图论在实际生活中的应用
图论模型在社交网络分析中的应用研究
图论模型在社交网络分析中的应用研究社交网络分析是指通过研究人际关系网络中的节点和边的连接模式，揭示社交网络结构、功能和动态变化等特征的一门学科。
图论模型作为一种数学工具，被广泛应用于社交网络分析中，以揭示社会关系、推测个体行为以及进行网络优化等任务。
本文将从图论模型在社交网络分析中的三个主要应用方向入手，进行详细介绍。
第一，社交网络结构分析。
社交网络的结构是指社交网络中个体节点之间连结的方式以及形成的整体网络结构特征。
图论模型可以被用来分析社交网络的结构特征，如网络的度分布、群聚系数、小世界现象等。
其中，度分布是指网络中节点的度数（即与其相连的边的数量）的概率分布。
通过分析社交网络的度分布，可以了解网络中节点的连接情况，例如是否存在寡头效应、是否存在社区结构等。
群聚系数是指网络中节点朋友之间也是朋友的概率。
通过分析社交网络的群聚系数，可以推测社交网络中个体之间的关系密切程度，以及网络中存在的社区结构。
小世界现象则是指社交网络中节点间距离较短，通过少数中间节点即可实现连接的现象。
对社交网络进行小世界化分析，可以了解网络中信息传播的路径以及信息扩散的速度。
第二，社交关系预测与个体行为推测。
图论模型可以运用于社交关系预测，即通过已知的社交网络结构推测出未知节点之间的关系。
例如，通过分析已知社交网络中的节点之间的连接模式，可以预测出两个节点之间是否是朋友关系。
在个体行为推测中，利用图论模型可以研究个体在社交网络中的行为传播与影响。
例如，通过分析网络中节点的中心性指标，可以了解网络中的关键人物与信息传播的核心节点。
另外，通过研究社交网络的影响传播模型，可以预测在网络中某个节点接受某种信息后，其周围节点的行为是否会受到影响。
第三，社交网络优化与挖掘。
社交网络的优化和挖掘旨在提高社交网络的效率和便利性，发现网络中隐藏的规律或者关键节点。
图论模型可以用于社交网络中节点的排序和排名，以便找出网络中的重要节点与中心节点。
图论论文
课程名称图论入门论文题目图论在物流物配送上的应用指导教师刘颖学院管理学院姓名郭凤午学号2011030284图论在物流货物配送中的应用摘要：最短路径问题对于节约人们的时间成本具有重要意义。
最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
它可被用来解决厂区布局、管路铺设、线路安装等实际问题。
本文介绍了图论的起源和发展、最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法解决物流货物配送中问题。
1 引言数学是一门古老的学科，它已经有了几千年的历史。
然而，图论作为数学的一个分支，却只有200多年的历史，但是其发展十分迅速。
图论是以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系。
事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟，而且它具有形象直观的特点，在图中点的位置和线的长短曲直无关紧要[1]。
图论的发展大力地推进了科学文明的进步，解决了很多实际应用问题。
图论是数学领域中发展最快的分支之一，它以图为研究对象。
图论中的图是有若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用来代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图论本身是应用数学的一部分，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立的建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论文中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
数学史上著名的七桥问题欧拉只用了一步就证明了不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的!这是拓扑学研究的先声。
图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。
数学家赫伍德成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图能够用五种或者更少的颜色染色。
美国伊利诺斯大学的黑肯和阿佩尔，经过四年的艰苦工作．终于完成了四色猜想的证明。
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论及其应用的平面图
f4
f2 f3
f1
平面图G
在上图中，红色边在G中的导出子图为面 f3 的边界。
deg( f1) 1 deg( f2 ) 3 deg( f3 ) 6 deg( f4 ) 6
1、平面图的次数公式
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定理1 设G=(n, m)是平面图，则：
deg( f ) 2m
f
证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义， 它也给总次数贡献2次。于是有：
f1
平面图G
在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部 面。Φ=｛f1, f2, f3, f4｝。
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称 为该面的边界。某面 f 的边界中含有的边数(割边计算2次)
要求空调管道间不能交叉。如何设计？
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且 仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应 的图为：
A1
A6
A2
A5 A3
A4
于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不 会相互交叉？
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
图论期末论文
1.引言图论是数学的一个分支，并且是组合数学和应用数学的一部分。
它以图做为研究对象，而图是由若干节点和节点之间的边所构成的图型。
在图论中，图往往是某个具体现实生活中问题的数学抽象，可以说，图中的节点代表着生活中的某些特定事物，而节点之间的边则代表着节点之间的特定联系。
图论这门学科需要解决的就是如何利用数学知识去解决它们之间的关系。
图论最早起源于1736年著名的柯尼斯堡七桥问题[1]。
这个问题的内容是：在柯尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥将河中的岛屿与河岸连接起来。
问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥正好一次，最后再回到起始点。
然而人们无数次的尝试解决却都没有成功。
直到1736年，欧拉解决了这个问题。
他用抽像分析法将这个问题化为世界上第一个图论问题：即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用联接相应的两个点的一条边来代替，从而得到了一个“图”。
最终，欧拉成功证明了这个问题是无解的，并且推广了这个问题的意义，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。
这就是后来的欧拉通路、欧拉回路以及欧拉图问题。
于是，欧拉成为了图论学的创始人。
从那以后开始的几百年间，图论开始了飞速的发展。
虽然图论研究的是点和边之间所构成图的问题，但其应用领域还是十分广阔的。
图论的应用不仅仅局限于数学问题和计算机领域，它同时还涵盖了交通管理、通信领域、社会学等诸多其他研究领域。
而最短路径问题是图论应用中的基本问题。
最短路径顾名思义就是在所有的路径中找出一条距离最短的有效路径。
实际上，这里所指的“距离”不仅仅是指地理意义上的距离，还可以引申到时间、费用、等其他度量单位上面。
本文中，以重庆地铁为研究对象，利用图论知识解决在搭乘重庆地铁时的最短路径问题。
可以说，最短路径问题再交通网络结构的分析以及交通路线的选择中都有重要的应用价值。
此外，最短路径问题一直是计算机科学、地理信息学、交通管理学等学科中一个研究的热点问题。
图的着色是指对图的每个节点指定一种颜色，使得相邻的节点的颜色不相同。
图论在数据挖掘与知识发现中应用
图论在数据挖掘与知识发现中应用图论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在数据挖掘与知识发现方面，图论的应用也日益增多。
本文将探讨图论在数据挖掘与知识发现中的应用，并分析其优势和挑战。
一、图论简介图论是研究图的数学分支，图是由节点和边组成的数据结构。
节点代表实体，边代表实体之间的关系。
图论提供了一种直观、简洁的方式来描述实体之间的关联关系，并通过图算法进行相应的分析与处理。
二、图论在数据挖掘中的应用1. 社交网络分析社交网络是图论的典型应用场景之一。
通过构建社交网络图，可以分析用户之间的社交关系、网络拓扑结构等，从而实现群体行为预测、社交推荐等功能。
例如，通过图算法分析用户在社交网络中的连通性，可以发现潜在的社区结构，挖掘用户的兴趣爱好等。
2. 异常检测图论在异常检测中也有广泛应用。
通过构建普通业务图或者物理设备图，可以识别出与正常情况不符的节点、边等异常数据，从而发现潜在的安全风险或者设备故障。
例如，在电信领域，通过分析用户通信行为的图模式，可以识别出异常的通话模式，帮助提前发现诈骗和网络攻击等问题。
3. 数据聚类图论可用于数据聚类分析，通过构建相似性图，将相似的数据点连接起来。
通过图算法，可以实现对大规模数据的聚类和分类。
例如，在文本挖掘中，可以通过构建文档间的共现关系图，将相似的文档聚类在一起，从而实现文本分类和主题提取。
三、图论在知识发现中的应用1. 信息抽取信息抽取是指从大规模的非结构化数据中提取结构化的知识和信息。
图论可以帮助构建实体间的关联关系，并通过图算法进行实体关系的发现。
例如，在文本信息抽取中，可以通过构建实体之间的共现图，实现实体识别、关系提取等任务。
2. 关联规则挖掘关联规则挖掘是一种挖掘数据中项集之间频繁关联关系的方法。
图论可以用于构建事务间的关联图，帮助发现频繁项集和关联规则。
例如，在购物篮分析中，可以通过构建商品之间的关联图，发现顾客购买行为中的潜在关联关系，从而实现个性化推荐等功能。
图论在网络设计中的作用
图论在网络设计中的作用图论是数学的一个分支，研究的是图的结构以及图中各个元素之间的关系。
在现代社会中，网络设计已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
而图论作为一种强大的工具，被广泛应用于网络设计中，发挥着重要的作用。
本文将探讨图论在网络设计中的作用，包括网络拓扑结构设计、路由算法优化、数据传输效率提升等方面。
首先，图论在网络设计中的一个重要作用是帮助设计网络的拓扑结构。
网络的拓扑结构是指网络中各个节点之间连接的方式和形式。
通过图论的方法，可以分析网络中节点之间的连接关系，从而设计出更加合理和高效的网络拓扑结构。
例如，可以利用最小生成树算法来构建一个最小生成树，以实现网络中节点之间的最短连接，减少数据传输的延迟和损耗，提高网络的稳定性和可靠性。
其次，图论在网络设计中还可以用于优化路由算法。
路由算法是指在网络中确定数据传输的路径和方式的算法。
通过图论的分析方法，可以找到网络中节点之间最短路径或最优路径，从而实现数据的快速传输和高效路由。
例如，可以利用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来计算网络中节点之间的最短路径，减少数据传输的时间和成本，提高网络的性能和效率。
此外，图论还可以帮助提升网络数据传输的效率。
在网络设计中，数据传输的效率是一个至关重要的指标，直接影响到用户体验和网络性能。
通过图论的方法，可以分析网络中节点之间的数据传输路径，优化数据传输的方式和流程，减少数据传输的拥塞和冲突，提高数据传输的速度和稳定性。
例如，可以利用最大流算法来确定网络中节点之间的最大数据传输量，避免数据传输过程中出现阻塞和延迟，保障数据传输的顺利进行。
综上所述，图论在网络设计中发挥着重要的作用，包括帮助设计网络的拓扑结构、优化路由算法、提升数据传输效率等方面。
随着网络技术的不断发展和进步，图论作为一种强大的工具，将继续在网络设计中发挥重要的作用，推动网络技术的创新和发展。
希望本文能够帮助读者更加深入地了解图论在网络设计中的作用，进一步推动网络设计领域的发展和进步。
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摘要寻找最短的路径到达想要去的地方在这个快节奏的时代已经变得越来越重要，它对于节约人们的时间成本具有重要意义。
当前城市的规模越来越大，交通道路状况也越来越复杂，从一个地方到另一个地方可能有很多种路径，如何从众多的路径中选择距离最短或者所需时间最短的路径便成了人们关注的热点。
能够选择出一条最符合条件的路径会给我们的日常生活带来极大地方便。
本文就通过找重庆邮电大学几个代表性地点之间寻找最短距离路径为例，介绍经典的最短路径算法Floyd算法及其算法的实现。
关键字：最优路径，Floyd算法，寻路一、图论的基本知识图论起源于举世闻名的柯尼斯堡七桥问题。
在柯尼斯堡的普莱格尔河上面有七座桥将河中的岛及岛与河岸是连接起来的,有一个问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥而且正好只能一次，再回到起点。
然而许多人经过无数次的尝试都没有成功。
在1736年欧拉神奇般的解决了这个问题，他用抽像分析法将这个问题化为第一个图论问题：即用点来代替每一块陆地，将每一座桥用联接相应的两个点的一条线来代替，所以相当于得到一个“图”（如下图）。
柯尼斯堡七桥图桥转换成图欧拉证明了这个问题是没有解的，并且推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。
这项工作使得欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。
图论其实也是一门应用数学，它的概念和结果来源非常广泛，既有来自生产实践的问题，也有来自理论研究的问题。
它具有以下特点：蕴含了丰富的思想、漂亮的图形以及巧妙的证明；涉及的问题很多而且广泛，问题外表简单朴素，本质上却十分复杂深刻；解决问题的方法是千变万化，非常灵活，常常是一种问题就有一种解法。
图论研究的内容非常广泛，如图的连通性、遍历性、图的计数、图的着色、图的极值问题、图的可平面性等。
历史上参与研究图论问题的人既有许多天才的数学家，也有不少的业余爱好者。
那么什么是图论中的图呢？在日常生活、生产活动以及科学研究中，人们常用点表示事物，用点与点之间是否有连线表示事物之间是否是有某种关系，这样构成的图形就是图论中的图。
其实，集合论中的二元关系的关系图都是图论中的图，在这些图中，人们只关心点与点之间是否有连线，而不关心点的位置，以及连线的曲直。
这就是图论中的图与几何中的图形的本质区别。
因此在现实世界中，事物的许多状态可以由图形来描述，使其简单直观，便于理解，帮助思维，易于记忆，同时还可以根据图的特点，从不同角度来扩展讨论范围。
1.1、图论概述图论〔Graph Theory 〕是数学的一个分支，也是一门新兴学科，发展迅速而又应用广泛。
它已广泛地应用于物理、化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、控制论、网络管理、社会科学等几乎所有的学科领域。
另一方面，随着这些学科的发展，特别是计算机科学的快速发展，又大大的促进了图论的发CAB D(b)展。
图论中的研究对象是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
1.2 图论中的最短路问题路的定义 设G 为无向标定图，G 中顶点与边的交替序列 iljl j i j i v e e v e v T 2110称为0i v 到il v 的通路，其中1 r i v ，r i v 为r j e 的端点，li i v v l r ,,,,2,10 分别称为T 始点与终点，T 中的边的条数称为它的长度，若又有li i v v 0，则称T 为回路。
若T 的所有边各异，则称T 为简单通路。
若又有li i v v 0，则称T 为简单回路，若所有的顶点（除0i v 与l i v可能相同外）各异，所有的边也各异，则称T 为初级通路或路径，若又有li i v v 0，则T 为初级回路或圈，将长度为奇数的圈成为奇圈，长度为偶数的圈为偶圈。
我们要考虑的问题是对任意给定的一个赋权图G ,及G 中两个指点的顶点0u 与0v ，求出其最短路径。
易见。
只要考虑简单连通图的情形就够了。
这里我们假设每边e 的权)(e w 都是大于0的实数。
因为当一条边uv e 的权为0时。
我们可以把u 和v 合并成一个顶点。
又，我们约定边)(G E e 当且仅当 )(e w 。
1.3 Floyd 算法Floyd 算法的基本思想：可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。
如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个地点而言，i 到j 的最短距离不外乎存在经过i 与j 之间的k 和不经过k 两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n 是地点的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i 到k 与k 到j 的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i 到j 经过k 的最短距离。
所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i 出发经过k 再到j 的距离要比原来的i 到j 距离短，自然把i 到j 的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k 查完了，d(ij)就是目前的i 到j 的最短距离。
重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
Floyd算法的基本步骤：定义n×n的方阵序列D-1, D0 , …Dn－1,初始化：D-1＝CD-1[i][j]＝边<i,j>的长度，表示初始的从i到j的最短路径长度，即它是从i 到j的中间不经过其他中间点的最短路径。
迭代：设Dk-1已求出，如何得到Dk（0≤k≤n-1）Dk-1[i][j]表示从i到j的中间点不大于k-1的最短路径p：i…j，考虑将顶点k加入路径p得到顶点序列q：i…k…j，若q不是路径，则当前的最短路径仍是上一步结果：Dk[i][j]= Dk－1[i][j]；否则若q的长度小于p的长度，则用q取代p作为从i到j的最短路径。
因为q的两条子路径i…k和k…j皆是中间点不大于k－1的最短路径，所以从i到j中间点不大于k的最短路径长度为：Dk[i][j]＝min{ Dk-1[i][j], Dk-1[i][k] +Dk-1[k][j] }二、利用图论知识寻找指定两点最短路径2.1 把实际问题转化成图论问题图1 重庆邮电大学地图上图为邮电大学的地图，我们在地图中选取重邮的八个地方看成是八个点（1、新世纪超市2、三教学楼3、数字图书馆4、二教学楼5、信科大楼6、太极操场7、老图书馆8、31栋宿舍），用线段把每一个点与其相邻的点连接起来，从而形成一个无向图。
再根据实际情况：不同地点的距离问题；路的畅通与否等给相应的边赋上权值，最后得出一个赋权图，如图2：图2 赋权图2.2 Floyd算法用C++实现#include<iostream>#include<vector>#include<string>using namespace std;#define MAX_VEX_NUM 10vector<string> allPath; //向量，用来存放所有的顶点a到顶点i的路径vector<int> all; //向量，用来存放对应路径的长度struct MGraph{char vexs[MAX_VEX_NUM];int arcs[MAX_VEX_NUM][MAX_VEX_NUM];int vexnum,arcnum;};MGraph G;int Locatevex(MGraph G,char v)//图的基本操作，寻找V的位置{int i=0;while(i<G.vexnum && v!=G.vexs[i])i++;if(i<G.vexnum)return i;elsereturn -1;}int CreateUDG(MGraph &G) //数组邻接矩阵表示法构造无向图{char v1,v2;int weight;cout<<"请输入图的顶点数和边的条数"<<endl;cin>>G.vexnum>>G.arcnum;cout<<"请输入顶点的名称(0--9)"<<endl;for(int i=0;i<G.vexnum;i++)cin>>G.vexs[i];for(int q=0;q<G.vexnum;q++)for(int p=0;p<G.vexnum;p++)G.arcs[q][p]=0;for(int k=0;k<G.arcnum;k++)//构造邻接矩阵{cout<<"输入边的顶点和权值：(格式为：起点终点权值)"<<endl;cin>>v1>>v2>>weight;int a=Locatevex(G,v1);int b=Locatevex(G,v2);G.arcs[a][b]=weight;G.arcs[b][a]=G.arcs[a][b];}cout<<"该图的邻接矩阵表示为：\n";for(int n=0;n<G.vexnum;n++)//输出顶点cout<<G.vexs[n]<<" ";cout<<"(矩阵顶点名称)";cout<<endl;cout<<endl;for(int x=0;x<G.vexnum;x++)//输出邻接矩阵{for(int y=0;y<G.vexnum;y++)cout<<G.arcs[x][y]<<" ";cout<<endl;}cout<<endl;cout<<endl;return 1;}//CreateUDGvoid Minway(MGraph G,bool *visited,char vexs,int Long,char vb,string path) //递归求取所有顶点a到顶点i的路径{if(vexs==vb){path=path+"-->"+vexs;allPath.push_back(path);all.push_back(Long);cout<<"路径:"<<path<<" 长度:"<<Long<<endl;}else{path=path+"-->"+vexs;int i=Locatevex(G,vexs);visited[i]=true;for(int j=0;j<G.vexnum;j++)if((!visited[j])&&(G.arcs[i][j]!=0)){Minway(G,visited,G.vexs[j],Long+G.arcs[i][j],vb,path);}visited[i]=false;}}void CountMinway(MGraph G) //该函数调用递归部分实现递归{char va,vb;string path;cout<<"请输入您所处的位置:";cin>>va;cout<<"请输入您想到达的位置:";cin>>vb;cout<<endl;int i=Locatevex(G,va);bool visited[100];for(int j=0;j<G.vexnum;j++)visited[j]=false;visited[i]=true;int Long=0;path+=va;for( j=0;j<G.vexnum;j++)if(G.arcs[i][j]!=0){Long=G.arcs[i][j];Minway(G,visited,G.vexs[j],Long,vb,path);}cout<<endl;}void Minway()//输出最短路径{int min=10000;for(int i=0;i<allPath.size();i++)if(all[i]<min)min=all[i];for(int j=0;j<allPath.size();j++)if(all[j]==min)cout<<"最短路径: "<<allPath[j]<<" 长度:"<<all[j]<<endl;cout<<endl;}void main(){CreateUDG(G); //建图CountMinway(G); //找出所有路径Minway(); //输出最短路径}程序描述：通过输入顶点的个数、边的条数和名称以及两点之间的权值得到一个带权值的矩阵。