中考数学几何经典偏题难题(附答案)
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·4、平行四边形ABCD 中，设E、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB A A CBPD1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2，EB2=12AB=12BC=F C1 ，又∠GFQ+∠Q=900和∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。
3.作OF ⊥CD ，OG ⊥BE ，连接OP ，OA ，OF ，AF ，OG ，AG ，OQ 。
由于22AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG，由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ， ∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ 。
4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。
可得PQ=2EGFH。
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。
从而可得PQ=2AI BI=2AB，从而得证。
经典难题（三）1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZY X Z，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，得到PA＝PF ，得证。
经典难题（四）1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：BE BC =ADAC，即AD•BC=BE•AC，①又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得AB AC =DEDC，即AB•CD=DE•AC，②由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
4.过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由ADE S=2ABCDS=DFCS，可得：2AE PQ =2AE PQ，由AE=FC 。
可得DQ=DG ，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。
经典难题（五）1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小L=；（2）过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D ，F 。
由于∠APD>∠ATP=∠ADP ，推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC >PC ③ 又DF=AF ④由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：≤L ＜2 。
2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。
既得213(1)42= 23=4232=2(31)2= 231)2=622。
3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a = 522a 。
4.在AB上找一点F，使∠BCF=600，连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ，得到BE=CF ，FG=GE 。
推出：△FGE为等边三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ，从而推得：∠FED=∠BED=300。
中考数学几何综合压轴题易错汇编经典及答案
中考数学几何综合压轴题易错汇编经典及答案一、中考数学几何综合压轴题1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究：如图1，当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸：如图2，当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移：如图3，当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．解析：（1）23BFAB=；（2）仍然成立，见解析；（3）221BF nAB n=+【分析】（1）尝试探究：过点D作DM CF，交AB于M，可证BDM BCF∽,，AFE AMD∽，可得11,22BD BM AE AFBC BF AD AM====，可证BM MF AF＝＝，可得BF，BA之间的数量关系；（2）类比延伸：过点D作DM CF，交AB于M，可证BDM BCF∽，AFE AMD∽，可得11,22BD BM AE AFBC BF AD AM====，可证BM MF AF＝＝，可得BF BA，之间的数量关系；（3）拓展迁移：过点D作DM CF，交AB于M，由平行线分线段成比例可得BM MF FM nAF＝，＝，可得22AB nAF AF BF nAF+＝，＝，即可求BF BA，之间的数量关系．【详解】解：（1）尝试探究如图，过点D作DM CF，交AB于M∵AD 是中线，AE DE ＝ ∴1122BD CD BC AE AD ＝＝，＝ ∵DM CF ，∴BDM BCF ∽，AFE AMD ∽ ∴11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ∴22BF BM AM AF ＝，＝∴BM MF AF FM ＝，＝∴BM MF AF ＝＝∴23BF AB = （2）类比延伸：结论仍然成立，理由如下：如图，过点D 作DM CF ，交AB 于M∵AD 是中线,AE DE ＝∴1122BD CD BC AE AD ＝＝，＝ ∵DM CF ，∴BDM BCF ∽，AFE AMD ∽ ∴11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ∴22BF BM AM AF ＝，＝∴BM MF AF FM ＝，＝∴BM MF AF ＝＝∴23BF AB = （3）拓展迁移 如图，过点D 作DMCF ，交AB 于M∵DM FC ，且BD CD ＝ ∴1BD BM DC FM== ∴BM MF ＝∵DM CF DE nEA ，＝ ∴1AE AF DE FM n== ∴FM nAF ＝∴BM MF nAF ＝＝∴2AB nAF AF +＝ 2BF nAF ＝ ∴221BF n AB n =+ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质综合，根据题干条件作出辅助线并得到对应的相似三角形是解决本题的关键.2．[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为 ；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ．①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求PF MF的取值范围．解析：（1）AM ＝BM ；（2）169；（3）①AC ＝152；②310≤PF FM ≤34． 【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出BM ，AM 即可．（3）①证明△BCM ∽△BAC ，推出BC BM CM AB BC AC == 由此即可解决问题．②证明△PFA ′∽△MFC ，推出'PF PA FM CM =，因为CM =5，推出'5PF PA FM =即可解决问题． 【详解】解：（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，∴MN 垂直平分线段BC ，∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，∴MN ∥AC ，∵CN ＝BN ，∴AM ＝BM ．故答案为：AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6，∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ，∴BM ＝CM ，∴∠B ＝∠MCB ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴BC BM BA BC =， ∴6106BM =， ∴BM ＝185， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10﹣183255=， ∴321651895AM BM ==； （3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM CM AB BC AC == ∴696BM =， ∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC=，∴AC ＝152． ②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PFA ′＝∠MFC ，PA ＝PA ′，∴△PFA ′∽△MFC ，∴PF PA FM CM '=， ∵CM ＝5， ∴5PF PA FM '=， ∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC ＝154，AB ′＝152﹣6＝32， ∴32≤PA ′≤154， ∴310≤PF FM ≤34． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．[探究函数4y x x =+的图象与性质] （1）函数4y x x =+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下列四个函数图象中函数4y x x =+的图象大致是 ；（3）对于函数4y x x=+，求当x 0>时，y 的取值范围. 请将下列的求解过程补充完整.解：∵x 0> ∴()2224y x x x x x x =+=+=+ ∵20x x ≥ ∴ y ≥ .[拓展运用]（4）若函数259x x y x-+=，则y 的取值范围 . 解析：（1）0x ≠；（2）C ；（3）4，4；（4）1y ≥【详解】试题分析：本题的⑴问抓住函数是由分式给定的，所以抓住是分母不为0,即可确定自变量的取值范围.本题的⑵问结合第⑴问中的0x ≠，即0x >或0x <进行分类讨论函数值y 的大致取值范围，即可得到函数的大致图象.本题的第⑶问根据函数的配方逆向展开即推出“（ ）”应填写“常数”部分，再根据配方情况可以得到当当0x >时，y 的取值范围.本题的⑷问现将函数改写为95y x x=+-的形式，再按⑶的形式进行配方变形即可求y 的取值范围. 试题解析：（1）由于函数4y x x =+是分式给定的，所要满足分母不为0，所以0x ≠. 故填：0x ≠.（2）0x ≠即0x >或0x <；当0x >时，y 的值是正数，此时画出的图象只能在第一象限；当0x <时，y 的值是负数，此时画出的图象只能在第三象限；所以函数4y x x=+的图象只在直角坐标系的一、三象限.故其大致图象应选C. （3）∵244x x x x =-+， ∴(()22244y x x x x x x =+=+=+.故分别填：44，； （4） ∵0x >（这里隐含有y 首先是正数） ∴()222259933551x x y x x x x x x x -+⎛⎫⎛⎫==-+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵230x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∴ 1y ≥.4．已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ． 问题发现 ()1如图()1，若四边形ABCD 是矩形，且DE CF ⊥于G ，AB m AD n ==，，填空：DE CF =①______；②当矩形ABCD 是正方形时，DE CF=______； 拓展探究()2如图()2，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当B ∠与EGC ∠满足什么关系时，DE AD CF CD=成立？并证明你的结论； 解决问题()3如图()3，若BA BC 6DA DC 8BAD 90DE CF ∠=====︒⊥，，，于G ，请直接写出DE CF的值．解析：（1）①n m ，②1；（2）当B ∠+EGC ∠=180°时，DE AD CF CD =成立，理由见解析；（3）2524DE CF =. 【分析】（1）根据矩形的性质先一步证明△AED~△DFC ，然后进一步利用相似三角形性质求解即可；（2）在AD 的延长线上取一点M ，使得CM=CF ，则∠CMD=∠CFM ，通过证明△ADE~△DCM 进一步求解即可；（3）过C 点作CN ⊥AD 于N 点，CM ⊥AB 交AB 延长线于M 点，连接BD ，先证明△BAD ≌△BCD ，然后进一步证明△BCM~△DCN ，再结合勾股定理求出CN ，最终通过证明△AED~△NFC 进一步求解即可.【详解】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A=∠FDC=90°，AB=CD ，∵CF ⊥DE ，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED ，∵∠A=∠CDF ，∴△AED~△DFC ， ∴DE AD AD CF CD AB ==， ∴①DE n CF m =，②若四边形ABCD 为正方形，1DE AD AD CF CD AB===， 故答案为：①n m，②1； （2）当B ∠+EGC ∠=180°时，DE AD CF CD =成立，理由如下：如图，在AD 的延长线上取一点M ，使得CM=CF ，则∠CMD=∠CFM ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠A=∠CDM ，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠BEG+∠FCB=180°，∵∠BEG+∠AED=180°，∴∠AED=∠FCB ，∵AD ∥BC ，∴∠CFM=∠FCB ，∴∠CMD=∠AED ，∴△ADE~△DCM ，∴DE AD CM DC=，即：DE AD CF CD=； （3）2524DE CF =，理由如下：过C 点作CN ⊥AD 于N 点，CM ⊥AB 交AB 延长线于M 点，连接BD ，设CN=x ， ∵∠BAD=90°，即AB ⊥AD ，∴∠A=∠M=∠CAN=90°，∴四边形AMCN 为矩形，∴AM=CN ，AN=CM ，在△BAD 与△BCD 中，∵AD=CD ，AB=BC ，BD=BD ，∴△BAD ≌△BCD （SSS ），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC ，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM~△DCN ， ∴CM BC CN CD =， ∴34CM x =， ∴34CM x =， 在Rt △CMB 中，34CM x =，BM=AM−AB=6x -， 由勾股定理可得：222BM CM BC +=，∴()2223664x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 解得：0x =（舍去）或19225x =，∴19225CN =， ∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN ，∵∠A=∠CNF ，∴△AED~△NFC ，∴2524DE AD CF CN ==. 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质与判定和全等三角形性质与判定及矩形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.5．如图，已知ABC ∆和ADE ∆均为等腰三角形，AC BC =，DE AE =，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现如图①，当60ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠的度数为__________，线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系是__________；（2）拓展探究如图②，当90ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ．请判断CEB ∠的度数及线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图③，90ACB AED ∠=∠=︒，25AC =2AE =，连接CE 、BD ，在AED ∆绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长 解析：（1）60,BE AE CE ︒=+；（2）45,2CEB BE AE CE ∠=︒=+；（3）2242【分析】（1）证明△ACE ≌△ABD ，得出CE=AD ，∠AEC=∠ADB ，即可得出结论；（2）证明△ACE ∽△ABD ，得出∠AEC=∠ADB ，2BD CE =，即可得出结论；（3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =，①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP=DP=AE=2，再根据勾股定理求出，BP=6，得出BD=4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP=DP=AE=1，BP=4，进而得出BD=BP+DP=8，即可得出结论．【详解】（1）在△ABC 为等腰三角形，AC=BC ，∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=AB ，∠CAB=60°，同理：AE=AD ，∠ADE=∠EAD=60°，∴∠EAD=∠CAB ，∴∠EAC=∠DAB ，∴△ACE ≌△ABD （SAS ），∴CE=AD ，∠AEC=∠ADB ，∵点B 、D 、E 在同一直线上，∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，∴∠AEC=120°，∴60CEB ∠=︒∵DE=AE ，∴BE=DE+BD=AE+CE ，故答案为60°，BE=AE+CE ；（2）45,2CEB BE AE CE ∠=︒=+． 理由如下：ABC ∆和ADE ∆均为等腰三角形， 90ACB AED ∠=∠=︒，22,22,45AD AE DE AB AC BC EAD CAB EDA ∴====∠=∠=∠=︒，EAC DAB ∠=∠∴，AEC ADB ∴∆∆∽，2AB AD BD AC AE CE∴=== 2,BD EC AEC ADB ∴=∠=∠，点B 、D 、E 在同一直线上，180135,135ADB EDA AEC ∴∠=︒-∠=︒∴∠=︒，1359045,2CEB AEC AED EB ED BD AE EC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒=+=+．45,2CEB BE AE CE ∴∠=︒=+；（3）由（2）知，△ACE ∽△ABD ，∴2BD CE =，在Rt △ABC 中，25AC =，∴2210AB AC ==；①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP ⊥BD 交BD 的延长线于P ，∵DE ⊥BD ，∴∠PDE=∠AED=∠APD ，∴四边形APDE 是矩形，∵AE=DE ，∴矩形APDE 是正方形，∴AP=DP=AE=2，在Rt △APB 中，根据勾股定理得， 226BP AB AP =-=∴BD=BP-AP=4，∴1222CE BD ==； ②当点E 在点D 下方时，如图④，同①的方法得，AP=DP=AE=2，BP=4，∴BD=BP+DP=8，∴1422CE BD ==， 即：CE 的长为22或42．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出△ACE ∽△ABD 是解本题的关键． 6．（感知）如图1，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0,0.5)，点A 的坐标为(1,0)，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ，易知AOC CMB ∆∆≌，得到点B 的坐标为(0.5,1.5)．（探究）如图2，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,)(0)m m >，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ．（1）求点B 的坐标．（用含m 的代数式表示）（2）求出BC 所在直线的函数表达式．（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 在y 轴上，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，连结BO 、BA ，则BO BA +的最小值为_______．解析：【探究】（1）点B 坐标为(,1)m m +；（2）1y x m m=+；【拓展】5． 【分析】探究:（1）证明△AOC ≌△CMB （AAS ），即可求解；（2）根据点B 的坐标为（m ，m+1），点C 坐标()0,m ，即可求解；拓展：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，即可求解．【详解】解：探究：（1）过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ．BMC 90∠∴=︒，MCB B 90∠∠∴+=︒．线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，BCA 90CB CA ∠∴=︒=，．MCB ACO 90∠∠∴+=︒．B ACO ∠∠∴=．ACO 90∠=︒，ΔAOC ΔCMB ∴≌，MC OA,MB OC ∴==．点C 坐标()0,m ，点A 坐标()1,0，∴点B 坐标为()m,m 1+（2）∵点B 的坐标为（m ，m+1），点C 为（0，m ），设直线BC 为：y=kx+b ，1b m km b m =⎧⎨+=+⎩，解得：1k m b m⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴1y x m m=+； 则BC 所在的直线为：1y x m m =+； 拓展：如图作BH ⊥OH 于H ．设点C 的坐标为（0，m ），由（1）知：OC=HB=m ，OA=HC=1，则点B （m ，1+m ），则：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，相当于在直线y=x 上寻找一点P （m ，m ），使得点P 到M （0，-1），到N （1，-1）的距离和最小，作M 关于直线y=x 的对称点M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，22(11)(01)5--++故：BO+BA 55【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中拓展，将BO+BA 的值转化点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，是本题的新颖点 7．探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有EF BE DF =+;（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,22AB AC ==D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．解析：（1）①见解析；②180B D ∠+∠=︒，理由见解析；（2）5=3DE 【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案； ②根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案； （2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠FAD ＝∠DAE ＝45°，证△FAD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3−x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．【详解】（1）①如图1，∵把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，BE DG =∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴45BAE DAF ∠+∠=︒，∴45DAG DAF ∠+∠=︒，即45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS ≌，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；②180B D ∠+∠=︒，理由是：把ABE △绕A 点旋转到ADG ，使AB 和AD 重合，则AE AG =，B ADG ∠=∠，BAE DAG ∠=∠，∵180B ADC ︒∠+∠=，∴180ADC ADG ∠+∠=︒，∴C ，D ，G 在一条直线上，和①知求法类似，45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS △≌△，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；故答案为：180B D ∠+∠=︒（2）∵ABC 中，22AB AC ==，90BAC ∠=∴45ABC C ∠=∠=︒，由勾股定理得：2222(22)(22)4BC AB AC =+=+= ，把AEC 绕A 点旋转到AFB △,使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF AE =，45FBA C ∠=∠=︒，BAF CAE ∠=∠，∵45DAE ∠=︒，∴904545FAD FAB BAD CAE BAD BAC DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∴45FAD DAE ∠=∠=︒，在FAD △和EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FAD EAD △≌△，∴DF DE =，设DE x =，则DF x =，∵1BC =，∴413BF CE x x ==--=-，∵45FBA ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴90FBD ∠=︒，由勾股定理得：222DF BF BD =+，222(3)1x x =-+， 解得：5=3x ， 即5=3DE ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．8．问题提出（1）如图①，在△ABC 中，BC ＝6，D 为BC 上一点，AD ＝4，则△ABC 面积的最大值是 ．问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD 的周长为12，求矩形ABCD 面积的最大值． 问题解决（3）如图③，△ABC 是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB ＝30米，BC ＝40米，AC ＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD ，且满足∠ADC ＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．解析：（1）12；（2）9；（3）能实现；170（米）．【分析】（1）当AD ⊥BC 时，△ABC 的面积最大．（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m ，另一边为6﹣m ，可得S ＝m （6﹣m ）＝﹣（m ﹣3）2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．【详解】（1）如图①中，∵BC＝6，AD＝4，∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝1×6×4＝12．2故答案为12．（2）∵矩形的周长为12，∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．（3）如图③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，∵∠ADC＝60°，∴点D在优弧ADC上运动，当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠ADC，∠AFC＝30°＝12∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA +DC ≥D ′A +D ′C ，∴DA +DC +AC ≥D ′A +D ′C +AC ，∴此时四边形ADCB 的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）．【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：（1）利用平方为非负的性质求解；（2）利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中9．问题背景（1）如图（1），ABD △，AEC 都是等边三角形，ACD △可以由AEB △通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用（2）如图（2）．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AC ，AB 为边，作等边ACD △和等边ABE △，连接ED ，并延长交BC 于点F ，连接BD ．若BD BC ⊥，求DF DE的值． 拓展创新（3）如图（3）．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2AB =，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AP ，连接PB ，直接写出PB 的最大值．解析：（1）旋转中心是点A ，旋转方向是顺时针，旋转角是60︒；（2）23；（3）51．【分析】 （1）由等边三角形得出60BAD ∠=︒，60CAE ∠=︒，AD AB =，AC AE =，证明()ACD AEB SAS ≌，由旋转性质即可得；（2）证明()ADE ACB SAS ≌，由全等三角形的性质得90ADE ACB ∠=∠=︒，DE CB =，得出30BDF ∠=︒，由30直角三角形性质得12BF DF =，则可计算得答案； （3）过点A 作AE AB ⊥，且使AE =AD ，连接PE ，BE ，由直角三角形的性质求出BE 、PE 的长即可得解．【详解】解（1）∵ABD △，AEC 都是等边三角形，∴60BAD ∠=︒，60CAE ∠=︒，AD AB =，AC AE =，BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠， DAC BAE ∴∠=∠，()ACD AEB SAS ∴≌， ACD ∴可以由AEB △绕点A 顺时针旋转60︒得到，即旋转中心是点A ，旋转方向是顺时针，旋转角是60︒；（2)ACD 和ABE △都是等边三角形，AC AD ∴=，AB AE =，60CAD BAE ∠=∠=︒，CAB DAE ∴∠=∠，()ADE ACB SAS ∴≌，90ADE ACB ∴∠=∠=︒，DE CB =，90ADE ∠=︒，90ADF ∴∠=︒，60ADC ACD ∠=∠=︒，30DCF CDF ∴∠=∠=︒，CF DF ∴=，BD BC ⊥，30BDF ∴∠=︒，设BF =x ，则CF =DF =2x ，DE =3x ， ∴2233DF x DE x ==； （3）90ACB ∠=︒，∴点C 在以AB 为直径的圆上运动，取AB 的中点D ，连接CD ，112CD AB ∴==， 如图，过点A 作AE AB ⊥，且使AE =AD ，连接PE ，BE ，∵将线段AC 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AP ，90PAC ∴∠=︒，PA =AC ．90EAD ∠=︒，PAE CAD ∴∠=∠，()CAD PAE SAS ∴≌，∴PE =CD =1．∵AB =2，AE =AD =1，∴BE =22AE AB +=2212+=5，51BP BE PE ∴≤+=+，∴BP 的最大值为5+1．【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 10．在Rt ABC ∆中，90,7,2ACB AB AC ︒∠===，过点B 作直线//m AC ，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到A B C ''∆（点,A B 的对应点分别是,A B ''），射线,CA CB ''分别交直线m 于点,P Q ． （1）问题发现：如图1所示，若P 与A '重合，则ACA '∠的度数为_________________ （2）类比探究：如图2，所示，设A B ''与BC 的交点为M ，当M 为A B ''中点时，求线段PQ 的长；（3）拓展延伸：在旋转过程中，当点,P Q 分别在,CA CB ''的延长线上时，试探究四边形PA B Q ''的面积是否存在最小值，若存在，直接写出四边形PA B Q ''的最小面积；若不存在，请说明理由解析：（1）60°；（2）72；（3）存在，33【分析】 （1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得cos ∠A'CB=3BC A C '=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°； （2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到PB=3BC A C '=tan ∠BQC=tan ∠33，进而得出PQ=PB+BQ=72； （3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ 3S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =123，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-3 【详解】解（1）由旋转得：2AC A C '==，90,7,2,3ACB AB AC BC ︒∠===∴=90,//ACB m AC ︒∠=， 90A BC ︒'∴∠=，3cos BC A CB A C '∴∠==' 30A CB ︒'∴∠=，60A CA ︒'∴∠=；(2)因为M 是AA '中点，所以A CM MA C ''∠=∠，A MA C '∠=∠，A A CM '∴∠=∠， 3tan tan 2PCB A ∠=∠=∴， 3322PB BC ∴==． ∵∠PCQ=∠PBC=90°，∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，∴∠BQC=∠BCP=∠A ，3tan tan 2BQC A ∴∠=∠=， 223BQ BC ∴=⨯=， 72PQ PB BQ ∴=+=； (3) 3PA B Q PCQ A CB PCQ S S S S ''''∆=-=-，PA B Q S ''∴最小，即PCQ S 最小，1322PCQ S PQ BC PQ ∴=⨯=， 取PQ 的中点G ，190,2PCQ CG PQ ︒∠=∴=，即PQ=2CG ， 当CG 最小时， PQ 最小，CG PQ ∴⊥， CG 与CB 重合，CG 最小，∵CG 3PA B Q S ''∴33=【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC m BC=，D 是边BC 上一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，连接BE ．（1）特例发现：如图1，当1m =，AE 落在直线AC 上时，①求证：DAC EBC ∠=∠；②填空：CD CE 的值为______； （2）类比探究：如图2，当1m ≠，AE 与边BC 相交时，在AD 上取一点G ，使ACG BCE ∠=∠，CG 交AE 于点H ．探究CG CE 的值（用含m 的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用：在（2）的条件下，当22m =，D 是BC 的中点时，若6EB EH ⋅=，求CG 的长．解析：（1）①见解析；②1；（2）CG m CE =，见解析；（3）2CG = 【分析】（1）①根据折叠性质证明即可；②当1m =，证明ACD ≌BCE ，即可得出CD CE 的值； （2）延长AD 交BE 于点F ，根据折叠性质证明ACG BCE △∽△，即可得出结论； （3）由（2）可知22AG CG AC m BE CE BC ====，设CG x =，则2AG x =，2CE x =，2BE x =，可得AGH ECH ≌△△，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）①证明：延长AD 交BE 于点F ．由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90DAC ADC BDF EBC ∠+∠=∠+∠=︒．∵ADC BDF ∠=∠，∴DAC EBC ∠=∠．②当1m =，即1AC BC=时， 可知AC =BC ， 在ACD △和BCE 中，90DAC EBC ACD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ACD ≌BCE (AAS )，∴CD CE =， ∴1CD CE =． 故答案为：1； （2）解：CG m CE =． 理由：延长AD 交BE 于点F ，由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90ADC DAC BDF CBE ∠+∠=∠+∠=︒，∵ADC BDF ∠=∠，∴DAC CBE ∠=∠，∵ACG BCE ∠=∠，∴ACG BCE △∽△，∴CG AC m CE BC==． （3）解：由折叠得90AFB ∠=︒，BF FE =，∵D 是BC 的中点，∴//DF CE ，∴90BEC BFD ∠=∠=︒，AGC ECG ∠=∠，GAH CEA ∠=∠，由（2）知ACG BCE △∽△，∴90AGC BEC ∠=∠=︒，2AG CG AC m BE CE BC ==== D 是BC 的中点，2,BC CD ∴=∴2AC CD =， ∴1tan 2CG DC GAC AG AC =∠==， 设CG x =，则2AG x =，2CE x =，2BE x =，∴AG CE =，,,GAH HEC AHG CHE ∠=∠∠=∠∴AGH ECH ≌△△，∴AH EH =，GH CH =，∴12GH x =， 在Rt AGH 中，由勾股定理得2232AH AG GH x EH =+==， ∵6EB EH ⋅=，∴3262x x ⋅=， 解得2x =±（负值舍去），∴2CG =．【点睛】本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键．12．（1）问题发现如图1，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，40AOB COD ∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M .填空：①AC BD的值为______；②AMB ∠的度数为______．（2）类比探究如图2，在OAB 和OCD 中，90AOB COD ∠=∠=︒，30OAB OCD ∠=∠=︒，连接AC 交BD 的延长线于点M .请判断AC BD的值及AMB ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将OCD 绕点O 在平面内旋转，,AC BD 所在直线交于点M ，若1OD =，3OB =，请直接写出当点A 与点O D 、在同一条直线上时AD 的长．解析：（1）①1；②40︒；（2）3AC BD =，90AMB ∠=︒．理由见解析；（3）2或4．【分析】 （1）①证明△COA ≌△DOB （SAS ），得AC=BD ，比值为1；②由△COA ≌△DOB ，得∠CAO=∠DBO ，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA 的值，再求∠AMB 的值即可；（2）根据锐角三角比可得OD OB OC OA=，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC ∽△BOD ，根据相似撒尿性的性质求解即可；（3）当点A 与点O D 、在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD 的长．【详解】（1）①∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴∠BOD=∠AOC ，又∵OA OB =，OC OD =，∴△BOD ≌△AOC ，∴BD=AC ，∴AC BD=1； ②∵40AOB ∠=︒，∴∠OAB+∠OBA=140°，∵△BOD ≌△AOC ，∴∠CAO=∠DBO ，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，∴∠AMB=40︒；（2）如图2，3AC BD =90AMB ∠=︒．理由如下：Rt COD 中，30DCO ∠=︒，90DOC ∠=︒，3tan 30OD OC ∴=︒=同理得：3tan 303OB OA =︒=， OD OB OC OA∴=， 90AOB COD ∠=∠=︒，AOC BOD ∴∠=∠，AOC BOD ∴△∽△，3AC OC BD OD∴==，∠CAO=∠DBO ， ∵∠BEO+∠DBO=90°，∴∠CAE+∠AEM=90°，∴∠AMB=90°；（3） ∵∠A=30°，3OB =，∴OA=tan 30OB =3． 如图3，当点D 和点A 在点O 的同侧时，∵1OD =，∴AD=3-2=2；如图4，当点D 和点A 在点O 的两侧时，∵1OD =，，OA=3∴AD=3+1=4．综上可知，AD 的长是2或4．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：△AOC ∽△BOD ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．13．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求AB BC 的值． （拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________；②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求AD CD的值．解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）329AB BC =3）①12515②35AD CD =． 【分析】 （1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论； （2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出AB BC 的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x =+=，即可求出DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AF AE EC =，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案． 【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形．理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵12AC =，30ACB ∠=︒，∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==．∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称，∴BE AD ⊥，AE ED =．∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．不防设3AE k =，5BC k =，∵点C 为ABD △的重心，∴:2:1BC CE =．∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)2k AB k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5AB k BC == （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3， ∵35AE BC =， ∴BC=5， ∵10AB BC =， ∴10AB ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=，∴156EC =+=， ∴223635AC +=∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ，∴△ACE ∽△DAF ， ∴3126AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =，∵∠ACD=30°， ∴3CF x =， ∴(23)35AC x == 解得：65315DF x ==∴2125615CD DF ==②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =．∴5BC =． ∵10AB BC =， ∴10AB ． ∴221BE AB AE =-=．∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =++分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=．∵GCB FCD α'∠=∠=，∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==．∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =．∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒．∴AEC DFA ∽△△． ∴DF AF AE EC =． ∴33543k k -=35k = ∴355CD k ==2222959595102AF DF AD ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． ∴9352355AD CD === 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．14．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=12AB ．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=12②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．解析：（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由见解析；（3）ED=EB；拓展应用：C（1，2+3）．【分析】探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似；拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题.【详解】探究结论（1），如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=1AB=AE=EB，2∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为：EC=EB；（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE，∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB；（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为：ED=EB；拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA，∵A31），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+3）2，∴3∴C（1，3【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题15．(1)方法选择如图①，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，AB BC AC==．求证：BD AD CD=+.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM AD=，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN AD=…请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，AB AC=．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，30ABC∠=︒，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，::::BC AC AB a b c=，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．解析：(1)方法选择：证明见解析；(2)【探究1】：2BD CD=；【探究2】32BD CD AD=+；(3)拓展猜想：c aBD CD ADb b=+.【分析】（1）方法选择：根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，如图①，在BD上截取DM=AD，连接AM，由圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根据全等三角形的性质得到BM=CD，于是得到结论；（2）类比探究：如图②，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，过A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得2根据全等三角形的性质得到结论；【探究2】如图③，根据圆周角定理和三角形的内角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，过A作AM⊥AD 交BD于M，求得∠AMD=30°，根据直角三角形的性质得到MD=2AD，根据相似三角形的性质得到3，于是得到结论；（3）如图④，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，过A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根据相似三角形的性质得到BM=cb CD，DM=abAD，于是得到结论．。
(完整版)初中数学几何题(超难)及答案分析
，求证：≤n d A l n g s i n th e i r b e i n g GF GH CD，从而得出△PBC 是正三角形分别找其中点F,E.连接C F 与A E 并延长相交于l l t h i n g s i n th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 4.如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。
5.(1)延长AD 到F 连BF ，做OG ⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD ，可得BH=BF,从而可得HD=DF ，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB ，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。
dAllirbeinndAllthing22heirbeingaregoandAllthitheirbeingaregl l t h i n g s i n th ei r b e i n g a r e g o o d f o r s o 12.证明：作CQ ⊥PD 于Q ，连接EO ，EQ ，EC ，OF ，QF ，CF ，所以PC 2=PQ•PO （射影定理），又PC 2=PE•PF ，所以EFOQ 四点共圆，∠EQF=∠EOF=2∠BAD ，又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF ，而CQ ⊥PD ，所以∠EQC=∠FQC ，因为∠AEC=∠PQC=90°，故B 、E 、C 、Q 四点共圆，所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EOF=∠BAD ，∴CB ∥AD ，所以BO=DO ，即四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，BC=AD ．13.顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ 是正三角形。
2020中考数学《几何》压轴大题专练(30道)(含参考答案)
2020中考数学《几何》压轴大题专练（30道）1．（2019·安徽省中考模拟）已知如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，点D 在AB 上，DE ⊥AB 交BC 于E ，点F 是AE 的中点（1）写出线段FD 与线段FC 的关系并证明；（2）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE 绕点B 逆时针旋转一周，如果BC ＝4，BE ＝，直接写出线段BF 的范围．2．（2019·山东省中考模拟）正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，（1）将ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，使AD AB 、重合，得到ABF ，如图1所示.观察可知：与DE 相等的线段是_______，AFB ∠=∠______.（2）如图2，正方形ABCD 中，P Q 、分别是BC CD 、边上的点，且45PAQ ∠=︒，试通过旋转的方式说明：DQ BP PQ+=（3）在（2）题中，连接BD 分别交{}|2 4 x x ≤≤于M N 、，你还能用旋转的思想说明222BM DN MN +=.3．（2019·内蒙古自治区中考模拟）如图,△ABC 内接于☉O ,AB 是☉O 的直径,CD 平分∠ACB 交☉O 于点D ,交AB 于点F ,弦AE ⊥CD 于点H ,连接CE 、OH.(1)延长AB 到圆外一点P ,连接PC ,若PC 2=PB ·PA ,求证:PC 是☉O 的切线;(2)求证:CF ·AE=AC ·BC ;(3)若AF BF =32,☉O ,求tan ∠AEC 和OH 的长.4．（2017·营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A 、B 重合），另一直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F ．（1）如图1，当点E 在AB 边得中点位置时：①通过测量DE 、EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是；②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是，请证明你的猜想；（2）如图2，当点E 在AB 边上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．5．（2019·山东省中考模拟）（1）（问题发现）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 恰好与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF 绕点C 旋转，连接BE ，CE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．6．（2019·山东省中考模拟）如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连结DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_______，位置关系是_______；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN 、BD 、CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．7．（2018·河南省中考模拟）已知：在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的中点；过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于F ，连接CF ．()1求证：四边形ADCF 是平行四边形；()2填空：①当AB AC =时，四边形ADCF 是______形；②当90BAC ∠= 时，四边形ADCF 是______形.8．（2019·江苏省中考模拟）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 在BC 边的延长线上，连接DE ，过点B 作DE 的垂线，交CD 于点M ，交AD 边的延长线于点N .（1）连接EN ，若BE BD =，求证：四边形BEND 为菱形；（2）在（1）的条件下，求BM 的长；（3）设CE x =，BN y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围.9．（2019·河南省中考模拟）如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AG BE 的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，2，则BC=．10．（2018·山东省中考模拟）如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 在AC 上（且不与点A ，C 重合），在△ABC 的外部作△CED ，使∠CED=90°，DE=CE ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．（1）请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；（2）将△CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．11．（2019·哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．(1)如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE，求AB的长；(2)如图2，若DA＝DE，求证：BF+DFAF．12．（2017·湖北省中考模拟）如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H(1)求证：HE＝HG(2)如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P连接BP，求PE PA PB的值(3)在(2)的条件下，若AD＝2，∠ADE＝30°，则BP的长为______________13．（2019·陕西省中考模拟）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．14．（2019·浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（4，6），点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PE⊥CP交AB于点D，且PE＝PC，过点P 作PF⊥OP且PF＝PO（点F在第一象限），连结FD、BE、BF，设OP＝t．（1）直接写出点E的坐标（用含t的代数式表示）：；（2）四边形BFDE的面积记为S，当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；（3）△BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，说明理由．15．（2019·江西省中考模拟）某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：●操作发现在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF＝12BC：②AF⊥BC；③整个图形是轴对称图形；④DE∥BC、●数学思考在任意△ABC中，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程●类比探索在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由．16．（2017·湖北省中考模拟）如图1，ABCD为正方形，将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE，记∠BCE=α，连接BE，DE，过点C作CF⊥DE于F，交直线BE于H．（1）当α=60°时，如图1，则∠BHC=；（2）当45°＜α＜90°，如图2，线段BH、EH、CH之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式：（不需证明）；（3）当90°＜α＜180°，其它条件不变（如图3），（2）中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明．17．（2018·山东省中考模拟）矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PE＜PD），PM⊥PD，PM交AD边于点M．（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．求证：①PN=PF；②DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．18．（2019·云南省中考模拟）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．19．（2018·广东省中考模拟）已知：如图1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由点B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向点C匀速运动，速度为lcm/s；连接PQ，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当为t何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（c m2），求y关于t的函数关系式，并求出y的最大值；（3）如图2，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，是否存在某时刻t，使四边形PQP'C 为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．20．（2018·江苏省中考模拟）如图1，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作PQ∥AC交AD于Q，将△PDQ沿PQ翻折得到△PQE.设点P的运动时间为t（s）．（1）当点E落在边AB上时，t的值为；（2）设△PQE与△ADC重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式；（3）如图2，以PE为直径作⊙O．当⊙O与AC边相切时，求CP的长．21．（2019·山东省中考模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知，CD=14 BC，请求出GE的长．22．（2019·四川省成都市簇锦中学中考模拟）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；（3）若23DFFO ，求证：CD＝DH．23．（2019·浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(3，4)，P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB,PC，BC，设OP=m.（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形.（2）连结PB，求tan∠BPC的值.（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值.（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部(含边界)时，请写出m的取值范围.24．（2017·内蒙古自治区中考模拟）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5,3sin5F=时，求BD的长.25．（2019·广西壮族自治区中考模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切；（2）若EFAC=58，求BEOC的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．26．（2019·内蒙古自治区中考模拟）在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求EFAC的值．27．（2018·河南省中考模拟）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t 的值．28．（2019·福建省中考模拟）如图，OA是⊙O的半径，点E为圆内一点，且OA⊥OE，AB是⊙O的切线，EB交⊙O于点F，BQ⊥AF于点Q．(1)如图1，求证：OE∥AB；(2)如图2，若AB＝AO，求AFBQ的值；(3)如图3，连接OF，∠EOF的平分线交射线AF于点P，若OA＝2，cos∠PAB＝45，求OP的长．29．（2019·江苏省中考模拟）平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE ＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD 始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝°，CD＝；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；（4）若m＝6，n＝，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．30．（2018·广东省中考模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在 BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC=CE；（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；（3）已知⊙O的半径为3．①若ABAC=53，求BC的长；②当ABAC为何值时，AB•AC的值最大？2020中考数学《几何》压轴大题专练（30道）参考答案1．（2019·安徽省中考模拟）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB 交BC于E，点F是AE的中点（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．【答案】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由见解析；（2）结论不变．理由见解析；（32≤BF32【解析】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由：如图1中，∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，∴DF＝AF＝EF＝CF，∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FC A，∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，∴DF＝FC，DF⊥FC．（2）结论不变．理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．∵BC⊥AM，AC＝CM，∴BA＝BM，同法BE＝BN，∵∠ABM＝∠EBN＝90°，∴∠NBA＝∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，∵AF ＝FE ，AC ＝CM ，∴CF ＝12EM ，FC ∥EM ，同法FD ＝12AN ，FD ∥AN ，∴FD ＝FC ，∵∠BME +∠BOM ＝90°，∠BOM ＝∠AOH ，∴∠BAN +∠AOH ＝90°，∴∠AHO ＝90°，∴AN ⊥MH ，FD ⊥FC ．（3BF ≤≤当点E 落在AB 上时，BF 取得最大值，如图5所示，∵4BC =，AC BC =，90ACB ∠=︒，∴AB =，∵F 是AE 的中点，∴()1=2EF AB BE -，又BE =，∴()(1122BF BE EF BE AB BE =+=+-=+-=即BF 的最大值为．图5当点E 落在AB 延长线上时，BF 取得长最小值，如图6所示，∵4BC =，AC BC =，90ACB ∠=︒，∴AB =，∵F 是AE 的中点，∴()1=2AF AB BE +，又BE =，∴()(1122BF AB AF AB AB BE =-=-+=-+=，即BF 的最小值为．图6BF ≤≤．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2019·山东省中考模拟）正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，（1）将ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，使AD AB 、重合，得到ABF ，如图1所示.观察可知：与DE 相等的线段是_______，AFB ∠=∠______.（2）如图2，正方形ABCD 中，P Q 、分别是BC CD 、边上的点，且45PAQ ∠=︒，试通过旋转的方式说明：DQ BP PQ+=（3）在（2）题中，连接BD 分别交{}|2 4 x x ≤≤于M N 、，你还能用旋转的思想说明222BM DN MN +=.【答案】（1）BF ，AED ；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】(1)、∵△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，使AD 、AB 重合，得到△ABF ，∵DE=BF ，∠AFB=∠AED ．(2)、将△ADQ 绕点A 按顺时针方向旋转90°，则AD 与AB 重合，得到△ABE ，如图2，则∠D=∠ABE=90°，即点E 、B 、P 共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ ，BE=DQ ，∵∠PAQ=45°，∴∠PAE=45°∴∠PAQ=∠PAE ，∴△APE ≌△APQ （SAS ），∴PE=PQ ，而PE=PB+BE=PB+DQ ，∴DQ+BP=PQ ；(3)、∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，如图，将△ADN 绕点A 按顺时针方向旋转90°，则AD 与AB 重合，得到△ABK ，则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN ，AK=AN ，与（2）一样可证明△AMN ≌△AMK ，得到MN=MK ，∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，∴△BMK 为直角三角形，∴BK 2+BM 2=MK 2，∴BM 2+DN 2=MN 2．考点：(1)、旋转的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性质．3．（2019·内蒙古自治区中考模拟）如图,△ABC 内接于☉O ,AB 是☉O 的直径,CD 平分∠ACB 交☉O 于点D ,交AB 于点F ,弦AE ⊥CD 于点H ,连接CE 、OH.(1)延长AB 到圆外一点P ,连接PC ,若PC 2=PB ·PA ,求证:PC 是☉O 的切线;(2)求证:CF ·AE=AC ·BC ;(3)若AF BF =32,☉O ,求tan ∠AEC 和OH 的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)tan ∠AEC=32，OH =1.【解析】(1)证明:∵PC 2=PB ·PA ,∴PC PB =PA PC,∵∠BPC=∠APC ,∴△PBC ∽△PCA ,∴∠BAC=∠PCB ,连接OC ,如图所示,∵AO=OC ,∴∠ACO=∠BAC ,∴∠ACO=∠PCB.∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCO+∠ACO=90°,∴∠BCO+∠PCB=90°,∴∠PCO=90°.∵OC 是半径,∴PC 是☉O 的切线.(2)证明:∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD=∠FCB=45°.∵AE ⊥CD ,∴∠CAE=45°=∠FCB.在△ACE 与△CFB 中,∠CAE=∠FCB ,∠AEC=∠FBC ,∴△ACE ∽△CFB ,∴ACCF =AEBC ,∴CF ·AE=AC ·BC.(3)作FM ⊥AC 于M ,FN ⊥BC 于N ,CQ ⊥AB 于Q ,延长AE 、CB 交于点K.∵CD 平分∠ACB ,∴FM=FN.∵S △ACF =12AC ·FM=12AF ·CQ ,S △BCF =12BC ·FN=12BF ·CQ ,∴ACF BCF S S =1·21·2AC FM BC FN =1·21·2CQ AFCQ BF ,∴AF BF =ACBC .∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°且tan ∠ABC=AC BC .∵AFBF=32且∠AEC=∠ABC,∴tan∠AEC=tan∠ABC=AC BC=32.设AC=3k,BC=2k,∵在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2且AB=,∴(3k)2+(2k)2=2,∴k=2(k=-2舍去),∴AC=6,BC=4,∵∠FCB=45°,∠CHK=90°,∴∠K=45°=∠CAE,∴HA=HC=HK,CK=CA=6.∵CB=4,∴BK=6-4=2,∵OA=OB,HA=HK,∴OH是△ABK的中位线,∴OH=12BK=1.【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用．4．（2017·营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是，请证明你的猜想；（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）①DE=EF；②NE=BF；理由见解析；（2）DE=EF，理由见解析．【解析】解：（1）①DE=EF；②NE=BF；理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，在△DNE和△EBF中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）DE=EF，理由如下：在DA边上截取DN=EB，连接NE，∵四边形ABCD是正方形，DN=EB，∴AN=AE，∴△AEN为等腰直角三角形，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣45°=135°，∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠EBF=90°+45°=135°，∴∠DNE=∠EBF，∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF，在△DNE和△EBF中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图1中证明△DNE与△EBF全等从而得到结论，进而应用到图2是解题的关键．5．（2019·山东省中考模拟）（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．【答案】（1）AF ；（2）无变化；（31+1．【解析】解：（1）在Rt △ABC 中，AB=AC=2，根据勾股定理得，AB=2，点D 为BC 的中点，∴AD=12，∵四边形CDEF 是正方形，∴，∵BE=AB=2，∴AF ，故答案为AF ；（2）无变化；如图2，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=2CACB =，在正方形CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=2CF CE =，∴CF CACE CB =，∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE ﹣∠ACE=∠ACB ﹣∠ACE ，∴∠FCA=∠ECB ，∴△ACF ∽△BCE ，∴BE CBAF CA =，∴AF ，∴线段BE 与AF 的数量关系无变化；（3）当点E 在线段AF 上时，如图2，由（1）知，，在Rt △BCF 中，，，根据勾股定理得，，∴BE=BF ﹣﹣，由（2）知，AF ，∴1，当点E 在线段BF 的延长线上时，如图3，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=2CA CB =，在正方形CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=2CF CE =，∴CF CA CE CB =，∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE ，∴∠FCA=∠ECB ，∴△ACF ∽△BCE ，∴BE CB AF CA=，∴AF ，由（1）知，，在Rt △BCF 中，，，根据勾股定理得，，∴，由（2）知，AF ，∴．即：当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，线段AF 1+1．6．（2019·山东省中考模拟）如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连结DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_______，位置关系是_______；（2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN 、BD 、CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN ∆面积的最大值为492.【解析】解：（1）∵点P 、N 是CD 、BC 的中点∴//PN BD ，12PN BD=∵点P 、M 是CD 、DE 的中点∴//CE PM ，12PM CE=∵AB AC =，AD AE=∴BD CE=∴PM PN=∵//PN BD∴DPN ADC∠=∠∵//PM CE∴DPM DCA∠=∠∵90BAC ∠=︒∴90ADC ACD ∠+∠=︒∴90MPN DPM DPN DCA ADC ∠=∠+∠=∠+=︒∴PM PN⊥（2）结论：PMN 是等腰直角三角形．证明：由旋转知，BAD CAE∠=∠∵AB AC =，AD AE=∴()ABD ACE SAS △≌△∴ABD ACE ∠=∠，BD CE=∵由三角形中位线的性质可知，12PN BD =，12PM CE=∴PM PN=∴PMN 是等腰三角形∵同（1）的方法得，//PM CE 、DPM DCE∠=∠同（1）的方法得，//PN BD 、PNC DBC∠=∠∴DPN DCB PNC DCB DBC∠=∠+∠=∠+∠∴MPN DPM DPN∠=∠+∠DCE DCB DBC=∠+∠+∠BCE DBC=∠+∠ACB ACE DBC=∠+∠+∠ACB ABD DBC=∠+∠+∠ACB ABC=∠+∠∵90BAC ∠=︒∴90ACB ABC ∠+∠=︒∴90MPN ∠=︒∴PMN 是等腰直角三角形；（3）∵由（2）得，PMN 是等腰直角三角形，∴MN 最大时，PMN 的面积最大∴//DE BC 且DE 在顶点A 上面时，MN AM AN =+最大值，连接AM ，AN ，如图：∵在ADE 中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒∴AM =∵在ABC 中，10AB AC ==，90BAC ∠=︒∴AN =∴MN AM AN =+最大值∴()2221111497222242PMN S PM MN ==⋅⋅=⨯= 最大值．故答案是：（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN 面积的最大值为492【点睛】本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求最大面积问题等知识点，属压轴题目，综合性较强．7．（2018·河南省中考模拟）已知：在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的中点；过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于F ，连接CF ．()1求证：四边形ADCF 是平行四边形；()2填空：①当AB AC =时，四边形ADCF 是______形；②当90BAC ∠= 时，四边形ADCF 是______形.【答案】（1）见解析；（2）①矩；②菱.【解析】证明：//AF BC ，.AFE EBD ∴∠=∠在AEF 和DEB 中AFE DBE FEA BED AE DE ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEF ∴ ≌().DEB AAS .AF BD ∴=AF DC ∴=．又//AF BC ，∴四边形ADCF 为平行四边形；()2①当AB AC =时，四边形ADCF 是矩形；②当90BAC ∠= 时，四边形ADCF 是菱形．故答案为矩，菱．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出AEF ≌DEB 是解题关键．8．（2019·江苏省中考模拟）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 在BC 边的延长线上，连接DE ，过点B 作DE 的垂线，交CD 于点M ，交AD 边的延长线于点N .（1）连接EN ，若BE BD =，求证：四边形BEND 为菱形；（2）在（1）的条件下，求BM 的长；（3）设CE x =，BN y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）BM =；（3）636x y x=，902x <<.【解析】解：（1）证明：∵BD=BE ，BM ⊥DE ∴∠DBN=∠EBN∵四边形ABCD 是矩形，AD ∥BC∴∠DNB=∠EBN ∴∠DBN=∠DNB∴BD=DN又∵BD=BE ∴BE=DN 又∵AD ∥BC ∴四边形DBEN 是平行四边形又∵BD=BE ∴平行四边形DBEN 是菱形（2）由（1）可得，22AB AD +=10∴CE=BE-BC=2∴在Rt △DCE 中，22CD CE +10由题意易得∠MBC=∠EDC ，又∠DCE=∠BCD=90°∴△BCM ∽△DCE ∴BC BM DC DE =∴86210=∴8103（3）由题意易得∠BNA=∠EDC ，∠A=∠DCE=90°∴△NAB ∽△DCE ∴BN AB DE CE=2636xx =+∴y=2636x x+，其中0<x<92【点睛】此题主要考查勾股定理和三角形相似的综合应用9．（2019·河南省中考模拟）如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AG BE 的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，，则BC=．【答案】（1）①四边形CEGF ；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为BE ；（3）【解析】（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形；②由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴CG CE =，GE ∥AB ，∴AG CG BE CE ==，故答案为；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CECG =22、CB CA =22，∴CG CE =2CACB =∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB ==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ，∴AG GH AHAC AH CH ==，设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH =6222AH a =，∴AH=23a ，则DH=AD ﹣AH=13a ，CH=22CD DH +=103a ，∴由AG AHAC CH=233a=，解得：BC=3，故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 10．（2018·山东省中考模拟）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．【答案】AE；（2）AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=AE，理由详见解析.【解析】解：（1）如图①中，结论：AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE．（2）如图②中，结论：AF=AE．理由：连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD，在△EKF和△EDA中，{EK DK EKF ADE KF AD=∠=∠=，∴△EKF≌△EDA，∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE．（3）如图③中，结论不变，AE．理由：连接EF ，延长FD 交AC 于K ．∵∠EDF=180°﹣∠KDC ﹣∠EDC=135°﹣∠KDC ，∠ACE=（90°﹣∠KDC ）+∠DCE=135°﹣∠KDC ，∴∠EDF=∠ACE ，∵DF=AB ，AB=AC ，∴DF=AC在△EDF 和△ECA 中，DF AC EDF ACE DE CE =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=，∴△EDF ≌△ECA ，∴EF=EA ，∠FED=∠AEC ，∴∠FEA=∠DEC=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE ．【点睛】本题考查四边形综合题，综合性较强．11．（2019·哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，∠CDE 的平分线交AM 延长线于点F ．(1)如图1，若点E 为线段AM 的中点，BM ：CM ＝1：2，BE，求AB 的长；(2)如图2，若DA ＝DE ，求证：BF+DFAF．【答案】(1)AB ＝6；(2)证明见解析.【解析】解：(1)设BM ＝x ，则CM ＝2x ，BC ＝3x ，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH(SAS)．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△FAH是等腰直角三角形，∴HF AF ．∵HF ＝DH+DF ＝BF+DF ，∴BF+DF AF ．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点，熟练运用相关知识是解决问题的关键.12．（2017·湖北省中考模拟）如图1，在矩形ABCD 中，E 是CB 延长线上一个动点，F 、G 分别为AE 、BC 的中点，FG 与ED 相交于点H(1)求证：HE ＝HG(2)如图2，当BE ＝AB 时，过点A 作AP ⊥DE 于点P 连接BP ，求PE PA PB-的值(3)在(2)的条件下，若AD ＝2，∠ADE ＝30°，则BP 的长为______________【答案】（1）证明见解析；（2）PE PA PB-=；（3）BP 的长为6+22【解析】（1）延长BC 至M ，且使CM ＝BE ，连接AM ，∴△ABM ≌△DCE （SAS ）∴∠DEC ＝∠AMB∵EB ＝CM ，BG ＝CG∴G 为EM 的中点∴FG 为△AEM 的中位线∴FG ∥AM∴∠HGE ＝∠AMB ＝∠HEG∴HE ＝HG(2)过点B 作BQ ⊥BP 交DE 于Q由八字型可得：∠BEQ ＝∠BAP∴△BEQ ≌△BAP （ASA ）∴PA ＝QE∴PE PA PE EQ PQPB PB PB --===(3)∵∠ADE ＝∠CED ＝30°∴CE CD∴BE ＋BC ＝CD ＋2CD ，CD 1∴DE ＝2CD ＝2+∵∠ADE ＝30°∴AP ＝EQ ＝1，DP∴PQ ＝2+－11∴BP ＝6+2213．（2019·陕西省中考模拟）（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一条直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD 、BE 之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD ＝，若点P 满足PD ＝2，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．【答案】（1）①60 ；②AD BE =；（2）902AEB AE BE CM ∠==+ ，，理由见解析；（3）点A 到BP 的距离为312或312+．【解析】解：（1）①如图1．∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠ADC =∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE =∠CED =60°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =60°．故答案为60°．②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ．故答案为AD =BE ．（2）∠AEB =90°，AE =BE +2CM ．理由：如图2．∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，。
中考数学几何专项训练及答案
中考数学几何专项训练及答案所以AD=DF=AF；AB=AD，所以△ABD为等腰三角形，∠ABD=∠BAD=30°；ABC=60°，所以∠CBD=30°；AD=DF，所以∠AFD=∠ADF=75°；ABD=∠CBD=30°，所以∠ADB=∠CDB=60°；ABD=∠BAD=30°，所以∠ADB=120°；ADB为等边三角形，BD=AD=6；XXX∠EAD+∠BAD=15°+30°=45°，∠BED=90°，所以△EBD为45°-45°-90°三角形，EB=BD/√2=3√2；AB=AD=6，所以CD=AB+2AD=18；ABC=60°，所以∠BCD=30°；CD=2AD，所以∠ADC=90°-∠ACD=60°；ADC为30°-60°-90°三角形，AD=CD/2=9，BD=6；BED=45°，所以∠BEC=45°；BE=EB=3√2，所以BC=2BE=6√2；G为BC的中点，所以BG=GC=BC/2=3√2；AD=DF=AF=9，BC=6√2，BG=GC=3√2.1）求证：DE=BC；2）连接BE，求证：∠XXX∠BAC．1）证明：∵△ABD为等边三角形。
AD=BD。
XXX为等边三角形。
AE=CE。
CAB=30°。
EAC=75°。
AEC=75°。
DEC=105°。
ACB=90°。
DBC=60°。
DCB=30°。
BDC=75°。
DBC=75°。
BDC为等腰三角形。
BC=BD。
DE=BD=BC．2）证明：∵△ABD为等边三角形。
BAD=60°。
XXX为等边三角形。
CAE=60°。
中考数学几何图形专题训练50题(含答案)
中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．下列四个图形中，不是正方体展开图的（）A．B．C．D．2．小军从A地沿北偏西60°方向走10m到B地，再从B地向正南方向走20m到C 地，此时小军离A地().A．B．10m C．15m D．3．如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条4．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．5．下列四个立体图形中，是棱锥的是（）A．B．C ．D ．6．已知线段10cm AB =，点C 是直线AB 上一点，4cm BC =，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段BC 的中点，则线段MN 的长度是（ ）A ．3cmB ．5cmC ．3cm 或7cmD ．5cm 或7cm7．下列说法正确的是( )A ．一个平角就是一条直线B ．连接两点间的线段，叫做这两点的距离C ．两条射线组成的图形叫做角D ．经过两点有一条直线，并且只有一条直线8．如图，OC 平分∠AOB ，若∠AOC ＝27°32′，则∠AOB ＝（ ）A ．55°4′B ．55°24′C ．54°14′D ．54°4′ 9．图，有一块含有30︒角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果242∠=︒，那么1∠的度数是（ ）A ．18︒B ．17︒C ．16︒D ．15︒ 10．下列各图都是由6个正方形组成的平面图形，其中不能看做是正方体表面展开图的是（ ）A．B．C．D．11．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上标的字是（）A．我B．的C．梦D．国12．如图所示，以O为顶点且小于180 的角有（）A．6个B．7个C．8个D．9个13．下列说法中，正确的是().A．平角是一条直线B．周角是一条射线C．两条射线组成的图形是角D．一条射线绕它的端点旋转而成的图形叫做角14．如图，是一个正方体骰子的表面展开图，将其折叠成正方体骰子（点数朝外），如果1点在上面，3点在左面，在前面的点数为（）A．2B．4C．5D．615．如图是一个小正方形的展开图，把展开图折叠成小正方形后，有“祝”字一面的相对面上的字是（）A．考B．试C．成D．功16．如图，点C，D在线段AB上，AC=13AB，CD=12CB，若AB=3，则图中所有线段长的和是（）A．6B．8C．10D．1217．下列几何体中，由曲面和平面围成的是（）A．三棱柱B．圆锥C．球体D．正方体18．已知：如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，AB＝20 cm，那么线段AD等于()A．15 cm B．16 cm C．10 cm D．5 cm19．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角；B．各边相等的多边形叫做正多边形；C．一个圆分割成圆心角度数比位1∠2∠3的三个扇形，则最小扇形的圆心角是60°；D．小于平角的角可分为锐角和钝角两类．20．A、B两辆汽车沿着笔直的公路行驶，A车从甲地出发，B车从乙地出发，行驶到途中两车相遇，各自仍朝前进的方向行驶，到了目的地后立即返回，过了某一时刻，两车又在原地点相遇，则两车必定是（）A．沿着同一条公路行驶B．沿着两条不同的公路行驶C．以上两种情况都有可能D．以上都不对二、填空题21．已知36a∠=︒,则a∠的补角的度数是__________．22．已知∠α＝65°30′，则∠α的余角大小是_______．23．图中以A 为端点的线段共有______条．24．计算：34°25′20″×3=_______________25．一个角的余角比它的补角的14还少12︒，则这个角的度数为_______． 26．如图，从A 处观测C 处仰角30CAD ∠=︒，从B 处观测C 处的仰角45CBD ∠=︒，从C 处观测A 、B 两处的视角ACB =∠______度．27．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC 与DM 、DN 分别交于点E 、F ，把∠DEF 绕点D 旋转到一定位置，使得DE=DF ，则∠BDN 的度数是_________ ．28．数轴上的点P 对应的数是1-，将点P 向右移动8个长度单位得到点Q ，则线段PQ 的中点在数轴上对应的数是____________．29．在∠ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，且∠BOC =110°，则∠A 的度数是____________．30．若∠α=20°40′，则∠α的补角的大小为_____．31．如图，A 岛在B 岛的北偏东30°方向，C 岛在B 岛的北偏东80°方向，A 岛在C 岛北偏西40°方向，从A 岛看B ，C 两岛的视角∠BAC 是______ 度．32．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的_____方向．33．已知线段AB=10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，则线段BM 的长是_cm ．34．如图，O 的弦AB 长为2，CD 是O 的直径，30,15ADB ADC ∠=︒∠=︒．∠O 的半径长为_________．∠P 是CD 上的动点，则PA PB +的最小值是_________．35．如图，将一副直角三角尺按图∠放置，使三角尺∠的长直角边与三角尺∠的某直角边在同一条直线上，则图∠中的∠1=______°．36．如图，已知∠ABC 的内角∠A=α°，分别作内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线，两条平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…以此类推得到∠A 2014，则∠A 2014的度数是_______．37．一副直角三角板叠放如图，90C E ∠=∠=︒．现将含45°角的三角板ADE 固定不动，把含30°角的三角板ABC （其中30CAB ∠=︒）绕顶点A 顺时针旋转角α（0180α︒<<︒）．当旋转角在30°~180°的旋转过程中，使得两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）互相平行，此时符合条件的α=________．38．已知∠AOB ＝80°，OC 为从O 点引出的任意一条射线，若OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，则∠MON 的度数是_____．39．如图所示，若图中共有m 条线段，n 条射线，则m n +=__________________.40．如图，请你在有序号的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，你选择的两个正方形是____________ (填序号，任填一组即可)．三、解答题41．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，35BOD ∠=︒，OA 平分EOC ∠，求EOD ∠的度数．42．图中哪些图形是立体图形，哪些是平面图形？平面图形：_______________；立体图形：_______________．43．如图，已知长方形ABCD 的长AB x =米，宽BC y =米，x ，y 满足()2540x y -+-=，一动点P 从A 出发以每秒1米的速度沿着A D C B →→→运动，另一动点Q 从B 出发以每秒2米的速度沿B C D A →→→运动，P ，Q 同时出发，运动时间为t ．(1)x =______________，y =______________．(2)当 4.5t =时，求APQ △的面积；(3)当P ，Q 都在DC 上，且PQ 距离为1时，求t 的值44．如图1，已知A 、O 、B 三点在同一直线上，射线OD 、OE 分别平分∠AOC 、∠BOC ．（1）求∠DOE 的度数；（2）如图2，在∠AOD 内引一条射线OF OC ⊥，其他不变，设()090DOF αα∠=︒︒<<︒．∠求∠AOF 的度数（用含α的代数式表示）；∠若∠BOD 是∠AOF 的2倍，求∠DOF 的度数．45．如图，在77⨯的正方形网格中有一个格点ABC ．(1)在图中作出ABC 关于直线l 对称的111A B C △(2)在直线l 上找到一点D ，使得AD CD +的值最小（在图中标出D 点位置，保留作图痕迹）46．如图，直线,EF CD 相交于点,,O OA OB OC ⊥平分AOF ∠．（1）若40AOE ∠=︒，求∠BOD 的度数；（2）若30BOE ∠=︒，求∠DOE 的度数．47．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段AB 上，且13AD AB =．（1）若4cm AD =，求线段CD 的长．（2）若3cm CD =，求线段AB 的长．48．（1）如图1，将两个正方形的一个顶点重合放置，若40AOD ∠=︒，则COB ∠=______度；（2）如图2，将三个正方形的一个顶点重合放置，求∠1的度数；（3）如图3，将三个正方形的一个顶点重合放置，若OF 平分DOB ∠，那么OE 平分AOC ∠吗？为什么？49．如图，90,60AOB COD AOC ∠=∠=︒∠=︒，射线ON 以10度/秒的速度从OD 出发绕点O 顺时针转动到OA 时停止，同时射线OM 以25度/秒的速度从OA 出发绕点O 逆时针转动到OD 时停止，设转动时间为t 秒．(1)当OM ON 、重合时，求t 的值；(2)当ON 平分BOD ∠时，试通过计算说明OM 平分AOD ∠；(3)当t 为何值时，MON ∠与AOD ∠互补？参考答案：1．D【分析】由正方体展开图的特征即可判定出正方体的展开图．【详解】解：由正方体展开图的特征即可判定D不是正方体的展开图，故选：D．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，解题的关键是熟记正方体展开图的特征．2．D【详解】试题分析：根据题意可得：A、B、C三点构成直角三角形，BC为斜边，则根据直角三角形的性质可得：，故选D．3．B【详解】线段有：AB、AC、BC.故选：B.4．D【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案.【详解】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选D．【点睛】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半.5．B【分析】逐一判断出各选项中的几何体的名称即可得答案．【详解】A是棱柱，不符合题意；B是棱锥，符合题意，C是球体，不符合题意；D是圆柱，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了几何体的识别，熟练掌握常见几何体的图形特征是解题的关键．6．C=-；点C在点B右侧时，【分析】根据题意知，点C在点B左侧时，MN BM BN+MN BM BN =，因为点M 是线段AB 的中点，点N 是线段BC 的中点，分别算出,BM BN 长度，代入计算即可．【详解】解：因为点C 是直线AB 上一点，所以需要分类讨论：（1）点C 在点B 左侧时，作图如下：∠10cm AB =，4cm BC =， ∠152BM AB cm ==，122BN BC cm ==， 又∠MN BM BN =-，∠=523MN cm -=．（2）当点C 在点B 右侧时，作图如下：由（1）知，152BM AB cm ==，122BN BC cm ==， ∠+MN BM BN =，∠+=5+2=7cm MN BM BN =，综上所述，MN 的长度是3cm 或7cm ．故选：C【点睛】本题考查线段长度的计算，根据题意分类讨论是解题关键．7．D【分析】根据平角、两点间的距离、角的定义和直线公理逐项进行解答即可得.【详解】A 、平角的两条边在一条直线上，故本选项错误；B 、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误；C 、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；D 、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确，故选：D ．【点睛】本题考查了平角、两点间的距离、角的概念以及直线公理的内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．A【分析】由OC 平分∠AOB 可得到∠AOB=2∠AOC ，代入计算可得解.【详解】解：OC 平分∠AOB ，则227322?554AOB AOC ∠=∠=︒'⨯=︒'， 故选：A【点睛】本题考查了角平分线和角的计算，比较基础.9．A【分析】如解图所示，依据60ABC ∠=︒，242∠=︒，即可得到18EBC ∠=︒，再根据BE CD ，即可得出118EBC ∠=∠=︒．【详解】：如图，∠60ABC ∠=︒，242∠=︒，∠18EBC ∠=︒，∠BE CD ，∠118EBC ∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解决此题的关键． 10．D【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【详解】解：正方体共有11种表面展开图，A 、B 、C 项都是正方体的展开图，D 出现了“田”字格，故不是正方体的展开图；故选择：D.【点睛】本题考查的是正方体的展开图，以及学生的立体思维能力．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．11．C【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“国”与面“我”相对，面“梦”与面“的”相对，“中”与面“梦”相对．故选：C．12．D【分析】根据图形，找出以O为顶点的所有小于180°的角即可.【详解】解：以O为顶点且小于180°的角有：∠AOC，∠COD，∠DOE，∠EOB，∠AOD，∠AOE，∠COE，∠COB，∠DOB.一共有9个；故选择：D.【点睛】本题考查了角的表示，解题的关键是要找到图中两两相交直线的交点，作为角的顶点，且找出的角要小于180°．13．D【分析】根据角的定义即可判断.【详解】如果一个角的终边继续旋转，旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角，故A错误；当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做周角，故B错误；有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角，故C错误；一条射线绕它的端点旋转而成的图形叫做角，故D正确.故选D.【点睛】此题考查了角的定义，掌握角的两种定义和周角、平角的定义是解题的关键. 14．A【分析】利用正方体及其表面展开图的特点可知“3点”和“4点”相对，“5点”和“2点”相对，“6点”和“1点”相对，当1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，继而可得出2点在前面．【详解】这是一个正方体的表面展开图，共有六个面，其中面“3点”和面“4点”相对，面“5点”和面“2点”相对，面“6点”和面“1点”相对，如果1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，2点在前面；故选A．【点睛】此题考查学生的空间想象能力，先找到每个面的对面，进而确定它们的位置. 15．D【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∠“祝”与“功”是相对面．故选：D．【点睛】本题主要考查了展开与折叠，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．16．C【详解】解：∠AB=3，∠AC=13AB=13×3=1，∠BC=3-1=2，∠CD=12CB=12×2=1，∠AD=1+1=2，CB=1+1=2，DB=2-1=1，即图中所有线段长的和是AC+AD+AB+CD+CB+DB=1+2+3+1+2+1=10．故选C．17．B【分析】三棱柱由平面组成、圆锥由曲面和平面组成、球体由曲面组成、正方体由平面组成，结合各图形的特点可得出答案．【详解】解：三棱柱由平面组成、圆锥由曲面和平面组成、球体由曲面组成、正方体由平面组成；故选：B【点睛】此题考查了认识立体图形的知识，熟练掌握是解题的关键.18．A【分析】根据C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，可知AC=CB=12AB，CD=12CB，AD=AC+CD，又AB=4cm，继而即可求出答案．【详解】∠点C是线段AB的中点，AB=20cm，∠BC=12AB=12×20cm=10cm，∠点D是线段BC的中点，∠BD=12BC=12×10cm=5cm，∠AD=AB-BD=20cm-5cm=15cm．故选A．【点睛】本题考查了两点间的距离的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．19．C【详解】A. 由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故不正确；B. 各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，故不正确；C. 一个圆分割成圆心角度数比位1∠2∠3的三个扇形，则最小扇形的圆心角是1360123⨯++=60°，正确； D. 小于平角的角可分为锐角，直角和钝角三类，故不正确．故选C ．【点睛】本题考查了角、正多边形、圆心角的定义，以及角的分类，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．20．A【详解】解：根据题意，两车必定沿着同一条公路行驶．故选A ．21．144°【分析】根据补角的定义即可求出a ∠的补角的度数．【详解】解: a ∠的补角的度数是180°－a ∠=180°－36°=144°故答案为: 144°．【点睛】此题考查的是求一个角的补角,掌握补角的定义是解决此题的关键．22．24°30′##24.5°【分析】如果两个角的和为90°，则这个两个角互为余角，根据互为余角的两个角的和为90°作答．【详解】解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣65°30′＝24°30′．故答案为：24°30′．【点睛】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简单． 23．3【分析】根据线段的定义分别写出各条线段即可【详解】解：图中以A 为端点的线段有线段AB ，线段AC ，线段AD ，共3条故答案为：3【点睛】本题考查了线段的定义，属于基础题，较简单24．10316'︒【分析】直接根据角的运算计算即可．【详解】160',1'60''︒==3425'20''310316'∴︒⨯=︒故答案为：10316'︒．【点睛】本题主要考查角的运算，掌握度分秒之间的关系是解题的关键．25．76︒【分析】设这个角为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-,根据题意列出方程即可求解．【详解】设这个角为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-()190180124x x ∴-=-- 19045124x x -=-- 3574x = 4573x =⨯ 76x =︒即这个角为76︒故答案为76︒．【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是根据题意列出方程求解．26．15【分析】根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∠CBD ∠是ABC 的外角，∠CBD CAD ACB ∠=∠+∠，∠453015ACB CBD CAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：15【点睛】本题考查了仰角的概念和三角形外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．27．120°【分析】根据等腰三角形的性质和特殊直角三角形的角度求得∠DFC ，进一步利用三角形外角的性质即可得到结果．【详解】解：如图，∠DE=DF ，∠EDF=30°， ∠∠DFC=12（180°-∠EDF ）=75°，∠∠C=45°，∠∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和与外角的性质是解题的关键．28．3【分析】利用数轴得到点Q表示的数，再根据线段中点定义可得答案．【详解】解：∠点P对应的数是-1，将点P向右移动8个长度单位得到点Q，∠点Q表示的数为：-1+8=7，∠线段PQ的中点对应的数是1713 2-+-=故答案为：3．【点睛】本题考查了数轴，掌握数轴上两点间的距离是解决此题的关键．29．40°【分析】根据三角形内角和定理列式求出∠OBC+∠OCB，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，在∠BOC中，∠BOC = 110°，∴∠OBC + ∠OCB = 180°- 110°= 70°，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC = 2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠ABC +∠ACB = 2×70°= 140°，∴在∠ABC中，∠A = 180°-(∠ABC+∠ACB)= 180°- 140°= 40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．30．159°20′【详解】试题分析：根据∠α的补角=180°﹣∠α，代入求出即可．解：∠∠α=20°40′，∠∠α的补角=180°﹣20°40′=159°20′，故答案为159°20′．考点：余角和补角；度分秒的换算．31．70°【详解】由题意可知∠DBC=80°，∠DBA=30°，∠∠ABC=50°，又∠DB∠EC，∠ECA=40°，∠∠ECB=100°，∠∠ACB=60°，∠∠BAC=180°-60°-50°=70°32．南偏西14°．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解．【详解】由题意可知，∠1＝14°，∠AC∠BD，∠∠1＝∠2＝14°，根据方向角的概念可知，由点B测点A的方向为南偏西14°方向．故答案为：南偏西14°．【点睛】此题考查的知识点是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，即可解答．33．3或7【分析】根据线段的和差，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得答案．【详解】当点C在线段AB上时，AC＝AB−BC＝10−4＝6，点M是线段AC的中点，AC＝3，MA＝12BM＝AB−AM＝10−3＝7；当点C在线段的反向延长线上时，AC＝AB＋BC＝10＋4＝14，点M是线段AC的中点，AM＝1AC＝7，2BM＝AB−AM＝10−7＝3，故答案为：3或7．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差、线段中点的性质是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．34． 2 【分析】∠连接,OA OB ，易证AOB 是等边三角形，弦AB 长为2，2OA OB ==，即可得到答案；∠先证90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，再用勾股定理求出AE 即可．【详解】解：∠连接,OA OB ，∠30,ADB ∠=︒ ∠60AOB ∠=︒, ∠OA OB =，∠AOB 是等边三角形， ∠弦AB 长为2， ∠2OA OB ==， 即O 的半径长为2， 故答案为：2 ∠∠15ADC ∠=︒， ∠230AOC ADC ︒∠=∠=, ∠90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，∠60BAO ∠=︒，∠2OA OE ==， ∠30OAE AEB ︒∠=∠=， ∠90BAE BAO OAE ∠=∠+∠=︒，∠AE ==即PA PB +的最小值是故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键． 35．105【分析】利用三角形外角性质求解． 【详解】如图，∠∠2=30︒，∠3=45︒， ∠∠4=∠2+∠3=75︒， ∠∠1=1804105︒-∠=︒， 故答案为：105．．【点睛】此题考查三角板的角度计算，三角形外角的性质，观察图形掌握各角度之间的位置关系是解题的关键． 36．201420141A 2α∠=【分析】由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC ，而∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ），即∠A 1=12∠A ，同理可得，∠A 2=12∠A 1，依此类推即可． 【详解】∠∠ACD 是∠ABC 的外角， ∠∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠1B A 平分∠ABC ，1CA 平分∠ACD ，∠112A BC ABC ∠=∠，112ACD ACD ∠=∠， ∠1A CD ∠是1A CB 的外角， ∠111ACD A BC A ∠=∠+∠， ∠11122ACD ABC A ∠=∠+∠， ∠()11122A ACD ABC A ∠=∠-∠=∠， 同理可得：1212A A ∠=∠， 根据规律可得：201420141A 2α∠=【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，找出规律是解答此题的关键．37．60°或105°或135°【分析】分类讨论：当//BC AD 时，当//AC DE 时，当//AB DE 时，利用角度之间的关系计算即可；【详解】解：如图当//BC AD 时，，90C CAD ︒∠=∠=∠903060a DAB ︒=-︒=∠=︒， 如图，当//AC DE 时，90E CAE ︒∠=∠=，则459030105DAB α︒=∠=︒+︒-︒=， 如图，当//AB DE 时，90A E B E ∠=∠=︒，∠4590135BAD α=∠=︒+︒=︒；综上：符合条件的α为60°或105°或135°， 故答案为：60°或105°或135°．【点睛】本题考查角度之间的计算，平行的性质，解题的关键是对平行的边进行分情况讨论．38．40°或140°【分析】根据角平分线的定义求得∠MOC ＝12∠AOC ，∠CON ＝12∠BOC ；然后根据图形中的角与角间的和差关系来求∠MON 的度数． 【详解】解：∠OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．∠∠MOC＝12∠AOC，∠CON＝∠BON＝12∠BOC．如图1，∠MON＝∠MOC-∠CON＝12（∠AOC-∠BOC）=12∠AOB＝12×80°＝40°；如图2，∠MON＝∠MOC+∠CON＝12（∠AOC+∠BOC）＝12（360°﹣∠AOB）＝12×280°＝140°．如图3，∠MON＝∠MOC+∠CON＝12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB＝12×80°＝40°；故答案为：40°或140°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义．注意“数形结合”数学思想在解题过程中的应用．39．26【分析】根据射线、线段的定义进而判断得出m，n的值再代入计算即可．【详解】解：图中共有10条线段，共有16条射线，则m=10,n=16,所以m n+=10+16=26.故答案为26.【点睛】此题主要考查了射线、线段的定义，熟练掌握它们的定义是解题关键．40．∠∠或∠∠或∠∠或∠∠【分析】观察所给图形结合正方体的平面展开图的特点进行填涂即可．【详解】根据正方体的展开图的特点，按如下方式进行填涂后可以构成正方体表面的展开图：故答案为：∠∠或∠∠或∠∠或∠∠．【点睛】本题主要考查正方体展开图的2-3-1型和2-2-2-型，掌握正方体的展开图是解题关键．41．110EOD ∠=︒．【分析】根据对顶角相等先求出∠AOC 的度数，然后根据角平分线的定义求出∠COE 的度数，最后根据∠OCE 与∠EOD 互为邻补角即可得出答案． 【详解】35BOD ∠=︒，35AOC ∴∠=︒OA 平分EOC ∠，223570COE AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒ 180110EOD COE ∴∠=︒-∠=︒．【定睛】本题主要考查了角的和差运算，根据对顶角相等和角平分线的定义求出∠COE 是 解决此题的关键．42． ②③⑧ ①④⑤⑥⑦【分析】根据立体图形和平面图形定义分别进行判断． 【详解】解：∠∠∠是平面图形；∠∠∠∠∠是立体图形．【点睛】本题考查认识立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 43．(1)5，4(2)1APQ S =△平方米 (3)4t =【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；（2）根据题意得：当t =4.5时，点P 在CD 上，DP =0.5米，点Q 刚好到达点D 处，可得12PQ =米，再由12APQ S PQ AD =⋅⋅△，即可求解； （3）当P ，Q 都在DC 上，可得4 4.5t ≤≤，然后分两种情况讨论：当P 左Q 右时，当Q 左P 右时，即可求解．【详解】（1）解∠∠()2540x y -+-=， ∠50,40x y -=-=， ∠x =5，y =4， 故答案为：5，4；（2）解：当t =4.5时，P 走过的路程为4.5米，此时点P 在CD 上，DP =0.5米，Q 走过的路程为9米，刚好到达点D 处， ∠12PQ =米， ∠11141222APQ S PQ AD =⋅⋅=⨯⨯=△平方米；（3）解：点P 在DC 上，49t ≤≤，点Q 在DC 上，2 4.5t ≤≤， ∠4 4.5t ≤≤，当P 左Q 右时，4DP t =-，24CQ t =-，∠()()5424133PQ CD DP CQ t t t =--=----=-， ∠1331t -=， 解得：4t =当Q 左P 右时，4DP t =-，24CQ t =-，∠()()4245313PQ DP CQ CD t t t =+-=-+--=-， ∠3131t -=， 解得144.53t =>，不符题意，舍去． 综上，满足题意的4t =．【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．44．（1）90°；（2）∠90°-2α°∠18°【分析】（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可求解；（2）∠根据余角的性质得：∠COE=∠DOF=α°，根据角平分线的定义，可得∠BOC=2α°，进而即可求解；∠用α分别表示出∠BOD和∠AOF的度数，结合∠BOD是∠AOF的2倍，列出关于α的方程，即可求解．【详解】（1）∠点A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∠∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，∠∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12×180°=90°，∠∠DOE=∠COD+∠COE=90°；（2）∠∠OE平分∠BOC，∠∠BOC=2∠COE，∠OF∠OC，∠∠COF=∠COD+∠DOF=90°，∠∠COE+∠COD=90°，∠∠COE=∠DOF=α°，∠∠BOC=2α°，∠∠AOF+∠BOC=90°，∠∠AOF=90°-2α°；∠∠∠BOE=∠COE=α°，∠∠BOD=∠BOE+∠DOE=90°+α°，∠∠BOD=2∠AOF=2（90°-2α°）=180°-4α°，∠90°+α°=180°-4α°，∠α=18，即：∠DOF=18°．【点睛】本题主要考查角的和差倍分，涉及余角的定义和性质，平角的定义，角平分线的定义，根据题意，列出一元一次方程，是解题的关键．45．(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点111A B C ，，即可； （2）连接1AA ，1CA 交l 于点D ，点D 即为所求． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示：【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，最短问题，解决本题的关键是熟练掌握基本知识．46．（1）20°；（2）60°【分析】（1）先求出∠AOF =140°，然后根据角平分线的定义求出∠AOC =70°，再由垂线的定义得到∠AOB =90°，则∠BOD =180°-∠AOB -∠AOC =20°；（2）先求出∠AOE =60°，从而得到∠AOF =120°，根据角平分线的性质得到∠AOC =60°，则∠COE =∠AOE +∠AOC =120°，∠DOE =180°-∠COE =60°． 【详解】解：（1）∠∠AOE =40°， ∠∠AOF =180°-∠AOE =140°， ∠OC 平分∠AOF ， ∠∠AOC =12∠AOF =70°， ∠OA ∠OB ， ∠∠AOB =90°，∠∠BOD =180°-∠AOB -∠AOC =20°；（2）∠∠BOE=30°，OA∠OB，∠∠AOE=60°，∠∠AOF=180°-∠AOE=120°，∠OC平分∠AOF，∠∠AOC=12∠AOF=60°，∠∠COE=∠AOE+∠AOC=60°+60°=120°，∠∠DOE=180°-∠COE=60°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．47．（1）2 cm；（2）18cm【分析】（1）先求出AB的长，再结合线段中点的定义求出AC的长，进而即可求解；（2）设AB=x cm，则13AD x=cm，根据线段的中点的定义，列出方程，进而即可求解．【详解】（1）∠13AD AB=，AD=4 cm，∠AB=3×4=12 cm，∠点C是线段AB的中点，∠AC=12AB=11262⨯=cm，∠CD=AC-AD=6-4=2 cm；（2）设AB=x cm，则13AD x=cm，∠点C是线段AB的中点，∠AB=2（AD+CD），即x=2（13x+3），解得：x=18，∠AB=18cm．【点睛】本题主要考查线段的和差倍分以及一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决问题，是解题的关键．48．（1）140；（2）20°；（3）OE平分∠AOC，见解析【分析】（1）根据正方形各角等于90°，得出∠COD+∠AOB=180°，再根据∠AOD=40°，∠COB=∠COD+∠AOB-∠AOD，即可得出答案；（2）根据已知得出∠1+∠2，∠1+∠3的度数，再根据∠1+∠2+∠3=90°，最后用∠1+∠2+∠1+∠3-（∠1+∠2+∠3），即可求出∠1的度数；（3）根据∠COD=∠AOB和等角的余角相等得出∠COA=∠DOB，∠EOA=∠FOB，再根据角平分线的性质得出∠DOF=∠FOB=12∠DOB和∠EOA=12∠DOB=12∠COA，从而得出答案．【详解】解：（1）∠两个图形是正方形，∠∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠∠COD+∠AOB＝180°，∠∠AOD＝40°，∠∠COB＝∠COD+∠AOB－∠AOD＝140°故答案为：140；（2）如图，由题意知，∠1+∠2＝50°∠，∠1+∠3＝60°∠，又∠1+∠2+∠3＝90°∠，所以：∠+∠－∠得：∠1＝20°；（3）OE平分∠AOC，理由如下：∠∠COD＝∠AOB，∠∠COA＝∠DOB（等角的余角相等），同理：∠EOA＝∠FOB，∠OF平分∠DOB，∠12DOF FOB DOB∠=∠=∠，∠1122EOA DOB COA ∠=∠=∠，∠OE平分∠AOC．【点睛】本题考查了角的和差运算，与余角和补角的有关的计算，根据所给出的图形，找到角与角的关系是本题的关键．49．（1）307t =；（2）见解析；（3）247t =或367t = 【分析】（1）根据题意10,25150DON t AOM t AOD ∠=∠=∠=︒， ,当OM ON 、重合时，+DON AOM AOD ∠∠=∠，计算即可；（2）根据题意可得=60BOD AOC ∠∠=︒，由ON 平分BOD ∠可计算出3t =，故25375AOM ∠=⨯=︒,即可说明OM 平分AOD ∠；（3）根据题意可得30MON ∠=︒分两种情况说明，当OM ON 、重合之前和OM ON 、重合之后分别计算即可．【详解】由题意：10,25DON t AOM t ∠=∠=()190,60COD AOC ∠=∠=150AOD COD AOC ∴∠=∠+∠=当,ON OM 重合时，DON AOM AOD ∠+∠=∠1025150t t ∴+= 解得：307t = ()290AOB COD ∠=∠=90AOC BOC BOD BOC ∴∠+∠=∠+∠=60BOD AOC ∴∠=∠= ON 平分BOD ∠1302DON BOD ∴∠=∠= ∠30103t =÷= ∠1253752AOM AOD ∠=⨯==∠ OM ∴平分AOD ∠()3150,180AOD AOD MON ∠=∠+∠=30MON ∴∠=当OM 与ON 重合前150DON MON AOM ∠+∠+∠=103025150 t t++=解得：247 t=当OM与ON重合后150 DON AOM MON∠+∠-∠= 102530150t t+-=解得：367 t=∴当247t=或367t=时，MON∠与AOD∠互补【点睛】本题考查的是角的综合题，一元一次方程的解法，旋转的性质，有一定的难度，分情况讨论是难点．。