北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
2．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）
A．B．C．D．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形
4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）
A．）2B．C．D．a2
5．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）
A．24 B．12 C．8 D．6
8．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）
A．0 B．2 C．7 D．2或7
9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E
为垂足，连接DF，则∠CDF为（）
A．80°B．70°C．65°D．60°
10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）
A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共2
11．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．
12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．
14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．
15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．
16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，
则矩形ABCD的面积为．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．8分）解方程：
（1）x2﹣3x=0
（2）3x2+2x﹣5=0．
18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．
（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；
（2）A1的坐标是，C1的坐标是．
19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．
20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．
21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．
22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，连接CE，连接DE交AC于F．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD=4，AB=6，求的值．
23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？
24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．
（1）理解与判断：
邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；
邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；
（2）操作、探究与计算：
①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．
25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共2
11．a≤1；12．20；13．18；14．25%；15．5；16．；
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．
18．
19．20．21．
22．23．24．
25．。
北师大版九年级上册数学期中考试试题及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3(x+1)2=-2(x+1)B．2x2-3x=2(x-1)2C．ax2+bx+c=0D．94+x-2=02．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断3．用配方法解方程y2-94y-1=0，正确的是（）A．（y-94）2=134，y=94B．（y-32）2=134，y=32C．（y-32）2=134，y=32D．（y-98）2=14564，y=984．如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A．①③B．②③C．③④D．①5．下列命题中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形6．根据下列表格的对应值：x… 6.17 6.18 6.19 6.20…ax2＋bx＋c…－0.02－0.010.010.04…判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的取值范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.207．若关于x的方程x2﹣x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.258．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，已知ΔABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．10B．15C．20D．309．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF 沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；DEF，其中，将正确结论的序号全部选②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题11．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是_______．12．某种水果的原价为15元/箱，经过连续两次增长后的售价为30元/箱．设平均每次增长的百分率为x ，根据题意列方程是________．13．若关于x 的一元二次方程x 2-mx-n=0有一个根是2，则2m+n=_______．14．已知方程（x-3）（x+m ）=0与方程x 2-2x-3=0的解完全相同，则m=______．15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程()()240x x --=的一个根，则这个三角形的周长是__________．16．如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则可列方程为____．17．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是___．18．M 为矩形ABCD 中AD 的中点，P 为BC 上一点，PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，当AB 、BC 满足_________时，四边形PEMF 为矩形．三、解答题19．解方程：(用适当的方法解方程)（1）解方程：x 2﹣6x+2=0．（2）（2x+5）-3x （2x+5）=020．列方程解应用题某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均每天就可多售出10件．（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要想盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？21．已知关于x的一元二次方程3x2+ax-2=0．（1）若该方程的一个根为-2，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．22．如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE=CF，（1）猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论．（2）连接EF，若∠BED=120°，求∠EFD的度数．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）24．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°.(1)求证：△ABF≌△DEC；(2)求证：四边形BCEF是矩形.25．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．26．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．参考答案1．A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，据此将选项中的方程化成一般形式后，再判断即可．【详解】解：∵方程()()23121x x +=-+化简后得：23850x x ++=，∴是一元二次方程；方程()222321x x x -=-化简后得：20x -=，∴是一元一次方程；∵方程20ax bx c ++=中，当0a =时，∴是一元一次方程；∵方程9420x +-=化简后得：104x +=，∴是一元一次方程；综上所述，只有A 选项是一元二次方程；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，熟悉相关定义，将方程化成一般式，是解题的关键．2．B【解析】【分析】把a=1，b=-2，c=1代入△=b 2-4ac ，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵a=1，b=-2，c=1，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．D【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．【详解】解：y 2-94y-1=0，方程移项得：y 2-94y=1，配方得：y 2-94y+8164=1+8164，即（y-98）2=14564，则y-98=±8∴y=98±8，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．A【解析】【分析】根据菱形的判定定理以及所给条件证明平行四边形ABCD 是菱形，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．【详解】解：①▱ABCD 中，AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故①正确；②▱ABCD 中，∠BAD ＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故②错误；③▱ABCD 中，AB ＝BC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故③正确；④▱ABCD 中，AC ＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误．故正确的为①③故选：A ．【点睛】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．5．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定逐个判断即可求解．【详解】解：平行四边形的对边相等，故A 正确；对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，故B 错误；矩形的对角线相等，故C 正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．C【解析】【分析】根据在6.18和6.19之间有一个值能使ax 2+bx+c 的值为0，于是可判断方程ax 2+bx+c=0一个解x 的范围．【详解】解：由2y ax bx c =++，得 6.17x >时y 随x 的增大而增大，得 6.18x =时，0.01y =-，6.19x =时，0.01y =，∴20ax bx c ++=的一个解x 的取值范围是6.18 6.19x <<，故选：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．7．D【解析】【详解】∵关于x 的方程式x 2﹣x+a=0有实根，∴△=（﹣1）2﹣4a≥0，解得a≤0.25．故选D ．8．C【解析】【分析】依题意，依据菱形对角线的性质可得，菱形ABCD 中，AC 平分角120BAD ∠=︒，然后可知ABC ∆为等边三角形，可得5AB =，即可求解；【详解】解：由题知，在菱形ABCD 中，AB BC CD AD ===，AC 为菱形的对角线，依据菱形对角线的性质可得，AC 平分角BAD ∠，∴60BAC ∠=︒；又AB BC CD AD ===，∴ABC ∆为等边三角形，又因为ABC ∆的周长为15；∴5AB BC AC ===；∴菱形ABCD 的周长为：20；故选：C【点睛】本题主要考查菱形的基本性质，属于基础性应用，关键在结合三角形的性质进行实际计算；9．D【解析】【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可.【详解】由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝(9﹣x)cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即(9﹣x)2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D.【点睛】此题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据矩形与折叠性质得出DF=MF，根据角平分线性质得出CF=MF，可判断①，利用等角余角性质得出∠BFM=∠BFC，再证∠BFE=∠BFN即可判断②，证明△DEF≌△CNF可判断③，推出BM=3EM即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，DF=MF．∵BF平分∠EBC，∴CF=MF．∴DF=CF．故①正确，符合题意．∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC．∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN．∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN．故②正确，符合题意．∵在△DEF和△CNF中，易由ASA得△DEF≌△CNF，∴EF=FN．∴BE=BN．但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形．故③错误，不符合题意．∵∠BEM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM．∴BM=3EM．∴S△BE F=3S△EMF=3S△DEF．故④正确，符合题意．综上所述，正确的结论是①②④．故选B．【点睛】本题考查矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质，掌握矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质是解题关键．11．7 10【解析】【分析】由一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，∴从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是：77 3710=+，故答案为：710．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．()215130x +=【解析】【分析】设平均每次涨价的百分率为x ，利用经过两次涨价后的价格=原价(1⨯+涨价的百分率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，据此求解即可．【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x ，依题意得：()215130x +=．故答案为：()215130x +=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．4【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把2x =代入20x mx n --=得到420m n --=得24m n +=，然后利用整体代入的方法进行计算．【详解】把2x =代入方程20x mx n --=得：420m n --=，即24m n +=，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．14．1【解析】【分析】利用因式分解法把方程x2-2x-3=0变形，根据解完全相同可求m值．【详解】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，（x-3）（x+1）=0，∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，∴m=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．15．13【解析】【分析】解方程（x-4）（x-2）=0，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，然后计算三角形的周长．【详解】解：（x-4）（x-2）=0，x-4=0或x-2=0，所以x1=4，x2=2，因为2+3＜6，所以x=2舍去，所以三角形第三边的长为4，所以三角形的周长=3+6+4=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法．先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．16．(80+2x)(50+2x)=5400【解析】【分析】整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原矩形风景画的长+2x）×（原矩形风景画的宽+2x），列出方程即可．【详解】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，∴可列方程为(80+2x)(50+2x)=5400．故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400．【点睛】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，用x的代数式表示挂图的长和宽是解题的关键．17．2【解析】【分析】连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，设DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解．【详解】如图所示，连接AE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°∵G为BC的中点∴BG=GC=3由折叠的性质可得AF=AB=6，BG=GF=3，在Rt△ADE和Rt△AFE中，∵AE=AE，AF=AD=6∴Rt △ADE ≌Rt △AFE （HL ）∴DE=EF设DE=EF=x ，则EC=6-x在Rt △CEG 中，GC 2+EC 2=GE 2，即()()222363x x +-=+解得2x =故答案为：2．【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF ，然后利用勾股定理建立方程是解题的关键．18．12AB BC =##2BC AB=【解析】【详解】∵在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，AB=12BC ，∴AB=DC=AM=MD ，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF 是矩形．故答案为：AB=12BC ．19．（1）x1，x 2（2）x 1=-52，x 2=13．【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）x 2﹣6x+2=0，移项得：x 2-6x=-2，配方得：x 2-6x+9=-2+9，即（x-3）2=7，开方得：，∴原方程的解是：x 1，x 2；（2）（2x+5）-3x （2x+5）=0，∴（2x+5）（1-3x ）=0，∴2x+5=0或1-3x =0，∴x 1=-52，x 2=13．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（1）1008元；（2）20元【解析】【分析】（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：41085⨯=(件)，再利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润，直接求解即可；（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天就可多售出的件数是2x ，利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程，然后解答即可．【详解】解：（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：41085⨯=(件)，则，商场平均每天可盈利：()()2084041008+⨯-=(元)；（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天就可多售出的件数是2x ，依题意得()()202401200x x +-=，解得120x =，210x =，因为尽快减少库存，所以取120x =答：若商场每件衬衫降价4元，商场每天可盈利1008元，每件衫应降价20元，商场平均每天要想盈利1200元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，能根据平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售的利润计算，是解题关键．21．（1）a=5，x=13；（2）见解析【解析】【分析】（1）解：设方程的另一根为t ，利用根与系数的关系得到-2+t=3a -，-2t=23-，然后通过解方程组可得到a 和t 的值；（2）先计算判别式的值得到Δ=a 2-4×3×(-2)=a 2+24，然后利用非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义可判断不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【详解】（1）解：设方程的另一根为t ，根据题意得-2+t=3a -，-2t=23-所以解得t=13，所以a=5；（2）证明：Δ=a 2-4×3×(-2)=a 2+24∴Δ＞0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a-，x 1x 2=c a．也考查了根的判别式．22．（1）BE=DF ，BE ⊥DF ，证明见解析；（2）∠EFD 的度数是15°．【解析】【分析】（1）可利用边角边证明BE、DF所在的两个直角三角形全等，进而证明这两条线段相等且垂直；（2）由（1）中的全等可得∠DFC=∠BEC=60°，易得∠CFE=45°，相减即可得到所求角的度数．【详解】解：（1）BE=DF．BE⊥DF，理由如下：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∠EBC=∠FDC，延长BE交DF于点G，∵∠BEC=∠DEG，∴∠DGE=∠BCE=90°，∴BE=DF．BE⊥DF；（2）∵△BCE≌△DCF，∠BED=120°，∴∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°，∵∠DCF=90°，CE=CF，∴∠CFE=45°，∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=15°．【点睛】本题综合考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质．用到的知识点为：考查两条线段的大小关系，一般考虑相等，证明这两条线段所在的三角形的全等是常用的方法．23．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）∠A＝45°．【解析】【分析】（1）根据∠ACB=90°，DE⊥BC可得DE//AC，即可证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；（3）根据正方形的性质可得∠CBD=45°，根据∠ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．【详解】（1）∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD．（2）四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝BD=CD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵BD=CD，∴四边形BECD是菱形．（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠BDC=90°时，四边形BECD 是正方形，∴∠CBD ＝45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形．24．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)首先根据AB ∥DE 得到∠A ＝∠D ，然后利用SAS 定理判定全等即可；(2)首先判定四边形BCEF 为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即可.【详解】证明：(1)∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝FD ，∴AC ﹣CF ＝DF ﹣CF ，即AF ＝CD ，在△ABF 与△DEC 中，AF DC A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DEC(SAS)；(2)∵△ABF ≌△DEC ，∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA ，∴∠ECF ＝∠BFC ，∴EC ∥BF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∵∠CEF ＝90°，∴平行四边形BCEF 是矩形.25．（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108.【解析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.【详解】（1）如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，∴四边形ABCF是正方形，∴AF＝12，由（2）可得DE＝DF＋BE，∴DE＝4＋DF，在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，∴（12−4）2＋（12−DF）2＝（4＋DF）2，∴DF＝6，∴AD＝6，∴S四边形ABCD ＝12(AD＋BC)×AB＝12×(6＋12)×12＝108．。
北师大版九年级上册数学期中测试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF 为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，连接DE 交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD 为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1；12．20；13．18；14．25%；15．5；16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2 B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF 为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，连接DE 交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD 为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1；12．20；13．18；14．25%；15．5；16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．做好时间规划才能更有效率充分——利用你的一天时间我们都知道,对于中学生来讲,很大程度上,一个人学习成绩的好坏,是与他是否会管理自己的时间有关的。
北师大版九年级数学上册期中考试卷及答案【完整】
北师大版九年级数学上册期中考试卷及答案【完整】 班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．2019-的倒数是（ ）A ．2019-B ．12019-C ．12019D ．20192．对某市某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有（ ）A ．20人B ．40人C ．60人D ．80人3．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3 B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠2 4．已知实数x 满足()()2224120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是（ ）A ．7B ．-1C ．7或-1D ．-5或35．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）A ．x （x+1）＝210B ．x （x ﹣1）＝210C ．2x （x ﹣1）＝210D ．12x （x ﹣1）＝210 6．一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或97．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．139．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为（ ）A ．(31)B ．(－13C ．31)D ．(31)10．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)k y x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36-二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算：82-=__________．2．因式分解：a 3－a =_____________．3．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式m ²-m+2019的值为__________.4．如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为__________．5．如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．如果BC=4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__________．6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：242111x x x ++=---2．已知一次函数的图象经过A(-2，-3)，B(1，3)两点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点P(-1，1)是否在这个一次函数的图象上；(3)求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.3．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．4．已知AB 是O 的直径，弦CD 与AB 相交，38BAC ∠=︒.（Ⅰ）如图①，若D 为AB 的中点，求ABC ∠和ABD ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若//DP AC ，求OCD ∠的大小.5．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h ，精确到1h ），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中百分数a 的值为 ，所抽查的学生人数为 ．（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图．（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．6．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、D3、D4、A5、B6、A7、C8、A9、A10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）12、a（a－1）（a + 1）3、20204、5、12 76、42．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、13 x2、(1) y=2x+1;(2)不在;（3）0.25.3、（1）略；（2）BC=2CD，理由略.4、（1）52°，45°；（2）26°5、（1）45%，60；（2）见解析18；（3）7，7.2；（4）7806、(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.。
北师大版数学九年级上册期中测试卷(含答案)
期中测试卷(满分120分,时间120分钟)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.一元二次方程 x²−3x +2=0的两根为x ₁,x ₂,则. x₁+x₂的值是( )A.2B.-2C.3D.-32.下列说法中正确的是( )A.所有的等腰三角形都相似B.有一对锐角相等的两个三角形相似C.相似三角形都是全等的D.所有的等边三角开都相似3.如果2 是方程 x²−3x +c =0的一个根，那么c 的值是( )A.4B.-4C.2D.-24.如图在平行四边形 ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm,对线AC,BD 相交于点O,则OA 的取值范围是( ) A.2cm <OA<5cm B.2cm <OA<8cm C.1 cm<OA<4 cm D.3cm<OA<8cm5.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为( ) A. 16B. 13C. 12D.236.一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是( )A. 25B. 35C. 34D.157.关于x 的一元二次方程( (m−2)x²+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是( )A. m≤3 B. m<3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠28.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A. 15B. 14C. 13D.3109.如图,正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点 E 、F 分别在BC 、CD 上,则∠B 的度数是( )A.70° B.75° C.80° D.95°10.如图,E,F,G,H 分别是BD,BC,AC,AD 的中点,且AB=CD,下列结论:①EG⊥FH;②四边形 EFGH 是矩形;③HF 平分∠EH HG;④EG =12(BC−AD );⑤四边形EFGH 是菱形，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.一元二次方程 x²+x =0的解是 .12.某班要从甲、乙、丙、丁四位班干部(两男两女)中任意两位参加学校组织的志愿者服务活动，则恰好选中一男一女的概率是 .13.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=.14.如图，把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1，2，3，自由转运转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x，y，5 的三条线段能构成三角形的概率为 .15.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交 DC 于点 E,若点 P,Q分别是AD 和AE 上的动点,则DQ+PQ的最小值是 .16.若方程((m+3)x|m|−1+3mx=0是关于x的一元二次方程，则m=.三、解答题(本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6 分)(1)用配方法解方程:x²−6x−7=0;(2)用因式分解法解方程：2x(x--7)=x--7.18.(6分)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.19.(6分)一只不透明的袋子中装有红球2个和白球2个，这些球除颜色外其余都相同，小明从袋子中任意摸出一球，记下颜色后不放回，若小明再从剩余的球中任取一球，请你用列表法或树状图的方法，求小明两次都摸出红球的概率.20.(8分)如图,在正方形 ABCD 中,点M 是对角线BD 上的一点,过点 M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD 于点F.求证:AM=EF.21.(8分)一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验.实验数据如下表摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”出现的频数210132430375882110150“和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为8”的概率是 .(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取7吗?请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值.22.(8分)(1)如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积；(2)如图②,正方形 ABCD 的边长为3,正方形CEFG 的边长为1,求三角形 DBF 的面积;(3)如图③,正方形 ABCD 的边长为a,正方形CEFG 的边长为b,求三角形DBF 的面积.23.(12分)晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程.x(x+4)=6.解：原方程可变形，得[(x+2)−2][(x+2)+2]=6,(x+2)²−2²=6,(x+2)²=6+2²,(x+2)²=10,直接开平方并整理，得x1=−2+10,x2=−2−10.我们称晓东这种解法为“平均数法”.(1)下面是晓东用“平均数法”解方程((x+2)(x+6)=5时写的解题方程：解：原方程可变形，得[(x+□−◯][(x+□)+◯]=5,(x+□)²−◯²=5,(x+□)²=5+◯²,直接开平方并整理，得x₁=☆,x₂=∇.(1)上述过程中“□”,“◯”,“☆”,“▽”表示的数分别是, , , .(2)请用“平均数法”解方程：(x−3)(x+1)=5.24.(12分)已知:平行四边形ABCD的两边AB,AD 的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根.(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少?期中测试卷1. C2. D3. C4. C5. B6. A7. D8. B9. C 10. C11. x₁=0,x₂=-1 12.2313.5 14.4/9 15.22 16.317.解(1)移项得x²−6x=7,配方得x²−6x+3²=7+9,即(x−3)²=16,开方得x-3=±4,∴原方程的解是x₁=7,x₂=−1;(2)移项得2x(x−7)−(x−7)=0,提公因式得(x--7)(2x-1)=0,∴x-7=0或2x-1=0,∴原方程的解是x1=7,x2=12.18.解设这个增长率为x.依题意得20(1+x)²−20(1+x)=4.8.解得x₁=0.2,x₂=−1.2(不合题意,舍去).0.2=20%.答：这个增长率是20%.19.解设红球分别为 H₁、H₂,白球分别为.B₁、B₂,列表得：第二球第一球H₁H₂B₁B₂H₁(H₁,H₂)(H₁,B₁)(H₁,B₂)H₂(H₂,H₁)(H₂,B₁)(H₂,B₂)B₁(B₁,H₁)(B₁,H₂)(B₁,B₂)B₂(B₂,H₁)(B₂,H₂)(B₂,B₁)总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到红球的结果有两种.故 P(两次都摸到红球)=212=16.20.证明连接MC.∵在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADM=∠CDM,又∵DM=DM,∴△ADM≅△CDM.∴AM=CM.∵ME‖CD,MF‖BC,∴四边形CEMF 是平行四边形.又∵∠ECF=90°,∴BCEMF是矩形.∴EF=MC.又∵AM=CM,∴AM=EF.21.解(1)利用图表得出:实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33.(2)当x=7时,3455378847995891058910则两个小球上数字之和为9的概率是：212=16,故x 的值不可以取7，3455378847995891058910∵出现和为9的概率是三分之一，即有3种可能，∴3+x=9或5+x=9或4+x=9解得x=4,x=5,x=6,当x=6时，出现9的概率为 16,故x=6舍去，故x 的值可以为4，5其中一个.22.解(1)△DBF 的面积 =12×3×3=92;(2)△DBF 的面积 =3×3+3×1−12×3×3=12×(3+1)×1−12(3−1)×1=92;(3)△DBF 的面积 =a ×a +b ×b−12×a ×a−12×(a + b)×b−12(b−a )×b =a 22.23.解(1)4 2 —1 --7(2)原方程可变形，得[(x--1)-2][(x--1)+2]=5,整理，得( (x−1)²−2²=5, (x−)²=5+2², (x−1)²=9,x--1=±3,∴x₁=4,x₂=−2.24.解(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∴Δ=m2−4(m2−14)=m2−2m+1=(m−1)2,当(m−1)²=0时,即m=1时,四边形ABCD是菱形.把m=1代入x2−mx+m2−14=0,得x2−x+14=0.解得x1=x2=12.∴菱形ABCD的边长是1 2 .(2)把AB=2代入x2−mx+m2−14=0,得4−2m+m2−14=0.解得m=52.把m=52代入x2−mx+m2−14=0,得x²−52x+1=0.解得x1=2,x2=12.∴AD=1 2 .∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD的周长是2(2+12)=5.。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．方程x（x+2）＝0的根是（）A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2 2．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A．12B．13C．14D．153．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．C．36D．4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC5．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和36．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B C．2D17．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝12GF×AF；④当AG＝6，EG＝BE）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．某校文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书向本组其他成员增送一本，全组共互赠了1260本书，设全组共有x名同学，依题意，可列出方程为A．x(x﹣1)＝1260B．x(x+1)＝1260C．2x(x﹣1)＝1260D．12x(x﹣1)＝12609．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°10．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．二、填空题11．方程23530x x-=-的一次项系数是__________.12．已知23a cb d==，若b+d≠0，则a cb d++＝_____．13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于7”的概率是_____. 14．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为__________cm ．15．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC 的度数是__________．16．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝3，OC ＝，则另一直角边BC 的长为_____．三、解答题17．解下列方程（1）2x 2﹣4x ﹣3＝0（2）（x ﹣1）2＝（1﹣x ）18．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）20．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB=（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .21．某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a 元，则可售出（320﹣10a ）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？22．在 ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB.23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ．（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．24．如图，△ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A （0，3）、B （3、4）、C （2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．25．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若3DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）参考答案1．C【解析】【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．2．A【解析】【详解】试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P(向上一面为奇数)31. 62 ==故选A.3．B【解析】【详解】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=∴菱形ABCD的面积是6⨯=，故选B．4．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31EG DFGC FB＝＝=3．故选B．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．5．C【解析】【详解】试题分析：x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．故选C．考点：因式分解法解一元二次方程6．B【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，作点P 关于直线BD 的对称点P′，连接P′Q ，P′C ，则P′Q 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点C 重合，CP′⊥AB 时PK+QK 的值最小，在Rt △BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴sin 2P Q CP BC B ''==⋅=⨯故选B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．D【解析】【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG ，从而得到GD=DF ，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF ，连接DE ，交AF 于点O ．由菱形的性质可知GF ⊥DE ，OG=OF=12GF ，接下来，证明△DOF ∽△ADF ，由相似三角形的性质可证明DF 2=FO•AF ，于是可得到GE 、AF 、FG 的数量关系，过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF 中依据勾股定理可求得AD 的长，然后再证明△FGH ∽△FAD ，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE=AD-GH 求解即可．【详解】解：∵GE ∥DF ，∴∠EGF ＝∠DFG ．∵由翻折的性质可知：GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF ＝∠EGF ，∴∠DGF ＝∠DFG ．∴GD ＝DF ．故①正确；∴DG ＝GE ＝DF ＝EF ．∴四边形EFDG 为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE ，交AF 于点O ．∵四边形EFDG 为菱形，∴GF ⊥DE ，OG ＝OF ＝12GF ．∵∠DOF ＝∠ADF ＝90°，∠OFD ＝∠DFA ，∴△DOF ∽△ADF ．∴DFAF ＝OFDF ，即DF 2＝FO•AF ．∵FO ＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF•AF ．故③正确；如图2所示：过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．∵EG 2＝12GF•AF ，AG ＝6，EG ＝∴20＝12FG （FG+6），整理得：FG 2+6FG ﹣40＝0．解得：FG ＝4，FG ＝﹣10（舍去）．∵DF ＝GE ＝AF ＝10，∴AD ＝∵GH ⊥DC ，AD ⊥DC ，∴GH ∥AD ．∴△FGH ∽△FAD ．∴GHAD＝FGAF410，∴GH，∴BE＝AD﹣GH＝故选：D．【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．8．A【解析】【分析】设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x﹣1)本，那么总共送x(x﹣1)本，据此可得出方程.【详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；则总共送出的图书为x(x﹣1)；又知实际互赠了1260本图书，∴x(x﹣1)＝1260；故选：A.【点睛】此题考查列一元二次方程，本题弄清每名同学送出的图书是（x-1）本是解题的关键．9．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝12 BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH是等腰三角形是关键．10．B【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．11．-5【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．【详解】方程3x2﹣5x﹣3=0的一次项系数是﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．12．23【解析】【分析】分别设a=2m，c=2n，根据23a cb d==可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.【详解】设a=2m，c=2n，∵23a cb d==，∴b=3m，d=3n，∴a cb d++=2m2n3m3n++=23，故答案为：2 3【点睛】本题考查等比性质的应用，若a c kb d==，则a cb d++=k，熟练掌握等比性质是解题关键.13．15 36【解析】【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于7”的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于7”的结果数为15，所以“两枚骰子的点数和小于7”的概率15 36；故答案为：15 36 .【点睛】此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.14．7 8【解析】【详解】连接EB，∵BD垂直平分EF，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=78故答案为78cm ．15．45︒【解析】【分析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.【详解】解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠= 180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠==45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.16．9【解析】【分析】过O 作OF ⊥BC ，过A 作AM ⊥OF ，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB ，求出∠BOF=∠OAM ，根据AAS 证△AOM ≌△BOF ，推出AM=OF ，OM=FB ，求出四边形ACFM 为矩形，推出AM=CF ，AC=MF=3，得出等腰三角形三角形OCF ，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF ，即可求出答案．【详解】解：过O 作OF ⊥BC 于F ，过A 作AM ⊥OF 于M ，∵∠ACB ＝90°，∴∠AMO ＝∠OFB ＝90°，∠ACB ＝∠CFM ＝∠AMF ＝90°，∴四边形ACFM 是矩形，∴AM ＝CF ，AC ＝MF ＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中0AM BOF AMO OFB OA0B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.17．（1）x1x2（2）x1＝1，x2＝0．【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可.【详解】（1）∵a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，则x 22，即x 1＝22+，x 2＝22；（2）（x ﹣1）2＝（1-x ），（x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）•x ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.18．（1）△ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC 是直角三角形.理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到△=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．试题解析：解：（1）△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0，∴a ﹣b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=2(2)4()()0b a c a c -+-=，∴2224440b a c -+=，∴222a b c =+，∴△ABC 是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．19．（1）13；（2）49．【解析】【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可；（2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可．【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即1,2,3,4,5,6，它们每一种出现的可能性相等其中，小球上数字小于3的结果有2种，即1,2故小球上数字小于3的概率为2163 P==；（2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下：4561（1,4）（1,5）（1,6）2（2,4）（2,5）（2,6）3（3,4）（3,5）（3,6）其中，数字之和为偶数的结果有4种，即(1,5),(2,4),(2,6),(3,5)故两个小球上数字之和为偶数的概率为49 P=．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．20．（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．21．每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【解析】【分析】可根据关键语“若每件售价x元，则每件盈利（x-18）元，则可卖出（320-10x）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．【详解】解：设每件商品的售价定为x元，则（x﹣18）（320﹣10x）＝400，整理得x2﹣50x+616＝0，∴x1＝22，x2＝28∵18（1+25%）＝22.5，而28＞22.5∴x＝22．卖出商品的件数为320﹣10×22＝100．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题时可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．22．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）253.【解析】【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．24．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，根据对称性质可得A″B 即为PA+PB 的最小值，根据A″和B 点坐标可得直线A″B 的解析式，令y=0即可得P 点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）∵A′B 2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B 2=42+22=20，∴A′B 2=A′C′2+C′B 2，∴△A′BC′是直角三角形，∴△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，∴PA=PA″，∴PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB 的最小值，设A″B 直线解析式为：y ＝kx+b ，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝9 7，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【详解】（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF ，AE=CE ，OA=OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO=∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，{AFO CEOAOF COEOA OC∠=∠∠=∠=∴△AOF ≌△COE （AAS ），∴AF=CE ，∴AF=CF=CE=AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴在Rt △CDF 中，cos ∠DCF=CDCF ，∠DCF=30°，∴CF=cos 30CD︒=2，∵四边形AECF 是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF 是的面积为：。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A ．2230x x --=B ．2210x y --=C ．()270x x x -+=D ．20ax bx c ++=2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC ＝1：2，AE 与BD 相交于点F ，若S △BEF ＝2，则S △ABD ＝（）A ．24B ．25C ．26D ．233．若方程（a-2）x²+ax-3=0是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（）A ．a≥2且a≠2B ．a≥0且a≠2C ．a≥2D ．a≠24．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（）A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥D ．AMB CND∠=∠5．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则AB 的长为（）A ．9cmB ．12cmC ．13cmD ．15cm6ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将△ABE沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（）A 1B ．1C ．12D ．27．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A ．12个B ．16个C ．20个D ．25个8．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A ．B ．C ．5D ．69．如图，在ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S △EFB ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则BF 的值是（）A ．14B ．15C ．16D ．1711．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF ，有以下结论：①△ABM ∽△NEM ；②△AEN 是等腰直角三角形；③当AE=AF 时，2BEEC=④BE+DF=EF ；⑤若点F 是DC 的中点，则CE 23=CB ．其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′＝2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A ．4：9B ．2：5C ．2：3D二、填空题13．已知菱形的周长为24，较大的内角为120°，则菱形的较长的对角线长为_____．14．方程x 2＝2x 的解是_______．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别是(0O ，0)，(8A ，0)，(8B ，6)，(0C ，6)，已知矩形111OA B C 与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，则点1B 的坐标是______．16．如图，矩形纸片ABCD ，BC=10，AB=8，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE=5，则GE 的长为____．三、解答题17．解方程：①2x 2﹣4x ﹣3＝0；②5（x+1）2＝7（x+1）．18．（1）解方程(3)30x x x -+-=；（2）解方程2220x x --=；(3)已知a≠0，b≠0，a≠b 且x=1是方程ax²+bx-10=0的一个解，求2222a b a b--的值.19．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC ．（1）求证：△ADC ≌△ECD ；（2）当点D 在什么位置时，四边形ADCE 是矩形，请说明理由．20．某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x 元，（1）当定价增加5元时，获利是多少元？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？21．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，连接AE（1）求证：AB ⊥AE ；（2）若BC 2=AD•AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．22．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.23．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）证明ABDF是平行四边形；（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．24．已知如图，矩形ABCD的周长为64，AB=12，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F，连接AF、CE、EF，且EF与AC相交于点O．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求S△ABF 与S△AEF的比值．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B 出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t 为何值时，△EPQ 为等腰三角形？参考答案1．A 【解析】【详解】试题解析：A 、符合一元二次方程的定义，正确；B 、方程含有两个未知数，错误；C 、原方程可化为-7x=0，是一元一次方程，错误；D 、方程二次项系数可能为0，错误．故选A ．考点：一元二次方程的定义．2．A 【解析】【分析】已知平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC ＝1：2，可知△BEF ∽△ADF 得出相似比1==3BE BF EF AD DF AF =，所以211(39S BEF S ADF ==V V 得出18S ADF =V 根据2S BEF =V ，在△BEF 中，把EF 作为底边，在三角形ABF 中，把AF 作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即13S BEF EF S ABF AF ==V V ，得出6S ABF =V ，S ABD S ABF S ADF =+V V V 求得答案．【详解】在平行四边形ABCD 中AD=BC ，AD ∥BC ∴△BEF ∽△ADF ，∴1==3BE BF EF AD DF AF =∴211(39S BEF S ADF ==V V ∵2S BEF =V ∴18S ADF =V 在△BEF 中，把EF 作为底边，在三角形ABF 中，把AF 作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即13S BEF EF S ABF AF ==V V ∴6S ABF =V 且18S ADF =V ∴61824S ABD S ABF S ADF =+=+=V V V 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，如果两个三角形相似，面积比就等于相似比的平方，可以作为求解三角形面积的方法.3．D 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到a-2≠0，由此求得a 的取值范围．【详解】解：依题意得：a-2≠0，解得a≠2．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．A 【解析】【分析】由平行四边形的性质可知：OA OC =，OB OD =，再证明OM ON =即可证明四边形AMCN 是平行四边形．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形，∵12OM AC =，∴MN AC =，∴四边形AMCN 是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．C 【解析】【分析】根据正方形的面积求出AC 的长，根据菱形的面积求出BD 的长,再利用菱形的对角线互相垂直平分计算菱形的边长．【详解】解：因为正方形AECF 的面积为50cm 2，所以AC=10cm=因为菱形ABCD 的面积为120cm 2，所以BD=21202410cm ⨯=所以菱形的边长=13cm 故选C ．【点睛】此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．6．A 【解析】【分析】在Rt △ABE 中，∠B=30°，BE=32，根据△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置可知BF=3，结合菱形ABCD 32，则利用菱形对边平行即CG ∥AB ，再根据平行线段成比例可得CG CFAB BF ==求得1【详解】∵∠B=30°，AE ⊥BC∴AE=2，BE=32∴BF=3，32，则又∵CG ∥AB ∴CG CFAB BF=33=解得1.【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线段成比例，图形的翻折，解本题的关键是通过利用菱形对边平行发现与要求线段CG 与其他线段成比例的关系.7．B 【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x 个，由题意可得：44x +=0.2，解得：x=16，故选B ．．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系8．C 【解析】【详解】连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ，EF ⊥AC ；利用“AAS 或ASA”易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC ；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=tan ∠BAC=12BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=，tan ∠BAC=12EM AM =可得Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．9．D 【解析】【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE ≌△FCG 得EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．B【解析】【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴AC BD AE BF=,即86=812BF +，解得：=15BF，故选：B.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．11．C【解析】【分析】①如图，证明△AMN ∽△BME 和△AMB ∽△NME ，②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN 是等腰直角三角形可作判断；③先证明CE=CF ，假设正方形边长为1，设CE=x ，则BE=1-x ，表示AC 的长为AO+OC 可作判断；④如图3，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，证明△AEF ≌△AEH （SAS ），则EF=EH=BE+BH=BE+DF ，可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a ，则DF=CF=a ，，想办法求出BE ，EC 即可判断．【详解】如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME ，∴△AMN ∽△BME ，∴AM MN BM EN =，∴AM BM MN EN=，∵∠AMB=∠EMN ，∴△AMB ∽△NME ，故①正确，∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN 是等腰直角三角形，故②正确，在△ABE 和△ADF 中，∵90AB AD ABE ADF AE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL)，∴BE=DF ．∵BC=CD ，∴CE=CF ，假设正方形边长为1，设CE=x ，则BE=1﹣x ，如图2，连接AC ，交EF 于H ，∵AE=AF ，CE=CF ，∴AC 是EF 的垂直平分线，∴AC ⊥EF ，OE=OF ，Rt △CEF 中，OC 12=EF 22=，在△EAF 中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE ．∵AE=AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴AC 2==AO+OC ，∴122+x 2=∴x=22-，∴1222222BE EC -==-③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF=AH ，∠DAF=∠BAH ．∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE ．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H 、B 、E 三点共线，在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF ，故④正确，如图4中，设正方形的边长为2a ，则DF=CF=a ，AF =a，∵DF ∥AB ，∴12FN DF AN AB ==，∴AN=NE 23=AF =a ，∴AE =3=a ，∴BE 23=a ，∴EC 43=a 23=BC ，故⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．12．A【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，故选：A．【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.13．【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，由直角三角形的性质可得AO=1，由勾股定理可求BO的长，即可得BD的长．【详解】解：如图所示：∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=12∠ABC=30°，∴AO=3，∴∴BD=故答案为：.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．14．x 1＝0，x 2＝2【解析】【分析】先移项得到x 2﹣2x ＝0，再把方程左边进行因式分解得到x （x ﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x ＝0或x ﹣2＝0，即可得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2．【详解】解：∵x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ＝0或x ﹣2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．15．()4,3或()4,3--【解析】【分析】由矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，又由点B 的坐标为（8，6），即可求得答案．【详解】解：如图，∵矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，∴点B 1的坐标是：（4，3）或（-4，-3）．故答案为：（4，3）或（-4，-3）．【点睛】本题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．16．955．【解析】【分析】由勾股定理求出AE 的长，证明△ABH ∽△EAD ，得出AH AB DE AE =求出AH 的长，得出AG 的长，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠BAD=∠D=90°，∴AE 2222105AD DE =+=+=5由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH=GH ，∴∠BAH+∠ABH=90°，又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH ，∴△ABH ∽△EAD ，∴AH AB DE AE =，即555AH =解得：AH 855=∴AG=2AH 1655=，∴GE=AE ﹣55555=．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．17．①x 1＝22，x 2＝22；②x 1＝﹣1，x 2＝25．【解析】【分析】①直接利用一元二次方程的求根公式，求方程的解；②先移项得到5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程，即可求解．【详解】①2x 2﹣4x ﹣3＝0，a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝b 2﹣4ac ＝16﹣4×2×（﹣3）＝40，∴2b x a -±==，∴x 1x 2；②5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，（x+1）（5x+5﹣7）＝0，x+1＝0或5x+5﹣7＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝25．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．18．（1）123,1x x ==-；（2）1211x x ==（3）5.【解析】【分析】（1）提公因式因式分解后可解；（2）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求出x 的值即可；（3）把x=1代入方程求得a+b=10，然后将其整体代入化简后的分式并求值．【详解】解：（1）因式分解得(3)(1)0x x -+=，∴123,1x x ==-；（2）∵原方程可化为（x-1）2=3，1x ∴-=1x ∴=±1211x x ∴==（3）解：∵x=1是方程ax²+bx-10=0的根，∴a+b=10，∴225222a b a b a b -+==-,故答案是：5.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题关键．19．（1）证明见解析；（2）点D 在BC 的中点上时，四边形ADCE 是矩形．【解析】【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB ，则易证△ADC ≌△ECD ，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD ，AE ∥CD ，得出平行四边形，根据AC=DE 推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，又∵▱ABDE 中，AB=DE ，AB ∥DE ，∴∠B=∠EDC=∠ACB ，AC=DE ，在△ADC 和△ECD 中，{EDC=ACB DC=CDAC DE=∠∠，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）．（2）点D 在BC 的中点上时，四边形ADCE 是矩形，∵四边形ABDE 是平行四边形，∴AE=BD ，AE ∥BC ，∵D 为边长中点，∴BD=CD ，∴AE=CD ，AE ∥CD ，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定的应用．20．（1）5250元；（2）当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个【解析】【分析】（1）根据利润＝每件商品利润×销售量，列式即可求解；（2）总利润＝每件商品利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍；【详解】（1）定价增加5元即为：50+5=55元时，销售量为：400-10×5=350获利为：（50+5﹣40）（400﹣5×10）＝5250元（2）设每个定价增加x元，根据题意（x+10）（400﹣10x）＝6000，整理得：x2﹣30x+200＝0解得，x1＝10，x2＝20，∵要使进货量较少，∴x＝20，∴定价为50+20＝70元，进货量为：400﹣10x＝400﹣200＝200．当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个．【点睛】本题是一元二次方程的实际应用问题，现列出关于x的关系式，求解一元二次方程，根据条件对x值取舍，确定最终符合题意的答案.21．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论.（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形.【详解】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE∵在△BCD和△ACE中，BC AC {BCD ACE CD CE=∠=∠=，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴∠B=∠CAE=45°∴∠BAE=45°+45°=90°∴AB⊥AE（2）∵BC2=AD•AB，BC=AC，∴AC2=AD•AB∴AC AD AB AC=∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB∴∠CDA=∠BCA=90°∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形∴四边形ADCE 为正方形.22．（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克,b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.23．（1）证明见解析；（2）485．【解析】【分析】（1）先证得△ADB ≌△CDB 求得∠BCD=∠BAD ，从而得到∠ADF=∠BAD ，所以AB ∥FD ，因为BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，所以AF ∥BD ，即可证得．（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．【详解】（1）证明：∵BD 垂直平分AC ，∴AB=BC ，AD=DC ，在△ADB 与△CDB 中，AB BC AD DC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CDB （SSS ）∴∠BCD=∠BAD ，∵∠BCD=∠ADF ，∴∠BAD=∠ADF ，∴AB ∥FD ，∵BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形，（2）解：∵四边形ABDF 是平行四边形，AF=DF=5，∴▱ABDF 是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，设BE=x ，则DE=5-x ，∴AB 2-BE 2=AD 2-DE 2，即52-x 2=62-（5-x ）2解得：x=75，∴245AE =，∴AC=2AE=485．考点：1．平行四边形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．24．（1）证明见解析；（2）8：17．【解析】【分析】（1）根据SSS 证明△AOE ≌△COF ，根据全等得出OE=OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ⊥AC 即可推出四边形是菱形；（2）由（1）知S △AEF =S △ACF ，再分别求得S △ABF 与S △AEF 的面积即可得到其比值．【详解】∴AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．∵EF垂直平分AC，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF，∴四边形AFEC是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFEC是菱形；（2）∵△AOE≌△COF，∴S△AEF=S△ACF∵S△ABF=3BF，S△AEF=3FC，∴S△ABF：S△AEF=BF：FC．∵矩形ABCD的周长为64，AB=12，∴BC=20，设FC=x，则AF=x，BF=20﹣x在Rt△ABF中，由勾股定理122+(20﹣x)2=x2解得：x68 5 =，BF32 5 =，∴S△ABF：S△AEF=BF：FC=8：17．【点睛】此题主要考查了矩形的性质、线段的垂直平分线性质、菱形的判定以及勾股定理等知识的综合应用．熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．25．（1）4114s或4013s；（2）t＝1或3或207或196秒【解析】【分析】（1）①当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．证明△PQE∽△ACB，将PE、QE用时间t 表示，由三角形对应线段成比例的性质即可求出t值；②当PQ⊥DE时，证明△PQE∽△DAE，（2）分三种情形讨论，①当点Q在线段BE上时，EP＝EQ；②当点Q在线段AE上时，EQ＝EP；③当点Q在线段AE上时，EQ＝QP；④当点Q在线段AE上时，PQ＝EP，分别列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．∴AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝12BC＝8cm，①如图1中，PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴PE QE AE DE=，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即82410 108t t--=，解得t＝41 14；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴PE QE ED AE=，∴82410 810t t--=，∴t＝40 13，∴当t为4114s或4013s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）①如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．②如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．③如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得12（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t＝20 7．④如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得12（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t＝19 6．综上所述，t＝1或3或207或196秒时，△PQE是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，注意分类讨论，灵活的用含t的代数式表示线段的长度是解题的关键.。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B ．矩形的对角线相等C ．对角线相等的菱形是正方形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．一个菱形的两条对角线分别为4和5，则这个菱形的面积是（）A ．8B ．10C ．15D ．203．在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，34ADB ∠=︒，则BAO ∠的度数是A ．46°B ．54°C ．56°D ．60°4．如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为3.2km ，则M ，C 之间的距离是（）A ．0.8kmB ．1.6kmC ．2.0kmD ．3.2km 5．用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（）A ．2(3)9x +=B ．2(3)13x +=C ．2(3)5x +=D ．2(3)4x +=6．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．347．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或48．某地一家餐厅新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝60509．如图矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，CE 垂直平分DO ，AB 1=，则BE 等于（）A ．32B ．43C ．23D ．210．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则PBQ 周长的最小值为（）AB ．3C 1D ．二、填空题11．一元二次方程()211x x +=+的根是_____．12．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．13．x 2﹣4x+1＝（x ﹣2）2﹣______．14．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD 为菱形．15．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则k 的最大整数值是_________．16．一个袋子中6个红球，若干白球，它们除颜色外完全相同，现在经过大量重复的摸球试验发现，摸出一个球是白球的频率稳定在0.4附近，则袋子中白球有_____个．17．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交CD 于点P ，则∠FPC 的度数是______．18．如图，在Rt ABC 中，90A ∠= ，AB=6，BC=10，P 是BC 边上的一点，作PE 垂直AB ，PF 垂直AC ，垂足分别为E 、F ，求EF 的最小值是_____．三、解答题19．用适当的方法解方程：(1)x 2+2x ﹣1＝0；（用配方法）(2)3x 2﹣5x+1＝0；（用公式法）(3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法）(4)3x 2+5x ＝3x+3．（选择适当的方法）20．“一方有难，八方支援”．四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A 、B 两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川．（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中医生甲和护士A 的概率．21．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，AC ∥BE ，CE ∥BD ．(1)求∠DBC 的度数；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．22．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．23．某公园内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条长方形的矩形小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（注：所有小道宽度相等）24．某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．试问：每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△AFE≌△DBE；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案1．A【解析】根据特殊平行四边形的性质判断即可；【详解】经过判断，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误；B、C、D均正确；故答案选A．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，准确判断是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可；【详解】∵菱形的两条对角线分别为4和5，∴菱形的面积14510 2=⨯⨯=；故答案选B．【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，准确计算是解题的关键．3．C【解析】【分析】由矩形的性质得∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，则OA＝OD，由等腰三角形的性质得∠OAD＝∠ADB＝34°，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADB＝34°，∴∠BAO＝90°−∠OAD＝90°−34°＝56°；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，代入求出即可．【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵M为AB的中点，∴CM=12 AB，∵AB=3.2km，∴CM=1.6km，故选：B．【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB是解题的关键．5．C【解析】【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6．B【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为412=13，故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．7．A【解析】【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8．D【解析】【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．A【解析】【分析】根据矩形的性质可证明ODC ，OAB 都是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出OE 的长，即可的答案；【详解】四边形ABCD 是矩形，OA OB OD OC ∴===，CE 垂直平分相等OD ，CO CD ∴=，OC OD CD ∴==，OCD ，AOB 都是等边三角形，OB AB OD 1∴===，OE DE ==12OD=12，13BE 122∴=+=，【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判断和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．C【解析】【分析】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DQ ，交AC 于点P ，那么PBQ 的周长最小，此时PBQ 的周长BP PQ BQ DQ BQ.=++=+在Rt CDQ 中，由勾股定理先计算出DQ 的长度，再得出结果即可．【详解】连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB 、BD ，BD 交AC 于O ．四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，BO OD =，CD 2cm =，∴点B 与点D 关于AC 对称，BP DP ∴=，BP PQ DP PQ DQ ∴+=+=．在Rt CDQ 中，DQ ===，PBQ ∴的周长的最小值为：BP PQ BQ DQ BQ 1++=+=+．故选C ．【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P 的位置是解题关键．11．10x =，21x =-【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：2(1)1x x +=+ ，2(1)(1)0x x ∴+-+=，则(1)0x x +=，0x ∴=或10x +=，解得10x =，21x =-，故答案为：10x =，21x =-．12．﹣1．【解析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．13．3【解析】利用配方法的步骤整理即可．【详解】解：x 2﹣4x+1＝x 2﹣4x+4﹣3＝（x ﹣2）2﹣3，故答案为3，14．AD=DC （答案不唯一）【详解】由四边形ABCD 是平行四边形，添加AD=DC ，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形；添加AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形．故答案为：AD=DC （答案不唯一）．15．0【解析】关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则△=240b a -≥，且k-1≠0，求出k 的取值范围即可解决本题.【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则()=1410k 10△--≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩k ，解得：54k ≤且k≠1，则k 的最大整数值为；0，故答案为：0.16．4【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】设袋子中白球有x 个，由题意得，6x x+＝0.4，解得：x ＝4，经检验x=4是原方程的解故袋子中白球有4个，故答案为：4．17．112.5°【解析】利用正方形的性质得到90BCD ∠︒＝，45CBD ∠︒＝，再根据菱形的性质得BF 平分,EBD ∠，所以22.5CBP ∠︒＝，然后根据三角形外角性质计算∠FPC 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，90BCD ∴∠︒＝，45CBD ∠︒＝，∵四边形BEFD 为菱形，∴BF 平分∠EBD ，22.5CBP ∴∠︒＝，22.590112.5FPC PBC BCP ∴∠∠∠︒︒︒＝＋＝＋＝．故答案为：112.5︒．18．4.8【解析】根据已知得出四边形AEPF 是矩形，得出EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，根据垂线段最短得出即可．【详解】解：连接AP ，∵∠BAC=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，过A 作AP ⊥BC 于P ，此时AP 最小，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，BC=10，AB=6，由勾股定理得：AC=8，由三角形面积公式得：116810AP 22⨯⨯=⨯⋅，∴AP=4.8，即EF=4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理以及垂线段最短的应用．19．(1)x1＝﹣x 2＝﹣1(2)x 1x 2(3)x 1＝﹣12，x 2＝﹣16(4)1211,33x x --==【解析】【分析】（1）根据配方法求解即可；（2）根据公式法求解即可；（3）根据因式分解法求解即可；（4）根据公式法求解即可；(1)解：x 2+2x ﹣1＝0，x 2+2x ＝1，x 2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝，∴x 1＝﹣x 2＝﹣1(2)解：3x 2﹣5x+1＝0，∵a ＝3，b ＝﹣5，c ＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，则x即x 1＝56，x 2＝56-；(3)解：3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0，2x+1＝0或6x+1＝0，x 1＝﹣12，x 2＝﹣16．(4)解：3x 2+5x ＝3x+3，3x 2+2x-3=0∵a ＝3，b ＝2，c ＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，∴x ＝223-±⨯＝13-，∴x 1＝13-+，x 2【点睛】本题考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解法解一元二次方程的方法：配方法、公式法、因式分三种方法是解题的关键．20．（1）详见解析；（2）16【解析】（1）利用用树状图（或列表法）列举出所有情况；（2）让恰好选中医生甲和护士A 的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）用列表法或树状图表示所有可能结果如下：护士医生A B 甲（甲，)A （甲，)B 乙（乙，)A （乙，)B丙（丙，)A（丙，)B（2）因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的有1种，所以P（恰好选中医生甲和护士1)6A=．（3分）【点睛】本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）30°（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数；（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=12∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=12∠ABC=30°;（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC=90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形．【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．22．（1）见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，得AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，利用SAS 可证得△ABP ≌△CBP 即可证明PC ＝PE ．（2）由△ABP ≌△CBP ，得∠BAP ＝∠BCP ，从而得∠DAP ＝∠DCP ，再由PA ＝PE 即可证出∠DCP ＝∠E ，进而可证出∠CPE ＝∠EDF ＝90°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，在△ABP 和△CBP 中，=AB BC ABP CBP PB PB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA ＝PC ，∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，（2）解：由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP ，∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．23．小道进出口的宽度应为1米．【解析】【分析】观察图形可知，种植花草的地方拼凑起来可以得到一个新矩形，设小道进出口的宽度为x 米，则新矩形的长是（30﹣2x）m，宽是（20﹣x）m，根据面积公式列方程，求解即可．【详解】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，整理，得x2﹣35x+34＝0，解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据实际意义对求得的根进行取舍．24．每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元【解析】【分析】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，再写出单件利润的表达式（100﹣70﹣x），两者乘积为总利润，解方程，根据题意对根进行取舍，即可求出答案．【详解】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750，整理，得：x 2﹣20x+75＝0，解得：x 1＝5，x 2＝15．∵尽快减少库存，∴x ＝15．答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据题意对求得的根进行取舍．25．（1）证明见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE ，然后利用AAS 判定△AFE ≌△DBE 即可；（2）首先证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD ，进而可得四边形ADCF 是菱形．【详解】(1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；（2）解：四边形ADCF 是菱形，理由如下：∵△AFE ≌△DBE ，∴AF=BD ，∵AD 是斜边BC 的中线，∴BD=DC∴AF=DC ．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=12BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案详解
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ．210x x+=B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．（x －1）（x ＋2）＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝02．关于x 一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．03．如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（）A ．3.5B ．4C ．7D ．144．设m 、n 是一元二次方程x 2+3x ﹣7＝0的两个根，则m 2+4m +n ＝（）A ．﹣3B ．4C ．﹣4D ．55．如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准确的是（）A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．对角线相等的四边形6．若()()160x y x y +--+=，则x y +的值是（）A ．2B ．3C ．2-或3D ．2或3-7．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2．则花边的宽是（）A ．2mB ．1mC ．1.5mD ．0.5m8．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．12B．13C．14D．349．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A．m＞34B．m≥34C．m＞34且m≠2D．m≥34且m≠210．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（）A．2x2=9.5B．2（1+x）=9.5C．2（1+x）2=9.5D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.511．用配方法将二次三项式a2+4a﹣5变形，结果是（）A．（a﹣2）2+9B．（a+2）2+9C．（a﹣2）2﹣9D．（a+2）2﹣9 12．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是（）A．13B．14C．12D．34二、填空题13．方程（x﹣5）（2x﹣1）＝3的一般形式是_____．14．菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为_____，面积为_____．15．有一个1万人的小镇，随机调查3000人，其中450人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一人，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率是_____．16．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有________家公司参加商品交易会．三、解答题17．解下列一元二次方程：（1）2（x+3）2＝x（x+3）．（2）x2﹣2x﹣3＝0．（3）2x2﹣9x+8＝0．18．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1-，2-，3-，4-的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x ；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.（1）用列表法或画树状图表示出（x ，y ）的所有可能出现的结果；（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x ，y ）落在一次函数1y x =-的图象上的概率；（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数x 、y 满足1y x >-的概率.19．如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ⑴求证：四边形AECF 是平行四边形；⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长．20．如图：四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ，把四边形EFGH 称为中点四边形．连接AC 、BD ，容易证明：中点四边形EFGH 一定是平行四边形．（1）如果改变原四边形ABCD 的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD 的对角线满足AC ＝BD 时，四边形EFGH 为菱形．当四边形ABCD 的对角线满足时，四边形EFGH 为矩形；当四边形ABCD 的对角线满足时，四边形EFGH 为正方形；（2）探索三角形AEH 、三角形CFG 与四边形ABCD 的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明；（3）如果四边形ABCD 的面积为2，那么中点四边形EFGH 的面积是多少？21．某校甲、乙、丙三人参加语文、数学、英语学科素养展示活动，每人限报一项，求甲报英语、乙报数学、丙报语文的概率．22．某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克；（1）为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？（2）通过涨价可以使利润达到10000元吗？如果能，应涨价多少元？如果不能，请说明理由．23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 垂足是D ，AN 是∠BAC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足是E ，连接DE 交AC 于F ．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）求证：DF ∥AB ，DF ＝1AB 2；（3）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 为正方形，简述你的理由．24．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当BAC ∠=°时，四边形ADCE 是一个正方形．25．如图，在矩形ABCD 中，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别以3cm/s 、2cm/s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．（1）若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？（2）若点P 沿着AB→BC→CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2参考答案1．C【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程．根据定义即可求解．【详解】解：A选项含有分式，故不是；B选项中没有说明a≠0，则不是；C选项是一元二次方程；D选项中含有两个未知数，故不是；故选：C．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明确一元二次方程的定义．2．C【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a−1≠0，a2−1＝0，求出a的值即可．【详解】把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，∴a−1≠0，即a≠1，∴a的值是−1．故选：C．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．3．A【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．4．B【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，∴原式＝m2+3m+m+n＝7﹣3＝4，故选B．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型．5．D【解析】试题分析：根据题意对各个选项进行分析从而得到最准确的答案．矩形，等腰梯形均能得到菱形但不够全面，菱形无法得到菱形，即只要对角线相等不管是什么形状均可，故选D．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．6．C【分析】先设x+y=t，则方程即可变形为t2-t-6=0，解方程即可求得t即x+y的值．【详解】解：设t=x+y，则原方程可化为：t（1-t）+6=0即-t2+t+6=0t2-t-6=0∴t=-2或3，即x+y=-2或3．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．7．B【解析】【分析】我们可设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据面积为18平方米，即长与宽的积是18平方米，列出方程解答即可．【详解】解：设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据题意列方程得8−25−2=18,解得x1=1，x2=5.5（不符合题意，舍去）．所以，花边的宽为1m．故选：B．【点睛】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．8．C【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.【详解】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为1 4．故选C．9．C【解析】分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．详解：∵关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，即（2m+1）2-4×（m-2）2×1＞0，解这个不等式得，m＞3 4，又∵二次项系数是（m-2）2，∴m≠2，故M得取值范围是m＞34且m≠2．故选C．点睛：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．10．D【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元即可得出方程．【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x则2014的教育经费为：2（1+x）万元，2015的教育经费为：2（1+x）2万元，那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．11．D【分析】二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．【详解】解：a2+4a﹣5＝a2+4a+4﹣4﹣5＝（a+2）2﹣9，故选：D．【点睛】本题考查了配方法的应用．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．12．C【解析】【详解】共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6;2、4、7;2、6、7;4、6、7共4种，其中能构成三角形的结果是2、6、7;4、6、7共2种，所以能构成三角形的概率=24=12．故选C．13．2x2﹣11x+2＝0利用整式是乘法法则打开括号，然后移项、合并同类项，最后就可以得到方程的一般形式．【详解】解：（x﹣5）（2x﹣1）＝3，∴2x2﹣11x+5﹣3＝0，∴2x2﹣11x+2＝0．故答案为：2x2﹣11x+2＝0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其中一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．14．52120【分析】已知菱形的两条对角线的长，即可计算菱形的面积，菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理即可计算菱形的边长，即可解题．【详解】解：如图菱形对角线互相垂直平分，所以AO＝5，BO＝12，∴AB＝13，故菱形的周长为4×13＝52，菱形的面积为12×24×10＝120．故答案为52、120．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理求AB的长是解题的关键．15．3 20用看新闻的人数除以被调查的总人数即可得．【详解】解：在该镇随便问一人，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率是4503000＝320，故答案为3 20．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．16．10【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有12x（x-1）份．【详解】设有x家公司参加，依题意得12x(x−1)=45，整理得：x2−x−90=0，解得：x1=10,x2=−9(舍去)，答：共有10公司参加商品交易会.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程.17．（1）x＝﹣3或x＝﹣6；（2）x＝﹣1或x＝3；（3）x【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得；（3）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵2（x+3）2＝x（x+3），∴2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，则（x +3）（x +6）＝0，∴x +3＝0或x +6＝0，解得x ＝﹣3或x ＝﹣6；（2）∵x 2﹣2x ﹣3＝0，∴（x +1）（x ﹣3）＝0，则x +1＝0或x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或x ＝3；（3）∵2x 2﹣9x +8＝0，∴a ＝2，b ＝﹣9，c ＝8，则△＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0，则x 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（1）表格见解析；（2）P （点落在一次函数的图象上）=316；（3）P （1y x >-）=316．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出所确定的点（x ，y ）落在一次函数y=x ﹣1的图象上的情况数，即可求出所求的概率；（3）找出所确定的数x 、y 满足y=x ﹣1的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）列表如下：（2）所有等可能的情况有16种，其中所确定的点（x，y）落在一次函数y=x﹣1的情况有3种，分别为（﹣1，﹣2）；（﹣2，﹣3）；（﹣3，﹣4），则P（点落在一次函数的图象上）=3 16；（3）∵小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足y>x−1的有：(−1,−1),(−2,−1),(−2,−2),(−3,−1),(−3,−2),(−3,−3),(4,−1),(−4,−2),(−4,−3),(−4,−4)，∴小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足y>x−1的概率为：105 168=.考点：1.列表法与树状图法2.一次函数图象上点的坐标特征．19．⑴证明见解析⑵5【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长【详解】⑴证明：如图∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC∴四边形AECF是平行四边形⑵解：∵四边形AECF 是菱形，∴AE=EC∴∠1=∠2分∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE∴BE=AE=CE=12BC=520．（1）AC ⊥BD ，AC ⊥BD 且AC ＝BD ；（2）S △AEH +S △CFG ＝14S 四边形ABCD ，见解析；（3）1【分析】（1）若四边形EFGH 为矩形，则应有EF ∥HG ∥AC ，EH ∥FG ∥BD ，EF ⊥EH ，故应有AC ⊥BD ；若四边形EFGH 为正方形，同上应有AC ⊥BD ，又应有EH=EF ，而EF=12AC ，EH=12BD ，故应有AC=BD ．（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．（3）由（2）可得S ▱EFGH =12S 四边形ABCD =1【详解】解：（1）若四边形EFGH 为矩形，则应有EF ∥HG ∥AC ，EH ∥FG ∥BD ，EF ⊥EH ，故应有AC ⊥BD ；若四边形EFGH 为正方形，同上应有AC ⊥BD ，又应有EH ＝EF ，而EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，故应有AC ＝BD ．（2）S △AEH +S △CFG ＝14S 四边形ABCD ．证明：在△ABD 中，∵EH ＝12BD ，∴△AEH ∽△ABD ．∴214AEH ABD S EH S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ．即S △AEH ＝14S △ABD 同理可证：S △CFG ＝14S △CBD∴S △AEH +S △CFG ＝14（S △ABD +S △CBD ）＝14S 四边形ABCD ．（3）由（2）可知S △AEH +S △CFG ＝14（S △ABD +S △CBD ）＝14S 四边形ABCD ，同理可得S △BEF +S △DHG ＝14（S △ABC +S △CDA ）＝14S 四边形ABCD ，故S ▱EFGH ＝12S 四边形ABCD ＝1．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定和性质，相似三角形的性质．21．127【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲报英语、乙报数学、丙报语文的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树形图由树形图可知所有可能情况共27中，其中甲报英语、乙报数学、丙报语文的情况有1中，所以甲报英语、乙报数学、丙报语文的概率为127．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）5；（2）不能，见解析【分析】（1）首先设每千克应涨价x 元，由题意，得涨价后每千克盈利（10+x ）元，销量为（500-20x ）千克，利用销量×每千克利润=总利润，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）设涨价x元时总利润为y元，根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值．【详解】解：（1）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x＝5或x＝10，∴为了使顾客得到实惠，所以x＝5．答：应该涨价5元；（2）设涨价x元时总利润为y元，由题意，得y＝（10+x）（500﹣20x），y＝﹣20x2+300x+5000，y＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∴当x＝7.5时，y取得最大值，最大值为6125元．利润不能达到10000元，答：利润不能达到10000元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示涨价后的销量和利润，再找出题目中的等量关系，列出方程．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．见解析【分析】（1）先根据AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根据AE是△ABC的外角平分线，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四边形ADCE为矩形；（2）根据四边形ADCE是矩形，可知F是AC的中点，由AB=AC，AD平分∠BAC可知D是BC的中点，故DF是△ABC的中位线，即DF∥AB，DF=12 AB；（3）根据矩形的性质可知当△ABC是等腰直角三角形时，则∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=CD．再运用邻边相等的矩形是正方形．问题得证．【详解】证明：如图（1）∵AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，∴AD平分∠BAC，∠B＝∠5，∴∠1＝∠2，∵AE是△ABC的外角平分线，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，即∠DAE＝90°，又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，又∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）∵四边形ADCE是矩形，∴AF＝CF＝12 AC，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝12 BC，∴DF是△ABC的中位线，即DF∥AB，DF＝12 AB．（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．∵在Rt △ABC 中，AD 平分∠BAC∴∠5＝∠2＝∠3＝45°，∴AD ＝CD ，又∵四边形ADCE 是矩形，∴矩形ADCE 为正方形．【点睛】本题考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定与性质和三角形外角平分线的性质，具有一定的综合性，需要灵活应用．24．（1）见解析；（2）90【分析】（1）根据角平分线的性质，求得90DAE ∠=︒，从而证明四边形为矩形；（2）根据正方形的性质，得到AD CD =，进而求得BAC ∠的度数．【详解】（1）证明： 在ABC ∆中， AB AC =，AD 是 BC 边的中线，∴AD BC ⊥， BAD CAD ∠=∠，∴ 90ADC ∠=︒，AN 为ABC ∆的外角CAM ∠的平分线，MAN CAN ∴∠=∠，90DAE ∴∠=︒，CE AN ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）∵四边形ADCE 是一个正方形∴AD CD=又∵90ADC ∠=︒∴45DAC DCA ∠=∠=︒由（1）得 BAD CAD ∠=∠∴290BAC DAC ∠=∠=︒【点睛】此题主要考查了矩形的证明和正方形的性质，熟练掌握有关性质及判定方法是解题的关键．25．（1）经过85s 或245sP 、Q 两点之间的距离是10cm ；（2）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为12cm 2．【解析】试题解析：()1过点P 作PE CD ⊥于E ．则根据题意，得设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．222(1623)610x x --+=，即2(165)64x -=，1658x ∴-=±，12824.55x x ，∴==经过8s 5或24s 5点P 和点Q 的距离是10cm ．（2）连接BQ ．设经过s y 后的PBQ △面积为212cm .．①当160,3x ≤≤时，则163PB y =﹣，112,2PB BC ⋅=即1(163)6122y ⨯⨯=﹣，解得 4.y =②当1622,33x ≤≤时，则3316,2BP y AB y QC y ，=-=-=11•(316)21222BP CQ y y =⨯=﹣，解得1226.3y y ==-，（舍去）.③2283x <≤时，21则22QP CQ PQ y ，=-=-11•(22)61222QP CB y =-⨯=，解得18.y =（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒PBQ △的面积为212cm ．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD 的长是（）A ．1B C ．2D ．2．下列命题中正确的是（）A ．有一组邻边相等的四边形是菱形B ．有一个角是直角的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的平行四边形是正方形D ．一组对边平行的四边形是平行四边形3．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（）A ．-2B ．2C ．-3D ．34．观察下列表格，求一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个近似解是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x 0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．0.11B ．1.6C ．1.7D ．1.195．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A ．7B ．7.5C ．8D ．8.56．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B ．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C ．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是47．已知关于x 的一元二次方程mx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）.A ．m ＞－1且m≠0B ．m ＜1且m≠0C ．m ＜－1D ．m ＞18．两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为25cm 2，则较大三角形的面积是（）A ．75cm 2B ．65cm 2C ．50cm 2D ．45cm 29．如图，点E ，F ，G ，H 分别是任意四边形ABCD 中AD ，BD ，CA ，BC 的中点．若四边形EFGH 是菱形，则四边形ABCD 的边需满足的条件是（）A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．AB=DC10．如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、填空题11．()2456x x -+=化成一般形式是____________，其中一次项系数是___________12．若23a b =，那么a a b+的值是___________13．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是_________．14．如图，已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点．若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=________15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝10，点P 是BC 边上一点，若△ABP 与△DCP 相似，则BP ＝______．三、解答题16．如图，矩形ABCD 中，AD =5，AB =7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D '落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为____．17．解方程（1）23830x x +-=（用配方法）（2）()()2323x x x -=-；18．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1：2；（2）连接（1）中的BB′，CC′，求四边形BB′C′C的周长．（结果保留根号）19．小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？20．某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?21．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）22．已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，CE DB ∥，交AB 的延长线于点E.求证：AC EC =.23．已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD 、AC 、BC 分别交于点E 、O 、F ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE 的面积．24．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，动点P 从点B 出发以2/cm s 的速度向点C 移动，同时动点Q 从点C 出发以1/cm s 的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t s .(1)t 为何值时，CPQ ∆的面积等于ABC ∆面积的18；(2)运动几秒时，CPQ ∆与ABC ∆相似?(3)在运动过程中，PQ 的长度能否为1cm ?试说明理由参考答案1．C 【详解】试题分析：∵菱形ABCD 的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB 是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD 的长是2．故选C ．考点：菱形的性质．2．B 【详解】试题分析：利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．A 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B 、正确；C 、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D 、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．考点：命题与定理．3．B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-b a，x1•x2=ca．要求熟练运用此公式解题．4．C【分析】利用表格中的数据得到x=1.6时，x2-x=0.96；x=1.7时，x2-x=1.19，于是可判断一元二次方程x2-x=1.1的一个解在1.6与1.7之间，更接近1.7，故可得解．【详解】令y＝x2﹣x，根据表格中的数据得到x=1.6时，x2-x=0.96；x=1.7时，x2-x=1.19，∴一元二次方程x2-x=1.1的一个解为1.6＜x＜1.7，更接近1.7，∴方程x2﹣x＝1.1的近似解为1.7．故选C．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．5．B【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AC BD CE DF=，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴436DF =，解得：DF=9 2，∴937.52BF BD DF=+=+=．故选B．考点：平行线分线段成比例．6．D【分析】根据折线统计图可以看出实验结果的概率在0.15到0.20之间，然后分别计算各选项事件的概率，在0.15到0.20之间的选项即为正确答案．【详解】解：从折线统计图中可以看出实验结果的概率在0.15到0.20之间．逐项分析如下：A．小明出剪刀的概率是10.333≈，不符合题意；B．抽到红桃的概率是130.2552=，不符合题意；C．取到黄球的概率是20.673≈，不符合题意；D．向上的面点数是4的概率是10.176≈，符合题意；故选D．【点睛】本题考查用频率估计概率，熟练掌握简单概率的计算是解题的关键．7．A【详解】∵一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，∴m≠0，且22－4×m×(﹣1)＞0，解得：m＞﹣1且m≠0.【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.8．D【详解】解：根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，列出比例式后求解即可．∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴面积之比为4：9，设较大三角形的面积为x，那么得到4：9=（x-25）：x，解得x=45cm2．故选D．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方9．D【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得11,22EF GH AB EH FG CD====，又由当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．【详解】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴11,22EF GH AB EH FG CD ====，∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．故选D．【点睛】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．10．D试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC=∠DCB ，∵∠ACD=∠ABC ，∴△EDC ∽△DCB ，同理：∠ACD=∠ABC ，∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ACD ，∵△ADE ∽△ABC ，△ABC ∽△ACD ，∴△ADE ∽△ACD ，∴共4对，故选D ．考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．11．214210x x -+=，-14【分析】先去括号、移项、合并同类项，得到方程的一般形式；再根据一般形式可得一次项的系数.【详解】解：()2456x x -+=即为2816560x x x -++-=，整理得214210x x -+=，其中一次项系数是-14.故答案为214210x x -+=；-14.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是20(a 0)++=≠ax bx c ，解题时要特别注意a ≠0的条件.12．25【分析】根据23a b =，得出b=32a ，再代入a a b +进行计算即可．【详解】解：∵23a b =∴b=32a,∴a a b +=3a 2aa +=25,故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握代入化简是解题的关键．13．20%．【解析】试题分析：因为该药品经过连续两次降价后由每盒200元调至128元，所以可设平均每次的降价率为x ，则经过两次降价后的价格是200（1-x ）2，即可列方程求解．设平均每次降价的百分率为x ，由题意得200×（1-x ）2=128解得x 1=0.2，x 2=1.8（不合题意舍去）答：这种药品平均每次降价率是20%．考点：本题考查的是一元二次方程的应用点评：本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题，但应注意解的取舍．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．14．512+【分析】可设AD=x ，根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，可得比例式，求解即可．【详解】∵沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，∴四边形ABEF 是正方形，∵AB =1，设AD =x ，则FD =x −1，FE =1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF AD FD AB=，1x =x-11，解得x 1=2,x 2=2(负值舍去)，经检验x 1=1+52是原方程的解.【点睛】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.15．2或8或5【分析】根据题意△ABP 与△DCP 相似，分两种情况讨论，①当△ABP ∽△PCD 时，②当△ABP ∽△DCP 时，分别得到比例式，代入数值，即可解答出．【详解】∵△ABP 与△DCP 相似，①当△ABP ∽△PCD 时，∴AB BP PC CD=，即AB CD BP PC ⋅=⋅，∵AB=4，AD=10，∴()4410BP BP ⨯=⋅-，解得，BP=2或BP=8；②当△ABP ∽△DCP 时，∴AB BP CD PC=，∴BP=PC=5，综上所述：BP=2或BP=8或BP=5．故答案为：2或8或5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质及相似三角形的性质，注意根据已知，分类讨论相似的条件，体现了分类讨论思想．16．52或53．【分析】连接BD′，过D′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P ⊥BC 交BC 于点P ，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．【详解】解：如图，连接BD′，过D′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P ⊥BC 交BC 于点P∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x ，则PD′=BM=x ，∴AM=AB-BM=7-x ，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x 2+（7-x ）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt △END′中，设ED′=a ，①当MD′=3时，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a ，∴a 2=22+（4-a ）2，解得a=52，即DE=52，②当MD′=4时，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a ，∴a 2=12+（3-a ）2，解得a=53，即DE=53．故答案为：52或53．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．17．（1）113x =，23x =-；（2）11x =，23x =【分析】（1）直接根据配方法即可求解；（2）直接根据因式分解法即可求解．【详解】解：（1）23830x x +-=28161633393x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭2425333x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭242539x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭45x 33+=±54x 33=±-∴113x =；23x =-（2）()()2323x x x -=-()()23230x x x -+-=()()x 3x 32x 0--+=()x 30-=或()x 32x 0-+=∴11x =，23x =【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟练根据方程特点选择合适的方法．18．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用勾股定理得出各线段长，进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）四边形BB′C′C 的周长为：222．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．19．（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析.【解析】判断游戏是否公平，即是看双方取胜的概率是否相同，若相同，则公平，不相同则不公平．20．每张贺年卡应降价0.1元．【分析】设每张贺年卡应降价x 元，等量关系为：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．【详解】设每张贺年卡应降价x 元，根据题意得：（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120，整理，得：21002030x x +-=，解得:120.1,0.3x x ==-（不合题意，舍去），∴0.1x =，答：每张贺年卡应降价0.1元．21．（1）见解析；（2）P=0、2、－2.【详解】解：（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，∴∵方程有整数解，∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．22．证明过程见解析.【分析】先由矩形的对角线相等得出AC=DB，再证明四边形CDBE是平行四边形，得出对边相等DB=CE，即可得出AC=CE．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=DB，AB∥DC，∴DC∥BE，又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形，∴DB=CE，∴AC=EC．【点睛】本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定是解决问题的关键．23．（1）略；（2）39.【分析】（1）根据ASA证明△AOE≌△COF，得EO=FO，从而得出四边形AFCE为平行四边形，进一步由FE ⊥AC ，即可证得结论；（2）根据勾股定理可求出AC 的长，再根据菱形的面积公式即可求得结果.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥FC ，∴∠EAO =∠FCO ，∵EF 垂直平分AC ，∴AO=CO ，FE ⊥AC ，又∠AOE =∠COF ，∴△AOE ≌△COF ，∴EO =FO ，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵FE ⊥AC ，∴平行四边形AFCE 为菱形；（2）在Rt △ABC 中，根据勾股定理得：13AC ===，又EF =6，∴菱形AFCE 的面积111363922S AC EF ==⨯⨯= .【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和菱形面积的计算、勾股定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键.24．（1）32或12秒；（2）65秒或1611秒；（3）PQ 的长度不能为1cm ，理由见解析【分析】(1)根据三角形的面积列方程即可求出结果；(2)设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt △ABC ∽Rt △QPC ，②若Rt △ABC ∽Rt △PQC ，然后列方程求解；(3)根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ 的长度能否为1cm ．【详解】解：(1)经过t 秒后，42PC t =-，CQ t =，由题意知，02t <<，当CPQ ∆的面积等于ABC ∆面积的18时，即()1114234282t t ⨯-=⨯⨯⨯，解得：132t =，212t =，满足题意，所以经过32或12秒后，当CPQ ∆的面积等于ABC ∆面积的18时；(2)设经过t 秒后两三角形相似，①若Rt ABC Rt QPC ∆∆ ，则AC QC BC PC =，即3442t t =-，解之得65t =；②若Rt ABC Rt PQC ∆∆ ，则PC AC QC BC =，即3424t t -=，解之得1611t =；又02t <<，满足题意，所以要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为65秒或1611秒；(3)90C ∠=︒ ，若1PQ =，则()22421t t -+=，2516150t t ∴-+=22256b ac -= 300440-=-<所以此方程无实数解，PQ 的长度不能为1cm .【点睛】本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，一元二次方程的运用，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键。
北师大版九年级上册数学期中考试试题含答案详解
北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．方程()20x x +=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．120,2x x ==D ．120,2x x ==-2．下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．154．用配方法解一元二次方程x 2﹣4x+3＝0时可配方得（）A ．（x ﹣2）2＝7B ．（x ﹣2）2＝1C ．（x+2）2＝1D ．（x+2）2＝25．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角相等B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对边相等6．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣1＝0的一个根为0，则m 为（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或﹣17．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2016年用于绿化投资20万元，2018年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++=8．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD 的面积是（）A ．18B ．3C ．36D ．39．如图，DE ∥FG ∥BC ，若DB=4FB ，则EG 与GC 的关系是（）A ．EG=4GCB ．EG=3GC C ．EG=52GC D ．EG=2GC10．如图，正方形ABCD 中，AE ＝AB ，直线DE 交BC 于点F ，则∠BEF ＝（）A ．45°B ．30°C ．60°D ．55°二、填空题11．方程23530x x -=-的一次项系数是__________.12．把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a≠0)形式为___________，b 2-4ac=___________．13．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是____㎝2．14．若2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，则b ＝__________15．如图，DA ∥EB ∥CF ，DE=6，EF=7，AB=5，则AC=_______16．已知长方形ABCD ，AB=3cm ，AD=4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 垂直平分线EF ，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为__________cm．三、解答题17．解方程：x2-6x+5=018．已知：a，b，c，d是成比例线段，其中a＝12，b＝5，c＝18，求线段d的长19．已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．20．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）21．已知，如图菱形ABCD的边长为13cm，对角线BD长为10cm.求（1）对角线AC的长度;（2）菱形ABCD的面积.22．利用旧墙为一边（旧墙长为7米），再用14米长的篱笆围成一个面积为20平方米的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是多少米？23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB=（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .25．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△BGF ∽△DCF ．参考答案1．D 【分析】根据一元二次方程的解法求解即可；【详解】()20x x +=，0x =或20x +=，解得0x =或2x =-；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．2．B 【详解】【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，逐一进行判断可得答案．【详解】①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键．3．A 【解析】试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P(向上一面为奇数)31.62==故选A.4．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化1，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．【详解】∵x 2﹣4x+3=0，∴x2﹣4x=﹣3，∴x2﹣4x+4=﹣3+4，∴（x﹣2）2=1．故选B．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．C【详解】试题分析：举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，故选C．6．C【分析】将0代入一元二次方程中建立一个关于m的一元二次方程，解方程即可，再根据一元二次方程的定义即可得出答案.【详解】解：依题意，得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及一元二次方程的定义，准确的运算是解题的关键.7．C【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列方程即可，设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2016年用于绿化投资20万元，2018年用于绿化投资25万元”，可得出方程．【详解】设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=25故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．8．B【详解】试题分析：过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=∴菱形ABCD的面积是6 =，故选B．考点：菱形的性质．9．B【详解】分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．详解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31 EG DFGC FB＝＝=3．故选B．点睛：此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．10．A【分析】先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【详解】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=12（180°-∠BAE）=90°-12x°，∠DAE=90°-x°，∠AED=∠ADE=12（180°-∠DAE）=12[180°-（90°-x°）]=45°+12x°，∴∠BEF=180°-∠AEB-∠AED=180°-（90°-12x°）-（45°+12x°）=45°．∴∠BEF=45°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．11．-5【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．【详解】方程3x2﹣5x﹣3=0的一次项系数是﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．12．x2+3x－4=025【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．把a、b、c的值代入计算即可得到b2-4ac 的值．【详解】一元二次方程4﹣x2=3x的一般形式是x2+3x﹣4=0，b2-4ac=2341(4)91625-⨯⨯-=+=．故答案为：x2+3x﹣4=0，25．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项时要注意符号的变化．13．24【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6×8=24cm2，故答案为24．14．﹣3【分析】把x=2代入方程x2+bx+2=0得出方程4+2b+2=0，求出方程的解即可．【详解】把x=2代入方程x2+bx+2=0得：4+2b+2=0，解得：b=﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是能否得出一个关于b的方程．15．65 6【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC，计算即可．【详解】∵DA∥EB∥CF，∴AB DE BC EF=，即576 BC=，∴BC=35 6，∴AC=AB+BC=3556+=656．故答案为：65 6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解答本题的关键．16．78【详解】连接EB，∵BD垂直平分EF，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=7故答案为78cm．17．x=1或x=5.【解析】试题分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）=0，x﹣1=0，x﹣5=0，x1=1，x2=5．【考点】解一元二次方程-因式分解法．18．7.5【分析】根据成比例线段的定义列式，将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】∵a，b，c，d是成比例线段，∴a：b=c：d，∴ad=cb，代入a=12，b=5，c=18，∴12d=5×18解得：d=7.5．故线段d的长为7.5．【点睛】本题考查了比例线段．掌握线段成比例的性质是解答本题的关键．19．m=1，n=-2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求m、n的值.【详解】解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴2m12m n-+=-⎧⎨-=⎩，解得，m1n2=⎧⎨=-⎩∴m，n的值分别是1、﹣220．（1）13；（2）49．【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可；（2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可．【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即1,2,3,4,5,6，它们每一种出现的可能性相等其中，小球上数字小于3的结果有2种，即1,2故小球上数字小于3的概率为2163 P==；（2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下：4561（1,4）（1,5）（1,6）2（2,4）（2,5）（2,6）3（3,4）（3,5）（3,6）其中，数字之和为偶数的结果有4种，即(1,5),(2,4),(2,6),(3,5)故两个小球上数字之和为偶数的概率为49 P=．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．21．（1）AC=24cm;（2）S ABCD=120(cm2)【解析】考点：菱形的性质．分析：（1）因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AE 或CE 的长，从而求得AC 的长；（2）利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积．解答：（1）∵四边形ABCD 为菱形∴∠AED=90°∵DE=1/2BD=1/2×10=5（cm ）∴AE 2=AD 2-DE 2=132-52=144∴AE=12（cm ）∴AC=2AE=2×12=24（cm ）（2）S 菱形ABCD =S △ABD +S △BDC=1/2BD?AE+1/2BD?CE=1/2BD （AE+CE ）=1/2BD?AC=1/2×10×24=120（cm 2）点评：主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半和菱形的对角线性质，综合利用了勾股定理．22．该长方形的长为5米，宽为4米【分析】设相对墙的一边为x 米，那么另一边长为142x -米，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】设相对墙的一边为x 米(07x <<)，依题意得：14•202x x -=整理得：214400x x -+=解得：14x =，2107x =>(不合题意，舍去)．当x=4时，141445 22x--==．∴该长方形的长为5米，宽为4米．答：该长方形的长为5米，宽为4米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．23．销售单价为80元．【分析】设每件需涨价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出利润y与降价x之间的方程，然后解出x，进而结合成本不超过10000元得出x的值．【详解】解：设每件需涨价x元，则销售价为（50+x）元．月销售利润为y元．由利润=（售价-进价）×销售量，可得8000=（50+x-40）×（500-10x），解得x1=10，x2=30．当x1=10时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了10000元，不合题意，舍去；当x2=30时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），低于10000元，符合题意．答：销售单价为80元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每天的利润=一件的利润×销售量，进而建立等式是解题关键．24．（1）证明见解析；（2）8【解析】分析：（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．详解：（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．25．见解析．【分析】先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠DCF=90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F为公共角即可得出结论．【详解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90︒，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF=∠CBE∵∠CDF＋∠F=90︒∴∠CBE＋∠F=90︒∴∠BGF=90︒=∠DCF∴△BGF∽△DCF【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．。