环形一级倒立摆的建模与控制
一级倒立摆的建模及控制分析
直线一级倒立摆的建模及控制分析摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
一、问题描述倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。
它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。
由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。
二、方法简述本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
三、模型的建立及分析3.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
值得注意的是: 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。
(a) (b)图2 小车和摆杆的受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：θθθθs i n c o s 2ml ml x m N -+= (2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2 (3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθc o s s i n 2 ml ml mg P --=- (4) 力矩平衡方程如下：θθθI Nl Pl =--cos sin (5)合并这(4)、(5)两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθc o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (6) 假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：0d d s i n 1c o s 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t θφθθ，， (7) 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I φφφ 2 (8) 3.2 状态空间方程方程组(8)对φ，x 解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： ()()()()()()()()u Mm l m M I m l Mm l m M I m lI x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lbMm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡222222222200001000000010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 对于质量均匀分布的摆杆有：3/2ml I =，于是可得：()x ml mgl ml ml =-+φφ223/ 化简得：xll g 4343+=φφ设}{x u x x X ==1，，，，φφ ，则有：14301004300100000000010u l x x l g x x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.3 实际系统模型实际系统模型参数: M =1.096 Kg ；m =0.109 Kg ；b =0.1 N/m/s ； l =0.25 m ；I =0.0034 kg ·m ·m ；采样频率 T =0.005 s 。
一阶倒立摆控制系统设计matlab
一阶倒立摆控制系统设计matlab一、控制系统简介控制系统是指通过对某些物理系统或过程的改变以获取期望输出或行为的一种系统。
其中涉及到了对系统的建模、分析以及控制方法的选择和设计等多方面的问题。
控制系统可以通过标准的数学和物理模型来描述，并可以通过物理或者仿真实验进行验证。
本文将围绕一阶倒立摆控制系统设计和仿真展开。
主要内容包括：1.一阶倒立摆系统简介2.系统建模3.系统分析4.设计控制器5.仿真实验及结果分析一阶倒立摆(controlled inverted pendulum)是一种比较常见的控制系统模型。
它的系统模型简单，有利于系统学习和掌握。
一般而言，一阶倒立摆系统是由一个竖直的支杆和一个质量为$m$的小球组成的。
假设球只能在竖直方向上运动，当球从垂直平衡位置偏离时，支杆会向相反的方向采取动作，使得小球可以回到平衡位置附近。
为了控制一阶倒立摆系统，我们首先需要对其进行建模。
由于系统并不是非常复杂，所以建模过程相对简单。
假设支杆长度为$l$，支杆底端到小球的距离为$h$，支杆与竖直方向的夹角为$\theta$，小球的质量为$m$，地球重力为$g$，该系统的拉格朗日方程可以表示为：$L =\frac{1}{2}m\dot{h}^{2}+\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2}-mgh\cos{\theta}-\frac{1}{2}I\dot{\theta}^{2}$$I$表示支杆的惯性矩，它可以通过支杆的质量、长度以及截面积等参数计算得出。
$h$和$\theta$分别表示小球和支杆的位置。
我们可以通过拉格朗日方程可以得出系统的动力学方程：$b$表示摩擦系数，$f_{c}$表示对支杆的控制力。
由于一阶倒立摆会发生不稳定的倾斜运动，即未受到外部控制时会继续倾斜。
我们需要对系统加上控制力，使得系统保持在稳定的位置上。
在进行控制器设计之前，我们需要对系统进行分析，以便更好地了解系统在不同条件下的特性表现。
现控实验一级倒立摆状态反馈设计及时间响应实验总结
现控实验一级倒立摆状态反馈设计及时间响应实验总结
控制实验一级倒立摆的状态反馈设计可以分为以下几个步骤：
1. 系统建模：根据实际倒立摆的物理特性，建立系统的数学模型，包括倒立摆的运动方程和输出方程。
2. 设计状态反馈控制器：根据系统模型，设计状态反馈控制器的反馈矩阵K，使得系统在闭环下能够稳定并达到期望的性能指标。
3. 实施状态反馈控制器：根据设计好的控制器，对倒立摆系统进行实施。
4. 时间响应实验：进行时间响应实验，观察控制系统在不同输入下的响应情况。
可以通过给定不同的参考输入信号，如阶跃信号、正弦信号或任意波形信号等，来测试控制系统的性能。
根据实验结果进行总结时，需要注意以下几个方面：
1. 稳定性分析：观察控制系统是否能够保持稳定状态，即系统是否能够回到平衡位置并保持在该位置。
2. 超调量和调整时间分析：观察控制系统的过渡过程，检查系统是否出现过大的超调量和调整时间是否满足要求。
3. 鲁棒性分析：考察控制系统对参数变化、不确定性以及外部扰动的鲁棒性能。
4. 性能指标分析：根据实验结果，评估控制系统的性能指标，如误差大小、稳态误差、响应速度等。
总结实验时，尽量基于客观的实验数据和分析，对实验结果进行客观的评价和总结。
请注意，以上回答仅涉及到了一级倒立摆的状态反馈控制设计及时间响应实验总结的一般步骤，具体设计和总结要根据具体情境和实验要求进行。
环形单级倒立摆起摆控制研究 - 江南大学杂志社
江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) Southern Yangtze University( Natural Science
Edition)
Vol. 3 Oct .
No. 5 2004
文章编号 :1671 - 7147 (2004) 05 - 0482 - 04
4 3
m
2
l
2 2
.
上面表达式中各参数的数值见表
1
.
2 基于能量的起摆控制
如图 2 所示 ,把坐标系 O - X′Y′建立在摆杆 上 ,摆杆与连杆的连接点定为坐标原点 O. 如果定 义倒立摆竖直倒立时参考能量 Eref 为 0 , 则可得在 此非惯性系下倒立摆系统的能量
E
=
1 2
Jθ22
+
参数
意义
参数值
m1 连杆的质量 m2 摆杆的质量 m3 质量块的质量 l1 连杆长度 l2 摆杆转动中心到杆质心的距离 g 重力加速度
0. 234 kg 0. 13 kg 0. 178 kg 0. 221 m 0. 197 5 m 9. 8 m/ s2
图 1 环形倒立摆模型图 Fig. 1 Model of rotary inverted pendulum
m3
l
2 1
θ21
系统总动能为
T = Tm1 + Tm2 + Tm3
以摆杆静止下垂时的质心为 0 势能位置 , 则系统的 势能为
V = V m1 + V m2 + V m3 =
m 1 gl2 + m 3 gl2 + m 2 gl2 (1 + cosθ2) 拉格朗日算子 L = T - V ,系统广义坐标 q = {θ1 , θ2} ,在广义坐标θ2 上无外力作用 ,由拉格朗日方程
一级倒立摆的可视化建模与稳定控制设计
1966年
1976年
1995年
倒立摆的应用
倒立摆的分类
直线倒立摆 一级倒立摆
基座运动
环形倒立摆
摆杆
二级倒立摆
平面倒立摆
多级倒立摆
另外根据材料分类：刚体摆杆倒立摆系统和柔性摆杆倒立摆系统 „„
根据不同的分类方法，我们可以将倒立摆进行不同的分类。
倒立摆的特点
特性：非线性、多变量、强耦合、不稳定性
倒立摆系统拥有低投入、简易的结构、直观 的形象、方便仿真等特点。
设计演示界面
保存文件，命名为 fangzhenjieguo.fig ，同时会自动生成一 个fangzhenjieguo.m 文件
将摆角、小车位 移和时间参量， 导入到工作区中 ，供GUI编程使 用。
打开之前保存演示界面是生成的fangzhenjieguo.m文件，找到 “仿真开始”按钮所对应的回调函数，在函数下方加入程序： sim('daolibaimoxing');%运行仿真模型
初始条件设为[0.1rad,0.5rad/s,0,0],仿真曲线如 图所示，上面图线为摆角，下面为小车位移。
右图为未加控制器前的系统 阶跃响应曲线，可以看出， 摆角和小车位移的曲线都是 发散的。通过与仿真结果比 较，可以看出，加了BP神经 网络控制器的倒立摆系统， 摆角和小车位移曲线趋于稳 定，说明所设计的BP神经网 络控制器能够起到有效的控 制作用。验证了控制器设计 的正确性和可行性。
四、GUI设计
图形用户界面（Graphical User Interface， 简称 GUI，又称图形用户接口）是指采用图形 方式显示的计算机操作用户界面。
GUI具有下面几个方面的基本要求：轻型、 占用资源少、高性能、高可靠性、便于移 植、可配置等特点。
一级倒立摆的建模、仿真与实时控制
Ｖｏ ． １５ Ｎｏ． ２
Ｊｎ． ０ ７ ｕ ｅ ２０
一
级倒立摆的建模 、仿真与实时控制
关文祥 ，陈玮 ，罗俊 奇
（ 东工业 大学 自动化 学 院 ，广 东 广 州 ５ ０ ０ 广 １ ０ ６）
摘 要 ：基 于 固高公 司的一 级 倒 立摆 设 备 ，设计 了一 个适 用 于控 制 一级 倒 立摆 的 结 构 简单 的模 糊控 制
倒立 摆 系统是 非线 性 、强耦 合 、多 变量 和 自然
根据 牛顿 一欧 扣方 法可 建立 直线 型一 级倒 立摆
不稳 定 的系统 。在 控制 过 程 中 ，它 能有 效 的反 映诸 系统 的数学模 型 （ 具体 的推导 过程 略 ）： 如可 镇定 性 、鲁 棒 性 、随动 性 以及跟 踪 等许 多控 制 中 的关 键 问题 ，是 检验 各种 控制 理论 的理 想模 型 。
维普资讯
第５ 第２ 卷 期
２ ０ 年６ ０７ 月
深 圳 信 息 职 业技 术学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｈ ｎ ｈ ｎ Ｉ ｓｉ ｔ ｆ ｎ ｏ ｍａｉ ｎＴ ｃ ｎ ｌｇ ห้องสมุดไป่ตู้ ｏ ｒ ａ ｅ ｚ ｅ ｎ ｌ ｕｅ ｏ ｆｒ ｔｏ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏＳ ｔ Ｉ
器，并通过ＭＡ Ｌ Ｂ Ｔ Ａ 仿真平 台实时控制摆杆的 角度和小车的位移。研 究结果表明 ，该算法相对于其它算
法具有 简单 、实时跟踪 效果好 等特 性 。
关键 词 ：模糊 控制 ；一 级倒 立摆 ；非 线性 系统
中图分 类号 ：Ｔ ３ Ｐ１
文献标 识码 ：Ａ
文章编 号 ：１ ７ — ３ ２ （ ０ ７） ２ ０ ６ — ３ ６ ２ ６３ ２０ ０ —０ ７ ０
环形一级倒立摆设计.docx
1绪论随着计算机技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高劳动生产率做出了重要贡献。
倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地检验众多控制方法的有效性。
对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。
这不仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制理论和方法因而层出不穷。
各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。
1.1倒立摆系统的分类随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展为多种形式。
目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面 ) 内摆动的摆。
考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型1）小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统”)小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。
其中，摆杆可以是一级、两级、三级、四级甚至多级。
摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度也可能是变化的。
控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车在期望的位置上稳定，而摆杆达到竖直向上的动态平衡状态。
2）旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统”)旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。
与小车倒立摆不同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。
旋转倒立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定，增加了控制的难度。
3）平面倒立摆系统在平面倒立摆系统中，匀质摆杆底端可以在平面内作二维自由运动，摆杆可沿竖直平面内任一轴线转动。
一阶倒立摆控制系统设计
一阶倒立摆控制系统设计首先，设计一阶倒立摆控制系统需要明确系统的参数和模型。
一阶倒立摆通常由一个平衡杆和一个摆组成。
平衡杆的长度、摆的质量和位置等都是系统的参数。
根据平衡杆的转动原理和摆的运动方程，可以得到一阶倒立摆的数学模型。
接下来，根据系统的数学模型，进行系统的稳定性分析。
稳定性分析是判断一阶倒立摆控制系统是否能够保持平衡的重要步骤。
常用的稳定性分析方法有判据法和根轨迹法。
判据法通过计算特征方程的根来判断系统的稳定性，根轨迹法则通过特征方程的根随一些参数变化的路径来分析系统的稳定性。
在进行稳定性分析的基础上，选择合适的控制策略。
常见的控制策略有比例控制、积分控制和微分控制等。
比例控制通过将系统的输出与期望值之间的差异放大一定倍数来控制系统；积分控制通过积分系统误差来进行控制；微分控制通过对系统误差的微分来进行控制。
在选择控制策略时，需要考虑系统的动态响应、稳态误差和鲁棒性等指标。
在选定控制策略后，进行控制器的设计和参数调节。
控制器是实现控制策略的核心部分。
控制器可以是传统的PID控制器，也可以是现代控制理论中的模糊控制器、神经网络控制器等。
控制器的参数需要通过试探法、经验法或者系统辨识等方法进行调节，以使系统达到最佳的控制效果。
最后，进行实验验证和性能评估。
在实验中，需要将控制器与倒立摆系统进行连接，并输入一定的控制信号。
通过测量系统的输出响应和误差，可以评估控制系统的性能，并进行调整和改进。
综上所述，一阶倒立摆控制系统设计的步骤包括系统参数和模型确定、稳定性分析、控制策略选择、控制器设计和参数调节、实验验证和性能评估等。
在设计过程中，需要综合考虑系统的稳定性、动态响应和鲁棒性等因素，以实现一个稳定可靠、性能优良的一阶倒立摆控制系统。
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环形一级倒立摆的建模与控制
环形一级倒立摆是一种基于完全线性模型动力学系统的重要机构。
它通过将一个简单
形状的圆环和两个非常简单的支撑结构放在环上，将圆环内外连接起来，从而实现倒立摆
运动的目的。
环形一级倒立摆机构在实验性机械力学研究以及实用机器设计中都有着广泛
应用。
首先，动力学建模的目的是确定环形一级倒立摆的运动学行为，特别是整个系统在不
断变化外输入下的响应规律，在此基础上构造一种有效的控制策略进行控制。
准确确定环
形一级倒立摆机构的动力学参数也是实现接下来的控制过程的基础，因此一定要全面准确
地确定环形一级倒立摆的动力学参数。
其次，环形一级倒立摆的控制是机构动力学建模的核心，也是机构技术应用的关键。
为了确保系统实现预定的动作，实现系统的稳定运行，首先要给出环形一级倒立摆的数学
模型，考虑到机构参数量多，一定要注意合理地选择力学参数及控制参数，根据机构特性
进行有效地搭建。
此外，在搭建环形一级倒立摆的控制系统时，还要特别考虑抗干扰性能，通过优化控制技术，增大控制比例带下限，来实现机构的高精度控制。
环形一级倒立摆的建模与控制需要综合考虑动力学因素和控制因素。
根据物理实验和
数学建模的结果，设计并实施一种有效的控制策略，可以有效地实现环形式一级倒立摆的
控制，获得较高的控制效果。
总的来说，环形一级倒立摆的建模与控制有助于揭示机构的动力学特性，并帮助控制
者有效地实现控制目标，在实际工程中可以广泛应用。