用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 / 6 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 （两课时） 零号作业 一、众数、中位数、平均数 1、众数：(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数． (2)特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势 [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征． （3）在直方图中为最高矩形下端中点的横坐标 2、中位数： (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． [破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点． （3） 直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.左右两边面积各占一半 3、平均数：(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为xn＝x1＋x2＋…＋xnn (2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． （3） 直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和. 二、标准差、方差 1、标准差 (1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算 s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]可以用计算器或计算机计算标准差． (2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较_ 小． 2．方差 (1)定义：标准差的平方， 即s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] (2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小． (3)取值范围：[0，＋∞)
3、数据组x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2
＋b，…，axn＋b(a，b为常数)的平均数为ax＋b，方差为a2s2，标准差为 4、规律总结 （1）用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据. 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度. 用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据 （2）平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策. （3）标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围. 列出一组样本数据的频率分布表步骤 说明：1、对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性. 2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性. 用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有惟一答案. 3.在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 2 / 6 一号作业1 1、众数(1)定义：一组数据中出现次数______的数称为这组数据的众数． (2)特征：一组数据中的众数可能______一个，也可能没有，反映了该组数据的____________．在直方图中为最高矩形下端中点的____________ 最多 不止 集中趋势 横坐标 2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于______位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是______的，反映了该组数据的______________．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积______． ． 中间 唯一 集中趋势 相等 3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数
为xn＝_________________. (2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的_____________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______，但平均数受数据中_________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的. ______ x1＋x2＋…＋xn
n 平均水平 信息 极端值 乘积之和
4．标准差 (1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s＝__________________________. 可以用计算器或计算机计算标准差． (2)特征：标准差描述一组数据围绕______波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较______；标准差较小，数据的离散程度较______． 1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2] 平均数 大 小
5．方差(1)定义：标准差的平方， 即s2＝________________________________________． (2)特征：与____________的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小． (3)取值范围：___________． 1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2] 标准差 [0，＋∞)
数据组x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为常数)的平均数为ax＋b，方差为a2s2，标准差为as. 典例讲解
中位数、众数、平均数的应用 例1据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到1元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． [解析] (1)平均数是
x＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033 ≈1 500＋591＝2 091(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)平均数是x′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033 ≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平． 练习1：某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？ 用样本的数字特征估计总体的数字特征 3 / 6 (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？ [答案] (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)， 中位数为15岁，众数为15岁． 平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征． (2)乙群市民年龄的平均数为 54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁)， 中位数为5岁，众数为6岁． 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差． 例2：(1)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( ) A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 (2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． ①求这次测试数学成绩的众数． ②求这次测试数学成绩的中位数． ③求这次测试数学成绩的平均分．
[解析] (1)x甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，
x乙＝15(5×3＋6＋9)＝6， 甲的中位数是6， 乙的中位数是5.
甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2， 乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4. 甲的极差是4，乙的极差是4. 所以A，B，D错误，C正确．
(2)①由图知众数为70＋802＝75. ②由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3. ③由图知这次数学成绩的平均分为： 40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋
用样本的数字特征估计总体(第2课时)
x1 x2 x2 x1 则 x , s 2 2
特别的，一个容量为2的样本：x1，x2( x1< x2 )，
பைடு நூலகம்
【典例剖析 】 例1：画出下列四组样本数据的条形图，
说明它们的异同点.
（ 1 ） 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5；
（ 2 ） 4， 4， 4， 5， 5， 5， 6， 6， 6；
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中， 不正确 的是（ ．．． ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
作业
• P82 习题2.2A组6
因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数 据. 例如:在作统计图表时提到过的极差. 甲的环数极差=10- 4=6 ，乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，
与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息.
显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们
可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分” 的统计策略.
（1）标准差：用来描述样本数据的离散程度.
假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ， 则标准差的计算公式是：
1 2 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) ( xn x) n
（2）方差
1 2 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) ( xn x) n
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量
是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距
离，一般用S表示． 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
人教A版必修3《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》优化训练ppt课件
组数据的中位数.
注意：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 相等 ，由此可以估计中位数的值. 的面积________
x1＋x2＋„＋xn x＝ n (3)如果有n个数x1，x2，„，xn，那么_________________
如下(单位：mL)：
342,348,346,340,344,341,343,350,340,342
343.6 则样本的平均数是________.
解析：由于数据较大，又都在常数 342 附近波动，把各数
据都减去 342，得 0,6,4，－2,2，－1,1,8，－2,0，
1 则 x ′＝10×(0＋6＋4－2＋2－1＋1＋8－2＋0)＝1.6， 即 x ＝ x ′＋342＝343.6.
人员
平均环数－ x 方差s2
甲 8.6 3.5
乙 8.9 3.5
丙 8.9 2.1
丁 8.2 5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人 选是( C )
A.甲
C.丙
B.乙
D.丁
【问题探究】
如何通过频率分布直方图估计众数、中位数和平均数？ 答案：(1)众数是最高矩形底边的中点；(2)中位数左边和右
边的直方图的面积应相等，由此可以估计中位数的值；(3)平均
数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘
以小矩形底边中点的横坐标之和.
题型 1 众数、中位数、平均数的求法
【例 1】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如下表： 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 人数/名
1 这组数据的平均数是 x ＝17×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×
高中数学2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1
2.(1)由平均数公式得 x=
(182×27+80×21)≈81.13(分).
48
(2)因为男生的中位数是75分,所以至少有14人得分不超过75
分.
又因为女生的中位数是80分,所以至少有11人得分不超过80分.
所以全班至少有25人得分不超过80分.
(3)男生的平均分与中位数的差别较大,说明男生中两极分化现
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标 准差. 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对 数据处理过程进行初步评价的意识.
x1 x2 xn
则 x =_______n_______.
2.方差、标准差 假设样本数据是x1,x2,x3,…,xn, x 是平均数,则 (1)方差是
s2=__n1［___x1___x_2____x_2 __x__2 ______x_n__x__2_］.
(2)标准差为
s=__n1_［__x_1__x__2___x_2___x_2____ __x_n___x__2 ］_.
【解题指南】1.由平均数和方差的定义直接求解.
2.先画出茎叶图,再利用平均数和方差结合的形式分析稳定性.
【自主解答】1.
s2
1 ［ 21
a1
x
2
a2 x
2
a20 x
2
xx
2
］
1 20 0.20 4 0.19.
21
21
答案:0.19
2.(1)作出茎叶图如下：
(2)派甲参赛比较合适.理由如下：
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)
x甲 x乙
∴乙种玉米的苗长得高.
(2)由方差公式得：
1 s甲＝ [(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2， 10
2
2 同：乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐．
2
2
课后作业
1.甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如 下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产 量比较稳定．
课堂练习
1.如图是某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中, 七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图 ,
去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据
的平均数和方差分别为( (A)84,4.84 (B)84,1.6 )
(C)85,1.6
(D)85,0.4
【解析】选C.得分是79,84,84,86,84,87,93,最高分是93,最低分 是79,则去掉一个最高分和一个最低分后该选手得分是84,84, 86,84,87,计算得平均数是85,方差是1.6.
(2)因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理 在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能 客观真实地反映该工厂的工资水平．
因此，在例子中的解答过程可表述为： 解：由数据可得：
1 1 7 x甲 （7 8 7 4） 7， x乙 （9 5 7 7） 10 10
x甲 x乙
∴从平均成绩看甲、乙二人的成绩无明显差异。
1 7 72 8 72 4 72 2 s甲 10
|x1－ x |＋|x2－ x |＋„＋|xn－ x | S＝ .由于上式含有绝对值， n
运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差：
s＝ 1 2 2 2 [ x － x ＋ x － x ＋„＋ x － x ]. 2 n n 1
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征同步课件 新人教B版必修3
【思路点拨】 思路点拨】
由题目可获取以下主要信息： 由题目可获取以下主要信息：
①已知所有球员的具体身高； 已知所有球员的具体身高； ②求球员的平均身高． 求球员的平均身高． 解答本题可利用平均数的公式计算； 解答本题可利用平均数的公式计算； 也可建立 新数据，再利用平均数简化公式计算． 新数据，再利用平均数简化公式计算．
【 思路点拨】 总体的平均数与标准差往往是 思路点拨 】 很难求的， 甚至是不可求的， 很难求的 ， 甚至是不可求的 ， 通常的做法是用 样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与 标准差， 只要样本的代表性好， 标准差 ， 只要样本的代表性好 ， 这种做法是合 理的． 理的． (1) 各 组 中 平 均 值 可 近 似 取 为 【解】 165,195,225,255,285,315,345,375. 由此可算得平均数约为 165×1% ＋ 195×11% ＋ 225×18% ＋ × × × 255×20% ＋ 285×25% ＋ 315×16% ＋ × × × 345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)． × ＋ × ＝ ≈ 天． 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天． ∴估计这种日光灯的平均使用寿命约为 天
课堂互动讲练
考点突破 样本平均数的计算
例1
一个球队所有队员的身高如下(单位 ： 一个球队所有队员的身高如下 单位： 单位
cm)： ： 178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185 ,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？( ，问这个球队的队员平均身高是多少？ 精确到1 精确到 cm)
89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准 的方差和标准 标准差结果精确到0.1) 差．(标准差结果精确到 标准差结果精确到
用样本数字特征估计总体数字特征3
知识探究
x甲 7， x乙 7
在一次射击选拔赛中，甲、乙两 名运动员各射击10次，每次命中的环数 如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分 别为多少环？哪一个运动员成绩比较稳 定?
x甲 7，
x乙 7
知识探究
甲、乙两人射击的平均成绩相等，画出两人 成绩的频率分布条形图如下:
频率 0.4 0.3 0.2 0.1 O
（甲）
0.4 0.3 0.2 0.1 O
频率
（乙）
环数
4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，乙的 成绩相对集中，比较稳定.
谁的稳定性好用什么数来衡量？ 甲成绩与平均成绩的偏差的和： (7-7)+(8-7)+(7-7)+(9-7)+(5-7)+(4-7)+(97)+(10-7)+(7-7)+(4-7)=0 乙成绩与平均成绩的偏差的和： (9-7)+(5-7)+(7-7)+(8-7)+(7-7)+(6-7)+(87)+(6-7)+(7-7)+(7-7)=0
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
s = 1.49
s = 2.83
O
1 2 3 4 5 6 7 8
（3）
O
1 2 3 4 5 6 7 8
（4）
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种
零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们 生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸 如下（单位：mm）：
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》说课稿范文
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》说课稿范文今天我上课的内容是人教B版必修三2.2.2节《用样本的数字特征估计总体的数字特征》。
下面我将从以下两大方面进展说明：1、教材的地位统计是研究如何合理的、、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供根据，在日常生活中，人们常常需要数据，根据所获得数据提取有价值的信息，作出合理的决策，统计根底知识已经成为一个将来公民的必备常识。
本节课主要通过对数据的分析，增强学生的社会理论才能，培养学生解决问题才能，增强学生学习数学的兴趣。
2、课程标准（1）通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取根本的数字特征。
（3）进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征，形成对数据处理过程进展初步评价的意识。
3、学生状况分析学生在初中已经初步接触了平均数、方差、标准差等数字特征的相关概念，并掌握了用样本的数字特征进展相关的运用，也尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上学生已具备了自我探究的根底。
4、教学目的根据上述教材内容与教材地位的分析，按照《普通高中教学课程标准》的要求，考虑到学生已有的认知构造和心理特征，我制定了如下的教学目的：（1）通过实例让学生明确样本数据的平均数和标准差的意义和作用，能纯熟计算样本数据的平均数、方差、标准差。
（2）通过合作探究使学生能从实际问题中合理提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性程度作出科学的估计。
（3）通过自主探究与合作学习，让学生总结出平均数和方差的常用结论，能深入领会通过合理的抽样对总体的稳定性程度作出科学的估计的思想。
5、教学重点、难点重点：（1）通过实例让学生明确样本数据的平均数和标准差的意义和作用，能纯熟计算样本数据的平均数、方差、标准差。
（2）通过合作探究使学生能从实际问题中合理提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性程度作出科学的估计。
人教版高中数学必修3《用样本数字特征估计总体数字特征》说课稿(4)
人教版高中数学必修3《用样本数字特征估计总体数字特征》说课稿(4) 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢人教版高中数学必修3《用样本的数字特征估计总体的数字特征》说课稿各位老师：大家好!我叫***，来自**。
我说课的题目是《用样本的数字特征估计总体的数字特征》，内容选自于高中教材新课程人教A版必修3第二章第二节，课时安排为三个课时，本节课内容为第一课时。
下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、教学过程分析四大方面来阐述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用在上一节我们已经学习了用图、表来组织样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布情况。
本节课是在前面所学内容的基础上，进一步学习如何通过样本的情况来估计总体，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，为现实问题的解决提供更多的帮助。
2教学的重点和难点重点：⑴能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数.⑵体会样本数字特征具有随机性难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
二、教学目标分析1．知识与技能目标能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数.能用样本的众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法。
2、过程与方法目标：通过对本节课知识的学习，初步体会、领悟”用数据说话”的统计思想方法。
3、情感态度与价值观目标：通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生”实事求是”的科学态度和严谨的工作作风。
三、教学方法与手段分析1、教学方法：结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我采用”问答探究”式的教学方法，层层深入。
充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。
2。
教学手段：通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。
四、教学过程分析1.复习回顾，问题引入「屏幕显示」〈问题1〉在日常生活中，我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征，例如：买灯泡时，我们希望知道灯泡的平均使用寿命，我们怎样了解灯泡的的使用寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试，因为测试后灯泡则报废了。
2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
次，5出现三次，5出现的次数最多，所以5为众数．
第二章
2 .2
2．2.2
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2．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于
中间 位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是 唯一 的，反映了该组数 据的 集中趋势． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积 相等．
第二章
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温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
第二章
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据；当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两个数据的
平均数 ，当这两个数据相等时，中位数是样本数据，否则
它不是样本数据，众数则是指在样本数据中出现次数 最多 的 数据，众数不一定 唯一．通过本节的学习，我们会更深刻地 理解这些数字特征，并能通过频率分布直方图去估算它们， 这也是我们学习的重点和难点所在．
在初中，我们已经学过平均数描述了数据的 平均 水平， 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．我们也知道可以 用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度．方差或标准差越 小 ， 数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越 大 ，数据越分 散，总体越不均衡．而中位数则是指样本数据按从小到大(或 从大到小)的顺序排列后，处于 中间 位置的一个量，当样本数 据个数为奇数时， 中间一个数据 就是中位数，它是样本数
山东省高中数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案2 新人教A版必修3
第2课时标准差导入新课思路1平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.(教师板书课题)思路2在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？我们知道,x甲=7，x乙=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平差距呢？从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据——标准差.推进新课新知探究提出问题(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？(2)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.甲110 121312512125135125135125乙115 112513115125125145125145哪种钢筋的质量较好？(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(4)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?讨论结果：(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点） 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论. (3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.(4)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ,x 表示这组数据的平均数.x i 到x 的距离是|x i -x |(i=1,2,…,n).于是,样本数据x 1,x 2,…,x n 到x 的“平均距离”是S=nx x x x x x n ||||||21-++-+- .由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差: s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- .意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数x =1.973，标准差s=0.868，所以x +s=2.841,x +2s=3.709； x -s=1.105,x -2s=0.237.这100个数据中，在区间［x -2s,x +2s ］=［0.237,3.709］外的只有4个，也就是说，［x -2s, x +2s ］几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具： s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］.显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运动员成绩的标准差的计算器计算.用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：即s 甲=2.用类似的方法，可得s 乙≈1.095.由s 甲>s 乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定. 应用示例思路1例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83. 它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm): 甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值. 解：用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.点评：从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性. 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 解：运用计算器计算得：100450126024701880309012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=79.40,(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为 ［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10,样本方差为 ［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24. 因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.例2 为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.天数151—180 181—210 211—240 241—270 271—300 301—330 331—360 361—390灯泡数1111820251672分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命. 解：各组中值分别为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为165×1%+195 ×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天). 这些组中值的方差为1001×［1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2］=2 128.60(天2). 故所求的标准差约6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天. 知能训练 （1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ,方差为s 2,则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差是____________. (3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36试判断选谁参加某项重大比赛更合适？ 答案：（1）9.5,0.016 （2）a 2s 2(3)甲x ＝33，乙x ＝33,33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适. 拓展提升某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.解：这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x aa =这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入. 课堂小结1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度. 2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征）,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确. 作业习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、2.设计感想统计学科,最大的特点就是与现实生活的密切联系,也是新教材的亮点.仅仅想借助“死记硬背一些概念及公式,简单模仿课本例题”来学习,是绝对不行的.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差,其原因在于样本的随机性.这种偏差是不可避免的.虽然我们从样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差,而只是总体的一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本的容量很大时,它们确实反映了总体的信息.教师建议：亲身经历“提出问题,收集数据,分析数据,并作出合理决策”过程,在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻理解,更重要的是发展了思维,培养了分析及解决问题能力,同时在情感、意志等领域也得到了协调发展,这才是学校学习的科学而全面的目标,习题设置有层次,尽量源于教材,又高于教材,这也是高考命题原则.。