集合与集合之间的关系
课时1 集合与集合之间得关系（第一课时）
一、高考考纲要求
1。理解交集、并集得概念、
2.理解补集得概念，了解全集得意义、
3．会用交集、并集、补集正确地表示一些简单得集合、
二、高考考点回顾
１．集合得概念
（１)集合得概念：我们把研究对象统称为 ,把一些元素组成得总体叫做 （简称为集）、
（2）集合得分类:根据集合中元素得多少,可以分为三类：有限集、无限集、空集、
（3)元素与集合之间得关系：若ａ就是集合Ａ得元素，记作 ;若b不就是集合A得元素，
记作 ；
（４）元素得特征：① 、② 、③ 、
（5）常用数集及其记法：自然数集，记作Ｎ;正整数集,记作N＊或N＋；整数集，记作Z；
有理数集,记作Q;实数集，记作R、
2.集合有三种表示方法:
3.集合之间得关系：
(1）对于两个集合A与B，如果集合Ａ得任何一个元素都就是集合B得元素，那么集合A叫做集
合B得 ，记作 或 、
（2）如果集合A就是集合B得子集,并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合Ａ叫做集
合Ｂ得 ，记作 或 、
（３)集合相等：构成两个集合得元素完全一样。若AB且BA，则称集合A等于集合B,记
作 ;
简单性质:①AＡ；②A；③若AB，BC，则AＣ、
4。空集
空集就是指 得集合,它就是任何一个集合得子集,就是任何一个非空集合得
真子集、记作、
5。有限集得子集、真子集得个数
若集合A中含有ｎ个元素得集合,则集合A有 个子集(其中 个真子集）、
课时1 集合与集合之间得关系（第二课时)
三、课前检测
１。已知集合中得三个元素就是得三边长,那么一定不就是( ）
A。锐角三角形 ﻩ B.直角三角形 ﻩ C.钝角三角形 D。等腰三角形
2。集合得元素得个数就是（ )
A。2个 ﻩﻩB。４个 ﻩ C。6个ﻩ Ｄ。8个
3. 已知集合,，若,则实数得取值范围就是（ ）
A． Ｂ. Ｃ． D。
４.已知集合，，则、得关系就是（ )
Ａ. B． C。 D.不确定
5。已知集合,集合,若,则实数＝
6、(２016·新课标全国Ⅰ，1)设集合A={1，3，5，7｝，B＝｛x｜2≤x≤5}，则A∩B=（ ）
A、｛1,3} ﻩB、{3，5｝
C、｛5，7} ﻩＤ、｛1,７}
7、（2016·新课标全国Ⅱ，1）已知集合Ａ={1，2，3},B＝{ｘ|x2＜9｝，则A∩B=（ ）
A、{-２,－1，0,1，2，3} ﻩＢ、｛－2，—1,０，1，2｝
C、{１，2,3} ﻩＤ、｛１，2｝
8、(2016·新课标全国Ⅲ,1）设集合A＝{0，2,4，6,8,10｝,B＝{4,8｝，则∁AB＝( ）
A、｛４，8} ﻩＢ、{０，2， ６｝
C、｛0，2，６，１0｝ D、{0，2,4,6，8,１0｝
课时1 集合与集合之间得关系（第三课时）
考点一 集合中元素得性质
【典例１】已知集合,若，则实数得取值集合为 、
【变式1】若，求实数得值
考点二 集合间得包含关系
【典例2】已知集合,集合、
（１）若，求实数得取值范围;
（2)若，求实数得取值范围;
（3)A、B能否相等？若能，求出得值；若不能，试说明理由、
课时1 集合与集合之间得关系(第四课时)
１.(2014·新课标全国Ⅰ，1）已知集合M=｛x|-1
C.（1,3) ﻩD。(－2，3）
2、(2０1４·湖南，2）已知集合A＝{x|x〉2}，B={x|1＜ｘ＜3｝，则A∩Ｂ=（ )
Ａ。｛x|x＞２｝ ﻩＢ。{x|x＞1}
C．｛x｜2＜x＜3｝ ﻩＤ。{ｘ|1＜x＜3｝
3、（2014·湖北，1)已知全集Ｕ＝｛１,2，3，4，5，6，7｝，集合A＝{1，３,5,6｝,则∁ＵA＝（ )
A。｛1,３,5,６｝ B.｛2，3,7｝
C．｛2，4,7｝ ﻩD。｛2，5，7｝
4、(2０1４·福建，1）若集合P＝｛x｜２≤x<4｝，Q=｛ｘ｜x≥3},则P∩Ｑ等于（ ）
A.｛x｜3≤x＜4｝ ﻩB．｛x|3＜x<4｝
C。｛x|2≤x＜3｝ ﻩD。{x｜２≤x≤3}
5、(201４·山东，2）设集合A=｛x|x２－2x〈0｝，B={x｜１≤x≤4}，则A∩B＝( )
A．（0，2］ B。(１,２） C.［１，２） D.(1,４）
２5、（20１4·四川，1）已知集合Ａ={x|(x+１)（x—2)≤0｝,集合B为整数集，则A∩B＝( ）
A.{-１，0} Ｂ．{0，1｝
Ｃ.｛-2,-１，0，1} Ｄ。｛－1,0,１,２}
6、（20１4·浙江，1）设集合S=｛x｜ｘ≥2},T＝｛x|x≤5｝,则S∩Ｔ＝（ ）
Ａ．(－∞，５］ ﻩB。［2，+∞)
Ｃ.(2，5） D.［2，5］
７、（2０15·湖南，11)已知集合U=｛１，２,3，4｝,A＝{1,3｝,B＝｛１,3，4},则A∪(∁UB)＝_＿___＿
__、
８、（20１４·重庆,11)已知集合Ａ＝｛3,４,5,12,1３},B=｛2,3,５，８，1３｝，则A∩B=____＿_＿
＿、
集合的基本概念
一、 集合的概念1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、 集合之间的关系1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6． 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念1． 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集． 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3． 补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
1.2集合间的基本关系
【说一说★本节新知】 一.子集的定义
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集 合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：
A B (或B A )
读作：“A含于B”(或“B包含A”)
【说一说★本节新知】
二、Venn图表示集合的包含关系
B={x| x是等腰三角形} ．
【说一说★本节新知】
三.集合相等
如果集合A是集合B的子集(即A B)，且集合B 是集合 A的子集(即B A),此时集合A与集合B中的 元素是一样的，我们称集合A与集合B相等.
记作：A B.
【想一想★得出新知】
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; ② A={-1,0,1}, B={-1,0,1,2} ③ A={a,c,d}, B={a,b,c,d}
在数学中，我们经常用平面上封闭的曲 线的内部表示集合，这种图称为Venn图.
A B
BA
【想一想★得出新知】
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,3,5,7,9}, B={9,7,5,3,1} ② A={a,b,c,d}, B={b,c,d,a}; ③ A={x | x是两边相等的三角形},
【听一听★更上一层】
例1.写出集合a, b的所有子集，并指出哪
些是它的真子集.
【听一听★更上一层】
变式 写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
【听一听★更上一层】
思考： 集合a1, a2 ,, an 有多少个
子集、 真子集、非空真子集?
解：含n个元素的集合的所有子集的个数是2n， 真子集的个数是2n-1， 非空真子集个数为2n-2.
第1讲 集合的概念,集合的表示方法集合之间的关系(学生版)
第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A5.有限集：含有有限个元素的集合。
6.无限集：含有无限个元素的集合。
7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。
二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。
即：B A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意 记作：A B B A ⊇⊆或；读作：A 包含于B 或B 包含A ；注意:B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合 2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1．例2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．B ．C ．M ∉-4D ．M ∈4 例3.用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3．14______Q ； (3)13______Z ；(4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N ．例4.已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值．例5.已知},0,1{2x x ∈，求实数x 的值．例6.已知集合S 的三个元素a ．、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例7.设A 为实数集，且满足条件：若a ．∈A ，则a-11∈A (a ．≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明．例8.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点 （4）例3.用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈-例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{ 例6.已知集合，用列举法分别表示集合B A 、例7.设∇是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意A b a ∈,，有A b a ∈∇，则称A 对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 考点三：集合之间的关系例1．已知A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A B =C ．B A ⊆D ．A ∈B例2.已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值例3.已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．例4.定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为例5.设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆例6.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例7.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．例8.若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．例9.已知，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★ 【答案】B ≠⊂A例10.已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m 的取值范围是【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是 A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数,,a b c ，则代数式a b ca b c++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}- C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．C ．A φ∈D ．A φ⊆10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合(){}21320A x m x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数m =______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合(){}lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则A ___________B .(填“⊂”､“”､“”或“”) 16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______． 17．（2020·上海高一专题练习）用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N ，N ，N （2）12-_____,Q π______Q（3）________{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈18．（2020·上海高一专题练习）集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 19．（2020·上海高一专题练习）1∈{a 2−a −1，a ，−1}，则a 的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R=++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k 的取值范围是___； 21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，设集合{1,23}P =，，{2,4,6,8}Q =，则集合P Q ⨯中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合{}2|1,||2,A y y x x x Z ==+∈，用列举法表示为________． 26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合A 的个数为____________个. 27．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题： ①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A 不包含于B ⇔AB =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B ④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x |ax −6=0}，B={x |3x 2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a =____ 29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M 共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个． 三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合. （1）Welcome 中的所有字母组成的集合； （2）所有正偶数组成的集合； （3）二元二次方程组的解集； （4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合 （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合. （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A ={x |x <2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且BA ，求m 的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |}，B ={x |25x -≤≤}，若AB ，求实数m 的取值范围．。
数学-高一-第1讲-集合及集合之间的关系
辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题集合及集合之间的关系教学内容1. 理解集合（包括空集和全集）的意义；理解集合与其元素之间的关系及其关系符号；会用“列举法”和“描述法”表示集合；认识常用的数集的表示.2.理解集合的相等和包含关系及其关系符号.（以提问的形式回顾）1、集合的概念（1）集合的有关概念：集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。
我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；①集合的分类：、；②集合中元素的特性：、、；③空集是指：；答案：①有限集、无限集；“确定性”；②“互异性”；“无序性.③不含任何元素的集合.【说明】集合元素的“确定性”往往不是很好理解，可以结合实例来帮助学生理解.（2）集合的表示方法：集合的符号表示：集合常用大写英文字母A、B、C……表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c……表示；元素与集合的关系：属于∈与不属于∉（注意方向和辨析）；列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.图示法：（主要用于描述集合之间的关系）【说明】一般不宜采用列举法表示无限集；描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以结合下面的例题来加深对这种表示方法的理解；对于描述法，一定要引导学生紧紧抓住竖线前面的代表元素x 的含义（常见的有数、点等）.（3）特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ； 空集∅（例：方程220x +=的实数解集为∅）.【说明】常用数集之间的关系：*N N Z Q R⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠； 注意∅与{0}的区别.2、集合之间的关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇（读作：A 包含于B 或B 包含A ）（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的真子集，记作：A B Ü或B A Ý，读作A 真包含于B 或B 真包含A .（3）相等的集合：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 等于集合B ，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）；【辨析】①空集是任何集合的子集，即A ∅⊆；空集是任何非空集合的真子集.②任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；③子集的传递性：若,,A B B C A C ⊆⊆⊆则；④若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；⑤相等的集合中所含元素完全相同；⑥连接元素与集合的符号有：∈和∉；⑦连接集合与集合的符号有：⊆⊂=≠≠、、、等； ⑧含有n 个元素的集合的子集共有2n .（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式320x +>的解；（2）我班中身高较高的同学；（3）直线21y x =-上所有的点；（4）不大于10且不小于1的奇数。
1.2 集合间的基本关系
[解] (1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序 实数对，故 A 与 B 之间无包含关系．
(2)集合 B＝{x|x<5}，用 数轴表示集合 A，B 如图所 示，由图可知 A B.
(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等 的三角形，故 A B.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于 n∈N *，因此
子集个数的探究
观察下表并回答后面的问题.
集合B 集合A 关系 {a} {a，b} B⊆C⊆A {a} {a，b，c} B⊆C⊆A
{a}
{a，b，c， d}
B⊆C⊆A
集合C的所有子集
集合C 的个数
{a}，{a，b}
2
{a}，{a，b}，{a，c}， {a，b，c}
A．P∈Q
B．P⊆Q
C．Q⊆P
D．Q∈P
解析：集合 Q 中的元素都在集合 P 中，所以 Q⊆P.
答案：C
2．已知集合 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则
A．B A
B．A B
()
C．B<A
D．A<B
解析：由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即 可．如图所示，由图可知，B A.
特性
(2)若 A≠∅，则∅ A
[想一想]
{0}与∅相同吗？ 提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素 0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.
[做一做]
下列集合中，是空集的为________(填序号)． ①{0}；②{x|x>8 且 x<5}；③{x∈N |x2＋1＝0}；
1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些 关系？
第一节 集合的概念与集合之间的关系
典例解析
【例4】* 已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3， m2}，且满足B⊆A，求m的值．
【分析】 因为B⊆A，可建立方程m2＝2m－1或m2＝ －1(舍去)，解出m的值即可．
典例解析
【例2】 用列举法表示下列集合． (1)A＝{不大于3的自然数}；(2)B＝{x|x2＋2x－3＝0}． 【解】 (1)A＝{0，1，2，3}． (2)B＝{－3，1}．
【分析】 (1)构成集合A的元素是不大于3的自然数，也就 是小于或等于3的自然数，注意要包括0，所以A＝{0，1，2， 3}；(2)构成集合B的元素是满足方程的实数，即一元二次方 程x2＋2x－3＝0的两个根，所以B＝{－3，1}．
集合B的真子集；
④若M⊆N，则M N.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【提示】 因为空集是任何非空集合的真子集，所 以①错误，②正确；由子集和真子集的定义可知， ③④错误，故选A.
同步精练
4．下列命题中错误的是( C )
A．∅⊆{0}
B．R⊇Q
C．{正奇数}⊇{质数} D．{x|x<2}⊆{x|x<3}
解 ∵B⊆A，∴m2＝2m－1或m2＝－1(舍去)，解得m＝1， ∴m＝1.
典例解析
【变式训练4】 已知集合A＝{1，3，n}，集合B＝{1， n2－n＋1}，且B⊆A，求n的值．
解：∵B⊆A， ∴n2－n＋1＝3或n2－n＋1＝n， 即n2－n－2＝0或n2－2n＋1＝0， 解得n＝2或n＝－1或n＝1(与元素的互异性矛盾，应舍去)． 故n的值为2或－1.
集合的基本关系知识点
集合的基本关系知识点集合是数学中的一个基础概念，它由元素组成，是一个无序、互不相同的集合。
在集合中，元素的存在与否只与它是否属于该集合有关，不与其在集合中的位置有关。
集合的基本关系包括包含、相等、交、并、差等，下面将逐一介绍。
一、包含关系包含关系是集合关系中最基本的一种关系，即一个集合是否包含另一个集合。
我们用符号“⊆”表示包含关系，例如A⊆B表示集合A是集合B的子集。
一般地，如果一个元素集合A的每一个元素都属于另一个元素集合B，则称A是B的一个子集，即A⊆B；如果集合A不是集合B的子集，可以表示为A⊈B。
包含关系还有一些重要的性质：1.自反性：一个集合总是包含它自身，即A⊆A。
2.传递性：如果C是B的子集，B是A的子集，则C也是A的子集，即如果A⊆B且B⊆C，那么就有A⊆C。
3.反对称性：如果A⊆B且B⊆A，则A=B。
二、相等关系相等关系是指两个集合的元素完全一样，称为相等关系。
我们用符号“=”表示相等关系，例如A=B表示集合A与集合B相等。
需要注意的是，即使两个集合里的元素相同，它们的顺序不同也不影响它们是相等的。
三、交集和并集交集和并集是两个集合最常见的组合关系。
假设A和B是两个集合，它们的交集表示为A∩B，即由同时属于A和B的所有元素构成一个新集合；而并集表示为A∪B，即由A中所有元素和B 中所有元素所构成的一个新集合。
交集和并集还有一些重要的性质：1.交换律：A∩B=B∩A ；A∪B=B∪A。
2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C) ；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3.分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
4.对偶律：(A∩B)′=A′∪B′ ；(A∪B)′=A′∩B′。
四、差集差集是指一个集合中去掉另一个集合后剩余的部分。
假设A和B是两个集合，则它们的差集表示为A-B，即由属于A但不属于B的所有元素所构成的一个新集合。
五、补集补集是指一个集合与另一个全集合之间的差集。
集合间的基本关系教案
1.1.2 集合间的基本关系一、教学目标：1、知识与技能（1）理解集合之间包含和相等的含义；（2）能识别给定集合的子集；（3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系。
2、过程与方法（1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系；（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。
3、情感、态度、价值观（1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。
（2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想。
二、重点、难点：重点：（1）帮助学生由具体到抽象地认识集合与集合之间的关系——子集；（2）如何确定集合之间的关系。
难点：集合关系与其特征性质之间的关系。
三、教学过程：1、新课引入问题1：元素与集合有“属于”、“不属于”的关系；数与数之间有“相等”、“不相等”的关系；那么集合与集合之间有什么样的关系呢？2、概念的形成问题1的探究：具体实例1：看下面各组中两个集合之间有什么关系（1）A＝{1，2，3}， B＝{1，2，3，4，5}（2）A={菱形}， B＝{平行四边形}12 （3）A={x|x>2}， B={x|x>1}（学生分组讨论）.......大家分析的都很好，能抓住问题的核心，从元素看集合。
那么在第3组中出现了两个不等式，我们可以借助于数轴进而看到它们的关系（黑板画数轴表示集合）。
具有这样关系的两个集合如何准确的用数学语言表述呢？（1）子集的定义：文字语言：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集。
符号语言：B A ⊆或A B ⊇。
这种图称为Venn 图.练习1、用适当的符号填空：0 {0}， {正方形} {矩形}，三角形 {等边三角形}{梯形} {平行四边形}，{x|-1<x<5} {x|2<x<4}3、概念的深化问题2、如果集合A 是集合B 的子集，那么对于任意的A x ∈，有B x ∈；那么对于集合B 中的任何一个元素，它与集合A 之间又可能是什么关系呢？问题2探究：具体实例2：(1)、A ＝{x|x<-4或x>2}，B={x|x<0或x>1}(2)、A ＝{x|-1<x<3}，B={x|-3<2x-1<5}......通过对实例1的探讨，大家能客观细致地分析得到两个集合之间的关系了。
集合间的基本关系
3.已知A { x | 2 x 5}, B { x | a 1 x 2a 1}, B A, 求实数a的取值范围 .
解： A， 当B ，有a 1 2a 1, 即a 2 2 a 1 a 1 当B 时，有a 1 -2 2 a 1 5 2 a 3 综上所述，a的取值范围a 3.
1.1.2集合间的基本关系
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作 A B (或B A) 读作 “A含于B”(或“B包含A” )
B
A
2.集合相等与真子集的概念
如果集合 A是集合B的子集(A B) ，且集合B是 集合A的子集（B A），此时，集合 A与集合B中 的元素是一样，因此， 集合A与集合B相 等， 记作 A＝B
答案：－1
5.反馈演练
1、下列命题： (1)空集没有子集； (2)任何集合至少有两个 子休； (3)空集是任何集合的真子 集； (4)若 A，则A .其中正确的有 ( A.0个 ) D.3个 B.1个 C.2个
y-3 2.设x, y R，A {(x,y) | y - 3 x - 2}, B {(x,y) | 1}, x-2 则A，B的关系是______.
课堂练习
1 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
2 设A={1，2}，B={x|x∈A}，问A与B有什 么关系？并用列举法写出B？
4、设集合A {x | x 2 4x 0}, B {x | x 2 2(a 1)x a 2 - 1 0,a R}, 若B A，求实数a的值.