江西省2020年中考数学试题(含答案与解析)
江西省2020年中等学校招生考试试题卷数 学一、选择题1.－3的倒数是（ ） A. 3B. －3C.D.2.下列计算正确的是（ ） A.B.C.D.3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ） A.B. C. D.4.如图，，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D.5.如图所示，正方体的展开图为（ ）A. B.1313-325a a a +=32a a a -=326a a a ⋅=32a a a ÷=115.017510⨯125.017510⨯130.5017510⨯140.5017510⨯1265,335︒∠=∠=∠=︒//AB CD 30B ∠=︒2C EFC ∠+∠=∠CG FG >C. D.6.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ） A. B.C. D.二、填空题7.计算：_____．8.若关于一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是__________．10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为__________．11.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．的O 223y x x =--y A x B AB Rt OAB V Rt O A B '''△O 'A 'B 'A B ''y x =1y x =+12y x =+2y x =+()21x -=x 220x kx --=1x =AC DCB ∠CB CD =DA BC E 49EAC ∠= BAE ∠12.矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，长为__________厘米．三、解答题13.（1）计算：（2）解不等式组：14.先化简，再求值：，其中15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 16.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作关于点对称的；的ABCD 8cm AD =4cm AB =B AD E A A 'BE BA 'EA '30 AE 21(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭32152x x -≥⎧⎨->⎩221111xx x x x ⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭x =ABC ABC O A B C '''V（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上．17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．18.如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，（1）求反比例函数解析式； （2）求的度数．19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）的的ABC A A B C '''V Rt ABC 90ACB ∠= A B (0)ky x x=>AC x ⊥D OA OC OC AB E 2AB OA =E AB 45AOD ∠= OA =EOD ∠复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表： 成绩人数 1 338156根据以上图表信息，完成下列问题： （1） ；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有 人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）（1）若，，求点到直线的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，）3040x ≤<4050x ≤<5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤m m =120mm AB =80mm CD =90mm DE =AB C 40mm CB =AB C CD D 80DCB ︒∠=60CDE ︒∠=A DE AB C 10 CD D B DE CD sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈tan 400.839︒≈sin 26.60.448≈ cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈21.已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为．（1）如图1，点在点，之间优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．22.已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：… -2 -1 0 1 2 ……-3-3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相的MPN ∠O A B O r C A B 80MPN ∠= ACB ∠C PC APBC APB ∠PC O D r 2y ax bx c =++a b c 0a ≠x y x y m n ,m n P OP P '应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，，，之间的数量关系 ．23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ； 推广验证（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关P 'P 'y m =2m >-P'1A 2A 3A 4A 1A 2A 3A 4A 1S 2S 3S Rt ABC BC ,,AB AC BC Rt ABD △Rt ACE △Rt BCF 123∠=∠=∠1S 2S 3S Rt ABC BC ,,AB AC BC ABD △ACE △BCF 123∠=∠=∠D E F ∠=∠=∠系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积．数学参考答案与解析一、选择题1.－3的倒数是（ ） A. 3 B. －3C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义求解． 【详解】-3的倒数为． 故选：D ．【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求倒数的关键． 2.下列计算正确的是（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】ABCDE 105A E C ∠=∠=∠= 90ABC ∠= AB =2DE =P AE 30ABP ∠= PE =ABCDE 1313-13-325a a a +=32a a a -=326a a a ⋅=32a a a ÷=分别利用合并同类项法则以同底数幂的乘除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：A 、，不能合并，故此选项错误； B 、，无法计算，故此选项错误； C 、，故此选项错误； D 、，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法运算以及合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数． 【详解】解：将数字50175亿用科学记数法表示为故本题选A ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，表示时关键要正确确定a 与n 的值．4.如图，，则下列结论错误的是（ ）32a a +32a a -325a a a ⋅=32a a a ÷=115.017510⨯125.017510⨯130.5017510⨯140.5017510⨯10n a ⨯110a ≤<125017500000000 5.017510=⨯10n a ⨯110a ≤<1265,335︒∠=∠=∠=︒A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由可对A 进行判断；根据三角形外角的性质可对B 进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D 进行判断；求出可对C 进行判断． 【详解】，，故选项A 正确；， ，又，，故选项B 正确；，， ，，故选项D 正确； ， ，而，故选项C 错误．故选C ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．//AB CD 30B ∠=︒2C EFC ∠+∠=∠CG FG >12∠=∠C EFC ∠∠，1265∠=∠︒= //AB CD ∴335︒∠= 35EFB ∴∠=︒1EFB B ∠=∠+∠1653530B EFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//AB CD 30C B ∴∠=∠=︒3530︒︒> 3C ∴∠>∠CG FG ∴>335︒∠= 3180EFC ∠+∠=︒118035145EF C ︒-︒∴∠==︒2306595145C ∠+∠=+=≠︒︒︒︒2C EFC ∴∠+∠≠∠5.如图所示，正方体的展开图为（ ）A. B.CD.【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可； 【详解】A 中展开图正确；B 中对号面和等号面是对面，与题意不符；C 中对号的方向不正确，故不正确；D 中三个符号的方位不相符，故不正确； 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键． 6.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ） A.B.C. D.【答案】B 【解析】.O 223y x x =--y A x B AB Rt OAB V Rt O A B '''△O 'A 'B 'A B ''y x =1y x =+12y x =+2y x =+【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A（0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线， 经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上， ∴三角形向右平移1个单位，即B′横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5）， 可得解得：，故直线的表达式为， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．二、填空题7.计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.的2230x x --=12bx a=-=A 'B 'Rt OAB V Rt OAB V A B ''254k bk b=+⎧⎨=+⎩11k b =⎧⎨=⎩A B ''1y x =+()21x -=221x x -+【详解】解：【点睛】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.8.若关于一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由题目已知x =1是方程的根，代入方程后求出k 的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．【详解】解：将x =1代入一元二次方程有：，k =-1， 方程即方程的另一个根为x =-2 故本题的答案为-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是__________．【答案】25 【解析】 【分析】的()21x -=221x x -+()2a b ±=222a ab b ±+x 220x kx --=1x =220x kx --=120k --=2+20x x -=(2)(1)0x x +-=根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10，右边5个钉头表示5个1，由两位数表示法可得结论．【详解】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5， 因此这个两位数是2×10+5×1=25， 故答案为：25．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的数字的表示法是解本题的关键． 10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 881211108981214那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．【详解】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多； 故本题答案为9．【点睛】本题主要考查众数的定义，即一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．11.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．AC DCB ∠CB CD =DA BC E 49EAC ∠= BAE ∠【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案．【详解】解：如图，连接，延长与交于点平分，，是的垂直平分线，故答案为：82.︒BD CA BD ,F CF BD ,AB AD =,DAF BAF ∠=∠BD CA BD ,F AC DCB ∠CB CD =,,CF BD DF BF ∴⊥=CF ∴BD ,AB AD ∴=,DAF BAF ∴∠=∠49,EAC ∠=︒ 49,DAF BAF EAC ∴∠=∠=∠=︒180494982,BAE ∴∠=︒-︒-︒=︒82.︒【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 12.矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为__________厘米．【解析】 【分析】分∠ABE=30°和∠AEB=30°两种情况求解即可． 【详解】当∠ABE=30°时， ∵AB=4cm，∠A=90°，厘米； 当∠AEB=30°时，则∠ABE=60° ∵AB=4cm，∠A=90°，∴AE=AB·tan60°=或ABCD 8cm AD =4cm AB =B AD E A A 'BE BA 'EA '30 AE【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题13.（1）计算：（2）解不等式组：【答案】（1）3；（2）1≤x＜3． 【解析】 【分析】（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集．【详解】解：（1）= =3； （2）由①得：x≥1 由②得：x ＜3所以该不等式组的解集为：1≤x＜3．【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键．14.先化简，再求值：，其中【答案】【解析】 【分析】先进行分式减法的计算，在进行除法计算，化简之后带值计算即可；21(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭32152x x -≥⎧⎨->⎩21(1|2|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭124-+32152x x -≥⎧⎨->⎩①②221111xx x x x ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭x =1x【详解】原式=， =，==， 把代入上式得，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，准确进行分式化简是解题的关键．15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为， 故答案为：（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为， 画树状图如下：()()()()2111111x x xx x x x x ⎡⎤+-÷⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦()()21111x x x x x x --÷-++()()1111x x x x x -+⨯-+1xx =141.6,,,A B C D 141.4,,,A B C D一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．16.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作关于点对称的；（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）分别作出A ，B ，C 三点关于O 点对称的点，，，然后顺次连接即可得；（2）计算得出AB=AC=5，再根据旋转作图即可． 【详解】（1）如图1所示；12221.126P ==ABC ABC O A B C '''V ABC A A B C '''V A 'B 'C 'A B C '''V（2）根据勾股定理可计算出AB=AC=5，再作图，如图2所示．【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【答案】（1）5元，3元；（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品．【解析】 【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答； （2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为x 元，一本笔记本的价格为y 元，有，解得；故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）两人共有金额19+26+2=47元，若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【点睛】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键．18.如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，（1）求反比例函数的解析式； （2）求的度数．3219726x y x y +=⎧⎨+=⎩35x y =⎧⎨=⎩Rt ABC 90ACB ∠= A B (0)ky x x=>AC x ⊥D OA OC OC AB E 2AB OA =E AB 45AOD ∠= OA =EOD ∠【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE ，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE 可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=∠AOD，代入求解即可．【详解】（1）∵AD⊥x 轴，∠AOD=45°，OA=， ∴AD=OD=2， ∴A(2，2)，∵点A 在反比例函数图象上， ∴k=2×2=4，即反比例函数的解析式为． (2)∵△ABC 为直角三角形，点E 为AB 的中点， ∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB， ∵AB=2OA ， ∴AO=AE，∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB， ∵∠ACB=90°，AD⊥x 轴， ∴BC//x 轴， ∴∠ECB=∠EOD， ∴∠AOE=2∠EOD，4y x=15EOD =︒∠134y x=∵∠AOD=45°，∴∠EOD=∠AOD=．【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表： 成绩人数 1 338156根据以上图表信息，完成下列问题： （1） ；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有 人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 【答案】（1）14；（2）折线图见详解，通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70以下，复学后线下学习的成绩大部分在70以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）20，34；（4）320人131453⨯︒=15︒3040x ≤<4050x ≤<5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤m m =【解析】 【分析】（1）根据图1求出本次测评的总人数，用总人数减去第二次测评各成绩段的人数可得出m 的值；（2）根据第一次和第二次测试的各分数段人数，可在图2中画出折线图，根据折线图可得出线上教学与线下教学的效果对比；（3）由第二次测试的成绩统计表可判断出分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人； （4）样本估计总体，样本中数学成绩优秀的人数占测试人数的 ，因此估计总体800名的是成绩优秀的人数． 【详解】解：（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人， 所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人； （2）通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好； （3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人； （4）800×（人）答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人． 【点睛】本题考察了条形统计图，折线统计图与统计表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．252514+6=3202+8+10+15+10+4+120.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）（1）若，，求点到直线的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，）【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）过点A 作，，，根据已知条件分别求出AP 和PM ，再相加即可；（2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论； 【详解】（1）如图所示，过点A 作，，， 则,120mm AB =80mm CD =90mm DE =AB C 40mm CB =AB C CD D 80DCB ︒∠=60CDE ︒∠=A DE AB C 10 CD D B DE CD sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈tan 400.839︒≈sin 26.60.448≈ cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈120.7mm 33.4︒AM DE ⊥CN DE ⊥CP AM ⊥=90B C D ∠︒AM DE ⊥CN DE ⊥CP AM ⊥90C P M C M D C N D ∠=∠=∠=︒∵，， ∴，又∵，， ∴，，∴， ∴, ∴，又∵,， ∴mm ， ∴． ∴点到直线的距离是． （2）如图所示，根据题意可得，，，120mm AB =40mm CB =80mm =AC 80DCB ︒∠=60CDE ︒∠=100ACD ∠=︒120CDM ∠=︒360909012060P C D ∠=︒-︒-︒-︒=︒1006040A C P ∠=︒-︒=︒si n 40800.64351.44m m A P A C =︒=⨯= 60C D N =︒80mm CD=si n 608069.28C N C D =︒=⨯=≈ 69.2851.44120.72120.7AM mm =+=≈A DE 120.7mm 90DCE ∠=︒40mm CB =80mm CD =∴， ∴，根据（1）可得，∴旋转的角度=．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．21.已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为．（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．【答案】（1）50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC 为菱形，理由见解析；（3）．【解析】 【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质和多边形内角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后结合已知求得∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答；（2）连接OA 、OB ，先观察发现当∠APB=60°时，四边形APBC 可能为菱形；然后利用∠APB=60°结合（1）的解答过程可得∠ACB=∠APB=60°，再根据点C 运动到PC 距离最大，即PC 经过圆心；再说明四边形APBC 为轴对称图形结合已知条件得到PA =PB=CA =CB，即可401t an 802B C C D B D C ∠===26.6C D B ∠=︒60CDE ︒∠=CD 60-26.6=33.4︒︒︒MPN ∠O A B O r C A B 80MPN ∠= ACB ∠C PC APBC APB ∠PC O Dr 13r π⎫+⎪⎭得到四边形APBC 为菱形；（3）由于⊙O 的半径为r ，则OA=r 、OP=2 r ，再根据勾股定理可得r 、PD=r ，然后根据弧长公式求得的弧长，最后根据周长公式计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接OA 、OB ∵PA，PB 为⊙O 的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° ∴∠AOB+∠MPN=180° ∵∠MPN=80°∴∠AOB=180°-∠MPN=100° ∴∠AOB=100°=∠ACB=50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC 为菱形，理由如下： 如图2：连接OA 、OB由（1）可知∠AOB+∠APB=180° ∵∠APB=60° ∴∠AOB=120° ∴∠ACB=60°=∠APB ∵点C 运动到PC 距离最大 ∴PC 经过圆心 ∵PA、PB 为⊙O 的切线 ∴四边形APBC 为轴对称图形∵PA=PB，CA=CB ，PC 平分∠APB 和∠ACB.AC l 12∴∠APB=∠ACB=60°∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30° ∴PA =PB=CA =CB ∴四边形APBC 为菱形；（3）∵⊙O 的半径为r ∴OA=r，OP=2 rr ，PD=r ∵∠AOP=60° ∴ ∴C 阴影．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键．22.已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：… -2 -1 0 1 2 ……-3-3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；601803ADr l r ππ==13D PA PD l r απ⎫=++=++⎪⎭2y ax bx c =++a b c 0a ≠x y x y m n。
江西省2023年中考数学真题及参考答案
江西省2023年中考数学真题及参考答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列各数中，正整数是（）A .3B .1.2C .0D .2-2.下列图形中，是中心对称图形的是（）3.若4-a 有意义，则a 的值可以是（）A .1-B .0C .2D .64.计算()322m 的结果为（）A .68mB .66mC .62mD .52m 5.如图，平面镜MN 放置在水平地面CD 上，墙面CD PD ⊥于点D ，一束光线AO 照射到镜面MN 上，反射光线为OB ，点B 在PD 上，若︒=∠35AOC ，则OBD ∠的度数为（）A .︒35B .︒45C .︒55D .︒656.如图，点D C B A ,,,均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A .3个B .4个C .5个D .6个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.单项式ab 5-的系数为.8.我国海洋经济复苏态势强劲.在建和新开工海上风电项目建设总规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学计数法表示应为.9.化简：()=-+221a a .10.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知︒=∠60α，点C B ,表示的刻度分别为cm cm 31，，则线段AB 的长为cm .11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC ）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点Q B A ,,在同一水平线上，ABC ∠和AQP ∠均为直角，AP 与BC 相交于点D .测得m AQ cm BD cm AB 122040===，，，则树高=PQ m .12.如图，在▱ABCD 中，︒=∠60B ，AB BC 2=，将AB 绕点A 逆时针旋转角()︒<<︒3600αα得到AP ，连接PD PC ，.当PCD ∆为直角三角形时，旋转角α的度数为.三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）计算：03345tan 8-︒+；（2）如图，AD AB =，AC 平分BAD ∠.求证：ADC ABC ∆≅∆.14.如图是44⨯的正方形网格，请仅用无刻的的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.（1）在图1中作锐角ABC ∆，使点C 在格点上；（2）在图2中的线段AB 行作点Q ，使PQ 最短.15.化简x x x x x x 1112-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配率；④乘法交换律.（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.16.为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求，每班需要2名宣传员.某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员.（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率.17.如图，已知直线b x y +=与反比例函数()0>=x x k y 的图象交于点()32，A ，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交反比例函数()0>=x xk y 的图象于点C .（1）求直线AB 和反比例函数图象的表达式；（2）求ABC ∆的面积.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.今年植树节，某班同学共同发种植一批树苗，如果没人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵.（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？19.图1时某红色是文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B ，E D A ,,均在同一直线上，AD AC AB ==，测得︒=∠55B ，m DE m BC 28.1==，.（结果保留小数点后一位）（1）连接CD ，求证：BC DC ⊥；（2）求雕塑的高（即点E 到直线BC 的距离）.（参考数据：82.055sin ≈︒，57.055cos ≈︒，43.155tan ≈︒）20.如图，在ABC ∆中，︒=∠=644C AB ，，以AB 为直径的☉O 与AC 相交于点E D ,为弧ABD 上一点，且︒=∠40ADE .（1）求E B 的长；（2）若︒=∠76EAD ，求证：CB 为☉O 的切线.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.为了解中学生的示例情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图.（1）=m ，=n ；（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为；分析处理（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好.”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；②约定：视力未达到1.0的视力不良.若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议.22.定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.已知：在▱ABCD 中，对角线AC BD ⊥，垂足为O .求证：▱ABCD 是菱形.知识应用（2）如图②，在▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ,685===BD AC AD ，，①求证：▱ABCD 是菱形；②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 与点F ，若ACD E ∠=∠21，求EFOF 的值.六、解答题（本大题共12分）23.综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 为AC 上一点，2=CD .动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿A B C →→匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF .设点P 的运动时间为ts ，正方形DPEF 的面积为S ，探究S 与t 的关系.初步感知（1）如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当1=t 时，=S ；②S 关于t 的函数解析式为.（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长.延伸探究（3）若存在3个时刻321,,t t t （321t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等.①=+21t t ；②当134t t =时，求正方形DPEF 的面积.参考答案一、选择题1.A2.B3.D4.A5.C6.D 二、填空题7.5-8.7108.1⨯9.12+a 10.211.612.90°或180°或270°三、解答题13.（1）解：原式=2+1-1=2（2）证明：∵AC 平分BAD ∠，∴DAC BC ∠=∠.在ABC ∆和ADC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AC AC DAC BAC AD AB ，∴ABC ∆≌()SAS ADC ∆.14.解：（1）如下左图（右图中的51~C C 亦可）：答：ABC ∆即为所求.（2）如下图：答：点Q 即为所求.15.解：（1）②，③；（2）按甲同学的解法化简：原式()()()()()()x x x x x x x x x x 11111112-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-=()()()()()()()()()()x xx x x x x x x x x x x x x x 2111121111112=-+⋅-+=-+⋅-+++-=按乙同学的解法化简：原式()()()()xx x x x x x x x x x x x x x x x x 111111111122-+⋅-+-+⋅+=-⋅-+-⋅+=x x x 211=++-=.16.解：（1）随机（2）解法一：列表如下：由上表可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.∴P （甲、丁同学都被选为宣传员）61122==.解法二：画树状图如下：由树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.∴P （甲、丁同学都被选为宣传员）61122==.17.解：（1）∵直线b x y +=与反比例函数()0>=x x k y 的图象交于点()32，A ，∴32=+b ，23k =.∴1=b ，6=k .∴直线AB 的表达式为1+=x y ，反比例函数图象的表达式为()06>=x xy .（2）过点A 作BC AD ⊥，垂足为D .∵直线1+=x y 与y 轴交点B 的坐标为()1,0，x BC ∥轴，∴C 点的纵坐标为1.∴616==x x ，，即6=BC .由x BC ∥轴，得BC 与x 轴的距离为1.∴2=AD .∴6262121=⨯⨯=⋅=∆AD BC S ABC .四、解答题18.解：（1）设该班的学生人数为x 人.依题意，得254203-=+x x .解得45=x .答：该班的学生人数为45人.（2）由（1）可知，树苗总数为155203=+x .设购买甲种树苗y 棵，则购买乙种树苗()y -155棵.依题意得()54001554030≤-+y y .解得80≥y .答：至少购买了甲种树苗80棵.19.（1）证明：∵AD AC AB ==，∴点D C B ,,在以点A 为圆心，BD 为直径的圆上.∴︒=∠90BCD ，即BC DC ⊥.（2）解：过点E 作BC EF ⊥，垂足为F .在BCD Rt ∆中，BDBC B =cos ，8.1=BC ，∴16.355cos 8.1cos ≈︒==B BC BD .∴16.5216.3=+=+=DE BD BE .在EBF Rt ∆中，BEEF B =sin ，∴2.455sin 16.5sin ≈︒⨯=⋅=B BE EF .因此，雕塑的高约为m 2.4.20.解：（1）连接OE .∵︒=∠40ADE ，∴︒=∠=∠802ADE AOE .∴︒=∠-︒=∠100180AOE BOE .∴E B 的长ππ9101802100=⋅⋅=l .（2）证明：∵︒=∠=80AOE OE OA ，，∴︒=∠-︒=∠502180AOE OAE .∵︒=∠76EAD ，∴︒=∠-∠=∠26OAE EAD BAC .又︒=∠64C ，∴︒=∠-∠-︒=∠90180C BAC ABC ，即BC AB ⊥.又OB 是☉O 的半径，∴CB 为☉O 的切线.五、解答题21.解：（1）68,23%.（2）320.（3）①小胡的说法正确.理由如下：理由一：从中位数看，初中生视力的中位数为1.0，高中生视力的中位数为0.9，∴初中生的视力水平好于高中生.理由②：从众数看，初中生视力的众数为1.0，高中生视力的众数为0.9，∴初中生的视力水平好于高中生.②1430032020082604414342816826000=++++++++⨯（名）.∴估计该区有14300名中足额生视力不良.建议：①勤做眼保健操；②不要长时间用眼；③不要在强光下看书；④加强户外运动.22.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OCOA =又AC BD ⊥，∴BD 垂直平分AC .∴BC BA =.∴▱ABCD 是菱形.（2）①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，68==BD AC ，，∴321421====BD OD AC OA ，.∴25342222=+=+OD OA .又25522==AD ,∴222AD OD OA =+，∴︒=∠90AOD ，即AC BD ⊥.∴▱ABCD 是菱形.②解：如图，取CD 的中点G ，连接OG .∵▱ABCD 是菱形，∴ACDACB OD OB AD BC ∠=∠===，，5∵ACD E ∠=∠21，∴ACB E ∠=∠21，即E ACB ∠=∠2，又COE E ACB ∠+∠=∠，∴COE E ∠=∠，∴4==CO CE ∵GD GC OD OB ==，，∴OG 为DBC ∆的中位线11∴BC OG ∥，且2521==BC OG ，∴CE OG ∥，∴ECF OGF ∆∆~，∴85==CE OG EF OF .六、解答题23.解：（1）①3.②22+=t S （2）由图象可知，当点P 运动到点B 时，6=S .将6=S 代入22+=t S ，得262+=t ，解得2=t 或2-=t （舍），当点P 由点B 运动到点A 时，设S 关于t 的函数解析式为()242+-=t a S .将()6,2代入，，得()24262+-=a ，解得1=a .故S 关于t 的函数解析式为()242+-=t S .由图像可知，当P 运动到A 时，18=S .由()24182+-=t ，得8=t 或0=t （舍）∴()6128=⨯-=AB .（3）①4.由（1）（2）可得()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤+=82,2420,222t t t t S .在图②中补全20<≤t 内的图象，根据图象可知20≤≤t 内的图象与42≤≤t 内的图象关于直线2=x 对称.因此421=+t t .②根据二次函数的对称性，可知832=+t t .由①可知421=+t t ，∴413=-t t .又134t t =，∴4411=-t t ，得341=t .此时正方形DPEF 的面积93422=+=t S.。
2023年江西省(中考)初中学业水平考试试卷及参考答案(数学答案)
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）1.A2.B3.D4.A5.C6.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.－58.1.8×1079.2a ＋110.211.612.90°或180°或270°三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解：原式＝2＋1－1＝2.（2）证明：∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABC 和△ADC 中，∴△ABC △ADC （SAS ）.14.解：（1）如下左图（右图中的C 1~C 5亦可）：ABC12C C 答：△ABC 即为所求.（2）如下图：（方法一）（方法二）（方法三）答：点Q 即为所求.15.解：（1）②，③；（2）按甲同学的解法化简：原式＝éëêùûúx (x -1)(x +1)(x -1)+x (x +1)(x -1)(x +1)·x 2-1xA B CDìíîïïAB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，江西省2023年初中学业水平考试数学试题参考答案＝x (x -1)+x (x +1)(x +1)(x -1)·(x +1)(x -1)x ＝2x 2(x +1)(x -1)·(x +1)(x -1)x ＝2x .按乙同学的解法化简：原式＝x x +1·x 2-1x +x x -1·x 2-1x＝x x +1·(x +1)(x -1)x +x x -1·(x +1)(x -1)x ＝x －1＋x ＋1＝2x .16.解：（1）随机.（2）解法一列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）同学1同学2由上表可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.所以P （甲、丁同学都被选为宣传员）＝212＝16.解法二画树状图如下：甲乙丙丁乙甲丙丁丙甲乙丁丁甲乙丙由树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.所以P （甲、丁同学都被选为宣传员）＝212＝16.17.解：（1）∵直线y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点A （2，3），∴2＋b ＝3，3＝k2.∴b ＝1，k ＝6.∴直线AB 的表达式为y ＝x ＋1，反比例函数图象的表达式为y ＝6x（x ＞0）.（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D.∵直线y＝x＋1与y轴交点B的坐标为（0，1），BC∥x轴，∴C点的纵坐标为1.∴6x＝1，x＝6，即BC＝6.由BC∥x轴，得BC与x轴的距离为1.∴AD＝2.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×2＝6.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.解：（1）设该班的学生人数为x人.依题意,得3x＋20＝4x－25.解得x＝45.答：该班的学生人数为45人.（2）由（1）可知，树苗总数为3x＋20＝155.设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（155－y）棵.依题意，得30y＋40(155－y)≤5400.解得y≥80.答：至少购买了甲种树苗80棵.19.（1）证法一证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD.∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝12(∠ACB＋∠B＋∠ACD＋∠ADC)＝12×180°＝90°.∴DC⊥BC.证法二证明：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心，BD为直径的圆上.∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC.（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F.在Rt△BCD中，cos B＝BCBD，BC＝1.8，∴BD＝BCcos B＝1.8cos55°≈3.16.∴BE＝BD＋DE＝3.16＋2＝5.16.在Rt△EBF中，sin B＝EF BE，∴EF=BE·sin B＝5.16×sin55°≈4.2.因此，雕塑的高约为4.2m.EDAB C F20.解：（1）连接OE .∵∠ADE ＝40°，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝80°.∴∠BOE ＝180°－∠AOE ＝100°.∴ BE 的长l ＝100∙π∙2180＝109π.（2）证明：∵OA ＝OE ，∠AOE ＝80°，∴∠OAE ＝180°-∠AOE2＝50°.∵∠EAD ＝76°,∴∠BAC ＝∠EAD －∠OAE ＝26°.又∠C ＝64°，∴∠ABC ＝180°－∠BAC －∠C ＝90°.即AB ⊥BC .又OB 是⊙O 的半径，∴CB 为⊙O 的切线.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.解：（1）68，23%.（2）320.（3）①小胡的说法正确.理由如下：理由一：从中位数看，初中生视力的中位数为1.0，高中生视力的中位数为0.9，所以初中生的视力水平好于高中生.理由二：从众数看，初中生视力的众数为1.0，高中生视力的众数为0.9，所以初中生的视力水平好于高中生.②方法一：26000×8+16+28+34+14+44+60+82200+320＝14300（名）.方法二：26000×(1-68+46+65+55200+320)＝14300（名）.所以，估计该区有14300名中学生视力不良.建议：①勤做眼保健操；②不要长时间用眼；③不要在强光下看书；④加强户外运动.22.（1）证法一证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .又BD ⊥AC ，∴BD 垂直平分AC .∴BA ＝BC .∴□ABCD 是菱形.证法二证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .A BCD OE A CBD O图1∵BD⊥AC，∴∠AOB＝∠COB.又OB＝OB,∴△AOB△COB（SAS）.∴BA＝BC.∴□ABCD是菱形.（2）①证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8，BD＝6，∴OA＝12AC＝4，OD＝12BD＝3.∴OA2＋OD2＝42＋32＝25.又AD2＝52＝25，∴OA2＋OD2＝AD2.∴∠AOD＝90°.即BD⊥AC.∴□ABCD是菱形.②方法一解：如图2，取CD的中点G，连接OG.∵□ABCD是菱形，∴BC＝AD＝5，OB＝OD，∠ACB＝∠ACD.∵∠E＝12∠ACD，∴∠E＝12∠ACB.即∠ACB＝2∠E.又∠ACB＝∠E＋∠COE，∴∠E＝∠COE.∴CE＝CO＝4.∵OB＝OD，GC＝GD，∴OG为△DBC的中位线.∴OG//BC，且OG＝12BC＝52.∴OG//CE.∴△OGF△ECF.∴OFEF＝OGCE＝58.方法二解：如图3，延长FO交AB于点H.同方法一可得CE＝CO＝4.∵□ABCD是菱形，∴BH//CF.∴HFFE＝BCCE＝54，HOOF＝BOOD＝1.∴HF＝2OF.∴OFFE＝58.ACBDOFEG图2ACBDO FEH图3六、解答题（本大题共12分）23.解：（1）①3.②S＝t2＋2.（2）方法一由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6.将S＝6代入S＝t2＋2，得6＝t2＋2，解得t＝2或t＝－2（舍去）.当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2.将(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2.解得a＝1.故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2.由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.由18＝(t－4)2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）∴AB＝（8－2）×1＝6.方法二由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6，即BD2＝6.∴BD＝6.在Rt△DBC中，由勾股定理，得BC＝BD2-CD2＝2.∴点P由C运动到B的时间为2÷1＝2s.当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2.将(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2.解得a＝1.故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2.由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.由18＝(t－4)2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）∴AB＝（8－2）×1＝6.（3）①4.由(1)(2)可得S＝{t2+2，0≤t＜2，(t-4)2+2，2≤t≤8.在图2中补全0≤t＜2内的图象.根据图象可知0≤t≤2内的图象与2≤t≤4内的图象关于直线x＝2对称.因此t1＋t2＝4.②方法一函数S＝t2＋2的图象向右平移4个单位与函数S＝(t－4)2＋2的图象重合.∵当t＝t1和t＝t3时，S的值相等，∴t3－t1＝4.又t3＝4t1，∴4t1－t1＝4，得t1＝43.此时正方形DPEF的面积S＝t21+2＝349.图1AFEB P CD图2方法二根据二次函数的对称性，可知t2＋t3＝8.由①可知t1＋t2＝4，∴t3－t1＝4.又t3＝4t1，∴4t1－t1＝4，得t1＝43.此时正方形DPEF的面积S＝t21+2＝349.。
2020年江西省赣州市于都县中考数学一轮复习测试：相似、三角函数(含解析)
2020年江西省赣州市于都县中考数学一轮测试：相似、三角函数一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（）A．1200米B．2400米C．400米D．1200米3．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．5．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．7．（3分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝．10．（3分）在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tan A＝．11．（3分）如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是当阳光与地面成30°角时，则第二次观察到的影子比第一次长．12．（3分）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′＝．13．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是cm2．14．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，B的坐标是（6，4），那么点B′的坐标是．15．（3分）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．16．（3分）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m ＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是．（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）．三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连接AD，DE．（2）与△BDE相似的三角形有．（直接写出答案）19．（6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．21．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在AD上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．23．（9分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）如图②，已知∠C＝90°，sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．25．（10分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）所在的直线于G，H点，如图（2）．（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（）A．B．C．D．【分析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形；找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：选项A的图形是从茶壶上面看得到的图形．故选：A．2．（3分）如图，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（）A．1200米B．2400米C．400米D．1200米【分析】利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝∠α＝30°，AC＝1 200，∴AB＝2AC＝2 400（米）．故选：B．3．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．【解答】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图有一层三个，另一层2个，即可得出答案．故选：A．4．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．【分析】作AD⊥BC，可得AD＝BD＝5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝5，BD＝5，∴AB＝＝＝5，∴cos∠B＝＝＝，故选：B．5．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sin A＝，tan B＝和a2+b2＝c2．∵sin A＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2+b2＝c2得b＝4x．∴tan B＝．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cos B＝sin（90°﹣B）＝sin A＝．又∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝＝，∴tan B＝＝＝．故选：A．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin ∠ACD转化为求sin B．【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD．∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，故选：A．7．（3分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边分别是2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．故选：D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD＝2EF＝4∵BC＝5，CD＝3∴△BCD是直角三角形．∴tan C＝＝故选：B．二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝9．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，得出CE的长度即可得出AC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，AE＝3，BD＝4，∴，∴CE＝6，∴AC＝AE+EC＝3+6＝9．故答案为：9．10．（3分）在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tan A＝1．【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，求出∠A＝∠B＝45°，从而求出角A 的正切值．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∴tan A＝tan45°＝1，故答案为1．11．（3分）如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是当阳光与地面成30°角时，则第二次观察到的影子比第一次长4米．【分析】利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后作差即可．【解答】解：第一次观察到的影子长为6×cot60°＝2（米）；第二次观察到的影子长为6×cot30°＝6（米）；所以两次观察到的影子长的差＝62＝4（米），故答案为4米．12．（3分）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′＝．【分析】根据题意画出图形．根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD′的长，再运用三角函数的定义解答即可．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，则对角线BD＝．∴BD′＝BD＝．∴tan∠BAD’＝＝．13．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是cm2．【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝14cm，∴AC＝7cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝7cm．故S△ACF＝×7×7＝（cm2）．故答案为：．14．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，B的坐标是（6，4），那么点B′的坐标是（3，2）或（﹣3，﹣2）．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．【解答】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B的坐标是（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（﹣3，﹣2）．故答案为：（3，2）或（﹣3，﹣2）．15．（3分）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB＝60°，据此即可求解．【解答】解：连接AB，由图可知：OA＝0B，AO＝AB∴OA＝AB＝OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴cos∠AOB＝cos60°＝．故答案是：．16．（3分）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m ＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是①③④．（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）．【分析】点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化．【解答】解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m 最大，则m＞AC，①成立；①成立，那么②不成立；最小值为AB与底面重合，故n＝AB，故③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系．计算可得DE＝10（m）．【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE 的投影．（2）∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵∠ABC＝∠DEF＝90°∴△ABC∽△DEF．∴，∴∴DE＝10（m）．说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连接AD，DE．（2）与△BDE相似的三角形有△ADC、△ABC．（直接写出答案）【分析】（1）先以B为圆心，BA为半径，作弧，再作BD的中垂线即可；（2）根据相似三角形的判定进行判断即可得到答案．【解答】解：（1）如图，以B为圆心，BA为半径，作弧交BC于D，作BD的中垂线交BA于E，连接AD、DE．（2）答案为：△ADC和△ABC．19．（6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】易得α越大，梯子顶端达到最大高度，利用70°正弦值可得最大高度AC．【解答】解：当α＝70°时，梯子顶端达到最大高度，（1分）∵sinα＝，（2分）∴AC＝sin70°×6＝0.94×6＝5.64，（2分）≈5.6（米）．答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米．（1分）四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于30度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．【分析】（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．【解答】解：（1）30；（2）由题意得：∠PBH＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABP＝90°，又∠APB＝45°，∴△P AB为等腰直角三角形，在直角△PHB中，PB＝＝＝20．在直角△PBA中，AB＝PB＝20≈34.6米．答：A，B两点间的距离是34.6米．21．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）【分析】（1）取OA的中点A′，OB的中点B′，OC的中点C′，然后顺次连接即可；（2）根据勾股定理列式求出AC、A′C′的长，再根据周长公式列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；（2）根据勾股定理，AC＝＝2，A′C′＝＝，所以，四边形AA′C′C的周长为：1++2+2＝3+3．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在AD上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．【分析】（1）根据矩形的性质可知∠A＝∠D＝∠C＝90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE＝∠C＝90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF＝90°，得出∠ABF＝∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE，（2）已知sin∠DFE＝，设DE＝a，EF＝3a，DF＝＝2a，可得出CE ＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC＝tan∠EBF＝＝．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝180°﹣∠BFE＝90°，又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE，（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，∴设DE＝a，EF＝3a，DF＝＝2a，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，又由（1）△ABF∽△DFE，∴＝＝＝，∴tan∠EBF＝＝，tan∠EBC＝tan∠EBF＝．23．（9分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°＝，求出CD的长．（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO＝AO，再代入数计算即可得到答案．【解答】解：（1）∵DE＝76厘米，∠CED＝60°，∴sin60°＝＝，∴CD＝38cm．（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO＝（38+x）厘米，AO＝（150+x）厘米，∵∠BAC＝30°，∴CO＝AO，38+x＝（150+x），解得：x＝150﹣76＝150﹣131.48≈18.5cm．六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝1．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2．（3）如图②，已知∠C＝90°，sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．则CE＝x．CD可求出，根据定义可求出答案．【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故答案为：1．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为：0＜sadA＜2．（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，如图．∵在Rt△ADE中，＝sin A＝，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．∴CE＝x．∴在Rt△CDE中，CD＝＝x．∴sad A＝＝＝．25．（10分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）所在的直线于G，H点，如图（2）．（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．【分析】（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．（2）由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y＝x：9即可．（3）此题要采用分类讨论的思想，当CG＜BC时，当CG＝BC时，当CG＞BC 时分别得出即可．【解答】解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，∵∠H+∠HAC＝45°，∠HAC+∠CAG＝45°，∴∠H＝∠CAG，∵∠ACG＝∠B＝45°，∴△AGC∽△HAB，∴同理可得出：始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；故答案为：△HAB和△HGA．（2）∵△AGC∽△HAB，∴AC：HB＝GC：AB，即9：y＝x：9，∴y＝，∵AB＝AC＝9，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝9．答：y关于x的函数关系式为y＝．（3）①当CG＜BC时，∠GAC＝∠H＜∠HAG，∴AG＜GH，∵GH＜AH，∴AG＜CH＜GH，又∵AH＞AG，AH＞GH，此时，△AGH不可能是等腰三角形，②当CG＝BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形，此时，GC＝，即x＝，③当CG＞BC时，由（1）△AGC∽△HGA，所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GA＝AH，若GA＝AH，则AC＝CG，此时x＝9，如图（3），当CG＝BC时，注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，此时B，E，G重合，∠AGH＝∠GAH＝45°，所以△AGH为等腰三角形，所以CG＝9，综上所述，当x＝9或x＝或x＝9时，△AGH是等腰三角形．。
2023年江西省中考数学试卷及答案解析
2023年江西省中考数学试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。
错选、多选或未选均不得分。
1．（3分）下列各数中，正整数是（）A．3B．2.1C．0D．﹣22．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）若有意义，则a的值可以是（）A．﹣1B．0C．2D．64．（3分）计算（2m2）3的结果为（）A．8m6B．6m6C．2m6D．2m55．（3分）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO 照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．（3分）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）单顶式﹣5ab的系数为．8．（3分）我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为．9．（3分）化简：（a+1）2﹣a2＝．10．（3分）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为cm．11．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝m．12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：+tan45°﹣30．（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．14．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．15．（6分）化简（+）•．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．16．（6分）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．17．（6分）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．（1）求直线AB和反比例函数图象的表达式；（2）求△ABC的面积．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？19．（8分）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上一点，且∠ADE＝40°．（1）求的长；（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．整理描述初中学生视力情况统计表视力人数百分比0.6及以下84%0.7168%0.82814%0.93417%1.0m34%1.1及以上46n合计200100%（1）m＝，n＝；（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为；分析处理（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．22．（9分）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．六、解答题（本大题共12分）23．（12分）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t＝1时，S＝；②S关于t的函数解析式为．（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2＝；②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．2023年江西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。
【解析版】江西省中考数学试卷样卷
江西省中考数学试卷样卷一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项。
1．9的算术平方根是（）A．﹣3 B． 3 C．±3 D． 812．下列运算，正确的是（）A． a2•a=a2B． a+a=a2C． a6÷a3=a2D．（a3）2=a63．如图是由一个圆柱和长方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）A． 16a B． 12a C． 8a D． 4a5．二次函数y=kx2﹣6x+7的图象过点（1，2），且与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2的值是（）A． 1 B． 3 C． 6 D． 76．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E、F、G、H分别在已知矩形的四条边上，且四边形EFGH也是矩形，GF=2EF．若设AE=a，AF=b，则a与b满足的关系为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
7．﹣3的相反数是．8．不等式组的解集是．9．小亮家新房屋装修，购进了同为50×50cm规格但品牌不同的两种瓷砖，他从这两种瓷砖（都是正方形）中各随机抽取五块测量，并将这十块瓷砖的边长（单位：cm）记录下表中：A种品牌50.1 49.9 50.2 49.8 50.0B种品牌50.3 49.6 50.0 50.4 49.7算得两种品牌瓷砖边长的平均数相等，则从边长上可确定更标准的品牌为．10．化简的结果是．11．梁老师驾车从家乡出发，上国道到南昌，其间用了4.5h；返回时走高速公路，路程缩短了5km，平均速度提高了10km/h，比去时少用了0.5h回到家乡，若设他家乡到南昌走国道的路程为xkm，则可列方程为．12．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，平移△ABC使点B与圆心O重合，A、C两点恰好落在圆上的D、E两点处．若AC=2，则平移的距离为．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．若P是四边形边上一动点，且∠BPC=30°，则CP的长为．三、解答题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
2020年江西省赣州市寻乌县中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年江西省赣州市寻乌县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1. 下面说法正确的是( )A. (π2)0是无理数B. √32是有理数C. 75是无理数D. √−273是有理数2. 下列图形是四棱柱的侧面展开图的是( )A. B.C. D.3. 下列说法正确的是( )．A. “清明时节雨纷纷”是必然事件B. 为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行C. 两组身高数据的方差分别是S 甲2=0.01，S 乙2=0.02，那么乙组的身高比较整齐D. 一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是54. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )A. |a|>|b|B. a >−3C. a >−dD. 1c <1 5. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条边DF =50cm ，EF =30cm ，测得边DF 离地面的高度AC =1.5m ，CD =20m ，则树高AB 为( )A. 12mB. 13.5mC. 15mD. 16.5m6. 如图，放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y =√33x 上，则A 2016的坐标是( )A. (2014√3,2016)B. (2015√3,2016)C. (2016√3,2016)D. (2016√3,2018)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7. 有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，−√2，0，π，−3，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是______．8. 一元二次方程x 2−7x −2=0的实数根的情况是_______________________9. 一组数据1，4，6，x 的中位数和平均数相等，则x 的值是______ ．10. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽著《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，设勾a =6，弦c =10，则小正方形ABCD的面积是 ．11. 圆锥的底面半径为5，侧面积为60π，则其侧面展开图的圆心角等于______ ．12. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为___________三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）13. 计算：(3.14−π)0+(−13)−1+|√3−1|−3tan30°+6√1314.先化简，再求值：2ba2−b2+1a+b，其中a=3，b=1．15.如图，已知反比例函数y1=k1x与一次函数y2=k2x+b的图象交于点A(1,8)，B(m,−2)．(1)求这两个函数的表达式；(2)求△AOB的面积．16.正方形ABCD边长为2，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时始终保持AM和MN垂直．(1)设BM=x，CN的长为y，求y与x之间的函数关系式．(2)当M点运动到什么位置时，三角形ADN的面积最小，并求出最小面积．17.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．请完成如图所示的画图，要求：①仅用无刻度的直尺，②不写画法，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中画出一条长为√13的线段MN(M,N分别为格点)(2)在图2中画出一个以格点为顶点，以AB为一边的正方形ABCD；(3)在图3中，E，F分别为格点，画出线段EF的垂直平分线l．18.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据統计，2016年利润为2亿元，2018年利润为3.38亿元．(1)求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；(2)若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过4.3亿元？19.某中学对全校1200名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从1200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A、B、C、D四个等级，绘制了图①、图②两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：(1)求本次被抽查的学生共有多少人？(2)将条形统计图和扇形统计图补充完整；(3)求扇形统计图中“A”所在扇形圆心角的度数；(4)估计全校“D”等级的学生有多少人？20.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度ℎ(精确到0.1m)．(参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)21.如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=8，E是AB上一点，沿DE折叠使A落在DB上，求AE的长．22.【阅读理解】借助图形的直观性，我们可以直接得到一些有规律的算式的结果，比如：由图①，通过对小黑n(n+1)；由图②，通过对小圆圈的计数，我们点的计数，我们可以得到1+2+3+⋯+n=12可以得到1+3+5+⋯+(2n−1)=n2．那么13+23+33+⋯+n3结果等于多少呢？如图③，AB是正方形ABCD的一边，BB′=n，B′B″=n−1，B″B′′′=n−2，……，显然AB=n(n+1)，分别以AB′、AB″、AB′′′、…为边作正方形，将正方形ABCD分1+2+3+⋯+n=12割成块，面积分别记为S n、S n−1、S n−2、…、S1．【规律探究】结合图形，可以得到S n=2BB′×BC−BB′2=______，同理有S n−1=______，S n−2=______，…，S1=13．所以13+23+33+⋯+n3=S四边形ABCD=______．【解决问题】的结果为______．根据以上发现，计算13+23+33+⋯+493+5031+2+3+⋯+49+5023.如图1，已知A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AB与反比例函数y=k的图象交于xC、D两点．=________．(1)当OA=6，OB=3，点D的横坐标为2时，则k=________，ACBD(2)当OA=a，OB=b时，请猜测AC与BD之间的数量关系，并说明理由．(3)如图2，以D为顶点且过点O的抛物线分别交函数y=k的图像和x轴于点E、F，连接CF，x=m．设AFOF①若∠AFC=90°，则m的值为多少？②若∠ACF=90°，且m>1时，请用含m的代数式表示tan∠BAO的值．2-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【试题解析】)0=1是有理数，故此选项错误；解：A、(π2B、√3是无理数，故此选项错误；2C、7是有理数，故此选项错误；53=−3是有理数，故此选项正确．D、√−27故选：D．直接利用有理数以及无理数的概念分别分析得出即可．此题主要考查了实数的有关概念，正确把握定义是解题关键．2.答案：A解析：本题考查了几何体的展开图，属于基础题.根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．解：由分析知：四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形．故选A．3.答案：D解析：本题考查了众数、中位数和平均数的定义，方差的特征，普查和抽样调查的选择，必然事件与随机事件的定义，涉及的知识点较多，但是属于基础题型，必须掌握．A.根据必然事件的定义进行判断；B.根据普查的和抽样调查的特点，结合考查的对象即可进行判断；C.根据方差越小越稳定即可进行判断；D.先分别根据众数、中位数和平均数的定义求出数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数，再进行判断．解：A.清明时节可能下雨，也可能不下雨，所以“清明时节雨纷纷”是随机事件，故本选项错误B.由于了解某灯管的使用寿命会给灯管带来损伤破坏，所以不宜采用普查的方式进行，故本选项错误；C.由于0.01<0.02，所以甲组的身高比较整齐，故本选项错误；D.数据3，5，4，5，6，7中，5出现的次数最多，所以这组数据的众数是5；将这6个数按照从小到大的顺序排列，处在第三个与第四个位置的都是5，所以这组数据的中位数是(5+5)÷2=5；这组数据的平均数是(3+5+4+5+6+7)÷6=5．故本选项正确．故选D．4.答案：A解析：解：由数轴可知，−4<a<−3，b=−1，0<c<1，d=3，∴|a|>|b|，A正确；a<−3，B错误；a<−d，C错误；1c>1，D错误；故选：A．根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义是解题关键．5.答案：D解析：此题主要考查相似三角形的应用，先根据勾股定理求得DE的长，再根据相似三角形的判定求得两三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例求解．解：∵∠DEF=90∘，DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，∴DE=√DF2−EF2=40cm=0.4m．∵∠DEF=∠BCD=90∘，∠D=∠D，所以△DEF∽△DCB．∴EFCB =DEDC，即0.3CB=0.420，解得BC=15m．∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5m．故选：D．6.答案：D解析：解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A(0,2)，AO//A1B1，∠B1OC=30°，∴CB1=1，CO=√3，∴B1的横坐标为：√3，则A1的横坐标为：√3，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=√3x上，AO=2，3∴直线AA1的解析式为：y=√3x+2，3×√3+2=3，∴y=√33∴A1(√3,3)，同理可得出：A2的横坐标为：2√3，×2√3+2=4，∴y=√33∴A2(2√3,4)，∴A3(3√3,5)，…A2016(2016√3,2018)．故选：D．x+2，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变根据题意得出直线AA1的解析式为：y=√33化规律，进而得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化，得出A点横纵坐标变化规律是解题关键．7.答案：25解析：此题考查了概率公式及无理数的定义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；先求出卡片正面上的数字为无理数的有几种情况，再根据概率公式即可得出答案．解：∵卡片正面上的数字为无理数的有−√2，π共两种情况，∴从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是2；5．故答案为258.答案：有两个不相等的实数根解析：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．先求判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解：∵△=(−7)2−4×1×(−2)=49+8>0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为有两个不相等的实数根．9.答案：−1或3或9解析：本题考查了中位数与平均数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．根据中位数的定义和平均数的定义得到1+4+6+x4=1+42或1+4+6+x4=x+42或1+4+6+x4=4+62，然后解方程即可．解：根据题意得，1+4+6+x4=1+42或1+4+6+x4=x+42或1+4+6+x4=4+62，解得x =−1或3或9． 故答案为−1或3或9．10.答案：4解析：本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 解：∵勾a =6，弦c =10， ∴股=√102−62=8， ∴小正方形的边长=8−6=2， ∴小正方形的面积=22=4． 故答案是4．11.答案：150°解析：解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R ， 根据题意得：12⋅2π⋅5⋅R =60π，解得R =12， 所以nπR180=2π×5，解得n =150， 即圆锥的侧面展开图的圆心角为150°． 故答案为：150°．根据圆锥的侧面积公式得出圆锥的母线长，再结合弧长公式即可求出圆心角的度数．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12.答案：32或3解析：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=√42+32=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5−3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=(4−x)2，解得x=3，2∴BE=3；2②当点B′落在AD 边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形，∴BE =AB =3． 综上所述，BE 的长为32或3． 故答案为：32或3．13.答案：解：原式=1−3+√3−1−3×√33+6×√33=−3+√3−√3+2√3=2√3−3．解析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质、二次根式的性质代入求出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14.答案：解：原式=2b (a+b)(a−b)+a−b(a+b)(a−b)=a+b(a+b)(a−b) =1a−b ，当a =3，b =1时，原式=13−1=12．解析：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a =3，b =1代入原式进行计算即可．15.答案：解：(1)∵反比例函数y 1=k1x 与一次函数y 2=k 2x +b 的图象交于点A(1,8)，B(m,−2)．∴k 1=1×8=8，∴反比例函数的解析式为y =8x ， 把B(m,−2)代入得，m =8−2， 解得m =−4， ∴B(−4,−2)，解{k 2+b =8−4k 2+b =−2，得{k 2=2b =6， ∴一次函数的解析式为y =2x +6；(2)由(1)知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为(0,6)，∴S△AOB=12×6×4+12×6×1=15．解析：(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将A坐标代入反比例函数解析式中，求出k1的值，确定出反比例解析式，再将B的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出B的坐标，将B 坐标代入一次函数解析式中即可求出k2和b的值，从而求得一次函数的解析式；(2)求得一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为(0,6)，然后根据△AOB的面积等于两个三角形面积的和求得即可．本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形面积的求法，轴对称的性质，待定系数法求解析式是本题的关键．16.答案：解：(1)在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°．在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，∴∠BAM=∠CMN，∴Rt△ABM∽Rt△MCN，∴ABCM =BMCN，∴22−x =xy，∴y=−12x2+x，∴y与x之间的函数关系式为：y=−12x2+x(0<x<2)；(2)∵S△ADN=12AD⋅DN，∴当DN最小时，△ADN的面积最小，即当CN最大时，△ADN的面积最小，∵y=−12x2+x=−12(x−1)2+12，∴当x=1时，y有最大值，∴当M点运动到BC的中点时，三角形ADN的面积最小，∴CN=12，∴DN=32，∴S△ADN=12AD⋅DN=12×2×32=32．解析：(1)根据正方形的性质得到∠B=∠C=90°，根据余角的性质得到∠BAM=∠CMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；(2)由于S△ADN=12AD⋅DN，得到当DN最小时，△ADN的面积最小，即当CN最大时，△ADN的面积最小，根据二次函数的性质得到当M点运动到BC的中点时，三角形ADN的面积最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的面积求法，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．17.答案：解：(1)线段MN如图1所示；(2)正方形ABCD如图2所示；(3)线段EF的垂直平分线l如图3所示；解析：本题考查作图−应用与设计、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)根据√22+32=√13，利用数形结合的思想解决问题即可；(2)作边长为√5的正方形ABCD即可；(3)根据线段的垂直平分线的判定定理，先作出垂直平分线上的两点，构造直线即可18.答案：解：(1)设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，根据题意得：2(1+x)2=3.38，解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不合题意，舍去)．答：该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为30%．(2)3.38×(1+30%)=4.394(亿元)，∵4.394亿元>4.3亿元，∴该企业2019年的利润能超过4.3亿元．解析：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据该企业2019年的利润=该企业2018年的利润×(1+增长率)，求出该企业2019年的利润．(1)设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，根据该企业2016年及2018年的利润额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据该企业2019年的利润=该企业2018年的利润×(1+增长率)，可求出该企业2019年的利润，将其与4.3亿元进行比较后即可得出结论．19.答案：解：(1)12÷20%=60(人)；×100%=40%，(2)B所占的百分比是：2460D所占的百分比是：1−20%−40%−30%=10%．C的个数是：60×30%=18，D的个数是：60×10%=6．(3)360°×20%=72°；(4)1200×10%=120(人)．答：估计全校“D”等级的学生有120人．解析：(1)根据A等级有12人，占20%，即可求得抽查的总人数；(2)根据百分比的定义求得B、D所占的百分比，以及C、D类的人数，即可解答；(3)利用360°乘以对应的百分比即可求解；(4)利用总人数1200乘以对应的百分比．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.答案：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=∠FCD−∠ACD=∠CGD+∠CDE−∠ACD=90°+12°−80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC⋅sin∠CAF=0.8×0.93≈0.744m，在Rt△CDG中，CG=CD⋅sin∠CDE=1.6×0.21≈0.336m，∴FG=FC+CG=0.744+0.336≈1.1m．答：故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m．解析：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG 中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．21.答案：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，由折叠性质可知：DF=AD=BC=8，EF=EA，EF⊥BD．在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=√AD2+AB2=√82+152=17，∵BF=BD−DF，∴BF=17−8=9．设AE=EF=x，则BE=15−x．在Rt△BEF中，由勾股定理可知：EF2+BF2=BE2，即x2+92=(15−x)2，解得：x=245．∴AE=245．解析：由勾股定理可求得BD=17，由翻折的性质可求得BF=9，EF=EA，EF⊥BD，设AE=EF=x，则BE=15−x，在Rt△BEF中，由勾股定理列方程求解即可．本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，在Rt△BEF中，由勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．22.答案：n3(n−1)3(n−2)2[12n(n+1)2]1275解析：解：∵BB′=n，AB=BC=12n(n+1)，∴S n=2BB′×BC−BB′2=2n(12n(n+1))−n2=n3，同理S n−1=(n−1)3，S n−2=(n−2)3，∴13+23+33+⋯+n3=S四边形ABCD =[12n(n+1)]2，13+23+33+⋯+493+503 1+2+3+⋯+49+50=×(12×50×51)212×50×51=25×51=1275；故答案为n3；(n−1)3；(n−2)2；[12n(n+1)2]；1275；将BB′=n，AB=BC=12n(n+1)，代入求S n；以此规律得到S n−1，S n−2，13+23+33+⋯+n3=S四边形ABCD =[12n(n+1)]2；利用得到的结论直接代入公式计算13+23+33+⋯+493+5031+2+3+⋯+49+50=×(12×50×51)212×50×51=1275；本题考查探索规律，整式的运算；能够利用已有规律，探索新的规律，并能将得到结论直接进行运用是解题的关键．23.答案：解(1)4；1；(2)∵A(a,0)、B(0,b)，∴直线AB为y=−bax+b，∴{y=−bax+by=kx，∴−ba x+b=kx，∴bx2−abx+ak=0，∴x1+x2=a，∴x1=a−x2，∵x1，x2为D，C点的横坐标，∴DH=x1，AN=a−x2，∴DH=AN，∵∠BHD=∠CNA=90°，∠BDH=∠CAN，∴△BHD≌△CNA，∴BD=AC；(3)①如图2，作抛物线的对称轴DP，交x轴于P，作DH⊥y轴H，则DH=OP=PF=12OF，∠BDH=∠CAF，.∵∠AFC=90°，∴∠DHB=∠AFC=90°由(2)可知BD=CA，∴△BDH≌△CAF，∴AF=DH，∴AF=12OF，∴m=AFOF=2②如图3，作抛物线的对称轴DP，交x轴于P，作DH⊥y轴H，作CG⊥x轴G，易得OF=2DH=2AG，又AFOF=m，∴AFAG=2m，∵∠ACF=90°，CG⊥AF，∴CG2=AG·FG=AG·(2m−1)AG=(2m−1)AG2，∴(CGAG)2=2m−1，∴tan∠BAO=√2m−1．解析：此题主要考查二次函数应用，一次函数应用与反比例函数应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．(1)先求的直线BA的解析式，根据D的横坐标，求得纵坐标，进而求得k，再根据相似三角形的性质与判定求得ACBD;(2)根据一元二次方程根与系数的关系和全等三角形的判定与性质求解；(3)根据全等三角形的判定与性质和锐角三角函数的定义求解．解：(1)设直线AB为y=cx+d，∵A(6,0)、B(0,3)，{d=36c+d=0，解得{c=−12d=3，∴设直线AB为y=−12x+3，当x=2时，y=2，∴D(2,2)，∴k=2×2=4，如图，分别过C、D作两条坐标轴的垂线，N、P、G、H都是垂足，∵CN⋅CG=DP⋅DH=k，∴DHCG =CNDP，∵CG//DH,DP//CN，∴△BHD∽△BGC，△ACN∽△ADP，∴DHCG =BDBC，CNDP=ACAD，∴BDBC =ACAD，∴BDCD =ACCD，∴BD=AC，ACBD=1，故答案为4；1；(2)见答案；(3)见答案．。
2023年江西省中考数学真题(解析版)
江西省2023年初中学业水平考试数学试题卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．1. 下列各数中，正整数．．．是（）A. 3B. 2.1C. 0D. 2−【答案】A【解析】【分析】根据有理数的分类即可求解．−不是正数，【详解】解：3是正整数，2.1是小数，不是整数，0不是正数，2故选：A．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．3.有意义，则a 的值可以是（ ） A. 1− B. 0C. 2D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．有意义， ∴40a −≥，解得：4a ≥，则a 的值可以是6 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 4. 计算()322m 的结果为（ ）A. 68mB. 66mC. 62mD. 52m【答案】A 【解析】【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：()32628m m =，故选A ．【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．5. 如图，平面镜MN 放置在水平地面CD 上，墙面PD CD ⊥于点D ，一束光线AO 照射到镜面MN 上，反射光线为OB ，点B 在PD 上，若35AOC ∠=°，则OBD ∠的度数为（ ）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得AOC BOD ∠=∠，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：依题意，AOC BOD ∠=∠，35AOC ∠=° ∴35BOD ∠=°， ∵PD CD ⊥，∴9055OBD BOD ∠=°−∠=°， 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图，点A ，B ，C ，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D 【解析】【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P 可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．【详解】解：依题意，,A B ；,A C ；,A D ；,B C ；,B D ，,C D 加上点P 可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D ．【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 单项式5ab −的系数为______．【答案】5− 【解析】【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可． 【详解】解：单项式5ab −的系数是5−．故答案是：5−．【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为_______． 【答案】71.810× 【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可． 【详解】解：718000000=1.810×， 故答案为：71.810×．【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为10n a ×（110a ≤<，a 为整数）的形式，n 的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键． 9. 计算：（a+1）2﹣a 2=_____． 【答案】2a+1 【解析】【详解】【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果． 【详解】（a+1）2﹣a 2=a 2+2a+1﹣a 2 =2a+1， 故答案为2a+1.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.10. 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已60α∠=°，点B ，C 表示的刻度分别为1cm,3cm ，则线段AB 的长为_______cm ．【答案】2 【解析】【分析】根据平行线的性质得出60ACB ∠=°，进而可得ABC V 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴60ACB α∠=∠=°， 又60A ∠=°，∴ABC V 是等边三角形，∵点B ，C 表示的刻度分别为1cm,3cm ， ∴2cm BC =， ∴2cm AB BC == ∴线段AB 的长为2cm , 故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出60ACB ∠=°是解题的关键． 11. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，ABC ∠和AQP ∠均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得40cm 20cm 12m AB BD AQ ===，，，则树高PQ =______m ．【答案】6 【解析】【分析】根据题意可得ABD AQP V V ∽，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵ABC ∠和AQP ∠均为直角 ∴BD PQ ∥， ∴ABD AQP V V ∽，∴BD ABPQ AQ=∵40cm20cm 12m AB BD AQ ===，，， ∴2m 120640AQ BD PQAB ××===, 故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．12. 如图，在ABCD Y 中，602B BC AB ∠=°=，，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α°<<°）得到AP ，连接PC ，PD ．当PCD V 为直角三角形时，旋转角α的度数为_______．【答案】90°或270°或180° 【解析】【分析】连接AC ，根据已知条件可得90BAC ∠=°，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接AC ，取BC 的中点E ，连接AE ，如图所示，∵在ABCD Y 中，602B BC AB ∠=°=，，∴12BECE BC AB ===， ∴ABE V 是等边三角形，∴60BAE AEB ∠=∠=°，AE BE =， ∴AE EC =∴1302EAC ECA AEB ∠=∠=∠=°， ∴90BAC ∠=° ∴AC CD ⊥，如图所示，当点P 在AC 上时，此时90BAP BAC ∠=∠=°，则旋转角α的度数为90°，当点P 在CA 的延长线上时，如图所示，则36090270α=°−°=°当P 在BA 的延长线上时，则旋转角α的度数为180°，如图所示， ∵PA PB CD ==，PB CD ∥， ∴四边形PACD 是平行四边形， ∵AC AB ⊥∴四边形PACD 是矩形， ∴90PDC ∠=°即PDC △是直角三角形，综上所述，旋转角α度数为90°或270°或180° 故答案为：90°或270°或180°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （10tan 453+°−（2）如图，AB AD =，AC 平分BAD ∠．求证：ABC ADC △△≌．的【答案】（1）2；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；（2）先由角平分线的定义得到BAC DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABC ADC △△≌即可． 【详解】解：（1）原式211=+−2=；（2）∵AC 平分BAD ∠， ∴BAC DAC ∠=∠， 在ABC V 和ADC △中，AB AD BAC DAC AC AC =∠=∠ =， ∴()SAS ABC ADC △△≌．【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．14. 如图是44×的正方形网格，请仅用无刻度的直尺．．．．．按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作锐角ABC V ，使点C 在格点上； （2）在图2中的线段AB 上作点Q ，使PQ 最短． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】【分析】（1）如图，取格点K ，使90AKB ∠=°，在K 的左上方的格点C 满足条件，再画三角形即可；（2）利用小正方形的性质取格点M，连接PM交AB于Q，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，ABCV即为所求作的三角形；【小问2详解】如图，Q即为所求作的点；【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．15. 化简2111x x xx x x−+⋅+−．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式x x =+（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】（1）②，③ （2）见解析 【解析】【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 解：甲同学的解法：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x −+−=+⋅+−+− ()()()()221111x x x x x x x x x ⋅+++−−−+()()()()211112x x x x x x ⋅+−+−2x =；乙同学的解法：原式221111x x x x x x x x −−=⋅+⋅+− ()()()()111111x x x x x x x x x x=⋅+⋅+−+−−+ 11x x =−++2x =．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．【答案】（1）随机 （2）16【解析】【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件； 【小问2详解】 画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率21126==． 【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．17. 如图，已知直线y x b =+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交反比例函数(0)ky x x=>的图象于点C ．（1）求直线AB 和反比例函数图象的表达式； （2）求ABC V 的面积．【答案】（1）直线AB 的表达式为1y x =+，反比例函数的表达式为6y x= （2）6 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）由一次函数解析式求得点B 的坐标，再根据BC x ∥轴，可得点C 的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C 坐标，即可求得结果．解：∵直线y x b =+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(2,3)A ， ∴236k =×=，23b +=，即1b =，∴直线AB 的表达式为1y x =+，反比例函数的表达式为6y x=． 【小问2详解】解：∵直线1y x =+的图象与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =， ∴()0,1B ，∵BC x ∥轴，直线BC 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点C ， ∴点C 的纵坐标为1， ∴61x=，即6x =， ∴()6,1C ， ∴6BC =， ∴12662ABC S =××=V ． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y 轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】（1）该班的学生人数为45人 （2）至少购买了甲树苗80棵 【解析】【分析】（1）设该班的学生人数为x 人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m 棵，则购买了乙树苗()155m −棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．解：设该班的学生人数为x 人， 由题意得，320425x x +=−， 解得45x =，∴该班的学生人数为45人； 【小问2详解】解：由（1）得一共购买了34520155×+=棵树苗， 设购买了甲树苗m 棵，则购买了乙树苗()155m −棵树苗， 由题意得，()30401555400m m +−≤， 解得80m ≥， ∴m 得最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．19. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B ，A ，D ，E 均在同一直线上，AB AC AD ==，测得55 1.8m 2m B BC DE ∠=°==，，．（结果保小数点后一位）（1）连接CD ，求证：DC BC ⊥；（2）求雕塑的高（即点E 到直线BC 的距离）．（参考数据：sin 550.82cos550.57tan 55 1.43°≈°≈°≈，，） 【答案】（1）见解析 （2）雕塑的高约为4.2米 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出,B ACB ACD ADC ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理得出()2180B ADC ∠+∠=°，进而得出90BCD ∠=°，即可得证；（2）过点E 作EFBC ⊥，交BC 的延长线于点F ，在Rt BDC V 中，得出1.8cos cos55BC AD B ==°，则1.82cos55BE AD DE =+=+°，在Rt EBF △中，根据sin EF BE B =⋅，即可求解．【小问1详解】解：∵AB AC AD ==，∴,B ACB ACD ADC ∠=∠∠=∠ ∵180B ADC BCD ∠+∠+∠=°即()2180B ADC ∠+∠=°∴90B ADC ∠+∠=° 即90BCD ∠=° ∴DC BC ⊥； 【小问2详解】 如图所示，过点E 作EFBC ⊥，交BC 延长线于点F ，在Rt BDC V 中，55 1.8m 2m B BC DE ∠=°==，， ∴cos BCB AD =， ∴1.8cos cos55BC AD B ==°∴ 1.82cos55BE AD DE =+=+°在Rt EBF △中，sin EFB BE =， ∴sin EF BE B =⋅1.82sin 55cos55=+×° °1.820.820.57≈+×的4.2≈（米）． 答：雕塑的高约为4.2米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20. 如图，在ABC V 中，464AB C =∠=°，，以AB 为直径的O e 与AC 相交于点D ，E 为¼ABD 上一点，且40ADE ∠=°．（1）求»BE的长； （2）若76EAD ∠=°，求证：CB 为O e 的切线． 【答案】（1）109π （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）如图所示，连接OE ，先求出2OE OB OA ===，再由圆周角定理得到280AOE ADE ==°∠∠，进而求出100∠=°BOE ，再根据弧长公式进行求解即可；（2）如图所示，连接BD ，先由三角形内角和定理得到64AED ∠=°，则由圆周角定理可得64ABD AED ==°∠∠，再由AB 是O e 的直径，得到90ADB ∠=°，进而求出26BAC ∠=°，进一步推出90ABC ∠=°，由此即可证明BC 是O e 的切线． 【小问1详解】解：如图所示，连接OE ， ∵AB 是O e 的直径，且4AB =， ∴2OE OB OA ===，∵E 为¼ABD 上一点，且40ADE ∠=°， ∴280AOE ADE ==°∠∠， ∴180100BOE AOE ∠=°−=°∠，∴»BE的长1002101809ππ××=；【小问2详解】证明：如图所示，连接BD ， ∵76EAD ∠=°，40ADE ∠=°， ∴18064AED EAD ADE =°−−=°∠∠∠， ∴64ABD AED ==°∠∠， ∵AB 是O e 的直径， ∴90ADB ∠=°，∴9026BAC ABD =°−=°∠∠， ∵64C ∠=°，∴18090ABC C BAC =°−−=°∠∠∠，即AB BC ⊥， ∵OB 是O e 的半径， ∴BC 是O e 的切线．【点睛】本题主要考查了切线判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键 ．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图． 整理描述初中学生视力情况统计表视力人数 百分比 0.6及以下84%的0.7 16 8%0.8 28 14%0.9 34 17%1.0m34%1.1及以上46 n合计200 100%高中学生视力情况统计图（1）m=_______，n=_______；（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；（3）分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量．．．说明理由：②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．【答案】（1）68；23%；（2）320；（3）①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②11180人，合理化建议见解析，合理即可．【解析】【分析】（1）由总人数乘以视力为1.0的百分比可得m的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得n的值；（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由初中生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可． 【小问1详解】解：由题意可得：初中样本总人数为：200人， ∴34%20068m =×=（人），4620023%n =÷=； 【小问2详解】由题意可得：144460826555320+++++=， ∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为320； 【小问3详解】①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．” 小胡的说法合理；初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为1.0这一组， 而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为0.9的这一组， 而1.0>0.9， ∴小胡的说法合理．②由题意可得：()26000134%23%=11180×−−（人）， ∴该区有26000名中学生，估计该区有11180名中学生视力不良； 合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．【点睛】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键． 22. 课本再现 思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在ABCD Y 中，对角线BD AC ⊥，垂足为O ． 求证：ABCD Y 是菱形．（2）知识应用：如图2，在ABCD Y 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，586AD AC BD ===，，．①求证：ABCD Y 是菱形；②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 于点F ，若12E ACD ∠=∠，求OF EF值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②58【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质证明AOB COB V V ≌得出AB CB =，同理可得DOA ODC V V ≌，则DA DC =， AB CD =，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；（2）①勾股定理的逆定理证明AOD △是直角三角形，且90AOD ∠=°，得出AC BD ⊥，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出E COE ∠=∠，则142OC OE AC ===，过点O 作OG CD ∥交BC 于点G ，根据平行线分线段成比例求得1522CG CB ==，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO CO =， AB DC =， ∵BD AC ⊥∴90AOB COB ∠=∠=°， ,AOB COB V V 中，AO COAOB COB BO BO =∠=∠ =的在∴AOB COB V V ≌ ∴AB CB =，同理可得DOA ODC V V ≌，则DA DC =， 又∵AB CD =∴AB BC CD DA === ∴四边形ABCD 是菱形； 【小问2详解】①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，586AD AC BD ===，，． ∴113,422DOBO BD AO CO AC ====== 在AOD △中，225AD =，22223425AO OD +=+=，∴222AD AO OD =+，∴AOD △是直角三角形，且90AOD ∠=°， ∴AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形； ②∵四边形ABCD 是菱形； ∴ACB ACD ∠=∠∵12E ACD ∠=∠， ∴12E ACB ∠=∠，∵ACB E COE ∠=∠+∠， ∴E COE ∠=∠，∴142OCOE AC ===， 如图所示，过点O 作OG CD ∥交BC 于点G ，∴1BG BOGCOD ==， ∴115222CG BC AD ===，∴55248OF GC EF CE ===． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．六、解答题（本大题共12分）23. 综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt ABC △中，90C ∠=°，D 为AC 上一点，CD =，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF 设点P 的运动时间为s t ，正方形DPEF 的而积为S ，探究S 与t 的关系（1）初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当1t =时，S =_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．（3）延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①12t t +=_______； ②当314t t =时，求正方形DPEF 的面积．【答案】（1）①3；②24S t =+（2）()281828S t t t =−+≤≤，6AB =（3）①4；②349【解析】【分析】（1）①先求出1CP =，再利用勾股定理求出DP =，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出CP t =，进而求出222DP t =+，则222S DP t ==+；（2）先由函数图象可得当点P 运动到B 点时，26S DP ==，由此求出当2t =时，6S =，可设S 关于t的函数解析式为()242S a t =−+，利用待定系数法求出2818S t t =−+，进而求出当281818S t t =−+=时，求得t 的值即可得答案；（3）①根据题意可得可知函数()242S t =−+可以看作是由函数22S t =+向右平移四个单位得到的，设()()()1221P m n Q m n m m >，，，是函数22S t =+上的两点，则()14m n +，，()24m n +，是函数()242S t =−+上的两点，由此可得121212044m m m m m m +=<<+<+，，则2144m m ++=，根据题意可以看作21321244m m t t m t ==+=+，，，则124t t +=；②由（3）①可得134t t =+，再由314t t =，得到143t =，继而得答案． 【小问1详解】 解：∵动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，∴当1t =时，点P 在BC 上，且1CP =，∵90C ∠=°，CD =，∴DP ==∴23S DP ==，故答案为：3；②∵动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在BC 匀速运动，∴CP t =，∵90C ∠=°，CD =，∴22222DP CP CD t =+=+，∴222S DP t ==+；【小问2详解】解：由图2可知当点P 运动到B 点时，26S DP ==，∴246t +=，解得2t =，∴当2t =时，6S =，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为()42，， ∴可设S 关于t 的函数解析式为()242S a t =−+， 把()26，代入()242S a t =−+中得：()26242a =−+， 解得1a =，∴S 关于t 的函数解析式为()()224281828S t t t t =−+=−+≤≤，在2818S t t =−+中，当281818S t t =−+=时，解得8t =或0=t ，∴826AB =−=；【小问3详解】解：①∵点P 在BC 上运动时， 22S t =+，点P 在AB 上运动时()242S t =−+， ∴可知函数()242S t =−+可以看作是由函数22S t =+向右平移四个单位得到的，设()()()1221P m n Q m n m m >，，，是函数22S t =+上的两点，则()14m n +，，()24m n +，是函数()242S t =−+上的两点，∴121212044m m m m m m +=<<+<+，， ∴2144m m ++=， ∵存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等． ∴可以看作21321244m m t t m t ==+=+，，， ∴124t t +=， 故答案为：4；②由（3）①可得134t t =+，∵314t t =，∴1144t t =+， ∴143t =，∴224342239S t=+=+=．.【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．。
2020年江西省南昌市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年江西省南昌市中考数学一模试卷一、选择题（共6小题）.1．19的相反数是（）A．﹣19B．C．D．192．如图所示方式，把图1中正方体的一个角切割掉，形成了如图2的几何体，则如图2的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列各式计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝a2B．（3a）2＝3a2C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1D．（a+b）2＝a2+b24．对于一列数据，如果去掉一个最大值和一个最小值，那么这列数据分析一定不受影响的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差5．如图，在3×4的正方形网格中，能画出与“格点△ABC”面积相等的“格点正方形”有（）个．A．2B．4C．6D．86．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）7．计算：﹣3＝．8．据北晚新视觉网3月20日报道，意大利尤其严重，据民防部门预计，该国目前每月急需9000万只口罩，其中9000万用科学记数法表示为．9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为．10．已知α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为．11．已知菱形OABC在坐标系中如图放置，点C在x轴上，若点A坐标为（3，4），经过A点的双曲线交BC于D，则△OAD的面积为．12．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一点，若△PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为．三、（本大题共11小题，每小题6分，共30分）13．（1）化简：（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（1﹣2x）．（2）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM，求证：EF＝BM．14．先化简再求值，÷（x﹣），其中x＝2﹣2．15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF，若AC⊥EF，试判断四边形AECF的形状，请说明理由．16．《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人（小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸）来到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位（A，B，C，D）．（1）小猪佩奇随机到A座位的概率是；（2）若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．17．如图，在6×7的正方形的网格图中，点A，B，C均为格点，仅用无刻度直尺按要求作图．（1）在图1中，画一条射线AM，使∠BAM＝45°；（2）在图2中，在线段AB上求点P，使∠CPA＝45°．18．为了增强学生的疫情防控意识，响应“停课不停学”号召，某学校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试，阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：分数段（分）频数（人）频率51≤x＜61a0.161≤x＜71180.1871≤x＜81b n81≤x＜91350.3591≤x＜101120.12合计1001（1）填空：a＝，b＝，n＝；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）该校对成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．（4）结合调查的情况，为了提高疫情防控意识，请你给学校提一条合理性建议．19．如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6cm，AB＝17cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC．（1）请求把手CD的长；（2）如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．（参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.538，tan57.5°≈1.570）20．如果，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD∥OC交AC的延长线于点D．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，OC＝2．①求∠ABC的度数；②求AB的长．21．数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．下面是小明同学探究过程，请补充完整：如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，点P为AB边上的一个动点，连接PC，设BP＝xcm，CP＝ycm，【初步感知】（1）当CP⊥AB时，则①x＝；②y＝；【深入思考】（2）试求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）通过取点测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54 y/cm2 1.8 1.72 2.3 2.63（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）1）建立平面直角坐标系，如图2，提出已补全后的表格中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；2）结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．22．已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，点D为BC边上一动点，以AD 为边，在AD的右侧作等边三角形ADE．（1）当AD平分∠BAC时，如图1，四边形ADCE是形；（2）过E作EF⊥AC于F，如图2，求证：F为AC的中点；（3）若AB＝2，①当D为BC的中点时，过点E作EG⊥BC于G，如图3，求EG的长；②点D从B点运动到C点，则点E所经过路径长为．（直接写出结果）23．已知点P为抛物线y＝x2上一动点，以P为顶点，且经过原点O的抛物线，记作“y p”，设其与x轴另一交点为A，点P的横坐标为m．（1）①当△OPA为直角三角形时，m＝；②当△OPA为等边三角形时，求此时“y p”的解析式；（2）若P点的横坐标分别为1，2，3，…n（n为正整数）时，抛物线“y p”分别记作“”、“”…，“”，设其与x轴另外一交点分别为A1，A2，A3，…A n，过P1，P2，P3，…P n作x轴的垂线，垂足分别为H1，H2，H3，…H n．1）①P n的坐标为；OA n＝；（用含n的代数式来表示）②当P n H n﹣OA n＝16时，求n的值．2）是否存在这样的A n，使得∠OP4A n＝90°，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．19的相反数是（）A．﹣19B．C．D．19【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．解：19的相反数是：﹣19．故选：A．2．如图所示方式，把图1中正方体的一个角切割掉，形成了如图2的几何体，则如图2的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．3．下列各式计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝a2B．（3a）2＝3a2C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1D．（a+b）2＝a2+b2【分析】利用合并同类项对A进行判断；根据幂的乘方和积的乘方对B进行判断；根据去括号法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．解：A、原式＝a2，所以A选项正确；B、原式＝9a2，所以B选项错误；C、原式＝﹣2a+1，所以C选项错误；D、原式＝a2+2ab+b2．所以C选项错误．故选：A．4．对于一列数据，如果去掉一个最大值和一个最小值，那么这列数据分析一定不受影响的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．解：先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；故选：B．5．如图，在3×4的正方形网格中，能画出与“格点△ABC”面积相等的“格点正方形”有（）个．A．2B．4C．6D．8【分析】根据三角形的面积和正方形的面积相等即可得到结论．解：如图，∵S△ABC＝2×4＝4，∴与“格点△ABC”面积相等的“格点正方形”有6个，故选：C．6．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．解：∵二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），∴当a＝时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；该函数的对称轴为直线x＝﹣＝1﹣＜1，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；∵该函数的对称轴为x＝1﹣＜1，∴当a＝时，x＝﹣1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）7．计算：﹣3＝﹣1．【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．解：﹣3＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．8．据北晚新视觉网3月20日报道，意大利尤其严重，据民防部门预计，该国目前每月急需9000万只口罩，其中9000万用科学记数法表示为9×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：9000万＝90000000＝9×107．故答案为：9×107．9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为．【分析】设每只雀有x斤，每只燕有y斤，根据五只雀、六只燕，共重1斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤，由题意得，故答案为：．10．已知α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为3或7．【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出α2﹣2α＝3，αβ＝﹣3，将其代入α2﹣3α﹣αβ中可得出α2﹣3α﹣αβ＝6﹣α，利用因式分解法解一元二次方程可求出α的值，再将其代入6﹣α中即可求出结论．解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，∴α2﹣2α＝3，αβ＝﹣3，∴α2﹣3α﹣αβ＝α2﹣2α﹣α﹣αβ＝3﹣α﹣（﹣3）＝6﹣α．∵x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴α＝3或﹣1，∴6﹣α＝3或7．故答案为：3或7．11．已知菱形OABC在坐标系中如图放置，点C在x轴上，若点A坐标为（3，4），经过A点的双曲线交BC于D，则△OAD的面积为10．【分析】先利用勾股定理计算出OA＝5，再利用菱形的面积公式计算出S菱形ABCO＝20，然后根据三角形面积公式，利用S△OAD＝S菱形ABCO进行即可．解：∵点A坐标为（3，4），∴OA＝＝5，∵四边形ABCO为菱形，∴S菱形ABCO＝5×4＝20，∴S△OAD＝S菱形ABCO＝×20＝10．故答案为10．12．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点P是斜边AB上一点，若△PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为3，2.5或．【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况解答即可．解：若△PAC是等腰三角形，①PA＝AC＝3，②AP＝PC时，P为AB的中点，AP＝，③PC＝AC时，过C作CD⊥AB于D，则AP＝2AD＝2AC•cos A＝2×3×＝，综上所述，AP的长为3，2.5或，故答案为：3，2.5或．三、（本大题共11小题，每小题6分，共30分）13．（1）化简：（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（1﹣2x）．（2）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM，求证：EF＝BM．【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果；（2）根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质可得结论．【解答】（1）解：（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（1﹣2x）．＝4x2﹣1+x﹣2x2+1﹣2x，＝2x2﹣x；（2）证明：∵E，F分别是AD，DC的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝AC，∵AB⊥BC，M是AC的中点，∴BM＝AC，∴EF＝BM．14．先化简再求值，÷（x﹣），其中x＝2﹣2．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可．解：原式＝÷＝•＝，当x＝2﹣2时，原式＝＝．15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF，若AC⊥EF，试判断四边形AECF的形状，请说明理由．【分析】由矩形的性质得出∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，由HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF，即可BE＝DF，得出CE＝AF，由CE∥AF，证出四边形AECF 是平行四边形，再由AC⊥EF，即可得出四边形AECF是菱形．解：四边形AECF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝AD，∴CE＝AF，∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．16．《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人（小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸）来到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位（A，B，C，D）．（1）小猪佩奇随机到A座位的概率是；（2）若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的结果数，然后根据概率公式计算．解：（1）小猪佩奇随机到A座位的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小猪佩奇和小猪乔治坐对面的结果数为4，所以小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率＝＝．17．如图，在6×7的正方形的网格图中，点A，B，C均为格点，仅用无刻度直尺按要求作图．（1）在图1中，画一条射线AM，使∠BAM＝45°；（2）在图2中，在线段AB上求点P，使∠CPA＝45°．【分析】（1）将线段AB绕其中点旋转90°，即可得到格点M1和M2，进而得到射线AM，使∠BAM＝45°；（2）取格点D，E，连接AD，CE，则AD∥CE，即可得到∠APC＝∠DAP＝45°．解：（1）如图1，射线AM1或AM2即为所求；（2）如图2，点P即为所求．18．为了增强学生的疫情防控意识，响应“停课不停学”号召，某学校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试，阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：分数段（分）频数（人）频率51≤x＜61a0.161≤x＜71180.1871≤x＜81b n81≤x＜91350.3591≤x＜101120.12合计1001（1）填空：a＝10，b＝25，n＝0.25；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）该校对成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．（4）结合调查的情况，为了提高疫情防控意识，请你给学校提一条合理性建议．【分析】（1）利用频数＝频率×总数可得a的值，再根据各组人数之和等于总数可得b 的值，再由频率的定义得出n的值；（2）根据（1）求出的数据补全频数分布直方图即可；（3）利用全校2500名学生数×考试成绩为91≤x≤100考卷占抽取了的考卷数×获得二等奖学生人数占获奖学生数即可得到结论；（4）根据题意提出合理化的建议即可．解：（1）a＝100×0.1＝10，b＝100﹣10﹣18﹣35﹣12＝25，n＝＝0.25；故答案为：10，25，0.25；（2）补全频数分布直方图如图所示；（3）2500××＝90（人），答：全校获得二等奖的学生人数90人；（4）建议学校组织班主任利用班会开展防控知识演讲比赛以此增强学生的防控意识．19．如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6cm，AB＝17cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC．（1）请求把手CD的长；（2）如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．（参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.538，tan57.5°≈1.570）【分析】（1）如图2，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，根据CD＝AC﹣AD即可求出结果；（2）如图3，分别过C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F．易证四边形CDFE是矩形，得出DF＝CE，EF＝CD，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△BCE，那么AF＝BE＝（AB﹣EF）＝1.4cm．由cos∠DAF＝≈0.538，得出∠DAF＝57.5°，根据平行线的性质求出∠ADC的度数．解：（1）如图2，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC＝＝＝16.8（cm），∴CD＝AC﹣AD＝16.8﹣2.6＝14.2（cm）．（2）如图3，分别过C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F．∵CD∥AB，∴∠CDF＝90°＝∠DFE＝∠CEF，∴四边形CDFE是矩形，∴DF＝CE，EF＝CD，又AD＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），∴AF＝BE＝（AB﹣EF）＝（17﹣14.2）＝1.4（cm），∴cos∠DAF＝＝＝≈0.538，∴∠DAF＝57.5°，∵CD∥AB，∴∠ADC＝180°﹣∠DAF＝122.5°．20．如果，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD∥OC交AC的延长线于点D．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，OC＝2．①求∠ABC的度数；②求AB的长．【分析】（1）先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系证明∠BOC＝90°，再由平行线的性质得出OBD＝90°，按照切线的判定定理可得答案；（2）延长CO交⊙O于点E，连接AE，过C作CH⊥AB于H．①平行线的性质可得∠ACE＝∠D＝30°，由直径所对的圆周角为直角可得∠EAC＝90°，从而可得∠E＝60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得答案；②由半径的长求得直径的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可得AE的长，由勾股定理求得AC的长，利用含45°角的直角三角形和含60°角的直角三角形，可分别求得AH和BH的长，两者相加即可得出AB 的长．解：（1）证明：∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵BD∥OC，∴∠BOC+∠OBD＝180°，∴∠OBD＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）延长CO交⊙O于点E，连接AE，过C作CH⊥AB于H．①∵BD∥OC，∠D＝30°，∴∠ACE＝∠D＝30°，∵CE为直径，∴∠EAC＝90°，∴∠E＝60°，∴∠ABC＝∠E＝60°；②∵OC＝2，∴CE＝4，∵∠EAC＝90°，∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝2，∴AC＝＝2．∵∠BAC＝45°，∴AH＝CH＝AC＝×2＝．∵∠ABC＝60°，∴BH＝CH＝×＝，∴AB＝AH+BH＝+．21．数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．下面是小明同学探究过程，请补充完整：如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，点P为AB边上的一个动点，连接PC，设BP＝xcm，CP＝ycm，【初步感知】（1）当CP⊥AB时，则①x＝1；②y＝；【深入思考】（2）试求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）通过取点测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm2 1.8 1.7 1.82 2.3 2.63 3.5（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）1）建立平面直角坐标系，如图2，提出已补全后的表格中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；2）结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①当0≤x≤1时，y随x增大而减小；②当1≤x≤4时，y随x增大而增大．【分析】（1）①②由直角三角形的性质可得出答案；（2）过点C作CD⊥AB于点D，得出BD＝1，CD＝，①当0≤x≤1时，②当1＜x ≤4时，由勾股定理可得出答案；（3）1）由（2）的结论补表即可，连线即可画出图象；2）①②由图象可得出结论．解：（1）①当CP⊥AB时，∵∠CPB＝∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠A＝30°，∴BP＝BC＝1cm，∴x＝1，故答案为：1．②∵∠BCP＝30°，∠BPC＝90°，BC＝2cm，∴CP＝BC•cos30°＝2×＝（cm），∴y＝．故答案为：．（2）过点C作CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，∴BD＝1，CD＝，①当0≤x≤1时，如图1，PD＝1﹣x，PC＝＝＝，∴，②当1＜x≤4时，如图2，PD＝x﹣1，PC＝＝＝．综合①②得：y＝（0≤x≤4）．（3）1）由（2）知y＝（0≤x≤4）．当x＝1.5时，y＝≈1.8．当x＝4时，y＝＝2．故答案为：1.8；3.5．补图：如图3，2）性质：①当0≤x≤1时，y随x增大而减小；②当1≤x≤4时，y随x增大而增大；③y的最小值为．故答案为：当0≤x≤1时，y随x增大而减小；当1≤x≤4时，y随x增大而增大．22．已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，点D为BC边上一动点，以AD 为边，在AD的右侧作等边三角形ADE．（1）当AD平分∠BAC时，如图1，四边形ADCE是菱形；（2）过E作EF⊥AC于F，如图2，求证：F为AC的中点；（3）若AB＝2，①当D为BC的中点时，过点E作EG⊥BC于G，如图3，求EG的长；②点D从B点运动到C点，则点E所经过路径长为2．（直接写出结果）【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ADCE为平行四边形，证明AD＝AE，根据菱形的判定定理证明结论；（2）证明△BAD≌△FAE，根据全等三角形的性质得到AB＝AF，根据直角三角形的性质得到AC＝2AB，证明结论；（3）①作EF⊥AC于F，连接EC，根据勾股定理求出BC，根据等腰三角形的性质求出CG，根据勾股定理计算，得到答案；②根据线段垂直平分线的判定定理得到E'E''垂直平分AC，证明△E'AE''≌△BAC，得到E'E''＝BC＝2．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠EAC＝30°，∴∠EAC＝∠ACB，∠DAC＝∠ACB，∴AE∥DC，AD＝DC，∵AE＝AD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AD＝AE，∴平行四边形ADCE为菱形，故答案为：菱；（2）证明：在△BAD和△FAE中，，∴△BAD≌△FAE（AAS）∴AB＝AF，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∴AC＝2AF，∴F为AC的中点；（3）解：①如图3，作EF⊥AC于F，连接EC，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∴BC＝＝2，∵D为BC的中点，∴BD＝BC＝，∴AD＝＝，∵AF＝FC，EF⊥AC，∴EC＝AE＝AD＝，∵EC＝EA＝ED，EG⊥DC，∴CG＝CD＝，∴EG＝＝；②如图4，当点D与点B重合时，点E在E'处，点E'是AC中点；当点D与点C重合时，点E在E''处，其中△ACE''是等边三角形，由（1）得：AE＝CE，∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上，∴E'E''垂直平分AC，∴点E的运动路径是从AC的中点E'，沿着AC垂直平分线运动到E''处，在△E'AE''和△BAC中，，∴△E'AE''≌△BAC（AAS），∴E'E''＝BC＝2，故答案为：2．23．已知点P为抛物线y＝x2上一动点，以P为顶点，且经过原点O的抛物线，记作“y p”，设其与x轴另一交点为A，点P的横坐标为m．（1）①当△OPA为直角三角形时，m＝3；②当△OPA为等边三角形时，求此时“y p”的解析式；（2）若P点的横坐标分别为1，2，3，…n（n为正整数）时，抛物线“y p”分别记作“”、“”…，“”，设其与x轴另外一交点分别为A1，A2，A3，…A n，过P1，P2，P3，…P n作x轴的垂线，垂足分别为H1，H2，H3，…H n．1）①P n的坐标为（n，n2）；OA n＝2n；（用含n的代数式来表示）②当P n H n﹣OA n＝16时，求n的值．2）是否存在这样的A n，使得∠OP4A n＝90°，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①当△OPA为直角三角形时，点P的横坐标和纵坐标相同，故点P（m，m），即可求解；②当△OPA为等边三角形时，同理可得：点P（m，m），即可求解；（2）1）①由题意得：P n的横坐标为n，则其坐标为（n，n2），则A n＝2n；②由题意得：P n H n﹣OA n＝n2﹣2n＝16，即可求解；2）证明Rt△OP4H4∽Rt△P4A n H4，则P4H42＝OH4•H4A n，即可求解．解：（1）①当△OPA为直角三角形时，∵PO＝PA，故△OPA为以点P为顶点的等腰直角三角形，∴点P的横坐标和纵坐标相同，故点P（m，m），将点P的坐标代入y＝x2得：m＝m2，解得：m＝0或2（舍去0），故答案为2；②当△OPA为等边三角形时，同理可得点P（m，m），将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝2，故点P的坐标为（2，6），故“y p”的解析式为：y＝a（x﹣2）2+6，点A的坐标为（2m，0），即（4，0），将点A的坐标代入y＝a（x﹣2）2+6并解得：a＝﹣，故“y p”的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+2x；（2）1）①由题意得：P n的横坐标为n，则其坐标为（n，n2），则A n＝2n，故答案为：（n，n2）；2n；②由题意得：P n H n﹣OA n＝n2﹣2n＝16，解得：n＝8或﹣4（舍去﹣4），∴n＝8；2）存在，理由：如下图所示，由1）知，点P4的坐标为（4，8），A n＝2n，即OH4＝4，P4H4＝8，H4A n＝2n﹣4，∵∠OP4A n＝90°，∴∠OP4H4+∠H4P4A n＝90°，∵∠H4P4A n+∠P4A n H4＝90°，∴∠OP4H4＝∠P4A n H4，∴Rt△OP4H4∽Rt△P4A n H4，∴P4H42＝OH4•H4A n，即82＝4×（2n﹣4），解得：n＝10．。
2020年江西省中考考前最后一卷数学试卷及答案解析
2020年江西省中考考前最后一卷数学试卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．﹣2的相反数是（）
A．2B．﹣2C ．D ．﹣
2．已知地球上海洋面积约为316 000 000km2，数据316 000 000用科学记数法可表示为（）A．3.16×109B．3.16×107C．3.16×108D．3.16×106
3．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列运算中正确的是（）
A．（x3）2＝x5B．2a﹣5•a3＝2a8
C ．D．6x3÷（﹣3x2）＝2x
5．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）A．10B．9C．8D．7
6．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形
B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线相等的四边形
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．函数y ＝+中，自变量x的取值范围是．
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为．
9．计算：﹣＝．
10．如图，正三棱柱的底面周长为15，截去一个底面周长为6的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是，面积是．
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2023年江西省中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年江西省中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各数中，正整数是( )A. 3B. 2.1C. 0D. −22. 下列图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3. 若√ a−4有意义，则a的值可以是( )A. −1B. 0C. 2D. 64. 计算(2m2)3的结果为( )A. 8m6B. 6m6C. 2m6D. 2m55.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°6. 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7. 单顶式−5ab的系数为______ ．8. 我国海洋经济复苏态势强劲.在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为______ ．9. 化简：(a+1)2−a2=______ ．10. 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为______ cm．11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ=______ m.12.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP，连接PC，PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。