2020高考数学(理)三轮复习每日一卷试题+参考答案+评分标准 (24)
2020高考数学三轮每日一卷 第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|13}Axx，{|12}Bxx，则ABI （A）{|13}xx （B）{|11}xx （C）{|12}xx （D）{|23}xx 2． 命题“000(0+)ln1xxx,，”的否定是 （A）000(0+)ln1xxx,， （B）000(0+)ln1xxx,， （C）(0+)ln1xxx,， （D）(0+)ln1xxx,， 3． 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是 （A）yx （B）21yx
（C）cosyx （D）12yx
4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(000),,，(001),,，(110),,，(101),,， 则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为 （A）14 （B）12 （C）34 （D）1
5．已知菱形ABCD边长为1，=60BAD，则=BDCDuuuruuurg
（A）12 （B）12 （C）32 （D）32
6．双曲线2241xy的离心率为 （A）5 （B）52 （C）3 （D）32 7．已知公差不为0的等差数列na，前n项和为nS，满足3110SS，且124aaa,,成等比数列，则3a （A）2 （B）6 （C）56或 （D）12
8. 在261()xx的展开式中，常数项是 （A）20 （B） 15 （C）15 （D）30 9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q. 科学研究发现v与3log100Q成正比. 当1m/sv时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m/sv=时，其耗氧量的单位数为 （A）1800 （B） 2700 （C）7290 （D）8100 10. 在边长为2的等边三角形ABC中，点DE，分别是边ACAB，上的点，满足DE‖BC且ADAC
((01)),，将△ADE沿直线DE折到△ADE的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是
（A）在边AE上存在点F，使得在翻折过程中，满足BF‖平面ACD （B）存在1(0)2,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面ABC平面BCDE
（C）若12，当二面角ADEB为直二面角时，104AB （D）在翻折过程中，四棱锥ABCDE体积的最大值记为()f，()f的最大值为239
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 复数11i+的实部为 ． 12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答） 13. 已知abc,,分别为△ABC内角ABC,,的对边，22cab且1sinsin2AC，则cosA ． 14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件： ①所有的奇数项满足2121nnaa，所有的偶数项满足222nnaa； ②任意相邻的两项21na，2na满足21na2na. 根据上面的信息完成下面的问题： （i）数列123456，，，，， “有趣数列”（填“是”或者“不是”）；
（ⅱ）若2(1)nnann，则数列na “有趣数列”（填“是”或者“不是”）. 15．已知抛物线24Cyx：的焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物线C于AB,两点，若4AF，则△AOB的面积为 ． 16．定义域为R的函数()fx同时满足以下两条性质： ①存在0xR,使得0()0fx； ②对于任意xR，有(1)2()fxfx. 根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i）若()fx是增函数，则()fx ； （ⅱ）若()fx不是单调函数，则()fx .
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分） 已知函数2()sincos3cosfxxxx. （Ⅰ）求π()3f的值； （Ⅱ）求()fx在区间π[0]2,上的最大值.
18.（本小题共14分） 如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC，π2BAC，
11AAABAC，1CC的中点为H.
（Ⅰ）求证：1ABAC； （Ⅱ）求二面角1ABCA的余弦值； （Ⅲ）在棱11AB上是否存在点N，使得HN‖平面1ABC？若存在，求
出111ANAB的值；若不存在，请说明理由．
19.（本小题共13分） 目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％. 现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表： A小区 B小区 C小区 D小区 E小区 废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量（吨） 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3 （Ⅰ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率； （Ⅱ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．
20.（本小题共13分） 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线60xy相切. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS分别交直线4x于A，B两点. 求证：A，B两点的纵坐标之积为定值.
21.（本小题共14分） 已知函数321(1)()32afxxxax. （Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(0(0))f,处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()fx的单调性； （Ⅲ）对于任意1x，2[02]x,，都有122()()3fxfx，求实数a的取值范围. 22.（本小题共13分） 已知*2nnN，，给定nn个整点()xy,,其中1xynxy*N,,,. （Ⅰ）当2n时,从上面的22个整点中任取两个不同的整点1122()()xyxy,,,，求12xx的所有可能值； （Ⅱ）从上面nn个整点中任取m个不同的整点，512nm.
（i）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111yxyxyxyx，满足11yy, 2212yyyy,；
（ii）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111yxyxyxyx，满足 2211xxxx,.21yy
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 6
参考答案及评分参考 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A A B C D D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．12 12．15 13．78
14．是；是 15．(10),；433 16．2x；2sin2xx(答案不唯一) 注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分. 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）2ππππ()sincos3cos3333f
23113()222
32. ……………….4分（Ⅱ）
2()sincos3cosfxxxx
1cos21sin2322xx
π3sin(2)32x.
因为π[0]2x,，所以ππ4π2[]333x,. 当ππ232x，即π12x时， ()fx取得最大值312. ……………….13分
18.（本小题共14分） 7
证明：（Ⅰ）因为1AA平面ABC，AB平面ABC，所以1AAAB. 因为π2BAC，所以ACAB. 又因为1ACAAAI， 所以AB平面1AAC. 因为1AC平面1AAC，所以1ABAC. ……………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB，AC，1AA两两互相垂直， 如图，建立空间直角坐标系Axyz． 因为11AAABAC， 所以(000)A，，，(100)B，，，(010)C，，，1(001)A，，. 因为1AA平面ABC， 所以1(001)AAuuur,,即为平面ABC的一个法向量. 设平面1ABC的一个法向量为()xyz,,n，
1(101)ABuuur,,，1(011)ACuuur,,，
则1100.ABACuuuruuur,nn 即00.xzyz, 令1z，则11xy,. 于是(111),,n.
所以1113cos3AAAAAAuuuruuuruuur,nnn.
由题知二面角1ABCA为锐角，所以其余弦值为33. ……………….10分
（Ⅲ）假设棱11AB上存在点()Nxyz,,，使得HN‖平面1ABC. 由111(01)ANABuuuruuuur，又11(100)ABuuuur,,，故1(0)0ANuuur,,.
2020年【通用版】高考数学(三轮复习)冲刺专题《数学思想方法》(含答案)
专题 数学思想方法专项【训练目标】1、 领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法； 【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e x xx x D.1221e <e x xx x 【答案】C 【解析】设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确； 设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －1x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g xex>1的解集为________.【答案】(－∞，0)3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【解析】∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6，－2]故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23【答案】D 【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 【答案】C7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】由已知得， 等差数列{a n }的公差d >0， 设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称， 故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 【答案】 －9 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103，∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5， 点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D.3 【答案】B所以点A 到直线y ＝b ax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－12＝aba 2＋b 2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)， 在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝3R 2a 2＋b2，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. 【答案】 23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. 【答案】22或－22依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－22－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝22－k2k 2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ， 即k AF ·k BF ＝－1， 所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③ 把x 1＋x 2＝22－k2k2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22， 经检验k ＝±22适合②式. 综上所述，k ＝±22.2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x－1x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 B2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 【解析】x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4， 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________.【答案】－7 【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)【答案】D 【解析】方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________.【答案】 [2－1，＋∞)【解析】 集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12【解析】作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a的取值范围为________. 【答案】 [0，＋∞)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点， 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ， 所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝c a＝ 5.11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________. 【答案】 2 2 【解析】连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l 时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.【配套练习】1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＋f ′(x )>1，设a ＝f (2)－1，b ＝e[f (3)－1]，则a ，b 的大小关系为( )A.a <bB.a >bC.a ＝bD.无法确定【答案】A2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 【答案】C【解析】 因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π 【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b ax 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB→＝2FA →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 【答案】C5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)【答案】C由对勾函数的性质知，当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2， ∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.[－3－22，－3＋22]B.[－3＋22，0]C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) 【答案】C8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)【答案】A 【解析】由题意知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3x3x ＋12＋1＋cos x >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立， 即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1]. 则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.【答案】2 3【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h.则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.10.若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】(0，2)【解析】由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点， 可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x－2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. 【答案】(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545，即r ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3305， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×(10－r 2)<0，解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ2＝9－r 2>0，φ－2＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________.【答案】{2e} 【解析】 关于x 的不等式e x －x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x －x 22－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94， 所以a －94＝2e －94， 解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。
数学理(全国Ⅲ卷)丨2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试卷及答案
机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈N *，y ≥x}，B ＝{(x ，y)|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.62.复数113i -的虚部是 A.－310 B.－110 C.110 D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B.p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C.p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D.p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.24.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数。
当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3) A.60 B.63 C.66 D.695.设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A.(14，0) B.(12，0) C.(1，0) D.(2，0) 6.已知向量a ，b 满足|a|＝5，|b|＝6，a ·b ＝－6，则cos<a ，a ＋b>＝A.－3135 B.－1935 C.1735 D.19357.在△ABC 中，cosC ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cosB ＝A.19B.13C.12D.238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.6＋2B.4＋2C.6＋3D.4＋3 9.已知2tan θ－tan(θ＋4π)＝7，则tan θ＝ A.－2 B.－1 C.1 D.210.若直线l 与曲线y x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为 A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1 D.y ＝12x ＋1211.设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C上一点，且F 1P ⊥F 2P 。
2020届高考实战3套卷-全国卷(一)数学(理) 试题答案
【解析】因为 f (x) cos x cos sin x sin cos( x )，所以将
2
2
2
f (x) 的图象向右平移 π 个单位长度后，所得函数图象的解析式 3
g(x) cos(1 x π ) .因为 g(x) 的图象关于点 (π，0) 对称，所 26
A1 A2 与 A1 A2 互斥， B1 与 B2 互斥，且 B1 A1A2 ，
B2 A1 A2 A1A2 ，C B1 B2 ，--------------- 2 分
P( A1)
4 10
2 5
，
P( A2 )
5 10
1 2
P(B1)
P( A1A2 )
P( A1)P( A2 )
2 5
1 2
2 24
14.【【答解案析】】5 BA7
AC
3
，
b
cos
A
3
.
A π ，cos A 1 ，bc 6 .
3
2
cos A b2 c2 a2 1 ，b2 c2 7 bc ，
2bc
2
(b c)2 7 3bc ，(b c)2 25 ，b c 5 .
ABC 的周长为 5 7 .
平面 AMD ，所以 D 项正确.故选 D.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13.【答案】 ln 1 7 24
【解析】 f (x) 3e2x 5ex x ， f (x) 6e2x 5ex 1 .
令 f (x) 0 ，得 ex 1 或 ex 1 ， x (∞，ln 1) (ln 1 ， ∞) .
2020年高考数学试卷-(理3卷含答案)
2020年高考数学试卷－（理科全国Ⅲ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}*,,|),{(x y N y x y x A ≥∈=，}8|),{(=+=y x y x B ，则B A 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．复数i 311-的虚部是（ ）A ．103-B ．101-C ．101 D ．103 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且∑==411i ip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A ．1.041==p p ，4.032==p p B ． 4.041==p p ，1.032==p pC ．2.041==p p ，3.032==p pD ．3.041==p p ，2.032==p p4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数)(t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：)53(23.01)(--+=t eK t I ，其中K 为最大确诊病例数.当Kt I 95.0)(*=时，标志已初步遏制疫情，则*t 约为（319ln ≈）（ ）A ．60B ．63C ．66D ．695．设O 为坐标原点，直线2=x 与抛物线)0(2:2>=p px y C 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则的焦点坐标为（ ）A ．)0,41(B ．)0,21(C ．)0,1(D ．)0,2(6．已知向量a ，b 满足5||=a ，6||=b ，6-=⋅b a ，则>=+<b a a ,cos （ ）A ．3531-B ．3519-C ．3517 D ．3519 7．在ABC △中，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．若直线与曲线和圆相切，则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 11.已知双曲线()2222:10,0-=>>x y C a b a b的左右焦点21,F F ，离心率为5.P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥.若21F PF ∆的面积为4，则=a （ ）A ． 1B ．2C ．4D ．812．已知5458<,45138<.设53a log =,85b log =,138c log =,则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ卷)及答案
绝密★启用前2020年高考数学（理科）（全国新课标Ⅲ）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为（）A.2B.3C.4D.62.复数113i -的虚部是（）A.310- B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）（）A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A.（41，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）6.已知向量，a b 满足5||=a ，6||=b ，6-=⋅b a ，则>+<b a a ，cos =（）A.3135-B.1935-C.1735D.19357.在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =，则cos B =（）A.91 B.31 C.21 D.328.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.442+C.623+D.423+9.已知7)4tan(tan 2=--πθθ，则tan θ=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为（）A.12+=x yB.212+=x y C.121+=x y D.2121+=x y11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．812.已知5458<，45138<，设，，，8log 5log 3log 1385===c b a 则（）A.cb a ＜＜ B.ca b ＜＜ C.ac b ＜＜ D.ba c ＜＜二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)附答案
(400,600]
25 12 8 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表)
(3)若某天的空气质量等级为 1 或 2:则称这天"空气质量好"若某天的空气质量等级 为 3 成 4,则称这天"空气质量不好"·根据所给数据,完成下面的 2×2 列联表并根据列 联表,判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质 量有关?
的离心率为 ，A，B 分别为 C 的左右顶
点. （1）求 C 的方程； （2）若点 P 在 C 上,点 Q 在直线 x=6 上,且|BP|=|BQ|,BP
BQ,求
APQ 的面积.
21. 设函数 f(x)=x3+bx+c,曲线 y=f(x)在点
处的切线与 y 轴垂直
(1)求 b; (2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.
f(x)的图像关于 y 轴对称. f(x)的图像关于原点对称,
f(x)的图像关于直线 x= 对称.
f(x)的最小值为 2.
其中所有真命题的序号是__________. 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 设数列{ }满足 =3, = -4n.
(1) 计算 , , 猜想{ }的通项公式并加以证明;
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22. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
(t 为参数且 t 1),C
与坐标轴交于 A,B 两点.
(1)求|AB|;
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程.
2020年高考数学全真模拟试卷(二十四)【含答案解析】
绝密★启用前2020年高考数学全真模拟试卷（二十四）数学（理）试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.如图所示，点()1,0A ，B 是曲线231y x =+上一点，向矩形OABC 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ）A. 12B.13C.14D.252.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A.23B.43C.13D.163.定义1nii nu=∑为n 个正数123,,,n u u u u ⋅⋅⋅的“快乐数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“快乐数”为131n +，则数列136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前2019项和为（ ） A. 20182019B.20192020C.20192018D.201910104.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n值为（ ）（参考数据：7.50.1305,150.2588sin sin ≈≈o o）A. 6B. 12C. 24D. 485.已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π- B. 0 C.3π D.23π 6.设集合2{}}|2|{13A x x B x x ＝＜，＝＜，则A ∩B =（ ） A. {x ｜x <3 B. { x 3x <<12}C. { x ｜3x -<<12} D. { x ｜3x <}7.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（ ） A.3455i + B.3455-i C. 3455i -+ D. 3455i -- 8.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ） A. 15B.14C.13D.129.已知AB u u u v=(2,3)，AC u u u v =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A. -3B. -2C. 2D. 310.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭11.函数()32ln1y x x x =++-的图象大致为（ ）A. B.C. D.12.已知点F 1是抛物线2:2C x py =的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） 21 B. 221 2162+第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）（22x +1xy）6的展开式中不含x 的项的系数为_____________．（用数字作答） 14.设正三棱锥P -ABC 的高为H ，且此棱锥的内切球的半径R =17H ，则22H PA＝_______． 15.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为______________． 16.已知7sin cos 5αα+=，且α是第一象限角，则tan 2α=________. 三、解答题（本题共7道小题，每小题10分，共70分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l 的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A 、B 两点的距离之积. 18..已知(),()1(x f x e g x x e ==+为自然对数的底数). (1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333nm ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值.19.已知函数()ln ,()(1)f x x x g x a x ==-. （Ⅰ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的值；（Ⅱ）存12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，12()()f x f x =，求证：0f '<．20.某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响． (Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 21.已知锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，其中A 点坐标34(,)55. （1）求1sin 2cos 2αα+的值；（2）若5sin()13αβ+=-，求B 点坐标. 22..某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？ 23.已知函数()2sin f x x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 在33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最值； （Ⅱ）若存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得不等式()f x ax <成立，求实数a 的取值范围．试卷答案1.A 【分析】根据定积分求阴影部分面积，再根据几何概型概率公式求结果.【详解】阴影部分面积为12310(431)(3)2x dx x x --=-=⎰，所以所求概率为21=142⨯，选A. 【点睛】本题考查利用定积分求面积以及几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.A 【分析】由三视图还原几何体，可确定几何体的底面和高，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体如下图所示的三棱锥：可知AB BC ⊥，22AB BC ==，三棱锥的高2h =11123323P ABC ABC V S h AB BC h -∆∴=⋅=⨯⨯⨯=本题正确选项：A【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图准确还原几何体，属于常考题型. 3.B 【分析】根据“快乐数”定义可得数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+；利用n a 与n S 关系可求得数列{}n a 的通项公式，从而得到()()()1361221n n a a n n +=+++，采用裂项相消法可求得结果.【详解】设n S 为数列{}n a 的前n 项和由“快乐数”定义可知：131n n S n =+，即23n S n n =+ 当1n =时，114a S ==当2n ≥且n *∈N 时，162n n n a S S n -=-=-经验证可知14a =满足62n a n =- ()62n a n n N *∴=-∈()()()()136361112266611n n a a n n n n n n +∴===-++⋅+++∴数列()()13622n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前2019项和为：1111120191223201920202020-+-+⋅⋅⋅+-= 本题正确选项：B【点睛】本题考查根据n S 求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前n 项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到n S ；从而利用n a 与n S 的关系求解出数列的通项公式. 4.C 【分析】根据程序框图运行程序，直到满足 3.10s ≥时输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序，输入6n =则3sin 60s ==o ，不满足 3.10s ≥，循环； 12n =，6sin 303s ==o ，不满足 3.10s ≥，循环；24n =，12sin15 3.1056s =≈o ，满足 3.10s ≥，输出结果：24n =本题正确选项：C【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果，关键是能够准确判断是否满足输出条件，属于基础题. 5.D 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 6.B 【分析】分别求出解出集合A ，B ，利用交集的运算即可求出。
高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)
2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (24)
高三理科数学模拟试卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合2{|430}M x x x =-+<,集合N={ x|lg(3-x)>0},则M N =I ( )A. {x|2<x<3}B. {x|1<x<3}C. {x|1<x<2}D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】 试题分析：因为，，所以，故选C.考点：集合的运算、不等式的解法. 【详解】 请在此输入详解！2.设命题甲：关于x 的不等式2240x a x ++>对一切x ∈R 恒成立，命题乙：对数函数42l o g a y x -=（）在(0,)+∞上递减，那么甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：若x 的不等式2240x a x ++>对一切x ∈R 恒成立，则2(2)440a -⨯<，解得22a -<<；42l o g a y x -=（）在(0,)+∞上递减，则0421a <-<，解得322a <<，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.考点：1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质.3.设()0.50.433434,,l o g l o g 4,43a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（ ） A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】C 【解析】【分析】本题由已知中()0.50.433434l o gl o g 443a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出a b c 、、与01、的大小关系，进而得到答案．【详解】因为()0.50.433434l o gl o g 443a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、， 所以0.50330144⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即01a <<， 因为0.4044133⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1b >， 因为()()33333444l o g l o g 4l o g l o g 3l o g 10<==，即0c <，所以c a b<<，故选C ． 【点睛】本题考查的是指数以及对数的相关性质，考查计算能力，当我们在判断对数或者指数的大小的时候，可以借助对数函数以及指数函数的相关性质，也可以通过判断数值与某一些特殊值的大小关系来间接比较大小．4.函数()l n 2f x x x =+-的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】函数()l n 2f x x x =+-的零点个数⇔函数l n 2x x =-+⇔函数ln y x =与函数2y x =-+的图象的交点个数,画出函数ln y x =和函数2y x =-+的图象,利用数形结合思想即可求解.【详解】令函数()l n g x x =,()2hx x =-+,作出函数()(),g x h x 的图象如图所示:由图象知,函数()l n g x x =的图象与函数()2hx x =-+的图象只有一个交点, 所以函数()l n 2f x x x =+-的零点个数为1.故选:B【点睛】本题考查函数零点个数的判断;数形结合思想和转化与化归思想的应用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有 A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 12种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，②，该同学参观两个画展，求出每种情况的参加方案的数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，在“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”中任选1个，有122C = 种选法， 可以在“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”中任选1个，有122C = 种选法， 将选出2的2个展览安排在五一的上、下午，有22A 种情况， 则只参观一共画展的方案有2228⨯⨯= 种， ②，该同学参观两个画展，将“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”全排列，安排在五一的上、下午，有22A 种情况，即参观两个画展有2种方案，则不同的参观方案共有8210+= 个； 故选C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．6.若函数()()i n f x x πω-5sin 2x πω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A .22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【答案】A 【解析】 分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过αβ- 的最小值是2π推出函数的最小正周期，然后得出ω的值，最后得出函数的单调递增区间． 【详解】()()i n f x x πω- 5sin 2x πω⎛⎫++ ⎪⎝⎭()i n x ω ()c o s x ω+ 2s in 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭再由()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π可知，1ω=．() 2s i n 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈ 22,233x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈． 【点睛】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．7.如图所示，平面直角坐标系xO y 中，阴影部分是由抛物线2y x =及线段O A 围成的封闭图形，现在在O A B ∆内随机的取一点P ，则点P 恰好落在阴影内的概率为（ ）A.23B.43C.49D.29【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,求出O A B ∆的面积和阴影部分的面积,利用与面积有关的几何概型公式即可求解.【详解】根据题意,O A B ∆的面积为13462O A B S ∆=⨯⨯=, 阴影部分的面积为22184=24-4233S x d x ⨯⨯=-=⎰阴影， 由与面积有关的几何概型公式可得,点P 恰好落在阴影内的概率为42369OABS P S ∆===阴影, 故选:D【点睛】本题考查与面积有关几何概型和利用定积分求曲边图形的面积;正确求出阴影部分面积是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8.函数()()12·s i nc o s 12xx f x x -=+的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由题意，f （﹣x ）=()12·s in c o s 12x x x -+=﹣1212xx-+•sin （cosx ）=﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，排除A ， f （0）=0，排除D ，f （2π）=0，排除C ，故选B ．9.()5112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ） A. 120 B. 160 C. 100 D. 80【答案】A 【解析】()()()55511121212x x x x x x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，()512x x Q +的展开式中含3x 的项为()()252351240,12x C x x x x ⋅=+的展开式中含3x 的项为()413351280,C x x x x⋅=∴的系数为4080120+=，故选A.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r nr r r nT a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.将函数()fx 2c o s x i n x =的图象向左平移φ（φ0>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式，可将函数化为()4c o s 3f xx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而得到平移后函数的解析式，由题可知0x =为函数的对称轴，结合余弦型函数的对称性，即可求出答案.【详解】()2c o s i n 4c o s 3f x x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 将其图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，对应的解析式为4c o s 3y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于4c o s 3y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，即0x =为对称轴， 则,3k k Z πϕπ+=∈，则3k πϕπ=-+，由于0ϕ>，故当1k =时，取得最小值23πϕ=. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数辅助角公式的应用，函数的图象变换以及余弦型函数的图象与性质，综合性较强，属于中档题.11.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)－f(x)＝xlnx ，11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( ) A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值【答案】D 【解析】因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，所以2()()l n x f x f x x x x '-=，所以()ln ()f x x x x'=，所以f (x )＝12x ln 2x ＋cx .因为f (1e )＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e，所以c ＝12，所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12 (ln x ＋1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D. 点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造()()xf xg x e=，()()f x f x '+构造()()x gx ef x =，()()x f x f x '-构造()()f x g x x =，()()x f x f x +'构造()()gx x f x =等12.设函数1222,2()1130,2x x f x x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f cf d ===，则2222a b c d+++的取值范围是（ ） A. (6422,146)+ B. (98,146) C. (6422,266)+ D. (98,266) 【答案】B 【解析】不妨设a b c d <<<，由112222a b ++-=-，得222a b +=，结合图象可知，()11,4,5c d c +=∈，则11112222222cdcccc -+=+=+，令()()1121632gt t t t =+<<，可知()g t 在()16,32上单调递减，故()2296,144c d +∈，则()222298,146a b c d+++∈，故选B. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二.填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分）13.某班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_____.【答案】16【解析】【分析】根据系统抽样抽取样本的方法知,需要把56人均分为4组,因为第一组抽取同学的学号为2,所以每组的第二名同学的学号被抽取,据此即可求解.【详解】由题意得,需要从56人中分为4组,每组的第二名同学的学号被抽取,⨯+=被抽取.所以还有一位同学的学号为114216故答案为:16【点睛】本题考查利用系统抽样抽取样本;属于基础题、常考题型.14.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为．【答案】【解析】试题分析：在中，，由正弦定理得，即，解得．在中，，．故答案为．考点：解三角形的实际应用.【方法点晴】本题属于解三角形的实际应用问题，考察正弦定理余弦定理的内容.先数形结合确定要解的三角形，一般都是从已知条件较多的三角形入手，本题中现在中，求出601545,18060120M C A A M C ∠=-=∠=-=o o o oo o，利用正弦定理解出6006A C =，再在A C D ∆中，由直角三角形条件即可解得.15.已知函数()()()20210xe xf xa x x -⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩，，＞ (a 是常数且a >0)．对于下列命题： ①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜. 其中正确命题的序号是____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①由图只需说明在点0x =处函数f x （）的最小值是-1； ②只需说明函数f x （）在R 上的单调性即可； ③只需说明0f x （）＞在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上恒成立，则当12x =时，函数取得最小值，从而求得a 的取值范围是1a ＞；④已知函数在0-∝（，）上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方【详解】根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )>0在上恒成立，则2a ×－1>0，a >1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f <()()12f 2x f x + 成立，故④正确．答案 ①③④【点睛】利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法． 16.设函数()2625xmf x xe mx=+-，对任意正实数x ，f （x ）≥0恒成立则m 的取值范围为_____ 【答案】1250,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由题意知, 对任意正实数x ，f （x ）≥0恒成立等价于22325x x e m x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意正实数x 恒成立,令22123,25x x y e y mx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,只需要0x >时,函数函数2212x x y e =的图象在函数235y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的上方或重合即可,利用数形结合的思想即可求解.【详解】对任意正实数x ，f （x ）≥0恒成立等价于22325xx e m x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意正实数x 恒成立, 令22123,25xx y e y mx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,则'2114x x y x e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令'10y =,可得1204,x x ==-, 所以当40x -<<时,'10y <,函数2212xx y e =单调递减;当0x >或4x <-时,'10y >,函数2212x x y e =单调递增;所以当4x =-时,函数2212x x y e =有极大值为28e -,当0x =时,函数2212x x y e =有极小值为0, 所以当x →-∞时,2212x x y e =0→,且10y >, x →+∞时,2212x x y e =∞→+. 据此作出函数22123,25x x y e y mx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象如图所示:当0x >时,函数2212xx y e =的图象在函数235y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的上方或重合时,符合题意,设曲线2212xx y e =与直线235y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭相切,切点坐标为P()00,x y ()00x >,则000202002035214x x y m x x y e x x e m⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩解得,012154x m e=⎧⎪⎨=⎪⎩,结合图象可得,所求的实数m 的取值范围为1250,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和导数的几何意义;考查学生的转化与化归的能力、函数与方程的思想以及运算求解能力和推理论证能力;属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)＝Acos 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭(A>0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为2π，且f(0)＝1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设α，β∈0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，f 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－1013，f 6πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝65，求tan(2α－2β)的值．【答案】(1) f(x)＝2cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)16 63 【解析】 【分析】(1)利用余弦函数的周期性求得ω，由(0)1f =，求得A ，可得函数的解析式．(2)由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式，求得ta n2α、tan2β的值，再利用两角差的正切公式求得ta n (22)αβ-的值．【详解】解：(1)Q 函数()c o s ()(03f x A x A πω=->，0)ω>相邻两条对称轴相距22T ππω==，2ω∴=； 又1(0)12f A ==，2A ∴=，()2c o s (2)3f x x π∴=-． （2）αQ 、(0,)4πβ∈，10()2c o s [2()]2c o s (2)2c o s 233313f πππαααπα-=--=-=-=， 5cos213α∴=，12s i n 213α=，s i n 212t a n 2c o s 25ααα==．6()2c o s [2()]2c o s 26635f πππβββ+=+-==，3cos25β∴=，4si n 25β=，s i n 24t a n 2c o s 23βββ==．124t a n 2t a n 21653t a n (22)1241t a n 2?t a n 2631?53αβαβαβ---===++．【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 18.已知函数f （x ）21ax b x +=+是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）25=-， （1）确定函数的解析式； （2）用定义法判断函数的单调性； （3）解不等式；f （t ﹣1）+f （t ）＜0. 【答案】（1）()21x f x x -=+；（2）减函数，证明见解析；（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】()1由函数()f x 为定义在()1,1-上的奇函数可知,()00f =,再结合1225f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,可得关于,a b 的方程,即可求出函数()f x 的解析式;()2设1211x x -<<<,将()1f x 与()2f x 作差,因式分解,经过讨论可得()()12f x f x >,从而证明函数()f x 为()1,1-上的减函数;()3根据函数()f x 为()1,1-上的奇函数,且为减函数,原不等式可化为1t t ->-,再根据定义域可得,111,11t t -<-<-<<,即可求得原不等式的解集. 【详解】()1由题意知,()00f =,因1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以有01221514b a b =⎧⎪⎪+⎨=-⎪+⎪⎩,解得,01b a =⎧⎨=-⎩, 所以函数()f x 的解析式为()21xf x x -=+, ()2证明:任取()12,1,1x x ∈-,且12x x <,则()()1212221211x x f x f x x x ---=-++()()()()12122212111x x xx x x --=++, 因为1211x x -<<<,所以221212120,10,10,10,x xx x x x -<-<+>+> 所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >, 所以函数()f x 为()1,1-上的减函数;()3函数()f x 为()1,1-上的奇函数,所以()()f t f t -=-, 所以原不等式可化为()()1f t f t -<-, 又因为函数()f x 为()1,1-上的减函数,所以有111111t ttt->-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩,解得112t<<,所以原不等式的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查奇函数的性质、待定系数法求解析式、定义法证明函数的单调性及利用函数的奇偶性和单调性解不等式;属于中档题、常考题型.19.支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比.从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如图.（1）记A表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；（3）根据支付人数的频率分布直方图，对两种支付方式的优劣进行比较.附：K2()()()()2()n a d b ca b c d a c b d-=++++【答案】（1）0.62；（2）有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；（3）支付宝支付更加优于微信支付【解析】【分析】()1由第一幅频率分布直方图中直接计算“微信支付人数低于50千人”的频率,即为事件A的概率;()2根据频率分布直方图补全22⨯列联表,根据列联表中的数据代入公式计算观测值2K ,再利用临界值表即可得出结论;()3利用频率分布直方图分别计算出微信支付和支付宝支付100个地区支付人数的平均值,比较它们平均值的大小即可.【详解】()1根据题意,由微信支付人数的频率分布直方图可得,()()0.0120.0140.0240.0340.04050.62P A =++++⨯=, 所以微信支付人数低于50千人的概率为0.62；()2根据频率分布直方图中的数据,补全22⨯列联表如下:则有()22006266383415.7056.63510010096104K ⋅⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；()3由频率分布直方图可得,微信支付100个地区支付人数的平均值为:(127.50.01232.50.01437.50.02442.50.034x =⨯+⨯+⨯+⨯ )47.50.04052.50.03257.50.02062.50.01267.50.012547.1+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 支付宝支付100个地区支付人数的平均值为:(237.50.00442.50.02047.50.04452.50.068x =⨯+⨯+⨯+⨯ )57.50.04662.50.01067.50.008552.35+⨯+⨯+⨯⨯=， 因为12x x <,所以支付宝支付更加优于微信支付.【点睛】本题考查利用频率估计概率和利用频率分布直方图求平均数及独立性检验思想的应用;属于中档题、常考题型.20.C ∆A B 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ta n 1ta n 3bA +B（1）求A 的大小；（2）若C ∆A B 为锐角三角形，求函数22s i n 2s i n c o s C y =B -B 的取值范围； （3）现在给出下列三个条件：①1a =；②)210c b +=；③45B=o ，试从中再选择两个条件以确定C ∆A B ，求出所确定的C ∆A B 的面积． 【答案】（1）30A=o ；（2）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）选择①②，C S ∆A B 或选择①③，C S ∆A B .【解析】【详解】试题分析：（1）因为ta n 1ta n A +B 根据()s i n s i n C A +B =，化简整理得cos A =30A=o ； （2）因为6πA =，所以5C 6πB +=，把C 用B 表示，得关于B 的三角函数1si n 262y π⎛⎫=B -+ ⎪⎝⎭，再根据B 的范围，求出函数1s i n 262y π⎛⎫=B -+ ⎪⎝⎭的取值范围即得函数22s i n 2s i n c o s C y =B -B 的取值范围；（3）方案一：选择①②，可确定C ∆A B ，因为30A=o ，1a =，)210c b +=，由余弦定理，得c b 、，利用C 1s i n 2S bc ∆A B =A 得C ∆A B 的面积． 方案二：选择①③，可确定C ∆A B ，因为135B=o ，C 15=o 或45B=o ，C 105=o，又()s i n 105s i n 4560s i n 45c o s 60c o s 45s i n 604=+=+=o o o o o o ，由正弦定理得边c ，利用C1s i n 2S a c ∆A B =B 得C ∆A B 的面积． 试题解析：（1）因为ta n 1ta n A +B ()s i n s i nc o s 1c o s s i n c o s s i n A +B AB +=AB 因为C πA +B +=，()s i n s i n C A +B =，所以s i n C c o s s i n A B所以cos A =，30A=o （2）因为C πA +B +=，6πA =，所以5C 6πB += 2512s i n 2s i n c o s C 1c o s 22s i n c o s s i n 2662y ππ⎛⎫⎛⎫=B -B =-B +B-B =B -+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又C ∆A B 为锐角三角形，5232266πππππ<B <⇒<B -<所以13s i n21,622y π⎛⎫⎛⎫=B-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）方案一：选择①②，可确定C ∆A B ，因为30A=o ，1a =，)210c b += 由余弦定理，得：22212222b b b b ⎫++=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭整理得：22b =，b，c =所以C11s i n 22224Sb c ∆A B +=A =⋅⋅= 方案二：选择①③，可确定C ∆A B ， 45B=o ，C 105=o又()s i n 105s i n 4560s i n 45c o s 60c o s 45s i n 604=+=+=o o o o o o由正弦定理s i n C 1s i n 105s i n s i n 302a c ⋅===A oo所以C11s i n 122224Sa c ∆A B +=B =⋅⋅⋅= （选择②③不能确定三角形）考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、面积公式．21.某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数()2~127,7.1N ξ,且所有得分都是整数. (1)求全班平均成绩；(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数） (3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是14，若本学期有4次考试，X 表示进入前100名的次数，写出X 的分布列，并求期望与方差.参考数据：()0.6826,P μσξμσ-<≤+=()220.9544P μσξμσ-<≤+=. 【答案】(1) 127μ=;(2)23人；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由()2~127,7.1N ξ易知全班平均成绩；（2）由正太分布曲线的对称性易得()141P ξ> ，从而计算出得分超过141的人数；(3) X 的取值为0，1，2，3，4，计算出相应的概率值，利用公式即可算得期望与方差. 试题解析：(1)由不同成绩段的人数服从正态分布()2127,7.1N ，可知平均成绩127μ=. (2)()()()141141.212727.1P P P ξξξ>=>=>+⨯ []11(220.02282P μσξμσ=⨯--<≤+=, 故141分以上的人数为10000.022823⨯≈人. (3)X 的取值为0，1，2，3，4，()438104256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()1314132714464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()22241327244128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()312413334464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()41144256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,故X 的分布列为期望()1414EX n p ==⨯=， 方差()()13314444D X n p p =-=⨯⨯=. 22.设函数1()l n()f x x a x a R x=--∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点1122(,()),(,())A x f xB x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析：（2）不存在 【解析】【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()22211'1a x a x f x x x x-+=+-=， 令()221,4g x xa x a =-+∆=-， ①当22a -≤≤时，0∆≤，()'0f x ≥，故()f x 在()0,∞+上单调递增， ②当2a <-时，>0∆，()0g x =的两根都小于零，在()0,∞+上，()'0f x >， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，③当2a >时，>0∆，()0g x =的两根为12x x ， 当10x x <<时，()'0f x >；当12xx x <<时，()'0f x <；当2x x >时，()'0f x >； 故()f x 分别在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. （2）由（1）知，2a >，因为()()()()1212121212l n l n xx fx fx xx a x x x x --=-+--. 所以()()1212121212l n l n 11f x f x x x ka x x x x x x --==+⋅--,又由（1）知，121=x x ，于是1212l n l n 2x x k a x x -=--，若存在a ，使得2k a =-，则1212ln ln 1x x x x -=-，即1212l n l n x x x x -=-， 亦即222212l n 0(1)x x x x --=>（*） 再由（1）知，函数()12l n h t t t t=--在()0,∞+上单调递增，21而21>x ，所以22212l n 112l n 10x x x -->--=，这与（*）式矛盾， 故不存在a ，使得2k a =-.。
2020—2021年新高考总复习数学(理)三轮复习模拟试题及答案解析.docx
2018年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．1．（5分）已知i是虚数单位，则=（）A．1 B．i C．﹣i D．﹣1【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位i的运算性质得答案．【解析】：解：∵，∴=（﹣i）3=i．故选：B．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（）A．B．y=x3 C．y=log2x D．y=tanx【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解析】：解：A.为奇函数，在定义域上不是增函数．B．y=x3是奇函数在其定义域上是增函数，满足条件．C．y=log2x为增函数，为非奇非偶函数．D．y=tanx为奇函数，在定义域上不是增函数．故选：B【点评】：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3．（5分）若a＞0，b＞0，且a≠1，则log a b＞0是（a﹣1）（b ﹣1）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点．【专题】：计算题．【分析】：先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．然后判断“log a b＞0”⇒“（a﹣1）（b﹣1）＞0”与“（a﹣1）（b﹣1）＞0”⇒“log a b＞0”的真假即可得到答案．【解析】：解：因为a＞0，b＞0，a≠1，则若log a b＞0成立，当a＞1时，有b＞1；当0＜a＜1，有0＜b ＜1，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”成立；若“（a﹣1）（b﹣1）＜0”，有a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b ＜1则“log a b＞0”故“log a b＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充要条件故选C【点评】：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．（5分）如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≥8？D．k≥9？【考点】：循环结构．【专题】：阅读型．【分析】：先根据S的值和循环体得到循环的次数，从而确定出判断框中应填入关于k的判断条件．【解析】：解：S=720=1×10×9×8所以循环体执行三次则判断框中应填入关于k的判断条件是k≥8或k＞7故选C【点评】：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．5．（5分）已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】：正弦函数的对称性．【专题】：计算题．【分析】：点在线上，点的坐标适合方程，求出φ，然后确定函数取得最大值的x值就是对称轴方程，找出选项即可．【解析】：解：把（0，1）代入函数表达式，知sinφ=因为|φ|＜所以φ=当2x+=+2kπ（k∈Z）时函数取得最大值，解得对称轴方程x=+kπ（k∈Z）令k=0得故选C【点评】：本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，是基础题．取得最值的x值都是正弦函数的对称轴．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离；立体几何．【分析】：如图，可跟据题意得到该几何体的直观图，然后利用切割的方法求其体积．【解析】：解：由题意，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，由题意可得到所求几何体的几何直观图．由题意可知：多面体ADD′﹣EFC即为所求的几何体．由题意作EM⊥DC于M，则由已知得MC=1，EM=3．FM=3，DM=3．则V=V三棱柱ADD′﹣FME+V三棱锥E﹣FMC=S△EMF×DM=．故选A．【点评】：本题考查了三视图的识图问题，体积以及表面积的计算问题，属于中档题．7．（5分）已知直线（t为参数）与曲线M：ρ=2cosθ交于P，Q两点，则|PQ|=（）A．1 B．C．2 D．【考点】：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】：直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】：运用代入法和x=ρcosθ，x2+y2=ρ2，将参数方程和极坐标方程，化为普通方程，由于圆心在直线上，可得弦长即为直径．【解析】：解：直线（t为参数）即为直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0，由x=ρcosθ，x2+y2=ρ2，曲线M：ρ=2cosθ，可化为x2+y2﹣2x=0，即圆心为（1，0），半径r=1，由圆心在直线上，则|PQ|=2r=2，故选C．【点评】：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．8．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解析】：解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，f（1）==0，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．【点评】：题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．168【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题．【分析】：根据题意，分2步进行【分析】：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解析】：解：分2步进行【分析】：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．【点评】：本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．10．（5分）已知F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点A（0，b），过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=x，求出AF的方程与y=x，联立可得B，利用，可得a，c 的关系，即可求出双曲线的离心率．【解析】：解：设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=x，则直线AF的方程为，与y=x联立可得B（，﹣），∵，∴（c，﹣b）=（+1）（，﹣﹣b），∴c=（+1），∴e==，故选：A．【点评】：本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11．（5分）设随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X≤a2﹣1）=P（X＞a﹣3），则正数a= ﹣3或2 ．【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等的区间关于x=1对称，得到关于a的方程，解方程即可．【解析】：解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X ≤a2﹣1）=P（X＞a﹣3），∴a2﹣1+a﹣3=2，∴a=﹣3或2，故答案为：﹣3或2．【点评】：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=1对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．12．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10 ．【考点】：二项式定理．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：先求得n=5，以及二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r的值，即可求得含x的项的系数．【解析】：解：由题意可得2n=32，n=5，展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣2r•x﹣r=•x10﹣3r．令10﹣3r=1，r=3，故展开式中含x项的系数是=10，故答案为10．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：综合题；概率与统计．【分析】：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．【解析】：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．【点评】：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．14．（5分）设a，b为正实数，则的最小值为2﹣2 ．【考点】：基本不等式．【专题】：不等式．【分析】：把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值【解析】：解：==1﹣=1﹣，∵a，b为正实数，∴≥2=2，当且仅当a=b时取等号，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值为：，故答案为：2﹣2【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．15．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，以AD为直径作半圆DEA（其中E是的中点），若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中（λ、μ∈R），则下列判断中：①不存在点P使λ+μ=1；②满足λ+μ=2的点P有两个；③λ+μ的最大值为3；④若满足λ+μ=k的点P不少于两个，则k∈（0，3）．正确判断的序号是②③．（请写出所有正确判断的序号）【考点】：向量的线性运算性质及几何意义．【专题】：综合题；压轴题；平面向量及应用；直线与圆．【分析】：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示得出；讨论点P在AB、BC、CD以及弧DEA和AD上运动时，λ、μ的取值范围，对给出的命题进行分析、判断，从而得出正确的结论．【解析】：解：建立平面直角坐标系，如图所示；设点A（0，0），B（1，0），∴点C（1，1），D（0，1），E（﹣，），延长AE至F，使AF=2AE，∴点F（﹣1，1），∴=（1，0），2==（﹣1，1）；∴=λ（1，0）+μ（﹣1，1）=（λ﹣μ，μ）；当点P在AB上运动时，=λ，λ从0增大到1，μ=0，∴λ+μ∈[0，1]；当点P在BC上运动时，λ从1增大到2，μ从0增大到1，∴λ+μ∈[1，3]；当点P在CD上运动时，λ从2减小到1，μ=1，∴λ+μ∈[1，3]；当点P在弧DEA上运动时，﹣≤λ≤，0≤μ≤，∴λ+μ∈[﹣，1]；当点P在AD上运动时，0≤λ≤1，0≤μ≤1，0≤λ+μ≤2；综上，对于①，不妨令λ=1，μ=0，则λ+μ=1，=（1，0），P与点B重合，∴①错误；对于②，当λ=μ=1时，λ+μ=2，=（0，1），点P与点D重合，当λ=，μ=时，λ+μ=2，=（1，），点P是BC的中点，∴满足条件的点P有两个，②正确；对于③，当点P与点C重合时，==（1，1），∴，得λ=2，μ=1，此时λ+μ取得最大值为3，③正确；对于④，当满足λ+μ=k的点P不少于两个时，则k∈（﹣，3），∴④错误；综上，正确的命题是②③．故答案为：②③．【点评】：本题考查了平面向量运算问题，也考查了线性规划的应用以及直线与圆位置关系的应用问题，是综合性题目．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若B=，S=4求b．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可．【解析】：解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，即sinA•+sinC•=sinB，∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC=2sinB，由正弦定理化简得：a+c=2b，∴a，b，c成等差数列；（2）∵S=acsinB=ac=4，∴ac=16，又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，由（1）得：a+c=2b，∴b2=4b2﹣48，即b2=16，解得：b=4．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望E（X）．附：，n=a+b+c+d【考点】：独立性检验的应用．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题设条件作出列联表，根据列联表中的数据，得到．由此得到有99%的把握认为环保知识测试与专业有关．（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解析】：解：（Ⅰ）2×2列联表如下由算得，，所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关 (5)分（Ⅱ）设A，B，C成绩优秀分别记为事件M，N，R，则∴随机变量X的取值为0，1，2，3…6分，…10分所以随机变量X的分布列为：E（X）=0×+1×+2×+3×=…12分．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理运用．18．（12分）如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD 的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=2NC，M是PA中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）求二面角M﹣EF﹣N的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间角．【分析】：（Ⅰ）连结BD，利用线面垂直的判定定理及中位线定理即可；（Ⅱ）连OM，建立空间直角坐标系，所求值即为平面NEF的一个法向量与平面MEF一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．【解析】：解法1：（Ⅰ）连结BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵BD⊥AC，AC⊥PA=A，∴BD⊥平面PAC，又∵E，F分别是BC、BD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥平面PAC，又EF⊆平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）设AB=4，建立如图所示的直角坐标系，则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），M（0，0，2），N（4，4，2），∴，，则，=（0，2，2），设平面NEF的法向量为，则，令x=1，得y=1，z=﹣1，即，同理可求平面MEF一个法向量，∴，∴二面角M﹣EF﹣N的余弦值为．【点评】：本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，考查求二面角，涉及到向量数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．【考点】：等比关系的确定；等差数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：（1）直接利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．（2）先利用（1）的结论求出数列{b n}的通项，再求出b k b k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．【解析】：解：（1）当n≥2时，，（2分）即（n≥2）．（4分）所以数列是首项为的常数列．（5分）所以，即a n=n（n∈N*）．所以数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．（7分）（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列，则b k b k+2=b k+12．（8分）因为b n=lna n=lnn（n≥2），所以．（13分）这与b k b k+2=b k+12矛盾．故不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．（14分）【点评】：本题考查了已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，根据a n和S n的关系：a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a n=S n﹣S n﹣1（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．20．（13分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），点P是椭圆C上异于A，B的动点，过点B作椭圆C的切线l，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c时，|AF|=|DF|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，通过|AF|=|FD|化简得a=2c，结合a2=3+c2得a2=4，进而可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．设点P的坐标为（x0，y0），联立，结合韦达定理及点F（1，0），分、两种情况讨论即可．【解析】：解：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，由|AF|=|FD|，得，化简得a=2c，由a2=3+c2得a2=4，故所求椭圆C的方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x=2．结论：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可知直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．联立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0．设点P的坐标为（x0，y0），由韦达定理：．所以，．因为点F坐标为（1，0），分情况讨论：（1）当时，点P的坐标为，直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y∓1）2=1与直线PF相切；（2）当时，直线PF的斜率．所以直线PF的方程为，即．故点E到直线PF的距离d===|2k|；综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到中点坐标公式、韦达定理、点到直线的距离公式等知识，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）的图象在x=1处的切线经过点（3，4），求a的值；（Ⅱ）若0＜a＜1，求证：；（Ⅲ）当函数f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（1）=1﹣2a，又，得1﹣2a=2，求得a=；（Ⅱ）求出，构造函数，由导数求得得答案；（Ⅲ）求出原函数的导函数，然后分a≤0，a，0三种情况讨论f（x）的零点的个数．【解析】：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax+，∴，∴f'（1）=1﹣2a，又，∴1﹣2a=2，a=；（Ⅱ），令，则，∴x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故x∈（0，1）时，，∴当0＜a＜1时，；（Ⅲ）∵，①当a≤0时，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；②当a时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；③当0时，令f′（x）=0，得，此时，f（x）在（0，x1）上递减，（x1，x2）上递增，（x2，+∞）上递减，∴f（x）至多有三个零点．∵f（x）在（x1，1）递增，∴f（x1）＜f（1）=0，又∵，∴，使得f（x0）=0，又，∴恰有三个不同零点：，∴函数f（x）存在三个不同的零点时，a的取值范围是．【点评】：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是压轴题．。