福建省泉州市2021届高中毕业班质量检测数学试卷及答案
2021届福建省泉州市高三毕业班质量检测数学试题(解析版)
对B,同理可得△AN£）sZ\en8，・,.——=-- =2,：.BD = 3BN,故8正确;
NB BE
EM EN1
对C,连接AG，由前两个相似三角形可知工L = ） =・・・MN//AG，
MC〕NA 2
在正方体中，由用CL8G，B.c1AB,且8GnA8=3,故与CJ,而48G，故而与CL AG，
【点睛】
本题考查通过折线图分析、处理数据，考查数据处理能力，属于基础题.
10.己知函数/(x) = sin贝1J()
A.“X)的最小正周期为江
b.y = f(x)的图象关于传对称
c.“X)在 % 的最小值为：，则小的最大值为f
D.将函数g(x) = cos晨—sin。的图象向右平移三个单位后，可得到/(')的图象【答案】AC
同理4R_LAG，且BPiCB£ = Bi，
AG L平面8c「.MN，平而SCR,故C正确：
对。，•.♦肪\^=/。］=—皿="（2四）=2/,
S △veil=3Sams
• •K--.WA7?!=TMN • S△MCD\
故选：BCD.
【点睛】
本题考查的知识要点：三角形的相似，平行线的判定，线面垂直的应用，锥体的体积, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.
2
16.双曲线。：/-二=1的渐近线方程为；设A、3分别为C的左、右顶点,2
P为C上的一点，若tanZ.PAB=1，则tanZAPS=.
【答案】y = ±^2x?
【解析】由双曲线。的标准方程可求得该双曲线的渐近线方程，设点P(x,y),计算得 出3P= 2,再利用两角差的正切公式可求得tanN4P3的值.
【答案】B
福建省泉州七中2021届高三数学校质检试题（一）理
准考证号________________姓名________________ （在此卷上答题无效） 保密★启用前泉州七中2021届高三年校质检（一）理科数学参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：22121()()n s x x x x x x n---2=[++⋯+()]，其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．独立性查验临界值表()20P K x ≥ 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z =22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p2.如下图的程序框图，假设输出的S 是30，那么①能够为（ ） A ．2?n ≤B ．3?n ≤C ．4?n ≤D ．5?n ≤3．假设变量y x ,知足约束条件2010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，那么实数2z x y =+ ( )A.有最小值，有最大值B. 有最小值，无最大值C.无最小值，有最大值 D .无最小值，无最大值 4．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，()2第题通过问卷调查，取得以下数据：那么由以上数据，依照临界值表，以下说法正确的选项是（ ）A ．没有充沛的理由以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B. 有0.5%的把握以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C ．有99.9%的把握以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D ．有99.5%的把握以为课外阅读量大与作文成绩优秀有关5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=， 那么1012333log log log a a a +++=（ ）A. 12 B . 10 C. 31og 5+ D. 32og 5+6.已知()24f x x x =++-的最小值为n ， 那么2()n x x -的展开式中常数项为（ ）A. 160-B. 20-C. 20D. 1607.已知正方体1111ABCD A B C D -中，线段11B A ，11B C 上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且11B P B Q =，以下说法中，不正确的选项是（ ）A. A 、C 、P 、Q 四点共面；B. 直线PQ 与平面11BCC B 所成的角为定值；C.32PAC ππ<∠<； D.设二面角P AC B --的大小为θ，那么tan θ8.已知点()1,0A ,假设曲线Γ上存在四个点B ,C ,D ,E ,使得ABC ∆和ADE ∆都是正三角形，那么称曲线Γ为“黄金曲线”，给定以下四条曲线：①2430x y +=；②2214x y +=；③2212x y +=；④2213x y -=。
福建省泉州市2021届高三5月质检数学试题(及答案)
数学参考答案及评分细则 第1页（共 15页）泉州市2021届高中毕业班质量监测2021.05数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分40分。
1．C2．D 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．ABD10．BC 11．ACD 12．ABD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。
每小题5分，满分20分。
1314．36 151± 16四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．满分10分．解法一：（1）依题意，得121125a q a a q = += ，， ···························································· 2分 解得112a q = = ，或1412a q = = ，（舍去）， ·················································· 4分 所以12n n a −=. ·········································································· 5分（2） 选条件①12b =−，()()112n S n n +=−++， 当2n ≥时，(1)n S n n =−+, ·························································· 6分 又112S b ==−也满足上式，所以(1)n S n n =−+. ······························· 7分数学参考答案及评分细则 第2页（共 15页）所以1(122)21(1)k k k k T S k k −=+++−=−++L , ······························· 8分当1k =时，13T =，又k T 单调递增 ，561100T =<，6105100T =>. ······························· 9分 所以存在正整数k ，使得100k T >，k 的最小值为6.························ 10分 解法二：（1）依题意，得225q q+=， ····························································· 1分 解得2q =或12q =（舍去）， ························································ 3分 所以11a =，············································································· 4分 所以12n n a −=. ·········································································· 5分（2） 选条件②11b =，n n S nb =，当2n ≥时，11(1)n n S n b −−=−， 则11(1)n n n n S S nb n b −−−−−，整理，得1n n b b −=， ··································································· 6分所以{}n b 为常数列，即1n b =，121n n n a b −−=−. ······························ 7分所以1(122)21k k k T k k −=+++−=−−L ， ······································ 8分因为k T 单调递增 ，657100T =<，7120100T =>， ·························· 9分 所以存在正整数k ，使得100k T >，k 的最小值为7.························ 10分 解法三：（1）同解法一； ·············································································· 5分（2）选条件③231nn S b =−， 当1n =时，11231S b =−，11b =， ················································· 6分 当2n ≥时，11231n n S b −−=−， 则112()3()n n n n S S b b −−−=−，整理，得13n n b b −=， ·································································· 7分所以{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，即13n n b −=. ··················· 8分所以11230n n n n a b −−−=−≤， ························································ 9分所以不存在正整数k ，使得100k T >. ············································ 10分18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等，体现基础性和综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．满分12分．解法一：（1）在ABC △中，由正弦定理可得ABC AC ACB AB ∠=∠sin sin ， ····················· 1分 又AC AB 2=，55sin =∠ABC ，所以552sin =∠ACB ． ··················· 2分数学参考答案及评分细则 第3页（共 15页） 所以552cos =∠ABC ， ······························································ 3分 55cos ±=∠ACB ， ··································································· 4分 所以)cos()cos(cos ACB ABC ACB ABC CAB ∠+∠−=∠−∠−π=∠， 即ACB ABC ACB ABC CAB ∠∠−∠∠=∠cos cos sin sin cos ， ·················· 5分所以cos 0CAB ∠==或54. ······························· 6分（2） 由已知，设22AB AC t ==，所以AD AC t ==，另设CAD θ∠=. 由ABCACD ABD S S S =+△△△， 可得1112sin 2sin 2sin 222t t t t t t θθθ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅， ······························ 7分 所以12sin cos sin sin 2θθθθ⋅=+，因为sin 0θ≠，所以3cos 4θ=， ······· 8分 所以21cos22cos 18θθ=−=， ······················································ 9分 又02θ<<π，sin 2θ，··································· 10分又212sin 22ABC S t t θ==⋅⋅⋅=△，所以283t =， ······················ 11分 所以2222998422cos 212223BC t t t t t θ=+−⋅⋅⋅==×=，所以BC =. · 12分 解法二：（1）同解法一；（2）由已知，设CAD BAD θ∠=∠=，t AC AB 22==，所以t AC AD ==， 因为12sin 2211sin 2ABD ACD t t S BD S CD t t θθ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅△△， ··········································· 7分 故可设x CD x BD ==,2，在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理可得θ⋅⋅−+=cos 2222AD AB AD AB BD ，θ⋅⋅−+=cos 2222AD AC AD AC CD ， 即θ⋅−=θ⋅⋅⋅−+=cos 45cos 224422222t t t t t t x ①，θ⋅−=θ⋅⋅⋅−+=cos 22cos 222222t t t t t t x ②，·································· 8分 联立①②可得223cos 4t t =θ⋅，43cos =θ， ······································ 9分数学参考答案及评分细则 第4页（共 15页） 所以811cos 22cos 2=−θ=θ， 又02θ<<π，8732cos 12sin 2=θ−=θ，··································· 10分又212sin 22ABC S t t θ==⋅⋅⋅=△，所以382=t ， ······················ 11分 所以2222998422cos 212223BC t t t t t θ=+−⋅⋅⋅==×=，所以32=BC . · 12分解法三：（1）同解法一；（2） 由已知，设CAD BAD θ∠=∠=，t AC AB 22==，所以t AC AD ==， 因为12sin 2211sin 2ABD ACD t t S BD S CD t t θθ∆∆⋅⋅⋅===⋅⋅⋅， ············································ 7分 故可设x CD x BD ==,2，在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理可得： ADB BD AD BD AD AB ∠⋅⋅−+=cos 2222，ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅−+=cos 2222， 即ADB x t x t t ∠⋅⋅⋅−+=cos 2244222①， ADC x t x t t ∠⋅⋅⋅−+=cos 2222②， 联立①②可得x t x t 2,6322==， ················································· 8分所以8122)3(422cos 222222=⋅⋅−+=⋅−+=θt t x t t ACAB BCAB AC ， ······················ 9分 又02θ<<π，8732cos 12sin 2=θ−=θ，··································· 10分 又212sin 22ABC S t t θ==⋅⋅⋅=△，所以382=t ，······················ 11分 所以2222998422cos 212223BC t t t t t θ=+−⋅⋅⋅==×=，所以32=BC . · 12分解法四：（1）同解法一；（2）由已知，设θ=∠=∠BAD CAD ，t AC AB 22==，所以t AC AD ==，数学参考答案及评分细则 第5页（共 15页）因为12sin 2211sin 2ABD ACD t t S BD S CD t t θθ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅△△， ··········································· 7分所以DC BD 2=，所以AD +=， ···································· 8分 所以222144999AD AB AC AB AC =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 即θ⋅+=θ⋅⋅⋅++=2cos 98982cos 32322949422222t t t t t t t ， ···················· 9分 所以812cos =θ，又02θ<<π，8732cos 12sin 2=θ−=θ， ············ 10分又212sin 22ABC S t t θ==⋅⋅⋅=△，所以382=t ， ······················ 11分所以2222998422cos 212223BC t t t t t θ=+−⋅⋅⋅==×=，所以32=BC . · 12分解法五：（1）同解法一；（2） 由已知，设θ=∠=∠BAD CAD ，t AC AB 22==，所以t AC AD ==，因为12sin 2211sin 2ABD ACD t t S BD S CD t t θθ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅△△， ··········································· 7分过D 作AC DE //交AB 于点E ，则32===AB BE BC BD AC DE ， 所以在ADE △中，有3231,3232,t AB AE t AC DE t AD ===== ·············· 8分由余弦定理有43322)32()32(cos 222=⋅⋅−+=θt t t t t ····································· 9分 所以811cos 22cos 2=−θ=θ， 又02θ<<π，8732cos 12sin 2=θ−=θ，··································· 10分又212sin 22ABC S t t θ==⋅⋅⋅=△，所以382=t ， ······················ 11分数学参考答案及评分细则 第6页（共 15页）所以2222998422cos 212223BC t t t t t θ=+−⋅⋅⋅==×=， 所以32=BC . ········································································12分19．本小题主要考查空间几何体点线面位置关系、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想等；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养，体现基础性与综合性. 满分12分．解法一：（1）连结BH 交DE 于点I ，连结FI ． ················································ 1分因为,E H 分别为,PB PD 中点，所以I 为PBD △的重心，23BI BH =． ···· 2分 又F 为BC 中点，G 为CF 中点，所以23BF BG =， ····························· 3分 即BI BFBH BG=，所以FI GH ∥． ···················································· 4分 又因为GH ⊄平面DEF ，FI ⊂平面DEF ， ··································· 5分 所以GH ∥平面DEF ．······························································· 6分 （2）根据题意,,CD BD CD PD BD PD D ⊥⊥=I ，所以CD ⊥平面PBD ， ······ 7分 如图所示，以D 为坐标原点，分别以DB u u u r ，DC u u ur 为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系.设2CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，P ，(1,1,0)F ，13(,,0)22G，1(2H，(1,0,PB =u u u r，(1,2,PC =−u u u r ，3(0,2GH =−u u u u r ． ··································································· 8分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,PB PC ⋅=⋅= u u u r u u u r n n即0,20,x x y = −+= ··············································· 9分取=n ,······································································ 10分 设直线GH 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos ,GH GH GH θ⋅=<>==u u u u r u u u u r u u u u r n n n,数学参考答案及评分细则 第7页（共 15页）所以直线GH 与平面PBC． ························· 12分 解法二：（1） 取CD 中点M ,连结,GM HM .因为,G M 分别为,CF CD 中点，所以GM DF ∥. ······································· 1分 因为GM ⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，所以GM ∥平面DEF . ········································································ 2分 又因为,,,E F H M 分别为,,,PB BC PD CD 中点，所以,EF PC HM PC ∥∥，所以HM EF ∥. ················································ 3分 因为HM ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以HM ∥平面DEF . ········································································ 4分 因为HM GM M =I ，所以平面DEF ∥平面HGM . ·································· 5分 因为GH ⊂平面HGM ，所以GH ∥平面DEF . ········································· 6分 （2） 取BD 的中点O ，连结PO ，则PO BD ⊥，OF CD ∥.根据题意,,CD BD CD PD BD PD D ⊥⊥=I ， 所以CD ⊥平面PBD ，所以OF ⊥平面PBD . ········································································· 7分如图所示，以O 为坐标原点，分别以OB u u u r ，OF u u u r ，OP u u ur 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 设2CD =，则(1,0,0)B ，(1,2,0)C −，(1,0,0)D −，P ，(0,1,0)F ，13(,,0)22G −，1(2H −，(1,0,PB =u u u r，(1,2,PC =−u u u r ，3(0,2GH =−u u u u r . ··················································· 8分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,PB PC ⋅= ⋅= u u u r u u u r nn即0,20,x x y = −+= ························································ 9分取=n ,··············································································· 10分 设直线GH 与平面PBC 所成的角为θ.则sin cos ,GH GH GH θ⋅=<>==u u u u r u u u u r u u u u r n n n 所以直线GH 与平面PBC. ···································· 12分 解法三：（1）同解法二； ·············································································· 6分（2） 在BD 上取点I ，使3BI ID =，连结HI ，GI ，CE ，则GI CD ∥，根据题意,,CD BD CD PD BD PD D ⊥⊥=I ，所以CD⊥平面PBD，则GI⊥平面PBD， ··································· 7分所以GI HI⊥，GH= ········································ 8分设2CD=，C111222332PBD PBDV S CD−=⋅=×××=△··········· 9分11222PBCS PB CE=⋅=×=△设D到平面PBC的距离为h.由D PBC C PBDV V−−=，得13hh···················· 10分因为H为PD中点，所以H到平面PBC的距离为12h . ······· 11分设直线GH与平面PBC所成的角为θ，则12sinhGHθ==，所以直线GH与平面PBC. ··························· 12分解法四：（1）同解法二； ·············································································· 6分（2）连结,BH PG，取BD的中点I，DI的中点J，连结,,,PI HJ JG HG.设2CD=，则GJ CD∥，HJ PI∥且32GJ=.根据题意,,CD BD CD PD BD PD D⊥⊥=I，所以CD⊥平面PBD，因此GJ⊥平面PBD. ····································· 7分数学参考答案及评分细则第8页（共 15页）。
福建省泉州市2021届高中毕业班质量检测数学试卷(含答案)
福建省泉州市2021届高中毕业班高考复习前测试卷检测(一)数学试题考试时间: 120 分钟 试卷满分: 150 分)一、单项选择题:共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={}1x x ≤， B={0,1,2}，则A B=A. {0,1,2}B. {}2x x ≤ C. {0,1} D. [0,1]2.下列函数为偶函数的是A. 3()f x x =B. ()sin f x x =C. ()1f x x =−D. ()x x f x e e −=+ 3.己知三条不同的直线a 、b 、l ，平面α，且,a b α⊂，则“l ⊥a ，l ⊥b "是“l ⊥α,”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数cos θ和sin θ联系在一起，得到公式cos sin i e i θθθ=+，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式。
可得21ie π+=A. 1B.C.2D. 5.已知30.5log a =，0.30.5log b =，0.33c =，则A. a <c <bB. a <b <cC. b <a <cD. b <c <a6已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含有地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，角速度约为15度/小时，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系,则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是A.指数函数模型B.对数函数模型C.幂函数模型D.三角函数模型7.设抛物线C: 22(0)y px p => 的焦点为F ，点A 、B 在C 上，若4FB FA −=，5AB =， 则直线AB 的斜率为 A. 34 B. 43 C. 34± D. 43±8.若函数(1)22log ,11()2,1x x f x x ax x +⎧<≤=⎨−>⎩的值域为R ，则a 的取值范围是 A. [2,2]− B. (,2]−∞ C. [0,1] D. [0,)+∞二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
泉州市2021届高中毕业班质量检测(三)参考答案与评析(解答17至19题)
泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析高三数学解答题17-19题部分四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列{}n a ，{}n b 满足19a =，1109n n a a +=+，1n n b a =+．（1）证明：{}n b 是等比数列；（2）求数列{(1)lg }nn b -的前n 项和n S ．【命题意图】本小题主要考查等比数列的定义与前n 项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）依题意，1111n n n n b a b a +++=+··············································································1分109110101011n n n n a a a a +++===++（非零常数）．·····························2分又11110b a =+=．故{}n b 为首项110b =，公比10q =的等比数列．··················3分（2）（1）由可知1110n n n b b q-==．···································································4分所以(1)lg (1)lg10(1)nnnnn n c b n =-=-=-⋅．··············································5分①当n 为偶数时，(12)(34)[(1)]2n nS n n =-++-++⋅⋅⋅+--+=；··················7分②当n 为奇数时，1(12)(34)[(2)(1)]2n n S n n n +=-++-++⋅⋅⋅+--+--=-．9分故,21,.2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数，为奇数·························································（结论分）10分解法二：（1）同解法一；（2）由（1）可知1110n n n b b q-==．············································（通项公式分）4分所以(1)lg (1)lg10(1)nnnnn n c b n =-=-=-⋅．·······························（运算分）5分保密★使用前211(1)2(1)(1)(1)(1)n nn S n n -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅-⋅-+⋅-①231(1)1(1)2(1)(1)(1)(1)n n n S n n +-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-②·········（方法分）6分①-②得212(1)(1)(1)(1)nn n S n +=-+-+⋅⋅⋅--⋅-······························（方法分）7分1(1)[1(1)](1)1(1)n n n +---=-⋅---····················（等比数列求和公式分）9分111(1)(1)11(1)()(1)222n n n n n +++---=-⋅-=--+⋅-故111()(1)442n n nS +=--+⋅-．···················································（结论分）10分18．（12分）脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹．某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬崖村”．当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯”，实现了“村民搬下来，旅游搬上去”，做到了长效脱贫．如图，为得到峭壁上的,A B 两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的,P Q 两点处分别测得1APQ α∠=，1BPQ β∠=，APB θ∠=，2AQP α∠=，2BQP β∠=，且PQ s =．（1）用12,,s αα表示AP ；（2）已知117β=︒，2150β=︒，90.0s =米，51.3θ=︒，又经计算得250.0AP =米，求AB ．参考数据：sin130.225︒≈，cos130.974︒≈，sin 51.30.780︒≈，cos51.30.625︒≈．【命题意图】本小题以“悬崖村”的脱贫事件为背景，以修建钢梯的测量为问题情境，考查正弦定理、余弦定理，解三角形等基础知识；考查抽象概括能力，空间想象能力，运算求解能力与应用意识和创新意识；考查转化与化归思想，函数与方程思想；考查基本活动经验；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素养的关注．公众号：潍坊高中数学【试题解析】（1）如图，在APQ △中，根据正弦定理得()212sin sin πAP PQααα=--，····················3分化简得()212sin sin s AP ααα⋅=+；·······································································5分（2）在BPQ △中，根据正弦定理得()212sin sin πBP PQβββ=--，····························6分可得()212sin 900.5200sin 1800.225s BP βββ⋅⨯===︒--，·······································7分又在ABP △中，根据余弦定理得2222cos AB AP BP AP BP θ=+-⋅············10分代入得2400006250022002500.62540000AB =+-⨯⨯⨯=，所以200AB =米．·············································································12分19．（12分）永春老醋以其色泽鲜艳、浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋．为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究．2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考．现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值M 的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品．因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示．指标区间[2,1)--[1,0)-[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)来源改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后个数315230263134241572附：成品醋的品质采用指标值M 进行评价，评价标准如下表所示．[0,1)M ∈[1,3)M ∈[0,3)M ∉一等品二等品三等品合格不合格（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为X ，求X 的分布列；（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润y （单位：元）与指标值M 的关系为5,[0,1),3,[1,3),2,[0,3).M y M M ∈⎧⎪=∈⎨⎪-∉⎩若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？【命题意图】本小题主要考查条件概率、独立性检验、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、应用意识和创新意识等；考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注．【试题解析】（1）依题意，已检测的不合格品样本共有20个，其中改良前的有15个，改良后的有5个．······················································2分0,1,2X =．·························································································3分2015522021(0)38C C P X C ⋅===；····································································4分1115522015(1)38C C P X C ⋅===；·····································································5分021552201(2)19C C P X C ⋅===．·····································································6分故X 的分布列为：X 012P21381538119（2）由样本估计总体的思想，···········································································7分改良前成品醋利润的数学期望30551553(2) 2.85100100100⨯+⨯+-⨯=；··············8分若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则改良后的利润至少应为2.85(120%) 3.42⨯+=.·····································9分假设改良后20个还未进行进一步检测的样本中，一等品有x 个，公众号：潍坊高中数学则，改良后的一等品有26x +个，二等品有69x -个.改良后成品醋利润的数学期望2669553(2)100100100x x +-⨯+⨯+-⨯．···············10分依题意，2669553(2) 3.42100100100x x +-⨯+⨯+-⨯．·································11分求得7.5x ≥，又x ∈N ，故20个还未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要8个．·······12分。
福建省泉州市2021届高三数学上学期单科质量检查试题 理(含解析)
福建省泉州市2021届高三数学上学期单科质量检查试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|0,|1M x x x N x x =-<=>，则（ ）A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N =RD.M N ⋂=∅【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此判断出正确选项.【详解】由()210x x x x -=-<解得01x <<，故{}|01M x x =<<，由于{}|1N x x =>，所以M N ⋂=∅. 故选：D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于基础题.2.若复数z 满足(1)23z i i -=+，则z =（ ） A. 1522i -- B. 15i 22-+ C.5122i - D.5122i + 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算,求得z .再根据共轭复数的概念即可求得z .【详解】()123z i i -=+，223(23)(1)253151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++∴====-+--+. 因此，1522z i =--. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于基础题.3.若,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则42z x y =+的最小值为（ ）A. -17B. -13C.163D. 20【答案】B 【解析】 【分析】根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线22zy x =-+，由直线的平移即可求得该直线在y 轴截距最小时对应的最优解，代入42z x y =+计算即可.【详解】,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,由此可得可行域如下图所示:该可行域是一个以1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,2)B ,37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域（包括边界）.目标函数42z x y =+可化为22z y x =-+当动直线22z y x =-+过点37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值， 此时min 37421322z ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 4.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给出下列四个命题： ①若//,m αββ⊂，则//m α；②若//,m n n α⊂，则//m α； ③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥. 其中为真命题的编号是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①④ D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的性质可判断①；对于②, m 可能在α内；对于③,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面α内找到直线1m 使得1//m m ,即可判断④ 【详解】①中,若//αβ,则β内任一直线与α平行,①为真命题； ②中,若//,m n n α⊂,则m 可能平行于α,也可能在α内,②为假命题；③中,若,m αβα⊥⊂,则m 可能垂直于β,也可能平行于β,也可能与β相交但不垂直,③为假命题；④中,若//m α,则可在α内作一直线1m 使1//m m ,又因为m β⊥,所以1m β⊥,又1m α⊂,则αβ⊥,④为真命题； 综上,①④为真命题, 故选:C【点睛】本题考查线面、面面的空间位置关系的判定,属于基础题 5.函数()2ln f x x x=图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解. 【详解】解：()2ln f x x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()()22ln ln f x x x x xf x ∴-=--=-=-即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，由0x ≠，()f x 为奇函数，排除B ；又120e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C ； 当0x >时，()2ln 2f x x '=+，令()2ln 20f x x '=+=，解得1ex =， 所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，排除A ； 故选：D【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ）A. 22123x y -=B. 22143x y -= C. 22149x y -=D.221169x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴得到a 的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到b ，从而得到C 的方程.【详解】因为实轴长24a =，所以2a =，(),0F c -， 由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等， 不妨取渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 点(),0F c -到渐近线的距离()220b c bcd b ca b ⋅--===+， 所以3b =，所以C 的方程为22149x y -=，故选：C.【点睛】本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题. 7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. -1010B. -1009C. 1009D. 1010【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图,先计算出N 和T 的含义,再根据S N T =-即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解.【详解】依题意：得1352019N =+++⋯+,02462018T =++++⋯+. 解法一：(10)(32)(54)(20192018)1010S N T =-=-+-+-++-=,故选:D. 解法二：(12019)1010101010102N +⨯==⨯,(02018)1010100910102T +⨯==⨯,所以10101010101010091010(10101009)1010S N T =-=⨯-⨯=⨯-=, 故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.8.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A. n k -B. n -C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9.已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =（ ） A. 9 B. 12C. 18D. 72【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据A 为线段CF 的中点，得到A 坐标，从而得到直线AF ，与抛物线联立得到12x x +，从而得到12y y +，利用抛物线焦点弦公式，得到AB 的长；解法二：延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，由DMA DNB ∆∆∽，得到AM AD BNDB=，得到BF ，再根据3AF AM ==，得到AB 的长.【详解】依题意得4p =，焦点()0,2F ， 如图，因为A 为线段CF 的中点，所以1A y =，代入抛物线方程得到A x =-所以()A -， 解法一：4AF k ==， 所以直线AF的方程为2y x =+， 将其代入28x y =，得2160x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222x x +=，()12121222222242245y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12549AB y y p =++=+=， 故选：A.解法二：（几何法）延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ， 过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，FDH ∆中原点O 是线段FH 的中点，所以点C 是线段DF 的中点.易得4FH =，3AM AF AC ===，39AD AC ==，设BF BN k ==， 因为DMA DNB ∆∆∽， 所以AM AD BNDB=，即3912k k=+， 解得6k =，因此369AB =+=， 故选：A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，求抛物线的焦点弦的长，属于中档题.10.已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B .【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AO AB ⋅=，则k =（ ）B.2C. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得到l 过定点()4,0P -，过圆心O 作OM l ⊥于M ，由2AO AB ⋅=，得到2AB =，再利用弦长公式，得到k 的值，从而得到答案.【详解】直线40kx y k -+=，即()40k x y ++=，所以直线l过定点()4,0P-，曲线29y x=-是圆心为原点，半径3r=的上半圆.过圆心O作OM l⊥于M，即122AO AB AM AB AB AB⋅=⋅=⋅=，所以2AB=，圆心到直线l的距离()222411kdkk==++-，2222422921kAB r dk⎛⎫=-=⨯-=⎪+⎝⎭，解得1k=±，因为曲线29y x=-是上半圆，结合图像可得0k>，所以1k=.故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题.12.已知正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都为3，D是11B C的中点，E是线段1A D上的动点.若三棱锥E ABC-的四个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的取值范围为（）A.218,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.27316,16ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.273,2116ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[16,21]ππ【答案】D【解析】由题可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,设球O 的半径为R ,1O E x =,1O O y =,则222222R OA O A O O ==+且222211R OE O E O O ==+,易得23O A =,则222R x y =+,()()22233R y =+-,可得2126x y =-,代入222R x y =+中,则()2233R y =-+,由x 的范围可得y 的范围,即可得到2R 的范围,进而求得球的表面积的范围【详解】如图所示,依题意可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,连接OA 、OE ,设OA OE R ==,1O E x =,1O O y =；在1Rt OO E ∆中,22211OE O E O O =+得222R x y =+；在2Rt AOO ∆中,2233332O A =⨯=23OO R =-, 由22222OA O A O O =+得2223)(3)R y =+-；由222R x y =+和2223)(3)R y =+-得22223)(3)y x y +-=+整理得2126x y =-,所以222612(3)3R y y y =-+=-+,又因为03x ≤≤322y ≤≤； 当2y =时,2R 的最小值为4；当32y =时,2R 的最小值为214；所以22144R ≤≤, 由球O 的表面积24S R π=得1621S ππ≤≤,【点睛】本题考查棱锥的外接球的表面积问题,考查空间想象能力 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(),2a x =，()2,1b =，且//a b ，则a =______【答案】【解析】 【分析】根据向量共线的公式求解得4x =,再根据模长公式求解即可.【详解】由//a b 得，1220x ⋅-⨯=，即4x =，所以2||42a =+==故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的平行公式与模长公式,属于基础题型.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若120n n a a +-=，593S =，则5a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，利用593S =结合等比数列求和公式可求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出5a 的值.【详解】120n n a a +-=，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为公比的等比数列， 1551113129311612a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴===-，解得148a =，因此，45111483216a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()13f x f x +=；当(]0,1x ∈时，()()ln 2f x x =+，则()()0e f f +-=__________.【答案】9- 【解析】 【分析】由()f x 是定义在R 上的奇函数()()f e f e -=-，()00f =，再依题意求出()f e 即可得解. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f e f e -=-，()00f =， 又23e <<，021e <-<，所以()()()()31929ln 229f e f e f e e =-=-=-+=， 故()()09f f e +-=-. 故答案为：9-【点睛】本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16.若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)2ππ单调，且在(0,)3π存在极值点，则ω的取值范围为___________ 【答案】413ω<≤ 【解析】 【分析】先通过函数()f x 在(0,)3π存在极值点，求出ω的范围，再根据在(,)2ππ单调，求出k 和ω之间的不等关系，再结合已求出的ω的范围，得最终ω的范围.【详解】解：因为函数()f x 在(0,)3π存在极值点，所以362πππω+>，即1ω>，当,,,26266x x ππωππππωωπ⎛⎫⎛⎫∈+∈++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,)2ππ单调，所以3,,()26622k k k N ωπππππωπππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即262362k k ωππππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得24233k k ω+≤≤+，只能取0k =，即2433ω≤≤， 综上，413ω<≤，故答案为：413ω<≤. 【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于k 和ω之间的不等关系，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，AE PD ⊥.（1）证明：AE ⊥平面PCD ；（2）若AP AB =，求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）12- 【解析】 【分析】（1）由PA ⊥平面ABCD 及底面ABCD 是正方形可证得CD ⊥平面PAD ,则CD AE ⊥,又由AE PD ⊥,即可求证；（2）以A 为原点,分别以AB AD AP 、、所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,由（1）可知AE 为平面PCD 的一个法向量,求得平面PBC 的一个法向量m ,进而利用数量积求解即可【详解】（1）证明:因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以PA CD ⊥,因为底面ABCD 是正方形,所以AD CD ⊥, 又PA AD A ⋂=,所以CD ⊥平面PAD , 因为AE ⊂平面PAD ,所以CD AE ⊥,又因为,AE PD CD PD D⊥⋂=,,CD PD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD（2）因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,所以,,PA AB PA AD AB AD⊥⊥⊥,以A为原点,分别以AB AD AP、、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz-（如图所示）,设1==PA AB ,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P,因为AE PD⊥,所以E为PD中点,所以110,,22E⎛⎫⎪⎝⎭,所以11(1,0,1),(1,1,1),0,,22PB PC AE⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,由（1）得110,,22AE⎛⎫= ⎪⎝⎭为平面PCD 的一个法向量, 设平面PBC的一个法向量为(),,m x y z=, 由00PB m PC m⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00x z x y z-=⎧⎨+-=⎩,令1x=,则1,0z y==,所以()1,0,1m=, 因此112cos,2122m AEm AEm AE⋅〈〉===⋅⨯,由图可知二面角B PC D--的大小为钝角,故二面角B PC D--的余弦值为12-【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识,考查空间想象能力及运算能力18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2634n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+（2）()92434n nT n n =++【解析】 【分析】 （1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差可得2211633n n n n n a a a a a --=+--，再对其因式分解，即可得到13n n a a --=，最后根据等差数列的通项公式计算可得. （2）由（1）可得n b 的通项公式，再用分组求和及裂项相消法求和.【详解】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）. 因为2634n n n S a a =+-①，所以当2n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①－②得2211633n n n n n a a a a a --=+--， 所以()()1130n n n n a a a a --+--=. 又0n a >，所以13n n a a --=.因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 故()43131n a n n =+-=+.（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++， 所以333333222471031347n T n n =+-++-+++-++ ()333333922477103134434nn n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+ ⎪+++⎝⎭【点睛】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 19.ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为23. （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.【答案】（1）23;（2）633- 【解析】 【分析】 （1）利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 【详解】解：（1）因为60,2,B AB ==所以1133sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=， 又23ABCS=，所以4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以23AC =；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以sin 60DE =+， 在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.20.已如椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点2A ⎫⎪⎪⎭，在E 上. （1）求E 的方程：（2）斜率不为0的直线l 经过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，且与E 交于P ，Q 两点，试问：是否存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）22143x y +=（2）存在x 轴上的定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点C ，对称性可知设(),0C m ，根据PCB QCB ∠=∠，得到0PC QC k k +=，即得12120y y x m x m +=--，直线l 的方程为：12x ty =+与椭圆联立，得到12y y +，12y y ，从而得到m 和t 的关系式，根据对t ∈R 恒成立，从而得到m 的值.【详解】（1）因为椭圆E的离心率12e ==，所以2234a b =①，点2A ⎭在椭圆上，所以223314a b +=②， 由①②解得24a =，23b =.故E 的方程为22143x y +=.（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠. 由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(),0C m .因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=. 设直线l 的方程为：12x ty =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得()22121612450t y ty ++-=， ()()()()222212412164514418012160t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，所以122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+， 因为0PC QC k k +=，所以12120y y x m x m+=--， 所以()()12210y x m y x m -+-=，即122111022y ty m y ty m ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 整理得()12121202ty y m y y ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭，所以224511220121621216tt mt t-⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()21901221216t m tt⎛⎫-+--⎪⎝⎭=+.所以1901202t t m⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即1901202m t⎡⎤⎛⎫+-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对t∈R恒成立，即()96120m t-=对t∈R恒成立，所以8m=.所以存在定点()8,0C，使得PCB QCB∠=∠.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.21.已知函数()()21e xf x x ax=++.（1）讨论()f x的单调性；（2）若函数()()21e1xg x x mx=+--在[)1,-+∞有两个零点，求m的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）211em-<【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e xf x a xx=++'+，再对参数a分类讨论可得；（2）依题意可得()()21e xg x mx=+'-，当0m函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m>时，由（1）得()g x'在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m'=-，()00g=.再对1m=，1m，01m<<三种情况讨论可得.重点中学试卷 可修改 欢迎下载【详解】解：（1）因为()()21xf x x ax e =++，所以()()221e xf x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，即()()()11e xf x a x x =++'+.由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数. ③当0a <时，()11a -+>-，由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+； 所以()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；当0a >时，()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数； 当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. （2）因为()()21e 1xg x x mx =+--，所以()()21e x g x m x =+'-，①当0m 时，()0g x '，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点. ②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<； 所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.（ⅱ）当1m 时，()00g '<，()()210m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=，且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.所以()()000g x g <=，又()()()22221e 1110mg m m m m m =+-->+--=，根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点. 又()()000g x g <=，所以()10g -即()2110eg m -=+-，所以21e m -，即当211em -<时()g x 在[)1,-+∞有两个零点. 综上，m 的取值范围为211em -< 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．【答案】（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）或(【解析】 【分析】（1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.【详解】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……①将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P 到直线OA的距离为d ==，所以111222OAP S OA d d =⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP △， 此时P的坐标为2-或(2. 【点睛】本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力. 23.已知函数1()||||f x x a x a=++-． （1）证明：()2f x ≥； （2）当12a =时，()f x x b +≥，求b 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1(,]2-∞.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围. 【详解】（1）1111()||||||||||2||||2f x x a x a a aa a a a=++-+=+⋅=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b+≥，当且仅当(2)2f b+≥，解得12b=，故b的取值范围为1(,]2-∞．【点睛】本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。
(文科数学选择题)2021年泉州市普通高中毕业班质量检查(3月)试题及答案解析
⎨ 7 保密★启用前
文 科 数 学
2019.2
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 A = {0,1, 2} ， B ={x | x = 2n -1, n ∈ A } ，则 A B 中元素的个数为
A ．1
B ． 3
C ． 4
D ． 5 【命题意图】
本小题主要考查集合的表示法、运算等基础知识，考查运算求解能力，体现基础性，导向对数学运算素养的关注．预测难度 0.95，实测难度.
【试题简析】
由已知可得 B ={-1,1,3}，所以 A B = {-1, 0,1, 2, 3}共有 5 个元素，故选 D ．
【错选原因】
错选 A ：集合的并集、交集概念不清，求成 A B ；
错选 B ：概念不清；
错选 C ：概念不清．
2．记等差数列{a n }的前n 项和为 S n ．若 S 4 = 24 ， a 1
a 3 10 ，则a 7 15
25
A ．
B ． 2 3 【命题意图】
D ． 18
本小题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性，导向对发展数学运算、数学建模等核心素养的关注．预测难度 0.9，实测难度.
【试题简析】
⎧S 4 = 4a 1 + 6d = 24, ⎧a 1 = 3,
解法一：由已知可得⎨a + a C ．15。
福建省泉州市2021届高三数学下学期3月质量检查试题理(含解析)
福建省泉州市 2021 届高三数学下学期 3 月质量检查试 题理（含解析）理科数学第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A.B.【答案】BC.D.【解析】变形可得：，即则故选2. 已知向量，A.B.【答案】B【解析】，则，,则下列结论正确的是（ ）C.D.即故选3. 已知函数A.B.【答案】C【解析】是偶函数，且C.D.，，则（）是偶函数- 1 - / 18故选4. 若，则 ， ， 的大小关系为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】由得由可得又， 故选5. 已知实数 ， 满足，则的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图的几何意义为可行域内点与 直线的斜率当时，故选6. 设函数不正确的是（ ）A. 的一个零点为（， ）的最小正周期为 ，且B. 的一条对称轴为C. 在区间 【答案】C上单调递增 D.是偶函数- 2 - / 18，则下列说法【解析】 最小正周期为 ，即，又则，其单调增区间为即 故选 7. 执行如图所示的程序框图，则输出 （ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】 ，，，，， ，， ，， 故选 8. 惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁育进展，仍旧保留着专门纯粹的中 国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的- 3 - / 18一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽制造的一个专门的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积（其中 为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为，则该石雕构件的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体， 其中，正方体的棱长为 ，圆柱体的直径为 ，高为 两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖该石雕构件的体积为故选9. 如图所示，正六边形中， 为线段 的中点，在线段光线 经 反射，则反射光线与线段 相交的概率为（ ）上随机取点 ，入射A.B.C.D.【答案】C- 4 - / 18【解析】如图，jianl 平面直角坐标系， 可得 过 关于 的对称点 则：时，交点坐标为 ：时，交点坐标为过 关于 的对称点概率为故选10. 已知点 是双曲线 ：（ ， ）与圆到 轴的距离为 ，则 的离心率等于（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 到 轴的距离为 故 点纵坐标为 ，代入椭圆代入圆 ，即- 5 - / 18的一个交点，若即，故选11. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为 ，则其包装盒的体积的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，设，则，当时，故选 点睛：本题考查了球内接于圆锥体，求圆锥的体积最值，在解答过程中，运用三角函数表示 相关量，按照体积的运算公式表示体积，然后利用函数性质求出最值，选取何种方式建立函 数表达式是本题关键12. 不等式有且只有一个整数解，则 的取值范畴是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】即 - 6 - / 18令，当 时，，令，当时，即时，，即，当时，即时，，解得综上，故选点睛：本题考查了运用导数解答不等式问题，在分析题目时，需要观看题目形式，将其变形为不等号右边为二次函数的问题，结合图象讨论函数的交点问题，还需要分类讨论参量的范畴，需要缜密摸索，有一定难度。
2021届福建省泉州市高考数学质量监测试卷(三)(一模)(解析版)
2021年福建省泉州市高考数学质量监测试卷（三）（一模）一、选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{（x，y）|x+y＝8，x，y∈N*}，B＝{（x，y）|y＞x+1}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．53．函数y＝cos2x+sin（﹣x）的最小值为（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．04．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm）服从正态分布N（200，σ2），且P（ξ≥220）＝0.1．现从该地区高中男生中随机抽取3人，记ξ不在（180，220）的人数为X，则（）A．P（180＜ξ＜220）＝0.9B．E（X）＝2.4C．D（X）＝0.16D．P（X≥1）＝0.4885．已知单位向量，满足＝，且＝2+，则sin＜，＞＝（）A．B．C．D．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知a＝，b＝，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b8．已知曲线E：（y2﹣4x）（y2+8x）＝0，直线x＝my+1与E有且只有4个公共点、这些公共点从左到右依次为A，B，C，D，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论中错误的是（）A．m＞或m＜﹣B．x1＜﹣1＜x2C．|CD|＞6D．|AB|＜|CD|二、选择题（共4小题）.9．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝10，S5＝S2，则（）A．S3＝S4B．a6＝10C．S n的最大值为30D．a n的最大值为1510．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，则（）A．ω＝2B．ω＝C．φ＝D．φ＝﹣11．已知函数f（x）＝，g（x）＝kx﹣k，则（）A．f（x）在R上为增函数B．当k＝时，方程f（x）＝g（x）有且只有3个不同实根C．f（x）的值域为（﹣1，+∞）D．若（x﹣1）（f（x）﹣g（x））≤0，则k∈[1，+∞）12．如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧，（均不含端点）上，且C1，P，Q，C在球O）上，则（）A．当点P在的中点处，三棱锥C1﹣PQC的体积为定值B．当点P在的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C．球O的表面积的取值范围为（4π，8π）D．当点Q在的三等分点处，球O的表面积为（11﹣4）π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省泉州市2021届高三数学毕业班单科质量检查试题 理(含解析)
福建省泉州市2021届高三数学毕业班单科质量检查试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|0,|1M x x x N x x =-<=>，则（ ）A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N =RD.M N ⋂=∅【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此判断出正确选项.【详解】由()210x x x x -=-<解得01x <<，故{}|01M x x =<<，由于{}|1N x x =>，所以M N ⋂=∅. 故选：D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于基础题.2.若复数z 满足(1)23z i i -=+，则z =（ ） A. 1522i -- B. 15i 22-+ C.5122i - D.5122i + 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算,求得z .再根据共轭复数的概念即可求得z .【详解】()123z i i -=+，223(23)(1)253151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++∴====-+--+. 因此，1522z i =--. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于基础题.3.若,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则42z x y =+的最小值为（ ）A. -17B. -13C.163D. 20【答案】B 【解析】 【分析】根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线22zy x =-+，由直线的平移即可求得该直线在y 轴截距最小时对应的最优解，代入42z x y =+计算即可.【详解】,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,由此可得可行域如下图所示:该可行域是一个以1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,2)B ,37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域（包括边界）.目标函数42z x y =+可化为22z y x =-+当动直线22z y x =-+过点37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值， 此时min 37421322z ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 4.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给出下列四个命题： ①若//,m αββ⊂，则//m α；②若//,m n n α⊂，则//m α； ③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥. 其中为真命题的编号是（ ） A. ①②④ B. ①③C. ①④D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的性质可判断①；对于②, m 可能在α内；对于③,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面α内找到直线1m 使得1//m m ,即可判断④ 【详解】①中,若//αβ,则β内任一直线与α平行,①为真命题； ②中,若//,m n n α⊂,则m 可能平行于α,也可能在α内,②为假命题；③中,若,m αβα⊥⊂,则m 可能垂直于β,也可能平行于β,也可能与β相交但不垂直,③假命题；④中,若//m α,则可在α内作一直线1m 使1//m m ,又因为m β⊥,所以1m β⊥,又1m α⊂,则αβ⊥,④为真命题； 综上,①④为真命题, 故选:C【点睛】本题考查线面、面面的空间位置关系的判定,属于基础题 5.函数()2ln f x x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解. 【详解】解：()2ln f x x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()()22ln ln f x x x x xf x ∴-=--=-=-即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，由0x ≠，()f x 为奇函数，排除B ；又120e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C ； 当0x >时，()2ln 2f x x '=+，令()2ln 20f x x '=+=，解得1ex =， 所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，排除A ； 故选：D【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ）A. 22123x y -=B. 22143x y -= C. 22149x y -=D.221169x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴得到a 的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到b ，从而得到C 的方程.【详解】因为实轴长24a =，所以2a =，(),0F c -， 由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等， 不妨取渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 点(),0F c -到渐近线的距离()220b c bcd b ca b ⋅--===+， 所以3b =，所以C 的方程为22149x y -=，故选：C.【点睛】本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题. 7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. -1010B. -1009C. 1009D. 1010【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图,先计算出N 和T 的含义,再根据S N T =-即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解.【详解】依题意：得1352019N =+++⋯+,02462018T =++++⋯+. 解法一：(10)(32)(54)(20192018)1010S N T =-=-+-+-++-=,故选:D. 解法二：(12019)1010101010102N +⨯==⨯,(02018)1010100910102T +⨯==⨯,所以10101010101010091010(10101009)1010S N T =-=⨯-⨯=⨯-=, 故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.8.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A. n k -B. n -C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9.已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =（ ） A. 9 B. 12C. 18D. 72【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据A 为线段CF 的中点，得到A 坐标，从而得到直线AF ，与抛物线联立得到12x x +，从而得到12y y +，利用抛物线焦点弦公式，得到AB 的长；解法二：延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，由DMA DNB ∆∆∽，得到AM AD BNDB=，得到BF ，再根据3AF AM ==，得到AB 的长.【详解】依题意得4p =，焦点()0,2F ， 如图，因为A 为线段CF 的中点，所以1A y =，代入抛物线方程得到A x =-所以()A -， 解法一：4AF k ==， 所以直线AF的方程为2y x =+， 将其代入28x y =，得2160x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222x x +=，()12121222222242245y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12549AB y y p =++=+=， 故选：A.解法二：（几何法）延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ， 过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，FDH ∆中原点O 是线段FH 的中点，所以点C 是线段DF 的中点.易得4FH =，3AM AF AC ===，39AD AC ==，设BF BN k ==， 因为DMA DNB ∆∆∽， 所以AM AD BNDB=，即3912k k=+， 解得6k =，因此369AB =+=， 故选：A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，求抛物线的焦点弦的长，属于中档题.10.已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B .【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AO AB ⋅=，则k =（ ）B.2C. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得到l 过定点()4,0P -，过圆心O 作OM l ⊥于M ，由2AO AB ⋅=，得到2AB =，再利用弦长公式，得到k 的值，从而得到答案.【详解】直线40kx y k -+=，即()40k x y ++=，所以直线l过定点()4,0P-，曲线29y x=-是圆心为原点，半径3r=的上半圆.过圆心O作OM l⊥于M，即122AO AB AM AB AB AB⋅=⋅=⋅=，所以2AB=，圆心到直线l的距离()222411kdkk==++-，2222422921kAB r dk⎛⎫=-=⨯-=⎪+⎝⎭，解得1k=±，因为曲线29y x=-是上半圆，结合图像可得0k>，所以1k=.故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题.12.已知正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都为3，D是11B C的中点，E是线段1A D上的动点.若三棱锥E ABC-的四个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的取值范围为（）A.218,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.27316,16ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.273,2116ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[16,21]ππ【答案】D【解析】由题可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,设球O 的半径为R ,1O E x =,1O O y =,则222222R OA O A O O ==+且222211R OE O E O O ==+,易得23O A =,则222R x y =+,()()22233R y =+-,可得2126x y =-,代入222R x y =+中,则()2233R y =-+,由x 的范围可得y 的范围,即可得到2R 的范围,进而求得球的表面积的范围【详解】如图所示,依题意可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,连接OA 、OE ,设OA OE R ==,1O E x =,1O O y =；在1Rt OO E ∆中,22211OE O E O O =+得222R x y =+；在2Rt AOO ∆中,2233332O A =⨯=23OO R =-, 由22222OA O A O O =+得2223)(3)R y =+-；由222R x y =+和2223)(3)R y =+-得22223)(3)y x y +-=+整理得2126x y =-,所以222612(3)3R y y y =-+=-+,又因为03x ≤≤322y ≤≤； 当2y =时,2R 的最小值为4；当32y =时,2R 的最小值为214；所以22144R ≤≤, 由球O 的表面积24S R π=得1621S ππ≤≤,【点睛】本题考查棱锥的外接球的表面积问题,考查空间想象能力 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(),2a x =，()2,1b =，且//a b ，则a =______【答案】【解析】 【分析】根据向量共线的公式求解得4x =,再根据模长公式求解即可.【详解】由//a b 得，1220x ⋅-⨯=，即4x =，所以2||42a =+==故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的平行公式与模长公式,属于基础题型.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若120n n a a +-=，593S =，则5a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，利用593S =结合等比数列求和公式可求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出5a 的值.【详解】120n n a a +-=，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为公比的等比数列， 1551113129311612a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴===-，解得148a =，因此，45111483216a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()13f x f x +=；当(]0,1x ∈时，()()ln 2f x x =+，则()()0e f f +-=__________.【答案】9- 【解析】 【分析】由()f x 是定义在R 上的奇函数()()f e f e -=-，()00f =，再依题意求出()f e 即可得解. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f e f e -=-，()00f =， 又23e <<，021e <-<，所以()()()()31929ln 229f e f e f e e =-=-=-+=， 故()()09f f e +-=-. 故答案为：9-【点睛】本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16.若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)2ππ单调，且在(0,)3π存在极值点，则ω的取值范围为___________ 【答案】413ω<≤ 【解析】 【分析】先通过函数()f x 在(0,)3π存在极值点，求出ω的范围，再根据在(,)2ππ单调，求出k 和ω之间的不等关系，再结合已求出的ω的范围，得最终ω的范围.【详解】解：因为函数()f x 在(0,)3π存在极值点，所以362πππω+>，即1ω>，当,,,26266x x ππωππππωωπ⎛⎫⎛⎫∈+∈++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,)2ππ单调，所以3,,()26622k k k N ωπππππωπππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即262362k k ωππππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得24233k k ω+≤≤+，只能取0k =，即2433ω≤≤， 综上，413ω<≤，故答案为：413ω<≤.【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于k和ω之间的不等关系，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，四棱锥P ABCD-的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，AE PD⊥.（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）若AP AB=，求二面角B PC D--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）由PA⊥平面ABCD及底面ABCD是正方形可证得CD⊥平面PAD,则CD AE⊥,又由AE PD⊥,即可求证；（2）以A为原点,分别以AB AD AP、、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz-,由（1）可知AE为平面PCD的一个法向量,求得平面PBC的一个法向量m,进而利用数量积求解即可【详解】（1）证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA CD⊥,因为底面ABCD是正方形,所以AD CD⊥,又PA AD A⋂=,所以CD⊥平面PAD,因为AE⊂平面PAD,所以CD AE⊥,又因,AE PD CD PD D⊥⋂=,,CD PD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD（2）因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,所以,,PA AB PA AD AB AD⊥⊥⊥,以A为原点,分别以AB AD AP、、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz-（如图所示）,设1==PA AB ,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P,因为AE PD⊥,所以E为PD中点,所以110,,22E⎛⎫⎪⎝⎭,所以11(1,0,1),(1,1,1),0,,22PB PC AE⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,由（1）得110,,22AE⎛⎫= ⎪⎝⎭为平面PCD的一个法向量,设平面PBC的一个法向量为(),,m x y z=,由PB mPC m⎧⋅=⎨⋅=⎩,即x zx y z-=⎧⎨+-=⎩,令1x=,则1,0z y==,所以()1,0,1m=,因此112cos,2122m AEm AEm AE⋅〈〉===⋅⨯,由图可知二面角B PC D--的大小为钝角,故二面角B PC D--的余弦值为12-【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识,考查空间想象能力及运算能力18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2634n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+（2）()92434n nT n n =++【解析】 【分析】 （1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差可得2211633n n n n n a a a a a --=+--，再对其因式分解，即可得到13n n a a --=，最后根据等差数列的通项公式计算可得. （2）由（1）可得n b 的通项公式，再用分组求和及裂项相消法求和.【详解】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）. 因为2634n n n S a a =+-①，所以当2n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①－②得2211633n n n n n a a a a a --=+--， 所以()()1130n n n n a a a a --+--=. 又0n a >，所以13n n a a --=.因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 故()43131n a n n =+-=+.（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++， 所以333333222471031347n T n n =+-++-+++-++ ()333333922477103134434nn n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+ ⎪+++⎝⎭【点睛】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 19.ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为23. （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.【答案】（1）23;（2）633- 【解析】 【分析】 （1）利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.【详解】解：（1）因为60,2,B AB ==所以1133sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=， 又23ABCS=，所以4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以23AC =；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以sin 60DE =+， 在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.20.已如椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点2A ⎫⎪⎪⎭，在E 上. （1）求E 的方程：（2）斜率不为0的直线l 经过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，且与E 交于P ，Q 两点，试问：是否存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）22143x y +=（2）存在x 轴上的定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点C ，对称性可知设(),0C m ，根据PCB QCB ∠=∠，得到0PC QC k k +=，即得12120y y x m x m +=--，直线l 的方程为：12x ty =+与椭圆联立，得到12y y +，12y y ，从而得到m 和t 的关系式，根据对t ∈R 恒成立，从而得到m 的值.【详解】（1）因为椭圆E的离心率12e ==，所以2234a b =①，点2A ⎭椭圆上，所以223314a b+=②， 由①②解得24a =，23b =.故E 的方程为22143x y +=.（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠. 由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(),0C m .因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=. 设直线l 的方程为：12x ty =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得()22121612450t y ty ++-=， ()()()()222212412164514418012160t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，所以122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+， 因为0PC QC k k +=，所以12120y y x m x m+=--， 所以()()12210y x m y x m -+-=，即122111022y ty m y ty m ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 整理得()12121202ty y m y y ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭，所以224511220121621216tt mt t-⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()21901221216t m tt⎛⎫-+--⎪⎝⎭=+.所以1901202t t m⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即1901202m t⎡⎤⎛⎫+-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对t∈R恒成立，即()96120m t-=对t∈R恒成立，所以8m=.所以存在定点()8,0C，使得PCB QCB∠=∠.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.21.已知函数()()21e xf x x ax=++.（1）讨论()f x的单调性；（2）若函数()()21e1xg x x mx=+--在[)1,-+∞有两个零点，求m的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）211em-<【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e xf x a xx=++'+，再对参数a分类讨论可得；（2）依题意可得()()21e xg x mx=+'-，当0m函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m>时，由（1）得()g x'在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m'=-，()00g=.再对1m=，1m，01m<<三种情况讨论可得.【详解】解：（1）因为()()21xf x x ax e =++，所以()()221e xf x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，即()()()11e xf x a x x =++'+.由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数. ③当0a <时，()11a -+>-，由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+； 所以()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；当0a >时，()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数； 当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. （2）因为()()21e 1xg x x mx =+--，所以()()21e x g x m x =+'-，①当0m 时，()0g x '，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点. ②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<； 所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.（ⅱ）当1m 时，()00g '<，()()210m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=，且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.所以()()000g x g <=，又()()()22221e 1110mg m m m m m =+-->+--=，根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点. 又()()000g x g <=，所以()10g -即()2110eg m -=+-，所以21e m -，即当211em -<时()g x 在[)1,-+∞有两个零点. 综上，m 的取值范围为211em -< 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．【答案】（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）或(【解析】 【分析】（1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.【详解】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……①将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P 到直线OA的距离为d ==，所以111222OAP S OA d d =⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP △， 此时P的坐标为2-或(2. 【点睛】本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力. 23.已知函数1()||||f x x a x a=++-． （1）证明：()2f x ≥； （2）当12a =时，()f x x b +≥，求b 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1(,]2-∞.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围. 【详解】（1）1111()||||||||||2||||2f x x a x a a aa a a a=++-+=+⋅=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b+≥，当且仅当(2)2f b+≥，解得12b=，故b的取值范围为1(,]2-∞．【点睛】本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。