元1007年可表示为年.
（3）运进200箱记作，运出150箱记作．
【拓展探究】
8.某日小明在一条南北方向的公路上跑步，他从A地出发，如果把向北跑1100m记作－1100m，那么他折回来又继续跑了1200m是什么意思？这时他停下来休息，此时他在A地的什么方向？距A地多远？
【答案与解析】
1.D（解析：根据0既不是正数，也不是负数，可以判断A、B、C都错误，D正确．）
2.B（解析：A、﹣5米表示向西走了5米，故A错误；B、﹣5米表示向西走了5米，故B 正确；C、5米表示向东走了5米，故C错误；D、向西运动5米记为负5米，故D错误.）
3.A（解析：∵以30℃为标准，高出的为正，低于标准为负，∴38℃与28℃分别记作：+8℃，-2℃，故选A.）
4.8℃～22℃．（解析：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃﹣2℃=18℃，最高温度是
6.-40m,-30m.解析：因为海平面的高度为0m，所以低于海平面的高度为负数，即潜水艇和鲨鱼的高度都在海平面的下方，故分别为-40m和-30m.
7.（1）﹣20°，+30°；（2）﹣145，+1007；（3）+200箱，﹣150箱.
（解析：一般情况下逆时针记为负，则顺时针记为正；公元前记为负，同公元记为正；运进记为正，则运出记为负.） 8. 解：如果把向北跑1100m 记作－1100m ，那么他折回来又继续跑1200m ，说明小明又向南跑了1200m ，此时他在A 地的南边，距A 地的距离=1200－1100=100m .（解析：画出草图，根据图形解答即可.）
教学反思
成功之处：
本节课以学生的数学探究活动为主线，借用生活场景引出问题，从而围绕这一问题进行探索，教师启发引导，及时了解与评定学生的学习情况，进行反馈调节.同时使用多媒体辅助教学，生动形象地展示教学内容，不但可以提高学习效率和质量，而且容易激发学生的学习兴趣和积极性.
不足之处：
学生在刚开始接触这部分内容时或多或少会有点不习惯.对具有相反意义的量的理解不是太好，学习中发现仍有部分同学在书写负数时漏掉负号.
再教设计：
在教学方法和教学语言的选择上，尽可能注意中小学的衔接，既不违反科学性，又符合可接受性原则，教师在课堂上要起好主导作用，并让学生有充分的活动机会，使得课堂气氛有新鲜感．
课后习题解答
教材第25页：随堂练习
1.解：（1）零下3℃记作-3.（2）+2米表示向东运动2m ，问题原地不动记作0m .(3)运出
3.8t ，记作-3.8t .
2.解：正数集合：{3, ，15， 91，… }；负数集合{-7, 32-
，418-，… }；整数集合{3,-7，0，15，… }；分数集合{ ，32-，418-，9
1… }. 教材第26页：习题2.1
1.解：答案不唯一.如球队得10分与失3分，利率上调5%与下跌2%，买进5kg 与卖出4kg ,可分别表示为+10分与-3分，+5%与-2%，+5kg 与-4kg .
2.解（1）-10kW ·h ，（2）+100.57元表示盈利100.57元，（3）-6%表示减少6%.
3.解正整数：7；负整数：-301；正分数：
274，31.25，157；负分数：-9.25，10
9-，-3.5；正数：7，274，31.25，157；负数：-9.25，10
9-，-3.5，-301. 4.解：正数集合：{+2,+70，+1.5，+ 3100，+1200，… }；负数集合{-5.4,-10，，720-，-130，-1540，… }.（答案不唯一）
5.不对，因为0既不是正数，也不是负数.
6.解：设标准体重为50kg ，超过部分记为正，不足部分记为负，依次表示为+2，+1.5，-0.5，+0.5，-5，+6，-2.5，-
7.5. （答案不唯一）
【备课资料】
1.教学设计思路建议
现实生活中，“具有相反意义的量”的实例非常多，学生列举实例的前提是教师要引导
学生分析出这些实例的共同特点.对有理数的分类同样要引导学生先去观察、概括、对比、交流、讨论，所以本节课主要采取启发引导的教学方法.
由于这节课是让学生列举现实生活中“具有相反意义的量”的例子，并用正数和负数来表示，在实际背景中理解正数和负数的意义.还有让学生自己总结已经学过的数，尝试进行分类，通过交流、讨论和教师的引导，得到有理数的分类.所以独立思考、自主互助学习是本节课的主要方式.
2.经典例题 观察下面一列数：21-，32-，43-，54-，65-，7
6-,…. （1）写出第7个数和第8个数；
（2）第400百个数是多少？
（3）如果这一列数无限排列下去，那么与哪个数越来越近？
【分析】认真观察这列数，可发现均为负数，分子分别为1，2,3，…,分母相应地为2,3,4，…，利用这些规律，问题便可得解.
解（1）第7个数是8
7-
，第8个数是98-. （2）第400个数是401400-. （3）-1
【解题策略】注意分子、分母的排列及它们与项数之间的关系，由简单的、特殊的着手，发现规律，进一步验证后，再推广到一般.
2.2 数轴
【教学目标】
知识与技能
1.学会用数轴上的点表示有理数，并利用数轴比较有理数的大小.
2.了解相反数的概念及其在数轴上表示.
3.培养数形结合思想.
过程与方法
通过对比与迁移来掌握数轴的概念和性质，并通过观察来掌握相反数的概念.
情感、态度与价值观
1.通过数轴与数的结合，培养数形结合思想.
2.在实践与交流中进行自主学习，培养自学能力．
3.将所学知识进行归纳、比较，提高语言表达能力和概括能力.
【重点难点】
重点：
1.数轴的概念．
2.利用数轴表示有理数的大小.
难点：
用数轴上的点表示有理数．
【教学准备】
教师准备：多媒体课件
学生准备：预习教材P 27-28
【教学过程】
一、教学导入
导入一 观察温度计，体会特点
[过渡语]温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？ 思考：
（1）图中温度计上显示的温度各是多少？
（2）温度计上的刻度有什么特点？
请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度？
[处理方式]：找几个同学读温度计，看温度计时，因为它上
面标有刻度数，所以我们只需看一看温度计液面指在哪个刻度
上，就知道温度了．通过学生读出温度计的温度初步了解数轴的
特点．（通过多媒体展示读温度计的方法）
导入二 画情境图，体会方向与距离
在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3 m 和7.5m 处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3 m 和4.8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
思考：
（1）汽车站东3m 和西3m 分别表示什么意义？
（2）汽车站处可以理解为温度计的什么点？
请你尝试画图理解.
[处理方式]：理解题意、思考，并根据题意画图．教师指导，根据学生的画图情况用实物投影展示，对于作图较好的学生给予表扬．
【设计意图】结合实例使学生以轻松愉快的心情进入了本节课的学习，在生活中发现数学．学生感受到点与数之间的关系，从而由点表示数的感性认识上升到理性认识．同时对新知识的学习有了期待，创设问题情境，激发学生学习热情，培养学生学习兴趣．
二、新知构建
[过渡语] 由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗?
【探究活动1】 数轴的画法
思路一：
（1）学生小组活动，在讨论的基础上动手操作，在操作的基础上归纳出：可以表示有理数的直线必须满足什么条件？从而得出数轴的三个条件：原点、正方向、单位长度．
（2）让学生根据自己的理解，小组内交流，用一条直线上的点表示有理数．用实物投影仪展示学生的画图，引导学生发现画图中出现的问题，不断完善数轴的画法．板演具体做法：
第一步：画一条水平直线，定原点（如图1），原点表示0．
第二步：规定从原点向右的为正方向 那么相反的方向（从原点向左）则为负方向．
第三步：选择适当的长度为单位长度．
思路二:
1.提出思考问题：（课件展示）
图1 图2 图3
（1）小学数学是如何利用温度计表示正数和零的？
（2）如何利用直线上的点表示有理数？
[处理方式]：学生在讨论的基础上动手操作，一边画图一边说画法，然后教师加以矫正 要强调说明的是正数从0向右写，负数从0向左写．并且总结数轴的画法，最后强调数轴必须满足三个条件：原点、正方向、单位长度．也可以类似于温度计，把温度计水平放置即可．
【设计意图】借助于温度计做类比，让学生分组展开积极讨论，引导学生合作学习，指出画数轴需要具备的条件，从而揭示了本节的目标让学生正确的画出数轴．
教师引导学生总结出：
画一条水平直线，在直线上取一点表示O （叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到了数轴．
几点说明：
（1）原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
（2）直线一般画水平的；
（3）原点可取直线上任一点但一取定就不再改变；
（4）正方向用箭头表示，一般取从左到右；
（5）单位长度取适当应结合实际需要但一取定就不再改变，要做到刻度均匀．
【探究活动2】抽象建模（PPT 展示）
观察画好的数轴，思考以下问题：
（1）原点表示什么数？
（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？
（3）+3，-4，4
1，-1．5，0分别在数轴的什么位置? [处理方式]：思考，并与同桌相互叙述，互相纠正补充，语句通顺后举手回答．
结论：（1）数轴上原点右边的数表示正数，原点左边的数表示负数．
（2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
【设计意图】加深学生对数轴的认识，渗透了数形结合的思想．
【探究活动3】例题解析，应用新知
[过渡语]我们已经认识了数轴，知道了画数轴的三个条件，那么，请同学们观察例1，想一想如何解答．（多媒体出示例1）
例1 指出数轴上A ，B ，C ，D 各点分别表示什么数?
解：A 点表示﹣2，B 点表示2，C 点表示0，D 点表示﹣1．
[处理方式]：先给学生10秒钟时间观察例1中数轴的特点，再分别回答，教师板书，在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问，让学生明确A 、B 、C 、D 四点所表示的数是什么？据学生的生活经验，不难得出结论，所以让学生直接口答说出答案．
【设计意图】通过学生指出数轴上已知点所表示的数，是由“形”到“数”的思维过程，加深学生对数轴的认识．渗透了数形结合的思想．
例2 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
3 2， -5，0，5， -4，
3
-
2
．
解：如图所示．
[处理方式]：首先让学生到黑板上正确的画出数轴，其他学生在练习本上完成．教师巡视．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．让学生互相提问、点
评．一般的情况整数点比较好找，分数点有一定的难度，特别在找
3
-
2
的位置时相当多的同
学可能要出现错误，可能选择在
1
-
2
处，所以教师要及时引导和矫正．
【设计意图】本题是把用给定的数在数轴上进行描点，是由“数”到“形”的思维过程，再次渗透数形结合的思想方法．
【探究活动4】观察思考，发现规律
1．我们把温度计这样放置，温度变化的规律是什么？
2.（1）数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？
（2）正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大小？
[处理方式]：观察温度计上的温度变化，猜想数轴上的点右边的数与左边的数之间存在怎样的大小关系？你能得出哪些结论？类比温度计上的温度变化，让学生通过数轴观察，小组交流，得出第1个问题温度计上的温度会越往右温度越高，利用类比的方法观察数轴也会发现数轴上的点由左向右越来越大．根据学生的回答情况，引导学生总结出：数轴上两个点所表示数，右边的总比左边的大．
正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
【设计意图】继续运用类比的方法，通过演示和讲解，强化学生的视觉感受，从而得出有理数大小比较的方法，深化对数轴的认识，进一步渗透了数形结合的思想．反馈练习：（PPT展示）
比较下列每组数的大小，并说明理由．
（1）-2和 +6．（2）0和 -1.8．（3）
3
-
2
和 -4．
[处理方式]：由学生讨论、自己动手做，借助数轴或结论比较数的大小或者直接利用上面的结论．可由三名学生黑板板演，其他学生在练习本上完成，然后给板演的答案纠错、规范解答步骤，最后教师出示解答步骤，学生更改自己解题答案或步骤．
【设计意图】通过练习加深利用数轴比较数的大小，即数轴上两个点所表示数，右边的总比左边的大．正数大于0，负数小于0，正数大于负数，从而深化了目标．【知识拓展】数轴是一条直线，可向两方无限延伸，数轴的三要素为原点、正方向、单位长度.画数轴时，三要素缺一不可.原点的的选择和长度单位的大小是根据需要确定的，
一般取向右的方向为正方向.任何一个有理数都能表示在数轴上，但数轴上的点并不都表示有理数.
三、课堂总结
本节课主要学习了：
1.数轴的定义，能够正确的画出数轴．
2.给出数可以正确的描点，根据数轴上的点可以正确的读数．
3.会借助数轴比较两数的大小．
【设计意图】通过小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也有利于培养学生归纳、概括的能力．使学生不仅有知识上的收获，而且在能力和情感上都有所发展．四、检测反馈
1．若数轴规定了原点向右的方向为正方向，则原点表示的数为________，负数所表示的点在原点的_________，正数所表示的点在原点的________．
（解析：由数轴的定义可知，故填0，左侧，右侧. ）
2.在数轴上，有理数－3与原点的距离为_________个单位长度．
（解析：-3表示离开原点的距离为3个单位长度.故填3.）
3.下列图形中，不是数轴的是 ( )
（解析：此题考查的是数轴的三要素原点、正方向、单位长度.故选B.）
4．如图，在数轴上A、B两点所表示的有理数分别为 ( )
A．3．5和3B．3．5和－3C．－3．5和3D，－3．5和－3
（解析：在数轴上原点右边的数位正数，左边的数为负数，所以A表示-3.5，B表示3.故选C.）
5．下列说法中，正确的是 ( )
A．数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线
B．离原点近的点所表示的有理数较小
C．数轴可以表示任意有理数
D．原点在数轴的正中间
（解析：选项A，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的射线是错的，选项B，离原点近的点所表示的有理数较小是错的，选项C，数轴可以表示任意有理数是对的，选项D，原点在数轴的正中间是错的.故选C.）
6．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 ( )
A．a、b、c均是正数B．a、b、c均是负数
C．a、b是正数，c是负数D．a、b是负数，c是正数
（解析：本题考查数形结合思想，a、b在数轴的左侧为负数，c在数轴的右侧为正数.）7．如图，在数轴上到原点的距离为3个单位长度的点是 ( )
A．D点B．A点C．A点和D点D．B点和C点
（解析：本题考查数形结合思想，在数轴上到原点的距离为3个单位长度的点有两个为3和-3，所以A点和D点符合要求.故选C）
五、板书设计
2.2数轴
1.数轴定义：
2.数轴三要素
3.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．比较大小
六、布置作业
（一）教材作业
必做题：教材第29页习题2.2的1、2、3题.
选做题：教材第29页习题2.2的5题.
【设计意图】通过设置分层作业满足不同层次学生的需求，面向全体学生布置了必做题与选作题，较好地满足各层次学生的心理需求和学习需要．
（二）课后作业
【基础巩固】
1．在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是 ( )
A．负数B．非负数C．正数D．正整数和0
2．在数轴上，距离原点4个单位长度的点所表示的数是 ( )
A．4B．－4C．±4D．无法确定
3．下列说法中，错误的是 ( )
A．数轴上原点表示的数是0
B．任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示
C．数轴上到原点的距离为6的点表示的数为6
D．数轴上表示正数的点位于原点的右侧
4．在数轴上标出表示下列各数的点：－11
2
，5，0，2．5，－5．
5．如图，指出数轴上的点A、B、C、D所表示的数．
【能力提升】
6．点A从数轴上的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，此时它表示的数是多少?
7．在数轴上，将点A先向右移动8个单位长度，再向左移动5个单位长度即可到达点B．若点B表示的数为4，则点A表示的数是多少?
【拓展探究】
8．数轴上的点A对应的数是－3，一只蚂蚁从A点出发沿着数轴以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的B点后，立即沿原路返回A点，共用去11s．
(1)蚂蚁爬行的路程是多少?
(2)点B对应的数是多少?
【答案与解析】
1.B解析：数轴上原点右边一般表示正数，左边表示负数，所以原点及原点右边表示正数
和0，即非负数.故选B .
2.C 解析：数轴上离开原点4个单位长度的点有两个，一个+4，一个-4，所以为±4.故选
C .
3.C 解析：选项A ，数轴上原点表示的数是0是对的；选项B ，任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示是对的；选项C ，数轴上到原点的距离为6的点表示的数为6是错误的，应为±6；选项D ，数轴上表示正数的点位于原点的右侧是对的.故选C .
4.
5．－4，－1，0，4 解析：点A 、B 、C 、D 表示的数分别为－4，－1，0，4.
6．2 解析：从数轴上的原点开始，先向左移动3个单位长度，表示的数为-3，再向右移动5个单位长度，表示的数为2，故填2.
7．点A 表示的数是1 解析：在数轴上，因为点B 表示的数为4，所以向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位就是1.故填1.
8．(1)22个单位长度； (2)因为A 、B 两点相距11个单位长度，所以点B 对应的数为8或－14
教学反思
成功之处：
在教学过程中不断创设问题情境，激发学生的求知欲，培养学生由浅入深，循序渐进的思维过程.在具有较多的时间和空间的条件下，让学生亲身参加探索发现，主动的获取知识和技能．
教学过程中运用类比、数形结合的方法让学生从实际问题入手，从模仿开始，由易而难，遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律．引导学生掌握学习方法，将所学的知识进行归纳总结．
不足之处：
学生在画数轴时容易出现一些画法上的小错误，所以作为教师在示范时要同时附上几点说明：原点、单位长度和正方向三要素缺一不可．
再教设计：
在教学的过程中要注意从培养学生的数形结合思想入手，引导学生进行对比与归纳，增强学生的自学与理解能力．
课后习题解答
教材第29页：随堂练习
1.解：图略.3＞1.5＞0＞-0.5＞43-＞-
2.用“＞”连接是指将各数由大到小排列并用“＞”顺次连接.
教材第29页：习题2.2
1.解：A ：-3，B ：3.5，C ：2，D ：0，E ：0.5.-3＜0＜0.5＜2＜3.5
2.解：图略.7＞
34＞0＞54-＞-3.5或-3.5＜54-＜0＜3
4＜7. 3.解：（1）-10＜-7；（2）-3.5＜1；（3）21-＜41-；（4）-9＜0；（5）-5＜-2.7＜3；（6）-4.1＜-3.9＜3.8.
4.解：（1）12.7℃，0.5℃，-1.2℃，-7.6℃，-20.8℃.（2）略.
5. 0.
211-5 0 -5 2.5
【备课资料】
1.教学设计思路建议
（1）为了让学生直观理解，接受新知，借助多媒体辅助教学，通过动画展示数轴的形成过程，填补学生空间想象力不足，培养学生的观察能力．
（2）充分发挥教师的主导作用与学生的主体地位，教师精心设问，充分体现知识的发生、发展过程，解决学生的认知矛盾，培养学生思维的灵活性及创新意识．
2.经典例题
如图，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）.
A. 1.5 B . -1.5 C . -2.4 D . 2.4
【分析】本题考查数形结合思想.观察数轴，知点A 位于原点的左侧，故点A 表示的是一个负数.观察数轴可知点A 表示的数在-3与-2之间，故选C .
【解题策略】本题考查了数轴，数轴的三要素（正上方、原点、单位长度），原点左侧的点表示负数，右边的点表示正数.
2.3 绝对值
【教学目标】
知识与技能
1.能求一个数的绝对值.
2.利用绝对值比较两个负数的的大小.
3.解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.
过程与方法
指导学生借助数轴，通过观察实例来理解绝对值的概念，体会绝对值的意义.
情感、态度与价值观
1.数形结合思想.
2.观察与归纳．
【重点难点】
重点：
1.理解绝对值、相反数的概念．
2.会用绝对值解决实际问题.
难点：
1.利用绝对值比较两个负数的的大小．
2.体会绝对值的意义和作用.
【教学准备】
教师准备：多媒体课件
学生准备：预习教材P 30-31
【教学过程】
一、教学导入
导入一
问题1：我们正在学习的这一章知识的标题是什么？
问题2：如果我们把数学知识比喻成一条条链子的话，那么每一个知识点就是组成链子的每一环，一环扣一环，环环相扣，才能组成一条完整的链子．你能不能说一下，组成“有理数及其运算”这条链子的环，我们已经学过哪几个了？ 0 ·
A
[处理方式]：教师要引导学生从数学的功能性方面进行比喻，必要时给与提示．提示性语言可以是：数学就是一种工具；这种工具可以推动其他知识的学习；数学是一种机器；这种机器由许许多多的链子组成；组成的链子要一环扣一环……
【设计意图】从给数学打比喻引入，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会了我们所学知识的内在联系．
导入二
问题1：如果支出50元记作-50元，那么收入50元记作什么？
问题2：河道中的水位比正常水位高3厘米记作+3厘米，那么比正常水位低3厘米记作什么？
[处理方式]：引导学生通过类比的方法，让学生完成两个问题的解答．然后教师总结这些问题的共同方面，即实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数，并且像+3与-3这样的一对数较为特殊，从而引入出新课．
【设计意图】用正负数表示意义相反的量,并发现特殊的一对数，从而为本节课的学习做好铺垫．
导入三
下列各数中：-3，32，-5，3，0，5，32
-， 1.哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?
2.画一条数轴，并在数轴上标出上面各数.
学生活动：认真思考，动手操作，画数轴标数字.
【设计意图】从学生已有的知识出发，有意识的激活学生头脑中已有的这部分知识，促进学生把旧知识迁移到新的学习中来，为本节课的学习的打下了坚实的基础.
二、新知构建
[过渡语]请同学们仔细观察下面的数，它们有什么特点： -3，32，-5，3，0，5，32-
. 【探究活动1】互为相反数的概念
3与-3有什么相同点，有什么不同点？32与32
-，5与-5呢？你还能列举两个这样的数吗？
思路一：
小组交流讨论它们的异同点，并回答：这三对数只有符号不同.
像以上这样，如果两个数只有 ，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数称互为相反数．
特别地，0的相反数是0. （板书）
正数的相反数是 ；
负数的相反数是 .（板书）
尝试训练：分别写出下列各数的相反数：5，-7，2
13-, +11.2,0.
解： 5的相反数是-5，-7的相反数是7，213-的相反数是213，+11.2的相反数是-11.2， 0的相反数是0.
设计意图 ：通过学生的自主探究、合作交流、观察发现理解并掌握本节课的第一个重点，让学生在尝试中发现，在实践中体验，培养学生观察分析、归纳总结的能力.
思路二:
（多媒体出示）请同学们观察3与3-，23与2
3-，5与5-有什么相同点和不同点，完成以下探究问题，并与同伴交流．
1．相反数的概念：如果两个数只有 不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数 ．特别地，0的相反数是 ．
尝试训练：
(1)-25的相反数是_____；(2)1.7与_______互为相反数；(3)x 的相反数是_______．
[处理方式]：学生直接口答，第(3)小题是利用字母表示数，比较抽象，教师可以先让学生讨论再适当引导．
【设计意图】本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对相反数的概念从感性认识上升到理性认识．通过求x 的相反数，让学生加深对相反数的理解．
【探究活动2】绝对值的概念及其意义
思路一
完成以下问题，并与同伴进行交流．（多媒体出示）
1．请将上面三组数用数轴上的点表示出来，并思考每组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系？
（1）3与-3； （2）23与2
3-； （3）5与5-．
2．在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的_____，并且与原点的距离____.
3．绝对值的概念：
在数轴上，一个数所对应的点与_________的________叫做这个数的绝对值.
有理数a 的绝对值记作________，其含义是______________________.
4．根据绝对值的定义可知，|+2|=_____；|-3|=______；|0|=_______；|1.5|=______．
[处理方式]：在老师的指导下，让学生通过自学与小组讨论相结合的方式初步理解绝对值的概念，并能利用字母表示出一个数的绝对值，体会到“绝对值”就是一个表示距离的数值.
【设计意图】通过利用数轴上的点学习绝对值的概念，在掌握绝对值概念的同时，体会数形结合思想的应用．
思路二
如果在你刚才所画数轴的+3和-3处各有一只蚂蚁向原点爬去，会是谁先爬到呢？为什么？观察3与-3， 32与32
-，5与-5这三组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系？ [处理方式]：合作讨论，得出答案是同时到达.因为两只蚂蚁爬行的距离都是3个单位长度.
结论：这两对数所对应的两组点中每一组中的两个点，一个在原点的两侧，而且与原点的距离相同.
师生共同总结：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等.（板书）
在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度，与位于原点何方无关．
像这样在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.（板书）
例如，+2的绝对值等于2，记作︱+2︱=2；
-3的绝对值等于3，记作︱-3︱=3；
【设计意图】通过学生的自主探究、合作交流、观察发现理解并掌握本节重点，突破难点，让学生在尝试中发现，在实践中体验，亲身经历知识的形成过程，培养学生观察分析、归纳总结的能力.
【探究活动3】对绝对值概念的进一步理解．（多媒体出示）
1.在数轴上表示+5的点到原点的距离是个单位长度，所以+5的绝对值是，记作；在数轴上表示-5的点到原点的距离是个单位长度，所以-5的绝对值是，记作；0的绝对值是，表明它到原点的距离是个单位长度，记作 .由此可以看出，不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0（通常也称非负数）．即对任意有理数a，总有|a|≥0.（板书）
在数轴上表示-3的点和表示3的点与原点的距离都是3，所以，-3和3的绝对值都是3，记作|-3|=|3|=3.
口答：|+6|= ；|-6|= ；|3
5
|= ；
|
3
5
|= .
由绝对值的意义，引导学生归纳出：
1．互为相反数的两个数的绝对值的关系是________.（相等）
2．一个数的绝对值与这个数有什么关系？
正数的绝对值是________；负数的绝对值是_______；0的绝对值是______.
3．|a|=_________.
[处理方式]：在老师的指导下，让学生通过自学与小组讨论相结合的方式逐步加深理解
绝对值的概念.
【设计意图】通过对绝对值的概念的进一步理解，为正确求一个数的绝对值做准备，同时体会数形结合思想的应用．
【探究活动4】例题解析，应用新知
[过渡语]我们已经学习了相反数和绝对值，知道了相反数和绝对值的意义，那么，请
同学们观察例1，想一想如何解答．（多媒体出示例1）
例1 求下列各数的绝对值：
-21，9
4，0，-7.8，21，2a ． [处理方式]：第1小题，老师先交给学生做法，其余小题学生自做，写出过程后再分别口述结果即可；对于最后一小题，是老师补充的，可以先让学生分组讨论，再共同完成（多媒体出示，同时给学生半分钟时间反思体会）
解：|-21|=21；|94|=9
4；|0|=0；|-7.8|=7.8；|21|=21；|2a |=2a . 议一议：探究如何比较两个负数的大小.
1.在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：-1.5，-3，-1，-5.
2.求出1中各数的绝对值，并比较它们的大小；
3.我发现：两个负数比较大小，____________.
[处理方式]：通过学生的独立思考、交流讨论，探究并总结比较两个负数大小的方法．
【设计意图】由利用数轴比较两个负数的大小，引导到利用绝对值比较两个负数的大小，从而探究总结出比较两个负数大小的方法.
例2 比较下列每组数的大小：
（1）-1和-5； （2）6
5-和-2.7 解：（1）∵|-1|=1，|-5|=5，…………………………（首先求出两个负数的绝对值） 1<5 ……………………………………（再比较两个绝对值的大小）
∴-1>-5………………………………（根据“绝对值大的反而小”下结论）
（2）∵|65-|=65，|-2.7|=2.7， ………………（首先求出两个负数的绝对值） 6
5<2.7……………………………………（再比较两个绝对值的大小） ∴6
5->-2.7…………………………（根据“绝对值大的反而小”下结论） 【知识拓展】 1.相反数是成对出现的，不能单独出现.
2.距离不能为负值，所以任何一个有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0.
3.为了便于解决有关绝对值的问题，绝对值的代数意义可以这样理解：正数和0的绝对 值是其本身，负数的绝对值是其相反数，即|a |= 三、课堂总结
本节课主要学习了相反数、绝对值的概念、运算及其意义．绝对值是学生以前没有接触过的比较抽象的概念，需要教师正确的引导，通过对绝对值的学习，加深了对正、负数的理解，为以后的学习打下了基础．
四、检测反馈
1._______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身.
（解析：倒数等于它本身的数是±1，正数和0的绝对值等于它本身.故填±1，正数和0. ）
2.a +b =0,则a 与b _______.
（解析：互为相反数的两数的和为0，故填互为相反数. ）
3．绝对值最小的有理数是________；
（解析：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，0的绝对值为0，故填0. ）
a （a ≥0） -a （a ＜0）
初中数学北师大版七年级上有理数加法课件
初中数学北师大版七年级上有理数加法课件 有理数加法教学过程 一、学习目标: 1、经历探索有理数加法法则的过程,理解有理数 的加法法则。 2、根据有理数的加法法则能熟练进行有理数的加 法运算。 教学重点: 1、有理数的加法法则。 2、异号数相加。 教学难点: *异号数相加。二、自学指导 : 1 、请同学们预习课本 P 5 2 - 5 5 内容。 第三组: 第一场第二场 2 、根据图示请列出表达式并解释 : 用 1 个表示赢一个球 , 用一个表 示输一个球 , 那么就输赢相 抵 , 则比赛情况如下 : 第四组:
第一组: 第一场第二场 第一场第二场 第五组: 第二组: 第一场第二场 第一场第二场3 、一只蚂蚁在数轴上爬行,以原点为起点,规定向东的方向为正方向,向西的方向为负方向,根据图示列 出表达式并加以解释: ( 1 ) 先向东爬行 2 个单位 , 再向东 爬行 3 个单位 , 最后位置如何 ? -1 0 1 2 3 4 5 6 ( 2 ) 先向西爬行 2 个单位 , 再向西 爬行 3 个单位 , 最后位置如何 ? -6-5 -4-3 -2-1 0 1 ( 3 ) 先向西爬和 3 个单位 , 再向东 爬行 2 个单位 , 最后位置如何 ? -4-3 -2-1 0 1 2 3 ( 4 ) 先向东爬行 3 个单位 , 再向东 爬行 2 个单位 , 最后位置如何 ? -4-3 -2-1 0 1 2 3 ( 5 ) 先向西爬行 4 个单位 , 再向东
爬行 4 个单位 , 最后位置如何 ? -4-3 -2-1 0 1 2 34 、有理数加法法则 : 同号两数相加 , 取相同的符号 , 并把绝 对值相加。 异号两数相加 , 取绝对值较大的加数 的符号 , 并用较大的绝对值减去较小的绝 对值。 互为相反数的两数相加得零。 一个数同 0 相加 , 仍得这个数。三、自学检测 (一) 比一比,看一看,看谁能够准确来运算: 1 口算: - 1 0 ① + 7 + + 3 ② - 7 + - 3 1 0 4 - 4 ③ - 7 + 3 ④ + 7 + - 3 - 7 ⑤ + 7 + - 7 ⑥ - 7 + 0 2 计算下列各题 ①1 8 0 + - 1 0 ② - 1 0 + - 1
北师大版七年级上册第二章有理数及其运算知识点总结
1、有理数的分类 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。 1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 3）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数； 3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 1）数a 的相反数是-a （a 是任意一个有理数） 2）0的相反数是0. 有理数 整数 分数 正整数（自然数） 零 负整数 正分数 负分数 正数 零 负数 正整数 正分数 负整数 负分数 有理数
3）若a、b互为相反数，则a+b=0. 4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。数a 的绝对值记作︱a︱ 1) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0. 2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。 3）若a＞0，则︱a︱= a ;若a＜0，则︱a︱= -a ;若a =0，则︱a︱= 0 ; 6、有理数比较大小：1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 3）两个负数，绝对值大的反而小。 7、有理数的运算： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 （2）有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的，对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。 （3）运算法则 1)有理数加法法则 ①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加； ②异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0； 2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即a-b=a+(-b) 3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0. ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当因数有偶数个时，积为正. ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 4)有理数除法法则①除以一个数
北师大版数学七年级上册有理数知识点复习
本章复习 【知识与技能】 掌握本章主要知识，会求一个数的相反数和绝对值、倒数，会比较有理数的大小，能灵活运用计算法则和运算律进行有理数的运算. 【过程与方法】 通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，加深对本章知识的理解 【情感态度】 在运用本章知识解决具体问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，激发学生学习兴趣. 【教学重点】 回顾本章知识点，构建知识体系. 【教学难点】 利用有理数的相关知识解决实际问题. 一、知识框图，整体把握
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图. 二、释疑解感，加深理解 1.相反数、绝对值、倒数 相反数：如果一两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，数a的相反数为-a. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值为｜a｜. 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的 绝对值是0.用字母表示是
倒数：乘积为1的两个数互为倒数，数a 的倒数为 (a ≠0).2.科学记数法 一般地，一个大于10的数可以表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 3.有理数的混合运算法则 有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的. 4.有理数的运算律 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法的交换律：a ·b=b ·a 乘法的结合律：（ab ）c=a(bc) 乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac 三、典例精析，复习新知 例1在给出的数轴上，标出以下各数及它们的相反数：-1，2，0， ，-4.观察以上各数在数轴上的位置，解答下列问题： （1）写出以上各数和它们的相反数的绝对值. （2）比较表示在原点左边的各数的大小，并说明这些数的大小与其绝对值的关系. （3）若｜x ｜=2,则x= . （4）若整数x 满足1＜｜x ｜≤4，求x 的值. 解： （1）｜-4｜=4，｜4｜=4；｜-｜=，｜｜=；｜-2｜=2，｜2｜=2；｜-1｜=1，｜1｜=1；｜0｜=0. 1a 5252525252
北师大版七年级有理数减法习题精选
有理数的减法 l ．有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的___________，用字母表示成： _______________________________ 2．下列括号内应填什么数 (1)(-2)-(-5)=(-2)+(______)； (2)0-(-4)=0+(______)； (3)(-6)-3=(-6)+(______)； (4)1-(+37)=1+(______)． 3．温度3℃比-7℃高_______；温度-8℃比-2℃低_______．海拔-200m 比300m 高________；从海拔250m 下降到100m ，下降了________． 4． | 5．下列说法中错误的是…………………………………………………………………〖 〗 A ．减去一个负数等于加上这个数的相反数 B ．两个负数相减，差仍是负数 C ．负数减去正数，差为负数 D ．正数减去负数，差为正数 6．下列说法中正确的是…………………………………………………………………〖 〗 A ．减去一个数等于加上这个数 B ．两个相反数相减得O C ．两个数相减，差一定小于被减数 D ．两个数相减，差不一定小于被减数 7．下列说法正确的是……………………………………………………………………〖 〗 A ．绝对值相等的两数差为零 B ．零减去一个数得这个数的相反数 % C ．两个有理数相减，就是把它们的绝对值相减 D ．零减去一个数仍得这个数 8．差是，被减数是，减数是…………………………………………………〖 〗 A ．-8 B ．8 C ． D ． 9．若0>a ，且b a >，则b a -是………………………………………………〖 〗 A ．正数 B ．正数或负数 C ．负数 D ．0 10.若│a │=5，│b │=3且a>b ，则a-b=（ ） A ．2或8 B ．-2或-8 C ．-5或-3 D ．±3或±8 ，b 在数轴上位置如图所示，下列结论不正确的是（ ） 【 A ．-a+b<0 B ．-a-b>0 C ．a+b<0 D ．a-b<0
北师大版七年级上册数学 有理数(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0； （1）点A表示的数为________；点B表示的数为________； （2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）， ①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________； 当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________ 【答案】（1）-2 ；4 （2）3 ；2 ；5 ；2 ；能. 理由： 当0＜t≤2时，t+2=4-2t 解之： 当t＞2时，t+2=2t-4 解之：t=6 ∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等. 【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0， ∴a+2=0且b-4=0 解之：a=-2且b=4， ∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b， ∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4. 故答案为：-2，4. （2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度； 当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长
度； ①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2； 当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2； 故答案为：3，2；5，2 【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。 （2）①根据两个小球的运动方向及速度，可以分别用含t的代数式表示出当0＜t≤2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，当t＞2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，然后将t=1和t=3分别代入相关的代数式，即可求解；②利用（2）中的结论，分情况分别根据甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间，建立关于t的方程，解方程求出t的值。 2．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： （1）求 ________． （2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________ （3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________． 【答案】（1）7 （2）-3，-2，-1，0，1，2; （3）最小；3 【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7. 故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2. 当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 , -x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立) 当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5, x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数, 则整数x=-3，-2，-1, 0，1， 当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5， x=2(范围内不成立) . 综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2. 故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3, 令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6 当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3 当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3, 当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3
经典北师大版七年级有理数及其运算练习题带答案
《有理数及其运算》 单元测试卷 一、耐心填一填：(每题3分,共30分) 1、52-的绝对值是 ，52-的相反数是 ，5 2 -的倒数是 ． 2、某水库的水位下降1米，记作 －1米，那么 ＋1.2米表示 ． 3、数轴上表示有理数－3.5与4.5两点的距离是 ． 4、已知|a －3|＋2 4）（+b =0，则2003）（b a +＝ ． 5、已知p 是数轴上的一点4-，把p 点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么p 点表示的数是______________。 6、最大的负整数与最小的正整数的和是_________ 。 7、() 1 -2003 +() 2004 1-= 。 8、若x 、y 是两个负数，且x ＜y ，那么|x | |y | 9、若|a |＋a ＝0，则a 的取值范围是 10、若|a |＋|b |＝0，则a ＝ ，b ＝ 二、精心选一选：（每小题3分，共24分.） 1、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ） A 0 B －1 C 1 D 0或1 2、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ） A 8 B 7 C 6 D 5 3、两个负数的和一定是（ ） A 负 B 非正数 C 非负数 D 正数 4、已知数轴上表示－2和－101的两个点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离等于（ ） A 99 B 100 C 102 D 103 5、若x ＞0，y ＜0，且|x|＜|y|，则x ＋y 一定是（ ） A 负数 B 正数 C 0 D 无法确定符号 6、一个数的绝对值是3，则这个数可以是（ ） A 3 B 3- C 3或3- D 31
北师大版七级数学有理数测试题
如意湖中学2012-2013学年七年级上册数学第二章测试题4 （总分：120分；时间：100分钟） 姓名 班级 成绩 一、填空题（每空3分，共24分） 1、52-的绝对值是 ，相反数是 ， 2、数轴上表示有理数－3.5与0.5的两点的距离是 ． 3. 比较下列各组数的大小： （1）-4 -2； （2） -2 0；（3）；-2 1. 4、绝对值等于2.5的整数是 5.把下列各数填在相应的集合内： 6 ，-3 ，2.5 ，-，0 ，-1，-|-9| ，-（-3.15） （1）整数集合｛ …｝ ； （2）负数集合｛ …｝ （3）非负数集合｛ …｝ 6. 数轴上到原点的距离是2个单位的点表示的数是 ； 7. 计算：（1）1-5= ； （2）-12+5= ； （3）-2-8= . 8.已知a ,b 互为相反数，m 、n 互为倒数，| s |=3求a+b+mn+s 的值是_____. 二、选择题（每小题3分,共24分） 1. 在数轴上，一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ．若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为 ( ) A ．7 B ．3 C ．－3 D ．－2 2. 如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、，则下列结论正确的是（ ） A ．a>b B ．a北师大版初一上册数学有理数的加减法测试题(B卷)
有理数的加减法测试题（B 卷） 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．________+（－5）=－2；（+2）+________=－5 2．________－（+3）=－3；（－5）－________=+5 3．－4+1 31=________；－31+6 5=________ 4．－（－32－1）=________；0－（－2.5）－（+3）=________ 5．如果a ＜0，b ＜0，那么a+b________0（用“＞”“＜”填空）． 6．如图1数轴上两点所对应的数分别为m ，n ，则|m －n|=__________． 图1 7．如果a －b=0，则a ，b 的关系是________；如果a+b=0，则a ，b 的关系是________． 8．若a ＞0，b ＜0，则a －b________0；b －a________0． 9．如图2，有理数a 、b 、c 、d 在数轴上分别对应着点A 、B 、C 、D ，写出a 、b 、c 、d 所对应的数 ． 图2 10．如果a<0，b>0，|a|>|b|，那么a+b________0（用“>”“<”填空）． 二、判断题（每小题2分，共10分） 11．若a 是正数，则1－a 是负数（ ） 12．若对于有理数a 、b 有a+b=0，则有a=0且b=0（ ） 13．若|a|=|b|，则a －b=0或a+b=0（ ） 14．若a+b>0，且a 与b 异号，则a －b>0（ ） 15．－1．2的相反数与－15 1的绝对值的和为零（ ） 三、选择题（每小题4分，共20分） 16．两数之差为－8，如果被减数加上－3，减数加上－6，那么这两数的差是 A ．－11 B ．－5 C ．－3 D ．3 17．已知|a|=3.5，|b|=2.5，且a 、b 异号，则a+b 的值为 A ．6 B ．1 C ．－1 D ．－1或1 18．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是倒数等于自身的有理数，则a －b+c －d 的值等于 A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．－1或2 19．有理数a 、b 在数轴上的对应位置如图3所示，则a+b 的值 图3 A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于b 20．有下列五个结论，其中错误的结论个数为 ①两个正数相加和一定为正；②两个负数相加和一定为负；③负数减去正数差一定为负；④正数减去负数差一定为正；⑤两个负数相减，差一定为负． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
北师大版七年级数学上有理数分类复习题
有理数复习 知识点1：有理数的基本概念（有理数 数轴 相反数 绝对值） 有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()????????????????????正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()????????? ?????? 正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数. 板块一、基本概念 例题讲解 1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ） ①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数. A.0 B.1 C.2 D.3 2、下面关于有理数的说确的是（ ）． A ．有理数可分为正有理数和负有理数两大类. B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C. 整数和分数统称为有理数 D. 正数、负数和零的统称为有理数 板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值 3、a 和b 是满足ab ≠0的有理数，现有四个命题：( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ①224a b -+的相反数是224 a b -+；②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差； ③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．其中真命题有 4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是( )A 、正有理数 B 、负有理数 C 、零 D 、不可能 5、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是____________； 6、有理数-3，0，20，-1.25，1.75，-∣-12∣，-（-5）中，正整数有________个，非负数有______个； 7、绝对值最小的有理数是________；绝对值等于3的数是______； 绝对值等于本身的数是_______；绝对值等于相反数的数是_________数；一个数的绝对值一定是________数。 8、-2.5的相反数是________，绝对值是________，倒数是________。 9、平方是它本身的数是 ；倒数是它本身的数是 ； 相反数是它本身的数是 ；立方是它本身的数是 。 绝对值小于4的所有整数的和是________； 绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是________。 10、在数轴上任取一条长度为1 19999 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 知识点2：比较大小 比较大小的主要方法： ① 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小． ② 数轴法：数轴右边的数比左边的数大． ③ 作差法：0a b a b ->?>，0a b a b -=?=，0a b a b -，0b >，1a a b b >?>，1a a b b =?=，1a a b b
北师大版七年级有理数教案
森学教育个性化教学辅导教案
2．把下列各组数从小到大用“＜”号连接起来： (1)3，-5，-4； (2)-9，16，-11； 1、下列各数中： +7，-2， ，-8 3，0，+01，2，1 ，哪些是正数哪些是负数哪 些是非负数 2、什么叫做数轴画一条数轴，并在数轴上标出下列各数： -3，4，0，3，-15，-4， ，2 3、问题2中有哪些数互为相反数从数轴上看，互为相反数的一对有理数有什么特点 数轴两边到原点相等的点互为相反数 绝对值概念： 一般地，一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离 如果a ＞0，那么 |a|=a ；如果a ＜0，那么|a| =-a ；如果a=0，那么|a| =0 例：求π-5的绝对值 2、在括号里填写适当的数： 5.3-=( )； 2 1+ =( )； -5-=( )； -3+=( )； ()=1， ()=0； -()=-2 3、计算下列各题： |-3|+|+5|；|-3|+|-5|；|+2|-|-2|；|-3|-|-2|； |-21|×|-31|；|-21|÷|-2|；21÷|-2 1| (3)有没有绝对值是-2的数
5、填空： (1)当a ＞0时，|2a|=________； (2)当a ＞1时，|a-1|=________； (3)当a ＜1时，|a-1|=________ 利用绝对值比较两个负数的大小；说明：“| |”有两重作用，即绝对值和括号 绝对值小于3的数是从-3到3中间的所有的有理数，有无数多个；但绝对值小于3的整数只有五个：-2，-1，0，1，2 数轴上a ＜0，b ＞0，且|a|＜|b|,求la+bl,lb-al, |a|=-a ，|b|=b ， |a+b|=a+b ，|b-a|=b-a 两个负数，绝对值大的反而小 例1 比较-421与-|—3|的大小 例2 已知a ＞b ＞0，比较a ，-a ，b ，-b 的大小 例3 比较-32与-43的大小 2、比较下列每对数的大小： (1)-85 与-83；(2)- 113与-0273；(3)-73与-9 4； (4)- 65与-1110；(5)- 32与-53；(6)- 97与-119 3、写出绝对值大于3而小于8的所有整数 (1)|a|=a ； (2)|a|=-a ； (4)a ＞-a ； (5)|a|≥a ； (6)-y ＞0； (7)-a ＜0； (8)a+b=0
新北师大版数学七上《有理数的加法》word教案
2.4 有理数的加法（第二课时） 学习目标： 1、小学阶段学习过加法运算律，由此类比学习有理数的运算律。 2、会通过一些具体数的计算，合情推理，归纳出有理数的加法的运算律。 3、会利用运算律进行简便计算，养成求简意识。 4、能利用有理数加法的的意义，解决实际问题。 学习重难点： 1、灵活运用加法运算律简化运算。 2、探索有理数加法的运算律，并能运用有理数加法运算。 3、 一、学前准备： 1、知识链接：想一想，小学里我们学过的加法运算定律有哪些？ （1）、加法的交换律： 两个数相加,交换的位置, 和不变。 （2）、加法的结合律： 三个数相加, 先把相加, 或者先把相加, 和不变。 2、预学教材：阅读课本P37和完成P37的做一做. 你有什么疑难问题： 预学检测： （1）(-7)+6+(-3)+10+(-6) (2) ） （ ） （ 5 2 8 4 3 5 5 3 2 4 1 3- + + - + 二、课堂导学： 探究活动（一）：有理数的加法交换律 (1)(-9.18)+6.18；(2)6.18+(-9.18)；(3)(-2.37)+(-4.63) 1、发现、总结： ①问题：在小学里，我们曾经学过加法的交换律，这个运算律在有理数加法运算中也是 成立的吗？ ②探索： 任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□和○内，并比较两个算式的运算结果。 ③总结：让学生总结出加法的交换律: 加法交换律：。用式子表示： . 2、变式训练： (1)、（-8）+（-9）（-9 ）+（-8） (2)、4+（-7）（-7）+4 (3)、6+（-2）（-2）+6 探究活动（二）：有理数的加法结合律 1、检查预学P37“例2和例3”情况，将自己的所得与同学交流，小组代表班上交流： 2、问题：（1）[2+(-3)]+(-8)=_____+_____=_____; 2+[(-3)+(-8)]=_____+______=______ (2) [10+(-10)]+(-5)= _____+______=_____; 10+[(-10)+(-5)]= ______+__(-15)____=______ 发现、总结： ①问题：在小学里，我们曾经学过加法的结合律，这个运算律在有理数加法运算中也是
北师大版七年级数学上册教案《有理数》
《有理数》教学设计 教材分析 这是北师大版数学教材七年级上册第二章有理数及其运算的第一节内容，理解负数的意 义是认识有理数的基础，有重要的实际应用的意义。 教学目标 【知识与能力目标】 在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义。会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类。 【过程与方法目标】 经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。 【情感态度价值观目标】 初步知道数系发展的历史，感受数学来源于生活，并运用于生活。 教学重难点 【教学重点】 理解负数的意义。 【教学难点】 理解负数的意义。 课前准备
1、多媒体课件； 2、学生完成相应预习内容； 3、搜集关于数的发展历史的相关知识。 教学过程 一、引入 1.讲解数的概念发展历史 设计意图：通过讲故事的方法给学生讲述数的扩充历史，使学生认识到数学本身有自己的逻辑结构，数学起源于生活，并广泛应用于生活。在这里特别注意讲解“0”的意 义。对学生思维是一种突破。 二、探索 随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了一种数. 观察图片：温度计，珠穆朗玛峰和吐鲁番的海拔，存折中的收入与支出。 问题：（1）生活中我们会遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？ （2）你对负数有什么样的认识？ 总结：像5、8848、+500…这样的数叫做正数，它们都比0大.； 在正数前面加上“－”号的数叫做负数，例如－5，－155…，它们都比0小。 0既不是正数，也不是负数 设计意图：从学生熟悉的情景讨论问题，学生参与积极，在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要。 三、例题 例１（1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克， 那么﹣0.03克表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着：“净重量：10kg±150g”，这里的“10kg±150g” 表示什么？
北师大版有理数的加法教案1
《有理数的加法》教案 教学目标： 1.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数的加法法则； 2.能熟练进行整数加法运算； 3.培养学生的数学交流和归纳猜想的能力； 4.渗透分类、探索、归纳等思想方法，使学生了解研究数学的一些基本方法。 教学重点： 有理数加法法则的探索过程，利用有理数的加法法则进行计算. 教学难点： 异号两数相加的法则。 教学方法： 渗透分类、探索、归纳等思想方法 教学过程： 一.引出课题，提出问题： 师：在小学里,同学们已经学过数的加、减、乘、除四则运算。这些数是正整数、正分数、和零，也就是说，这些运算是在非负有理数范围内进行的。自从引进负数后，数的范围就扩大到整个有理数。那么，在有理数范围内，怎样进行四则运算呢？今天，我们来探索有理数的加法运算。（教师板书课题：有理数的加法） 二.活动探究，明确结论： 请同学们思考一下，两个有理数进行加法运算时，这两个加数的符号可能有哪些情况。生1：加数都是正数或都是负数。（教师板书：同号两数相加） 加数一正一负（教师板书：异号两数相加） 师：还有其他情况吗？ 生2：正数与零，负数与零，或者两个都是零 师：同学们回答得很好。现在让我们一起来看一个具体问题：某人从一点出发，经过下面两次运动，结果的方向怎样？离开出发点的距离是多少？ ①先向东走了５米，再向东走３米，结果怎样？ 生3：向东走了８米 师：如果规定向东为正，向西为负，同学们能不能用一个数学式子来表示？ 生4：表示为（＋５）＋（＋３）＝＋８（教师板书）
师：我们可以画出示意图。（教师用投影仪显示图1） ②先向西走了５米，再向西走了３米，结果如何？ 生5：向西走了８米。可以表示为：（－５）＋（－３）＝－８ [教师板书] （教师用投影仪显示图2） ③向东走了５米，再向西走了３米，结果呢？ 生6：向东走了2米。可以表示为：（＋５）＋（－３）＝＋２ [教师板书] （教师用投影仪显示图3） ④先向西走了５米，再向东走了３米，结果呢？ 生7：向西走了２米。可以表示为：（－５）＋（＋３）＝－２（教师板） （教师用投影仪显示图4） ⑤先向东走５米，再向西走５米，结果呢？ 生8：回到原地位置。可以表示为：（＋５）＋（－５）＝０（教师板书） （教师用投影仪显示图5） ⑥先向西走５米，再向东走５米，结果呢？ 生9：仍回到原地位置。可以表示为：（－５）＋（＋５）＝０ [教师板书] （教师用投影仪显示图6） 师：同学们开动脑筋，完成上面这组问题完成得非常好，我非常高兴，请同学们独立
新北师大版七年级上册有理数运算数学知识点总结
1 第二章 有理数及其运算知识要点 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，a+b=0?a 、b 互为相反数.零的相反数是零 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 3、倒数：乘积为1的两个有理数数互为倒数，即ab=1?a 、b 互为倒数.倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数。 4、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。互为相反数的两个数的绝对值相等。任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 5、有理数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 6、有理数的运算： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个数为零，积就为零。 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。互为相反数的两个数相加和为0。 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！ 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。 注：几个因式都不为零时，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何非0的数都得0。 注意：0不能作除数。 有理数的乘方：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方。 正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。 （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。 （3）运算律 加法交换律：a b b a +=+加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律：ba ab =乘法结合律：)()(bc a c ab = 乘法对加法的分配律：ac ab c b a +=+)( 7、科学记数法 一般地，一个大于10的数可以表示成n a 10?（101<≤a ，n 是正整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数-1） 越来越大 =???? a n a a a a 个 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a ???<-≥)0()0(||a a a a a
北师大版初一数学上册有理数
有理数教案 教学目标: 知识与技能：1、使学生了解数是为了满足生产和生活的需要而产生、发展起来的; 2、会列举出周围具有相反意义的量，并用正负数来表示;会判断一个数是正数还是负数.培养学生的观察、想象、归纳与概括的能力。 过程与方法：3、探索负数概念的形成过程，使学生建立正数与负数的数感. 情感态度价值观：体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点： 会判断正数、负数，运用正负数表示相反意义的量，理解0?表示量的意义. 教学难点： 负数的引入. 教学过程： 一.新课引入： 1.我们已经学过那些数?它们是怎样产生和发展起来的? 我们知道，为了表示物体的个体或事物的顺序，产生了数1，2，3……;为了表示“没有”，引入了数0;有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示.总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生、发展起来的. 2.让学生说出自己搜集到的生活中有关用负数表示的量. 3.在日常生活中，常会遇到下面的一些量，能用学过的数表示吗? 例1 汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米.
例2 温度是零上10℃和零下5℃. 例3 收入500元和支出237元. 例4 水位升高1.2米和下降0.7米. 例5 买进100辆自行车和卖出20辆自行车. 二.新课讲解： 1.相反意义的量 学生分组讨论：上面这些例子中出现的各对量，有什么共同特点? 这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点：它们都是具有相反意义的量.向东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、买进和买出都具有相反的意义. 让学生再举出几个日常生活中的具有相反意义的量. 2.正数与负数 只用原来所学过的数很难区分具有相反意义的量.例如，零上5℃用5表示，那么零下5℃再用同一个数5来表示就不够了. 在天气预报图中，零下5℃是用-5℃来表示的.一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示;把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作“负”)号来表示.就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用-5℃来表示. 在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3千米记作3千米，向西行驶2千米记作-2千米.
北师大版初一上册数学有理数的加减法测试题(B卷)
有理数的加减法测试题（B 卷） 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．________+（－5）=－2；（+2）+________=－5 2．________－（+3）=－3；（－5）－________=+5 3．－4+1 31=________；－31+65 =________ 4．－（－3 2 －1）=________；0－（－）－（+3）=________ 5．如果a ＜0，b ＜0，那么a+b________0（用“＞”“＜”填空）． 6．如图1数轴上两点所对应的数分别为m ，n ，则|m －n|=__________． 图1 7．如果a －b=0，则a ，b 的关系是________；如果a+b=0，则a ，b 的关系是________． 8．若a ＞0，b ＜0，则a －b________0；b －a________0． 9．如图2，有理数a 、b 、c 、d 在数轴上分别对应着点A 、B 、C 、D ，写出a 、b 、c 、d 所对应的数 ． 图2 10．如果a<0，b>0，|a|>|b|，那么a+b________0（用“>”“<”填空）． 二、判断题（每小题2分，共10分） 11．若a 是正数，则1－a 是负数（ ） 12．若对于有理数a 、b 有a+b=0，则有a=0且b=0（ ） 13．若|a|=|b|，则a －b=0或a+b=0（ ） 14．若a+b>0，且a 与b 异号，则a －b>0（ ） 15．－1．2的相反数与－1 5 1 的绝对值的和为零（ ） 三、选择题（每小题4分，共20分） 16．两数之差为－8，如果被减数加上－3，减数加上－6，那么这两数的差是 A ．－11 B ．－5 C ．－3 D ．3 17．已知|a|=，|b|=，且a 、b 异号，则a+b 的值为 A ．6 B ．1 C ．－1 D ．－1或1 18．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是倒数等于自身的有理数，则a －b+c －d 的值等于 A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．－1或2 19．有理数a 、b 在数轴上的对应位置如图3所示，则a+b 的值
北师大版-数学-七年级上册-【例题与讲解】有理数
1 有理数 1．正数和负数的意义 (1)正数：像6,3.7，23 ， 10%，…这样大于0的数叫做正数． ①为了突出数的符号，可以在正数的前面加“＋”号，如6,3.7，23 ，10%可以写成＋6，＋3.7，＋23 ，＋10%. ②正数前面的“＋”号可以省略．如＋7可以省略“＋”号写成7. (2)负数：像－3，－5.6，－50，－12 ，－15%，…在正数前面加上“－”号的数叫做负数． 辨误区 正数和负数的理解 ①对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数． ②负数是在正数前面加上一个“－”号，如－5，－ (＋7)等都是负数，负数中的“－”号不能省略，如－5省略“－”号就是5，变成正数了． (3)0：0既不是正数也不是负数． 0是正数和负数的分界点，如温度计上的0 ℃，也是一个特定的温度，0 ℃以下为负数，0 ℃以上为正数． 【例1】 下列各数中，哪些数是正数？哪些数是负数？ ＋12,0.15，－52 ，－2.05,0，－7,3.14. 分析：用正数、负数的定义进行区分． 解：正数有：＋12,0.15,3.14； 负数有：－52 ，－2.05，－7. 2．有理数 (1)定义：整数与分数统称为有理数． (2)有理数的判断方法： ①正整数、0、负整数都是有理数． ②正分数和负分数都是有理数． (3)拓展发散： 引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数也由自然数范围扩大到有理数范围．偶数不仅有正偶数和0，还有负偶数；奇数也包括正奇数和负奇数．
【例2】 下列说法正确的有( )． ①－5是有理数 ②73 是有理数 ③0.3不是有理数 ④－2是偶数 A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①②④ 解析：负整数是有理数，正分数是有理数，有限小数可化为分数，因此是有理数；偶数包括正偶数、0和负偶数． 答案：D 3．有理数的分类方法 (1)按定义分(两分)： (2)按性质分(三分)： “不重复”的意思是说，每一个数只能属于其中的一类，不能出现某一个数属于多类的情况．如，将有理数分为非负数、非正数两类就是错误的．因为0这个数被重复分类了，把0既分在了非负数中，又分在了非正数中． “不遗漏”的意思是说，分类时，不能遗漏某些数．如，将有理数分为正有理数与负有理数两类，显然遗漏了0. 【例3】 把下面各有理数填在相应的大括号里： 12，－3，＋1，13，－1. 5,0,0.2,314，－435 . 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}；
北师大版-数学-七年级上册-【例题与讲解】七年级数学上册 第二章 4有理数的加法
4 有理数的加法 1．有理数的加法法则 (1)有理数的加法：把两个或几个有理数合成一个有理数的运算． (2)两个有理数相加的几种情况： ①正数＋正数，如(＋2)＋(＋4)； ②负数＋负数，如(－3)＋(－6)； ③正数＋负数或负数＋正数，如(＋2)＋(－3)或(－6)＋(＋4)； ④正数＋0；⑤负数＋0；⑥两个加数都为0. (3)有理数的加法法则 ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 【例1】 下列计算正确的个数是( )． ①(－5)＋(－5)＝0；②(－6)＋(＋4)＝－10；③0＋(－2)＝－2；④????＋56＋????－16＝23 ；⑤23＋? ???－723＝－7. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：①误将(－5)＋(－5)当成了两个互为相反数的和，②(－6)＋(＋4)＝－(|6|－|4|)＝－2，所以①②错误；根据有理数的加法法则可知，③④⑤正确．故选D. 答案：D 2．有理数的加法运算律 (1)加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a . (2)加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． ①交换加数的位置时，要连同符号一起交换；②公式中的字母a ，b ，c 可以是正数，也可以是负数或0. 【例2】 下列运算中运用的运算律是( )． (＋18)＋(－7)＋2＋(－3) ＝＋． A ．加法交换律 B ．加法结合律 C ．加法交换律和结合律 D ．以上答案都不对 解析：－7与2交换位置，运用了加法的交换律；而＋18与2相加，－7与－3相加运用了加法结合律，故本题同时运用了加法交换律和结合律． 答案：C 3．有理数的加法运算 (1)有理数加法的运算方法 有理数的加法运算可以概括为“一定、二求、三和差”． ①定：先判断两个加数的符号，并确定出和的符号； ②求：求加数的绝对值； ③和差：确定是绝对值相加还是相减． (2)加法运算法则的符号表示 同号两数相加： ①a >0，b >0，a ＋b ＝＋(|a |＋|b |)． ②a <0，b <0，a ＋b ＝－(|a |＋|b |)． 异号两数相加(a >0，b <0)： ①|a |>|b |，a ＋b ＝＋(|a |－|b |)．