内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2018-2019学年高二上期中考试(理科)数学试题
内蒙古师大附中2018-2019学年度上学期高二期中考试
理科数学试题卷
一、选择题(每小题5分,共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意)
1.不等式02
1＜+-x x 的解集为（ ） A.()12，- B.()21，- C.()()∞+-∞-，，12 D.()()∞+-∞-，，21
2.若，，，R c b a ∈且，＞b a 则下列不等式一定成立的是（ ） A.b a 11＜ B.1＞b
a C.
b a ＞ D.
c b c a ＞
3.已知数列{}n a 中,()，，23311≥+==-n a a a n n 则10a 等于（ ）
A.10
B.20
C.30
D.40 4.已知不等式0132＜+-x ax 的解集为，＜＜⎭
⎬⎫⎩⎨⎧121|x x 则实数a 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2
5.已知等比数列{}n a 中，，，32335261==+a a a a 公比，＞1q 则=6S （ ）
A.63
B.64
C.127
D.128
6.下列说法中,正确的是（ ）
A.命题“若，＞b a 则b
a 11
＜”的逆命题是直命题 B.命题，＞，0:02
00x x R x p -∈∃则0:2≤-∈∀⌝x x R x p ，
C.命题“q p ∨”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题
D.“2＞a ”是“5＞a ”的充分不必要条件
7.已知41，
，，b a 成等差数列,41，，，d c 成等比数列,则不等式()cd x x b a +≤+2的解集为（ ） A.[]41， B.[]14--， C.(][)∞+∞-，，41 D.(][)∞+--∞-，，14
8.已知数列{}n a 满足，，n
n a a a -==+112111其前项n 和为，n S 则下列说法正确的是（ ） A.120-=a B.1120=S C.1110a a ＞ D.1110S S ＜
9.已知正数y x 、满足，12=+y x 则y
x 12+的最小值为（ ） A.7 B.8 C.9 D.10
10.已知{}n a 为等差数列且，，221==d a 其前n 项和为，n S 则n
n a S 98+的最小值为（ ） A.9 B.10 C.552 D.9
94 11.做一个面积为，2m 1形状为直角三角形的铁架框,在下面四种长度的铁管中,最合理(够用、又浪费最少) （ ）
A.4.6m
B.4.8m
C.5m
D.5.2m
12.已知数列{}n a 的前项n 和()，
11211-∙-=n n n S 则下列说法正确的是（ ） A.数列{}n a 单调递增 B.数列{}n a 单调递减 C.数列{}n a 有最小值 D.数列{}n a 有最大值
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.若实数y x 、满足约束条件，⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x 则y x z +=2的最大值是_________.
14.命题“如果，0=xy 则0=x ”的逆否命题为_________.
15.已知不等式xy y a x x 2222--≥++对任意实数y x 、恒成立,则实数a 的最小值是____.
16.设{}n a 是由正数组成的等比数列,n S 是{}n a 的前n 项和,已知，，2816342==S a a 则当 n a a a ⋯21最大时,n 的值为_________.
三、解答题(本大题共6题,共70分)
17.(本小题满分10分)在等比数列{}n a 中,.2
1
42==q a ， (1)若，2
1
=n a 求n 的值； (2)求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 16的前n 项和.n S
18.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中,.6015101-=-=S a ，
(1)若，＜0805++n n a S 求n 的最大值；
(2)令，n n a b =求数列{}n b 的前n 项和.n T
19.(本小题满分12分)已知函数()()().12R m R x m x m mx x f ∈∈+--=，
(1)若，5
1=m 求不等式()m x f ＜＜0的解集；
(2)若()0≥x f 的解集为R,求实数m 的取值范围.
20.(本小题满分12分)已知，，+∈R b a 求证: (1)；32221+≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a (2)
.2
2b a b a +≥++
21.(本小题满分12分)已知函数().1
1-+
=x x x f (1)求函数()x f 的定义域(用区间表示)； (2)若()1
1-+≥a a x f 在区间()∞+，1上恒成立,求实数a 的取值范围； (3)解关于x 的不等式()().01≠+
a a x x f ＞
22.(本小题满分12分)给定无穷数列{}，
n a 若无穷数列{}n b 满足:对任意，*N n ∈都有 ，
1≤-n n a b 则称{}n b 与{}n a “接近”. (1)设{}n a 是首项为-1,公比为
21的等比数列,，，*11N n a b n n ∈+=+判断数列{}n b 是否与{}n a “接近”，并说明理由；
(2)设数列{}n a 是首项为2,公差为2的等差数列,{}n b 是一个与{}n a “接近”的数列,记集合
{}，
，，，，1021|⋯===i b x x M i 试确定集合M 中元素的个数.。
呼中区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷
呼中区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个2． 已知函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x （m ∈R ）存在两个极值点x 1，x 2，直线l 经过点A （x 1，x 12），B（x 2，x 22），记圆（x+1）2+y 2=上的点到直线l 的最短距离为g （m ），则g （m ）的取值范围是（ ）A ．[0，2]B ．[0，3]C ．[0，）D ．[0，）3． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a的 取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)- 4． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D106． 函数f （x ）=e ln|x|+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38． 函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．9． 已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k ﹣4，与垂直，k 的值为（ ）A ．﹣6B ．6C ．3D ．﹣310．若椭圆+=1的离心率e=，则m 的值为（ ）A ．1B ．或C ．D ．3或11．给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f （x ）=|x ﹣{x}|的四个命题：①；②f （3.4）=﹣0.4；③；④y=f （x ）的定义域为R ，值域是；则其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=，c=2，cosA=，则b=（ ）A ．B ．C ．2D ．3二、填空题13．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．14．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.15．若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于则该正四棱锥的外接球的半径为_________17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为__________.18．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2|23|2yyaf x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．20．2()sin 2f x x x =. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12A f =，ABC ∆的面积为.21．已知函数．（1）求f （x ）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求函数f （A ）的取值范围．22．圆锥底面半径为1cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．23．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x y a b +=相切，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使 得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.24．设点P的坐标为（x﹣3，y﹣2）．（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第二象限的概率；（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第三象限的概率．呼中区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =，所以当{1,2}A =时，{1,2,4}B =；当{1,3}A =时，{1,2,4}B =；当{1,4}A =时，{1,2,3}B =；当{1,2,3}A =时，{1,4}B =；当{1,2,4}A =时，{1,3}B =；当{1,3,4}A =时，{1,2}B =；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.考点：元素与集合的关系的判断.【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]2． 【答案】C【解析】解：函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x 的导数为f ′（x ）=x 2+2mx+2m+3，由题意可得，判别式△＞0，即有4m 2﹣4（2m+3）＞0，解得m ＞3或m ＜﹣1， 又x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m+3，直线l 经过点A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），即有斜率k==x 1+x 2=﹣2m ，则有直线AB ：y ﹣x 12=﹣2m （x ﹣x 1）， 即为2mx+y ﹣2mx 1﹣x 12=0，圆（x+1）2+y 2=的圆心为（﹣1，0），半径r 为．则g （m ）=d ﹣r=﹣，由于f ′（x 1）=x 12+2mx 1+2m+3=0，则g （m ）=﹣，又m ＞3或m ＜﹣1，即有m 2＞1．则g （m ）＜﹣=，则有0≤g （m ）＜．故选C ．【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．3． 【答案】A 【解析】考点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.4． 【答案】B【解析】解：若命题“p 或q ”为真，则p 真或q 真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】B【解析】本题考查了对数的计算、列举思想a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个6．【答案】C【解析】解：∵f（x）=e ln|x|+∴f（﹣x）=e ln|x|﹣f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，当x→0+时，y→+∞，故排除B故选：C．7．【答案】B【解析】解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选B8． 【答案】D 【解析】因为1()f x x a x'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，因为12x x+?，所以1a £，故选D ． 9． 【答案】B【解析】解：∵ =（2+3）（k ﹣4）=2k +（3k ﹣8）﹣12=0，又∵=0．∴2k ﹣12=0，k=6．故选B【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的10．【答案】D【解析】解：当椭圆+=1的焦点在x 轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=3当椭圆+=1的焦点在y 轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．11．【答案】B【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+∴{﹣}=﹣1∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=∴①正确；②∵3﹣＜3.4≤3+∴{3.4}=3∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4∴②错误；③∵0﹣＜﹣≤0+∴{﹣}=0∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，∵0﹣＜≤0+∴{}=0∴f（）=|﹣0|=，∴f（﹣）=f（）∴③正确；④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]∴④错误．故选：B．【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．12．【答案】D【解析】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．二、填空题13．【答案】[，﹣1]．【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；F（﹣c，0）；∵AF⊥BF，∴=0，即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，cos2α==2﹣，故cosα=，而|AF|=，|AB|==2c，而sinθ===，∵θ∈[，]，∴sinθ∈[，]，∴≤≤，∴≤+≤，∴，即，解得，≤e≤﹣1； 故答案为：[，﹣1]．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．14．【答案】②③ 【解析】试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =；③对；(,)2A B ϕ==≤；④错；1212(,)x x x x A B ϕ==，1211,(,)A B ϕ==因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 15．【答案】【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 则。
内蒙古巴彦淖尔市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(普通班)Word版含答案
内蒙古巴彦淖尔市2018-2019学年上学期期中考试高二数学（理）试题（普通班）一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项中只有一项正确1．如果命题“⌝ (p 或q )”为假命题，则( )A ．p 、q 中至少有一个为真命题B ．p 、q 中至多有一个为真命题C ．p 、q 均为真命题D ．p 、q 均为假命题2．双曲线x y 222-=8的实轴长是 ( )A ．2B ．． 4 D ．3．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1 4．已知椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2的周长为( ) A ．10 B ．20 C ．241 D ．4415．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x 6．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝－452yB ．y 2＝454xC ．y 2＝254xD ．x 2＝－454y 7． “双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．抛物线2x y =上的任意一点到直线02=--y x 的最短距离为（ ）A ．2B ．827C ．22D ．以上答案都不对第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（5分×4=20分）将最后结果直接填在横线上.13．双曲线221916x y -=上一点P 到它的一个焦点的距离为7，则点P 到另一个焦点的距离为____________． 14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S ＝________．15．椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点为F 1、F 2点P 在椭圆上，使∠F 1PF 2＝90°的点P 有________个． 16. 下列命题中的假命题是________．①,lg 0x R x ∃∈=；②,tan 1x R x ∃∈=；③3,0x R x ∀∈>； ④,20x x R ∀∈>.三、解答题（12分+10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17. (本小题满分12分，每小问6分) 根据下列条件求双曲线的标准方程（1）经过点1516 (3,),(,5)43P Q-；（2）c=(5,2)-，焦点在x轴上。
2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市高二上学期期中考试数学(理)试题
鄂尔多斯市2018-2019学年第一学期期中考试高二理科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合A {x |4x 3}=-<<，B {x |x 2}=≤，则A B (⋂= ) A. (],2∞- B. (),3∞- C. ()4,3- D. (]4,2- 【答案】D 【解析】 【分析】进行交集的运算即可．【详解】解：(]A B {x |4x 2}4,2⋂=-<≤=-． 故选D ．【点睛】考查描述法和区间表示集合的定义以及交集的运算． 2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. cos y x =B. sin y x =C. ln y x =D.21y x =+【答案】A【解析】由选项可知，,B C 项均不是偶函数，故排除,B C ，,A D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.3.已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m =( )A. −8B. −6C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.在等比数列{}n a 中，1352,12a a a =+＝，则7a =（ ） A. 8B. 10C. 14D. 16【答案】D 【解析】 分析】设出等比数列的公比q 后,利用等比数列的通项公式运算可得.【详解】设等比数列的公比为q ,由3512a a +=,可得241112a q a q +=,可得4260q q +-=,可得223)(2)0q q +-=, 所以22q =,所以671a a q =32216=⨯=.故选D .【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及运算求解能力.属于基础题. 5.若－2π<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 试题分析：∵－2π<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B 考点：本题考查了三角函数值的符号点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题 6.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A. 14B.13 C. 12D. 23【答案】C 【解析】 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答． 【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C ．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．7.已知正数,x y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（ ）A. 18B. 16C. 8D. 10【答案】A 【解析】 【分析】()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后运用基本不等式求出最小值【详解】811x y+=Q()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当16y xx y=，即12x =，3y =时，2x y +取得最小值18 故选A【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题8.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，所以224111aa +-=+，解得43a =-，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．9.在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A. 13B.12C. 22D. 3【答案】A 【解析】如图，在菱形ABCD 中由题意可得3BD =．将菱形沿对角线AC 折起后得到如图的三棱锥B ACD -，取AC 的中点O ，连,BO DO ，则,BO AC DO AC ⊥⊥，所以BOD ∠即为二面角B －AC －D 的平面角．在BOD ∆中，31OB OD BD ===， 由余弦定理得2233((1122cos 3332BOD +-∠==⨯⨯， 故二面角B －AC －D 的余弦值为13．选A ． 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，133n n S a +=-，则n a =（ ）A. 143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 134n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 13n -D. 113n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：类比着133n n S a +=-，有1233n n S a ++=-，两式相减，可得12133n n n a a a +++=-，整理得2143n n a a ++=，且有12331a a =-=，从而得214433a a ==，所以数列{}n a 是以1为首项，以43为公比的等比数列，所以n a =143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．考点：数列的递推公式，数列的通项公式． 11.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间7[,]1212ππ上单调递减B. 在区间7[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233y x x πππ=-+=-，∵71212x ππ≤≤，∴22232x πππ-≤-≤，∴函数3sin(2)3y x π=+在7[,]1212ππ上为增函数．考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．12.设函数()266,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x ，使得()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．A. 2026,33⎛⎤⎥⎝⎦B. 2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 11,63⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】分析题意，将问题转化为：方程()f x a =有三个解1x ，2x ，3x ，此时可利用数形结合思想分析123x x x ++的取值范围.【详解】设()f x a =有三个解1x ，2x ，3x ，不妨令123x x x <<，作出()f x 和y a =图象如图所示：因为()226633y x x x =-+=--顶点坐标为()3,3-，所以()3,4a ∈-；由图象可知：23,x x 关于3x =对称，所以236x x +=；令343x +=-，73x =-，令344x +=，0x =，所以17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；所以()12311,63x x x ⎛⎫ ⎪⎝+∈⎭+. 故选D.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合的思想，难度较难.通过数形结合，可将抽象的函数零点个数或者方程根的数目转化为直观的函数图象的交点个数.常见数形结合思想的应用角度： （1）确定方程根或者函数零点数目； （2）求解参数范围； （3）求解不等式的解集； （4）研究函数的性质.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在边长为2的正ABC ∆中，则AB BC ⋅=u u u r u u u r【答案】-2 【解析】试题分析：22cos 23AB BC ππ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r考点：本题考查平面向量的数量积的定义 点评：解决本题的关键是注意向量的夹角，共起点14.如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为【答案】1 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大是1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为______________ 【答案】100101【解析】试题分析：依题意555,15a S ==，易求得11a d ==，所以n a n =，从而11111(1)1n n a a n n n n +==-++，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为100T ，则100111111110011223100101101101T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 考点：等差数列知识以及特殊数列求和的方法之一：拆项相消法.16.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .若,,a b c 成等比数列，求cos B 的最小值__________. 【答案】12【解析】 【分析】利用余弦定理结合等比中项性质、基本不等式，即可得答案.【详解】∵ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .若,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，∴222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-==≥，当且仅当a c =时，等号成立.故答案：12. 【点睛】本题考查余弦定理、等比中项性质、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.三、解答题（本大题共70分）17.已知函数2()sin 2sin 22cos 1,33f x x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π（Ⅱ，最小值为-1 【解析】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将()2222cos 133f x sin x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用周期公式即可求得函数()f x 的最小正周期；（2）可分析得到函数()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，从而可求得()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.试题解析：(1)f (x )＝sin 2x ·cos 3π＋cos 2x ·sin 3π＋sin 2x ·cos 3π－cos 2x ·sin 3π＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以，f (x )的最小正周期T ＝22π＝π.(2)因为f (x )在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数． 又1, 2.1484f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为－1.18.已知公差不为零的等差数列中，11a =，且139,,a a a 成等比数列． （1）求数列的通项公式 （2）求数列{}2n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =；（2）122n n S +=-.【解析】试题分析：（1）由已知设等差数列的公差为d ，又11a =，且139,,a a a 成等比数列，根据等比数列的性质列方程()212d 118d +=⨯+（），解得1d =，代入等差数列的通项公式即可；（2）由已知得2nn b =，根据等比数列的定义判断{}n b 是以2为首项2为公比的等比数列，代入等比数列的前n 项和公式即可.试题解析：解：（1）设公差为d,则有()212d 118d +=⨯+（）, ∴d=0（舍）或1d =,∴n a n =（2）令22n a n n b ==∵1122,2nn n n b b --==为定常数 ∴{}n b 是以2为首项2为公比的等比数列∴12(12)2212n n n S +⨯-==--考点：等差数列的通项公式；等比数列的定义和性质；等比数列的前n 项和公式. 19.某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示.已知在全体教职工中随机抽取一名，抽到第二批次中女职工的概率是0.16.（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知96y ≥，96z ≥，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.【答案】（1）144x =（2）应在第三批次中抽取12名（3）49【解析】【分析】（1）在全体教职工中随机抽取1名，抽到第2批次中女教师职工的概率是0.16，用x 除以总体数等于0.16，即可求出x 的值；（2）根据总体数和第1批次和第2批次的总人数和总体数，得到第三批次的人数，根据每个个体被抽到的概率，列出等式，解方程即可；（3）试验发生包含的事件数可以通过列举得到结果，满足条件的事件也可以通过列举得到事件数，再利用古典概型的求概率公式，计算概率. 【详解】（1）由0.16900x =，解得144x =. （2）第三批次的人数为900(196204144156)200y z +=-+++=， 设应在第三批次中抽取m 名，则54200900m =，解得12m =. ∴应在第三批次中抽取12名.（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ，由（2）知，200y z +=（,y z ∈N ，96y ≥，96z ≥）则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个，而事件A 包含的基本事件有：(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共4个， ∴4()9P A =. 【点睛】本题考查分层抽样的方法、古典概型的概率计算、样本的数字特征估计总体的数字特征，考查运算求解能力.20.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且，7cos 9B =． （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求()sin A B -的值．【答案】（Ⅰ）3a c ==（Ⅱ）102 【解析】（Ⅰ）因为2227cos 29a cb B ac +-==， 所以()2227,29a c ac b ac +--= 分别代入得9,ac =解得 3.a c == （Ⅱ）由7cos 9B =得2sin 9B =， 因为,sin sin abA B =所以2sin 3A =1cos ,3A = 所以()227142102sin sin cos cos sin 93AB A B A B -=-=-= 【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由2227cos 29a cb B ac +-==求3a c ==的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求()sin A B -的过程则体现了“通性通法”的常规考查.21. △ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=4π（Ⅱ）21+ 【解析】【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形ABC 中，A=－(B+C) ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S △ABC 12=ac sin B 24=ac ， 由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 2⨯， 整理得：ac 22≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 则△ABC 面积的最大值为121222222⨯⨯=⨯⨯-（22+）2=+1． 22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 底面ABC ，且ABC V 为正三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点.（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ；（2）求三棱锥1C B D C -的体积；（3）三棱柱111ABC A B C -的顶点都在一个球面上，求该球的体积.【答案】（1）证明见解析（2）193C BC D V -=（3）球的体积为2821π【解析】【分析】（1）连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，可得A 1B //OD ，则直线AB 1//平面BC 1D ； （2）直接利用等积法求三棱锥1C B D C -的体积；（3）设底面三角形的中心为G ，则AG =23，再设三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为M ，求出半径MA ，则球的体积可求.【详解】（1）连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则O 为B 1C 的中点， ∵D 为AC 的中点，得DO 为1AB C ∆的中位线，∴A 1B //OD ， ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，∴直线1//AB 平面1BC D ；（2）在正棱柱111ABC A B C -中，AA 1=AB =6，∴11111633693322C BCD C BCD V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=； （3）设底面三角形的中心为G ，则AG =23，再设三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为M ，则球的半径为22(23)321MA =+=， ∴球的体积为34(21)28213ππ⨯=.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、球的体积，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意等积法的应用.。
【数学】内蒙古呼和浩特市回民中学2018-2019学年高一上学期期中考试试题(A卷)-副本
A .a 1
B .a 1
C .a 1
D .a 1
12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x2 x ，则当 x 0 时，
f ( x) （ ）
A . f ( x) x2 x B . f (x) x2 x
13.设 2a
3b
1 6 ，则
1
（
）
ab
A. 1
B .1
.
会当凌绝顶、一览众山小
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17.函数 f ( x) 1 log2 x 的定义域是
.
x2 1, x 0,
18. f x
若 f x 10 ,则 x
.
2x, x 0,
19. 2 log5 10 log5 0.25
.
20.函数 f ( x) 2a x 1 4(a 0 且 a 1) 的图象恒过定点 P ，则 P 点的坐标是
A . 1,3,4
B . 5,6
C . 1,3,4,5,6
D. 2
2.若集合 A 1,3, x , B x2,1 ，且 B A ,则满足条件的实数 x 的个数为（ ）
A .4
B .3
C.2
D .1
3.设 A x 0 x 2 , B y 0 y 2 , 下列各图中能表示从集合 A 到集合 B 的映射的是
（2）在平面直角坐标系中画出函数的图像，并根据函数的图象写出函数的单调递增区间
.
（3） f ( x) a 有四个不同的实数根，求实数 a 的取值范围 .
26.（本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) x2 2ax a . （1）当 a 1时，求函数 f ( x) 在 [ 0,3] 上的值域； （2）是否存在实数 a ，使函数 f (x) x2 2ax a 的定义域为 [ 1,1] ，值域为 [ 2,2] ？若 存在，求出 a 的值，若不存在，说明理由 .
内蒙古呼和浩特市回民中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题(PDF,无答案)
2018-2019学年度第一学期高二年级数学第一次月考考试试卷（卷面分值：100分，考试时长：90分钟）命题人：王灵芝校题人:马婷婷一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）1.在等差数列{a n}中，已知a2=−8，公差d=2，则a12=()A. 10B. 12C. 14D. 162.数列{a n}为等比数列，若a3=−3，a4=6，则a6=()A. −24B. 12C. 18D. 243.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为()A. 1B. 2C. 4D. 84.如果−1，a，b，c，−9成等比数列，那么()A. b=−3，ac=9B. b=3，ac=9C. b=3，ac=−9D. b=−3，ac=−95.已知数列1，√3，√5，…，√2n−1，…，则√21是这个数列的()A. 第10项B. 第11项C. 第12项D. 第21项6.已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A.100B.99C.98D.977.已知a=1，b=9，则a，b的等比中项为（）A.3B.±3C.-3D.98.已知等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a5=（）A.1B.C.D.49.已知数1、a、b成等差数列，而1、b、a成等比数列，若a≠b，则a的值为（）A. -B.C.D. -10.已知等比数列{a n}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A.3B.15C. 63D. 4811.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=()A. 1023B. 1024C. 2048D. 204712.在等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2−2x−6=0的两根，则{a n}的前11项的和为()A. 22B. −33C. −11D. 1113.已知等差数列{a n}中，S n是{a n}的前n项和，且S3=30，S6=100，则S9的值为()A. 130B. 170C. 210D. 26014.已知等差数列{a n}的前n项为S n，且a1+a5=−14，S9=−27，则使得S n取最小值时的n为()A. 1B. 6C. 7D. 6或715.在数列{a n}中，a n=−2n2+29n+3，则此数列最大项的值是()A. 102B. 8658C. 8178D. 108二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1=a n+2(其中n∈N∗)，则a20=__ 。
呼和浩特市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
呼和浩特市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）A ．2B ．1C ．D ．2． 函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 3． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2D ．2 54． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（ ）A ．导函数为B ．函数f （x ）的图象关于直线对称C ．函数f （x ）在区间（﹣，）上是增函数D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度得到5． 已知直线 a 平面α，直线b ⊆平面α，则（ ）A ．a bB ．与异面C ．与相交D ．与无公共点6． 若点O 和点F （﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 函数y=（x 2﹣5x+6）的单调减区间为（ ）A ．（，+∞）B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，）D ．（﹣∞，2）8． 在下列区间中，函数f （x ）=（）x ﹣x 的零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3 ）D ．（3，4）9． 已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为（ ）A ．+=1B ．+y 2=1C ．+=1D ．+=110．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（ ）A ．B ．C ．D ．12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的的值等于126，则判断框中的①可以是（ ）A ．i ＞4？B ．i ＞5？C ．i ＞6？D ．i ＞7？二、填空题13．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．14．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 的体积的最大值为 ．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是°．16．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．17．设A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，A∩B=B，则a的取值范围是．18．某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种．（用数字作答）三、解答题19．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小。
呼和浩特市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
呼和浩特市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．4D ．22． 等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．3D ．43． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2B ．﹣2C ．8D ．﹣84． 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数5． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）6． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭等于（ ）A ．15-B ．15C ．-5D ．57． 已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）8． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位： 小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.9． 若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞）D ．（﹣1，0）10．已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）A ．2017B ．﹣8C ．D ．11．已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定12．集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x ＜2}C ．{x|0＜x ≤1}D ．{x|x ≤1}二、填空题13．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 14．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．15．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．16．不等式的解集为R ，则实数m 的范围是．17．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测1564的线性回归方程为附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．18．设函数则______；若，，则的大小关系是______．三、解答题19．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）20．已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF⊥平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．22．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（Ⅰ）求出f（5）；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．24．（1）化简：（2）已知tanα=3，计算的值．呼和浩特市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，PE取最小值，此时，P（2，2，4），E（4，2，0），∴|PE|min==2．故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．2．【答案】D【解析】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=4故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．3．【答案】B【解析】解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．4．【答案】B【解析】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选B．【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．5．【答案】B【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，令h（x）=，则h′（x）=，∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，∴h（x）max=h（e）=，∴＜h（e）=，∴m＜．∴m的取值范围是（﹣∞，）．故选：B．【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．6．【答案】B【解析】考点：三角恒等变换．7．【答案】A【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，即方程f（x）=k有两个不同的实根，故选：A8．【答案】15【解析】9．【答案】C【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C ．10．【答案】D【解析】解：∵f （x+2）=﹣f （x ）， ∴f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）， 即f （x+4）=f （x ）， 即函数的周期是4．∴a 2017=f （2017）=f （504×4+1）=f （1）， ∵f （x ）为偶函数，当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ， ∴f （1）=f （﹣1）=， ∴a 2017=f （1）=， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．11．【答案】C【解析】解：由点P （x 0，y 0）在圆C ：x 2+y 2=4外，可得x 02+y 02＞4，求得圆心C （0，0）到直线l ：x 0x+y 0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C 相交， 故选：C ．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：由Venn 图可知，阴影部分的元素为属于A 当不属于B 的元素构成，所以用集合表示为A ∩（∁U B ）． A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}={x|﹣1＜x ＜2}，B={x|y=ln （1﹣x ）}={x|1﹣x ＞0}={x|x ＜1}， 则∁U B={x|x ≥1}，则A ∩（∁U B ）={x|1≤x ＜2}． 故选：B ．【点评】本题主要考查Venn 图表达 集合的关系和运算，比较基础．二、填空题13．【答案】(1,2)-，(,5)-∞.【解析】将圆的一般方程化为标准方程，22(1)(2)5x y m -++=-，∴圆心坐标(1,2)-，而505m m ->⇒<，∴m 的范围是(,5)-∞，故填：(1,2)-，(,5)-∞. 14．【答案】 [﹣1，3] ．【解析】解：∵函数y=sin 2x ﹣2sinx=（sinx ﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx ≤1，∴0≤（sinx ﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx ﹣1）2﹣1≤3．∴函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈[﹣1，3]．故答案为[﹣1，3]．【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．15．【答案】5 【解析】试题分析：'2'()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=． 考点：导数与极值．16．【答案】 ．【解析】解：不等式，x 2﹣8x+20＞0恒成立可得知：mx 2+2（m+1）x+9x+4＜0在x ∈R 上恒成立．显然m ＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m （9m+4）＜0，解得：m ＜﹣或m ＞所以m ＜﹣故答案为：17．【答案】 y=﹣1.7t+68.7【解析】解： =， ==63.6．=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．=4+1+0+1+2=10．∴=﹣=﹣1.7.=63.6+1.7×3=68.7．∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7．故答案为y=﹣1.7t+68.7．【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．18．【答案】，【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】，因为，所以又若，结合图像知：所以：。
内蒙古呼和浩特市回民中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年内蒙古呼和浩特市回民中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}的通项公式a4=5，a5=4，则a9的值为（）A．1 B．2 C．0 D．32．在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为（）．A．5 B．6 C．8 D．103．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．4．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）5．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．8 B．9 C．4 D．116．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则a的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣17．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞bC．若a＞b，则D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d8．若数列{a n}满足关系：a n=1+，a8=，则a5=（）+1A．B．C．D．9．已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．10．已知函数f（x）=|x﹣2|+|5﹣x|，则函数f（x）的最小值为（）A．7 B．2 C．5 D．311．已知a＜0，关于x的一元二次不等式ax2﹣（2+a）x+2＞0的解集为（）A．{x|x＜或x＞1}B．{x|＜x＜1} C．{x|x＜1或x＞} D．{x|1＜x＜}12．已知x，y，z∈R*，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是．14．在等差数列{a n}中，a8=8，则S15的值为．15．已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为．16．已知关于x的一元二次不等式mx2﹣（1﹣m）x+m≥0的解集为R，则实数m的取值范围是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）解下列不等式（1）2x2﹣3x+1＜0（2）≥1．18．（12分）已知x，y满足，z=2x﹣y（1）画出以上二元一次不等式组表示的平面区域；（2）求z的最大值和最小值．19．（12分）解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．20．（12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是各项为正的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和S n．21．（12分）证明下列不等式：（1）设a，b，c∈R*，且满足条件a+b+c=1，证明：≥9（2）已知a≥0，证明：＜．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N+）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；）（n∈N+），令T n=，求T n．（Ⅱ）设bn=（1﹣S n+12016-2017学年内蒙古呼和浩特市回民中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2016秋•回民区校级期中）已知等差数列{a n}的通项公式a4=5，a5=4，则a9的值为（）A．1 B．2 C．0 D．3【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】直接由等差数列的通项公式集合已知条件求出公差，进一步代入等差数列的通项公式求解．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a4=5，a5=4，得．∴a9=a5+4d=4﹣4=0．故选C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．2．（2010•重庆）在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为（）．A．5 B．6 C．8 D．10【考点】等差数列的通项公式．【分析】本题主要是等差数列的性质等差中项的应用，用求出结果．【解答】解：由等差数列的性质得a1+a9=2a5，∴a5=5．故选A【点评】给出等差数列的两项，若两项中间有奇数个项，则可求出这两项的等差中项，等比数列也有这样的性质，等比中项的求解时注意有正负两个结果．3．（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．【考点】等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，∴a5=a2•q3，∴==，∴q=，故选：D．【点评】本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．4．（2016秋•回民区校级期中）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；综合法；集合．【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则集合B={x|1＜x＜3}，又集合A={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3），故选C．【点评】本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．5．（2016秋•回民区校级期中）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．8 B．9 C．4 D．11【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：由已知约束条件得到可行域如图：z=3x+y变形为y=﹣3x+z，由其几何意义得到过图中B时z最大，由得到B（3，2），所以z 的最大值为3×3+2=11；故选D．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是解答的前提，利用目标函数的几何意义求最值是关键．6．（2016秋•回民区校级期中）已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则a的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣1【考点】绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；演绎法．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：A．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．7．（2016秋•回民区校级期中）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞bC．若a＞b，则D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d【考点】不等式的基本性质．【专题】对应思想；转化法；不等式．【分析】特殊值法判断A、C，通过讨论c判断B，根据不等式的性质判断D．【解答】解：对于A：令a=1，b=0，c=﹣2，d=1，显然错误；对于B：若c＜0，错误；对于C：令a=1，b=﹣1，显然错误；对于D：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，故a﹣c＞b﹣d，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．8．（2010•徐水县校级模拟）若数列{a n}满足关系：a n=1+，a8=，则a5=（）+1A．B．C．D．【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】利用数列的递推式，利用a8的值求得a7，同理利用a7的值求得a6，利用a6的值求得a5．【解答】解：a8=1+=，∴a7=∴1+=，a6=1+=，a5=故选C【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于项数较小的数列可采用逐个求解的方法求得问题的答案．9．（2015•新课标II）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（2016秋•回民区校级期中）已知函数f（x）=|x﹣2|+|5﹣x|，则函数f（x）的最小值为（）A．7 B．2 C．5 D．3【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用绝对值三角不等式）|x﹣a|+|x﹣b|≥|（x﹣a）﹣（x﹣b）|求解【解答】解：函数f（x）=|x﹣2|+|5﹣x|≥|（x﹣2）+（5﹣x）|=3，故选D．【点评】本题考查了绝对值三角不等式，属于中档题．11．（2016秋•回民区校级期中）已知a＜0，关于x的一元二次不等式ax2﹣（2+a）x+2＞0的解集为（）A．{x|x＜或x＞1}B．{x|＜x＜1} C．{x|x＜1或x＞} D．{x|1＜x＜}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】利用因式分解法即可求出．【解答】解：∵a＜0，∴ax2﹣（2+a）x+2＞0，等价于（ax﹣2）（x﹣1）＞0，即（x﹣）（x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故不等式的解集为{x|＜x＜1}，故选：B．【点评】本题考查含参数的一元二次不等式的解法，属于基础题．12．（2016秋•回民区校级期中）已知x，y，z∈R*，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题；综合法；不等式．【分析】由题意可得=，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：因为x﹣2y+3z=0，∴y=，∴=≥=3，故选B．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2014•汕头二模）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是5≤a＜7．【考点】简单线性规划的应用．【专题】数形结合．【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5≤a＜7故答案为：5≤a＜7【点评】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．14．（2016秋•回民区校级期中）在等差数列{a n}中，a8=8，则S15的值为120．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：S15==15a8=15×8=120．故答案为：120．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2015秋•西安校级期末）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为16．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．故答案为：16．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．16．（2016秋•回民区校级期中）已知关于x的一元二次不等式mx2﹣（1﹣m）x+m≥0的解集为R，则实数m的取值范围是[，+∞）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】当m=0时，不等式可化为﹣x≥0，解得x≤0，显然不恒成立当m≠0时，不等式mx2﹣（1﹣m）x+m≥0的解集为R，则对应的二次函数y=mx2﹣（1﹣m）x+m的图象应开口朝上，且与x轴没有交点，由此构造不等式组，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当m=0时，不等式可化为﹣x≥0，解得x≤0，显然不恒成立，当m≠0时，不等式mx2﹣（1﹣m）x+m≥0的解集为R，则对应的二次函数y=mx2﹣（1﹣m）x+m的图象应开口朝上，且与x轴没有交点，故，解得m≥，综上所述，实数m的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的应用，其中解答时易忽略m=0时．属于基础题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•回民区校级期中）解下列不等式（1）2x2﹣3x+1＜0（2）≥1．【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】（1）利用分解法解不等式；（2）移项通分，化为整式不等式解之．【解答】解：（1）2x2﹣3x+1＜0 等价于（2x﹣1）（x﹣1）＜0，所以不等式的解集为{x|＜x＜1}；（2）不等式等价于0，即（x﹣1）（x+1）≥0且x+1≠0，所以不等式的解集为{x|x≥1或x＜﹣1}．【点评】本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之．18．（12分）（2016秋•回民区校级期中）已知x，y满足，z=2x﹣y（1）画出以上二元一次不等式组表示的平面区域；（2）求z的最大值和最小值．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；综合法．【分析】（1）利用不等式组画出可行域；（2）关键目标函数的几何意义求最值．【解答】解：（1）以上二元一次不等式组表示的平面区域如图：（2）z=2x﹣y，即y=2x﹣z的最大值是过图中B得到，最小值是过C得到．由得到B（5，2），由得到C（1，），所以z的最大值为2×5﹣2=8，最小值为2×1﹣=．【点评】本题考查了简单线性规划问题；一般的，画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．19．（12分）（2016秋•回民区校级期中）解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】选作题；分类讨论；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】将绝对值不等式的左边去掉绝对值，在每一段上解不等式，最后求它们的并集即可．【解答】解：当x＜2时，不等式即6﹣2x＞6，解得x＜0．当2≤x＜4时，不等式即2＞6，解得x无解．当x≥4时，不等式即x﹣6＞6，解得x＞12．综上可得，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（12，+∞）．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，不等式的解法是考试中常见的问题，属于中档题．20．（12分）（2008秋•绵阳期末）已知{a n}是等差数列，{b n}是各项为正的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用条件求数列的首项和公差，公比，然后求等差数列和等比数列的通项公式．（2）利用分组法求数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{ a n}的公差为d，等比数列{ b n}的公比为q，则根据题意，得…（3分）代入a1=b1=1，整理得，消去d，得2q4﹣q2﹣28=0，即q2=4，进而q=2，q=﹣2（舍去）．所以d=2．数列{ a n}，{ b n}的通项公式分别为a n=2n﹣1，b n=2n﹣1．…（7分）（2）因为a n+b n=2n﹣1+2n﹣1，所以由分组求和的办法，可得．…（10分）【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式，以及利用分组求和的方法求数列的前n项和S n．21．（12分）（2016秋•回民区校级期中）证明下列不等式：（1）设a，b，c∈R*，且满足条件a+b+c=1，证明：≥9（2）已知a≥0，证明：＜．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；演绎法；推理和证明．【分析】（1）依题意，可得=（a+b+c）（）=3+（+）+（+）+（），利用基本不等式即可证得结论；（2）利用分析法证明即可．【解答】证明：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，∴=（a+b+c）（）=3+（+）+（+）+（）≥3+2+2+2=9（当且仅当a=b=c时取“=”）（证毕）．（2）要证明＜，只要证明（）2＜（）2，只要证明a（a+3）＜（a+2）（a+1），只要证明0＜2，显然成立，故原不等式成立【点评】本题考查不等式的证明，着重考查分析法、基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查推理论证能力，属于中档题．22．（12分）（2013•滨州一模）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N+）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（1﹣S n）（n∈N+），令T n=，求T n．+1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）首先由递推式求出a1，取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后可证出数列{a n}是等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的a n代入递推式，则可求出1﹣S n+1，整理后得到b n，最后利用裂项相消求T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由，得：．当n≥2时，．则，即，所以．∵，∴．故数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴．∴．∴．所以，T n===．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，考查了计算能力，是中档题．。
内蒙古通辽实验中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理2018110702106
q 中，真命题是 在命题① p q; ②p q; ③p (q ); ④（p）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
9．若关于 x 的不等式 x 2 ax 6a 2 0 （ a 0 ）的解集为 ( , x1 ) ( x2 , ) ，且
x2 x1 5 2 ，则 a （
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． （本小题满分 10 分）已知 a a 2 ，且 a N ，求函数 f ( x) x
2 *
2a 的值域． x
18． （本小题满分 12 分）已知命题 p：空间两向量
=（1，﹣1，m）与
x 1 0 的解集是（ 2 x
） C. [1, 2) D. ( ,1] (2, )
B. ( ,1] [2, ) +
4.点 A（a，1）在椭圆 A． C．（﹣2，2） 5．若双曲线 ﹣
=1 的内部，则 a 的取值范围是（ ） B． D．（﹣1，1）
=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线
1 1 的最小值. x y
x y 1 0 14．设实数 x, y 满足 y 1 0 ，则 2 x y 的最小值为______ x y 1 0
x2 y2 1 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ 15．如 果椭圆 36 9
）
16．如图，在底面半径和高均为 4 的圆锥中，AB、CD 是底面圆 O 的两条互相垂直的直径，E 是母线 PB 的中点，若过直径 CD 与点 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一 部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 P 的距离为 ．
内蒙古鄂尔多斯一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
内蒙古鄂尔多斯一中2018-2019学年上学期期中高二数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．2．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．3．设△ABC，bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定4．目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）A．zmax =12，zmin=3 B．zmax=12，z无最小值C．zmin=3，z无最大值 D．z既无最大值，也无最小值5．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．2206．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设，，则P与Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P=Q D．无法确定7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）A．i＜4 B．i＞4 C．i＜5 D．i＞58．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R 均有x2+x+1＜0”C ．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件D ．“x ≠2或y ≠1”是“x+y ≠3”既不充分也不必要条件9．已知＜x ＜，设a=21﹣sinx ，b=2cosx ，c=2tanx ，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a10．若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．811．已知数列{a n }满足：．若，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范为（ ）A ．λ＞2B ．λ＞3C ．λ＜2D ．λ＜312．若F （c ，0）是双曲线﹣=1（a ＞b ＞0）的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为，则该双曲线的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4题，每题20分）13．若钝角△ABC 的面积为10，且AB=5，AC=8，则BC 等于 ．14．已知点P （x ，y ）到A （0，4）和B （﹣2，0）的距离相等，则2x +4y 的最小值为 ．15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为 ．16．已知B （﹣2，0），C （2，0），△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且||﹣||=2，则顶点A 的轨迹方程为 ．三、解答题（共6题，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣2x﹣3＞0，且￢p的￢q 必要不充分条件，求实数a的取值范围．}满足：．18．已知数列{an（I）求数列{a}的通项公式；n（II）设，求．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC 上．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2cos2﹣2sin2=，且A＜B，求．20．为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？21．下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式bn（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an（n=1，2，3，…），设，求数列{cn }的前n项和Sn．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．2．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．3．设△ABC，bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．4．目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）A．zmax =12，zmin=3 B．zmax=12，z无最小值C．zmin=3，z无最大值 D．z既无最大值，也无最小值【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得A（5，2），由得B（1，1）．当直线z=2x+y过点A（5，2）时，z最大是12，当直线z=2x+y过点B（1，1）时，z最小是3，但可行域不包括A点，故取不到最大值．故选C．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．5．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．220 【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）∴a1+a20=18∴=180故选B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用．考查等差数列的性质．6．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设，，则P与Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P=Q D．无法确定【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等比数列的通项公式知=，再由均值不等式知=．【解答】解：∵等比数列{a}的各项均为正数，公比q≠1，n∴=，故选A．【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列的通项公式和均值不等式的合理运用．7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）A．i＜4 B．i＞4 C．i＜5 D．i＞5【考点】程序框图．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是，可得结论．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：i T P第一次循环 2 1 5第二次循环 3 2 1第三次循环 4 3第四次循环 5 4退出循环，故判断框内应填入的条件是i＜5故选C．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题8．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R 均有x2+x+1＜0”C．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件D．“x≠2或y≠1”是“x+y≠3”既不充分也不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】利用四种命题的逆否故选判断A的正误，命题的否定判断B的正误；充要条件判断C、D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”不满足否命题的定义，A 不正确；对于B，命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R 均有x2+x+1＜0”，不满足命题的否定形式，B不正确；对于C，在△ABC中，“A＞B”⇔a＞b⇔sinA＞sinB，所以在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，正确；对于D，“x≠2或y≠1”是“x+y≠3”的逆否命题为：x+y=3，则x=2且y=1，x+y=3，是x=2且y=1的必要不充分条件；“x≠2或y≠1”是“x+y≠3”充分不必要条件，说既不充分也不必要条件是不正确的．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，命题的否定以及充要条件的判断，是基本知识的综合应用．9．已知＜x ＜，设a=21﹣sinx ，b=2cosx ，c=2tanx ，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a 【考点】不等式比较大小．【分析】欲比较a ，b ，c 的大小，只须比较它们的指数的大小，依据角的范围：＜x ＜即可比较三角函数的大小．【解答】解：因为＜x ＜，所以0＜cosx ＜sinx ＜1＜tanx ， 而sinx+cosx ＞1，cosx ＞1﹣sinx ， ∴a=21﹣sinx ＜b=2cosx ＜c=2tanx故a ＜b ＜c ． 答案：A【点评】本题主要考查了指数式的比较大小、三角函数式的比较大小，属于基础题．10．若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．8 【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】综合题；压轴题．【分析】先求出左焦点坐标F ，设P （x 0，y 0），根据P （x 0，y 0）在椭圆上可得到x 0、y 0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x 0、y 0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F （﹣1，0），设点P （x 0，y 0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=﹣2，因为﹣2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，取得最大值，故选C ．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．11．已知数列{a n }满足：．若，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范为（ ）A ．λ＞2B ．λ＞3C ．λ＜2D ．λ＜3 【考点】数列递推式；数列的函数特性． 【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】，分别令n=1，2，3，依次求出a 2=，a 3=，a 4=，由此猜想a n =，并用用数学归纳法证明．由a n =．知b n+1=（n ﹣λ）（+1）=（n ﹣λ）2n ，再由b 1=﹣λ，数列{b n }是单调递增数列，能求出λ的取值范围．【解答】解：∵，∴a 2==，a 3==，a 4==，由此猜想a n =． 用数学归纳法证明：①当n=1时，=1，成立；②假设n=k时，等式成立，即，则当n=k=1时，ak+1===，成立．∴an=．∴bn+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）2n，∴b2=（1﹣λ）2=2﹣2λ，∵b1=﹣λ，数列{bn}是单调递增数列，∴b1=﹣λ＜b2=2﹣2λ，解得λ＜2．故选C．【点评】本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用．12．若F（c，0）是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率e=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到渐近线y=x的距离为b，即有|OB|=a，△OAB的面积可以表示为aatanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠AOB==，设FB⊥OB，则F到渐近线y=x的距离为d==b，即有|OB|==a，则△OAB的面积可以表示为aatanθ==，解得，则e====．故选C．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于中档题．二、填空题（共4题，每题20分）13．若钝角△ABC的面积为10，且AB=5，AC=8，则BC等于7 ．【考点】余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为10，且AB=5，AC=8，所以×5×8×sinA=10，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，由余弦定理可得：BC==7．故答案为：7．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．14．已知点P （x ，y ）到A （0，4）和B （﹣2，0）的距离相等，则2x +4y 的最小值为 4 ．【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得x+2y=3，进而可得2x +4y =2x +22y ，由基本不等式求最值可得．【解答】解：∵P （x ，y ）到A （0，4）和B （﹣2，0）的距离相等，∴x 2+（y ﹣4）2=（x+2）2+y 2， 展开化简可得x+2y=3，∴2x +4y =2x +22y ≥2=2=2=4当且仅当2x =22y 即x=且y=时取最小值4．故答案为：4【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及距离公式和指数的运算，属基础题．15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为 ．【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据等差中项可知4S 2=S 1+3S 3，利用等比数列的求和公式用a 1和q 分别表示出S 1，S 2和S 3，代入即可求得q ．【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，∴a n =a 1q n ﹣1，又4S 2=S 1+3S 3，即4（a 1+a 1q ）=a 1+3（a 1+a 1q+a 1q 2），解．故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．16．已知B （﹣2，0），C （2，0），△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且||﹣||=2，则顶点A 的轨迹方程为．【考点】轨迹方程．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，由图可知∴|AB|﹣|AC|=|BE|﹣|CF|=||﹣||=2，即点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），则顶点A的轨迹方程可求．【解答】解：如图，设E、F分别为圆与AB、AC的两个切点，则|BE|=|BD|，|CD|=|CF|，又|AE|=|AF|，∴|AB|﹣|AC|=|BE|﹣|CF|=||﹣||=2，∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），且a=，c=2，∴b=，∴方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义，考查了平面几何知识在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．三、解答题（共6题，共70分）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣2x﹣3＞0，且￢p的￢q 必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】分别求出关于集合A 、B 中的x 的范围，根据￢p 的￢q 必要不充分条件，得到A ⊊B ，从而求出a 的范围即可．【解答】解：设A={x|x 2﹣4ax+3a 2＜0（a ＜0）}={x|3a ＜x ＜a （a ＜0）}B={x|x 2﹣2x ﹣3＞0}={x|x ＜﹣1或x ＞3}，∵￢p 是￢q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴A ⊊B ，所以3a ≥3或a ≤﹣1，又a ＜0， 所以实数a 的取值范围是a ≤﹣1．【点评】本题考查了充分必要条件，集合的包含关系，是一道基础题．18．已知数列{a n }满足：．（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）设，求．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先求出=（32﹣1）=3，再由n ≥2时，=（++…+）﹣（++…+）求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）由于 b n =log 3=﹣（2n ﹣1），==（﹣），用裂项法求出所求式子的值．【解答】解：（Ⅰ） =（32﹣1）=3，…当n ≥2时，∵ =（++…+）﹣（++…+）=（32n ﹣1）﹣（32n ﹣2﹣1）=32n ﹣1，…当n=1，=32n ﹣1也成立，所以a n =．…（Ⅱ）∵b n =log 3=﹣（2n ﹣1），…∴==（﹣），∴++…+= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]…=（1﹣）=．…【点评】本题主要考查根据数列的递推关系求通项公式，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC 上．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2cos2﹣2sin2=，且A＜B，求．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C的值；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，将表示出的B代入利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求出C的度数，原式利用正弦定理化简，将sinA与sinC的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）将（a，b）代入直线解析式得：a（sinA﹣sinB）+bsinB=csinC，由正弦定理==得：a（a﹣b）+b2=c2，即a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理得cosC==，∵0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）∵2cos2﹣2sin2=1+cosA﹣1+cosB=cosA+cos（﹣A）=cosA+sinA=sin（A+）=，∵A+B=，且A＜B，∴0＜A＜，∴＜A+＜，即A+=，∴A=，B=，C=，则===．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos∠ACB即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣∵x＞1，∴x﹣1＞0因此y=，y=+2当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+答：AC最短为2+米，BC长度为1+米【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力．21．下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式bn（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an（n=1，2，3，…），设，求数列{cn }的前n项和Sn．【考点】归纳推理；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由前三个图形小正方形的排列规律，不难得出第四个图形有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以{bn }构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{bn}的通项公式；（3）根据（1）和（2）的结论，易得，发现{cn}是一个等差数列和等数列的对应项相乘而得的一个新数列，接下来可用错位相减法，来求它的前n项和Sn．【解答】解：（1）在第一个图形中，只有一层，一个小正方形；在第二个图形中，有两层，从上至下分别为1个、2个小正方形；在第三个图形中，有三层，从上至下分别为1个、2个、3个小正方形；由此归纳：第四个图形中，有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．因此答案如右图所示：（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，所以{bn }构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{bn}的通项公式，∴由等比数列的通项公式，可得着色三角形的个数的通项公式为：．（3）由题意，可得an=1+2+3+4+…+n=，∴，所以．①所以．②①﹣②得．所以﹣2Sn=．即，其中n∈N+【点评】本题以数列的通项与求和为载体，着重考查了归纳推理的一般方法，考查了学生的读图能力，属于中档题．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率e ，以及圆心（0，0）到直线x ﹣y+的距离求出a ，b ，即可求解椭圆的方程．（2）设直线PB 的方程为y=k （x ﹣4）联立，设点B （x 1，y 1），E （x 2，y 2），通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标．【解答】解：（1）由题意知e==，∴=，即a 2=…又∵圆心（0，0）到直线x ﹣y+的距离为，∴b=．∴a=2，故椭圆的方程为：… （2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k （x ﹣4）联立，得（4k 2+3）x 2﹣32k 2x+64k 2﹣12=0①…设点B （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则A （x 1，﹣y 1），直线AE 的方程为令y=0，得x=，…再将y 1=k （x 1﹣4），y 2=k （x 2﹣4）代入整理得x=②…由①得x 1+x 2=，x 1x 2=，代入②整理得x=1，所以直线AE 与x 轴相交于定点（1，0）…．【点评】本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．。