江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练：平面向量

江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练

平面向量

一、填空题

1、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120?，→BM ＝λ→

BC ．若

→AM ·→

BC ＝－173

，则实数λ的值为 ▲ ．

2、（南京市2019高三9月学情调研）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →

＝6，AD →·AE →＝32

，则AB →·AD →

的值为 ▲ ．

3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）ABC ?中，0

6034=∠==ACB ,BC ,AC ，

E 为边AC 中点，21

33

AD AB AC =

+，则CD BE ?的值为 ▲ ． 4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知等边三角形ABC 的边长为2，AM 2MB =，点N 、

T 分别为线段BC 、CA 上的动点，则AB NT BC TM CA MN ?+?+?取值的集合为 ． 5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在等腰三角形ABC 中,底边

2BC =,AD DC = ,12AE EB =

, 若1

2

BD AC ?=-, 则CE AB ?= ▲ ． 6、（苏州市2018高三上期初调研）已知平面向量(),2,110a a b =?=，若52a b +=，则b 的值是 ．

7、（盐城市2019届高三上学期期中）已知向量(1m =，1)-，(cos n α=，sin )α，其中

[0α∈，]π，若m ∥n ，则α＝ ．

8、（苏州市2019届高三上学期期中）已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ▲ ．

9、（苏州市2019届高三上学期期中）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，

60BCD ∠=?，23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r

?的最小值为 ▲ ．

10、（无锡市2019届高三上学期期中）已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|2a ＋b|的值为 11、（徐州市2019届高三上学期期中）在平行四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，60BAD ∠=?，

若2CE ED = ,则AE BE ?的值为 ▲ ．

12、（常州市2019届高三上学期期末）平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3

||2

OC =

，则||OD =________. 13、（海安市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，且AM ＝1，点P 满足 P A ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)的取值范围是 ．

14、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在ABC △中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=?，

P 为ABC △所在平面内一点，满足3

22

CP PB PA =+，则CP AB ?的值为 ．

15、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，

CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ?的最小值是 ．

16、（泰州市2019届高三上学期期末）已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足

20PA PB PD ++=，0PA PB PC λμ++=，则λμ＝

17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ?＝

8

3

，则AQ CP ?的最小值为

18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ CP ?的最大值为

19、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知⊙O 的半径为2，点A.B.C 为该圆上的三点，且AB=2，0>?→

→

BC BA ，则)(→

→

→

+?BA BO OC 的取值范围是_____.

20、（江苏省2019年百校大联考）在平面凸四边形ABCD 中，22AB =，3CD =，点E 满足

2DE EC =uuu r uu u r ，且2AE BE ==．若8

5

AE EC =uu u r uu u r g ，则AD BC uuu r uu u r g 的值为 ．

21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点

P 在DA 的延长线上，

且满足()42PB PC AD +?=.若2AD =，则P B P C ?的值为 . 22、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面四边形OABC 中，已知||3OA =，

OA ⊥OC ，AB ⊥BC ，∠ACB ＝60°，若OB AC ＝6，则||OC =＿＿

二、解答题

1、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4

b π

α=+.

（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ?的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.

2、（（南京市13校2019届高三12月联合调研）在如图所示平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点

(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.

（Ⅰ）若3

4

x π=

，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值; （Ⅱ）若[0,]2

x π

∈，

向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ?的最小值及对应的x 值.

3、（苏州市2018高三上期初调研）在平面直角坐标系中，设向量

(

)()

3,,cos ,3m cosA sinA n B sinB =

=-，其中,A B 为ABC ?的两个内角.

（1）若m n ⊥，求证：C 为直角； （2）若//m n ，求证：B 为锐角.

4、（泰州市2019届高三上学期期末）已知向量(sin ,1)a x =，1

(,cos )2

b x =，其中(0,)x π∈。 （1）若a b ，求x 的值；

（2）若tanx ＝－2，求｜a b +｜的值。

5、（无锡市2019届高三上学期期末）在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向

量

m = (a ，sin C －sin B )，

n = (b + c ，sin A + sin B )，且m n

(1) 求角 C 的大小

(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周长的取值范围.

6、（无锡市2019届高三上学期期中）已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，k ).

(1) 若 AB → 与 BC →

垂直，求实数k 的值；

(2) 若A ，B ，C 三点构成三角形，求实数k 的取值范围.

7、（扬州市2019届高三上学期期中）在△ABC 中，已知3AB AC AB AC ?=，设∠BAC ＝α．

（1）求tan α的值； （2）若3cos 5β=，β∈(0，2

π

)，求cos(β﹣α)的值．

8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos sin αα-，cos sin αα+)．

（1）求向量a 与b 的夹角；

（2）若()b a λ-⊥a ，求实数λ的值．

9、（盐城市2019届高三第三次模拟）设向量)sin 2,cos 2(x x a =→，)cos ,cos 3(x x b =→

，函数3)(-?=→

→b a x f .

（1）求)(x f 的最小正周期;

（2）若，5

6)2(-=αf 且)2(ππα，∈，求αcos 的值.

10、（江苏省2019年百校大联考）设向量(cos ,sin )θθ=m ，(22sin ,22cos )=θθ+-n ，

3(π,π)2θ∈--，若12

?=m n ．

（1）求π

sin()4θ+的值； （2）求7π

cos()12

θ+的值．

参考答案

一、填空题

1、1

3 2、－92 3、－4

4、答案：{﹣6}

解析：建立如图所示的平面直角坐标系

则A(0，3)，B(﹣1，0)，C(1，0) 由AM 2MB =得M(2

3-

，33

)，设N(n ，0)，直线AC 为：33y x =-+，设T(t ，

33t -+) 所以AB NT (1,3)(,33)23t n t t n ?=--?--+=+-， 224BC TM (2,0)(,33)2333

t t t ?=?-

--=--，

235CA MN (1,3)(,)333

n n ?=-?+

-=-- 则45

AB NT BC TM CA MN=232633t n t n ?+?+?+-----=-

5、4

3-

6、5

7、

34

π 8、1 9、21

4 10、7

11、32－ 12、2

3

13、

14、－1 15、82－8 16、－

34

17、

18、9

4

- 19、(6,43]- 20、2 21、2 22、3

二、解答题

1、解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5

α=， 所以2sin sin()4a b a πα?=

++2sin sin cos 4παα=+cos sin 4

π

α+ 4242552=

+?3232

522

+?=. （2）因为//a b ，所以2sin sin()14

a π

α+

=，即2sin α(sin cos

cos sin )144

π

π

αα+=，所以

2sin sin cos 1ααα+=，

则2

sin cos 1sin ααα=-2

cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=， 所以锐角4

π

α=

.

2、解：（Ⅰ） 设(,0)D t （01t ≤≤），又22

(,)22

C -

所以22(,)22OC OD t +=-

+ 所以 22

211||22122

OC OD t t t t +=-++=-+……………3分

221

()(01)22

t t =-

+≤≤ 所以当22t =

时，||OC OD +最小值为2

2

………………6分 （Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+

则2

2

1cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ?=-+-=-- 12sin(2)

4x π

=-+ ……………9分 因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ

≤+≤ ……………10分

所以当24

2

x π

π

+=

，即8

x π

=

时，sin(2)4

x π

+

取得最大值1

所以8

x π

=

时，12sin(2)4

m n x π

?=-+

取得最小值12-

所以m n ?的最小值为12-，此时8

x π

=

…………………………14分

3、（1）易得()()cos cos sin sin 3cos m n A B A B A B ?=-=+， 因为m n ⊥，所以0m n ?=，即()cos cos

2

A B π

+=.

因为0A B π<+<，且函数cos y x =在()0,π内是单调减函数， 所以2

A B π

+=

，即C 为直角.

（2）因为//m n ，所以()

3cos 3sin sin cos 0A B A B ?--=， 即sin cos 3cos sin 0A B A B +=.

因为,A B 是三角形内角，所以cos cos 0A B ≠， 于是tan 3tan A B =-，因而,A B 中恰有一个是钝角，∴2

A B π

π<+<，

从而()2

2tan tan 3tan tan 2tan tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B B

A B A B B B

+-+-+=

==<-++， 所以tan 0B >，即证B 为锐角

注：（2）解得tan 3tan A B =-后，得tan A 与tan B 异号， 若tan 0B <，

则()2

2tan tan 3tan tan 2tan tanC tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B B

A B A B B B

+-+=-+=-

=-=<-++ 于是，在ABC ?中，有两个钝角B 和C ，这与三角形内角和定理矛盾，不可能 于是必有tan 0B >，即证B 为锐角 4、解：（1）因为a b ，所以，sinxcosx ＝1

2

，即sin2x=1， 因为(0,)x π∈，所以，4

x π=；

（2）因为tanx ＝

sin cos x

x

＝－2，所以，sinx ＝－2cosx ， 1

(sin ,1cos )2

a b x x +=++，

221||(sin )(1cos )2a b x x +=+++＝9sin 2cos 4x x ++＝3

2

5、（1）由m n ，得：a （sin A + sin B ）＝（b + c ）

（sin C －sin B ） 由正弦定理，得：a （a + b ）＝（b + c ）（c －b ） 化为：a 2＋b 2－c 2＝－a b ，由余弦定理，得：cosC ＝－1

2

， 所以，C ＝

3

π （2）因为C ＝

3π，所以，B ＝3π－A ，由B ＞0，得：0＜A ＜3

π， 由正弦定理，得：

23sin sin sin a b c

A B C

===， △ABC 的周长为：a + b ＋c ＝23(sin sin )3A B ++＝23[sin sin(

)]33

A A π

+-+

＝3sin 3cos 3A A ++＝2

3sin()33

A π

++，

由0＜A ＜

3π，得：3sin()123

A π<+≤， 所以，周长C ＝2

3sin()33

A π

++∈(6,323)+

6、解：(1) 因为AB →＝(5，－5)，BC →

＝(－6，k ＋1)，(2分)

若AB →与BC →垂直，则AB →·BC →

＝－30－5k －5＝0，(4分) 解得k ＝－7.(6分)

(2) 若A ，B ，C 三点不构成三角形，则 AB →＝λBC →

，(8分) 即(5，－5)＝λ(－6，k ＋1).(10分) 所以5＝－6λ，－5＝λ(k ＋1)， 解得k ＝5.(12分)

所以若A ，B ，C 三点构成三角形，则k 的取值范围是k ≠5.(14分) 7、解：（1）由3AB AC AB AC ?=?，得3cos AB AC AB AC α?=?，

所以1cos 3

α=，又因为0α<<π，所以2212sin 1cos 1(

)3

3

αα=-=-=

．

∴tan 2α= …………6分 （2）∵3cos 5β=，(0,)2πβ∈ ∴4

sin 5

β= ………8分

由（1）知：2

sin 3

α=

，∴31423346

cos()cos cos sin sin 551533βαβαβα+-=+=?+?=． 8、（1）设向量a 与b 的夹角为θ，

因为2=a ，22(cos sin )(cos sin )2αααα=-+-=b ，………………………4分 所以cos θ?=

?a b a b (2cos ,2sin )(cos sin ,cos sin )

22

αααααα?-+=

222cos 2sin 2

222

αα+==． …………………………………………………………7分

考虑到0πθ剟，得向量a 与b 的夹角

4

π

． ………………………………………9分 （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-?=b a a ，即20λ?-=b a a ， ………………………12分 因为2?=b a ，24=a ，

所以240λ-=，解得2λ=． ……………………………………………………14分 9、解：（1）因为()3(2cos ,2sin )(3cos ,cos )3f x a b x x x x =?-=?-

223cos 2sin cos 3x x x =+-3cos 2sin 2x x =+2sin(2)3

x π

=+. …………4分

所以)(x f 的最小正周期为22

T π

π==. ……………………6分 （2）因为6()25f α=-，所以62sin()35πα+=-，即3

sin()35πα+=-， ………………8分

又因为(,)2παπ∈，所以54(,)363πππ

α+∈，

故2234

cos()1sin ()1()3355

ππαα+=--+=---=-， …………10分

所以13cos cos(())cos()sin()332323

π

πππ

αααα=+

-=+++ 1433()()2525=?-+?-433

10+=-. ……………………14分

10、（1）因为1

2

?=

m n 所以，1(22sin )cos (22cos )sin 2

θθθθ++-= 化简，得：122cos 22sin 2

θθ+=， 即1sin()48π

θ+

= （2）3

(π,π)2

θ∈--

53(,)444

πθππ+∈--

由1sin()48πθ+=，5

(,)44

πθππ+∈--，

所以，2137

cos()1()488

π

θ+

=--=-， 7π

cos()12

θ+

＝cos()43ππθ++＝cos()cos sin()sin 4343ππππθθ+++

＝37113373828216

+-?-?=-