上海市格致中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
上海市格致中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题（1-5每题3分，6-10每题4分）1.已知集合，则_____.1,3,4,5,7,2,3,{{}78}5,,ABAB
【答案】{3,5,7}【解析】【分析】进行交集的运算即可．
【详解】， ∴． 1,3,4,5,7,2,3,5,7{,{}8}AB{3,5,7}AB
故答案为：．{3,5,7}【点睛】本题考查集合交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.不等式的解集为________.|21|3x
【答案】{|12}xx【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.
【详解】∵|21|3x3213x，12x
∴不等式的解集为.|21|3x{|12}xx
故答案为：.{|12}xx【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.函数 的定义域为_____.lg1fxxx
【答案】|01xx
【解析】【分析】根据题意可知，，即可求出结果.010xx
【详解】由题意可知，，解得，所以的定义域为.010xx
01x
fx
|01xx
故答案为：.|01xx
【点睛】本题考查函数的定义域，充分理解函数和的定义域是解决问lg1yxyx
题的关键．4.若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.3xxa
a
【答案】3a【解析】【分析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， ∴． 3xxa3a
故答案为：．3a【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_____.21xafx
1,
a
【答案】,1
【解析】【分析】利用复合函数的单调性，结合函数的对称性，即可求出结果．
【详解】因为函数的对称轴为，21xafx
xa
所以函数在上是增函数； 21xafx
,a
又函数在上是增函数，所以．21xafx
1,
1a
故答案为：.,1【点睛】本题考查复合函数的单调性的判断与应用，属于基础题．6.正实数 满足：，则的最小值为_____.,xy21xy21xy
【答案】9【解析】【分析】
根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求21212225yxxy
xyxyxy
解.
【详解】，当且仅2121222225525249yxyxxy
xyxyxyxy
当 时取等号．13xy
故答案为：9．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
7.方程的解为_____.22lglg3xx﹣
【答案】或1000110
【解析】【分析】
将原方程化简为，即可求出结果．lg3lg10x
【详解】原方程可化为，即，即有或2lg2lg30xxlg3lg10xlg3x
，解得或. lg1x1000x
110
故答案为:或．1000110
【点睛】本题考查了对数的运算法则的应用，属于基础题．
8.函数，在区间上的最大值为，最小值为.22(1)221xxx
fx
x
2019,2019
Mm则_____.Mm【答案】2
【解析】【分析】
可将原函数化为，可设，可判断为奇函2
222+11xxxfxx22221xxx
gx
x
gx
数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．
【详解】因为 222(1)22222=+111xxxxxx
fx
xx
设，2
2222019,20191xxx
gxx
x
，
所以 ； 22
22222211xxxxxx
gxgx
xx
则是奇函数， gx
所以在区间上的最大值为，即，fx
2019,2019
M
1
maxMgx
在区间上的最小值为，即， fx
2019,2019
m
min1mgx
∵是奇函数，gx
∴， 则 .maxmin0gxgx22maxminMmgxgx
故答案为：2．【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
9.函数的定义域为，值域为，点集构成1fxaxx
DA
|,,xyxDyA
的图象面积等于，则实数_____.2a
【答案】或13【解析】【分析】
对进行分类，其中当时不符合题意；当和时，利用二次函数的性质，分别a1a1a
1a求出定义域为，值域为，然后再根据点集构成的图象面积等于，DA|,,xyxDyA
2
列出方程，求解即可．【详解】当时不符合题意，舍去．1a
当时，由，解得，可得定义域为：．1a10axx1xa1,Da
，可得值域． 22
111 24a
axxxa10,2aA
∵点集构成的图象面积等于，|,,xyxDyA
2
，解得．1122aa
3a
当时，由，解得，可得定义域为：．1a10axx1ax,1Da
，可得值域． 22
11124aaaxxx102a
A
，
∵点集构成的图象面积等于，|,,xyxDyA
2
，解得． 1122aa
1a
综上：或． 1a3
故答案为：或．13【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，同时考查了分类思想，推理能力与计算能力，属于中档题．
10.设函数的定义域是，满足，且当时，()fxR
(1)2()fxfx
0,1x
，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范1fxxx,xm
16
9fx
m
围为_____.
【答案】103m
【解析】【分析】
因为，可得，根据定义域分段求解析式，结合函数的值(1)2()fxfx()2(1)fxfx
域可得．
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_15
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单选题（每小题4分，共48分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【详解】∵，集合，∴，故选C．【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.已知集合且，则集合可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的概念和运算，求得正确选项.【详解】由于集合且，所以集合必须含有元素，只有B选项符合.故选B.【点睛】本小题主要考查根据并集的结果判断集合所包含的元素，属于基础题.3.已知全集，，，则为A. {1}B. {1,6}C. {1,3,5}D. {1,3,5,6}【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集、补集运算即可求出．【详解】因为，所以，故选D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算．4.如图，平面不能用（）表示．A. 平面B. 平面C. 平面D. 平面【答案】B【解析】【分析】利用平面的表示方法，对每个选项逐一判断即可.【详解】平面可用希腊字母表示，故正确；平面可用平行四边形的对角线表示，故正确；平面可用平行四边形的顶点表示，故正确；平面不可用平行四边形的某条边表示，故不正确 ,故选B.【点睛】本题主要考查平面的表示方法，意在考查对基础知识的掌握情况.5.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由，解得x≥且x≠2．∴函数的定义域为．故选C．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．6.已知直线平面，直线，则（）A. B.C 异面 D. 相交而不垂直【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的定义，即可得出结果.【详解】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此，故选A【点睛】本题主要考查线面垂直的定义，熟记概念即可，属于基础题型.7.直线的倾斜角是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】算出斜率后可得倾斜角.【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，选C.【点睛】本题考查直线的倾斜角的计算，属于基础题.8.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c（）A. 一定是异面直线B. 一定是相交直线C. 不可能是平行直线D. 不可能是相交直线【答案】C【解析】【分析】根据题目已知，画出可能存在的情况，由此判断出正确选项.【详解】由于，异面，此时，和可能相交，也即共面，如图所示与相交；和也可能异面，如图所示与异面.综上所述，与不可能是平行直线.故选C.【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.9.过点（1，0）且与直线垂直的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出直线方程，代入点求得直线方程.【详解】依题意设所求直线方程为，代入点得，故所求直线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线方程的求法，属于基础题.10.在正方体中，与棱异面的棱有（）A. 8条B. 6条C. 4条D. 2条【答案】C【解析】【分析】在正方体12条棱中，找到与平行的、相交的棱，然后计算出与棱异面的棱的条数.【详解】正方体共有12条棱，其中与平行的有共3条，与与相交的有共4条，因此棱异面的棱有条，故本题选C.【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了异面直线的判断.11.过点且与直线：平行的直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析:先求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程写出直线的方程，再整理成一般式.详解：因为直线与：平行，所以直线的斜率为所以直线的方程为故答案为C.点睛：（1）本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)如果两直线都有斜率且它们相互平行，则12.直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】一般式直线方程的斜率为．【详解】直线的斜率为.故选A【点睛】此题考察一般直线方程的斜率，属于较易基础题目二、填空题（每小题4分，共16分）13.已知直线过点，，则直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】根据直线方程的两点式可得答案.【详解】由直线方程的两点式可得,化简得,故答案为: .【点睛】本题考查了直线方程的两点式,属于基础题.14.已知直线和直线平行，那么实数=___________.【答案】【解析】【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【详解】直线,即，直线，即，又直线和直线平行，∴，即=4故答案为4【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知直线：，直线：，若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【详解】解：∵l1⊥l2，则1×a+1×1＝0，解得a＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知点，点，则________．【答案】【解析】【分析】直接利用两点间的距离公式求解即可．【详解】点A（2，1），B（5，﹣1），则|AB|．故答案为．【点睛】本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．三、解答题(每小题9分，共36分)17.如图，在三棱锥中，G、H分别为PB、PC的中点，求证：平面ABC.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据中位线可得,根据线面平行判定定理可证结论.【详解】证明:因为G、H分别为PB、PC的中点,所以,又平面,平面,所以平面ABC..【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,关键是找到线线平行,属于基础题.18.如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.【答案】见解析【解析】【详解】设⊙O所在的平面为α，由已知条件得PA⊥α，BC⊂α，所以PA⊥BC，因为C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB 是⊙O的直径，所以BC⊥AC，又PA∩AC＝A，故BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以，平面PAC⊥平面PBC.【此处有视频，请去附件查看】19.已知点和直线．求：(1)过点与直线平行的直线方程；(2)过点与直线垂直的直线方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1) 由所求直线与直线平行，先设所求直线的方程是，再将点坐标代入即可求出结果；(2)由所求直线与直线垂直，先设出所求直线方程为，再将点坐标代入即可求出结果.【详解】(1)设所求直线方程是，点在直线上，，，即所求直线方程是．(2)设所求直线的方程是，点在直线上，∴，，即所求直线方程是．【点睛】本题主要考查直线的一般方程与直线的平行或垂直关系，根据直线平行或垂直于已知直线，可先设出所求直线的方程，再由定点坐标代入直线方程，即可求出结果，属于基础题型.20.已知的点，，．判断的形状；设D，E分别为AB，AC中点，求直线DE的斜率；【答案】（1）是等腰直角三角形；（2）.【解析】【分析】由已知点坐标分别求出AB，AC，BC及BC边上中线的斜率，由斜率关系可得的形状；由已知可得，则直线DE的斜率可求．【详解】，，，，，．设F为BC的中点，则，．由于，，是等腰直角三角形；由于D，E分别为AB，AC的中点，，即．故直线DE的斜率为．【点睛】本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查三角形性质的判断，是中档题．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单选题（每小题4分，共48分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【详解】∵，集合，∴，故选C．【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.已知集合且，则集合可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的概念和运算，求得正确选项.【详解】由于集合且，所以集合必须含有元素，只有B选项符合.故选B.【点睛】本小题主要考查根据并集的结果判断集合所包含的元素，属于基础题.3.已知全集，，，则为A. {1}B. {1,6}C. {1,3,5}D. {1,3,5,6}【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集、补集运算即可求出．【详解】因为，所以，故选D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算．4.如图，平面不能用（）表示．A. 平面B. 平面C. 平面D. 平面【答案】B【解析】【分析】利用平面的表示方法，对每个选项逐一判断即可.【详解】平面可用希腊字母表示，故正确；平面可用平行四边形的对角线表示，故正确；平面可用平行四边形的顶点表示，故正确；平面不可用平行四边形的某条边表示，故不正确 ,故选B.【点睛】本题主要考查平面的表示方法，意在考查对基础知识的掌握情况.5.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由，解得x≥且x≠2．∴函数的定义域为．故选C．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．6.已知直线平面，直线，则（）A. B.C 异面 D. 相交而不垂直【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的定义，即可得出结果.【详解】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此，故选A【点睛】本题主要考查线面垂直的定义，熟记概念即可，属于基础题型.7.直线的倾斜角是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】算出斜率后可得倾斜角.【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，选C.【点睛】本题考查直线的倾斜角的计算，属于基础题.8.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c（）A. 一定是异面直线B. 一定是相交直线C. 不可能是平行直线D. 不可能是相交直线【解析】【分析】根据题目已知，画出可能存在的情况，由此判断出正确选项.【详解】由于，异面，此时，和可能相交，也即共面，如图所示与相交；和也可能异面，如图所示与异面.综上所述，与不可能是平行直线.故选C.【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.9.过点（1，0）且与直线垂直的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出直线方程，代入点求得直线方程.【详解】依题意设所求直线方程为，代入点得，故所求直线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线方程的求法，属于基础题.10.在正方体中，与棱异面的棱有（）A. 8条B. 6条C. 4条D. 2条【答案】C【解析】在正方体12条棱中，找到与平行的、相交的棱，然后计算出与棱异面的棱的条数.【详解】正方体共有12条棱，其中与平行的有共3条，与与相交的有共4条，因此棱异面的棱有条，故本题选C.【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了异面直线的判断.11.过点且与直线：平行的直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析:先求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程写出直线的方程，再整理成一般式.详解：因为直线与：平行，所以直线的斜率为所以直线的方程为故答案为C.点睛：（1）本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)如果两直线都有斜率且它们相互平行，则12.直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】一般式直线方程的斜率为．【详解】直线的斜率为.故选A【点睛】此题考察一般直线方程的斜率，属于较易基础题目二、填空题（每小题4分，共16分）13.已知直线过点，，则直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】根据直线方程的两点式可得答案.【详解】由直线方程的两点式可得,化简得,故答案为: .【点睛】本题考查了直线方程的两点式,属于基础题.14.已知直线和直线平行，那么实数=___________.【答案】【解析】【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【详解】直线,即，直线，即，又直线和直线平行，∴，即=4故答案为4【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知直线：，直线：，若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【详解】解：∵l1⊥l2，则1×a+1×1＝0，解得a＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知点，点，则________．【答案】【解析】【分析】直接利用两点间的距离公式求解即可．【详解】点A（2，1），B（5，﹣1），则|AB|．故答案为．【点睛】本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．三、解答题(每小题9分，共36分)17.如图，在三棱锥中，G、H分别为PB、PC的中点，求证：平面ABC.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据中位线可得,根据线面平行判定定理可证结论.【详解】证明:因为G、H分别为PB、PC的中点,所以,又平面,平面,所以平面ABC..【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,关键是找到线线平行,属于基础题.18.如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.【答案】见解析【解析】【详解】设⊙O所在的平面为α，由已知条件得PA⊥α，BC⊂α，所以PA⊥BC，因为C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC，又PA∩AC＝A，故BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以，平面PAC⊥平面PBC.【此处有视频，请去附件查看】19.已知点和直线．求：(1)过点与直线平行的直线方程；(2)过点与直线垂直的直线方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1) 由所求直线与直线平行，先设所求直线的方程是，再将点坐标代入即可求出结果；(2)由所求直线与直线垂直，先设出所求直线方程为，再将点坐标代入即可求出结果.【详解】(1)设所求直线方程是，点在直线上，，，即所求直线方程是．(2)设所求直线的方程是，点在直线上，∴，，即所求直线方程是．【点睛】本题主要考查直线的一般方程与直线的平行或垂直关系，根据直线平行或垂直于已知直线，可先设出所求直线的方程，再由定点坐标代入直线方程，即可求出结果，属于基础题型.20.已知的点，，．判断的形状；设D，E分别为AB，AC中点，求直线DE的斜率；【答案】（1）是等腰直角三角形；（2）.【解析】【分析】由已知点坐标分别求出AB，AC，BC及BC边上中线的斜率，由斜率关系可得的形状；由已知可得，则直线DE的斜率可求．【详解】，，，，，．设F为BC的中点，则，．由于，，是等腰直角三角形；由于D，E分别为AB，AC的中点，，即．故直线DE的斜率为．【点睛】本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查三角形性质的判断，是中档题．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_11
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的概念和运算，求得.【详解】根据补集的概念和运算可知.故选：D【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，为奇函数，且在上递增，符合题意.对于C选项，是奇函数，且在上递减，不符合题意.对于D选项，是奇函数，且在上递减，在上递增，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在中,点M、N分别在边BC、CA上,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得的表达式.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在区间.【详解】依题意，当时，，根据零点存在性定理可知，零点所在区间是.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则( )A. 6B. 12C. 18D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.6.不等式的解集为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集.【详解】依题意，所以，故原不等式的解集为..故选：A【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7.函数大致图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，且，所以函数为上的奇函数，由此排除A,B,C三个选项.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题.8.已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合与，求得，由此判断出正确选项.【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9.设函数,则下列结论错误的是( )A. 设,则有B. 对任意,都有C. 对任意,都有D. 对任意,都有【答案】C【解析】【分析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确.【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确.B，函数最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确.C，当时，，所以C选项错误.D，，，所以对任意,都有，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10.已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简不等式，分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】原命题等价于存在,使得成立,即存在,使得成立，即,因此.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式得.故答案为：(1). 2 (2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12.已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据图像求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值.【详解】根据图像可知，，所以，即，解得.所以，则，，由于，所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13.若,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】将对数式化为指数式，求得的值，进而求得的值以及的值.【详解】由得，所以，.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.设函数,则的单调递增区间为________,的值域为________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】画出的图像，根据图像求得的单调递增区间和值域.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，的单调递增区间为，的值域为.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线对称.若的终边经过点,则________.【答案】【解析】【分析】由终边上一点的坐标，求得，根据对称性求得终边上一点的坐标，由此求得，进而求得.【详解】由于的终边经过点，所以.点关于直线对称点为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于对称点的坐标的特点，属于基础题.16.已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.非零平面向量,,满足,且,则最小值________.【答案】【解析】【分析】首先求得与的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得的最小值.【详解】,,设与的夹角为,因此即与的夹角为（如图）,的终点在射线BA上,因此的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合,函数,记的定义域为B.(Ⅰ)当时,求,;(Ⅱ)若,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得,.（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时,得,由,得,于是,;（Ⅱ）若,则,得【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19.已知,,是同一平面内的三个向量,且.(Ⅰ)若,且,求的坐标;(Ⅱ)若,且与垂直,求向量与夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),或; (Ⅱ).【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，根据列方程，由此求得的坐标.（II）根据与垂直，则，化简后求得，利用向量夹角公式，计算出向量与夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）设,,即,故,或;（Ⅱ）,即,代入整理得,向量与的夹角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20.已知函数,满足.(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.【答案】(Ⅰ),.单调递增区间为,(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用，结合，求得的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据图象变换的知识求得的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得在上的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为,,所以,因此,又,,因为,所以,即,因此函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，又,所以.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的零点;(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解析】【分析】（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.【详解】（Ⅰ）当时,,（i）当时,令,即,解得;（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.由（i）（ⅱ）,得的零点为,（Ⅱ）方法1.（i）当时,对于,得,显然函数在上递减,要使恒成立,只需,即,得,又,所以符合题意.（ⅱ）当时,由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类当,即时,函数在上递增,在上递减.此时,只需即解得,即又,所以符合题意.当,即时,函数在上递增.要使恒成立,只需,即,得,又所以符合题意.由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.方法2.因为对任意,恒有,所以,即,解得.下面证明,当时,对任意,恒有,（i）当时,递增,故成立;（ⅱ）当时,,,,故成立.由此,对任意,恒有,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的概念和运算，求得.【详解】根据补集的概念和运算可知.故选：D【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，为奇函数，且在上递增，符合题意.对于C选项，是奇函数，且在上递减，不符合题意.对于D选项，是奇函数，且在上递减，在上递增，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在中,点M、N分别在边BC、CA上,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得的表达式.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在区间.【详解】依题意，当时，，根据零点存在性定理可知，零点所在区间是.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则( )A. 6B. 12C. 18D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.6.不等式的解集为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集.【详解】依题意，所以，故原不等式的解集为..故选：A【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7.函数大致图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，且，所以函数为上的奇函数，由此排除A,B,C三个选项.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题.8.已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是( )A. B.C. D.【分析】结合与，求得，由此判断出正确选项.【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9.设函数,则下列结论错误的是( )A. 设,则有B. 对任意,都有C. 对任意,都有D. 对任意,都有【答案】C【解析】【分析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确.【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确.B，函数最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确.C，当时，，所以C选项错误.D，，，所以对任意,都有，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10.已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简不等式，分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】原命题等价于存在,使得成立,即存在,使得成立，即,因此.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式得.故答案为：(1). 2 (2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12.已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据图像求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值.【详解】根据图像可知，，所以，即，解得.所以，则，，由于，所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13.若,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】将对数式化为指数式，求得的值，进而求得的值以及的值.【详解】由得，所以，.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.设函数,则的单调递增区间为________,的值域为________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】画出的图像，根据图像求得的单调递增区间和值域.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，的单调递增区间为，的值域为.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线对称.若的终边经过点,则________.【答案】【解析】【分析】由终边上一点的坐标，求得，根据对称性求得终边上一点的坐标，由此求得，进而求得.【详解】由于的终边经过点，所以.点关于直线对称点为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于对称点的坐标的特点，属于基础题.16.已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.非零平面向量,,满足,且,则最小值________.【答案】【解析】【分析】首先求得与的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得的最小值.【详解】,,设与的夹角为,因此即与的夹角为（如图）,的终点在射线BA上,因此的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合,函数,记的定义域为B. (Ⅰ)当时,求,;(Ⅱ)若,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得,.（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时,得,由,得,于是,;（Ⅱ）若,则,得【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19.已知,,是同一平面内的三个向量,且.(Ⅰ)若,且,求的坐标;(Ⅱ)若,且与垂直,求向量与夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),或; (Ⅱ).【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，根据列方程，由此求得的坐标.（II）根据与垂直，则，化简后求得，利用向量夹角公式，计算出向量与夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）设,,即,故,或;（Ⅱ）,即,代入整理得,向量与的夹角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20.已知函数,满足.(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.【答案】(Ⅰ),.单调递增区间为,(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用，结合，求得的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据图象变换的知识求得的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得在上的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为,,所以,因此,又,,因为,所以,即,因此函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，又,所以.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的零点;(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解析】【分析】（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.【详解】（Ⅰ）当时,,（i）当时,令,即,解得;（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.由（i）（ⅱ）,得的零点为,（Ⅱ）方法1.（i）当时,对于,得,显然函数在上递减,要使恒成立,只需,即,得,又,所以符合题意.（ⅱ）当时,由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类当,即时,函数在上递增,在上递减.此时,只需即解得,即又,所以符合题意.当,即时,函数在上递增.要使恒成立,只需,即,得,又所以符合题意.由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.方法2.因为对任意,恒有,所以,即,解得.下面证明,当时,对任意,恒有,（i）当时,递增,故成立;（ⅱ）当时,,,,故成立.由此,对任意,恒有,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_54
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题3分，共36分）1.已知全集，集合，，则集（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出可得.【详解】，故.故选：C.【点睛】本题考查集合的补和交，依据定义计算即可，此类问题属于基础题.2. 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A. {x|0≤x≤2}B. {x|1≤x≤2}C. {x|0≤x≤4}D. {x|1≤x≤4}【答案】A试题分析：找出A和B解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集．解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}．故选A考点：交集及其运算．3.，则x=（）A. 2B. -2C.D. 0【答案】C【解析】【分析】，解得【详解】，解得.故选：C【点睛】本题考查绝对值方程的解法，属于简单题.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】按照完全平方公式展开即可.【详解】.故选：D【点睛】本题主要考查完全平方的展开式，属于简单题.5.下列函数是奇函数的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再用定义验证.【详解】对于A，函数的定义域为，该定义域不关于原点对称，故不是奇函数.对于B，函数的定义域为，令，则，故不是奇函数.对于C，令，其定义域为，，故为奇函数.对于D，令，其定义域为，且，故不是奇函数.故选：C.【点睛】函数奇偶性的判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.6.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平方差公式展开即可.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查平方差公式，属于简单题.7.的反函数是（）.A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】令，用表示后可得反函数.【详解】令，则，故.故选：A.【点睛】本题考查反函数的计算，一般地，令，再用表示后可得函数的反函数（注意把互换），注意当一个函数是单调函数时，它有反函数，本题为基础题.8.（）.A. 0B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算性质可得计算结果.【详解】，故选：B.【点睛】对数的运算性质可以分类如下几类：（1）；；（2）；；（3）．9.已知（表示不超过的最大整数），则（）.A. 0.7B. -0.3C. -11.3D. -10.3【答案】A【解析】【分析】计算后可得的值.【详解】，故，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，注意根据定义计算，本题属于基础题.10.命题“对任意，都有”否定为（）A. 对任意，使得B. 不存在，使得C. 存在，都有D. 存在，都有【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得所求命题的否定.【详解】命题“对任意，都有”的否定为“存在，都有”.故选：D.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.11.已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f （3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax （a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，再由关系式f （3）•g（3）＜0即可选出答案．【详解】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3）•g（3）＜0可排除A.故选：C．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力．12.设，则（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】先求内层函数，将所求值代入分段函数再次求解即可【详解】，则故选：B【点睛】本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题二、填空题（每小题3分，共12分）13.方程组的解集为______________.【答案】【解析】【分析】求出二元一次方程组的解，然后用列举法表示解集.【详解】解方程组得：所以方程的解集为：.故答案为：.【点睛】本题考查集合的表示法，注意方程组的解集是单元素的集合，不能把解集错写成.14.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】3【解析】【分析】由幂函数知,再代入求即可.【详解】因为幂函数,故,即过,故故故答案为3【点睛】本题主要考查幂函数的定义域运算,属于基础题型. 15.已知在定义域上为减函数，且，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可得，该不等式的解为的取值范围.【详解】因为在定义域上为减函数，故，即.故答案为：.【点睛】本题考查函数不等式，解决此类问题的基本方法是利用函数的单调性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，本题为基础题..16.________.【答案】【解析】【分析】先配方，再开方，注意的正负.【详解】因为，故，故原式.【点睛】本题考查对数值的大小比较，注意利用对数的运算性质把常数化成对数式，再利用对数函数的单调性来比较大小，本题属于基础题.三、解答题（写出相关步骤和结论，共52分）17.（1）计算-2，0，0，1，1的①平均数；②方差.（2）.【答案】（1）0，；（2）.【解析】分析】（1）利用公式可求平均数和方程.（2）利用指数幂的运算性质可求代数式的运算结果.【详解】（1）①-2，0，0，1，1平均数为，②方差为.（2）原式.【点睛】本题考查样本均值、样本方差以及指数幂的计算，本题属于基础题.18.（1）已知，用表示.（2）已知实数满足，试判断与的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把指数式化成对数式，再根据对数的运算性质计算即可.（2）利用对数函数的单调性可得和.【详解】（1）因为，故，又.（2）因为为上的增函数，故当时，有.因为为上的减函数，故.【点睛】本题考查对数的运算性质与指数式的大小比较，后者应根据指数函数的单调性来判断，本题属于基础题.19.求下列函数的定义域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不等式的解集为函数的定义域.（2）不等式的解集为函数的定义域.【详解】（1）由题设有，故即，故函数的定义域为.（2）由题设有即即，故函数的定义域为.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.20.已知函数.（1）若，求.（2）在直角坐标系中作出函数图象，并写出单调区间.【答案】（1）0，或2；（2）单调减区间：，单调增区间：和，图见解析.【解析】【分析】（1）就和分类讨论后可得值.（2）利用常见函数的图像可作的图像，由图像可得函数的单调区间.【详解】（1）当时，等价于，故或.当时，等价于，故.综上，所求的值为0，或2.（2）的图像的如图所示：故单调减区间：，单调增区间：和.【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的单调性问题、不等式问题、方程的解等问题.21.（1）判断函数（，且）的奇偶性，并给出证明.（2）已知，求的最大值，以及取得最大值时的值.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2），此时.【解析】【分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再根据定义可判断函数为奇函数.（2）利用基本不等式可求函数的最大值以及何时取最大值.【详解】（1）证明：定义域为，它关于原点对称.，函数是奇函数.（2），，由基本不等式可以得到，，当且仅当时等号成立，故，此时.【点睛】函数奇偶性判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.求函数的最值，可利用函数的单调性，也可以利用基本不等式，后者需遵循“一正二定三相等”.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题3分，共36分）1.已知全集，集合，，则集（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求出可得.【详解】，故.故选：C.【点睛】本题考查集合的补和交，依据定义计算即可，此类问题属于基础题.2. 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A. {x|0≤x≤2}B. {x|1≤x≤2}C. {x|0≤x≤4}D. {x|1≤x≤4}【答案】A【解析】试题分析：找出A和B解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集．解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}．故选A考点：交集及其运算．3.，则x=（）A. 2B. -2C.D. 0【答案】C【解析】【分析】，解得【详解】，解得.故选：C【点睛】本题考查绝对值方程的解法，属于简单题.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】按照完全平方公式展开即可.【详解】.故选：D【点睛】本题主要考查完全平方的展开式，属于简单题.5.下列函数是奇函数的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再用定义验证.【详解】对于A，函数的定义域为，该定义域不关于原点对称，故不是奇函数.对于B，函数的定义域为，令，则，故不是奇函数.对于C，令，其定义域为，，故为奇函数.对于D，令，其定义域为，且，故不是奇函数.故选：C.【点睛】函数奇偶性的判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.6.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平方差公式展开即可.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查平方差公式，属于简单题.7.的反函数是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，用表示后可得反函数.【详解】令，则，故.故选：A.【点睛】本题考查反函数的计算，一般地，令，再用表示后可得函数的反函数（注意把互换），注意当一个函数是单调函数时，它有反函数，本题为基础题.8.（）.A. 0B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算性质可得计算结果.【详解】，故选：B.【点睛】对数的运算性质可以分类如下几类：（1）；；（2）；；（3）．9.已知（表示不超过的最大整数），则（）.A. 0.7B. -0.3C. -11.3D. -10.3【答案】A【解析】【分析】计算后可得的值.【详解】，故，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，注意根据定义计算，本题属于基础题.10.命题“对任意，都有”否定为（）A. 对任意，使得B. 不存在，使得C. 存在，都有D. 存在，都有【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得所求命题的否定.【详解】命题“对任意，都有”的否定为“存在，都有”.故选：D.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.11.已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g （x）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，再由关系式f（3）•g（3）＜0即可选出答案．【详解】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3）•g（3）＜0可排除A.故选：C．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力．12.设，则（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】先求内层函数，将所求值代入分段函数再次求解即可【详解】，则故选：B【点睛】本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题二、填空题（每小题3分，共12分）13.方程组的解集为______________.【答案】【解析】【分析】求出二元一次方程组的解，然后用列举法表示解集.【详解】解方程组得：所以方程的解集为：.故答案为：.【点睛】本题考查集合的表示法，注意方程组的解集是单元素的集合，不能把解集错写成.14.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】3【解析】【分析】由幂函数知,再代入求即可.【详解】因为幂函数,故,即过,故故故答案为3【点睛】本题主要考查幂函数的定义域运算,属于基础题型.15.已知在定义域上为减函数，且，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可得，该不等式的解为的取值范围.【详解】因为在定义域上为减函数，故，即.故答案为：.【点睛】本题考查函数不等式，解决此类问题的基本方法是利用函数的单调性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，本题为基础题..16.________.【答案】【解析】【分析】先配方，再开方，注意的正负.【详解】因为，故，故原式.【点睛】本题考查对数值的大小比较，注意利用对数的运算性质把常数化成对数式，再利用对数函数的单调性来比较大小，本题属于基础题.三、解答题（写出相关步骤和结论，共52分）17.（1）计算-2，0，0，1，1的①平均数；②方差.（2）.【答案】（1）0，；（2）.【解析】分析】（1）利用公式可求平均数和方程.（2）利用指数幂的运算性质可求代数式的运算结果.【详解】（1）①-2，0，0，1，1平均数为，②方差为.（2）原式.【点睛】本题考查样本均值、样本方差以及指数幂的计算，本题属于基础题.18.（1）已知，用表示.（2）已知实数满足，试判断与的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把指数式化成对数式，再根据对数的运算性质计算即可.（2）利用对数函数的单调性可得和.【详解】（1）因为，故，又.（2）因为为上的增函数，故当时，有.因为为上的减函数，故.【点睛】本题考查对数的运算性质与指数式的大小比较，后者应根据指数函数的单调性来判断，本题属于基础题.19.求下列函数的定义域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不等式的解集为函数的定义域.（2）不等式的解集为函数的定义域.【详解】（1）由题设有，故即，故函数的定义域为.（2）由题设有即即，故函数的定义域为.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.20.已知函数.（1）若，求.（2）在直角坐标系中作出函数图象，并写出单调区间.【答案】（1）0，或2；（2）单调减区间：，单调增区间：和，图见解析.【解析】【分析】（1）就和分类讨论后可得值.（2）利用常见函数的图像可作的图像，由图像可得函数的单调区间.【详解】（1）当时，等价于，故或.当时，等价于，故.综上，所求的值为0，或2.（2）的图像的如图所示：故单调减区间：，单调增区间：和.【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的单调性问题、不等式问题、方程的解等问题.21.（1）判断函数（，且）的奇偶性，并给出证明.（2）已知，求的最大值，以及取得最大值时的值.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2），此时.【解析】【分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再根据定义可判断函数为奇函数.（2）利用基本不等式可求函数的最大值以及何时取最大值.【详解】（1）证明：定义域为，它关于原点对称.，函数是奇函数.（2），，由基本不等式可以得到，，当且仅当时等号成立，故，此时.【点睛】函数奇偶性判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.求函数的最值，可利用函数的单调性，也可以利用基本不等式，后者需遵循“一正二定三相等”.。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_56
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知，，则（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，再利用向量的模的公式求解.【详解】由题得=（0,4）所以．故选C【点睛】本题主要考查向量的坐标的求法和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式以及特殊角所对应的三角函数值计算即可.【详解】【点睛】本题主要考查诱导公式，以及特殊角所对应的三角函数值，只需熟记公式即可解题，属于基础题型.3.已知幂函数过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设幂函数，∵过点，∴，∴，故选B.4.已知角的终边经过点，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由三角函数的定义求值．【详解】解：∵角的终边经过点，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．5.下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，，故函数为偶函数.对于C 选项，，故为奇函数.对于D选项，正切函数是奇函数，排除A,C,D三个选项，则B选项符合题意.对于B选项由，解得，定义域不关于原点对称，即不是奇函数也不是偶函数.故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的定义以及函数奇偶性的判断，属于基础题.6.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.7.函数的零点所在区间A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】通过计算的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案．【详解】由题意，可得函数在定义域上为增函数，，，所以，根据零点存在性定理，的零点所在区间为故选B．【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准确计算的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．8.函数的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．【详解】函数是奇函数，排除选项A，C；当时，，对应点在x轴下方，排除B；故选D．【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．9.已知函数，不等式的解集是A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分类讨论x的符号，根据函数的解析式可得函数的单调性和奇偶性，列出不等式，求得x的范围．【详解】由题意，函数满足，故为偶函数．当时，单调递增，当时，单调递减，故由不等式，故有，即，求得，故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和初等函数的单调性，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档题．10.若，则有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过构造函数，利用函数单调性结合条件可得，从而得，即可得解.【详解】由得，而是上的增函数.原不等式即，得，即.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，用到了构造函数的思想，属于基础题.二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）11.若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（）A. 当时，B.C. 当时，D. 当时，【答案】ABD【解析】【分析】取解一元二次方程可判断A，由根的判别式可判断B，由函数的图象可判断C、D．【详解】解：当时，，∴，故A对；方程化为，由方程有两个不等实根得，∴，故B 对；当时，画出函数和函数的图象如图，由得，函数和函数的交点横坐标分别为，由图可知，，故C错，D对；故选：ABD．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法以及二次函数的零点与方程的根之间的关系，属于基础题．12.已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法正确的是（）A. 函数是偶函数B. 10是函数的一个周期C. 对任意的，都有D. 函数的图象关于直线对称【答案】BCD【解析】【分析】采用排除法，先根据已知推出函数为奇函数，可判断A；根据是偶函数及推出，可判断B；再根据已知条件求出、，可判断C；求出，说明的图象关于直线对称，可判断D．【详解】解：∵函数是偶函数，且，∴，∴，即，∴10是函数的一个周期，B对；又∵是偶函数，且，∴，∴函数是奇函数，A错；∵，，又，∴，故C对；∵是偶函数，且，∴，，∴，又，∴，∴函数的图象关于直线对称，D对；故选：BCD．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性的判断，属于中档题．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_52
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页,22题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷,草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再结合即可求得.【详解】解：因为，所以,又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.2.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( ) A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.【详解】解：由,得,即,故,得四边形ABCD是平行四边形，故选：D.【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则,即函数的最小正周期是，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.4.函数零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.【详解】解：由，有，即是偶函数，则的图像关于轴对称，结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.6.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.7.设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.【详解】解：因为,,,所以.故选：B.【点睛】本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数,则( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】【分析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.【详解】解：由函数是定义在上的奇函数,则其定义域关于原点对称且，得,所以,即,则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可【详解】若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；故选：D【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，根据E，F，M 三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数则______.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.已知角的终边经过点,则____________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的定义求解即可.【详解】解：因为，则,所以,故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.15.已知为第三象限角,则____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.【详解】解：，又为第三象限角,则，故原式，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满足,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.【详解】解:（1）由角的终边经过点,可知,则.（2）由已知有，所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.19.已知函数（且）.（1）判断并证明奇偶性;（2）求使的的取值范围.【答案】（1）奇函数,证明见解析（2）当时,;当时,【解析】分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.【详解】解:（1）由,得,解得,即函数的定义域为,显然关于原点对称.又,所以是定义域上的奇函数.（2）由,得,即,当时,不等式等价于,解得,当时,不等式等价于,解得,综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1）（2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,,所以当时,,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,,整理得,,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.21.已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是锐角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可；（2）由B是锐角，结合求解即可.【详解】解:（1）设的最小正周期为T,∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,,,,,,∴.图象的一条对称轴是,,.,.又∵的最大值是2,∴,从而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题.22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页,22题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷,草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再结合即可求得.【详解】解：因为，所以,又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.2.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( )A. 等腰梯形B. 正方形C. 菱形D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.【详解】解：由,得,即,故,得四边形ABCD是平行四边形，故选：D.【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则,即函数的最小正周期是，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.4.函数零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.【详解】解：由，有，即是偶函数，则的图像关于轴对称，结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.6.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.7.设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.【详解】解：因为,,,所以.故选：B.【点睛】本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数,则( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】【分析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.【详解】解：由函数是定义在上的奇函数,则其定义域关于原点对称且，得,所以,即,则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可【详解】若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；故选：D【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，根据E，F，M三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数则______.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.已知角的终边经过点,则____________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的定义求解即可.【详解】解：因为，则,所以,故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.15.已知为第三象限角,则____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.【详解】解：，又为第三象限角,则，故原式，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满足,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.【详解】解:（1）由角的终边经过点,可知,则.（2）由已知有，所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.19.已知函数（且）.（1）判断并证明奇偶性;（2）求使的的取值范围.【答案】（1）奇函数,证明见解析（2）当时,;当时,【解析】分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.【详解】解:（1）由,得,解得,即函数的定义域为,显然关于原点对称.又,所以是定义域上的奇函数.（2）由,得,即,当时,不等式等价于,解得,当时,不等式等价于,解得,综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1）（2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,,所以当时,,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,,整理得,,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.21.已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是锐角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可；（2）由B是锐角，结合求解即可.【详解】解:（1）设的最小正周期为T,∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,,,,,,∴.图象的一条对称轴是,,.,.又∵的最大值是2,∴,从而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题. 22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_5
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题共40分）一：选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，那么集合等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合B，根据并集运算求解即可.【详解】因为，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于容易题.2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.8【答案】C【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式能求出不用现金支付的概率【详解】某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，∴不用现金支付的概率为：p=1-0.15-0.35=0.5．故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题.3.中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）A. 30B. 70C. 80D. 100【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的特点，在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学抽取的占比等于总体中的占比，即可求解.【详解】因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽同学有，所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取人，故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样，总体、样本的概念，属于容易题.4.从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正品为，次品为，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可.【详解】设正品为，次品为,任取两件所有的基本事件为，，共3个基本事件，其中恰有1件次品的基本事件为，，共2个，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.5.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要使函数有意义，只需满足分母不为零，被开方数不为负数即可.【详解】因为，所以，解得且，所以函数定义域为，故选：D【点睛】本题主要考查了有函数解析式的定义域的求法，属于容易题.6.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【详解】A中为奇函数，故排除A；B中的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减；C中，既不是奇函数也不是偶函数，故排除C；D中为偶函数，在x∈(0,+∞)时，函数为，函数单调递增，故排除D.故选：B．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性、单调性，属于容易题.7.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数图像特征，属于基础题.8.池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）A. 第天B. 第天C. 第天D. 第天【答案】D【解析】【分析】由题意，每天可增加原来的一倍，第30天时，刚好被浮萍盖满，所以第29天覆盖一半.【详解】因为每天增加一倍，且第30天时，刚好被浮萍盖满，所以可知，第29天时，刚好覆盖池塘的一半.故选：D.【点睛】本题主要考查了在实际问题中的数学应用，从后往前推是解决问题的关键，属于容易题.9.已知向量，，那么“”是“//”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质，及向量的坐标运算即可分析答案.【详解】当时，，，所以，所以//，当//时，因为，，所以，解得，所以“”是“//”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，向量共线的性质，向量的坐标运算，属于中档题.10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则有以下四种说法：甲乙①甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数；②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数；③甲成绩的方差小于乙成绩的方差；④甲成绩的极差小于乙成绩的极差．其中正确命题的个数是（）（注：，其中为数据的平均数）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意先求出甲、乙成绩的平均数；再根据方差公式求出甲、乙的方差，计算甲、乙的中位数，计算甲、乙的极差，即可得出答案．【详解】甲五次成绩平均数为：（4+5+6+7+8）÷5=6，乙五次成绩的平均数为：（5+5+5+6+9）÷5=5，所以①错误；因为，，所以③正确；因为甲的中位数是6，乙的中位数是5，所以②错误；因为甲的极差为8-4=4，乙的极差为9-5=4，所以④错误，综上知，正确的只有③，故选：A.【点睛】本题主要考查了极差，方差，平均数，中位数，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11.在平行四边形中，已知向量，，则__．【答案】【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，利用向量的坐标运算即可.【详解】因为在平行四边形中，所以，又因为，，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量的坐标运算，属于容易题.12.已知函数是指数函数，如果，那么__（请在横线上填写“”，“”或“”）【答案】>【解析】【分析】由题意设，根据求出解析式，即可比较，的大小.【详解】因为函数是指数函数，设，则，解得或（舍去）所以，是增函数，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，待定系数法求解析式，属于容易题.13.已知，且，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】由，为定值，运用均值不等式求的最大值即可.【详解】,,,当且仅当时，等号成立，即，而，当且仅当时，等号成立，故的最大值为2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.14.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时，，所以函数图象关于轴对称，作出函数的图象：若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，由图象可知：时，即有4个交点.故m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）说法不正确；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：（Ⅱ）不正确，理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确．考点：概率统计【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．【此处有视频，请去附件查看】17.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成五组，得到频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．【答案】（Ⅰ）40人（Ⅱ）0.4（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数（Ⅱ）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率（Ⅲ）记事件：第名男生成绩优秀，其中.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为，根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件和的概率公式求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意可知,解得. 所以此次测试总人数为.故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件.由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为,则估计.（Ⅲ）记事件：第名男生成绩优秀，其中.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为，因为相互独立，相互独立，所以，，又因为互斥，所以.所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了互斥事件和的概率，独立事件同时发生的概率，属于中档题.18.已知函数．（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为【解析】【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；（2）由函数的单调性即可得函数最值.试题解析：（1）解：在区间上是增函数.证明如下：任取，且，.∵，∴，即.∴函数在区间上是增函数.（2）由（1）知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为.点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；（4）下结论.19.已知函数（，且）．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）判断函数奇偶性；（Ⅲ）解关于x的不等式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）奇函数. （Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据对数的真数为正可求出函数定义域（Ⅱ）由定义域的对称性及的关系可判断函数奇偶性（Ⅲ）分，两种情况讨论，利用单调性求不等式的解.【详解】（Ⅰ）要是函数有意义，则解得，故函数的定义域为.（Ⅱ），所以函数为奇函数.（Ⅲ），所以，不等式可化为.当时，，解得；当时，，解得或.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，对数函数的单调性，分类讨论，属于中档题.20.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，，即，解得或，∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当时，；当时，；∴；当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题共40分）一：选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，那么集合等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合B，根据并集运算求解即可.【详解】因为，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于容易题.2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.8【答案】C【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式能求出不用现金支付的概率【详解】某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，∴不用现金支付的概率为：p=1-0.15-0.35=0.5．故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题.3.中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（）A. 30B. 70C. 80D. 100【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的特点，在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学抽取的占比等于总体中的占比，即可求解.【详解】因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽同学有，所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取人，故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样，总体、样本的概念，属于容易题.4.从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正品为，次品为，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可.【详解】设正品为，次品为,任取两件所有的基本事件为，，共3个基本事件，其中恰有1件次品的基本事件为，，共2个，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.5.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要使函数有意义，只需满足分母不为零，被开方数不为负数即可.【详解】因为，所以，解得且，所以函数定义域为，故选：D【点睛】本题主要考查了有函数解析式的定义域的求法，属于容易题.6.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【详解】A中为奇函数，故排除A；B中的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减；C中，既不是奇函数也不是偶函数，故排除C；D中为偶函数，在x∈(0,+∞)时，函数为，函数单调递增，故排除D.故选：B．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性、单调性，属于容易题.7.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数图像特征，属于基础题.8.池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（）A. 第天B. 第天C. 第天D. 第天【答案】D【解析】【分析】由题意，每天可增加原来的一倍，第30天时，刚好被浮萍盖满，所以第29天覆盖一半.【详解】因为每天增加一倍，且第30天时，刚好被浮萍盖满，所以可知，第29天时，刚好覆盖池塘的一半.故选：D.【点睛】本题主要考查了在实际问题中的数学应用，从后往前推是解决问题的关键，属于容易题.9.已知向量，，那么“”是“//”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质，及向量的坐标运算即可分析答案.【详解】当时，，，所以，所以//，当//时，因为，，所以，解得，所以“”是“//”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，向量共线的性质，向量的坐标运算，属于中档题.10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则有以下四种说法：甲乙①甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数；②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数；③甲成绩的方差小于乙成绩的方差；④甲成绩的极差小于乙成绩的极差．其中正确命题的个数是（）（注：，其中为数据的平均数）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意先求出甲、乙成绩的平均数；再根据方差公式求出甲、乙的方差，计算甲、乙的中位数，计算甲、乙的极差，即可得出答案．【详解】甲五次成绩平均数为：（4+5+6+7+8）÷5=6，乙五次成绩的平均数为：（5+5+5+6+9）÷5=5，所以①错误；因为，，所以③正确；因为甲的中位数是6，乙的中位数是5，所以②错误；因为甲的极差为8-4=4，乙的极差为9-5=4，所以④错误，综上知，正确的只有③，故选：A.【点睛】本题主要考查了极差，方差，平均数，中位数，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11.在平行四边形中，已知向量，，则__．【答案】【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，利用向量的坐标运算即可.【详解】因为在平行四边形中，所以，又因为，，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量的坐标运算，属于容易题. 12.已知函数是指数函数，如果，那么__（请在横线上填写“”，“”或“”）【答案】>【解析】【分析】由题意设，根据求出解析式，即可比较，的大小.【详解】因为函数是指数函数，设，则，解得或（舍去）所以，是增函数，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，待定系数法求解析式，属于容易题.13.已知，且，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】由，为定值，运用均值不等式求的最大值即可.【详解】,,,当且仅当时，等号成立，即，而，当且仅当时，等号成立，故的最大值为2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.14.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时，，所以函数图象关于轴对称，作出函数的图象：若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，由图象可知：时，即有4个交点.故m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）说法不正确；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：（Ⅱ）不正确，理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确．考点：概率统计【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．【此处有视频，请去附件查看】17.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成五组，得到频率分布直方图如图所示．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_6
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第Ⅰ卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.2.（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：.故选：D【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.3.（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】处理即可得解.【详解】由题：.故选：A【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数，则.故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.5.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角的终边经过点，则.故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.6.若函数，则的最小正周期是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法，即可得解.详解】函数，则的最小正周期.故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.7.已知是偶函数,且在区间上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增,从而可得，解不等式即可.【详解】解析:由是偶函数且在上单调递减,知在上单调递增,则满足的实数x的取值范围为解得.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.8.为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度【答案】D【分析】根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为即可得解.【详解】由题：把函数平移得到即，只需将函数图象上的所有点向左平行移动个单位长度.故选：D【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.9.若，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【解析】【分析】对所求代数式变形，分子分母同时除以即可得解.【详解】由题：，故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以求解.10.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.【详解】指数函数单调递减，，即，所以，所以指数函数是减函数，，，考虑幂函数在单调递增，，即，综上所述：.故选：C【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因为，所以，则，当时，；故选D.点睛：求形如或的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令或，则，但要注意的取值范围.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数的图像经过，则= ________．【答案】【解析】试题分析：设，则有，所以，=9考点：幂函数点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．14.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.15.若偶函数对任意都有，且当时，，则______.【答案】【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算.【详解】由题：任意都有，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.16.下面有四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则当时，；②终边落在坐标轴上的角的集合是；③若函数，则对于任意恒成立；④函数在区间上是减函数.其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）【答案】①②【解析】【分析】①当时，，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例；④函数在区间上是增函数.【详解】①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在单调递增，则当时，所以，所以①正确；②终边落在坐标轴上的角的集合是，所以②正确；③若函数，可得，不相等，所以③说法错误；④函数在单调递增，函数向右平移得到在区间上增函数，所以④错误.故答案为：①②【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值.【答案】（1）（2）或55【解析】【分析】（1）解不等式，其解集就是定义域；（2）解方程即可得解.【详解】（1）函数的自变量应满足：，即，所以函数的定义域是.（2）因为，所以，化简得，，所以或55.【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.18.（1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；（2）结合诱导公式即可化简.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】此题考查指数对数基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点.【答案】（1）（2）零点是-1，0，1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，则，，即可得到解析式；（2）分段解方程即可得到函数的零点.【详解】解：（1）设，则，所以，因为为奇函数，所以，所以，故的解析式为.（2）由，得或，解得或或，所以的零点是-1，0，1.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.20.已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1【解析】【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，所以，所以，所以.所以函数的解析式是.（2）因为，讨论函数的增区间：令，得，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.因为，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.21.已知变量，满足关系式（且，，且），变量，满足关系式.（1）求关于的函数表达式；（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，结合，利用对数的运算法则，变形得到；（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数的取值范围.【详解】解：（1）由得，由知，代入上式得，所以，所以.（2）令，则.因为函数在上是增函数，则或，解得或，故实数的取值范围是.【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.求证：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明函数单调性.【详解】证明：任取，且，则.因为，，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取，且，通过作差法比较函数值的大小.23.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求解，，得出解集即函数定义域；（2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.【详解】解：（1）函数的自变量应满足，，即，.所以，函数的定义域是.（2）由，，解得，.因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间.【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第Ⅰ卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.2.（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：.故选：D【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.3.（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】处理即可得解.【详解】由题：.故选：A【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数，则.故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.5.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角的终边经过点，则.故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.6.若函数，则的最小正周期是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法，即可得解.详解】函数，则的最小正周期.故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.7.已知是偶函数,且在区间上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增,从而可得，解不等式即可.【详解】解析:由是偶函数且在上单调递减,知在上单调递增,则满足的实数x的取值范围为解得.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.8.为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为即可得解.【详解】由题：把函数平移得到即，只需将函数图象上的所有点向左平行移动个单位长度.故选：D【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.9.若，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【解析】【分析】对所求代数式变形，分子分母同时除以即可得解.【详解】由题：，故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以求解.10.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.【详解】指数函数单调递减，，即，所以，所以指数函数是减函数，，，考虑幂函数在单调递增，，即，综上所述：.故选：C【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因为，所以，则，当时，；故选D.点睛：求形如或的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令或，则，但要注意的取值范围.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数的图像经过，则= ________．【答案】【解析】试题分析：设，则有，所以，=9考点：幂函数点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．14.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.15.若偶函数对任意都有，且当时，，则______.【答案】【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算.【详解】由题：任意都有，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.16.下面有四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则当时，；②终边落在坐标轴上的角的集合是；③若函数，则对于任意恒成立；④函数在区间上是减函数.其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）【答案】①②【解析】【分析】①当时，，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例；④函数在区间上是增函数.【详解】①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在单调递增，则当时，所以，所以①正确；②终边落在坐标轴上的角的集合是，所以②正确；③若函数，可得，不相等，所以③说法错误；④函数在单调递增，函数向右平移得到在区间上增函数，所以④错误.故答案为：①②【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值.【答案】（1）（2）或55【解析】【分析】（1）解不等式，其解集就是定义域；（2）解方程即可得解.【详解】（1）函数的自变量应满足：，即，所以函数的定义域是.（2）因为，所以，化简得，，所以或55.【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.18.（1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；（2）结合诱导公式即可化简.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】此题考查指数对数基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点.【答案】（1）（2）零点是-1，0，1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，则，，即可得到解析式；（2）分段解方程即可得到函数的零点.【详解】解：（1）设，则，所以，因为为奇函数，所以，所以，故的解析式为.（2）由，得或，解得或或，所以的零点是-1，0，1.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.20.已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1【解析】【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，所以，所以，所以.所以函数的解析式是.（2）因为，讨论函数的增区间：令，得，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.因为，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.21.已知变量，满足关系式（且，，且），变量，满足关系式.（1）求关于的函数表达式；（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，结合，利用对数的运算法则，变形得到；（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数的取值范围.【详解】解：（1）由得，由知，代入上式得，所以，所以.（2）令，则.因为函数在上是增函数，则或，解得或，故实数的取值范围是.【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.求证：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明函数单调性.【详解】证明：任取，且，则.因为，，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取，且，通过作差法比较函数值的大小.23.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求解，，得出解集即函数定义域；（2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.【详解】解：（1）函数的自变量应满足，，即，.所以，函数的定义域是.（2）由，，解得，.因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间.【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_41
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）考生注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.考试结束时，务必将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知全集，集合，集合，则=（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据交集、补集的定义计算可得.【详解】解: ,故选:【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知，=（，6），且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行有公式，代入数据得到答案.【详解】，=（，6），且则即故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3.设函数，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】【分析】直接根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题.4.已知角的终边过点，，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值．【详解】解：由题意可得，，，，解得，故选：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.函数的图象大致为A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.故答案为D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.6.设函数与函数的图象交点坐标为，则所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，判断函数的零点在哪个区间即可．【详解】解：根据题意，设，则，即函数存在零点，即函数与函数图象的交点横坐标所在的区间为．故选：．【点睛】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，属于基础题．7.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先和0比较，得到c最小；再与1比较，得到b最大．故选A．考点：指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小．8.已知，那么=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据同角三角函的基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.9.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，因为M是线段AD的中点，所以：，又，所以，，所以.本题选择D选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10.若函数的定义域、值域都是则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数的对称轴为，结合题意和二次函数的性质可得：，即：，整理可得：，解方程有：或(舍去)，综上可得本题选择A选项11.函数，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与的图形沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的解析式，选出正确选项【详解】解：由题意曲线与的图象沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的图形，故的图形沿轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选：．【点睛】本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量的系数不是的情况，平移时要注意平移的大小是针对于系数是来说的，属于中档题．12.黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间上，其基本定义是：，若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求．【详解】解：由题意可知，，故即函数的周期，当时，，则，．故选：．【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变量利用周期转化到已知区间上，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为____________.【答案】【解析】【分析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解的取值集合得答案．【详解】解：解得且，即故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．14.已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为_____________.【答案】【解析】【分析】设，再根据得到方程组，解得.【详解】解：设，解得故，则在基底下的坐标为.故答案为：【点睛】本题考查向量的基底表示，向量相等的充要条件，属于基础题.15.已知为第三象限角且，则的值为______________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再用二倍角公式及平方关系化简求值.【详解】解：且为第三象限角解得（舍去）或故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题.16.函数的零点个数为_______________.【答案】【解析】【分析】函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.【详解】解：函数的零点，即方程的解，令，也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（1）计算（2）化简【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得；（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得.【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查指数对数的运算，诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由图可知即可求出，再根据函数的最小正周期求出，又函数过点，代入即可求出从而得到函数解析式；（2）由的取值范围求出的范围，再由余弦函数的性质解答.【详解】解：（1）由图可知，解得解得又函数过点即，解得，，（2）【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.19.已知集合，函数在区间内有解时，实数a的取值范围记为集合B.（1）若，求集合B及；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据函数在区间内有解时求出参数的取值范围即得到集合，当时带入求出集合，再根据并集的定义计算；（2）可判断集合不为空集，再由集合包含关系得到不等式组解得.【详解】解：函数在区间内有解时，即在区间内有解，因为函数在区间上单调递增，且，则即（1）当时，，（2）因为所以若，解得当时，不符题意，舍去故【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知，，与的夹角是.（1）求；（2）当与的夹角为钝角时，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再根据代入计算可得；（2）依题意可得且，得到不等式解得；【详解】（1），，与的夹角是.（2）与的夹角为钝角且即，即解得解得综上可得【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.21.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：，）【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.【解析】【分析】（1）设增长率为，依题意可得解得；（2）设已经植树造林年，则解得；（3）设至少还需要年，则解得.【详解】解：（1）设增长率为，依题意可得所以即，解得（2）设已经植树造林年，则即解得，故已经植树造林年.（3）设至少还需要年，则即即解得故至少还需要年【点睛】本题考查指数型函数模型应用，指数对数的运算，属于基础题.22.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足：.（1）求，并证明：；（2）当时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据奇偶性构造方程组求出与的解析式，再计算可得；（2）由题意可得，令，则对上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围.【详解】解：（1）因为偶函数和奇函数满足：①.则即②①加②得，从而可得（2）即令，且函数在定义域上单调递增，，对上恒成立，即对上恒成立，令，则当且仅当即时取等号即【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）考生注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.考试结束时，务必将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知全集，集合，集合，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义计算可得.【详解】解: ,故选:【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知，=（，6），且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行有公式，代入数据得到答案.【详解】，=（，6），且则即故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3.设函数，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】直接根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题.4.已知角的终边过点，，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值．【详解】解：由题意可得，，，，解得，故选：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.函数的图象大致为A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.故答案为D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.6.设函数与函数的图象交点坐标为，则所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，判断函数的零点在哪个区间即可．【详解】解：根据题意，设，则，即函数存在零点，即函数与函数图象的交点横坐标所在的区间为．故选：．【点睛】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，属于基础题．7.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先和0比较，得到c最小；再与1比较，得到b最大．故选A．考点：指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小．8.已知，那么=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据同角三角函的基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.9.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，因为M是线段AD的中点，所以：，又，所以，，所以.本题选择D选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10.若函数的定义域、值域都是则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数的对称轴为，结合题意和二次函数的性质可得：，即：，整理可得：，解方程有：或(舍去)，综上可得本题选择A选项11.函数，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与的图形沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的解析式，选出正确选项【详解】解：由题意曲线与的图象沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的图形，故的图形沿轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选：．【点睛】本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量的系数不是的情况，平移时要注意平移的大小是针对于系数是来说的，属于中档题．12.黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间上，其基本定义是：，若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求．【详解】解：由题意可知，，故即函数的周期，当时，，则，．故选：．【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变量利用周期转化到已知区间上，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为____________.【答案】【解析】【分析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解的取值集合得答案．【详解】解：解得且，即故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．14.已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为_____________.【答案】【解析】【分析】设，再根据得到方程组，解得.【详解】解：设，解得故，则在基底下的坐标为.故答案为：【点睛】本题考查向量的基底表示，向量相等的充要条件，属于基础题.15.已知为第三象限角且，则的值为______________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再用二倍角公式及平方关系化简求值.【详解】解：且为第三象限角解得（舍去）或故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题.16.函数的零点个数为_______________.【答案】【解析】【分析】函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.【详解】解：函数的零点，即方程的解，令，也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（1）计算（2）化简【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得；（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得.【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查指数对数的运算，诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由图可知即可求出，再根据函数的最小正周期求出，又函数过点，代入即可求出从而得到函数解析式；（2）由的取值范围求出的范围，再由余弦函数的性质解答.【详解】解：（1）由图可知，解得解得又函数过点即，解得，，（2）【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.19.已知集合，函数在区间内有解时，实数a 的取值范围记为集合B.（1）若，求集合B及；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据函数在区间内有解时求出参数的取值范围即得到集合，当时带入求出集合，再根据并集的定义计算；（2）可判断集合不为空集，再由集合包含关系得到不等式组解得.【详解】解：函数在区间内有解时，即在区间内有解，因为函数在区间上单调递增，且，则即（1）当时，，（2）因为所以若，解得当时，不符题意，舍去故【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知，，与的夹角是.（1）求；（2）当与的夹角为钝角时，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再根据代入计算可得；（2）依题意可得且，得到不等式解得；【详解】（1），，与的夹角是.（2）与的夹角为钝角且即，即解得解得综上可得【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.21.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：，）【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.【解析】【分析】（1）设增长率为，依题意可得解得；（2）设已经植树造林年，则解得；（3）设至少还需要年，则解得.【详解】解：（1）设增长率为，依题意可得所以即，解得（2）设已经植树造林年，则即解得，故已经植树造林年.（3）设至少还需要年，则即即解得故至少还需要年【点睛】本题考查指数型函数模型应用，指数对数的运算，属于基础题.22.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足：.（1）求，并证明：；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据奇偶性构造方程组求出与的解析式，再计算可得；（2）由题意可得，令，则对上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围.【详解】解：（1）因为偶函数和奇函数满足：①.则即②①加②得，从而可得（2）即令，且函数在定义域上单调递增，，对上恒成立，即对上恒成立，令，则当且仅当即时取等号即【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题.。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_39
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，，,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定集合U再利用交集与补集运算即可【详解】，则=故选:C【点睛】本题考查集合的运算，准确确定集合U是关键，是基础题2.=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】因为,所以，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. yB. y＝3x﹣3﹣xC. y＝tanxD. y【答案】B【解析】【分析】对选项逐一分析函数定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.对于B选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.对于C选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.对于D选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.综上所述，符合题意的是B选项.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.4.设x∈R，向量（x，1），（1，2），若⊥，则＝（）A. B. C. 3 D. 2【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，求得的值，由此求得【详解】由于⊥，所以，解得，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量加法、模的坐标运算，属于基础题.5.下列各式中成立的是（）A. log76＜log67B. log0.44＜log0.46C. 1.013.4＞1.013.5D. 3.50.3＜3.40.3【答案】A【解析】【分析】根据对数函数、指数函数和幂函数的性质，判断出正确选项.【详解】对于A选项，根据对数函数的性质可知，故A选项正确.对于B选项，由于在上递减，所以，故B选项错误.对于C选项，由于在上递增，所以，故C选项错误.对于D选项，由于在上递增，所以，故D选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查根据对数函数、指数函数、幂函数的性质比较大小，属于基础题.6.若x0＝cosx0，则（）A. x0∈（，）B. x0∈（，）C. x0∈（，）D. x0∈（0，）【答案】C【解析】【分析】画出的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数，利用零点存在性定理，判断出零点所在的区间【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数，，，根据零点存在性定理可知，的唯一零点在区间.故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7.函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.8.sin1，cos1，tan1的大小关系为（）A. sin1＞cos1＞tan 1B. cos1＞sin1＞tanlC. tan1＞sin1＞cos1D. sinl＞tanl＞cosl【答案】C【解析】【分析】根据的大小，判断出的大小关系.【详解】由于，所以，所以C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数值比较大小，属于基础题.9.设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【详解】当时，的可变形为，，．当时，的可变形为，，故答案为．故选D．【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．10.若函数y＝f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y sinx的图象；则函数y＝f（x）的解析式是（）A. y sin（）B. y sin（）C. y sin（2x）D. y sin（2x）【答案】D【解析】【分析】将图像变换反过来，由变换为，由此确定正确选项.【详解】依题意，由向右移个单位，得到，再纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，得到.故选：D【点睛】本小题主要考查求三角函数图像变换前的解析式，属于基础题.11.给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα＝1；②函数y＝sin（x）是偶函数：③直线x是函数y＝sin（2x）的一条对称轴：④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确的命题是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②③④【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和三角函数的值域，判断①的正确性；利用诱导公式及三角函数的奇偶性判断②的正确性；将代入，根据结果判断③的正确性；根据特殊角的三角函数值，判断④的周期性.【详解】对于①，由于，所以①错误.对于②，由于，所以函数为偶函数，所以②正确.对于③，将代入得，所以是的一条对称轴，所以③正确.对于④，例如为第一象限角，则，即，所以④错误.故正确的为②③.故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.12.关于函数f（x）（x∈R），有下述四个结论：①任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）＝0恒成立；②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；③存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|＝m有两个不等实数根；④存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）＝f（x）﹣kx在R上有三个零点．其中包含了所有正确结论编号的选项为（）A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断①的正确性，根据函数的单调性判断②的正确性，根据的图像判断③的正确性，根据与的图像判断④的正确性.【详解】函数的定义域为，且，所以，即函数为奇函数，故①正确.为上的奇函数，，当时，为增函数，所以在上是增函数，所以②正确.是上的奇函数、增函数，且当时，.则为偶函数，且当时，，递增；当时，；当时，递减.由此画出的图像如下图所示，由图可知，当是，与有两个不同的交点，所以③正确.画出与的图像如下图所示，由图可知，当时，两个函数图像没有三个交点，所以④正确.证明如下：当时，，，，所以于的图像相切.当时，，，，所以于的图像相切.结合图像可知与的图像只有一个公共点，当时，与的图像也只有一个公共点.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y的定义域为_____．【答案】（1，2）．【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根被开发数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 14.已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为_____．【答案】．【解析】【分析】根据两个向量垂直的表示列方程，结合向量数量积的运算公式，化简求得与的夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.【详解】由于（）⊥，所以，即，，，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.15.已知sin2α，则tanα＝_____．【答案】或．【解析】【分析】利用“”的代换的方法，化简求得的值.【详解】依题意，化简得，即，，解得或.故答案为：或【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，则k的取值范围是_____；②若f（x）的值域为R，则k的取值范围是_____．【答案】 (1). [0，） (2). k【解析】【分析】（1）根据的定义域为，对分成三种情况分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.（2）当值域为时，由求得取值范围.【详解】函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，可得kx2+4kx+3＞0恒成立，当k＝0时，3＞0恒成立；当k＞0，△＜0，即16k2﹣12k＜0，解得0＜k；当k＜0不等式不恒成立，综上可得k的范围是[0，）；②若f（x）值域为R，可得y＝kx2+4kx+3取得一切正数，则k＞0，△≥0，即16k2﹣12k≥0，解得k．故答案为：(1). [0，） (2). k【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的定义和值域求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知f（α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α），且α为第三象限角，求cos（α）的值．【答案】（1）f（α），（2）．【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简表达式.（2）由，求得的值，进而求得的值，再由两角和的余弦公式，求得的值.【详解】（1）f（α），（2）由f（α），又已知α为第三象限角，所以sinα＜0，所以sinα，所以cos（α）＝cosαcos sinαsin．【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题. 18.已知函数是指数函数．(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明(3)解不等式：．【答案】（1）（2）见证明；（3）【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.(2) ，判断关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函数；（3）不等式：，以2为底单调递增，即，∴，解集为．【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的坐标关系，得到，再代入即可求值.（2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简，得到，根据，求出的值域.【详解】（1）若，则，∴.∴.（2），∵，∴，∴，∴，∴的值域为．【点睛】本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题.20.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）【答案】（1）；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【解析】【分析】（1）利润收益成本，由已知分两段当时，和当时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【详解】解：（1）月产量为台，则总成本为元，从而．（2）由（1）可知，当时，，当时，；当时，是减函数，，当时，，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润25000元．【点睛】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．21.已知函数f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0．（1）若f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若f（x）在（0，]上是增函数，求ω的最大值．【答案】（1）ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）最大值为．【解析】【分析】（1）先求得的表达式，根据的最小正周期和奇偶性，求得的值，（2）先有，求得，由求得的最大值.【详解】（1）由f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0，∴f（x+θ）＝2sin（3ωx+3ωθ），∵f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，∴2π，∴ω，∵3ωθkπ，k∈Z，即θ＝kπ，k∈Z．综上可得，ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）（x）＝2sin（3ωx）在（0，]上是增函数，在（0，]上，3ωx∈（，ωπ]，∴ωπ，∴ω，即ω的最大值为．【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.22.设为实数，函数．（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）若，求函数的最小值；（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”．如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在，使得”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）是偶函数，在上恒成立，即，所以得（2）当时，所以在上的最小值为，在上的的最小值为f（）＝，因为＜5，所以函数的最小值为．（3）因为函数是区间上的平均值函数，所以存在，使而，存在，使得即关于的方程在内有解；由得解得所以即故的取值范围是考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，，,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定集合U再利用交集与补集运算即可【详解】，则=故选:C【点睛】本题考查集合的运算，准确确定集合U是关键，是基础题2.=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】因为,所以，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. yB. y＝3x﹣3﹣xC. y＝tanxD. y【答案】B【解析】【分析】对选项逐一分析函数定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.对于B选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.对于C选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.对于D选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.综上所述，符合题意的是B选项.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.4.设x∈R，向量（x，1），（1，2），若⊥，则＝（）A. B. C. 3 D. 2【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，求得的值，由此求得【详解】由于⊥，所以，解得，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量加法、模的坐标运算，属于基础题.5.下列各式中成立的是（）A. log76＜log67B. log0.44＜log0.46C. 1.013.4＞1.013.5D. 3.50.3＜3.40.3【答案】A【解析】【分析】根据对数函数、指数函数和幂函数的性质，判断出正确选项.【详解】对于A选项，根据对数函数的性质可知，故A选项正确.对于B选项，由于在上递减，所以，故B选项错误.对于C选项，由于在上递增，所以，故C选项错误.对于D选项，由于在上递增，所以，故D选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查根据对数函数、指数函数、幂函数的性质比较大小，属于基础题. 6.若x0＝cosx0，则（）A. x0∈（，）B. x0∈（，）C. x0∈（，）D. x0∈（0，）【答案】C【解析】【分析】画出的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数，利用零点存在性定理，判断出零点所在的区间【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数，，，根据零点存在性定理可知，的唯一零点在区间.故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7.函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.8.sin1，cos1，tan1的大小关系为（）A. sin1＞cos1＞tan 1B. cos1＞sin1＞tanlC. tan1＞sin1＞cos1D. sinl＞tanl＞cosl【答案】C【解析】【分析】根据的大小，判断出的大小关系.【详解】由于，所以，所以C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数值比较大小，属于基础题.9.设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【详解】当时，的可变形为，，．当时，的可变形为，，故答案为．故选D．【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．10.若函数y＝f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y sinx的图象；则函数y＝f（x）的解析式是（）A. y sin（）B. y sin（）C. y sin（2x）D. y sin（2x）【答案】D【解析】【分析】将图像变换反过来，由变换为，由此确定正确选项.【详解】依题意，由向右移个单位，得到，再纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，得到.故选：D【点睛】本小题主要考查求三角函数图像变换前的解析式，属于基础题.11.给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα＝1；②函数y＝sin（x）是偶函数：③直线x是函数y＝sin（2x）的一条对称轴：④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确的命题是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②③④【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和三角函数的值域，判断①的正确性；利用诱导公式及三角函数的奇偶性判断②的正确性；将代入，根据结果判断③的正确性；根据特殊角的三角函数值，判断④的周期性.【详解】对于①，由于，所以①错误.对于②，由于，所以函数为偶函数，所以②正确.对于③，将代入得，所以是的一条对称轴，所以③正确.对于④，例如为第一象限角，则，即，所以④错误.故正确的为②③.故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.12.关于函数f（x）（x∈R），有下述四个结论：①任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）＝0恒成立；②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；③存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|＝m有两个不等实数根；④存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）＝f（x）﹣kx在R上有三个零点．其中包含了所有正确结论编号的选项为（）A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断①的正确性，根据函数的单调性判断②的正确性，根据的图像判断③的正确性，根据与的图像判断④的正确性.【详解】函数的定义域为，且，所以，即函数为奇函数，故①正确.为上的奇函数，，当时，为增函数，所以在上是增函数，所以②正确.是上的奇函数、增函数，且当时，.则为偶函数，且当时，，递增；当时，；当时，递减.由此画出的图像如下图所示，由图可知，当是，与有两个不同的交点，所以③正确.画出与的图像如下图所示，由图可知，当时，两个函数图像没有三个交点，所以④正确.证明如下：当时，，，，所以于的图像相切.当时，，，，所以于的图像相切.结合图像可知与的图像只有一个公共点，当时，与的图像也只有一个公共点.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y的定义域为_____．【答案】（1，2）．【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根被开发数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.14.已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为_____．【答案】．【解析】【分析】根据两个向量垂直的表示列方程，结合向量数量积的运算公式，化简求得与的夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.【详解】由于（）⊥，所以，即，，，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.15.已知sin2α，则tanα＝_____．【答案】或．【解析】【分析】利用“”的代换的方法，化简求得的值.【详解】依题意，化简得，即，，解得或.故答案为：或【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，则k的取值范围是_____；②若f（x）的值域为R，则k的取值范围是_____．【答案】 (1). [0，） (2). k【解析】【分析】（1）根据的定义域为，对分成三种情况分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.（2）当值域为时，由求得取值范围.【详解】函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定义域为R，可得kx2+4kx+3＞0恒成立，当k＝0时，3＞0恒成立；当k＞0，△＜0，即16k2﹣12k＜0，解得0＜k；当k＜0不等式不恒成立，综上可得k的范围是[0，）；②若f（x）值域为R，可得y＝kx2+4kx+3取得一切正数，则k＞0，△≥0，即16k2﹣12k≥0，解得k．故答案为：(1). [0，） (2). k【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的定义和值域求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知f（α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α），且α为第三象限角，求cos（α）的值．【答案】（1）f（α），（2）．【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简表达式.（2）由，求得的值，进而求得的值，再由两角和的余弦公式，求得的值.【详解】（1）f（α），（2）由f（α），又已知α为第三象限角，所以sinα＜0，所以sinα，所以cos（α）＝cosαcos sinαsin．【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题.18.已知函数是指数函数．(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明(3)解不等式：．【答案】（1）（2）见证明；（3）【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.(2) ，判断关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函数；（3）不等式：，以2为底单调递增，即，∴，解集为．【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的坐标关系，得到，再代入即可求值.（2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简，得到，根据，求出的值域.【详解】（1）若，则，∴.∴.（2），∵，∴，∴，∴，∴的值域为．【点睛】本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题.20.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）【答案】（1）；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【解析】【分析】（1）利润收益成本，由已知分两段当时，和当时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【详解】解：（1）月产量为台，则总成本为元，从而．（2）由（1）可知，当时，，当时，；当时，是减函数，，当时，，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润25000元．【点睛】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．21.已知函数f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0．（1）若f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若f（x）在（0，]上是增函数，求ω的最大值．【答案】（1）ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）最大值为．【解析】【分析】（1）先求得的表达式，根据的最小正周期和奇偶性，求得的值，（2）先有，求得，由求得的最大值.【详解】（1）由f（x）＝2sin（3ωx），其中ω＞0，∴f（x+θ）＝2sin（3ωx+3ωθ），∵f（x+θ）是最小周期为2π的偶函数，∴2π，∴ω，∵3ωθkπ，k∈Z，即θ＝kπ，k∈Z．综上可得，ω，θ＝kπ，k∈Z．（2）（x）＝2sin（3ωx）在（0，]上是增函数，在（0，]上，3ωx∈（，ωπ]，∴ωπ，∴ω，即ω的最大值为．【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.22.设为实数，函数．（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）若，求函数的最小值；（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”．如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在，使得”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）是偶函数，在上恒成立，即，所以得（2）当时，所以在上的最小值为，在上的的最小值为f（）＝，因为＜5，所以函数的最小值为．（3）因为函数是区间上的平均值函数，所以存在，使而，存在，使得即关于的方程在内有解；由得解得所以即故的取值范围是考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。