人教a版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
人教版高中数学选修2～3 全册章节同步检测试题目录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3二项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2二项分布及其应用第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应用第3章练习 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式（ ） Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ二、填空题7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法．答案：33，2708．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．答案：1011．如图，从A →C ，有 种不同走法．答案：612．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．答案：34三、解答题13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =⨯=种．14．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =⨯⨯=种；（3）56644574N =⨯+⨯+⨯=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平面上的点，a b M ∈，． （1）()P a b ，可表示平面上多少个不同的点？（2）()，可表示多少个坐标轴上的点？P a b解：（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法也有6种，∴P点个数为N=6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x轴上（不含原点）有5个点；②y轴上（不含原点）有5个点；③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，∴共有N=5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题一、选择题1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ）A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种答案：Ａ3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种答案：Ａ4．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）A ．10种B ．52种 Ｃ．25种 Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的子集的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ二、填空题7．平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是 ．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．答案：2(1)n n-9．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生种不同的信息．答案：25610．椭圆221x ym n+=的焦点在y轴上，且{}{}123451234567m n∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：2011．已知集合{}123A，，，且A中至少有一个奇数，则满足条件的集合A分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题13．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，比3410大的四位数有多少个？解：本题可以从高位到低位进行分类．（1）千位数字比3大．（2）千位数字为3：①百位数字比4大；②百位数字为4：1°十位数字比1大；2°十位数字为1→个位数字比0大．所以比3410大的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜色旗子各(3)n n>面，任取其中三面，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗子中不允许有三面相同颜色的旗子，可以有多少种不同的信号？若所升旗子颜色各不相同，有多少种不同的信号？解：1N=3×3×3=27种；227324N=-=种；33216N=⨯⨯=种．15．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷一．选择题：1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（）（A）37种（B）1848种（C）3种（D）6种2．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（）（A）37种（B）1848种（C）3种（D）6种3．某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（）（A） 5 （B）7 （C）10 （D）124．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A）265个（B）232个（C）128个（D）24个5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A）265个（B）232个（C）128个（D）24个6．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）（A）43种（B）34种（C）4×3×2种（D）1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A）120种（B）1024种（C）625种（D）5种8．已知集合M={l，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）（A）18 （B）17 （C）16 （D）109．三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（）（A）25 （B）36 （C）26 （D）3710．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N 不同的走法共有（）（A）25 （B）15 （C）13 （D）10二．填空题：11．某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有种方法；买其中两种有种方法．12．大小不等的两个正方形玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有个．15．某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有种．三．解答题：D CB A16．现由某校高一年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加足球队，蓝球队、乒乓球队，每人限报其中一个运动队，不同的报名方法有几种？［探究与提高］1．甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、乙两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、 排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（ ）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（ ）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（ ） （A ）827n A - （B ）2734n n A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（ ） （A ）20个 （B ）19个 （C ）25个 （D ）30个7．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）96种8．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）（A ）6种 （B ）9种 （C ）18种 （D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）（A ）88A 种 （B ）48A 种 （C ）44A ·44A 种 （D ）44A 种10．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ） （A ）(4!)2种 （B ）4!·3!种 （C ）34A ·4!种 （D ）35A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（ ）（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种 二．填空题:：12．6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．13．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．14．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种．15．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法．三、解答题：17．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合 综合卷一、选择题：1．下列等式不正确的是（ ） （A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=-（C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（ ）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．方程2551616x x x CC --=的解共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有（ ）（A ）12种 （B ）34种 （C ）35种 （D ）340种8．平面上有7个点，除某三点在一直线上外，再无其它三点共线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线（ ）（A ）18条 （B ）19条 （C ）20条 （D ）21条9．在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查， 至少有两件一级品的抽法共有（ ）（A ）60种 （B ）81种 （C ）100种 （D ）126种10．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ） （A ）5种 （B ）6种 （C ）63种 （D ）64种 二．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有 种。
高中数学人教A版选修2-3习题 第2章 随机变量及其分布2.2.3 Word版含答案
选修第二章一、选择题．某射手射击次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标次的概率为( )．×．．××．－[答案][解析]由独立重复试验公式可知选．．在次独立重复试验中，事件发生的概率相同，若事件至少发生次的概率为，则事件在次试验中发生的概率为( )．．．．[答案][解析]事件在一次试验中发生的概率为，由题意得－(－)＝，所以－＝，＝，故答案选．．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒种子恰有粒发芽的概率是( ) ．．．．[答案][解析]＝＝.．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则(ξ＝)＝( )．×．×．×．×[答案]．在次独立重复试验中，随机事件恰好发生次的概率不大于其恰好发生次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是( )．[) ．(]．[) ．(][答案][解析]由条件知(ξ＝)≤(ξ＝)，∴(－)≤(－)，∴(－)≤，∴≥，又≤<，∴≤<.．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“局胜”，即以先赢局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为，则本次比赛甲获胜的概率是( )．．．．[答案][解析]甲获胜有两种情况，一是甲以获胜，此时＝＝；二是甲以获胜，此时＝·××＝，故甲获胜的概率＝＋＝.二、填空题．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示次抽取中出现次品的件数(< )；④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示次抽取中出现次品的件数．[答案]①③[解析]对于①，设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是的倍数”，()＝.而在次独立重复试验中事件恰好发生了次(＝、、、……、)的概率(ξ＝)＝××－，符合二项分布的定义，即有ξ～(，)．对于②，ξ的取值是、、、……、(ξ＝)＝×－(＝、、、……)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～.故应填①③.．有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是(<<)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为[答案]－(－)[解析]所有同学都不通过的概率为(－)，故至少有一位同学通过的概率为－(－).．如果～(，)，当＝且(＝)取得最大值时，＝[答案][解析]当＝时，(＝)＝·－＝·，显然当＝时，(＝)取得最大值．三、解答题．(·大连高二检测)某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取件产。
人教版高中数学选修2-3 模块综合检测卷及答案
数学·选修2－3(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数最接近的值是()A．1B．－0.5C．0D．0.5解析：因为r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越大；r的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关性越小．由图知x、y之间没有相关关系，所以r的绝对值最接近于0.故选C.答案：C2．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()49 8 9 8 5191 5 E (ξ)＝15，D (ξ)＝ 45，则 n 与 p 的值为(A ．60，B ．60，C ．50，D ．50， 解析：由 ξ～B (n ，p )，有E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝ ，所以 p ＝ ，n ＝60.故选 B.⎧⎛x －1⎫⎪6，x <0，⎩－ x ，x ≥0，则当 x >0 时，解析：当 x >0 时，f [f (x )]＝ － x ＋ － x ⎪6的展开式中，x ⎭ ⎝ xA ．C 210A 8B ．C 1A5 9C ．C 1A 5D ．C 1A 8解析：先排第 1 号瓶，从甲、乙以外的 8 种不同作物种子中选出1 种有 C 8种方法，再排其余各瓶，有 A 5种方法，故不同的放法共 C 8A 9有种．故选 C.答案：C3．(2013· 大庆模拟)设 ξ 是服从二项分布 B (n ，p )的随机变量，又4)3 13 14 44 445414答案：B4．(2013· 陕西卷)设函数f (x )＝⎨⎝ x ⎭f [f (x )]表达式的展开式中常数项为()A ．－20B ．20C ．－15D ．15⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎪6＝ ⎝ ⎭C 63 ⎝ x ⎭率都是 ，那么，4 个题中答对 2 个题的概率是 ()625 625 625 625常数项为 ⎛ 1 ⎫ ⎪3(－ x )3＝－20.故选 A.答案：A5．关于 x 的二项式(ax －2)n 的展开式中，二项式系数的和为 128，所有项系数的和为 1，则 a ＝()A ．1B ．－1C ．3D ．1 或 3解析：展开式的二项式系数为 2n ＝128，所以 n ＝7，设(ax －2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令 x ＝1，得展开式的所有项系数为 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a －2)7＝1，所以 a ＝3.故选 C.答案：C6．一份数学单元试卷中有 4 个填空题，某同学答对每个题的概45A. 16 96 192 256B.C.D.答案：B7．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据见下表：秃发不秃心脏病205无心脏病30045077－ 根据表中数据得到 k ＝≈15.968，因为平考试中，取得 A 等级的概率分别为 、 、 ，且三门课程的成绩是A. B. C. D ．1发[来源:]225×750×320×455K 2≥10.828，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为()A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.001答案：D8．(2013· 佛山一模 )某学生在参加政、史、地三门课程的学业水4 3 25 5 5否取得 A 等级相互独立．记 ξ 为该生取得 A 等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望 E (ξ)的值为()ξP6 1251a 2b324 12539 5 9125 9 5答案：C二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分；把答案填在题中横线上)9．已知随机变量 ξ 的分布列如下：ξ 1 2 3 4 5P0.1 0.2 0.4 0.2 0.1⎪⎩r ＝3， 所以⎪ r 5 3 则至少取一白球的概率为 1－ × ＝ .5 3则 P (2≤ξ<4)____________．解析：P (2≤ξ＜4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.2＋0.4＝0.6.答案：0.610. (2013· 四川卷)二项式(x ＋y )3 的展开式中，含 x 2y 3 的项的系数是________(用数字作答)．[来源:]⎧5－r ＝2， 解析：T r ＋1＝C 5x 5－r y r (r ＝0,1,2,3,4,5)，由题意知⎨5×4×3含 x 2y3的系数为C 5＝3×2×1＝10.答案：1011．一袋中有 3 个红球，2 个白球，另一袋中有 2 个红球，1 个白球，从每袋中任取一球，则至少取一白球的概率为________________．解析：至少取一白球的对立事件为从每袋中都取得红球，从第一3 2袋中取一球为红球的概率为 ，从另一袋中取一球为红球的概率为 ，3 2 35 3 53答案：12. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (0，σ2)且 P (－2≤X ≤0)＝0.4，则 P (X >2)＝____________.r r 32 ＝2×n －3 2答案：0.113. (2013· 江门二模 )(1＋2x )n 的展开式中 x 3 的系数等于 x 2 的系数的 4 倍，则 n ＝____________.解析：设(1＋2x )n 的展开式的通项公式为 T r ＋1，则 T r ＋1＝C n (2x )r＝2r ·C n · x r ，令 r ＝3，得展开式中 x 3 的系数为：8C n ，令 r ＝2 得展开 式中 x 2 的系数为 4C n .依题意， 8C n ＝4×4C n ，即n n － n －3×2×1n 2，解得 n ＝8.答案：814．将红、黄、蓝、白、黑 5 个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑 5 个盒子里，每个盒子里放且只放 1 个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是________．三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)答案：0.6515. (本小题满分 12 分)5 名男生、2 名女生站成一排照相：(1)两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？(2)两名女生要相邻，有多少种不同的站法？(3)两名女生不相邻，有多少种不同的站法？(4)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？(1)若 y 与 x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程．n^ ni解析：(1)中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生：A25·A55＝2 400(种)；(2)把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列：A66·A22＝1 400(种)；(3)把男生任意全排列，然后在六个空中 (包括两端)有顺序地插入两名女生：A55·A26＝3 600(种)；(4)采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的 A66个，再去掉女生乙在右端的 A66 个，但女生甲在左端同时女生乙在右 端的 A55 种排除了两次，要找回来一次．A77－2A66＋A55＝3 720(种)．16．(本小题满分 12 分)为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量 y (单位：千件)对于价格 x (单位：千元)的反应，得数据如下：x 50 70 8040 30 90 95 97y100 80 60120 135 555048[来源:](2)若成本 x ＝y ＋500，试求：①在盈亏平衡条件下(利润为零)的价格；②在利润为最大的条件下的定价．∑x i y i －n x y解析：(1)b＝i ＝1∑x2－n x 2i ＝1≈－1.286 6，解析：(1)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 E A ，那么 P (E A )＝ 2 3184^a ＝ y －^b x ≈169.772，∴线性回归方程为^y ＝－1.286 6x ＋169.772 4.(2)①在盈亏平衡条件下，^y x ＝^y ＋500，即－1.286 6x 2＋169.772 4x ＝－1.286 6x ＋169.772 4＋500，1．286 6x 2－171.059x ＋669.772 4＝0，解得 x 1＝128.916 2，x 2＝4.038 1(舍去) ， ∴此时新产品的价格为 128.916 2 千元．②在利润最大的条件下，Q ＝^y x －x＝－1.286 6x 2＋169.772 4x ＋1.286 6x －169.772 4－500＝－1.286 6x 2＋171.059x －669.772 4.要使 Q 取得最大值，x ＝66.477 1，即此时新产品应定价为 66.4771 千元．17．(本小题满分 14 分)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A ，B ，C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．(1)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量 ξ 为四名同学中到 A 社区的人数，求 ξ 的分布列和E (ξ)的值．A 22 C 4A 31＝ ，即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是 .A 33 C 4A 3 6所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 P ( E )＝1－P (E )＝ .C 24A 22 1 2C 4A 3 3 3E (ξ)＝1× ＋2× ＝ . x x1181(2) 记甲、乙两人在同一社区为事件 E ，那么 P (E )＝ 2 3＝ .56(3)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2.事件“ξ＝i (i ＝1,2)”是指有 i 个同学到 A 社区，则 P (ξ＝2)＝ 2 3＝ ，所以 P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝ .ξ 的分布列是：ξP[来源:]12 3 21 32 1 43 3 318．(本小题满分 14 分)为备战 2016 年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取 8 次，记录如下：甲：.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3乙：.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5(1)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(2)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于 8.5 分的次数为 ξ，求 ξ 的分布列及均值E (ξ)．解析：(1)因为－ ＝－ ＝8.5，又 s 2 ＝0.27，s 2 ＝0.405，得 s 2 <s 2 ，甲乙甲乙甲乙(2)依题意得，乙不低于 8.5 分的频率为 ，ξ 的可能取值为 0,1,2,3， 则 ξ～B 3，2⎪. 所以，P (ξ＝k )＝C k 32⎪3－k 1－2⎪k ＝C k 3 2⎪3，k ＝0,1,2,3. 所以 E (ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．12⎛ 1⎫⎝⎭⎛1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛1⎫ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 ξ 的分布列为ξP1 8 13 8 23 8 31 81 3 3 1 38 8 8 8 219．(本小题满分 14 分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 0.6,0.4,0.5,0.2 . 已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；[来源:](2)求该选手在选拔中至少回答了 2 个问题被淘汰的概率．解析： (1) 记 “该选手能正确回答第i 轮的问题 ”为事件 A i (i ＝1,2,3,4)，则 P (A 1)＝0.6，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5，P (A 4)＝0.2.法一 该选手被淘汰的概率：P ＝P ( A 1 ＋A 1 A 2 ＋A 1 A 2A 3 ＋A 1 A 2 A 3A 4 )＝ P ( A 1 ) ＋ P (A 1)P ( A 2 ) ＋ P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4 )＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.法二 P ＝1－P (A 1 A 2 A 3A 4 ) ＝1－P (A 1)P (A 2) P (A 3)P (A 4 )＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)法一 P ＝P (A 1 A 2 ＋A 1 A 2A 3 ＋A 1 A 2 A 3A 4 )＝P (A 1)P ( A 2 )＋P (A 1)P (A 2)P (A 3 ) ＋P (A 1)· P (A 2)P (A 3)P (A 4 )＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.法二P ＝ 1 － P ( A 1 ) － P (A 1 A 2 A 3A 4 ) ＝ 1 － (1 － 0.6) －0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.20．(2013· 陕西卷)(本小题满分 14 分)在一场娱乐晚会上， 有 5位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱， 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是1 号歌手的歌迷， 他必选 1 号， 不选2 号， 另在3 至 5 号中随机选2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱， 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和， 求 X 的分布列和数学期望.号歌手. 观众甲选中 3 号歌手的概率为 ，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1－ .所以 P (A )＝ × 1－5⎪＝ 因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 .观众甲选中 3 号歌手的概率为 ，观众乙选中 3 号歌手的概率为 .⎛ 2⎫ ⎛ 3⎫ 43⎭ ⎝ 5⎭ 75 2 ⎛ 3⎫ ⎛ 2⎫ 3 ⎛ 3⎫ ⎛ 2⎫ ⎛ 3⎫ 3 8＋6＋6 205⎭ ⎝ 3⎭ 5 ⎝ 5⎭ ⎝ 3⎭ ⎝ 5⎭ 5 3 ⎝ 75 75＝2)＝ × × 1－5⎪＋ 1－3⎪× × ＋ × 1－5⎪× ＝2 3 ⎛ 3⎫ ⎛ 2⎫ 3 3 2 ⎛ 3⎫ 3 12＋9＋12 33 3 5 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 5 5 3 ⎝ ⎭ 5＝ . 当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时，这时 X ＝3，P (X ＝3)＝ ×5⎪2＝ .解析：(1)设事件 A 表示：观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3233 2 ⎛ 3⎫45 3 ⎝ ⎭ 15.415(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则 X 可取0,1,2,3.2 33 5当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时，这时 X ＝0，P (X ＝0)＝1－ ⎪× 1－ ⎪2＝ ⎝.当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时，这时 X ＝1，P (X＝1)＝ × 1－ ⎪2＋ 1－ ⎪× × 1－ ⎪＋ 1－ ⎪× 1－ ⎪× ＝ ＝ .当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时，这时 X ＝2，P (X75 752 ⎛3⎫3 ⎝ ⎭18 75X 的分布列如下表：XP4 75120 75233 75318 75所以数学期望 E (X )＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ＝4 20 33 18 20＋66＋5475 75 75 75 752815.。
最新人教A版高中数学选修2-3综合测试题(含答案解析)
高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（1）一、选择题1．已知{}{}{}，，，，，，，，，则方程222∈-∈∈123013412a b Rx a y b R-++=所表示()()地不同地圆地个数有（）Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9答案：Ａ2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人地不同分组方法有（）Ａ．48种Ｂ．36种Ｃ．6种Ｄ．3种答案：Ｄ3．41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭地展开式中，第3项地二项式系数比第2项地二项式系数大44，则展开式中地常数项是（ ）Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项 答案：Ｂ4．从标有1，2，3，…，9地9张纸片中任取2张，数字之积为偶数地概率为（ ）Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118 答案：Ｃ5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球地条件下，第2次也摸到红球地概率为（ ）Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59 答案：Ｄ6．正态总体地概率密度函数为2()8()x x f x -∈=R ，则总体地平均数和标准差分别为（ ）Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2 答案：Ｄ7．在一次试验中，测得()x y ，地四组值分别是(12)(23)(34)(45)A B C D ，，，，，，，，则y 与x 之间地回归直线方程为（ ）Ａ．$1y x =+ Ｂ．$2y x =+ Ｃ．$21y x =+ Ｄ．$1y x =- 答案：Ａ8．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字地五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间地五位数地个数是（）Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20答案：Ｃ9．若随机变量η地分布列如下：则当()0.8η<=时，实数地取值范围是（）P xＡ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2答案：Ｃ10．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李地40名同事中，给其发短信拜年地概率为1，0.8，0.5，0地人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事地拜年短信数为（ ）Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8 答案：Ａ11．在4次独立重复试验中事件A 出现地概率相同，若事件A 至少发生1次地概率为6581，则事件A 在1次试验中出现地概率为（ ）Ａ．13Ｂ．25 Ｃ．56 Ｄ．23 答案：Ａ12．已知随机变量1~95B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则使()P k ξ=取得最大值地k 值为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：Ａ二、填空题13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻地两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示地不同信号地种数有种．答案：8014．已知平面上有20个不同地点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这20个点中地每两个点可以连条直线．答案：17015．某射手射击1次，击中目标地概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标地概率是0.9；②他恰好击中目标3次地概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次地概率是4．1(0.1)其中正确结论地序号是（写出所有正确结论地序号）．答案：①③16．口袋内装有10个相同地球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出地5个球所标数字之和小于2或大于3地概率是（以数值作答）．答案：1363三、解答题17．有4个不同地球，四个不同地盒子，把球全部放入盒内．（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立地放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44256种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1地三组，有2C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两4个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：12124432144C C C A=···种．（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法. （4）先从四个盒子中任意拿走两个有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定地一个盒子中即可，有3142C C ·种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有31342414C C C+=·种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”地放法有：241484C =·种． 18．求25(1)(1)x x +-地展开式中3x 地系数．解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.252232423(1)(1)(1)(1)(12)(133)x x x x x x x x x +-=--=-+-+-．所以3x 是由第一个括号内地1与第二括号内地3x -地相乘和第一个括号内地22x -与第二个括号内地3x -相乘后再相加而得到，故3x 地系数为1(1)(2)(3)5⨯-+-⨯-=．解法二：利用通项公式，因2(1)x +地通项公式为12r rr TC x +=·，5(1)x -地通项公式为15(1)k k kk TC x +=-·，其中{}{}012012345r k ∈∈，，，，，，，，，令3k r +=， 则12k r =⎧⎨=⎩，，或21k r =⎧⎨=⎩，，或30k r =⎧⎨=⎩，． 故3x 地系数为112352555C C CC -+-=·．19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上地人地调查结果如下：根据以上数据比较这两种情况，40岁以上地人患胃病与生活规律有关吗？ 解：由公式得2540(6020026020)32022080460k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯2540(120005200)24969609.6382590720000259072⨯-==≈．9.6387.879>∵，∴我们有99.5%地把握认为40岁以上地人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律地人易患胃病. 20．一个医生已知某种病患者地痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认地概率；（2）新药完全无效，但通过实验被认为有效地概率． 解：记一个病人服用该药痊愈率为事件A ，且其概率为p ，那么10个病人服用该药相当于10次独立重复实验.(1) 因新药有效且p =0.35，故由n 次独立重复试验中事件A 发生k 次地概率公式知，实验被否定（即新药无效）地概率为：0010119223371010101010101010(0)(1)(2)(3)(1)(1)(1)(1)0.514x P P P P C p p C p p C p p C p p +++=-+-+-+-≈．（2）因新药无效，故p =0.25，实验被认为有效地概率为：10101010101010(4)(5)(10)1((0)(1)(2)(3))0.224P P P P P P P +++=-+++≈L ．即新药有效，但被否定地概率约为0.514； 新药无效，但被认为有效地概率约为0.224. 21．A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛地统计，对阵队员之间地胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为ξη，．(1)求ξη，地概率分布列；(2)求Eξ，Eη．解：（1）ξη，地可能取值分别为3，2，1，0．2228(3)35575P ξ==⨯⨯=；22312223228(2)35535535575P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 2331231322(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；1333(0)35525P ξ==⨯⨯=．由题意知3ξη+=，所以8(0)(3)75P P ηξ====；28(1)(2)75P P ηξ====；2(2)(1)5P P ηξ====； 3(3)(0)25P P ηξ====．ξ地分布列为η地分布列为（2）82823223210757552515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为3ξη+=，所以23315E E ηξ=-=．22．某工业部门进行一项研究，分析该部门地产量与生产费用之间地关系，从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本，有如下资料：产量（千件） x生产费用 （千元）y 79162 88 185 100 165 120 190 140 185完成下列要求：（1）计算x 与y 地相关系数；（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；千元）y40150 42140 48160 551765150（3）设回归直线方程为$$$y bx a=+，求系数$a，$b．解：利用回归分析检验地步骤，先求相关系数，再确定0.05r．(1)制表i i x i y2i x2i y i ix y141501600225006000242140176419600588034816023042560076804 513028935 70 25 900 5056515042252250097506791626241262441279878818577443422516280810016510000272251650091201901440036100228001111934250.808r=≈．即x与Y地相关关系0.808r≈．（2）因为0.75r>．所以x与Y之间具有很强地线性相关关系．（3）1329381077.7165.70.398709031077.7b-⨯⨯=≈-⨯，165.70.39877.7134.9a=-⨯=．高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（2）一、选择题1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角地蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻地右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同地爬法有（ ） Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种 答案：Ｃ2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（ ）Ａ．225()A Ｂ．225()C Ｃ．22254()C A · Ｄ．22252()C A ·答案：Ｄ3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素地集合T ，则这样地集合T 共有（ ）Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个 答案：Ｃ 4．342(1)(1)(1)n x x x +++++++L 地展开式中2x 地系数是（ ）Ａ．33n C + Ｂ．32n C + Ｃ．321n C+- Ｄ．331n C+-答案：Ｄ 5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ）Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 答案：Ｂ6．市场上供应地灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品地合格率是95%，乙厂产品地合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产地合格灯泡地概率是（）Ａ．0.665 B．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285 答案：Ａ7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子地点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子地点数之和等于7”，则(|)P B A地值等于（）Ａ．13Ｂ．118Ｃ．16Ｄ．19答案：Ｃ8．在一次智力竞赛地“风险选答”环节中，一共为选手准备了A，B，C三类不同地题目，选手每答对一个A类、B类、C类地题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A类、B类、C类题目地概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分地期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样 答案：Ｂ9．已知ξ地分布列如下：并且23ηξ=+，则方差D η=（ ）Ａ．17936 Ｂ．14336 Ｃ．29972 Ｄ．22772答案：Ａ10．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4答案：Ａ11．已知x ，y 之间地一组数据：则y 与x 地回归方程必经过（ ）Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5) 答案：Ｃ12．对于2()P K k ≥，当 2.706k 时，就约有地把握认为“x与y 有关系”（ ）Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90% 答案：Ｄ 二、填空题13．92x x ⎛- ⎪⎝⎭地展开式中，常数项为 （用数字作答）． 答案：67214．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家地概率为 （结果用分数表示）． 答案：11919015．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分地概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分地概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大地是 ． 答案：乙16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中地四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点地直线中，有对异面直线．答案：15，45三、解答题17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色地2，3张为不同花色地A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数地牌，但张数不限，则有多少种不同地出牌方法？解：由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌地方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有5A种方法；5（2）2张2一起出，3张A 一起出，有25A 种方法；（3）2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法；（4）2张2一起出，3张A 分两次出，有2335C A 种方法；（5）2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法；（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有2435C A 种方法；因此共有不同地出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A+++++=种． 18．已知数列{}na 地通项na 是二项式(1)nx +与2(1)nx +地展开式中所有x 地次数相同地各项地系数之和，求数列地通项及前n 项和nS ．解：按(1)nx +及2(1)nx +两个展开式地升幂表示形式，写出地各整数次幂，可知只有当2(1)nx x 地偶数次幂时，才能与(1)nx +地x 地次数相比较． 由0122(1)nn n n n n n x C C x C x C x+=++++L ，132120242213212222222222(1()()n nn nn n n nnnnnC C x C x C x C x C x Cx--=++++++++L L可得00122422222()()()()n nnn n n n n n n n aC C C C C C C C =++++++++L01202422222()()n nn n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++L L2122n n -=+， 2122n n n a -=+∵，∴222462112(222)(22222(21)(41)223nn nn n S =++++++++=-+⨯-L L122112122(21)(2328)33n n n n +++=-+-=+-·，2111(2328)3n n n S ++=-∴·．19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元地消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6地6只均匀小球地抽奖箱中，有放回地抽两次球，抽得地两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元地礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元地礼品，标号之和小于10不得奖． (1)求各会员获奖地概率；(2)设场馆收益为ξ元，求ξ地分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？解：(1)抽两次得标号之和为12地概率为11116636P =+=； 抽两次得标号之和为11或10地概率为2536P =，故各会员获奖地概率为1215136366P P P =+=+=． （2）ξ30a-30100- 30 P1365363036由1530(30)(70)300363636E a ξ=-⨯+-⨯+⨯≥，得580a≤元．所以a最多可设为580元．20．在研究某种新药对猪白痢地防治效果时到如下数据：存活数死亡数合计未用新药10138139用新药12920149合2358 2试分析新药对防治猪白痢是否有效？ 解：由公式计算得2288(1012038129)8.658139********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于8.658 6.635>，故可以有99%地把握认为新药对防治猪白痢是有效地．21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出地3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球地个数，才能使自己获胜地概率最大？(2)在（1）地条件下，求取出地3个球中红球个数地期望．解：(1)要想使取出地3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出地两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球地概率是14，甲取出地两个球为一个红球一个白球地概率是11246x yC C xy C =·，所以取出地3个球颜色全不相同地概率是14624xy xyP ==·，即甲获胜地概率为24xyP =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2126x y +⎛⎫=⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜地概率最大.(2)设取出地3个球中红球地个数为ξ，则ξ地取值为0，1，2，3.212221441(0)12C C P C C ξ===·，1112122222212144445(1)12C C C C C P C C C C ξ==+=··， 2111122222212144445(2)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，212221441(3)12C C P C C ξ===·，所以取出地3个球中红球个数地期望：15510123 1.512121212E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．22．规定(1)(1)mxAx x x m =--+L ，其中x ∈R ，m 为正整数，且01xA =，这是排列数mnA (n ，m 是正整数，且m ≤n )地一种推广．（1）求315A -地值；（2）排列数地两个性质：①11m m n n AnA --=，②11m m mn n n AmA A -++= (其中m ，n 是正整数)．是否都能推广到mxA (x ∈R ，m 是正整数)地情形？若能推广，写出推广地形式并给予证明；若不能，则说明理由； （3）确定函数3xA 地单调区间．解：（1）315(15)(16)(17)4080A-=-⨯-⨯-=-；（2）性质①、②均可推广，推广地形式分别是 ①11m m xx AxA --=，②11()m m m x x x AmA A x m -*++=∈∈R N ，．事实上，在①中，当1m =时，左边1xA x ==， 右边01x xAx-==，等式成立；在②中，当1m =时，左边10111xxx A Ax A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+L L=(1)(2)(2)[(1)]x x x x m x m m ---+-++L 1(1)(1)(2)[(1)1]mx x x x x x m A +=+--+-+==L 右边， 因此②11()mm m x x x AmA A x m -*++=∈∈R N ，成立．（3）先求导数，得32()362xA xx '=-+．令23620xx -+>，解得x 或x >因此，当x ⎛∈- ⎝⎭∞时，函数为增函数， 当x ⎫∈+⎪⎪⎝⎭∞时，函数也为增函数，令23620xx -+≤x ，因此，当x ∈⎣⎦时，函数为减函数，∴函数3xA 地增区间为⎛- ⎝⎭∞，⎫+⎪⎪⎝⎭∞；减区间为⎣⎦．。
人教A版高中数学选修2-3同步检测第3章章末评估验收(三)
章末评估验收（三）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 下列说法正确的是（）A .相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B. 独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中没有多大的实际意义C .相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D.如果独立性检验得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报与实际结果之间存在误差，不一定正确.故选 C.答案：C2. 对变量x, y有观测数据（X i, y i）（i= 1, 2,…，10）,得散点图①；对变量u, v有观测数据（U i, V i）（i= 1, 2,…，10）,得散点图②・由这两个散点图可以判断（）A .变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C .变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D .变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：由题图①可知，x 与y 负相关.由题图②可知，u 与v 正 相关.答案：C3. 以下关于独立性检验的说法中，错误的是 ( )A .独立性检验依据小概率原理B .独立性检验得到的结论一定正确C .样本不同，独立性检验的结论可能有差异D .独立性检验不是判定两个分类变量是否相关的唯一方法 解析：独立性检验只是在一定的可信度下进行判断， 不一定正确. 答案：B4. 为了考查两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同 学各自独立地做了 10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得 回归直线分别为h 和12,已知两个人在试验中发现对变量 x 的观测数 据的平均值都是s,对变量y 的观测数据的平均值都是t ,那么下列 说法正确的是()A. l i 和12有交点(s , t)B. h 与12相交，但交点不一定是(s , t)图①图②C . l i与12必定平行D . l i与12必定重合解析：由回归直线定义知选 A.答案：A5. 今有一组实验数据如下:现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（)A. v = log2tB. v = log1t2t2—1C. v = 2D. v = 2t—2解析：先画出散点图（图略），利用散点图直观认识变量间的关系，可选出较合适的模型为C,或将数据代入所给选项进行验证.答案：C6. 假设两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为｛%, X2｝和｛y i, y2｝，其列联表为：对于同一样本的以下各组数据，能说明X与丫有关的可能性最大的一组为（）A. a= 5, b= 4, c= 3, d= 2B. a= 5, b= 3,c= 4, d= 2C. a= 2, b= 3, c= 4, d= 5D. a= 2, b= 3,c= 5, d= 4解析：（1）利用|ad—bc|越大越有关进行判断.（2）利用a与C相差越大越有关进行判断.a+ b c+d法一 对于 A , |ad — bc|= |10- 12|= 2; 对于 B , |ad- bc|= |10—12|= 2; 对于 C , |ad — bc|=|10— 12|= 2; 对于 D , |ad- bc|= |8- 15|= 7•故选 D.答案：D 7. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为（）解析：将样本点的中心的坐标（4, 5）代入回归方程验证可知 C 正 确，故选C.答案：C8. 在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的 差异的是（）A .总偏差平方和B .残差平方和C .回归平方D .相关指数R 2解析：根据残差平方和的概念知选项 B 正确. 答案：B9. 废品率x%与每吨生铁成本y （元）之间的回归直线方程为y = 234+ 3x ,表明（）A 中,C 中, 24'丄•故选D.A.y = 1・23x + 4 B ・y = 1・ 23x + 5 C. y = 1・23x + 0.08D. y = 0・ 08x + 1.23法二 5 3 9-55 4 8-6 2 45-92 5 5-9A .废品率每增加1%，生铁成本增加3x元B.废品率每增加1%，生铁成本每吨平均增加3元C .废品率每增加1%，生铁成本增加234元D .废品率不变，生铁成本为234元解析：回归直线方程表示废品率x%与每吨生铁成本y（元）之间的相关关系.故回归直线方程y= 234+ 3x时，废品率每增加1% , 生铁成本每吨平均增加3元.答案：B10. 在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，根据表中数据判断如下结论中正确的是（）A.在此次调查中有B.在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C .在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D .在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关30 x （ 6 X 9 一8 X 7）2解析：由表中数据得k= 14X16X13X17 " O'。
高中数学(人教版A版选修2-3)配套单元检测：第3章 统计案例 3.1学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中x－，y－分别相同，则下列说法正确的是()A．l1与l2一定平行B．l1与l2重合C．l1与l2相交于点(x－，y－)D．无法判断l1和l2是否相交2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85A．甲B．乙C．丙D．丁3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是()4．对于指数曲线y＝a e bx，令U＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析后，可转化的形式为()A．U＝c＋bx B．U＝b＋cxC．y＝c＋bx D．y＝b＋cx5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：则y对xA.y^＝x－1B.y^＝x＋1C.y^＝88＋12x D.y^＝176二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q(a^，b^)如下表：则能体现A．7．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：8．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元. 【导学号：97270060】三、解答题9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：(1)(2)画出散点图；(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．10．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：(1)(2)求y与x之间的回归方程．[能力提升]1．某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如表：显然所减分数y则其线性回归方程为()A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.252．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12 y2356若x 与y ．3．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y (件)与平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：时间 二月上旬二月中旬二月下旬 三月上旬旬平均气温x (℃) 3 8 12 17 旬销售量y (件)55m3324由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，样本中心点为(10,38)．(1)表中数据m ＝__________.(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件．4．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．图3-1-2xyw∑i ＝18(x i －x )2∑i ＝18(w i －w )2 ∑i ＝18(x i －x )(y i －y ) ∑i ＝18(w i －w )(y i －y ) 46.65636.8289.81.61 469108.8表中w i ＝x i ，w ]＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^ u .学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，已知两人计算过程中x －，y －分别相同，则下列说法正确的是( )A ．l 1与l 2一定平行B ．l 1与l 2重合C ．l 1与l 2相交于点(x －，y －)D ．无法判断l 1和l 2是否相交【解析】 回归直线一定过样本点的中心(x －，y －)，故C 正确． 【答案】 C2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：甲 乙 丙 丁 R 20.980.780.500.85A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】 相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好． 【答案】 A3．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )【解析】 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．【答案】 A4．对于指数曲线y ＝a e bx ，令U ＝ln y ，c ＝ln a ，经过非线性化回归分析后，可转化的形式为( )A ．U ＝c ＋bxB ．U ＝b ＋cxC ．y ＝c ＋bxD ．y ＝b ＋cx【解析】 由y ＝a e bx 得ln y ＝ln(a e bx )，∴ln y ＝ln a ＋ ln e bx ，∴ln y ＝ln a ＋bx ，∴U ＝c ＋bx .故选A. 【答案】 A5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12x D.y ^＝176【解析】 设y 对x 的线性回归方程为y ^＝b^x ＋a ^， 因为b ^＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22＝12，a ^＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝12x ＋88.【答案】 C 二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R 2与残差平方和Q (a^，b ^)如下表：则能体现A ．【解析】 丁同学所求得的相关指数R 2最大，残差平方和Q (a ^，b ^)最小．此时A ，B 两变量线性相关性更强．【答案】 丁7．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：【解析】 可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为3240＝45，而乙回归方程的数据准确率为4060＝23.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些．【答案】 甲8．如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元. 【导学号：97270060】【解析】 ∵x ＝10时，y ＝0.8×10＋2＋e ＝10＋e ，∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.【答案】10.5三、解答题9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：x 3456789y 66697381899091(1)(2)画出散点图；(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．【解】(1)x－＝6，y－≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)．(2)散点图如下：(3)因为b^＝∑i＝17(x i－x－)(y i－y－)∑i＝17(x i－x－)2≈4.75，a^＝y－－b^x－≈51.36，所以y^＝4.75x＋51.36.10．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：时间x/天12345 6繁殖个数y 612254995190(1)(2)求y与x之间的回归方程．【解】(1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y，则x 12345 6z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25由计算器算得，z＝0.69x＋1.112，则有y＝e0.69x＋1.112.[能力提升]1．某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如表：考试次数x 123 4所减分数y 4.543 2.5显然所减分数y则其线性回归方程为()A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25【解析】由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.考试次数的平均数为x＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为y＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D. 【答案】 D2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x 681012y 235 6若x与y．【解析】 ∑i ＝1n x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x －＝6＋8＋10＋124＝9，y －＝2＋3＋5＋64＝4，∑i ＝1nx 2i ＝62＋82＋102＋122＝344， b^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7， a ^＝y －－b ^x －＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3. 【答案】 y ^＝0.7x －2.33．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y (件)与平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，样本中心点为(10,38)． (1)表中数据m ＝__________.(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件．【解析】 (1)由y ＝38，得m ＝40. (2)由a^＝y －b ^ x ，得a ^＝58， 故y ^＝－2x ＋58， 当x ＝22时，y ^＝14，故三月中旬的销售量约为14件． 【答案】 (1)40 (2)144．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．图3-1-2xyw∑i ＝18(x i －x )2∑i ＝18(w i －w )2 ∑i ＝18(x i －x )(y i －y ) ∑i ＝18(w i －w )(y i －y ) 46.65636.8289.81.61 469108.8表中w i ＝x i ，w ]＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^ u . 【解】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68，c ^＝y －d^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.。
【成才之路】高中数学人教A版选修2-3练习：综合检测3(含答案解析)
第三章综合检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知具有线性相关关系的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是y ^＝0.95x ＋2.6，则t ＝导学号 03960683( ) A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5[答案] C[解析] ∵x ＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2，∴y ＝0.95×2＋2.6＝4.5，又y ＝15(2.2＋4.3＋t ＋4.8＋6.7)，∴t ＝4.5，故选C ．2．(2016·唐山高二检测)四名同学根据各自的样本数据研究变量x 、y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是导学号 03960684( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [答案] D[解析] y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错．3．(2016·福州高二检测)在一次试验中，当变量x 取值分别是1，12，13，14时，变量Y 的值依次是2,3,4,5，则Y 与1x之间的回归曲线方程是导学号 03960685( )A ．y ^＝1x ＋1B ．y ^＝2x ＋3C ．y ^＝2x ＋1 D ．y ^＝x －1[答案] A[解析] 把x ＝1，12，13，14代入四个选项，逐一验证可得y ^＝1x ＋1.4．给出下列五个命题： ①将A 、B 、C 三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ＝1－2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125、120、122、105、130、114、116、95、120、134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为导学号 03960686( ) A ．①②④ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤[答案] B[解析] ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s 2甲>s 2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116, 120共4个，故所求频率为410＝0.4，⑤是真命题．5．对变量x 、y 观测数据(x 1，y 1)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u 、v 有观测数据(u 1，v 1)(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断：导学号 03960687( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 [答案] C[解析] 本题主要考查了变量的相关知识．用散点图可以判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．6．为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机地对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：请计算出统计量K 2，你有多大的把握认为疾病A 与性别有关导学号 03960688( ) 下面的临界值表供参考：A ．95% C ．99.5% D ．99.9%[答案] C[解析] 由公式得K 2＝－225×25×30×20≈8.333>7.879，故有1－0.005＝99.5%的把握认为疾病A 与性别有关．7．(2016·大连高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,12)，则回归直线的方程是导学号 03960689( )A ．y ^＝2x ＋4 B ．y ^＝52x ＋2C ．y ^＝2x －20 D ．y ^＝16x ＋2[答案] A[解析] 由回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^的定义知，b ^＝2， ∵回归直线过样本点的中心，∴12＝2×4＋a ^， ∴a ^＝4，∴回归直线方程为y ^＝2x ＋4.8．以下关于线性回归的判断，正确的个数是导学号 03960690( ) ①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点；③已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝bx ＋a ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69， ∴③正确；④正确，故选D ．9．某人对一地区人均工资x(千元)与该地区人均消费Y(千元)进行统计调查，Y 与x 有相关关系，得到回归直线方程y ^＝0.66x ＋1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为导学号 03960691( )A ．66%B ．72%C ．67%D ．83%[答案] D[解析] 该题考查线性回归的实际应用，由条件知，消费水平为7.675千元时，人均工资为7.675－1.5620.66≈9.262(千元)．故7.6759.262≈83%. 10．某化工厂为预测某产品的回收率Y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝1nx i y i ＝1849，则y 与x的回归方程是导学号 03960752( )A ．y ^＝11.47＋2.62xB ．y ^＝－11.47＋2.62x C ．y ^＝2.62＋11.47x D ．y ^＝11.47－2.62x [答案] A[解析] 据已知b ^＝∑i ＝18x i y i －8x y ∑i ＝18x 2i －8x2＝1849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62.a ^＝y －b ^x ＝11.47.故选A ．11．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是导学号 03960692( )A ．模型1 C ．模型3 D ．模型4[答案] A[解析] 线性回归分析中，相关系数为r ， |r|越接近于1，相关程度越大； |r|越小，相关程度越小，∵模型1的相关系数r 最大，∴模拟效果最好， 故选A ．12．下面是某市场农产品的调查表． 市场供应量表：根据应在区间导学号 03960693( )A ．(2.3,2.6)B ．(2.4,2.6)C ．(2.6,2.8)D ．(2.8,2.9)[答案] C[解析] 以横轴为单价，纵轴为市场供、需量，在同一坐标系中描点，用近似曲线观察可知选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知一个回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,7,5,13,19}，则y ＝__________.导学号 03960694[答案] 58.5[解析] 因为x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ＝1.5x ＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5.本题易错之处是根据x 的值及y ^＝1.5x ＋45求出y 的值再求y ，由y ^＝1.5x ＋45求得的y 值不是原始数据，故错误．14．给出下列命题：导学号 03960695①样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②若随机变量X ～N(0.43,0.182)，则此正态曲线在x ＝0.43处达到峰值； ③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越差；④市政府调查江北水城市民收入与市民旅游欲望的关系时，抽查了3000人．经过计算得K 2＝6.023，根据这一数据查阅下表，则市政府有97.5%以上的把握认为市民收入与旅游欲望有关系．[答案] ①②④[解析] 根据样本方差的概念、正态分布的概念可知①②均正确；在回归分布中，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好，即X 与Y 有很强的关系，所以③不正确；通过表中的数据和K 2＝6.023>5.024可知，可以认为有97.5%以上的把握认为市民收入与旅游欲望有关系，因此④正确．15．在2016年春节期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：导学号 03960696通过分析，y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．[答案] y ^＝－3.2x ＋40[解析] ∑i ＝15x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑i ＝15(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －－b ^x －＝40，故回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.16．某市居民2012～2016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：导学号 03960697出有__________线性相关关系．[答案] 13 正[解析] 中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·青岛高二检测)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：导学号 03960698将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝－2＋＋＋＋[解析](1)”为25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2K2＝－2＋＋＋＋＝－275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.18．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：导学号03960699(1)计算x 与y (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验； (3)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，求回归系数． [解析] (1)根据数据可得： x ＝77.7，y＝165.7，∑10i ＝1x 2i ＝70903，∑10i ＝1y 2i ＝277119，∑10i ＝1x i y i ＝132938，所以r ＝0.808，即x 与y 之间的相关系数r≈0.808；(2)因为r>0.75，所以可认为x 与y 之间具有线性相关关系； (3)b ^＝0.398，a ^＝134.8.19．(本题满分12分)为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：导学号 039607002只，未患病数为η，工作人员曾计算过P(ξ＝0)＝389P(η＝0)．(1)求出列联表中数据x 、y 、M 、N 的值；(2)求ξ与η的均值(期望)并比较大小，请解释所得结论的实际含义； (3)能够以99%的把握认为药物有效吗？ 参考公式：K 2＝－2＋＋＋＋.①当K 2≥3.841时有95%的把握认为ξ、η有关联； ②当K 2≥6.635时有99%的把握认为ξ、η有关联．[解析] (1)∵P(ξ＝0)＝C 220C 250，P(η＝0)＝C 2xC 250，∴C 220C 250＝389×C 2xC 250，∴x ＝10. ∴y ＝40，∴M ＝30，N ＝70. (2)ξ取值为0、1、2.P(ξ＝0)＝C 220C 250＝38245，P(ξ＝1)＝C 120C 130C 250＝120245，P(ξ＝2)＝C 230C 250＝87245.∴E(ξ)＝294245.P(η＝0)＝C 210C 250＝9245.P(η＝1)＝C 110C 140C 250＝80245.P(η＝2)＝C 240C 250＝156245.∴E(η)＝392245.∴E(ξ)<E(η)，即说明药物有效． (3)∵K 2＝－230×70×50×50≈4.76.∵4.76<6.635，∴不能够以99%的把握认为药物有效．20．(本题满分12分)(2016·洛阳市高二检测)以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系的一组样本数据：导学号 03960701(1)(2)试预测销售经验为8年时的年销售额约为多少万元(精确到十分位)?[解析] (1)由散点图(图略)知y 与x 呈线性相关关系，由表中数据计算得，x －＝6，y －＝10，b ^＝59180，a ^＝24130，回归直线方程：y ^＝59180x ＋24130.(2)x ＝8时，预测年销售额为59180×8＋24130≈10.7万元．21．(本题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ理，18)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.导学号 03960702注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝∑i ＝17i －ti －y∑i ＝1ni －t2∑i ＝1ni －y2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1ni －ti －y∑i ＝1ni －t2，a ^＝y ^－b ^t .[解析] (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，7i ＝1(t i －t )2＝28，∑i ＝17i －y2＝0.55，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(Ⅰ)得b ^＝∑i ＝17i －ti －y∑i ＝17i －t2＝2.8928≈0.103 a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．22．(本题满分12分)为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1 000名学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n 名同学每天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90,120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240]，得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人.导学号 03960703(1)求n 的值并补全频率分布直方图；(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n 名学生，完成下列2×2列联表：(3)若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．参考公式：K2＝－2＋＋＋＋[解析](1)设第i组的频率为P i(i＝1,2，…，8)，由图可知：P1＝11500×30＝2100，P2＝11000×30＝3100∴学习时间少于60分钟的频率为P1＋P2＝120由题意：n×120＝5，∴n＝100.又P3＝1375×30＝8100，P5＝1100×30＝30100，P6＝1120×30＝25100，P7＝1200×30＝15100，P8＝1600×30＝5100，∴P4＝1－(P1＋P2＋P3＋P5＋P6＋P7＋P8)＝325.∴第④组的高度为：h＝325×130＝1250频率分布直方图如图：(注：未标明高度1/250扣1分)(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，“住宿生”有55人，其中“住宿生”中利用时间不充分的有10人，从而走读生中利用时间不充分的有25－10＝15人，利用时间充分的有45－15＝30人，由此可得2×2列联表如下：将2×2K 2＝－2＋＋＋＋＝－275×25×45×55＝10033≈3.030 因为3.030<3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关 (3)由(1)知：第①组2人，第②组3人，第⑧组5人，总计10人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3P(X ＝i)＝C i 5C 3－i 5C 310(i ＝0,1,2,3)∴P(X ＝0)＝C 05C 35C 310＝10120＝112，P(X ＝1)＝C 15C 25C 310＝50120＝512，P(X ＝2)＝C 25C 15C 310＝50120＝512，P(X ＝3)＝C 35C 05C 310＝10120＝112∴X 的分布列为：∴E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝1812＝32(或由超几何分布的期望计算公式E(X)＝n×M N ＝3×510＝32)。
高中数学人教A版选修2-3练习：1.2.2.1组合与组合数公式Word版含解析.docx
学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[学业达标 ]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是 ()A ．从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星D ．从 13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】 从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星， 与顺序无关， 是组合问题．【答案】C2．某新农村社区共包括 8 个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为()A ．4B ．8C ．28D ．64【解析】由于 “村村通 ” 公路的修建，是组合问题．故共需要建C 82＝28条公路．【答案】C3．组合数 C n r(n>r ≥1，n ，r ∈N )恒等于 ()r ＋1 r － 1r － 1A.n ＋1C n － 1B ．(n ＋ 1)(r ＋1)C n －1r － 1n r － 1C ．nrC n －1D. r C n － 1【解析】n r － 1 n· －n － 1 ！ ！＝n ！rr C n －1＝ r1！ －r！ －r ！＝C n .r n rn【答案】D25x － 5)4．满足方程 Cx － x 16＝C 16 的 x 值为 (A ．1,3,5，－ 7B ．1,3C．1,3,5D．3,5【解析】依意，有 x2－ x＝ 5x－5 或 x2－x＋5x－ 5＝ 16，解得 x＝1 或 x ＝5； x＝－ 7 或 x＝3，知，只有 x＝ 1 或 x＝3 符合意．【答案】 B 5．异面直 a，b 上分有 4 个点和 5 个点，由 9 个点可以确定的平面个数是 ()A．20B．9C．C93D．C42C51＋C52C41【解析】分两：第 1 ，在直 a 上任取一点，与直b 可确定 C41个平面；第 2 ，在直 b 上任取一点，与直 a 可确定 C15个平面．故可确定 C14＋C15＝9 个不同的平面．【答案】B二、填空6．C03＋ C14＋C25＋⋯＋ C1821的等于 ________．【解析】原式＝ C04＋C14＋ C25＋⋯＋ C1821＝C15＋C52＋⋯＋ C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝ 7 315.【答案】 7 3157．集合 A＝{ a1，a2， a3，a4， a5} ，集合 A 中含有 3 个元素的子集共有________个．【解析】从 5 个元素中取出 3 个元素成一就是集合 A 的子集，共3有 C5＝ 10 个子集．【答案】108．10个人分成甲、乙两，甲 4 人，乙 6 人，不同的分种数________．(用数字作答)【解析】从 10 人中任出 4 人作甲，剩下的人即乙，是合，共有C410＝ 210 种分法．【答案】210三、解答9．从 1,2,3,4,5,6 六个数字中任 3 个后得到一个由三个数成的最小三位数，可以得到多少个不同的的最小三位数？【解】 从 6 个不同数字中任选 3 个组成最小三位数， 相当于从 6 个不同元素中任选 3 个元素的一个组合， 故所有不同的最小三位数共有C 63＝6×5×4＝20 3×2×1 个．11710． (1)求式子 C 5x－ C 6x＝10C 7x中的 x ；(2)解不等式 Cm －1 m8 >3C .8【解】x ！ 5－x ！ x ！ 6－x ！ 7·x ！ 7－x ！，∵(1)原式可化为： 5！ － 6！ ＝10·7！0≤x ≤5，∴ x 2－ 23x ＋42＝ 0，∴x ＝21(舍去 )或 x ＝2，即 x ＝2 为原方程的解．8！ 3×8！，(2)由m －1 ！ 9－m ！ >m ！ 8－m ！1 3得9－m >m ，∴ m>27－ 3m ，27 1 ∴m> 4 ＝ 7－ 4.又∵ 0≤ m － 1≤ 8，且 0≤m ≤ 8， m ∈ N ，即 7≤ m ≤ 8，∴ m ＝7 或 8.[能力提升 ]1．已知圆上有 9 个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有 ()A ．36 个B ．72 个C ．63 个D ．126个【解析】 此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形， 所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为4C 9＝126 个．【答案】 D2．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型和乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有 () 【导学号： 97270017】A ．140 种B ．84 种C ．70 种D ．35 种12【解析】 可分两类：第一类，甲型 1 台、乙型 2 台，有 C 4·5＝ 4×10＝40(种)C取法，第二类，甲型 2 台、乙型 1 台，有 C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有 70 种不同的取法．【答案】C3．对所有满足 1≤ m<n≤5 的自然数 m，n，方程 x2＋C m n y2＝ 1 所表示的不同椭圆的个数为 ________．【解析】∵1≤ m<n≤5，所以 C m n可以是 C12，C31， C23，C14， C42，C43，C51，C25，C35，C45，其中 C13＝ C23，C14＝ C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程 x2＋C m n y2＝ 1 能表示的不同椭圆有 6 个．【答案】6m n m4．证明： C n＝n－m C n－1.n m n n－1 ！【证明】C n－1＝·n－m n－m m！ n－1－m ！n！m＝C n.＝m！ n－m ！高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章随机变量及其分布 2.2二项分布及其应用
一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题． 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率计算公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公 式即对立事件的概率乘法公式． 3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式，并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验． 二、知识清单
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5
n−k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ⋯ , n. n p (1 − p)
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X ∼ B(n, p)），并称 p 为 成功概率． 例题： 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A．投掷一枚均匀的骰子 5 次，X 表示点数 6 出现的次数 B．某射手射中目标的概率为 p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3，X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解：B 选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 6 和点数不为 6 ，且点数为 6 的概率在每一次试验 都为
【三维设计】人教A版数学选修2-3全册练习：阶段质量检测(三)(含答案解析)
_3.1回归分析的基本思想及其初步应用[提出问题]《必修3》中，求出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^.问题1：回归直线方程准确的反映了x ，y 之间的关系吗？ 提示：不是．问题2：所有的两个相关变量都可以求回归方程吗？ 提示：可以，但拟合程度很差． [导入新知] 1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 2．回归直线方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数，其最小二乘估计分别为：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n i －x i －y∑i ＝1ni－x 2＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，(x ，y )称为样本点的中心．[化解疑难]线性回归方程中系数b ^的含义(1)b ^是回归直线的斜率的估计值，表示x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数．(2)当b ^＞0时，变量y 与x 具有正的线性相关关系；当b ^＜0时，变量y 与x 具有负的线性相关关系．[提出问题]具有相关关系的两个变量的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^. 问题1：预报变量y ^与真实值y 一样吗？ 提示：不一定．问题2：预报值y ^与真实值y 之间误差大了好还是小了好？ 提示：越小越好． [导入新知] 1．残差平方和法(1)e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^(i ＝1,2，…，n)，称为相应于点(x i ，y i )的残差． (2)残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小，模型拟合效果越好．2．残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域宽度越窄，说明模型的精确度越高．3．利用相关指数R 2刻画回归效果其计算公式为：R 2＝1－∑i ＝1ni －y ^i2∑i ＝1ni －y2，其几何意义：R 2越接近于1，表示回归效果越好． [化解疑难]1．在线性回归模型中，因为e 是一个随机变量，所以可以通过其数字特征来刻画它的一些总体特征．2．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R 2越接近于1，表示回归的效果越好．[例1](1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？ [解] (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：所以，x ＝255＝5，y ＝2505＝50，∑i ＝15x 2i ＝145， ∑i ＝15x i y i ＝1 380.于是可得b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y ∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－52×5＝6.5， a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时， y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元． [类题通法]求线性回归方程的步骤(1)列表表示x i ，y i ，x i y i ，x 2i ； (2)计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ；(3)代入公式计算a ^，b ^的值； (4)写出线性回归方程． [活学活用]为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山下建立了一个观测站，测量了最大积雪深度x(尺)与当年灌溉面积y(千亩)，得到连续10年的数据于下表：(1)试根据散点图判断变量y 与x 是否相关？(2)若y 与x 相关，求出回归直线方程．解：为了研究这些数据中所蕴含的规律性，我们把各年最大积雪深度作为横坐标，相应的灌溉面积作为纵坐标，将这些数据点标在平面直角坐标系中，如下图所示．从上图可以看到，数据点大致落在一条直线附近，这告诉我们变量x 与y 之间的关系大致可看作是线性关系，从上图还可以看到，这些点又不都在一条直线上，这表明x 与y 的关系并没有确切到给定x 就可以唯一地确定y 的程度，事实上，还有许多其他因素对y 产生影响，如当年的平均气温，当年的降雨量等等，这些都是影响y 取什么值的随机因素，研究x 与y 的关系，利用公式得，x ＝110(15.2＋10.4＋…＋19.1)＝18.85， y ＝110(28.6＋19.3＋…＋37.4)＝36.53， ∑10i ＝1x 2i －10 x 2＝227.845， ∑10i ＝1x i y i －10 x y ＝413.065，b ^＝∑ni ＝1x i y i －10 x － y －∑ni ＝1x 2i －10x －2≈1.813，a ^＝36.53－1.813×18.85≈2.355. 从而回归直线方程为y ^＝1.813x ＋2.355.[例2]求y 对x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． [解] x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15.a ^＝y －b ^x ＝7.4＋1.15×18＝28.1， ∴所求回归直线方程为y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：∴∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.3，∑i ＝15(y i －y －)2＝53.2， R 2＝1－∑i ＝15i －y ^i2∑i ＝15i －y－2≈0.994，故回归模型的拟合效果很好． [类题通法]在进行线性回归分析时，要按线性回归分析步骤进行．在求R 2时，通常采用分步计算的方法，R 2越大，模型的拟合效果越好．[活学活用]关于x 与y 有如下数据：有如下的两个线性模型：(1)y ^＝6.5x ＋17.5；(2)y ^＝7x ＋17.试比较哪一个拟合效果更好． 解：由(1)可得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：∴∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，∑i ＝15(y i －y －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.∴R 21＝1－∑i ＝15i －y ^i2∑i ＝15i －y－2＝1－1551 000＝0.845.由(2)可得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：∴∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180， ∑i ＝15(y i －y －)2＝(－20)2＋(－10)2＋02＋102＋202＝1 000.∴R 22＝1－∑i＝15i －y ^i2∑i ＝15i －y－2＝1－1801 000＝0.82.由于R 21＝0.845，R 22＝0.82,0.845＞0.82， ∴R 21＞R 22.∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果.[例3]试建立y 与x 之间的回归方程．[解] 作出变量y 与x 之间的散点图，如图所示．由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系． 设y ＝k x ，令t ＝1x，则y ＝kt.由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：作出y 与t 的散点图，如图所示：由图可知y 与t 近似地呈线性相关关系．又t ＝1.55，y ＝7.2，∑i ＝15t i y i ＝94.25，∑i ＝15t 2i ＝21.312 5，b ^＝∑i ＝15t i y i －5t － y－∑i ＝15t 2i －5t－2＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4，a ^＝y －－b ^ t －＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8， ∴y ^＝4.134 4t ＋0.8.所以y 与x 的回归方程是y ^＝4.134 4x＋0.8.[类题通法]非线性回归分析的步骤非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：[活学活用]3．某电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝Ae bt (b ＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：试求：电压U 对时间t 的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解：对U ＝Ae bt 两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ，令y ＝ln U ，a ＝ln A ，x ＝t ，则y ＝a ＋bx ，y 与x 的数据如下表：根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y与x 具有较好的线性相关关系，由表中数据求得x ＝5，y ≈3.045，由公式计算得b ^≈－0.313，a ^＝y －b ^x ＝4.61，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－0.313x ＋4.61.所以ln U ^＝－0.313t ＋4.61，即U ^＝e －0.313t ＋4.61＝e －0.313t ·e 4.61，因此电压U 对时间t 的回归方程为U ^＝e －0.313t ·e 4.61.9.明辨相关系数的意义[典例]下列现象的线性相关程度最高的是()A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87B．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－0.94C．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为0.81[解析]|r|越接近于1，相关程度越高．[答案] B[易错防范]1．解题误认为r越近于1，相关程度越高，从而误选A.2．|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越接近0，变量之间的线性相关程度越低．[成功破障]变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2＜r1＜0B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r1解析：选C对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0；对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r1＜0.故r2＜0＜r1.[随堂即时演练]1．关于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的也可以是负的C ．在回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．样本相关系数r ∈(－1,1)解析：选D 样本的相关系数应满足－1≤r≤1.2．若某地财政收入x 与支出y 满足回归方程y ^＝bx ＋a ＋e i (单位：亿元)(i ＝1,2，…)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e i |＜0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5亿元解析：选C y ^＝0.8×10＋2＋e i ＝10＋e i ， ∵|e i |＜0.5，∴y ^＜10.5.3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．解析：由相关指数R 2的意义可知，R 2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.答案：85% 15%4．若施肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________．解析：把x ＝50代入y ^＝250＋4x ，可求得y ^＝450. 答案：450 kg5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)因为x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.从而a ^＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250，故y ^＝－20x ＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －334)2＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．[课时达标检测]一、选择题1．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，已知两人计算过程中x ，y 分别相同，则下列说法正确的是( )A ．l 1与l 2一定平行B ．l 1与l 2重合C ．l 1与l 2相交于点(x ，y )D ．无法判断l 1和l 2是否相交解析：选C 回归直线一定过样本点的中心(x ，y )，故C 正确．2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：选A 相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好．3．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )解析：选A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 回归方程中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，A 正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x ，y )，B 正确；依据回归方程中y ^的含义可知，x 每变化1个单位，y ^相应变化约0.85个单位，C 正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D 错误．5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)， 则a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5. 二、填空题6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1. 答案：17．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R 2为________． 解析：回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和 ＝80－60＝20，故R 2＝2080＝0.25或R 2＝1－6080＝0.25答案：0.258．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481. 则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元． 解析：由题意知，b ^＝1 481－6×72×7179－722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，y ^＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．答案：1.818 2 三、解答题9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：(1)(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 解：(1)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝15i －xi －y∑i ＝15i －x2＝1020＝0.5， a ^＝y －b ^x ＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. (2)当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．10．假设某农作物基本苗数x 与有效穗数y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x (2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗数； (3)计算各组残差． 解：(1)散点图如图所示．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来建立两个变量之间的关系．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^， 由表中数据可得b ^≈0.29，a ^≈34.66，故y 与x 之间的回归方程为y ^＝0.29x ＋34.66. 当x ＝56.7时，y ^＝0.29×56.7＋34.66＝51.103. 故估计有效穗数为51.103.(3)各组数据的残差分别为e ^1＝0.39，e ^2≈0.76， e ^3＝－0.46，e ^4≈－2.17，e ^5≈1.66.3.2独立性检验的基本思想及其初步应用[提出问题]某校高三模拟考试调查中，性格内向的426人中有332人考前紧张，性格外向的594人中有213人考前紧张．问题1：考前紧张与性格类别有关系吗？提示：有．问题2：通过怎样比较看出有？提示：通过考前紧张的人数占性格类型的比例．[导入新知]1．分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为：3．K2统计量为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝－2，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．＋＋＋＋4．独立性检验利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．[化解疑难]1．2×2列联表的特征2．在列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.因此|ad－bc|越小，说明两个分类变量之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个分类变量之间的关系越强.[提出问题]吸烟与患肺癌“列联表”中，事件A表示不吸烟，B表示不患肺癌．问题1：事件A，B发生的频率可求吗？提示：可以．问题2：通常情况下，为研究问题方便，常用什么近似于概率？提示：频率．问题3：事件A，B无关有怎样的概率公式？提示：P(AB)＝P(A)P(B)．[导入新知]独立性检验的思想：要确定“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2观测值k很大，那么在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过可信度表评价该假设不合理的程度，即“两个分类变量有关系”的可信程度．[化解疑难]1．P(K2≥6.635)≈0.01表明H0成立的概率很小，是小概率事件，可以判断H0不成立，也就是“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过0.01，也可以理解为“有99%的把握认为两个分类变量之间有关系”．2．利用独立性检验解决问题的基本步骤：(1)根据相关数据作列联表；(2)求K2的观测值；(3)与临界值作比较，得出结论.[例1] 生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．[解] 作列联表如下：相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．[类题通法]进行独立性检验的前提是根据题中数据获得2×2列联表，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，即将a a ＋b 与c c ＋d (或b a ＋b 与d c ＋d )的值相比，由此能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但是此方法较粗劣．[活学活用]为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？ 解：等高条形图如下：由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”.[例2]有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？用独立性检验的方法判断．附：[解]根据题目所给数据建立如下2×2列联表：根据2×2列联表中的数据得到：k＝－2110×60×44×126≈5.622＞3.841.所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“性别与态度有关系”．[类题通法]根据题意列出2×2列联表，计算K2的观测值，如果K2的观测值很大，说明两个分类变量有关系的可能性很大；如果K2的观测值比较小，则认为没有充分的证据显示两个分类变量有关系．这需要给出正确的计算，避免计算失误．[活学活用]在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？附：解：根据题意，列出2×2列联表如下：假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机．由公式可得K2的观测值k＝－2＋＋＋＋＝－255×34×32×57≈3.689>2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．4.独立性检验与统计的综合应用[典例](12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．表1：A类工人生产能力的频数分布表表2：B类工人生产能力的频数分布表(1)确定x，y的值；(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？附：K2＝－2＋＋＋＋，[解题流程](2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：由列联表中的数据，得K2的观测值为[活学活用](东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．解：(1)2×2列联表如下：(2)因为K 2＝－212×18×20×10＝10>6.635，P(K 2>6.635)＝0.01所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．[随堂即时演练]1．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )解析：选D 在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．2．下面是一个2×2列联表：则表中a 、b 处的值分别为( ) A ．94,96 B ．52,50 C ．52,54D ．54,52解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋21＝73，a ＋2＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝54.3．独立性检验所采用的思路是：要研究A ，B 两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________，在此假设下构造随机变量K 2，如果K 2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．答案：无关 不成立4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③5．为了解决高二年级统计案例入门难的问题，某校在高一年级的数学教学中设有试验班，着重加强统计思想的渗透，下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位：分)的一部分，试分析实验效果.附：解：根据列联表中的数据，由公式得K2的观测值k＝－2＋＋＋＋＝－250×50×44×56≈16.234.因为16.234＞6.635，所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系．[课时达标检测]一、选择题1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是() A．2×2列联表B．独立性检验C．等高条形图D．其他解析：选B A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度；独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．2．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为() A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析：选D对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强，通过计算知，对于A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7＞2.3．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是()A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．4．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是()A．k≥6.635B．k＜6.635C．k≥7.879D．k＜7.879解析：选C有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2＝－2＋＋＋＋算得，观测值k＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选A由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．二、填空题6．下列关于K2的说法中，正确的有________．①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；②K2的计算公式是K2＝－＋＋＋＋；③若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)2，故②错；③④对．答案：③④7．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即b a ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．答案：是8．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表(单位：人)：k ＝－255×50×30×75≈6.109，请估计在犯错误的概率不超过________的情况下认为文化程度与月收入有关系．解析：由于6.109>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为文化程度与月收入有关系．答案：0.025三、解答题9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表.附：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前体下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？解：(1)作出等高条形图如图所示，由图知采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．。
高中数学(人教版A版选修2-3)配套单元检测：第2章 随机变量及其分布 2.3-2.3.1学业分层测
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于() A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为() A．0.6 B．1C．3.5 D．23．设ξ的分布列为ξ123 4P 16161313又设η＝2ξ＋5，则E(A.76 B.176C.173 D.3234．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为()A.13B．1C.43 D.835．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝14，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为()A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2二、填空题6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________. 【导学号：97270049】7．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．8.如图2-3-2，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.图2-3-2三、解答题9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．[能力提升]1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2 000元B．2 200元C．2 400元D．2 600元3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.4．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于() A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【解析】∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.【答案】 D2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为() A．0.6 B．1C．3.5 D．2【解析】抛掷骰子所得点数ξ的分布列为ξ12345 6P 161616161616所以E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5.【答案】 C3．设ξ的分布列为ξ123 4P 16161313又设η＝2ξ＋5，则E(A.76B.176C.173D.323【解析】 E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.【答案】 D4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min ，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为( )A.13 B ．1 C.43D.83【解析】 遇到红灯的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴E (X )＝43. ∴E (Y )＝E (2X )＝2×43＝83. 【答案】 D5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14，k ＝1,2,3,4，则E (X )的值为( ) A ．2.5 B ．3.5 C ．0.25 D ．2【解析】 E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝2.5. 【答案】 A 二、填空题6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X ，则E (X )＝________. 【导学号：97270049】【解析】 X 可能的取值为0,1,2，P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E (X )＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.【答案】 1.757．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．【解析】 随机变量X 的取值为0,1,2,4，P (X ＝0)＝34，P (X ＝1)＝19，P (X ＝2)＝19，P (X ＝4)＝136，因此E (X )＝49.【答案】 498.如图2-3-2，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________.图2-3-2【解析】 依题意得X 的取值可能为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125.故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.【答案】 65 三、解答题9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】 设来领奖的人数ξ＝k (k ＝0,1，…，3 000)，∴P (ξ＝k )＝C k 3 000(0.04)k (1－0.04)3 000－k， 则ξ～B (3 000,0.04)，那么E (ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【解】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．[能力提升]1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y 的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定【解析】E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.由于E (Y )>E (X )， 故甲比乙质量好． 【答案】 A2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 600元【解析】 出海的期望效益E (ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．【答案】 B3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【解析】 ∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53. 【答案】 534．(2015·山东高考)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．【解】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此，P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.所以X的分布列为则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.。