初二数学经典难题及答案
. .. . . . v. . . . A P C D B
P C G F B Q
A
D E
初二数学经典题型 1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．
证明如下。 首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．
证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM. 又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半． 证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N， 在梯形MEFN中，WE平行NF 因为P为EF中点，PQ平行于两底 所以PQ为梯形MEFN中位线， 所以PQ＝（ME＋NF）/2 又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B＝角Rt＝角BNF CB=BF 所以△OCB全等于△NBF △MEA全等于△OAC（同理） 所以EM＝AO，0B＝NF 所以PQ=AB/2. 4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB． 过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE A N F E C D
M B . .. . .
. v. . . . 因为DP//AE，AD//PE 所以，四边形AEPD为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP 所以，A、E、B、P四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB 因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长． 解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ 所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC 因为四边形DCBA是正方形 所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90° 即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形 所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a 所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90° 所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135° 作BM⊥PQ 则△BPM是等腰直角三角形 所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2 所以AB＝[√(5＋2√2)]a
6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
A C B
P D
P A D
C B . .. . .
. v. . . . 由题意得：txvxv82
解之得：tvx85
经检验得：tvx85是原方程解。 ∴小口径水管速度为tv85，大口径水管速度为tv25。
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1），且P（1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
解：（1）设正比例函数解析式为ykx，将点M（2，1）坐标代入得12k，所以正比例函数解析式为12yx 同样可得，反比例函数解析式为2y
x
（2）当点Q在直线DO上运动时，
设点Q的坐标为1()2Qmm，，
于是211112224OBQSOBBQmmm△， 而1(1)(2)12OAPS△， 所以有，2114m，解得2m
图xyBAO
M
Q
P图
x
y
B
CAO
MP
Q . .. . .
. v. . . . 所以点Q的坐标为1(21)Q，和2(21)Q， （3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC， 而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为2()Qnn，，
由勾股定理可得222242()4OQnnnn， 所以当22()0nn即20nn时，2OQ有最小值4， 又因为OQ为正值，所以OQ与2OQ同时取得最小值， 所以OQ有最小值2． 由勾股定理得OP＝5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设AP=x, △PBE的面积为y. ① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一： ① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC， ∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ， ∴ PE=PD. ② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， ∵ PB=PE， ∴ ∠PBE=∠PEB， ∴ ∠PEB=∠PDC， ∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， ∴ PE⊥PD. ） （ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
A B C D P E
1 2 H . .. . .
. v. . . . ∴ PE⊥PD. 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. （2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE. ∵ AP=x，AC=2，
∴ PC=2- x，PF=FC=xx221)2(22
.
BF=FE=1-FC=1-(x221)=x22. ∴ S△PBE=BF·PF=x22(x221)xx22212. 即 xxy22212 (0＜x＜2). ② 41)22(21222122xxxy. ∵ 21a＜0， ∴ 当22x时，y最大值4
1.
（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， △AGP和△PFC都是等腰直角三角形. ∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°. 又∵ PB=PE， ∴ BF=FE， ∴ GP=FE， ∴ △EFP≌△PGD （SAS）. ∴ PE=PD. ② ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE=90°. ∴ PE⊥PD. （2）①∵ AP=x，
∴ BF=PG=x22，PF=1-x22.
∴ S△PBE=BF·PF=x22(x221)xx22212. 即 xxy22212 (0＜x＜2). ② 41)22(21222122xxxy.
A B C P D
E F
A B C P D E F G
1 2 3
初二数学整式的乘除经典难题
第二讲 整式的乘除【思想方法、知识要点回顾与拓展】指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m n m n a a a +⋅=， ()m n mn a a =，()n n n ab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p p a a a-=≠． 常用技巧总结：【例题之 能力提升】例1 . 化简()()3422222++-n nn 得（ ）. A.8121-+n B.12+-n C.87 D.47 例2. 若()()n x x mx x ++=-+3152，则m 的值是（ ）A.5-B.5C.2-D.2例3.已知552=a ，443=b ，335=c ，226=d ，那么a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是（ ）A.d c b a <<<B. c d b a <<<C. d c a b <<<D. c b d a <<<例4. 若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为 ．例5.使()()q x x px x +-++3822的乘积中不含2x 与3x 项的p 、q 的值是（ ）A.0=p ，0=qB. 3=p ，1=qC. 3-=p ，9-=qD. 3-=p ，1=q变式1、若的乘积中不含的一次项，则等于______．2、已知（x +2）（x 2+ax +b ）的积中不含x 的二次项且一次项的系数为1，求a 、b 的值．例6. （1）()()83235274322353456-++--+-+-x x x x x x x x x 展开式中8x 的系数是 ；()13x m x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭x（2）设()()1232137106536234523-++-+=+++-x x x x x b x x x ax ，则=a ，=b ．例7 . 已知()()()()()()()12121212121212643216842+++++++=A ，那么A 的个位数是 .例8.已知()()()22231k k k x f +⋅⋅⋅⋅⋅+++=，则()()34f f -为（ ） A.()()22912k k - B.22912- C.22223121110-++ D.3223912--【例题之 挑战压轴/自招题】例1. （1）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++，则121086420a a a a a a a ++++++= ．（2）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则 ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ．例2.已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+= ．变式1.当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值 。
初中数学经典几何难题及答案
经典难题（一）之邯郸勺丸创作1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）第1题图 第2题图2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）第3题图第4题图4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）AFGCEBODAPC DBD 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1C BDAA 1B第1题图 第2题图2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）第4题图4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）F第2题图2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA＝PF ．（初二）第3题图 4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）第1题图 第2题图2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）第3题图 第4题图4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．第1题图 第2题图2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，而且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．第3题图第4题图 4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300， ∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．C BDAFPDE CBAA PCBAC B PDEDCBAACBPD经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF 。
初二数学经典题型(含答案)
APCD B初二数学经典题型1．已知：如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．2.已知：如图,在四边形ABCD 中,AD ＝BC,M.N 分离是AB.CD 的中点,AD.BC 的延伸线交MN 于E.F ．求证：∠DEN ＝∠F ．3.如图,分离以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG,点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．4.设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．5.P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA ＝a,PB ＝2a,PC=3a 正方形的边长．6.如图,P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A .C 不重合）,点E 在射线BC 上,且PE=PB .（1）求证：①PE=PD ; ②PE ⊥PD ; （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .① 求出y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值规模; ② 当x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值. 答案 1.证实如下.起首,PA=PD,∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°,∠PAB=90°-15°=75°.在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ, 衔接PQ,则ANF E CDMBF∠PDQ=60°+15°=75°,同样∠PAQ=75°,又AQ=DQ,,PA=PD,所以△PAQ ≌△PDQ, 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°,在△PQA 中,∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB,于是PQ=AQ=AB, 显然△PAQ ≌△PAB,得∠PBA=∠PQA=30°,PB=PQ=AB=BC,∠PBC=90°-30°=60°,所以△ABC 是正三角形. 2.证实:衔接AC,并取AC 的中点G,衔接GF,GM.又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.3.证实：分离过E.C.F 作直线AB 的垂线,垂足分离为M.O.N, 在梯形MEFN 中,WE 平行NF 因为P 为EF 中点,PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线, 所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2又因为,角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO,0B ＝NF 所以PQ=AB/2.4.过点P 作DA 的平行线,过点A 作DP 的平行线,两者订交于点E;衔接BE因为DP//AE,AD//PE所以,四边形AEPD 为平行四边形所以,∠PDA=∠AEP已知,∠PDA=∠PBA所以,∠PBA=∠AEP所以,A.E.B.P四点共圆所以,∠PAB=∠PEB因为四边形AEPD为平行四边形,所以：PE//AD,且PE=AD而,四边形ABCD为平行四边形,所以：AD//BC,且AD=BC所以,PE//BC,且PE=BC即,四边形EBCP也是平行四边形所以,∠PEB=∠PCB所以,∠PAB=∠PCB5 解：将△BAP绕B点扭转90°使BA与BC重合,P点扭转后到Q点,衔接PQ 因为△BAP≌△BCQ所以AP＝CQ,BP＝BQ,∠ABP＝∠CBQ,∠BPA＝∠BQC所以∠CBA＝90°,所以∠ABP＋∠CBP＝90°,所以∠CBQ即∠PBQ＝90°,所以△BPQ是等腰直角三角形所以PQ＝√2*BP,∠BQP＝45因为PA=a,PB=2a,PC=3a所以PQ＝2√2a,CQ＝a,所以CP^2＝9a^2,PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2,所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°所以∠BQC＝90°＋45°＝135°,所以∠BPA＝∠BQC＝135°作BM⊥PQ则△BPM是等腰直角三角形所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a所以依据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2所以AB ＝[√(5＋2√2)]a 6. 解：（1）证法一：①∵ 四边形ABCD 是正方形,AC 为对角线, ∴BC=DC , ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC =PC ,∴△PBC ≌△PDC （SAS ）.∴PB = PD , ∠PBC =∠PDC . 又∵PB = PE ,∴PE =PD .② （i ）当点E 在线段BC 上(E 与B .C 不重合)时, ∵ PB =PE , ∴∠PBE =∠PEB , ∴∠PEB =∠PDC ,∴∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°,∴∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°, ∴PE ⊥PD . ）（ii ）当点E 与点C 重应时,点P 正好在AC 中点处,此时,PE ⊥PD . （iii ）当点E 在BC 的延伸线上时,如图. ∵∠PEC =∠PDC ,∠1=∠2, ∴∠DPE =∠DCE =90°, ∴PE ⊥PD .AB C DPE12H分解（i ）（ii ）（iii ）, PE ⊥PD .（2）① 过点P 作PF ⊥BC ,垂足为F ,则BF =FE . ∵AP =x ,AC∴PCx ,PF =FCBF=FE =1-FC∴S△PBE =BF ·PF即＜x0,∴,y（1）证法二：① 过点P 作GF ∥AB ,分离交AD .BC 于G .F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形, △AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形. ∴GD=FC =FP ,GP=AG =BF ,∠PGD =∠PFE =90°. 又∵PB =PE , ∴BF =FE , ∴GP =FE ,∴△EFP ≌△PGD （SAS ）. ∴PE =PD . ②∴∠1=∠2.AB CPDE F ABCPDEF G123∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.∴∠DPE=90°.∴PE⊥PD. （2）①∵AP=x,∴BF=PGPF∴S△PBE=BF·PF即＜x0,∴,y26．（本小题满分8分）如图1,,,分（温馨提醒：在图1中,依据三角形中位线定理,再应用平行线性质,问题一：如图2,的中点,,请直接写出结论．问题二：如图3,点,,断定26．（1）等腰三角形1分ACBDFENMODHA FNM12ADFG（2）断定出直角三角形1分1分,同理1分2分2分AB CDFGHE123。
初中数学经典几何难题, 附答案
初二数学几何经典难题初二数学几何经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1CB DA A 1求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·4、平行四边形ABCD 中，设E、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC ，求证：≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC0，∠EBA＝200，求∠BED的度数．APC BAC BPD AC BPD经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学难题精选(附问题详解)
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
初中数学经典几何题(附答案)
初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A FG C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1C B DA A 1F经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）。
初中数学经典几何难题与答案解析
经典难题（一）仁已知：如图，0是半圆的圆心.C 、E 是圆上的两点，CD 丄AB, EF 丄AB, EG 丄CO. 求证：CD=GF ・（初二）求证：APBC 是正三角形.（初二）3、 如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形，2、B 2. C2、D2分别是 从、BB ・、CG 、DD（的中 点.求证：四边形A2B2C2D2是正方形.（初二）第3题图4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD = BC, MMN 于 E 、F.求证：ZDEN=ZF ・经典难题（二）1、已知：ZiABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），0为外心，且0M 丄BC 于M.（1） 求证：AH=20M;（2） 若ZBAC=60°,求证：AH=AO ・（初二）第4题图、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交2、 已知：如图.P 是正方形ABCD 内点，ZPAD=ZPDA = 15°.2、设MN 是圆0外一直线.过0作0A 丄MN 于A,自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q.求证：AP=AQ ・（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆0的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC. DE,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q. 求证：AP=AQ ・（初二）求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半・（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE/7AC, AE=AC, AE 与CD 相交于F. 求证：CE=CF ・（初二）第4题图在AABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG,点PAGA第2题图是EF 的中点.3、设P 是正方形ABCD-边BC 上的任一点，PF 丄AP, CF 平分ZDCE. 求证：PA=PF ・（初二）第3题图 第4题图4、如图，PC 切圆0于C, AC 为圆的直径，PEF 为國的割线，AE 、AF 与直线P0相交于B 、D.求证：AB=DC, BC=AD ・（初三）经典难题（四）1.已知：ZiABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA=3, PB=4, PC=5.求：ZAPB 的慶数.（初二）求证：AE=AF ・（初二）2、 设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且ZPBA=ZPDA ・求证：ZPAB=ZPCB.（初二）3、 设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB • CD+AD • BC=AC • BD.（初三）2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA + PB+PC 的最小值. A4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC.AE = CF ・ 求证：ZDPA=ZDPC ・（初二）经典难题（五）1 ＞设 P 是边长为1的正△ ABC 内任一点，L = PA + PB + PC ,求证：WLV2.3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a, PB = 2a, PC = 3a,求正方形的边长.经典难题（一）1、已知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD丄AB, EF丄AB, EG丄CO.求证：CD=GFo （初二）证一：连接0E。
初中数学经典几何题及答案
经典难题〔一〕1、：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．〔初二〕求证：△PBC是正三角形．3、如图，四边形ABCD、A1B1CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D24、：如图，在四边形ABCD延长线交MN于E、F求证：∠DEN＝∠F．1、：△ABC中，H〔1〕求证：AH＝2OM；〔2〕假设∠BAC＝6002、设MN是圆O外一直线，过及D、E，直线EB及CD求证：AP＝AQ．〔初二〕3、如果上题把直线MN设MN是圆O的弦，过于P、Q．求证：AP＝AQ．4、如图，分别以△ABC的ACCBFG，点P是EF求证：点P到边AB1、如图，四边形ABCD求证：CE＝CF．〔初二〕2、如图，四边形ABCD求证：AE＝AF．〔初二〕3、设P是正方形ABCD一边求证：PA＝PF．〔初二〕4、如图，PC切圆O于C，AC于B、D．求证：AB＝DC，1、：△ABC是正三角形，P求：∠APB的度数．〔初二〕2、设P是平行四边形ABCD求证：∠PAB ＝∠PCB ．〔初二〕3、设ABCD 为圆接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．〔初三〕4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．〔初二〕 经典难题〔五〕1、设P 是边长为1的正△ABC 任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC2、：P 是边长为1的正方形ABCD 的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数． 经典难题〔一〕答案1.如以下图做GH ⊥AB,连接EO 。
中(小)学初二数学难题带标准及解析
初二数学经典难题一、解答题（共10 小题，满分100 分）1．（10 分）已知：如图，P 是正方形ABCD内点，∠ PAD=∠ PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（ 10 分）已知：如图，在四边形ABCD中， AD=BC， M、 N 分别是 AB、CD的中点， AD、BC 的延长线交MN 于 E、F．求证：∠ DEN=∠ F．3．（10 分）如图，分别以△ ABC 的边 AC、 BC为一边，在△ABC 外作正方形 ACDE和 CBFG，点 P 是 EF的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半．4．（10 分）设 P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠ PBA=∠ PDA．求证：∠ PAB=∠ PCB．5．（10 分） P 为正方形 ABCD内的一点，而且PA=a，PB=2a， PC=3a，求正方形的边长．6．（ 10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内灌水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管灌水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自灌水的速度．7．（10 分）（ 2009 郴州）如图 1，已知正比率函数和反比率函数的图象都经过点M （﹣ 2，﹣ 1），且 P（﹣ 1，﹣ 2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、 B．（1）写出正比率函数和反比率函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上能否存在这样的点 Q，使得△ OBQ 与△OAP 面积相等假如存在，央求出点的坐标，假如不存在，请说明原由；（ 3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、 OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10 分）（2008 海南）如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD对角线 AC上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在线段BC 上，且 PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE ⊥ PD；（2）设 AP=x，△ PBE的面积为 y．①求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当 x 取何值时， y 获得最大值，并求出这个最大值．9．（10 分）（ 2010 河南）如图，直线y=k1x+b 与反比率函数（ x＞ 0）的图象交于A（1 ，6）， B（ a，3）两点．（ 1）求 k1、 k2的值．（ 2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形 OBCD中， BC∥ OD， OB=CD，OD 边在图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和x 轴上，过点 C 作 CE⊥OD 于点 E，CE和反比率函数的PE 的大小关系，并说明原由．10．（ 10 分）（ 2007 福州）如图，已知直线y= x 与双曲线交于A，B两点，且点A 的横坐标为4．（ 1）求 k 的值；（ 2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△ AOC的面积；（ 3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A， B， P，Q 为顶点构成的四边形面积为24，求点 P 的坐标．初二数学经典难题参照答案与试题分析一、解答题（共10 小题，满分100 分）1．（10 分）已知：如图，P 是正方形ABCD内点，∠ PAD=∠ PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判断。
初中数学经典几何难题及答案
经典难题（一）之蔡仲巾千创作1、已知：如图, O 是半圆的圆心, C 、E 是圆上的两点, CD ⊥AB, EF ⊥AB, EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）第1题图第2题图2、已知：如图, P 是正方形ABCD 内点, ∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图, 已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形, A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）第3题图第4题图4、已知：如图, 在四边形ABCD 中, AD ＝BC, M 、N 分别是AB 、CD 的中点, AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中, H 为垂心（各边高线的交点）, O 为外心, 且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；AFGCEBODAPC DBD 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1C BDAA 1B（2）若∠BAC ＝600, 求证：AH ＝AO ．（初二）第1题图 第2题图2、设MN 是圆O 外一直线, 过O 作OA ⊥MN 于A, 自A 引圆的两条直线, 交圆于B 、C 及D 、E 直线EB 及CD分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内, 则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE, 设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）第4题图4、如图, 分别以△ABC 的AC 和BC 为一边, 在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG, 点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离即是AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图, 四边形ABCD 为正方形, DE ∥AC, AE ＝AC, AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）NF第2题图2、如图, 四边形ABCD 为正方形, DE ∥AC,且CE ＝CA, 直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点, PF ⊥AP, CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）第3题图 4、如图, PC切圆O 于C, AC 为圆的直径, PEF 为圆的割线, AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC, BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形, P 是三角形内一点, PA ＝3, PB ＝4, PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）第1题图 第2题图2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点, 且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）E3、设ABCD 为圆内接凸四边形, 求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）第3题图 第4题图4、平行四边形ABCD 中, 设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点, AE 与CF 相交于P, 且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点, L ＝PA ＋PB ＋PC, 求证：≤L ＜2．第1题图 第2题图2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点, 求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点, 而且PA ＝a, PB ＝2a, PC ＝3a, 求正方形的边长．第3题图4、如图, △ABC 中, ∠ABC ＝∠ACB ＝800, D 、E 分别是AB 、AC 上的点, ∠DCA ＝300, ∠EBA ＝200, 求∠BED 的度数．C BDAFPDE CBAA PCBAC B PDEDCBAACBPD经典难题（一）1、已知：如图, O 是半圆的圆心, C 、E 是圆上的两点, CD ⊥AB, EF ⊥AB, EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF.（初二）证一：连接OE.∵EG ⊥CO , EF ⊥AB, ∴O 、G 、E 、F 四点共圆, 且OE 为直径.∴GF=OE ·sin ∠GOF.又△OCD 中, CD=OC ·sin ∠COD.∵∠GOF+∠COD=180°, OC= OE 为⊙O 半径, ∴CD ＝GF. 证二：连接OE, 过G 作GH ⊥AB 于H.∵EG ⊥CO , EF ⊥AB, ∴O 、G 、E 、F 四点共圆, 且OE 为直径.∴∠GEO=∠HFG.又∠EGO=∠FHG=Rt ∠, ∴△GEO ∽△HFG.∴GF:OE=GH:OG.又GH∥CD,∴GH:CD=OG:OC, 即GH:OG=CD:OC, ∴GF:OE=CD:OC, 而OE=OC, ∴CD ＝GF.2、已知：如图, P 是正方形ABCD 内点, ∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：3、如图, 已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形, A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）AFGCEBODAFG CEBO DAPCDB EH4、已知：如图, 在四边形ABCD 中, AD ＝BC, M 、N 分别是AB 、CD 的中点, AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中, H 为垂心（各边高线的交点）, O 为外心, 且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600, 求证：AH ＝AO ．（初二）D 2C 2 B 2A 2D 1C 1B 1CBDAA 1B2、设MN 是圆O 外一直线, 过O 作OA ⊥MN 于A, 自A 引圆的两条直线, 交圆于B 、C 及D 、E 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内, 则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦, 过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE, 设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图, 分别以△ABC 的AC 和BC 为一边, 在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG, 点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离即是AB 的一半．（初二）NF经典难题（三）1、如图, 四边形ABCD 为正方形, DE ∥AC, AE ＝AC, AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图, 四边形ABCD 为正方形, DE ∥AC, 且CE ＝CA, 直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点, PF ⊥AP, CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）E4、如图, PC切圆O于C, AC为圆的直径, PEF为圆的割线, AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC, BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形, P是三角形内一点, PA＝3, PB＝4, PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点, 且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形, 求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD 中, 设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点, AE 与CF 相交于P, 且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点, L ＝PA ＋PB ＋PC, 求证：≤L ＜2．CBDAFPDE CBA A PCB2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点, 求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点, 而且PA＝a, PB＝2a, PC＝3a, 求正方形的边长．4、如图, △ABC中, ∠ABC＝∠ACB＝800, D、E分别是AB、AC上的点, ∠DCA＝300,∠EBA＝200, 求∠BED的度数．经典难题（一）⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆, 所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO, 所以CD=GF得证.2. 如下图做△DGC使与△ADP全等, 可得△PDG为等边△, 从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 , 从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB12F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点, 连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 , EB2=12AB=12BC=F C1 , 又∠GFQ+∠Q=900和∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ,可得△B2FC2≌△A2EB2 , 所以A2B2=B2C2 ,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.4.如下图连接AC并取其中点Q, 连接QN和QM, 所以可得∠QMF=∠F, ∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM, 从而得出∠DEN＝∠F.经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF, 做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接OB, OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.⊥CD, OG⊥BE, 连接OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ.由于22AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG,由此可得△ADF≌△ABG, 从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA与QGOA四点共圆, 可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ, 从而可得AP=AQ.4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG, CI, FH.可得PQ=2EGFH.由△EGA ≌△AIC, 可得EG=AI, 由△BFH ≌△CBI, 可得FH=BI.从而可得PQ=2AIBI =2AB, 从而得证.经典难题（三）△ADE, 到△ABG, 连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B, G, D在一条直线上, 可得△AGB≌△CGB.推出AE=AG=AC=GC, 可得△AGC为等边三角形.∠AGB=300, 既得∠EAC=300, 从而可得∠A EC=750.又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF.⊥DE, 可得四边形CGDH是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300, 所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150, 从而得出AE=AF.⊥CD, FE⊥BE, 可以得出GFEC为正方形.令AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X .tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZY X Z, 可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X) , 既得X=Z , 得出△ABP≌△PEF , 获得PA＝PF , 得证 .经典难题（四）1.顺时针旋转△ABP 600 , 连接PQ , 则△PBQ是正三角形. 可得△PQC是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P点平行于AD的直线, 并选一点E, 使AE∥DC, BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP, 可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）.可得∠BAP=∠BEP=∠BCP, 得证.3.在BD取一点E, 使∠BCE=∠ACD, 既得△BEC∽△ADC, 可得：BEBC=ADAC, 即AD•BC=BE•AC, ①又∠ACB=∠DCE, 可得△ABC∽△DEC, 既得ABAC =DEDC , 即AB •CD=DE •AC, ②由①+②可得: AB •CD+AD •BC=AC(BE+DE)= AC ·BD , 得证.⊥AE , AG ⊥CF , 由ADES=2ABCDS=DFCS, 可得：2AE PQ =2AE PQ , 由AE=FC.可得DQ=DG, 可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）.经典难题（五）1.（1）顺时针旋转△BPC 600 , 可得△PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上, 即如下图：可得最小L=；（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F.由于∠APD>∠ATP=∠ADP,推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF=AF ④由①②③④可得：最年夜L< 2 ；由（1）和（2）既得：≤L＜2 .△BPC 600 , 可得△PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上, 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.既得AF=213(1)42=23=4232=2(31)2 =2(31)2=622 .△ABP 900 , 可得如下图：既得正方形边长L =2222(2)()22a=522a.4.在AB上找一点F, 使∠BCF=600 ,连接EF, DG, 既得△BGC为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF , 获得BE=CF , FG=GE .推出：△FGE为等边三角形 , 可得∠AFE=800 ,既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG , 既得∠BGD=800 , 既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,获得：△DFE≌△DGE ,从而推得：∠FED=∠BED=300 .经典难题（一）⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆, 所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO, 所以CD=GF得证.2. 如下图做△DGC使与△ADP全等, 可得△PDG为等边△, 从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 , 从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB12F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点, 连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 , EB2=12AB=12BC=F C1 , 又∠GFQ+∠Q=900和∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 , 所以A2B2=B2C2 ,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.4.如下图连接AC并取其中点Q, 连接QN和QM, 所以可得∠QMF=∠F, ∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM, 从而得出∠DEN＝∠F.经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF, 做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB, OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.⊥CD, OG⊥BE, 连接OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ.由于22AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG,由此可得△ADF≌△ABG, 从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA与QGOA四点共圆, 可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ, 从而可得AP=AQ.4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG, CI, FH.可得PQ=2EGFH.由△EGA ≌△AIC, 可得EG=AI, 由△BFH ≌△CBI, 可得FH=BI.从而可得PQ=2AIBI =2AB, 从而得证.经典难题（三）△ADE, 到△ABG, 连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B, G, D在一条直线上, 可得△AGB≌△CGB.推出AE=AG=AC=GC, 可得△AGC为等边三角形.∠AGB=300, 既得∠EAC=300, 从而可得∠A EC=750.又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF.⊥DE, 可得四边形CGDH是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300, 所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150, 从而得出AE=AF.⊥CD, FE⊥BE, 可以得出GFEC为正方形.令AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X .tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZY X Z, 可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X) , 既得X=Z , 得出△ABP≌△PEF , 获得PA＝PF , 得证 .经典难题（四）2.顺时针旋转△ABP 600 , 连接PQ , 则△PBQ是正三角形. 可得△PQC是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P点平行于AD的直线, 并选一点E, 使AE∥DC, BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP, 可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）.可得∠BAP=∠BEP=∠BCP, 得证.3.在BD取一点E, 使∠BCE=∠ACD, 既得△BEC∽△ADC, 可得：BEBC=ADAC, 即AD•BC=BE•AC, ①又∠ACB=∠DCE, 可得△ABC∽△DEC, 既得ABAC =DEDC , 即AB •CD=DE •AC, ②由①+②可得: AB •CD+AD •BC=AC(BE+DE)= AC ·BD , 得证.⊥AE , AG ⊥CF , 由ADES=2ABCDS=DFCS, 可得：2AE PQ =2AE PQ , 由AE=FC.可得DQ=DG, 可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）.经典难题（五）1.（1）顺时针旋转△BPC 600 , 可得△PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小L=；（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F.由于∠APD>∠ATP=∠ADP,推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF=AF ④由①②③④可得：最年夜L< 2 ；由（1）和（2）既得：≤L＜2 .△BPC 600 , 可得△PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上, 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.既得AF=213(1)42=23=4232=2(31)2 =2(31)2=622 .△ABP 900 , 可得如下图：既得正方形边长L =2222(2)()22a=522a.4.在AB上找一点F, 使∠BCF=600 ,连接EF, DG, 既得△BGC为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF , 获得BE=CF , FG=GE .推出：△FGE为等边三角形 , 可得∠AFE=800 ,既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG , 既得∠BGD=800 , 既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,获得：△DFE≌△DGE ,从而推得：∠FED=∠BED=300 .创作时间：二零二一年六月三十日。