浙江省宁波市 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.若ab =34，则a+bb=（）A. 2B. 74C. 54D. 322.分别写有数字0，-1，-2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）A. 15B. 25C. 35D. 453.把抛物线y=3x2向右平移一个单位，则所得抛物线的解析式为（）A. y=3(x+1)2B. y=3(x−1)2C. y=3x2+1D. y=3x2−14.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A. 3：2B. 3：1C. 1：1D. 1：25.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A. 45∘B. 85∘C. 90∘D. 95∘6.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c-0.06 -0.02 0.03 0.09A. 3<x<3.23B. 3.23<x<3.24C. 3.24<x<3.25D. 3.25<x<3.267.圆中与半径相等的弦所对的圆周角度数是（）A. 30∘B. 60∘C. 150∘D. 30∘或150∘8.小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点（-1，y1），（12，y2），（-312，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（）A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y1>y2D. y3>y2>y19.下列命题中：①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦；③直径是弦；④同弧或等弧所对的圆心角相等；⑤相等的圆周角所对的弧相等．其中不正确的命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（）A. 16cm2B. 8√3cm2C. 16√3cm2D. 12√3cm211.如图，小明使一长为8厘米，宽为6厘米的长方形木板在桌面上作无滑动的滚动（顺时针方向），木板上的点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使木块与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（）A. 20厘米B. 8π厘米C. 7π厘米D. 5π厘米12.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是______ ．14.已知线段a=3，b=27，则a，b的比例中项线段长等于______ ．15.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽为20cm，则贴纸部分的面积为______cm2．16.如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=______．17.当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的范围是______ ．18.已知：如图，矩形ABCD中，E，F是CD的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，则EG+FH= ______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.点P是Rt△ABC的斜边AB上异于A、B的一点，过P点作直线PE截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，请你在图中画出满足条件的直线，并标出必要的标记．20.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“宁”、“波”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宁”的概率为多少．（2）若从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“宁波”的概率．21.已知：如图，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB．（2）若AD=5，BC=8，求BD的长．22.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若AB=4，AC=2√3，求：（1）∠A的度数；（2）弦CD的长；（3）弓形CBD的面积．23.如图，已知二次函数y=a（x-h）2+√3的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？24.已知：如图，△ABC中，BC=12，点O是BC上的一个动点，连结AO，点P也是AO上的一个动点，过点P作PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E．（1）若点O是BC上的中点，点P也是AO的中点时，求DE的长．（2）若AP=2PO，求DE的长．25.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数．，其中y1的图象经过（2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+54点P（1，1），y2与y1为“同簇二次函数”，①求m的值及函数y2的表达式．②如图点A和点C是函数y1上的点，点B和点D是函数y2上的点，且都在对称轴的值（只需直接答案）．右侧，若AB∥CD∥x轴，BC⊥AB，求CDAB26.如图，已知抛物线y=ax2-3x+c与x轴相交于A、B两2点，并与直线y=x-2交于B、C两点，其中点C是直x-2与y轴的交点，连接AC．线y=12（1）求B、C两点坐标以及抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵=，∴设a=3k，b=4k，∴==，故选B．设a=3k，b=4k，代入后求出即可．本题考查了比例的性质的应用，注意：如果=，那么ad=bc．2.【答案】B【解析】解：∵五张卡片分别标有0，-1，-2，1，3五个数，数字为负数的卡片有2张，∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为．故选：B．让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3.【答案】B【解析】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（1，0）．可设新抛物线的解析式为：y=3（x-h）2+k，代入得：y=3（x-1）2．故选B．抛物线平移不改变a的值．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．4.【答案】D【解析】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．5.【答案】B【解析】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠C=50°，∴∠BAC=40°，∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°，∴∠CAD=∠DBC=45°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，故选：B．根据圆周角定理以及推论和角平分线的定义可分别求出∠BAC和∠CAD的度数，进而求出∠BAD的度数．本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．6.【答案】C【解析】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．故选：C．根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．7.【答案】D【解析】解：如图，∵AB=OB=OA，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°-∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．故选D．根据题意画出几何图，易得△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，于是根据圆周角定理得到∠ACB=∠AOB=30°，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，这样得到弦AB所对的圆周角的度数．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半角是解答此题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵对称轴为x=-=-1，∴（-3，y3）的对称点坐标为（1，y3），∵-1＜＜1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴y3＞y2＞y1．故选D．先判断二次函数y=2x2+4x+5的对称轴为x=-=-1；由（-3，y3）得对称点的横坐标为x3=-1×2-（-3）=1，对称点坐标为（1，y3），根据二次函数图象的性质：a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，因为-1＜＜1；所以y3＞y2＞y1．本题的关键是找到二次函数的对称轴；掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．9.【答案】A【解析】解：①同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故①错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误；③直径是弦，故③正确；④同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，故④错误；⑤同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故⑤错误；故选：A．根据垂径定理，圆周角定理，圆心角定理，可得答案．本题考查了命题与定理，熟悉圆的性质定理是解题关键．10.【答案】D【解析】解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴=，=，∴S△AFG：S△ABC=4：9，S△AEH：S△ABC=1：9，∴S阴影部分的面积=S△ABC-S△ABC=S△ABC，∵S△ABC=×12×6=36，∴S阴影部分的面积=12．故选D．根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG 面积比，再求出S△ABC，即可得到结果．本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．11.【答案】C【解析】解：第一次是以B为旋转中心，BA长10cm为半径旋转90°，此次点A走过的路径是．第二次是以C为旋转中心，6cm为半径旋转60°，此次走过的路径是，∴点A两次共走过的路径是7π．故选C将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长10cm 为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，6cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．本题主要考查了弧长公式l=，注意两段弧长的半径不同，圆心角不同．12.【答案】C【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（-1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（-1，2），∴a-b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，∴b=2a，∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．13.【答案】（0，1）【解析】解：∵y=2x2+1，∴顶点坐标为（0，1），故答案为：（0，1）．由抛物线的解析式可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．14.【答案】9【解析】解：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8，∴=，∴a，b的比例中项线段长等于9，故答案为：9．根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．15.【答案】800π3【解析】解：S=-=cm2．扇形面积公式S=lr可计算出两个扇形的面积，然后相减即可得．主要考查了扇环的面积求法．一般情况下是让大扇形的面积减去小扇形的面积求扇环面积．16.【答案】5【解析】解：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为OE⊥AP 于E，OF⊥PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为△APB 中位线．根据三角形中位线定理，EF=AB=×10=5．根据垂径定理和三角形中位线定理求解．此题是一道动点问题．解答此类问题的关键是找到题目中的不变量．17.【答案】2或-√3【解析】解：二次函数对称轴为直线x=m，①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，解得，m=-，∵-＞-2，∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，解得m=±，所以，m=-，③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，解得，m=2，综上所述，m=2或-时，二次函数有最大值．故答案为：2或-．求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．18.【答案】√5【解析】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形．∵EG⊥AC，FH⊥AC，∴∠CHF=∠AGQ=90°，∵矩形ABCD中，CD∥AB，∴∠FCH=∠QAG，在△FCH和△QAG中，，∴△FCH≌△QAG（ASA），∴AQ=CF=2，FH=QG，∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，∴四边形ADEM是矩形，∴AM=DE=1，EM=AD=2，∴MQ=2-1=1，∴Rt△EMQ中，EQ===，即EG+QG=EG+FH=．故答案为：．先过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，四边形ADEM是矩形，先判定△FCH≌△QAG（ASA），得出AQ=CF=2，FH=QG，然后在Rt △EMQ 中，根据勾股定理求得EQ==，即可得到EG+QG=EG+FH=．本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形、矩形以及全等三角形，根据矩形对边相等及全等三角形对应边相等进行计算求解． 19.【答案】解：如图1，作PE ⊥AC 交AC 于E ，则△APE ∽△ABC ；如图2，作PE ⊥BC 交BC 于E ，则△BPE ∽△BAC ； 如图3，作PE ⊥AB 交AC 于E ，则△APE ∽△ACB ．【解析】过点P 分别作AC ，BC 和AB 的垂线，然后利用两组对应角相等的两三角形相似可判断画图的正确性．本题考查了作图-相似变换：相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 20.【答案】解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宁”的概率=14；（2）画树状图为：（用A 、B 、C 、D 分别表示标有汉字“美”、“丽”、“宁”、“波”的四个小球）共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“宁波”的结果数为4，所以取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“宁波”的概率=412=13． 【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图（用A 、B 、C 、D 分别表示标有汉字“美”、“丽”、“宁”、“波”的四个小球）展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“宁波”的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21.【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，∴AD：BD=BD：BC，∵AD=5，BC=8，∴BD=√40=2√10．【解析】（1）由已知条件可得∠ADB=∠DBC，再利用∠A=∠BDC即可求证△ABD∽△DCB．（2）由（1）中的相似三角形性质可得关于BD的比例式，代入数值计算即可．此题主要考查了相似三角形的判定和平行线的性质，难易程度适中，熟记相似三角形的各种判断方法以及相似的各种性质是解题关键．22.【答案】解：（1）连接CB，AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∴CB2=AB2-AC2=42-（2√3）2=16-12=4∴CB=2=12AB∴∠A=30°；（2）∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CP=12AC=√3，CD=2CP=AC=2√3；（3）连接CO，OD，∵CO=AO，∴∠A=∠ACO=30°，∠COB=2∠A=60°，∴∠COD=120°，∴S扇形COD=120⋅π×22360=43π，∵OP=12OC=1，∴S△COD=12CD•OP=√3，∴弓形CBD的面积=S扇形COD-S△COD=4π-√3．3【解析】（1）连接CB，AC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°；解直角三角形即可得到结论；（2）解直角三角形得到CP=AC=根据垂径定理即可得到结论；（3）连接CO，OD，根据圆周角定理得到∠COD=120°，求得S扇形COD= =π，S△COD=CD•OP=，于是得到结论．此题考查了垂径定理、勾股定理以及扇形的面积的计算，注意掌握数形结合思想的应用．23.【答案】解：（1）∵二次函数y=a（x-h）2+√3的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．解得：h=1，a=-√3，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=1OA′=1，2∴A′B=√3OB=√3，∴A′点的坐标为（1，√3），∴点A′为抛物线y=-√3（x-1）2+√3的顶点．【解析】（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴于B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=-（x-1）2+的顶点．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，x ＜-时，y 随x 的增大而减小；x ＞-时，y 随x 的增大而增大；x=-时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，x ＜-时，y 随x 的增大而增大；x ＞-时，y 随x 的增大而减小；x=-时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．24.【答案】解：（1）∵点O 是BC 上的中点，点P 也是AO 的中点，PD ∥AB 交BC 于D ，PE ∥AC 交BC 于E ，∴OD =12BO ，OE =12CO ， ∴DE =12BC =12×12=6；（2）∵PD ∥AB 交BC 于D ，PE ∥AC 交BC 于E ， ∴ODOB =OPOA ，OEOC =OPOA ， ∵AP =2PO ， ∴OP OA =13，∴OD =13OB ，OE =13OC ， ∴DE =13BC =4． 【解析】（1）根据三角形的中位线的性质即可得到结论； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，，代入数据即可得到结论．本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵y =x 2和y =2x 2的顶点均为（0，0），且开口向上，∴y =x 2和y =2x 2为“同簇二次函数”．（2）①把P （1，1）代入y 1=2x 2-4mx +2m 2+1， 得：1=2-4m +2m 2+1，解得：m =1， ∴y 1=2x 2-4x +3=2（x -1）2+1． ∵y 2与y 1为“同簇二次函数”，∴顶点一样为（1，1），即y 2=a （x -1）2+1， ∴a +1=54， ∴a =14，∴函数y 2的表达式为y 2=14（x -1）2+1=14x 2-12x +54． ②设点B 的坐标为（n ，14（n -1）2+1）（n ＞1）， ∵AB ∥x 轴，∴点A 的坐标为（√24（n -1）+1，14（n -1）2+1），∵AB ∥CD ∥x 轴，BC ⊥AB ，∴点C 的坐标为（n ，2（n -1）2+1），点D 的坐标为（2√2（n -1）+1，2（n -1）2+1）．∴AB =n -[√24（n -1）+1]=（n -1）（1-√24），CD =2√2（n -1）+1-n =（n -1）（2√2-1），∴CD AB =(n−1)(2√2−1)(n−1)(1−√24)=2√2−14−√24=2√2．【解析】（1）根据“同簇二次函数”的定义，只要两个函数的顶点、开口方向都一样即可； （2）①把P 点坐标代入y 1=2x 2-4mx+2m 2+1，可求得m 的值，则可求得其解析式；由y 1的解析式可求得其顶点坐标，则可得y 2的顶点坐标，代入可求得y 2的解析式；②设点B 的坐标为（n ，（n-1）2+1）（n ＞1），由AB ∥CD ∥x 轴和BC ⊥AB 利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出点B 、C 、D 的坐标，再根据两点间的距离可求出AB 、CD 的长度，将其代入即可得出结论．本题考查了“同簇二次函数”的定义、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据“同簇二次函数”的定义写出二次函数；（2）①利用待定系数法求出函数解析式；②利用二次函数图象上点的坐标特征找出点B 、C 、D 的坐标．26.【答案】（1）解：∵直线y =12x -2交x 轴、y 轴于B 、C 两点，∴B （4，0），C （0，-2）， ∵y =ax 2-32x +c 过B 、C 两点， ∴{16a −6+c =0c =−2， 解得 {a =12c =−2，∴y =12x 2-32x -2．（2）证明：如图1，连接AC ，∵y =12x 2-32x -2与x 负半轴交于A 点，∴A （-1，0）， 在Rt △AOC 中， ∵AO =1，OC =2， ∴AC =√5，在Rt △BOC 中， ∵BO =4，OC =2， ∴BC =2√5，∵AB =AO +BO =1+4=5， ∴AB 2=AC 2+BC 2，∴△ABC 为直角三角形．（3）解：△ABC 内部可截出面积最大的矩形DEFG ，面积为，理由如下： ①如图2中，当四边形EFGC 是矩形时，此时△AGF ∽△ACB ∽△FEB ．第21页，共22页设GC =x ，AG =√5-x ， ∵AG AC =FG CB ，∴√5−x√5=FG 2√5， ∴GF =2√5-2x ， ∴S =GC •GF =x •（2√5-2x ）=-2x 2+2√5x =-2（x -√52）2+52 即当x =√52时，S 最大，为52． ②如图3，当四边形EFGD 是矩形时，此时△CDE ∽△CAB ∽△GAD ，设GD =x ，∵AD AB =GDCB ，∴AD 5=2√5，∴AD =√52x ， ∴CD =CA -AD =√5-√52x ， ∵CD AC =DE AB ，∴√5−√52x √5=DE5， ∴DE =5-52x ，第22页，共22页 ∴S =GD •DE =x •（5-52x ）=-52x 2+5x =-52（x -1）2+52，即x =1时，S 最大，为52．综上所述，△ABC 内部可截出面积最大的矩形DEFG ，面积为52．【解析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可解决问题．（2）根据勾股定理的逆定理即可判断．（3）分两种情形求出矩形的面积的最大值①如图2中，当四边形EFGC 是矩形时，此时△AGF ∽△ACB ∽△FEB ．②如图3，当四边形EFGD 是矩形时，此时△CDE ∽△CAB ∽△GAD ，分别构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查二次函数的综合题、勾股定理的逆定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．。
【5套打包】宁波市初三九年级数学上期中考试测试题(含答案解析)
新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(含答案)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.抛物线y＝2x2－1的顶点坐标是(A)A．(0，－1) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，0)2．如果x＝－1是方程x2－x＋k＝0的解，那么常数k的值为(D)A．2 B．1 C．－1 D．－23．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是(B)A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－1 4．小明在解方程x2－4x－15＝0时，他是这样求解的：移项，得x2－4x＝15，两边同时加4，得x2－4x＋4＝19，∴(x－2)2＝19.∴x－2＝±19.∴x1＝2＋19，x2＝2－19.这种解方程的方法称为(B)A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)A B C D6．已知抛物线y＝－2x2＋x经过A(－1，y1)和B(3，y2)两点，那么下列关系式一定正确的是(C)A．0＜y2＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y2＜y1＜0 D．y2＜0＜y17．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是(D)A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(D)A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是(D) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞c10．如图，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ，AC 与DB 交于点P ，DE 与CB 交于点Q ，连接PQ.若AD ＝5 cm ，PB AB ＝25，则PQ 的长为(A)A ．2 cm B.52 cm C ．3 cm D.72cm二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．在平面直角坐标系中，点A(0，1)关于原点对称的点是(0，－1)． 12．方程x(x ＋1)＝0的根为x 1＝0，x 2＝－1．13．某楼盘2016年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2018年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为8__100(1－x)2＝7__600． 14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中x ，y 的部分对应值如下表：则当x ＝－2时，y 的值为11．15.如图，射线OC 与x 轴正半轴的夹角为30°，点A 是OC 上一点，AH ⊥x 轴于H ，将△AOH 绕着点O 逆时针旋转90°后，到达△DOB 的位置，再将△DOB 沿着y 轴翻折到达△GOB 的位置．若点G恰好在抛物线y＝x2(x＞0)上，则点A三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(共题共2个小题，每小题5分，共10分)(1)解方程：x(x＋5)＝5x＋25；解：x(x＋5)＝5(x＋5)，x(x＋5)－5(x＋5)＝0，∴(x－5)(x＋5)＝0.∴x－5＝0或x＋5＝0.∴x1＝5，x2＝－5.(2)已知点(5，0)在抛物线y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求出抛物线的对称轴．解：将点(5，0)代入y＝－x2＋(k＋1)x－k，得0＝－52＋5×(k＋1)－k，解得k＝5.∴y＝－x2＋6x－5.∴该抛物线的对称轴为直线x＝－62×（－1）＝3.17．(本题6分)如图所示的是一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米，建立平面直角坐标系如图所示．求抛物线的解析式．解：设该抛物线的解析式为y＝ax2.由图象可知，点B(10，－4)在函数图象上，代入y＝ax2，得100a＝－4，解得a＝－125，∴该抛物线的解析式为y＝－125x2.18．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．(1)请你写出旋转中心的坐标是(0，0)；(2)以(1)中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°后的三角形．解：如图，△B 1A 1C 2，△BB 1C 3即为所求作图形．19．(本题7分)(1)求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标； (2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴只有一个交点，求a 的值． 解：(1)令y ＝0，则有x 2＋x －2＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－2.∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴只有一个交点， ∴令y ＝0，即－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.20．(本题7分)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H.(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连接CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)FG ⊥DE ，理由如下：∵把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE ，∴∠DEB ＝∠ACB. ∵把△ABC 沿射线平移至△FEG ，∴∠GFE ＝∠A.∵∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠ACB ＝90°.∴∠DEB ＋∠GFE ＝90°.∴∠FHE ＝90°. ∴FG ⊥DE.(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF ＝90°，∠CBE ＝90°，CG ∥EB ，CB ＝BE ， ∵CG ∥EB ，∴∠BCG ＝∠CBE ＝90°.∴四边形CBEG 是矩形．又∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形.21．(本题12分)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元(x＞0)时，平均每天可盈利y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)根据(1)中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．解：(1)根据题意，得y＝(20＋2x)(60－40－x)＝(20＋2x)(20－x)＝400＋40x－20x－2x2＝－2x2＋20x＋400.∴y＝－2x2＋20x＋400.(2)①当x＝5时，y＝－2×52＋20×5＋400＝450，∴当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利450元．②当y＝400时，400＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＝0，解得x1＝10，x2＝0(不合题意，舍去)，∴当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元．③该专卖店平均每天盈利不可能为600元．理由：当y＝600时，600＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＋100＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×100＝－300＜0，∴方程没有实数根．故该专卖店平均每天盈利不可能为600元．问题情境：(1)如图1，两块等腰直角三角板△ABC 和△ECD 如图所示摆放，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点F ，H ，G 分别是线段DE ，AE ，BD 的中点，A ，C ，D 和B ，C ，E 分别共线，则FH 和FG 的数量关系是FH ＝FG ，位置关系是FH ⊥FG ； 合作探究：(2)如图2，若将图1中的△DEC 绕着点C 顺时针旋转至A ，C ，E 在一条直线上，其余条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若将图1中的△DEC 绕着点C 顺时针旋转一个锐角，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：(2)(1)中的结论还成立．证明：延长AD 交BE 于点M.∵CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ＝90°， ∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠CAD ＝∠CBE.∵∠CBE ＋∠CEB ＝90°，∴∠CAD ＋∠CEB ＝90°.∴∠AME ＝90°.∴AD ⊥BE. ∵F ，H ，G 分别是DE ，AE ，BD 的中点，∴FH ＝12AD ，FH ∥AD ，FG ＝12BE ，FG ∥BE.∴FH ＝FG.∵AD ⊥BE ，∴FH ⊥FG.∴(1)中结论还成立． (3)(1)中的结论仍成立．证明：连接AD ，BE ，两线交于点Z ，AD 交BC 于点X. 同(2)可得FH ＝12AD ，FH ∥AD ，FG ＝12BE ，FG ∥BE.∵△ECD ，△ACB 都是等腰直角三角形，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴CE ＝CD ，AC ＝BC. ∴∠ACD ＝∠BCE.∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠EBC ＝∠DAC.∴FH ＝FG. ∵∠DAC ＋∠CXA ＝90°，∠CXA ＝∠DXB ，∴∠DXB ＋∠EBC ＝90°.∴∠BZA ＝180°－90°＝90°.∴AD ⊥BE. ∵FH ∥AD ，FG ∥BE ，∴FH ⊥FG.∴(1)中的结论仍成立．如图，二次函数y ＝－14x 2＋32x ＋4的图象与x 轴交于点B新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(含答案)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.抛物线y ＝2x 2－1的顶点坐标是(A)A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(1，0) 2．如果x ＝－1是方程x 2－x ＋k ＝0的解，那么常数k 的值为(D) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－23．将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是(B)A ．y ＝(x ＋2)2＋1 B ．y ＝(x －2)2＋1 C ．y ＝(x ＋2)2－1 D ．y ＝(x －2)2－1 4．小明在解方程x 2－4x －15＝0时，他是这样求解的：移项，得x 2－4x ＝15，两边同时加4，得x 2－4x ＋4＝19，∴(x －2)2＝19.∴x －2＝±19.∴x 1＝2＋19，x 2＝2－19.这种解方程的方法称为(B)A ．待定系数法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法 5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)A B C D6．已知抛物线y ＝－2x 2＋x 经过A(－1，y 1)和B(3，y 2)两点，那么下列关系式一定正确的是(C)A ．0＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜0C ．y 2＜y 1＜0D ．y 2＜0＜y 17．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，则方程(a ＋b)x 2＋2cx ＋(a ＋b)＝0的根的情况是(D)A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．可能有且只有一个实数根D ．没有实数根8．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB ′C ′D ′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(D) A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是(D) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞c10．如图，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转60°得到△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ，AC 与DB 交于点P ，DE 与CB 交于点Q ，连接PQ.若AD ＝5 cm ，PB AB ＝25，则PQ 的长为(A)A ．2 cm B.52 cm C ．3 cm D.72cm二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．在平面直角坐标系中，点A(0，1)关于原点对称的点是(0，－1)． 12．方程x(x ＋1)＝0的根为x 1＝0，x 2＝－1．13．某楼盘2016年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2018年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为8__100(1－x)2＝7__600． 14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中x ，y 的部分对应值如下表：则当x ＝－2时，y 的值为11．15.如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH 绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置．若点G恰好在抛物线y＝x2(x＞0)上，则点A三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(共题共2个小题，每小题5分，共10分)(1)解方程：x(x＋5)＝5x＋25；解：x(x＋5)＝5(x＋5)，x(x＋5)－5(x＋5)＝0，∴(x－5)(x＋5)＝0.∴x－5＝0或x＋5＝0.∴x1＝5，x2＝－5.(2)已知点(5，0)在抛物线y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求出抛物线的对称轴．解：将点(5，0)代入y＝－x2＋(k＋1)x－k，得0＝－52＋5×(k＋1)－k，解得k＝5.∴y＝－x2＋6x－5.∴该抛物线的对称轴为直线x＝－62×（－1）＝3.17．(本题6分)如图所示的是一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米，建立平面直角坐标系如图所示．求抛物线的解析式．解：设该抛物线的解析式为y＝ax2.由图象可知，点B(10，－4)在函数图象上，代入y＝ax2，得100a＝－4，解得a＝－125，∴该抛物线的解析式为y＝－125x2.18．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．(1)请你写出旋转中心的坐标是(0，0)；(2)以(1)中的旋转中心为中心，画出△A 1AC 1顺时针旋转90°，180°后的三角形．解：如图，△B 1A 1C 2，△BB 1C 3即为所求作图形．19．(本题7分)(1)求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标； (2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴只有一个交点，求a 的值． 解：(1)令y ＝0，则有x 2＋x －2＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－2.∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴只有一个交点， ∴令y ＝0，即－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.20．(本题7分)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H.(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连接CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)FG ⊥DE ，理由如下：∵把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE ，∴∠DEB ＝∠ACB. ∵把△ABC 沿射线平移至△FEG ，∴∠GFE ＝∠A.∵∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠ACB ＝90°.∴∠DEB ＋∠GFE ＝90°.∴∠FHE ＝90°. ∴FG ⊥DE.(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠CBE＝90°.∴四边形CBEG是矩形．又∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形.21．(本题12分)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元(x＞0)时，平均每天可盈利y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)根据(1)中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．解：(1)根据题意，得y＝(20＋2x)(60－40－x)＝(20＋2x)(20－x)＝400＋40x－20x－2x2＝－2x2＋20x＋400.∴y＝－2x2＋20x＋400.(2)①当x＝5时，y＝－2×52＋20×5＋400＝450，∴当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利450元．②当y＝400时，400＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＝0，解得x1＝10，x2＝0(不合题意，舍去)，∴当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元．③该专卖店平均每天盈利不可能为600元．理由：当y＝600时，600＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＋100＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×100＝－300＜0，∴方程没有实数根．故该专卖店平均每天盈利不可能为600元．22．(本题12分)综合与实践：问题情境：(1)如图1，两块等腰直角三角板△ABC 和△ECD 如图所示摆放，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点F ，H ，G 分别是线段DE ，AE ，BD 的中点，A ，C ，D 和B ，C ，E 分别共线，则FH 和FG 的数量关系是FH ＝FG ，位置关系是FH ⊥FG ；合作探究：(2)如图2，若将图1中的△DEC 绕着点C 顺时针旋转至A ，C ，E 在一条直线上，其余条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若将图1中的△DEC 绕着点C 顺时针旋转一个锐角，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：(2)(1)中的结论还成立．证明：延长AD 交BE 于点M.∵CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ＝90°，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠CAD ＝∠CBE.∵∠CBE ＋∠CEB ＝90°，∴∠CAD ＋∠CEB ＝90°.∴∠AME ＝90°.∴AD ⊥BE.∵F ，H ，G 分别是DE ，AE ，BD 的中点，∴FH ＝12AD ，FH ∥AD ，FG ＝12BE ，FG ∥BE.∴FH ＝FG. ∵AD ⊥BE ，∴FH ⊥FG.∴(1)中结论还成立．(3)(1)中的结论仍成立．证明：连接AD ，BE ，两线交于点Z ，AD 交BC 于点X.同(2)可得FH ＝12AD ，FH ∥AD ，FG ＝12BE ，FG ∥BE. ∵△ECD ，△ACB 都是等腰直角三角形，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴CE ＝CD ，AC ＝BC. ∴∠ACD ＝∠BCE.∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE ，∠EBC ＝∠DAC.∴FH ＝FG.∵∠DAC ＋∠CXA ＝90°，∠CXA ＝∠DXB ，∴∠DXB ＋∠EBC ＝90°.∴∠BZA ＝180°－90°＝90°.∴AD ⊥BE.∵FH ∥AD ，FG ∥BE ，∴FH ⊥FG.∴(1)中的结论仍成立．23．(本题14分)综合与探究：如图，二次函数y ＝－14x 2＋32x ＋4的图象与x 轴交于点B新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）A ．（2，﹣3）B ．（﹣3，﹣3）C ．（2，3）D ．（﹣4，6）2．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，＝，AE ＝2cm ，则AC 的长是（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm3．已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +1＝0的一个根，则m 的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在双曲线y ＝（k ＜0）上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 26．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、。
2022-2023学年浙江省宁波市海曙区部分学校九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年浙江省宁波市海曙区部分学校九年级（上）期中数学试卷1. 若yx =23，则x+yx的值为( )A. 53B. 52C. 35D. 232. 小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )A. 小亮明天的进球率为10%B. 小亮明天每射球10次必进球1次C. 小亮明天有可能进球D. 小亮明天肯定进球3. 如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=( )A. 44°B. 45°C. 54°D. 67°4. 将抛物线y=x2−4x−4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为( )A. y=(x+1)2−13B. y=(x−5)2−3C. y=(x−5)2−13D. y=(x+1)2−35. 函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y=a(x−b)2+c的图象正确的是( )A. B.C. D.6. 下列语句中，正确的有( )①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是( )A. 72°B. 70°C. 60°D. 45°8. 已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GD//AB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为( )A. 6B. 8C. 9D. 129. 二次函数y =−x 2+2x +4，当−1≤x ≤2时，则( )A. 1≤y ≤4B. y ≤5C. 4≤y ≤5D. 1≤y ≤510. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB =10，点C 是AB 上方半圆上的一点，点D 是AB 下方半圆上的中点．连接AC ，BC ，AD ，过点D 作DE//AB 交CB 的延长线于点E.若AD =5√2，则当下列哪种情况时，AC ⋅CE 取得最大值( )A. CD 取最大值时B. AC ⊥AD 时C. CD ⊥DE 时D. OC ⊥AB 时 11. 已知线段a =6cm ，线段b =8cm ，则线段a ，b 的比例中项线段长为______cm ．12. 下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果．移植总数n5 50 200 500 1000 3000 成活数m4 45 188 476 951 2850 成活的频率m n 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为______．13. 如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是______．14. 如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为______．15. 二次函数y=(x−2)(x+c)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC为直角三角形，则c=______．16. 如图，在平行四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O与BC边的中点交于点E，与对角线AC的值为______．交于点F，作EG⊥AC，垂足为G.若FA=3CF ，则CGGD17. 如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A、B、C、D表示)．18. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE=∠ACB．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长．19. 已知函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象与x轴交于点(−1,0)和(4,0)．(1)写出它与y轴交点的坐标，并求出它的函数表达式．(2)求它的顶点坐标．20. 如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E.连接AB、OB、BC．(1)求证：∠CBO=∠ABD；(2)若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．21. 如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图(要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论)．(1)将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C，请在图1中作出△A1B1C.(2)在图2中，在AC所在直线的左侧画∠AEC，使得∠AEC=∠B．(3)在图3中，仅用无刻度直尺在线段AC上找一点M，使得AM=MC2．322. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？23. 如图，设抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点P为该抛物线第四象限上的一点，过P作PH⊥x轴交BC于点Q．(1)求直线BC的解析式；(2)求线段PQ的最大值；(3)当△PBC面积最大时，求点P的坐标；(4)当△CPQ为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．24. 如图，AB为⊙O的弦，P是优弧APB上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PF⊥AB，交OB于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，连结CE．(1)当∠A=∠AOC=30°时，求∠ECB的大小；(2)当CE//OA时，求证：AD⏜=DG⏜=GB⏜；(3)当AC=CE，CF=FB时，求AC的值．CB答案和解析1.【答案】A【解析】根据比例设x=3k，y=2k(k≠0)，然后代入比例式进行计算即可得解．解：∵yx =23，∴设x=3k，y=2k(k≠0)，∴x+yx =3k+2k3k=53．故选：A．本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．2.【答案】C【解析】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球．故选：C．直接利用概率的意义分析得出答案．此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．3.【答案】A【解析】解：如图，连接OB，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∵OA=OB，∴∠OAB=180°−92°2=44°．故选：A．根据圆周角定理可得∠AOB的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题．先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x2−4x−4的顶点坐标为(2,−8)，再利用点平移的规律得到把点(2,−8)平移后所得对应点的坐标为(−1,−3)，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．【解答】解：因为y=x2−4x−4=(x−2)2−8，所以抛物线y=x2−4x−4的顶点坐标为(2,−8)，把点(2,−8)向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为(−1,−3)，所以平移后的抛物线的函数表达式为y=(x+1)2−3．故选D．5.【答案】B【解析】解：由y=ax2+bx+c的图象可得，a<0，b>0，c>0，∵函数y=a(x−b)2+c，∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为(b,c)，且该函数图象的顶点在第一象限，故选：B．先根据y=ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y=a(x−b)2+c的图象的开口方向，顶点坐标，解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意．本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的正负情况，利用二次函数的性质解答．6.【答案】A【解析】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．7.【答案】A【解析】解：在正五边形ABCDE中，∠B=∠BCD=15×(5−2)×180=108°，AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=12(180°−108°)=36°，∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=108°−36°=72°．故选：A．由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题是基础题，比较简单．8.【答案】C【解析】解：连接CG并延长交AB于E，如图，∵点G是△ABC的重心，∴CG=2EG，∵DG//AB，∴CD BD =CGEG=2，∴S△GDC=2S△BDG=2，∴S△BCG=1+2=3，而EG=12CG，∴S△BEG=12S△BCG=32，∴S △BCE =32+3=92， ∵CE 为中线，∴S △ABC =2S △BCE =2×92=9． 故选：C ．连接CG 并延长交AB 于E ，如图，利用三角形重心性质得到CG =2EG ，则利用平行线分线段成比例得到CD BD =CG EG=2，再根据三角形面积公式得到S △GDC =2S △BDG =2，则S △BCG =3，接着求出S △BEG =32，从而得到S △BCE =92，然后利用CE 为中线得到S △ABC ．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式．9.【答案】D【解析】解：∵二次函数y =−x 2+2x +4=−(x −1)2+5， ∴该抛物线的对称轴为直线x =1，且a =−1<0， ∴当x =1时，二次函数有最大值为5，∵|−1−1|>|2−1|∴当x =−1时，二次函数有最小值为：−(−1−1)2+5=1，综上所述，二次函数y =−x 2+2x +4，当−1≤x ≤2时，1≤y ≤5， 故选：D ．先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向下，再根据变量x 在−1≤x ≤2的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y 的最大值与最小值，即可确定y 的取值范围．本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：连接BD ， ∵AB 是圆O 的直径， ∴∠ADB =90°， ∵AB =10，AD =5√2，∴BD=5√2，∴AD=BD，∴∠ACD=∠DCB，∵DE//AB，∴∠CBA=∠E，∵AC⏜=AC⏜，∴∠CBA=∠D，∴∠D=∠E，∴△ACD∽△DCE，∴AC CD =CDCE，∴AC⋅CE=CD2，∴当CD最大时，AC⋅CE有最大值，故选：A．连接BD，由已知先证明△ACD∽△DCE，从而得到AC⋅CE=CD2，再由CD的最大决定AC⋅CE的最大即可求解．本题考查圆的相关计算，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定及性质，直径所对的角是直角，勾股定理是解题的关键．11.【答案】4√3【解析】解：设它们的比例中项是x cm，根据题意得：x2=6×8，解得x=±4√3(线段是正数，负值舍去)，则线段a，b的比例中项线段长为4√3cm．故答案为：4√3．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．此题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．12.【答案】0.95【解析】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴这种幼苗可成活的概率可估计为0.95，故答案为：0.95．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】13【解析】解：列表如下：12322463369由表知，指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的有2种结果，∴指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为：26=13，故答案为：13．先用列表法得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】9√3−3π【解析】解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∵半径为6，∴AC=OC=3，∴OD=2OC=6，∴CD=√62−32=3√3，∴∠CDO=30°，∠COD=60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD −S△COD=60π×62360−12×3×3√3=6π−9√32，∴阴影部分的面积=90π×62360−2×(6π−9√32)=9√3−3π．故答案为9√3−3π．连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC=OC，则OD=2OC=6，CD=3√3，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD−S△COD，能进而求出答案．本题考查了扇形面积的计算和翻折变换．15.【答案】12【解析】解：∵y=(x−2)(x+c)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∴A，B两点坐标为(2,0)，(−c,0)当x=0时，y=−2c，∴点C坐标为(0,−2c)，∴AB=2+c，AC2=4+4c2，BC2=5c2，∵△ABC为直角三角形，∴AB2=AC2+BC2=5c2+4+4c2=(2+c)2，∴8c2−4c=0，∴c=12或c=0(舍去)，∴c=12．故答案为：12．首先根据抛物线的解析式求出A、B、C三点坐标，然后利用勾股定理即可求解．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，同时也利用了勾股定理，有一定的综合性．16.【答案】15【解析】解：如图，连接BF，AE，设AC与GE交于点M，∵AB是直径，∴∠AFB=∠AEB=90°，∵EG⊥AC，∴∠CME=90°，∴∠CME=∠CFB，∴ME//BF，∵点E为BC的中点，∴CM=MF，设CM=MF=x，则FA=6x，∵AE⊥BC，CE=BE，∴AC=AB=8x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD//AB，CD=AB=6x，∴∠GCM=∠CAB，∵∠CMG=∠AFB，∴△AFB∽△CMG，∴AF CM =ABCG，∴6xx =8xCG，∴CG=43x，∴CG CD =4x38x=16，∴CG DG =15，故答案为：15．连接BF，AE，设AC与GE交于点M，由圆周角定理得∠AFB=∠AEB=90°，则ME//BF，可得CM=MF=x，再说明AC=AB=8x，利用△AFB∽△CMG，得AFCM =ABCG，表示出CG的长，进而解决问题．本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用△AFB∽△CMG表示出CG的长是解题的关键．17.【答案】解：(1)共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是34；(2)列表得：共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，∴P(两张都是轴对称图形)=12，因此这个游戏公平．【解析】(1)首先根据题意结合概率公式可得答案；(2)首先根据已知列表，求得摸出两张牌面图形的形状，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．本题考查的是游戏公平性的判断，以及概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．18.【答案】解：(1)∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；(2)由(1)可知：△ADE∽△ACB，∴AD AC =AEAB，∵点E是AC的中点，设AE=x，∴AC=2AE=2x，∵AD=8，AB=10，∴8 2x =x10，解得：x1=2√10，x2=−2√10<０(舍去)，∴AE=2√10．【解析】(1)根据相似三角形的判定即可求证．(2)由于点E是AC的中点，设AE=x，根据相似三角形的性质可知ADAC =AEAB，从而列出方程解出x的值．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．19.【答案】解：(1)∵函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象与x轴交于点(−1,0)和(4,0)，∴{a−b−1=016a+4b−1=0，∴{a=14b=−34，∴y=14x2−34x−1，当x=0时，y=−1，∴与y轴交点的坐标为(0,−1)；(2)∵y=14x2−34x−1=14(x−32)2−2516，∴它的顶点坐标为(32,−2516).【解析】(1)首先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用解析式即可求出与y轴交点坐标；(2)利用配方法或者公式即可求出它的顶点坐标．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，同时也利用了待定系数法求抛物线的解析式，有一定的综合性．20.【答案】(1)证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，即∠ABD+∠CBD=90°，∵AC⊥BD，∴∠BEC=90°，∴∠C+∠CBD=90°，∴∠C=∠ABD，∵OB=OC，∴∠C=∠CBO，∴∠CBO=∠ABE；(2)解：∵AC⊥BD，∴BE=DE，∵AE=4cm，CE=16cm，∴AC=20cm，∴OB=10cm，OE=6cm，在Rt△OBE中，BE=√102−62=8(cm)，∴BD=2BE=16cm．【解析】(1)先根据圆周角定理得到∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得到∠C=∠ABD，然后利用∠C=∠CBO得到∠CBO=∠ABE；(2)先根据垂径定理得到BE=DE，再计算出OB=10cm，OE=6cm，则利用勾股定理可计算出BE，从而得到BD的长．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．21.【答案】解：(1)如图1，△A 1B 1C 即为所求；(2)如图2，点E 或E′即为所求； (3)如图3，点M 即为所求．【解析】(1)利用旋转的定义分别作出点A 、B 旋转后所得对应点，再与点C 首尾顺次连接即可； (2)由图可知：∠B =45°，结合网格特点求解即可；(3)可构造△APM∽△CQM ，AP//CQ ，AP =2，CQ =3，利用相似三角形的判定与性质，结合网格求解即可．本题主要考查作图，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及相似三角形的判定和性质．22.【答案】解：(1)设y =kx +b ，把(22,36)与(24,32)代入得：{22k +b =3624k +b =32，解得：{k =−2b =80，则y =−2x +80；(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元， 根据题意得：(x −20)y =150， 则(x −20)(−2x +80)=150， 整理得：x 2−60x +875=0，(x −25)(x −35)=0， 解得：x 1=25，x 2=35， ∵20≤x ≤28，∴x =35(不合题意舍去)，答：每本纪念册的销售单价是25元； (3)由题意可得：w =(x −20)(−2x +80) =−2x 2+120x −1600=−2(x −30)2+200， 此时当x =30时，w 最大，又∵售价不低于20元且不高于28元，∴x <30时，w 随x 的增大而增大，即当x =28时，w 最大=−2(28−30)2+200=192(元)，答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润=w 得出函数关系式是解题关键 (1)设y =kx +b ，根据题意，利用待定系数法确定出y 与x 的函数关系式即可； (2)根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；(3)根据题意结合销量×每本的利润=w ，进而利用二次函数增减性求出答案． ．23.【答案】解：(1)令y =0，则x 2−2x −3=0，∴x =3或x =−1， ∴A(−1,0)，B(3,0)， 令x =0，则y =−3， ∴C(0,−3)，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B(3,0)，C(0,−3)代入，得 {3k +b =0b =−3， 解得{k =1b =−3，∴直线BC 的解析式为y =x −3；(2)设P(x,x 2−2x −3)，则PQ =y Q −y P =(x −3)−(x 2−2x −3)=−x 2+3x =−(x −32)2+94， ∴PQ 的最大值为94；(3)∵S △PBC =12×PQ ×OB =32PQ ，由(2)知，当x =32时，此时P(32,−154)； (4)∵OB =OC ，且∠BOC =90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠OBC =45°，∵PH ⊥x 轴，∴∠HQB =45°，∴∠CQP =45°．设P(x,y)．当CP =PQ 时，得∠QCP =∠CQP =45°，∴∠CPQ =90°，∴CP//x 轴，QP//y 轴，∵点C(0,−3)，∴令y =−3，则x 2−2x −3=−3，解得x =0或2，∴P(2,−3)；当PC =CQ 时，∠PCQ =90°，有PQ =2x =−x 2+3x ，解得x =1或0(舍)，∴P(1,−4)；当CQ =PQ 时，CQ =√2x =−x 2+3x ，解得x =3−√2或0(舍)，∴P(3−√2,2−4√2)，∴△CPQ 为等腰三角形时，点P(2,−3)或(1,−4)或(3−√2,2−4√2).【解析】(1)由题意先求出B(3,0)，C(0,−3)，两点的坐标，代入y =kx +b 中即可求得y =x −3；(2)设P(x,x 2−2x −3)，PQ 两点横坐标相同，则两点距离即为纵坐标差值的绝对值，PQ =y Q −y P =−(x −32)2+94，有顶点式即可求出最大值．(3)S△PBC=12×PQ×OB=32PQ，当x=32，面积最大，此时P(32,−154).(4)分三种情况进行讨论，CP=PQ；PC=CQ；CQ=PQ三种情况，分别求解即可．本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数表达式，正确代入数据进行计算是解决本题的关键．24.【答案】(1)解：如图1，过点C作CH⊥OA于点H，设⊙O的半径为r，∵∠A=∠AOC=30°，∴OC=AC，∠BCO=∠A+∠AOC=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°，∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=120°−30°=90°，∴∠POE=180°−∠BOC=180°−90°=90°，∵CH⊥OA，∴AH=OH=12OA=12r，在Rt△OCH中，∠AOC=30°，∴OC=2CH，∵OH2+CH2=OC2，∴(12r)2+CH2=(2CH)2，∴CH=√36r，OC=AC=2CH=√33r，∵PF⊥AB，∴∠PFC=90°，∴∠P=90°−∠BCO=90°−60°=30°，∴PE=2OE，∵OP2+OE2=PE2，∴r2+OE2=(2OE)2，r，∴OE=√33∴OE=OC，∵∠COE=90°，∴∠OCE=∠OEC=45°，∴∠ECB=∠BCO−∠OCE=60°−45°=15°；(2)证明：如图，连接DG、AG、PB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵CE//OA，∴∠ECB=∠OAB，∴∠ECB=∠OBA，∴EC=EB，∵PF⊥AB，∴CF=BF，∴PF垂直平分BC，∴∠BPG=∠DPG，∴BG⏜=DG⏜，∵PD是⊙O的直径，∴∠PGD=90°，∵PF⊥AB，∴∠PFA=90°，∴∠PGD=∠PFA，∴AB//DG，∴∠BAG=∠AGD，∴BG⏜=AD⏜，∴AD⏜=DG⏜=GB⏜；(3)解：∵AC=CE，CF=FB，PF⊥CB，CF=FB，∴CE=EB，∴∠ECB=∠EBC，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠ECB=∠OAB，∴OA//EC，连接GC，GB，如图：∵OA//EC，设∠BPG=∠DPG=α，由(2)可知∠APD=∠GPD，∵PD是直径，根据对称性可得AC=CG，设OA=OB=r，AC=CE=a.CF=FB=b，CG=AC=a，∴CE=CG，PG⊥AB，∴CB弄直平分EG，又∵EB=EC，∴EG垂直平分BC，∴四边形ECGB是菱形，∴BG//EC//AO，∵AG⏜=AG⏜，∴∠ABG=∠APG=2α，∵AO//GB，∴∠OAC=∠ABG=2α，又∵∠AOC=2α，∴∠OAC=∠AOC=2α，∴AC=OC，∠BCO=∠CAO+∠COA=2α+2α=4α，又∵∠DOB=2∠DPB=4α，∴BO=BC，即r=2b，∵OA//EC，∴BE OE =BCAC，∴BE=CE=α，OE=r−a，BC=2b，AC=a，a r−a =2ba，∴a2=2b(r−a)，即r=a22b+a，∴a22b+a=2b，整理，得a2+2ab−4b2=0，同时除以4b2，得(a2b)2+a2b−1=0，解得a2b =√5−12(负值舍去)，即ACCB =√5−12．【解析】(1)连接CH，根据已知条件证明AH=OH=12OA=12r，再多次运用勾股定理求出∠ECB即可；(2)连接OG，PA，PB，根据OA//CE和其他已知条件证EC=EB，则∠AOD=∠PCE，再由垂直平分线的性质的性质得∠BPG=∠DPG，即BG⏜=DG⏜，再证AB//DG，在由两直线平行内错角相等和圆周角的性质可得出BG⏜=AD⏜，从而证出AD⏜=DG⏜=GB⏜；(3)根据题意，得出QA//EC，结合(2)的结论，连接GC，GB，证明四边形ECGB是菱形，设O4=OB=r，AC=CE=a，CF=FB=b，根据菱形的性质得出r=2b，由OA//EC，得出BEOE =BCAC，根据半径相等列出方程程a 22b+a=2b，解方程即可求解．本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，解一元二次方程，平行线分线段成比例，综合运用以上知识是解题的关键．。
【5套打包】宁波市初三九年级数学上期中考试单元测试卷(解析版)
新九年级（上）数学期中考试题(答案)(1)一、选择题1.已知∠A=40°,则它的余角为( )A.40°B.50°C.130°D.140°答案 B2.如图，四个立体图形中,从左面看,所看到的图形为长方形的( )A.①③B.①④C.②③D.③④答案 B3.下面说法:①线段AC=BC,则C是线段AB的中点;②两点之间直线最短;③延长直线AB;④一个角既有余角又有补角,它的补角一定比它的余角大.其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B4.如图,小于平角的角有( )A.9个B.8个C.7个D.6个答案 C5.如图,C,D是线段AB上两点,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AC的长等于( )A.3cmB.6cmC.11cmD.14cm答案 B6.小明由点A出发向正东方向走10m到达点B,再由点B向东南方向走10m到达点C,则下列结论正确的是( )A.∠ABC=22.5°B.∠ABC=45°C.∠ABC=67.5°D.∠ABC=135°答案 D7.如图,OC是∠AOB的平分线,OD是∠BOC的平分线,那么下列各式正确的是( )A.∠COD=∠AOBB.∠AOD=∠AOBC.∠BOD=∠AOBD.∠BOC=∠AOD答案 D8.在市委、市政府的领导下,全市人民齐心协力,将广安成功地创建为“全国文明城市”,为此小红特制作了一个正方体玩具,其展开图,原正方体中与“文”字所在的面相对的面上标的字应是( )A.全B.明C.城D.国答案 C9.若∠α与∠β互为补角,∠β的一半比∠α小30°,则∠α为( )A.30°B.80°C.100°D.140°答案 B10.射线OA上有B、C两点,若OB=8,BC=2,线段OB、BC的中点分别为D、E,则线段DE的长为( )A.5B.3C.1D.5或3答案 D11.用一副三角板不能画出的角为A．75°B．95°C．105°D．165°答案B12.如图所示，∠AOB=90°，∠AOC=40°，∠COD∶∠COB=1∶2，则∠BOD=A ．40°B ．50°C ．25°D ．60°答案C13.如图，C 、D 是线段AB 上的点，若AB =8，CD =2，则图中以A 、C 、D 、B 为端点的所有线段的长度之和为A ．24B ．22C ．20D ．26答案D14.角α和β互补，α>β，则β的余角为A ．α–βB ．180°–α–βC ．D ．答案C二、填空题15.如图,从A 到B 的最短的路线是 .答案 A →F →E →B16.如图所示,延长线段AB 到C,使BC=4,若AB=8,则线段AC 的长是BC 的 倍.答案 317.如图,已知M 、N 分别是AC 、CB 的中点,MN=6 cm,则AB= cm.1()2αβ-90αβ︒-答案1218.如图所示,水平放置的长方体的底面是长为4和宽为2的长方形,从正面看到的形状图的面积为12,则长方体的体积等于.答案2419.如图所示,O是直线AB上一点,OC是∠AOB的平分线.(1)图中互余的角是;(2)图中互补的角是.答案(1)∠AOD与∠DOC(2)∠AOD与∠BOD,∠AOC与∠BOC20.如图,OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°.(1)∠MON= ;(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时,∠MON的值改变.(填“会”或“不会”)答案(1)42°(2)不会三、解答题21.计算:(1)48°39'40″+67°41'35″;(2)49°28'52″÷4.答案(1)116°21'15″.(2)12°22'13″.22.如果一个角的余角是它的补角的,求这个角的度数.答案设这个角的度数为x°,则它的余角为(90-x)°,它的补角为(180-x)°,根据题意得90-x=×(180-x),解得x=30.答:这个角的度数是30°.23.画图并计算:已知线段AB=2cm,延长线段AB至点C,使得BC=AB,再反向延长AC至点D,使得AD=AC.(1)准确地画出图形,并标出相应的字母;(2)哪个点是线段DC的中点?线段AB的长是线段DC长的几分之几?(3)求出线段BD的长度.答案(1)如图.(2)点A是线段DC的中点,AB=CD.(3)BC=AB=×2=1(cm),因而AC=AB+BC=2+1=3(cm).而AD=AC=3cm,故BD=DA+AB=3+2=5(cm).24.如图,七年级小林同学在一张透明纸上画了一条长8cm的线段MN,并在线段MN上任意找了一个不同于M、N的点C,然后用折纸的方法找出了线段MC、NC的中点A和B,并求出了线段AB的长为4cm.回答:(1)小林是如何找到线段MC、NC的中点的?又是如何求出线段AB的长为4cm的?(2)在反思解题过程时,小林想到:如果点C在线段MN的延长线上,“AB=4cm”这一结论还成立吗?请你帮小林画出图形,并解决这一问题.答案(1)纸是透明的,小林将纸对折,依次使点M、C重合,点N、C重合,两个折痕与线段MN的交点就分别是中点A和B,AB=AC+BC=MC+NC=MN=×8=4(cm).(2)成立.理由:如图,若点C在线段MN的延长线上,AB=AC-BC=MC-NC=(MC-NC)=MN=×8=4(cm).25.如图所示,已知∠AOB=90°,∠EOF=60°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,求∠AOC和∠BOC 的度数.答案因为OE平分∠AOB,∠AOB=90°,所以∠BOE=45°.又∠EOF=60°,所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=60°-45°=15°.又因为OF平分∠BO最新九年级（上）数学期中考试试题【含答案】一、选择题（共12小题，共36分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2 D．22．地球和太阳间的距离为150 000 000km，用科学记数法表示150 000 000为（）A．15×107B．1.5×108C．0.15×109D．1.5×1073．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．D．（a+b）2＝a2+b24．一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.55．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．其图象经过点（3，1）B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y＞36．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（）A．B．C．D．7．不等式组的最小整数解是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．18．甲乙两位赛车手同时从起点出发，行驶20千米到达终点．已知甲车手每小时比乙车手多行驶1千米，甲比乙早到达12分钟，若设乙每小时跑x千米，则所列方程式为（）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．下列结论错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（共2小题，共6分）13．因式分解：2m3﹣8m＝．14．若直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集是．三、解答题（共3小题，共18分）15．（5分）计算：（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|16．（6分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．17．（7分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有名学生；（2）补全条形统计图；（3）该班学生所穿校服型号的众数为，中位数为；（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？一、填空题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）18．若，则＝．19．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．二、解答题（本题共有4小题，其中第20题7分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，共34分）20．（7分）在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．（1）直接写出函数y＝图象上的所有“整点”A1，A2，A3…的坐标；（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．21．（8分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．22．（9分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE＝3EF，DF＝1时，求GF的值．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．（1）求点A，C的坐标；（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【分析】根据倒数的定义即可求解．解：﹣2的倒数是﹣．故选：A．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．地球和太阳间的距离为150 000 000km，用科学记数法表示150 000 000为（）A．15×107B．1.5×108C．0.15×109D．1.5×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：用科学记数法表示150 000 000为1.5×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．D．（a+b）2＝a2+b2【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故此选项错误；C 、+＝2+＝3，正确；D、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及完全平方公式和积的乘方运算等知识，正确把握相关运算法则是解题关键．4．一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间两个数的平均数即可．解：∵数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，∴x＝3，把这些数据从小到大排列为：1，3，3，3，4，4，最中间2个数的平均数是：＝3，则这组数据的中位数是3；故选：A．【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．其图象经过点（3，1）B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y＞3【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．解：A、∵当x＝3时，y＝1，∴此函数图象过点（3，1），故本选项正确；B、∵k＝3＞0，∴此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；C、∵k＝3＞0，∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，故本选项正确；D、∵当x＝1时，y＝3，∴当x＞1时，0＜y＜3，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．6．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据三视图想象立体图形，从主视图可以看出左边的一列有两个，左视图可以看出右边一列有两个，俯视图中左边的一列有两个，综合起来可得解．解：从主视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一行（第二行）；从左视图可以看出右边的一列有两个，左边的一列只有一行（第二行）；从俯视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一行（第一行）．故选：A．【点评】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．7．不等式组的最小整数解是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【分析】先解出不等式组的解集，从而可以得到原不等式组的最小整数解，本题得以解决．解：解得，﹣2.5＜x≤，∴不等式组的最小整数解是x＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确解不等式组的方法，根据不等式组的解集可以得到不等式组的最小整数解．8．甲乙两位赛车手同时从起点出发，行驶20千米到达终点．已知甲车手每小时比乙车手多行驶1千米，甲比乙早到达12分钟，若设乙每小时跑x千米，则所列方程式为（）A．B．C．D．【分析】乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，根据题意可得：走20千米，甲比乙多用12分钟，据此列方程．解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，由题意得﹣＝，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．9．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．解：∵AD：DB＝2：3，∴＝，∵DE∥BC，∴＝＝，A错误，B正确；＝＝，C错误；＝＝，D错误．故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．10．下列结论错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形【分析】根据正方形的判定定理，即可解答．解：A、对角线相等的菱形是正方形，正确；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故错误；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；故选：C．【点评】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟记正方形的判定定理．11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可．解：设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x．∵D是BC的中点，∴BD＝＝3．在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，解得：x＝5．AN＝5．故选：C．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN＝AN＝x，BN＝9﹣x，从而列出关于x的方程是解题的关键．12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①正确，只要证明△NBA≌△NBC，∠ABE+∠ANE＝180°即可解决问题；②正确．只要证明△AFH≌△AFE即可；③正确．如图2中，首先证明△AMN∽△AFE，可得＝＝，即可解决问题；④错误．相似三角形不止4对相似三角形．解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH．∵四边形ABCD是中正方形，∴AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△BNA和△BNC中，，∴△NBA≌△NBC（SAS），∴AN＝CN，∠BAN＝∠BCN，∵EN＝CN，∴AN＝EN，∠NEC＝∠NCE＝∠BAN，∵∠NEC+∠BEN＝180°，∴∠BAN+∠BEN＝180°，∴∠ABC+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°，∴AN＝NE，AN⊥NE，故①正确，∴∠3＝∠AEN＝45°，∵∠3＝45°，∠1＝∠4，∴∠2+∠4＝∠2+∠1＝45°，∴∠3＝∠FAH＝45°，∵AF＝AF，AE＝AH，∴△AFE≌△AFH（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE，∠AFH＝∠AFE，故②正确，∵∠MAN＝∠EAF，∠AMN＝∠AFE，∴△AMN∽△AFE，∴＝＝，故③正确，图中相似三角形有△ANE∽△BAD～△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM ∽△DAM等，故④错误，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题．二、填空题（每小题3分，共2小题，共6分）13．因式分解：2m3﹣8m＝2m（m+2）（m﹣2）．【分析】根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．解：原式＝2m（m2﹣4）＝2m（m+2）（m﹣2），故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，注意分解要彻底．14．若直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集是x＞3 ．【分析】根据直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），以及y随x的增大而减小即可求出关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集．解：∵直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），且k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，∴关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集是x＞3．故答案为x＞3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．三、解答题（共3小题，共18分）15．（5分）计算：（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣3﹣2﹣1+﹣1＝﹣5﹣．【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．16．（6分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的m的值代入计算可得．解：原式＝（﹣）÷＝÷＝•＝﹣，∵m≠﹣1且m≠2，∴当m＝0时，原式＝﹣1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．17．（7分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有50 名学生；（2）补全条形统计图；（3）该班学生所穿校服型号的众数为165和170 ，中位数为170 ；（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？【分析】（1）根据穿165型的人数与所占的百分比列式进行计算即可求出学生总人数；（2）求出175、185型的人数，然后补全统计图即可；（3）根据众数的定义以及中位数的定义解答；（4）总人数乘以样本中穿170型校服的学生所占比例可得．解：（1）该班共有的学生数为15÷30%＝50（人），故答案为：50；（2）175型的人数为50×20%＝10（人），则185型的人数为50﹣3﹣15﹣10﹣5﹣5＝12，（3）该班学生所穿校服型号的众数为165和170，中位数为170；故答案为：165和170，170；（4）1500×＝450（人），所以估计新生穿170型校服的学生大约450名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．一、填空题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）18．若，则＝．【分析】根据等式的性质，可用x表示y，根据分式的性质，可得答案．解：由，得y＝x，＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分式的性质，等式的性质．19．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC＝2S△ABD，结合CD＝k即可得出点A、B的坐标，再根据AB＝2AC、AF＝AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此题得解．解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，∴S△ABC＝2S△BCE，S△ABD＝2S△ADE，∴S△ABC＝2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，∴AC＝2BD，∴OD＝2OC．∵CD＝k，∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（﹣，﹣），∴AC＝3，BD＝，∴AB＝2AC＝6，AF＝AC+BD＝，∴CD＝k＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．二、解答题（本题共有4小题，其中第20题7分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，共34分）20．（7分）在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．（1）直接写出函数y＝图象上的所有“整点”A1，A2，A3…的坐标；（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．【分析】（1）根据题意，可以直接写出函数y＝图象上的所有“整点”；（2）根据题意可以用树状图写出所有的可能性，从而可以求得两点关于原点对称的概率．解：（1）由题意可得，函数y＝图象上的所有“整点”的坐标为：A1（﹣2，﹣1），A2（﹣1，﹣2），A3（1，2），A4（2，1）；（2）如下图所示，共有12种等可能的结果，其中关于原点对称的有4种，∴P（关于原点对称）＝＝．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性，利用数形结合的思想解答问题．21．（8分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．【分析】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EPA＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵HQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠HQB＝∠DAB＝90°∵∠HBQ＝∠DBA，∴△BHQ∽△BDA∴∴∴DA＝12．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物AB的高与小亮在路灯D下的影长，体现了方程的思想．22．（9分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE＝3EF，DF＝1时，求GF的值．【分析】（1）由∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE ＝∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形；（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，得到△AEB∽△FED，求得＝，于是得到AB ＝3DF＝3，由正方形的性质得到CD＝AD＝AB＝3，求出CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，通过△ADF∽△GCF，得到＝＝，于是得到CG＝2AD＝6，根据勾股定理即可得到结论．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，即∠DAE＝∠DCE，在△AED和△CED中，，∴△AED≌△CED（AAS），∴AD＝CD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△AEB∽△FED，∴＝，∵AE＝3EF，DF＝1，∴AB＝3DF＝3，∴CD＝AD＝AB＝3，∴CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，∵AD∥CG，∴△ADF∽△GCF，∴＝＝，∴CG＝2AD＝6，在Rt△CFG中，GF＝＝＝2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2＝0的两个根（OA＞OC）．（1）求点A，C的坐标；（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x2﹣3x+2＝0即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），分别以BE为边、BE为对角线来考虑．根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标．解：（1）x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x1＝1，x2＝2，∵OA＞OC，∴OA＝2，OC＝1，∴A（﹣2，0），C（1，0）．（2）将C（1，0）代入y＝﹣x+b中，得：0＝﹣1+b，解得：b＝1，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1．∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，∴点E的横坐标为﹣1．∵点E为直线CD上一点，∴E（﹣1，2）．将点E（﹣1，2）代入y＝（k≠0）中，得：2＝，解得：k＝﹣2．（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，∴B（0，4），∴BE＝AB＝＝．∵四边形BEMN为菱形，∴EM＝BE或BE＝BM．当EM＝BE时，有EM＝＝BE＝，解得：m1＝，m2＝，∴M（，2+）或（，2﹣），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；当BE＝BM时，有BM＝＝BE＝，解得：m3＝﹣1（舍去），m4＝﹣2，∴M（﹣2，3），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（﹣3，1）；②以线段BE为对角线时，MB＝ME，∴＝，解得：m3＝﹣，∴M（﹣，），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）．综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，4+）、（，4﹣）（﹣3，1）或（，）．【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用因式分解法解一元二次方程；（2）求出点E的坐标；（3）分线段BE为边、为对角线两种情况来考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，分别以给定的线段为边和为对角线考虑，根据菱形的性质找出关于点M坐标的方程是关键．新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．。
2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级(上)期中数学试卷 含详解
2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）若，则的值为（）A．B．C．D．2．（3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．13．（3分）平面内有两点P、O，已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．P在圆上或圆外4．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AE＝9，AC＝6，BD＝4，则BF的长是（）A．5B．6C．7D．85．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1C．y＝﹣（x﹣5）2+11D．y＝﹣（x﹣1）2+116．（3分）如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，OC⊥AB于D点，若，CD ＝3，则的长为（）A．6πB．4πC．3πD．7．（3分）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（）A．y1＞y3＞y2B．y2＞y3＞y1C．y1＞y2＞y3D．y3＞y1＞y28．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（）A．2.5m B．5m C．D．10m9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：x…06…y…0.39﹣20.39…则方程ax2+bx+2.39＝0的解是（）A．0或6B．或C．或6D．无实数解10．（3分）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．连结CH，设∠CHG＝α，∠CDG＝β．若BC＝2AB，tanβ＝tan2α，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）线段和的比例中项是．12．（4分）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为．13．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝120°，则∠A＝．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是秒．15．（4分）如图，已知线段AB＝13．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在⊙O上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，△ACD的周长是．16．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF＝x，EF＝y．（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，AD的长是；（2）当BD＝BF，2x＝7y时，△DEF与△ABD的面积之比是．三、解答题（第17°19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45°．18．（6分）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C 班武术、D班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．（1）求甲同学选择A班剪纸课的概率．（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率．19．（6分）如图是8×6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）．（1）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1（点B1与点B是对应点）．（2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AB找一点P，使．20．（8分）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，AB＝60cm，AD＝41cm，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设AE与DE都是线段），且AE＝DE，点E离地面BC的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得∠AOD＝83.6°，他要求实际支撑高度为40cm，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：sin41.8°≈，cos41.8°≈）21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．（1）求证：△ABD∽△ECA；（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．22．（10分）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝20米，拱高h＝5米．（1）如图1，若设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式；（2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由.23．（10分）已知，二次函数y＝x2+4mx+2m﹣3（m为常数）．（1）若m＝1，判断点P（﹣1，﹣4）是否在此函数的图象上；（2）若此函数图象经过点（m2，2m﹣3），求m的值；（3）若此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c），求证：．24．（12分）如图1，以Rt△ABC的直角边AB为直径画⊙O，过A作斜边AC的垂线交⊙O于点D，连结CD，交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．（1）求证：∠ACD＝∠EBC．（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时．①求∠BCD的正切值；②求的值．（3）若AB＝1，设CD＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）期中数学试卷详细答案一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【解答】解：∵，∴b＝3a，∴＝＝．故选：A．2．【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是，故选：A．3．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．4．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，即，∴BF＝6．故选：B．5．【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1．故选：A．6．【解答】解：因为点O为圆心，且OC⊥AB，所以点D为AB的中点，所以AD＝．令⊙O的半径为r，在Rt△ADO中，AD2+DO2＝AO2，即，解得r＝6．则sin∠AOD＝，所以∠AOD＝60°，则∠AOB＝2∠AOD＝120°．所以的长为：．故选：B．7．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣x2+6x+c＝﹣1﹣6+c＝﹣7+c；当x＝2时，y2＝﹣x2+6x+c＝﹣4+12+c＝8+c；当x＝5时，y3＝﹣x2+6x+c＝﹣25+30+c＝5+c，所以y2＞y3＞y1．故选：B．8．【解答】解：∵水平距离为5m，坡比为i＝1：2.5，∴铅直高度为5÷2.5＝2（m）．根据勾股定理可得：坡面相邻两株树间的坡面距离为＝（m）．故选：C．9．【解答】解：由抛物线经过点（0，0.39）得到c＝0.39，因为抛物线经过点（0，0.39）、（6，0.39），所以抛物线的对称轴为直线x＝3，而抛物线经过点（，﹣2），所以抛物线经过点（6﹣，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.39，方程ax2+bx+2.39＝0变形为ax2+bx+0.39＝﹣2，所以方程ax2+bx+0.39＝﹣2的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝6﹣．故选：B．10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AD＝2CD，设CG＝x，HG＝y，∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，∴∠AHD＝∠DGC＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝∠ADH+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DAH，∴△ADH∽△DCG，∴＝2，∴DH＝2x，∴DG＝2x+y，AH＝4x+2y，EH＝3x+2y，∵∠CHG＝α，∠CDG＝β，tanβ＝tan2α，∴，即2x2+xy＝y2，∴y2﹣xy﹣2x2＝0，∴（y﹣2x）（y+x）＝0，∵y+x≠0，∴y＝2x，∴DG＝4x，DC＝x，EH＝3x+2y＝7x，∴AD＝2x，∴＝＝，故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．【解答】解：设比例中项是x，∴x2＝×＝1，∴x＝1或﹣1（舍去）．故答案为：1．12．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该植物的种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．13．【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠1＝360°﹣120°＝240°，∵，∴∠A＝120°，故答案为：120°．14．【解答】解：由题意，∵，又t＝10s，s＝450m，∴450＝﹣×102+10b．∴b＝60．∴函数关系式为s＝﹣t2+60t．又s＝﹣t2+60t＝﹣（t2﹣40t+400）+600＝﹣（t﹣20）2+600，∴当t＝20时，飞机着陆后滑行600米停下．故答案为：20．15．【解答】解：∵AB是直径；∴∠C＝90°；∵；∴设AC＝5x；则BC＝12x；在Rt△ABC中，AB＝13，由勾股定理得；AC2+BC2＝AB2；即（5x）2+（12x）2＝132；解得：x＝1；∴AC＝5，BC＝12；由题意得PQ是线段AB的线段垂直平分线；∴AD＝BD；∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝AC+BD+DC＝AC+BC＝5+12＝17；故答案为：17．16．【解答】解：（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，得∠EFD＝90°，AF＝9，EF＝3，设AD＝a，则DF＝9﹣a，由题意可得DE＝AD＝a，∴在Rt△EFD中，由勾股定理可得，DF2+EF2＝DE2，即（9﹣a）2+32＝a2，解得：a＝5，故AD＝5；（2）当BD＝BF，2x＝7y时；∵BD＝BF；∴∠BDF＝∠BFD，又∵∠ADB＝180°﹣∠BDF，∠EFD＝180°﹣∠BFD，∴∠ADB＝∠EFD，由题意可得∠A＝∠E，∴△EDF∽△ABD，∴，∵2x＝7y，∴，∴，∴设EF＝2n，DF＝mn，AF＝7n，则AD＝ED＝（7﹣m）n，∴，∴，∴，整理得：2m2﹣21m+45＝0，解得：（不符合题意，舍去），m2＝3，∴ED＝4n，AB＝8n，∴，故△DEF与△ABD的面积之比是：．三、解答题（第17°19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，第24题12分，共66分）17．【解答】解：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45°＝2×+（）2﹣+1＝+﹣+1＝．18．【解答】解：（1）由题意得，甲同学选择A班剪纸课的概率为．（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种，∴甲、乙两人选择同一门课程的概率为＝．19．【解答】解：（1）如图1中，△AB1C1即为所求；（2）图2中，点P即为所求．20．【解答】解：连接AD，过O作BC的垂线交BC于H，交AD于F，根据题意可得AB＝CD＝60cm，∠AOD＝83.6°．OD＝OC＝OA＝OB＝30cm，∴AE＝ED＝cm，∴FH是AD的垂直平分线，∵AE＝DE．∴点E在FH上，∴∠AOF＝∠DOF＝41.8°，∴∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC，OF＝OH＝cos41.8×AO≈30×＝cm，∴AF＝sin41.8°•40≈30×＝20cm，∴AE＝ED＝cm∴EF＝＝cm，EH＝20F﹣EF＝40.5cm≠40cm，故这款马扎不能符合他的要求．21．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠D＝∠CAE．∴△ABD∽△ECA；（2）解：∵AB＝AC，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∵△ABD∽△ECA，∴，∴，∴BD＝9．22．【解答】解：（1）∵AB＝20，∴A（﹣10，0），B（10，0），∵h＝5，∴C（0，5），设抛物线的解析式为y＝a（x+10）（x﹣10），∴﹣100a＝5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5；（2）设圆心为O，连接OC交AB于E点，连接AO，∵AB＝20，∴AE＝10，∵h＝5，∴CE＝5，在Rt△AEO中，AO2＝AE2+OE2，∴AO2＝100+（OA﹣5）2，解得AO＝12.5，∴该圆弧所在圆的半径12.5米；（3）抛物线型方案货船不能顺利通过该桥；圆弧型方案货船能顺利通过该桥；理由如下：①在抛物线型上时，当x＝7.5时，y≈2.19，∵2.19米＜2.2米，∴货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，设EG＝7.5米，过点G作FH⊥AB交弧BC于点F，过点O作OH⊥FH交于H点，连接OF，∴OH＝EG＝7.5米，在Rt△OHF中，OF2＝OH2+FH2，∴12.52＝7.52+FH2，∴FH＝10米，∵GH＝OE＝12.5﹣5＝7.5（米），∴FG＝2.5米，∵2.5米＞2.2米，∴货船能顺利通过该桥．23．【解答】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝x2+4x﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1＝﹣4，∴点P（﹣1，﹣4）在此函数的图象上；（2）解：∵此函数图象经过点（m2，2m﹣3），∴2m﹣3＝m4+4m3+2m﹣3，∴m4+4m3＝0，解得m＝0或m＝﹣4．（3）证明：∵此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c），∴＝﹣，即a+m﹣2＝﹣2m，∴a＝2﹣3m，∴N（﹣2﹣m，c），∴c＝（﹣2﹣m）2+4m（﹣2﹣m）+2m﹣3＝﹣3m2﹣2m+1＝﹣3（m+）2+，∴c≤．24．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠D＝∠ABE，∵∠ABC＝90°，AD⊥AC，∴∠D+∠ACD＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC；（2）解：①过点D作DG⊥BC交延长线于点G，连接OD，设圆的半径为r，∵△ABC是等腰直角三角形，∠DAC＝90°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴四边形BODG是正方形，∴DG＝BG＝r，BC＝2r，∴tan∠BCD＝；②设圆的半径为r，则AD＝r，AC＝2r，过E点作EH⊥BC交于H点，∴tan∠EBC＝tan∠ACD＝，∴BH＝2EH，BE＝EH，∵tan∠BCD＝，∴HC＝3EH，CE＝EH，∴＝；（3）连接AE，∵AB是圆的直径，∴∠AEB＝90°＝∠DAC，∵∠ADC＝∠ABE，∴△ABE∽△CDA，∴＝x，∵∠FAE＝∠FCA，∠AFE＝∠CFA，∴△FAE∽△FCA，∴＝＝＝x，∴＝＝x2，∴y＝＝x2﹣1．。
浙江精准联盟2024年九年级上学期期中调研数学试卷+答案
2024-2025学年浙江省宁波市精准联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下B．a为实数，|a|＞0C．打开电视，正在播放动画片D．任选三角形的两边，其差小于第三边2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（1，6）D．（﹣1，﹣6）3．（3分）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（）A．3B．4C．5D．64．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x…1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…﹣1﹣0.490.040.59 1.16…A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.46．（3分）为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（）看书数量/（本）23456人数/（人）661085A．4，5B．5，4C．4，4D．5，57．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x ＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（）A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．ab＜0D．a﹣b+c＜09．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．（3分）已知a1＞a2＞a3＞0，且x1，x2，x3都是大于1的数，若满足a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，则（）A．x3＜x2＜x1B．x1＝x2＝x3C．x3＜x1＜x2D．x1＜x2＜x3二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向．12．（3分）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为（用“＞”连接）．13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为．16．（3分）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为．三、解答题（本题有8小题，共72分）17．（8分）（1）已知，求x：y的值．（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．18．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；（2）求AC的长．19．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．20．（8分）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm．（1）求截面中弦AB的长；（2）求截面中有水部分弓形的面积．21．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．22．（10分）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系．（1）试写出y与x符合的函数表达式．（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标．2024-2025学年浙江省宁波市精准联盟九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下B．a为实数，|a|＞0C．打开电视，正在播放动画片D．任选三角形的两边，其差小于第三边【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，故A不符合题意；B、a为实数，|a|＞0，是随机事件，故B不符合题意；C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意；D、任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣6的顶点坐标为（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（1，6）D．（﹣1，﹣6）【分析】根据所给抛物线解析式为顶点式即可得出顶点的坐标．【解答】解：因为抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣6）．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．3．（3分）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠C＝∠D，∠A＝∠B，则△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，∠A＝∠B，∴△AOC∽△BOD，∴，∵OA＝6，OC＝3，OD＝2，∴，∴OB＝4．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键．4．（3分）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，∴A、C、B、D四点共圆，∵量角器上点D对应的读数是100°，∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°，∴∠BCD＝∠BOD＝40°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）x…1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…﹣1﹣0.490.040.59 1.16…A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.4【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2，故选：B．【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．6．（3分）为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（）看书数量/（本）23456人数/（人）661085A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5【分析】直接根据平均数及众数的定义求解即可．【解答】解：由题意可知，假期里该班学生看书数量的平均数＝＝4（本），∵看书数量为4本的有10人，人数最多，∴众数为4（本），故选：C．【点评】本题考查了众数和加权平均数，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式．7．（3分）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．故选：A．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x ＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（）A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．ab＜0D．a﹣b+c＜0【分析】用抛物线的对称性可确定A点坐标为（﹣3，0），则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b＝2a＞0，则可对选项C进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对选项D 进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以选项A正确，不合题意；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以选项B正确，不合题意；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴ab＞0，所以选项C不正确，符合题意；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以D正确，不合题意．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac ＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．9．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4）A．B．C．D．【分析】连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，得到，进而得到OC为△AOB的中线，得到S△AOC＝S△BOC，推出阴影部分的面积等于S扇形AOC﹣S扇形DOC，计算即可．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4，∴AB＝2OA＝8，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴，∴OC为△AOB的中线，∴S△AOC＝S△BOC，∴阴影部分的面积为．故选：A．【点评】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键．10．（3分）已知a1＞a2＞a3＞0，且x1，x2，x3都是大于1的数，若满足a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，则（）A．x3＜x2＜x1B．x1＝x2＝x3C．x3＜x1＜x2D．x1＜x2＜x3【分析】根据a1＞a2＞a3＞0，可得＜＜，又由于x1，x2，x3都是大于1的数，可得（x1+1）（x1﹣1）＞0，a2（x2+1）（x2﹣1）＞0，a3（x3+1）（x3﹣1）＞0，进而得出（x1+1）（x1﹣1）＝，（x2+1）（x2﹣1）＝，（x3+1）（x3﹣1）＝，再根据完全平方公式可得（x1+1）（x1﹣1）＝x12﹣1，（x2+1）（x2﹣1）＝﹣1，（x3+1）（x3﹣1）＝x32﹣1，进而得出答案．【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，∴＜＜，∵x1，x2，x3都是大于1的数，∴（x1+1）（x1﹣1）＞0，a2（x2+1）（x2﹣1）＞0，a3（x3+1）（x3﹣1）＞0，∵a1（x1+1）（x1﹣1）＝1，a2（x2+1）（x2﹣1）＝2，a3（x3+1）（x3﹣1）＝3，∴（x1+1）（x1﹣1）＝，（x2+1）（x2﹣1）＝，（x3+1）（x3﹣1）＝，∵＜＜，∴（x1+1）（x1﹣1）＜（x2+1）（x2﹣1）＜（x3+1）（x3﹣1），∵（x1+1）（x1﹣1）＝x12﹣1，（x2+1）（x2﹣1）＝﹣1，（x3+1）（x3﹣1）＝x32﹣1，∴x12﹣1＜﹣1＜x32﹣1，∴x12＜＜x32，∵x1，x2，x3都是大于1的数，∴x1＜x2＜x3．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向下．【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可．【解答】解：y＝﹣x2+5中，a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+5开口方向向下，故答案为：下．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．12．（3分）若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2（用“＞”连接）．【分析】根据y＝（x﹣1）2+k可求出函数的对称轴，点B、C在对称轴右侧，函数图形开口向上，y随x增大而增大，可以判断y2，y3的大小，而点A离对称轴最远，故y1的值最大，据此即可判断．【解答】解：∵抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝1，∵B、C点在抛物线右侧，2＜3，∴y3＞y2，∵x＝﹣3离对称轴最远，y值最大，x＝2离对称轴最近，y值最小，∴y1＞y3＞y2．故答案为：y1＞y3＞y2．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对的影响是解题的关键．13．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是3﹣3．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【分析】如果以点A、D、E ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D 与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．【点评】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为4．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，′′∴∠BAC′＝90°．∵∠ACB＝45°，AB＝8，∴∠AC′B＝45°，∴BC′＝＝＝8，∴MN最大＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．16．（3分）如图，△ABC是一个含45°角的三角板，∠A＝90°，，将三角板绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后，点A与点D对应，点B与点E对应，当边DE与原三角板的一边平行时，则点A与点E的距离为或5．【分析】据题意画出图形，分将三角板绕着点C顺时针旋转45°及90°两种情况讨论，进行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝90°，BC＝，∠B＝45°∴AB＝AC＝5，由旋转性质可得：，如图所示，将三角板绕着点C顺时针旋转45°后，DE∥BC，此时；如图所示，将三角板绕着点C顺时针旋转90°后，DE∥AC，∵DE∥AC，DE＝AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵∠CDE＝90°，∴四边形ACDE是矩形，∴AE＝CD＝5，故答案为：或5．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题．三、解答题（本题有8小题，共72分）17．（8分）（1）已知，求x：y的值．（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．【分析】（1）根据比例的基本性质得到7x＝3x+3y，移项得到4x＝3y，于是得到x：y＝3：4；（2）根据比例中项的定义得到方程c2＝ab，解之可得答案．【解答】解：（1）∵，∴7x＝3x+3y，∴4x＝3y，∴x：y＝3：4；（2）设c为线段a，b的比例中项，则c2＝ab，即c2＝16，由于c＞0，故c＝4．【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．18．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；（2）求AC的长．【分析】（1）连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P．（2）利用勾股定理计算即可．【解答】解：（1）如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求．（2）由勾股定理得，AC＝＝．【点评】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键．19．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有三张卡片，分别是A，B，C三个标号，∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，∴小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm．（1）求截面中弦AB的长；（2）求截面中有水部分弓形的面积．【分析】（1）连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，由于弓形的高为6cm可求出OE的长，在Rt△AOE中利用三角函数的定义可求出∠AOE＝60°，解直角三角形求得AE，进一步求得AB；（2）由垂径定理可知，∠AOE＝∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．【解答】解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，∵弓形的高为6cm，截面半径为12cm，∴OE＝OD﹣DE＝12﹣6＝6cm，在Rt△AOE中，OE＝OB＝6cm，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴AE＝OA＝×12＝6（cm），∴AB＝2AE＝12cm；（2）∵∠AOE＝60°，∴∠AOB＝2∠AOE＝2×60°＝120°，∴S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣12×6＝（）（cm2）．【点评】本题考查的是垂径定理、解直角三角形、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键．21．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．∵对称轴为直线x＝2，∴＝2．解得a＝3；（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x2﹣4x．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．22．（10分）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系．（1）试写出y与x符合的函数表达式．（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？【分析】（1）由图观察可得y与x之间符合一次函数关系，用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，根据题意得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）由图可知，x值增加1，y值减小500，故y与x之间符合一次函数关系，设y和x的函数表达式为：y＝kx+b，则，解得，∴y和x的函数表达式为：y＝﹣500x+12000；（2）设这一周青川农户可获得的利润为w元，∵农产品一周的销售量不少于6500千克，∴﹣500x+12000≥6500，解得x≤11，∴7≤x≤11，而w＝y（x﹣4）＝（﹣500x+12000）（x﹣4）＝﹣500（x﹣14）2+50000，∵﹣500＜0，抛物线对称轴为直线x＝14，∴7≤x≤11在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴x＝11时，w有最大值为45500元，故当农产品售价定为11时，青川农户可获得最大收入，最大收入为45500元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；（2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据直角三角形的性质求得∠ABD的度数，根据等腰三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ABD＝90°，∴AD⊥BD，又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：连接OD、OE，∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°，∵由（1）知，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B关于对称轴的对称点B′，求出BB′的长度即可；（3）先求出直线AC的解析式，再过点B作BD⊥y轴交AC于点D，求出点D的坐标，过点P作PE ⊥x轴交AC于点E，设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3），求出PE的长度，求出△ABC的面积，再根据S△ABC＝2S△ACP，求出△ACP的面积，然后得出关于x的方程，解方程求出x的值即可．【解答】解：（1）把B（﹣1，2），C（3，0）代入y＝ax2+bx+3，则，解得，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3，∴对称轴为直线x＝﹣＝，令B点关于对称轴的对称点为B′，∴B′（2，2），∴BB′＝3，∵抛物线向左平移m（m＞0）个单位经过点B，∴m＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（0，3），C（3，0）代入y＝kx+n得：，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，如图：则点D的纵坐标为2，把y＝2代入y＝﹣x+3得，﹣x+3＝2，解得x＝1，∴D（1，2），∴BD＝2，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×1•BD+×2•BD＝1+2＝3，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x，∵S△ABC＝2S△ACP＝3，∴S△ACP＝，∵S△ACP＝×3•PE＝．∴PE＝1，令﹣x2+x＝1，解得x＝1或2，∴当x＝1时，y＝﹣++3＝3；当x＝2时，y＝﹣×4+×2+3＝2，∴P（1，3）或（2，2）．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、解析式的求法等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．。
浙江省宁波市第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考(期中)数学试卷(含答案)
宁波七中教育集团2024学年第一学期初三数学第一次月考试卷（2024.11）全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．三角形任意两边之和大于第三边B ．过马路时恰好遇到红灯C ．明天太阳从西边出来D ．抛掷一枚硬币，正面朝上2．若，则 （ ）A ．B ．1C ．D ．3．的半径为5cm ，点A 到圆心的距离cm ，则点A 与的位置关系是（ ）A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C．点A 在圆外D ．无法确定4．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）A ．B ．C ．D 5．将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．6．抛物线 （m 为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，如果，那么添加下列任何一个条件：（1）（2） （3） （4） 其中能判定的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412b a =b a b=-121-12-O e 4OA =O e 4:94:92:316:812y x =-180︒22y x =+22y x =-()22y x =-+()22y x =+()21y x m =++()12,y -()21,y ()33,y 1y 2y 3y 123y y y >>231y y y >>312y y y >>321y y y >>12∠=∠AB AC AD AE =AB BCAD DE=B D ∠=∠C AED ∠=∠ABC ADE ∽△△8．如图，的直径CD 垂直弦AB 于E ，且cm ，cm ，则AB 的长为（）（第8题）AB ．cmC ．cmD ．cm9．如图，为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，，若，，则AD 的长为（ ）（第9题）A ．3.2B ．3C ．2.4D ．1.810．二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（ ）（第10题）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④二、填空题（每小题3分，共18分）11．正五边形的内角和的度数是______．12．一个路口的交通信号灯按红、绿、黄三种颜色顺序循环切换，其中红灯、绿灯、黄灯每次持续时间分别为60秒，57秒，3秒，则经过这个路口时刚好是红灯的概率是______．13．抛物线的顶点坐标是______．14．如图，在中，半径OA ，OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上，若，则______．O e 1OE =4DE =ABC △60ADE ∠=︒4BD DC =2.4DE =()20y ax bx c a =++≠24b ac >0abc <20a b c +->0a b c ++<()232y x =+-O e 21ABC ∠=︒BAC ∠=（第14题）15．如图，E 为的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，BE 交DC 于点F ，若，且，则CF 的长为______．（第15题）16．当时，函数的最小值为4，则a 的值______．三、解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分．第24小题12分，共72分）17．在一个不透明的口袋里有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．求下列事件的概率．（1）随机地摸出一个小球是奇数；（2）随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为4．18．如图，在网格中，点A ，B ，C ，O 都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹．（1）以O 为位似中心，在网格中作，且与的位似比为．（2）在线段BC 上作点P ，使．19．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y 轴的交点为，与x 轴的一个交点为．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象与x 轴的另一个交点坐标；（3）观察图象，当时，求自变量x的取值范围．ABCDY 1AB =AD DE >1a x a ≤≤+221y x x =-+111A B C △ABC △111A B C △1:22PC PB =1x =-()0,3()1,00y >20．如图，已知在中，点D ，F 在AB 上，点E 在AC 上，，，，．（1）求AC 的长；（2）当时，求证．21．如图，是的外接圆，AB 是直径，D 为上一点，，垂足为E ，连结BD ．（1）求证BD 平分；（2）当时，求证．22．为了测量路灯（OS ）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC ）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（）为1.8米，求路灯离地面的高度（OS ）．23．根据以下素材，探索完成任务．问题的提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案?素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可ABC △EF CD ∥3AF =5AD =4AE =253AB =DE BC ∥O e ABC △O e O e OD AC ⊥ABC ∠30ODB ∠=︒BC OD =BB 'B C ''建围墙的总长为20m ，开2个门，且门宽均为1m ．素材2：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．问题的解决任务1确定饲养室的形状设，矩形ABCD 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．任务2探究自变量x 的取值范围．任务3确定设计方案当______m ，______m ，S 的最大值为______．24．如图，点C 是以AB 为直径的上一点，过AC 中点D 作于点E ，延长DE 交于点F ，连结CF交AB 于点G ，连结AF ，BF ．【认识图形】（1）求证：．【探索关系】（2）①求CF 与DF 的数量关系．②设，，求y 关于x 的函数关系．【解决问题】（3）若，，求AE 的长．ABx =AB =BC =2m O e DE AB ⊥O e AFD ACF ∽△△CG x FG =DEy EF=CG =FG =宁波七中教育集团2024学年第一学期初三数学第一次月考答案（2024.11）一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案ABBCADCDBC二、填空题（每小题3分，共18分）11．12．13．14．15．216．或3三．解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22、23小题每小题10分，第24小题12分，共72分）17．（1） （2）树状图或列表略18．（1）如图：（2）答案不唯一19．（1） ，（2） ，（3） 20．（1）∵，∴．即，∴．（2）∵，，∴．又，∴，∴．∴．21．（1）∵，∴弧CD ＝弧AD ．540︒12()3,2--24︒2-23P =13P =111A B C △()214y x =-++()3,0-31x -<<EF CD ∥AF AE AD AC =345AC =203AC =532553AD AB ==432053AE AC ==AD AEAB AC=A A ∠=∠ADE ABC ∽△△ADE B ∠=∠DE BC ∥OD AC ⊥∴．即BD 平分．（2）∵，∴，∴，∵AB 是直径，∴，∴．∴．22．∵，∴，即．∵，∴，即．∴．23．（1） ．（2） ，，∴．（3） ，∵不在范围内，且，∴当时，y 随x 的增大而减小．∴当时，．即m ，m ，．24．（1）证明：∵AB 是直径，∴，∵，∴，∴．又∵，∴．①∵，∴．∵，∴，即．∴．②过C 作CH 垂直AB 于H ，则，∴，，∴．CBD ABD ∠=∠ABC ∠OD OB =30ABD ODB ∠=∠=︒260ABC ABD ∠=∠=︒90ACB ∠=︒9030BAC ABC ∠=︒-∠=︒12BC AB OD ==AB SO ∥AB BC SO OC = 1.51SO OC=A B SO ''∥A B B C SO OC ''''= 1.5 1.84.8SO OC =+9SO =()22023322S x x x x =+-=-+122316x <-≤()()200314002135800x x -+-≤47x ≤<2322S x x =-+()2211233x =-=⨯-47x ≤<30-<47x ≤<4x =2max 3422440S =-⨯+⨯=4AB =22310BC x =-=2max 40m S =90AFB ∠=︒DE AB ⊥90AFE EFB B EFB ∠+∠=∠+∠=︒AFB B C ∠=∠=∠DAF FAC ∠=∠AFD ACF ∽△△AFD ACF ∽△△AD AF DFAF AC FC==2AC AD =222AF AD =AF =CF =EF CH ∥12DE AD CH AC ==CG CHFG EF=111222DE CH CG y x EF EF GF ==⋅=⋅=（3）∵，，∴，∴，．∴，．设，则，由，得，∴，∴，∴CG =FG =CF =10DF =23x =13y =1542DE DF ==31542EF DF ==AD a =AF =2222515222a a ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a =AD =10AF =22222517510044AE AF EF =-=-=AE =。
浙江省宁波市七校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
浙江省宁波市七校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列事件为必然事件的是（）A ．购买两张彩票，一定中奖B ．打开电视，正在播放新闻联播C ．抛掷一枚硬币，正面向上D ．三角形三个内角和为180︒2．二次函数()2212y x =--+的顶点坐标是（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--3．如图，已知O 的半径为3，平面内有一点到圆心O 的距离为4，则该点可能是（）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N4．为了解某地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：身高/cm x 160x <160170x ≤<170180x ≤<180x ≥人数59261557123根据统计，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm 的概率是（）A ．0.32B ．0.55C ．0.68D ．0.875．下列命题中，正确的命题是（）A ．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点B ．三点确定一个圆C ．平分一条弦的直径一定重直于弦D ．相等的两个圆心角所对的两条弧相等6．一次函数y ax b =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =-，下列结论错误的是（）A ．24b ac >B ．0a b c ++>C ．<0a b c -+D ．0abc >8．如图，线段AB 是半圆O 的直径。
分别以点A 和点O 为圆心，大于12AO 的长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点，作直线MN ，交半圆O 于点C ，交AB 于点E ，连接AC ，BC ，若1AE =，则BC 的长是（）A ．B ．4C ．6D ．9．抛物线()()2120y a x a =--≠，当12x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差为3，则a 的值为（）A ．1B ．34C ．34或34-D ．54或34-10．如图，已知△ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC ，OC 交于点D ，E ．设∠A =α，∠C =β（）A ．若α+β=70°，则 DE的度数为20°B ．若α+β=70°，则 DE 的度数为40°C ．若α﹣β=70°，则 DE 的度数为20°D ．若α﹣β=70°，则 DE的度数为40°二、填空题11．在不透明的口袋中装有5个红球，2个黄球，1个白球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸一个球，是黄球的概率为．12．已知()12,A y 和()23,B y 是抛物线()21y x k =-+上的两点，则1y 和2y 的大小关系是．13．一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB ＝5cm ，水面宽AB ＝8，则截面圆心O 到水面的距离OC 的长是．14．如图，O 的内接四边形ABCD 中，50D ∠=︒，则B ∠的度数为．15．已知抛物线22y x x n =+-与x 轴交于A ，B 两点，抛物线22y x x n =--与x 轴交于C ，D 两点，其中n ＞0，若AD ＝2BC ，则n 的值为．16．如图，四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，6AB =，扇形BEF 的半径为6，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．三、解答题17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧．(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______；(2)求该圆的半径．18．四张卡片上分别标有1，2，3，4它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片．(1)请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于5的概率；(2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．19．已知二次函数241y x x =-+，当14x -≤≤时，求y 的最大值和最小值．20．如图，四边形ABCD 内接于O ，DAE ∠是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分CAE ∠．(1)求证：DB DC =；(2)若60EAD ∠=︒，BC =，求BC的长度．21．如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段OE 表示水平的路面，根据设计要求：10m OE =，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．(1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点A ，B 处分别安装照明灯）．若要求A ，B 处的照明灯水平距离为5m ，求照明灯的高度．22．如图，已知AD 是O 的直径，B ，C 是AD 两侧圆上的动点，且AB AC =，过点C 作CF BD ∥，交直径AD 于点F ，连结CD ，BF ．(1)求证：BE CE =；(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．23．杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y （元）与销售月份x 之间的关系满足293y x =-+，每千克成本z （元）与销售月份x 之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是()6,1．（其中x 是满足112x ≤≤的整数）(1)问：2月份每千克蔬菜成本是多少？(2)判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．24．如图1，抛物线21322y x x c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 坐标为()1,0-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，y 轴上存在一点D ，使D 经过B ，C 两点，求点D 的坐标；(3)如图3，连结BC ，点(P 不与A ，B ，C 三点重合)为抛物线上一动点，连结BP ，在点P 运动过程中，是否能够使得45PBC ∠=︒？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．。
浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)
2023学年第一学期期中测试初三数学试题卷一、选择题（本大题有10个小题共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，图象一定经过原点的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，且，，则的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．10°3．如图，在Rt △ABC 中，，AB ＝5，AC ＝3，则等于（ ）A．B ．CD ．4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．当时，y 随x 的增大而增大C ．图象的顶点坐标是D ．图象与x 轴有唯一交点5．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A ，镜子O ，树底B 三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA ＝2.4米，OB ＝6米，则树高为（ ）米．A ．4B ．5C ．6D ．7第5题6．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是OB 的中点，过点C 作，交半圆于点D ，则与AD 的长度的比为（）32y x =-1y x=22y x x -+21y x =+111ABC A B C △∽△60A ∠=︒140B ∠=︒1C ∠90C ∠=︒sin B 344535224y x x =-++1x <()1,3CD AB ⊥ BD第6题A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：57．如图，一只松鼠先经过第一道门（A ，B 或C ），再经过第二道门（D 或E ）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A 门，再经过E 门”的概率是（）第7题A．B ．C ．D8．如图，在中，AB 是直径，弦AC ＝5，．则AB 的长为（）第8题A ．5B ．10C ．D ．9．已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在中，直径AB ＝10，弦BC ＝6，点D 在BC 的延长线上，线段AD 交于点E ，过点E 作12131516O BAC D ∠=∠()22y a x h =-+()11,A x y ()22,B x y 1222x x -<-120y y -≥120y y -<()120a y y ->()120a y y -<O O //EF BC分别交，AB 于点F ，G ．若，则EG ：FG 的值为（ ）第10题A．B ．C ．D二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．抛物线经过点，则______．12．己知a ＝3，b ＝12，则a ，b 的比例中项为_____．13．如图，△ABC 中，，．若△ADE 的面积为3，则△ABC 的面积为_____．第13题14．二次函数的图象过点，则方程的解为_____．15．如图，在△ABC 中，于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，G 为边BC 上一点，，连结EF ．若，，BC ＝14，则GD 的长为_____．第15题16．如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点Р沿折线BE -ED -DCO 45D ∠=︒72525142y ax =()3,5a =//DE BC 12AD AB =20(2y ax ax c a =-+≠）()3,0220ax ax c -+=AD BC ⊥EGB FDC ∠=∠4tan 5B =tan 2C =运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1m/s ．设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则_____﹔当t ＝_____时，．第16题三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：．18．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n 1001502005008001000摸到白球的次数m5896b 295480601摸到白球的频率a0.640.590.590.600.601（1）上表中的a ＝______，b ＝______；（2）“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）；（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．19．（6分）如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，，AE ＝5，AC ＝9，DE ＝6．（1）求证：．（2）求BC 的长．20．（8分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的点B 处的俯角，点C 处的俯角，线段AD 的长为无人机距地面的2cm y cos ABE ∠=ABE QBP △∽△2sin 60cos 45tan 60︒+︒-︒m nAED C ∠=∠ABC ADE △∽△FAB α∠=37FAC ∠=︒高度，点D 、B 、C 在同一条水平直线上，，BD ＝5米．（1）求无人机的飞行高度AD ．（2）求河流的宽度BC ．（参考数据：，，）21．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．（1）在图1中以线段AB 为边画一个△ABD ，使其与△ABC 相似，但不全等．（2）在图2中画一个△EFG ，使其与△ABC 相似，且面积为8．图1图222．（10分）如图，△ABC 内接于，AD 平分交于点D ，过点D 作交AC 的延长线于点E ．（1）求证：：（2）若，的半径为5，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求AD 的长．23．（10分）在平面直角坐标系内，二次函数 （a 为常数）．tan 3α=sin 370.60︒≈cossin 370.80︒≈tan 370.75︒≈O BAC ∠O //DE BC OD DE ⊥60E ∠=︒O ()21y x a a =-+-（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x 的取值范围．（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．24．（12分）[基础巩固]（1）如图1，正方形ABCD 和正方形BHGF ，其中D ，G ，F 三点共线，延长BG 交CD 于E ，连结AH ．①求证：；②不难证明：，因此的值为_______；【尝试应用】（2）在（1）的条件下，如图1，若CE ＝1，DE ＝3，求正方形BHGF 的边长；【拓展提高】（3）如图2，正方形ABCD 和正方形BHGF ，P 是AB 中点，连结CP ，F 恰在CP 上，连结DG ，AG ，若，求AG 的最小值．图1 图21y ()1,01y 1y 21y x =+1-12y y >()1,x n 1y 020x a ≥>54n >-EDG EBD △∽△BHA BGD △∽△DGAH4AB =2023学年第一学期期中测试初三数学答案一、选择题（每小题3分，共30分）12345678910CCDBAADCDA二、填空题（每小题4分，共24分）11121314151612，3说明：第16题每空2分三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：．18．（1）上表中的a ＝0.58，b ＝118；（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）（个），答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．19．（6分）（1）证明：∵，，∴．（2）∵∴，∴，∴．20．（8分）（1）由题意得：，596±13x =21x =-452942sin 60cos 45tan 60︒+︒-︒2=+=150.61510÷-=AED C ∠=∠A A ∠=∠ABC ADE △∽△ABC ADE △∽△BC AC DE AE =965BC =545BC =//AF C∴．．在Rt △ARD 中．，∵，米，∴（米），答：无人机的飞行高度AD 为75米（2）在Rt △ACD 中，，∴（米），∴（米），答：河流的宽度BC 为75米．21．（8分）下图每小题各4分21．（10分）（1）证明：∵BC 为的直径，∴，FAB ABD α∠=∠=37FAC ACD ∠=∠=︒tan ADABD BD∠=tan 3α=25BD =-tan -25375AD BD a ⋅⨯=tan 4ADCD CD∠=7575100tan tan 370.75AD CD ACD ==≈=∠︒1002575BC CD BD =-=-=O 90BAC ∠=︒∵AD 平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴；（3）连CD ，作于F易得， ∴∴∴说明：AD 的长也可通过旋转求得（如下图）23．（10分）（1）解：∵函数y 的图象经过点，∴，解得：或1，BAC ∠290BOD BAD ∠=∠=︒//DE BC 90ODE ∠=︒OD DE ⊥//DE BC 60ACB E ∠=∠=︒30B ∠=︒10BC =152AC AB ==AB ==CF AD ⊥145∠=︒230B ∠=∠=︒AF CF AC ===FD ==AD AF FD =+=()1,0()2110a a -+-=0a =∴函数y 1的表达式为或；（2）解：根据题意作出草图如下，由函数图象可知，当时x 的取值范围是：或； （3）证明：∵，∴-∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，∴和时的函数值相同，∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，即：，∵，∴，∴．24．（12分）（1）①∵，，∴∵∵211y x =-2121y x x =-+12y y >1x <-2x >02x a >002x a +>x a =0x =2x a =0x =0x x -21n a a >+-22151()24a a a +-=+-2514a a +-≥-54n >-12245∠==︒45BDE ∠=︒1BDE ∠=∠33∠=∠EDG EBD△∽△②不难证明：，因此；（2）易得：∵∴∴∴，∴（3）连BG ，延长DG 交AB 于Q ，作于K 易证，则∴为定值点G 是射线DG上的动点，当时，AG 最小．设，则∵∴BHA BGD △∽△DG AHBE =EDGEBD△∽△2·DE EG EB =EG ==BG=BH BG ==QK BD ⊥DGB EFB △∽△1tan 1tan 22∠=∠=3452∠=︒-∠AG DG ⊥QK BK x ==2DK x =3BD BK DK x =+==OK BK x ===∴∴，∴∵∴∴AG 最小值为说明证明或建模、建系均可求得AG的最小值83BQ ==43AQ=DQ =··AQ AD DQ AG=AG=12∠=∠。
浙江省宁波市九年级上期中数学试卷含答案解析
2022-2023浙江省宁波市九年级（上）期中数学试卷一．选择题1.已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±2．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断3．若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣5 B．y=2（x﹣1）2+5 C．y=2（x+1）2﹣5 D．y=2（x+1）2+54．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．6．下列四个命题中，正确的个数有（）①圆的对称轴是直径；②经过三点可以确定一个圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．A．1个B．2个C．3个D．4个7．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）A．B．C．D．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80° B．100°C．60° D．40°9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式﹣x2+bx+c＞0的解的范围是（）A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞110．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4 D．311．已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x 2 4 5y=ax2+bx+c 0.37 0.37 4那么（a+b+c）（+）的值为（）A．24 B．20 C．10 D．412．二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k为实数）．夏老师：请思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：①存在函数，其图象经过点（1，0）；②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；③函数图象有可能经过两个象限；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．上述结论中正确个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．抛物线y=x2﹣1的顶点坐标是．14．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．16．将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是．17．5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为米．18．如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为m．三．解答题（本大题有8小题，共78分）19．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标．20．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），（1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积．21．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．23．如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．24．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．25．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且 BE=AD．（1）试判断△CDE的形状，并加以证明．（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的长．26．如图，抛物线y=ax2﹣x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（4）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023浙江省宁波市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（1998•温州）已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】因为点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，所以（a，8）符合解析式，代入解析式得8=a3，即a=2．【解答】解：把点（a，8）代入解析式得8=a3，即a=2．故选A．【点评】要明确点在函数图象上即点的坐标符合解析式．2．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断【考点】点与圆的位置关系．【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d 时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，故选A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．3．若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣5 B．y=2（x﹣1）2+5 C．y=2（x+1）2﹣5 D．y=2（x+1）2+5【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（1，5）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入人得：y=2（x﹣1）2﹣5．故选B．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球【考点】随机事件．【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，5．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【解答】解：∵直径所对的圆周角等于直角，∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．下列四个命题中，正确的个数有（）①圆的对称轴是直径；②经过三点可以确定一个圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】根据对称轴的定义对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据三角形外心得性质对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断；根据垂径定理的推论对⑤进行判断．【解答】解：圆的对称轴是直径所在的性质，所以①错误；经过不共线的三点可以确定一个圆，所以②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以③正确；半径相等的两个半圆是等弧，所以④正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以⑤错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）A．B．C．D．1【考点】列表法与树状图法．【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出概率即可．【解答】解：用A和a分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb所以颜色搭配正确的概率是；故选B．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80° B．100°C．60° D．40°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC=40°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=80°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°﹣140°=40°．∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选A．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式﹣x2+bx+c＞0的解的范围是（）A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】观察函数图象可得知：该抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），抛物线的对称轴为x=﹣1．根据抛物线的对称性即可找出另一交点坐标，结合函数图象开口向下，即可得出不等式的解集．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），抛物线的对称轴为x=﹣1，∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），∵抛物线开口向下，∴关于x的不等式﹣x2+bx+c＞0的解集为﹣3＜x＜1．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数与不等式，解题的关键是求出抛物线与x轴的另一交点坐标．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是关键．10．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4 D．3【考点】圆周角定理；勾股定理；旋转的性质．【专题】计算题．【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再证明△ADE≌△ABF，得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．11．已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x 2 4 5y=ax2+bx+c 0.37 0.37 4那么（a+b+c）（+）的值为（）A．24 B．20 C．10 D．4【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】把x=2，y=0.37；x=4，y=0.37代入解析式得到b=﹣6a，则可确定抛物线的对称轴为直线x=3，利用抛物线的对称性得到x=1时，y=4，即a+b+c=4，然后利用整体代入的方法计算（a+b+c）（+）的值．【解答】解：∵x=2，y=0.37；x=4，y=0.37，∴，∴12a+2b=0，解得b=﹣6a，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣=3，∴x=1与x=5时的函数值相等，∴x=1时，y=4，即a+b+c=4，∴（a+b+c）（+）=4×（﹣）=4×（﹣）=24．故选A．【点评】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征：利用抛物线上的点满足抛物线解析式，可判断点是否在抛物线上或确定点的坐标．12．二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k为实数）．夏老师：请思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：①存在函数，其图象经过点（1，0）；②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；③函数图象有可能经过两个象限；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．上述结论中正确个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据②即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断【解答】解：①将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，解得：k=0，此选项正确．②当k=0时，y=﹣x+1，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；此选项正确；③y=﹣x+1，经过3个象限，此选项错误；④当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y=﹣，当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为最正；此选项正确．正确的是①②④．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法．二．填空题13．抛物线y=x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【考点】二次函数的性质．【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．14．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 5 ．【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义解答即可．【解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：100×=5．故答案为：5．【点评】本题考查了概率的意义，熟记概念是解题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为4 cm．【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4cm，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=CE=4cm，故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．16．将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣2（x﹣3）2﹣2，．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据抛物线解析式间的关系，可得顶点式解析式，根据绕它的顶点旋转180°，可得顶点相同，开口方向相反，可得答案．【解答】解：y=2x2﹣12x+16，顶点式y=2（x﹣3）2﹣2，抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 y=﹣2（x﹣3）2﹣2，故答案为：y=﹣2（x﹣3）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了绕定点旋转的规律．17．5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为 5 米．【考点】二次函数的应用．【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离，进而求出即可．【解答】解：当y=0时，0=﹣x2+x+，解得：x1=﹣1（舍去），x2=5，故羽毛球飞出的水平距离为5m．故答案为：5．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出图象与x轴交点坐标是解题关键．18．如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为m．【考点】正多边形和圆．【专题】应用题．【分析】设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．设长方形的摊位长是2xm，在直角△OAD和直角△OBC中，利用勾股定理和三角函数表示出OC和OD的长，根据OC﹣OD=1即可列方程求得．【解答】解：设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．设长方形的摊位长是2xm，在直角△OAD中，∠AOD=30°，AD=xm，则OD=xm，在直角△OBC中，OC==，∵OC﹣OD=CD=1，∴﹣x=1，解得：x=，则2x=．故答案是：．【点评】本题考查了正多边形的计算，解正多边形的问题最常用的方法是转化为直角三角形的计算问题，解方程是本题的关键．三．解答题（本大题有8小题，共78分）19．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题；平移、旋转与对称．【分析】以A为旋转中心，△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，如图所示，确定出E与F坐标即可．【解答】解：如图所示，△AEF就是所求作的三角形；根据图形得：点E的坐标是（3，3），点F的坐标是（3，﹣1）．【点评】此题考查了作图﹣旋转性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．20．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4），（1）求这个二次函数的解析式；（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】（1）设出二次函数的顶点式y=a（x﹣1）2+4，将点（0，3）代入解析式，求出a的值即可得到函数解析式；（2）令y=0，据此即可求出函数与x轴交点的横坐标，从而得到图象与x轴交点A、B两点的坐标；（3）由于知道C点坐标，根据A、B的坐标，求出AB的长，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．【解答】解：（1）设所求的二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+4，把x=0，y=3代入上式，得：3=a（0﹣1）2+4，解得：a=﹣1，∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）当y=0时，0=﹣x2+2x+3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴交点A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（3）由题意得：C点坐标为（0，3），AB=4，∴S△ABC=×4×3=6．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数与方程的关系，分别令x=0、y=0，据此即可求出与坐标轴的交点．21．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（•威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．23．（•义乌市）如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【分析】（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；（2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=﹣1，进而得出抛物线的解析式．【解答】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，根据顶点式得：y=x2﹣2x+2；（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1=1，∴c=1﹣2b，∵顶点纵坐标c+b2+1=2﹣2b+b2=（b﹣1）2+1，∴当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．【点评】本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，首先利用顶点坐标式写出来，再化为一般形式．24．（•青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据利润=（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．【解答】解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x=30时，w有最大值，此时wA=2000；B方案中：，故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x=35，∴当x=45时，w有最大值，此时wB=1250，∵wA ＞wB，∴A方案利润更高．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．25．（•宁波期中）已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD．（1）试判断△CDE的形状，并加以证明．（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的长．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．。
【5套打包】宁波市初三九年级数学上期中考试检测试题(解析版)
新九年级上册数学期中考试试题及答案一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）﹣6的绝对值是（）A．﹣6B．﹣C．D．62．（4分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）为了解我校初三年级所有同学的数学成绩，从中抽出500名同学的数学成绩进行调查，抽出的500名考生的数学成绩是（）A．总体B．样本C．个体D．样本容量4．（4分）计算（x﹣1）÷（1﹣）•x的结果是（）A．﹣x2B．﹣1C．x2D．15．（4分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相互垂直的四边形是平行四边形B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形C．四条边相等的四边形是正方形D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形6．（4分）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，……，按此规律排列下去，则第⑤个图案中三角形的个数为（）A．14个B．15个C．16个D．17个7．（4分）抛物线y＝2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1D．y＝﹣（x﹣2）2﹣18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tan C＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（）A．0.75B．0.8C．1.25D．1.359．（4分）如图，MN是垂直于水平面的一棵树，小马（身髙1.70米）从点A出发，先沿水平方向向左走10米到B点，再经过一段坡度i＝4：3，坡长为5米的斜坡BC到达C点，然后再沿水平方向向左行走5米到达N点（A、B、C、N在同一平面内），小马在线段AB的黄金分割点P处（）测得大树的顶端M的仰角为37°，则大树MN的高度约为（）米（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，≈2.236，≈1.732）．A．7.8米B．8.0米C．8.1米D．8.3米10．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＞0；④a+b＞am2+bm（m为一切实数）；⑤b2＞4ac；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（4分）如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC 中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12B．﹣10C．﹣9D．﹣612．（4分）已知关于x的二次函数y＝（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+2的图象在x轴上方，关于m的分式方程有整数解，则同时满足两个条件的整数k值个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：﹣10+＝．14．（4分）函数y＝x2+图象上的点P（x，y）一定在第象限．15．（4分）在二次函数y＝ax2+2ax+4（a＜0）的图象上有两点（﹣2，y1）、（1，y2），则y1﹣y20（填“＞”、“＜”或“＝”）．16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，D、E分别是AB、AC边上的动点，且CE＝3BD，则△BDE面积的最大值为．17．（4分）周末秋高气爽，阳光明媚，小赵带爷爷到滨江路去散步，祖孙俩在长度为600米的A、B路段上往返行走，他们从A地出发，小赵陪爷爷走了两圈一同回到A地后，就开始匀速跑步，爷爷继续匀速散步，如图反映了他们距离A地的路程s（米）与小赵跑步的时间t（分钟）的部分关系图（他们各自到达A地或B地后立即掉头，调头转身时间忽略不计），则小赵跑步过程中祖孙第四次与第五次相遇地点间距为米．18．（4分）重庆一中乘持“尊重自由、激发自觉”的教育理念，开展了丰富多彩的第二课堂及各种有趣有益的竟赛活动．其中“小棋王”争霸赛得到同学们的涵跃参与，经过初选、复试最后十位同学进入决赛这十位同学进行单循环比赛（每两人均赛一局），胜一局得2分、平局得1分、负一局得0分，最后按照每人的累计得分的多少进行排名，得分最高者就是第一名，以此类推．赛完后发现每人最后得分均不相同，第一名和第二名的同学均没负一局，他们两人的得分之和比第三名同学多20分，第四名同学的得分刚好是最后四名同学得分的总和，则第五名的同学得分为分．三、解答题（每小题8分，共16分）19．（8分）如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠CEB，AD⊥EF，若∠ADC＝42°，∠A﹣∠B＝8°，求∠BDE的度数．20．（8分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小段同学就本班同学“我最擅长的体育项目”进行了一次调查统计，下面是她通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有名学生；补全条形统计图；在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为度；（2）学校将举办冬季运动会，该班已推选5位同学参加乒乓球活动，其中有2位男同学（A，B）和3位女同学（C，D，E），现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．四、解答题（每小题10分，共50分）21．（10分）计算：（1）因式分解：（x﹣2y）2﹣（2x+5y）2；（2）解方程：（公式法）2x（x﹣3）＝x2﹣1．22．（10分）在目前万物互联的时代，人工智能正掀起一场影响深刻的技术革命．谷歌、苹果，BAT，华为……巨头们纷纷布局人工智能，有人猜测，互联网+过后，我们可能会迎来机器人+，教育从幼儿抓起，近年来我国国内幼儿教育机器人发展趋势迅猛，市场上出现了满足各类要求的幼教机器人产品．“双十一“当天，某品牌幼教机器人专卖店抓住机遇，对最畅销的A款幼教机器人进行促销．一台A款幼教机器人的成本价为850元，标价为1300元．（1）一台A款幼教机器人的价格最多降价多少元，才能使利润率不低于30%；（2）该专卖店以前每周共售出A款幼教机器人100个，“双十一“狂购夜中每台A款幼教机器人在标价的基础上降价2m元，结果这天晚上卖出的A款幼教机器人的数量比原来一周卖出的A款幼教机器人的数量增加了m%，同时这天晚上的利润比原来一周的利润增加了m%，求m的值．23．（10分）在▱ABCD中，点E为CD边上一点，点F为BC中点，连接BE，DF交于点G，且GA＝GD：（1）如图1，若AB＝AE＝BG＝6，AE⊥CD，求AG2的值；（2）如图2，若EM平分∠BEC，且EM∥DF，过点G作GN⊥BE交AE于点N且GN＝GE，求证：AE⊥CD．24．（10分）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根均为整数，称该方程为“快乐方程”，我们发现任何一个“快乐方程”的判别式△＝b2﹣4ac一定为完全平方数规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r＝0（p≠0，（p、q、r为常数）的“快乐数”为F （p，q，r）且满足|rF（a，b，c）﹣cF（p，q，r）|＝0，则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“乐呵数”例如“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的两根均为整数，其判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＝42其“快乐数”F（1，﹣2，﹣3）＝（1）“快乐方程”x2﹣4x+3＝0的“快乐数”为，若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m 为整数，且5＜m＜22）是“快乐方程”，求其“快乐数”（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m，n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“乐呵数”，求n的值．五、解答题（共12分）25．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．2018-2019学年重庆一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．【解答】解：|﹣6|＝6．故选：D．2．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：C．3．【解答】解：抽出的500名考生的数学成绩是样本，故选：B．4．【解答】解：原式＝（x﹣1）÷•x＝（x﹣1）••x＝x2，故选：C．5．【解答】解：A、对角线相互垂直的四边形是平行四边形，不是真命题；B、对角线相等且相互垂直的四边形是菱形，也可能是正方形，所以，不是真命题；C、四条边相等的四边形是正方形，也可能是菱形，所以，不是真命题；D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确，是真命题，故选：D．6．【解答】解：∵第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，…∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个，则第⑤个图中三角形的个数是4×（5﹣1）＝16个，故选：C．7．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+1．故选：B．8．【解答】解：连接AG，∵S△CGA+S△BGA＝S△ABC，∴+＝×AC×BD，∵AC＝AB，∴GE+GF＝BD，∵BD＝4，GE＝1.5，∴GF＝2.5，∵tan C＝2＝，BD＝4，∴CD＝2，由勾股定理得：BC＝＝新九年级（上）期中考试数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝22．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣33．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．54．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣27．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s的速度向右运动，若直线l 在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC∽△AED．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知，求的值．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC 的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．六、（本题满分12分）21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？七、（本题满分12分）22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．八、（本题满分14分）23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．故选：A．3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．5【分析】根据比例线段计算即可．【解答】解：因为a＝5cm，b＝10mm，所以的值＝，故选：D．4．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限【分析】根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣2＜0，函数位于二、四象限．【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．故选：D．5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，故选：D．7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴＝，＝，∴；＝，故A、D正确；∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF＝AE，∵＝，∴；故B正确；同理，故C错误；故选：C．8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k的符号，再根据k的符号确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数y＝x2+kx﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，∴AC⊥EF，AO＝CO，在矩形ABCD，∠D＝90°，∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，∴CO＝，∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，∴△DAC∽△OFC，∴，∴，∴EO＝，∴EF＝2×＝．故选：B．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s的速度向右运动，若直线l 在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【解答】解：点M从点A到点D的过程中，y＝＝x，（x≤3），故选项A、B、C错误，当点M从D点使点N到点B的过程中，y＝4，（3＜x≤5），点M到C的过程中，y＝4﹣＝﹣x+，（x＞5），故选项D正确，故选：D．二．填空题（共4小题）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：∠AED＝∠B（答案不唯一），使△ABC∽△AED．【分析】根据∠AED＝∠B和∠A＝∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B即可以求证△AED∽△ABC．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 4 ．【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，则AB＝|x2﹣x1|＝4．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是（2，）．【分析】根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．【解答】解：设点P的坐标为（a，），∵a＝，得a＝1或a＝﹣1（舍去），∴点P的坐标为（1，1），∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AE＝，∴DF＝，当y＝时，，得x＝2，∴点F的坐标为（2，）．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE＝1或．【分析】分两种情况，根据相似三角形的判定和性质以及翻折的性质解答即可．【解答】解：①如图1所示，∠GA'C＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，∵∠AA'G＝90°，∴点A、A'、C在同一直线上，∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠DAC，∴△ABE∽△DAC，∴＝，即＝，解得：x＝1；②如图2所示，∠A'GC＝90°，∴∠DGC＝∠GAA'＝∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∴＝，设AE＝EA'＝EG＝x，∴＝，解得：x＝，或x＝3（舍去），∴AE＝；综上所述，x＝1或；故答案为：1或．三．解答题（共2小题）15．已知，求的值．【分析】设＝k，得到a＝3k．b＝4k，c＝6k，代入即可得到结论．【解答】解：设＝k，则a＝3k．b＝4k，c＝6k，∴＝＝．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．【分析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标；（2）当a＞0时，抛物线开口向上，根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标（﹣1，﹣4）；（2）∵函数图象开口向上，其对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．四．解答题（共7小题）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC 的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC＝2，∵点D为BC的中点，∴CD＝1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y＝（x＞0）得k＝1×3＝3；∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线上，∴y＝∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2∵△FBC∽△DEB，∴即：∴FC＝∴点F的坐标为（0，）设直线FB的解析式y＝kx+b（k≠0）则解得：k＝，b＝∴直线FB的解析式y＝18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.519．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据△＝b2﹣4ac决定抛物线与x 轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①根据对称轴方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△＝52﹣4（6+k）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x＝﹣＝，∴m＝2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△＝52﹣4（6+k）＝0，∴k＝，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．【分析】（1）证明△ACB∽△ADC，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明△ACB∽△CDB，得到BC2＝BD•AB，与（1）中两式相加，得到答案．【解答】证明（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB；（2）∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴＝，∴BC2＝BD•AB，∴AC2+BC2＝AD•AB+BD•AB＝AB×（AD+BD）＝AB2．21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）销售利润之和W＝甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2＝﹣x2+x．（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是y＝（x﹣2）2+3 ；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．【分析】（1）根据“反簇二次函数”定义写出所求即可；（2）把A坐标代入y1，求出m的值，进而表示出y1+y2，根据y1+y2与y1互为“反簇二次函数”，求出a，b，c的值，确定出y2，写出满足题意的范围即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2+3；故答案为：y＝（x﹣2）2+3；（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2﹣2m+m+2＝2，解得：m＝2，∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”，∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，解得：，∴函数y2的表达式为：y2＝﹣4x2+8x﹣4，当0≤x≤3时，y2的最小值为﹣16．23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．【分析】方法一：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC＝MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．方法二：（1）略．（2）求出点M，N的参数坐标，并得到MN的长度表达式，从而求出MN的最大值．。