北师大版八年级数学勾股定理单元测试1
北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 单元练习
第1章勾股定理一．选择题1．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）A．2B．C．D．42．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（）A．4B．16C．D．4或3．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．169B．25C．19D．134．若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（）A．2+B．2﹣C．2+或2﹣D．以上都不对5．下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC 为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM 的面积为1，则正方形CBFH的面积为（）A．11B．12C．13D．146．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝6，AB＝10，则DE的长为（）A．B．3C．D．7．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．648．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．B．0.8C．3﹣D．9．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）A．B．C．5D．2+10．如图，一个底面直径为cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．24cm B．10cm C．25cm D．30cm二．填空题11．直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为．12．如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝．13．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，AC＝3，BC＝2，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是．14．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．15．如图，圆柱形玻璃杯高为24cm、底面周长为36cm，在杯内离杯底8cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．三．解答题16．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，求斜边AB上的高CD．18．如图，B、D、C三点在一条直线上，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝DE，∠DAC＝45°；（1）线段AB、CE的关系为；（2）若BD＝a，AD＝b，AB＝c，请利用此图的面积式证明勾股定理．19．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB 于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？20．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？参考答案一．选择题1．C．2．D．3．B．4．C．5．C．6．A．7．D．8．C．9．A．10．C．二．填空题11．5cm或cm．12．913．8+12．14．．15．A′C＝30（cm）．三．解答题16．解：如图所示．17．解：∵∠ACB＝90°，AB＝，∴AC＝＝，∵×AB•CD＝×AC•BC∴CD＝＝＝．18．（本题7分）（1）线段AB、CE的关系为：AB＝CE，AB⊥CE………………（2分）理由是：延长CE交AB于F，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴AD＝CD，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，∠BAD＝∠DCE，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠DCE+∠ABD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AB⊥CE；故答案为：AB＝CE，AB⊥CE．（2）如图，设EF＝x，∵S△ABC＝S△ABE+S△BDE+S△ACD，∴＝AB•EF+BD•DE+DC•AD，………………（4分）∵BD＝a，AB＝c，AD＝b，∴易得AB＝CE＝c，BD＝DE＝a，AD＝CD＝b，………………（5分）∴cx+a2+，即：+cx＝cx+a2+，………………（6分）∴，∴a2+b2＝c2………………（7分）19．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处．20．解：（1）如图，作AH⊥OB于H．在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，OA＝240km，∠AOH＝30°，∴AH＝OA＝120km，∵120＜150，∴A城受到这次台风的影响．（2）如图，设AR＝AT＝150km，则易知：RH＝HT＝＝90（km），∴RT＝180km，∴受台风影响的时间有180÷30＝6小时．。
第1章勾股定理 单元练习题 2022-2023学年北师大版八年级数学上册
2022-2023学年度北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A，B在y轴、x轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的最大值为（）A．7B．8C．9D．2．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n（m＜n），过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则有（）A．m2+2mn+n2＝0B．m2﹣2mn+n2＝0C．m2+2mn﹣n2＝0D．m2﹣2mn﹣n2＝03．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（）A．171B．79C．100D．814．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（）A．5B．C．4D．35．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90B．100C．110D．1216．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A．三个内角度数之比是3：4：5B．三边长的平方比为5：12：13C．三边长度是1：：D．三个内角度数比为2：3：47．分别以下列各组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12；③2，2，3；④7，24，25；其中能构成直角三角形的有（）组．A．2B．3C．4D．58．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2B．2x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2C．x2＝42+（x﹣2）2D．x2＝（x﹣4）2+229．如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（）A．80米B．90米C．100米D．110米10．有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8m B．10m C．12m D．14m二．填空题11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为．12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC是网格上的格点三角形，则它的边AC上的高等于．13．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为．14．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为．15．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．16．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是．17．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB上的高CD＝．18．观察下面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．19．一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是20．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，扩充后等腰三角形绿地的周长．21．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为．22．如图所示，一个梯子AB长5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3m梯子滑动后停在DE位置上，如图，测得DB的长为1m，则梯子顶端A下落了m．三．解答题23．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图中画一条线段MN，使MN＝；（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．24．在△ABC中，点D是直线BC上的一点，已知AB＝15，AD＝12，AC＝13，BD＝9．求BC的长．25．如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．26．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．27．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．29．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．参考答案一．选择题1．解：取AB中点P，连接OP、CP，则OP＝AP＝AB＝4，由勾股定理得，CP＝5，利用三角形两边之和大于第三边可知：OC≤OP+PC＝9，OC的长的最大值为9，故选：C．2．解：如图，m2+m2＝（n﹣m）2，2m2＝n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2＝0．故选：C．3．解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝125﹣46＝79，故选：B．4．解：∵ab＝6，∴直角三角形的面积是ab＝3，∵小正方形的面积是1，∴大正方形的面积＝1+4×3＝13，∴大正方形的边长为，故选：B．5．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，易得△CAB≌△BOF≌△FLG，∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4，∴OA＝OL＝3+4＝7，∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°，所以四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故选：C．8．解：当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：180°×＝75°＜90°，故选项A不符合题意；当三边长的平方比为5：12：13时，因为（）2+（）2≠（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；当三边长度是1：：时，12+（）2＝（）2，故该三角形不是直角三角形，故选项C符合题意；三个内角度数比为2：3：4时，最大的角的度数是：180°×＝80°＜90°，故选项D不符合题意；7．解：①62+82＝100＝102，符合勾股定理的逆定理；②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理；③22+22≠32，不符合勾股定理的逆定理；④72+242＝252，符合勾股定理的逆定理．故选：B．8．解：根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，故选：A．9．解：因为两点之间线段最短，所以AC为从A到B的最短距离，根据矩形的对边相等，得，BC＝AD＝80米，再根据勾股定理，得，AC＝100米．故选：C．10．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝10m．故选：B．二．填空题11．解：连接AC，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，∴丁的面积为30+16﹣17＝29．故答案为：29．12．解：S△ABC＝4×5﹣﹣＝，根据勾股定理得：AC＝5，设△ABC边AC边上的高为h，则，解得h＝，故答案为．13．解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故斜边长＝10，故答案为10．14．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，则a+b＝5．故答案为：5．15．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．16．解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长＝4，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长＝，三角形的边长分别为3，5，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为4或．17．解：∵△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB2＝AC2+BC2，即52＝32+42，∴△ABC是直角三角形，∵CD⊥AB，∴AC•BC＝AB•CD，即3×4＝5×CD，解得CD＝．故答案为：．18．解：通过观察得：第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．故答案为：11，60，61．19．解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣12＝4cm．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝13cm，故h＝16﹣13＝3cm．故h的取值范围是3≤h≤4．故答案是：3≤h≤4．20．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理有：AB＝10，应分以下三种情况：①如图1，当AB＝AD＝10时，∵AC⊥BD，∴CD＝CB＝6m，∴△ABD的周长＝10+10+2×6＝32m．②如图2，当AB＝BD＝10时，∵BC＝6m，∴CD＝10﹣6＝4m，∴AD＝＝＝4m，∴△ABD的周长＝10+10+4＝（20+4）m．③如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣6，由勾股定理得：AD＝＝x解得，x＝，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB＝m．④如图4中，倍长AC后，因为AC＝8，所以扩充部分就是以8m为直角边的直角三角形，此时△ABD的周长为36m，故答案为：32m或（20+4）m或m或36m．21．解：所示题意如下图：OA＝40×20＝800m，OB＝40×15＝600m．在直角△OAB中，AB＝＝1000米．故答案为：1000米．22．解：在Rt△ABC中，AB＝5m，BC＝3m，根据勾股定理得AC＝＝4米，Rt△CDE中，ED＝AB＝5m，CD＝BC+DB＝3+1＝4米，根据勾股定理得CE＝＝3，所以AE＝AC﹣CE＝1米，即梯子顶端下滑了1m．三．解答题23．解：如图所示：24．解：∵AB＝15，AD＝12，BD＝9，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，在Rt△ADC中，DC＝＝5，则BC＝BD+DC＝14．当C′在线段BD上时，BC′＝9﹣5＝4，综上所述，BC的长为14或4．25．解：（1）如图所示，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，BE＝＝＝10，∴AE＝10，设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8．26．解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD＝，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．27．解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；（2）当a为奇数时，，；当a为偶数时，，；证明：当a为奇数时，a2+b2＝，∴（a，b，c）是“勾股数”．当a为偶数时，a2+b2＝∴（a，b，c）是“勾股数”．28．解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．29．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴x2+52＝（x+1）2解得x＝12∴AB＝12∴旗杆的高12m．。
第1章勾股定理 单元综合测试题 2022—2023学年北师大版数学八年级上册(含答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（）A．B．C．D．2．下列各组数中，属于勾股数的是（）A．1，1.7，2B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．5，6，73．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．9πB．C．D．3π4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6B．7C．8D．95．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A．5B．6C．4D．4.86．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米7．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（）A．7m B．8m C．9m D．10m8．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm9．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．1，2，3D．32，42，52 10．现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（）A．4，6，8B．4，6，10C．4，8，10D．6，8，10二．填空题（共7小题，满分28分）11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是．12．直角三角形中，两边长为3，4，则第三边长的平方为．13．一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是cm．14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．15．观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．三．解答题（共6小题，满分52分）18．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．。
第一章勾股定理 复习测试 2021-2022学年北师大版八年级数学上册(word版含答案)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习测试一．选择题1．下列各组数中，是勾股数的是（）．A．6，9，12B．﹣9，40，41C．52，122，132D．7，24，25 2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）．A．25B．14,C．7D．7或253．如图由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）．A．16B．25C．144D．1694．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（）．A．1B．2C．D．5．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）．A．1B．2C．3D．46．如图，某公园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB＝8m，BC＝6m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，一个人从A到C走A﹣B﹣C比直接走AC多走了（）．A．2米B．4米C．6米D．8米7．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）．A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺8．如图，在△ABD中，△D=90°，CD=6，AD=8，△ACD=2△B，则BD的长是（）．A．12B．14C．16D．189．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2．5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1．6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1．2米的地方时（BC＝1．2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）．A．1．2米B．1．5米C．2．0米D．2．5米10．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（）．A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24二．填空题11．一直角三角形的一条直角边长是6，另一条直角边与斜边长的和是18，则直角三角形的面积是12．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则△BAC﹣△DAE＝．13．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是．14．如图△ABC中，△C＝90°，AD平分△BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是．15．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是．16．在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是．17．如图，OP＝1，过点P作PP1△OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2△OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3△OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2021＝A．B．C．D．18．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，BE，AF分别是△ABC，△CAB平分线，BE，AF交于点O，OM△AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝．三．解答题19．已知在中，，，．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试在下面的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。
北师大版八年级上学期第一章勾股定理测试题
北师大版八年级上学期第一章勾股定理测试题一、单选题1、如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边BC 上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （除之C 外）相等的角的个数是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、已知x 、y 为正数，且|x 2－4|＋（y 2－3）2＝0，如果以x 、y为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．7D ．153、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点．DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于（ ）A ．B ．C ．D ．4、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为（ ）A ．18 cm B ．20 cm C ．24 cm D ．25 cm 5、如图在一个高为5m ，长为13m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（ ）A ．13m B ．17m C ．18m D ．25m 6、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为5,14，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10或8；④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个7、在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若a ＝12，b ＝16，则c 为（ ）A ．26 B ．18 C ．20 D ．218、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是（ ） A ．71寸 B ．73寸 C ．100寸 D ．1039、如图，直线a ⊥直线c ，直线b ⊥直线c ，若∠1=70°，则∠2=（ ）A ．70° B ．90° C ．110° D ．80°10、在△ABC 中，BC ：AC ：AB=1：1：，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形11、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．两条直角边对应相等B ．斜边和一个锐角对应相等 C ．斜边和一条直角边对应相等 D ．一条直角边和一个锐角分别相等12、在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则222BC AC AB ++的值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 二、填空题13、如图：隔湖有两点A 、B ，为了测得A 、B 两点间的距离，从与AB 方向成直角的BC 方向上任取一点C ，若测得CA="50" m,CB="40" m ，那么A 、B 两点间的距离是________14、等腰△ABC 的腰长AB=10cm,底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .15、如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是米．16、在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=____．17、如图，将直角△ABC绕点C顺时针旋转90°至△A′B′C的位置，已知AB=10，BC=6，M是A′B′的中点，则AM=______.18、如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．19、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=23°，则∠B= °，与∠B相邻的外角为°．20、如图所示，某人在B处通过平面镜看见B处正上方3m处的A物体像A′，已知A离镜面的距离为2 m，则点B到A的像A′的距离是________．（不考虑平面镜的厚度）三、解答题21、一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60cm，求它的面积.22、阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.23、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位，记平移后的对应三角形为△DEF（1）求DB的长；（2）求此时梯形CAEF的面积．24、如图是一个房屋的横截面，屋顶成直角，测量得斜梁AB=3米，AC=4米，墙面是矩形BCDE，BE=3.6米，选用一种规格为20cm×30cm的长方形瓷砖平铺墙面BCDE，请你算一算需要多少块瓷砖？25、如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12．（1）求CD 的长；（2）求四边形ABCD的面积．26、27、如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径．28、如图在△CDE中，∠DCE=90°，DC=CE，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，试判断AB与AD，BE之间的数量关系，并证明．29、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.30、小明在海边观景台O处，观测到北偏东60°的A处有一艘货船，该船正向南匀速航行，10分钟后再观察时，该船已航行到O的南偏东30°，且与O相距3km的B处，如图所示．（参考数据：4141.3=）（1）求∠A和∠B的度数；（2）求货船.2=，7321航行的速度？（结果精确到0.1km/h）．试卷答案一、单选题21,120厘米222,③ a2－b2可以为零△ABC为等腰三角形或直角三角形23,（1）解：∵将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位到△DEF∴AD=BE=3，∵AB=5，∴DB=AB﹣AD=2，答：DB的长是2．（2）解：作CG⊥AB于G，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理得：BC==4，由三角形的面积公式得：CG•AB=AC•BC，∴3×4=5×CG，∴CG=，梯形CAEF的面积为：（CF+AE）×CG=×（3+5+3）×=．答：此时梯形CAEF的面积是．24,解：由题意得：∠A=90°，AB=3米，AC=4米，所以BC==5米，∵矩形BCDE中BE=3.6米，∴矩形BCDE的面积为5×3.6=18米2，∵瓷砖的规格为：20cm×30cm=600cm2=0.06m2∴需要瓷砖18÷0.06=300块．25,解：(1)因为∠BAD=90°，AD=3，AB=4，所以在Rt△ADB中，BD=．同理，在Rt△BDC中，CD=13．(2)四边形ABCD的面积所以S=×AD×AB+×BD×CD=36．26, a2+b2=c2；BC2+AC2=AB2；a2+b2=c2；BC2+AC2=AB2．1．是；2．是；3．是；4．不是27,解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则BC=SE=×24cm=12cm，EF=18cm﹣1cm﹣1cm=16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF===20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．28,证明：AB=AD+BE．∵DA⊥AB于A，EB⊥AB于B．∴∠A=∠B；∵∠DCE=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°；∴∠ADC=∠ECB；又∵DC=CE，在△ACD和△BEC中，，∴△ACD≌△BEC；∴AD=BC，AC=BE；∴AB=AC+CB=BE+AD．29,48cm230,解：（1）∠A=60°，∠B=30°；（2）∵∠AOB=60°+30°=90°，∴直角△OAB中，AB===2≈3.46km，则每小时航行3.46÷≈20.8千米/时，故货船的速度为20.8千米/时．。
北师大版八年级上学期数学第一章勾股定理单元测试试题(含答案)
七年级下学期数学期末考试试题满分：120分时间：120分钟一、单选题。
（每小题3分，共30分）1.下列三条线段能组成直角三角形的是（）A.6，8，9B.2，3，5C.5，11，12D.9，12，152.在Rt△DMN中，∠D=90°，若DM=8，MN=17，则DN的长为（）A.15B.18C.6D.213.将一个直角三角形的两直角边分别扩大4倍，则斜边原来到原来的（）。
A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若正方形ACED和正方形CFGB的边长分别是2cm和5cm，则以AB为边的正方形的面积是（）。
A.7cm2B.29cm2C.21cm2D.49cm2（第4题图）（第7题图）（第8题图）5.已知四个三角形分别满足下列条件：①三边之比为5：12：13；②三个内角之比为1：2：2；③三边长分别是9，10，12；④三个内角之比是3：4：5，其中直角三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.一个长4.1dm的梯子，斜靠在一竖直的墙边，梯脚距墙底0.9m，这时梯子到达的高度是（）A.5mB.3.2mC.4mD.2.8m7.如图，直线上l上有三个正方形a，b，c，若b，c的面积为20和14，则a的面积为（）A.3B.6C.10D.88.如图，将一个长（AE）为20cm，宽（DE）为10cm的长方形剪去一个角，量得AB=2cm，CD=5cm，则BC的长为（）A.16cmB.23cmC.8cmD.17cm9.如图，在一块△ABC空地上种植草皮，已知AB=13m，AC=20m，AD=12m，且AD⊥BC，若这个草皮每平方米a元，则至少需要（）元购买这些草皮。
A.126aB.150aC.240aD.300a（第9题图）（第10题图）10.如图，一个长方体的高12cm，底面边长为8cm的正方形，一只蜜蜂从A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）A.15cmB.20cmC.25cmD.30cm二、填空题。
强化训练-北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专项测评练习题(含答案详解)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和2、如图，△ABC中，90∠=，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示ACB的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（）A．以BC为边的正方形面积B．以AC为边的正方形面积C．以AB为边的正方形面积D．△ABC的面积3、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形4、下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、17，其中是勾股数的有( )A．4组B．3组C．2组D．1组5、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2021 C．2020 D．20196、如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）A B．10厘米C．D．8厘米7、如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．12B．25C．47D．378、一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．59、如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm210、如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A．48 B．60C．76 D．80第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．2、如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60︒方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45︒方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．3、如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为__．4、如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．5、无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，AB＝AC．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)连接BC，若AD＝6，CD＝4，求△ABC的面积．2、如图，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，点D为BC的中点，12AC BC=．（1）求证：△ABC≌△DEB．（2）连结AE，若BC＝4，直接写出AE的长．3、如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：222AD AC BD=+.4、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．5、做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c 2=a 2+b 2，阴影部分的面积=c 2-b 2-a （c-b ）=a 2-ac+ab=a （a+b-c ），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b ），宽=a ，则较小两个正方形重叠部分底面积=a （a+b-c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C ．【考点】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．2、D【解析】【分析】如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，证明△ADE ≌△CAN 得到=ADE CAN S S △△，AE =CN 同理可证△BGH ≌△CBN ，得到=BGH CBN S S △△，BH =CN ，则==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，即可推出=5ABC S S △阴影由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，∴∠CNA =∠DEA =∠DAC =90°，∴∠DAE +∠EDA =∠DAE +∠CAN =90°，∴∠ADE =∠CAN ，又∵AD =CA ，∴△ADE ≌△CAN （AAS ），∴=ADE CAN S S △△，AE =CN同理可证△BGH ≌△CBN ，∴=BGH CBN S S △△，BH =CN∴==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，∴=ABC S AB AE AB BH S ⋅+⋅+△阴影=2ABC AB CN S ⋅+△=5ABC S △，∴只需要知道△ABC 的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【考点】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．3、B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可．【详解】解：A 、∵∠A -∠B =∠C ，∴∠A＝∠B＋∠C，∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；B、如果a2=b2-c2，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此选项不正确；C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=3x，∠C=2x，则x+3x+2x=180°，解得：x=30°，则3x=90°，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；故选：B．【考点】本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4、C【解析】【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；∵82+152=172，④符合勾股数的定义，是勾股数的有：①④，共2组，故选：C．5、B【解析】【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故选：B．【考点】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．6、B【解析】【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【考点】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.7、C【解析】【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【详解】解：如图，1C，2C，C，4C均可与点A和B组成直角三角形．34P ，7故选：C．【考点】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）mn =．8、C【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．【详解】解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：c2=62+82，则 c=10 ，直角三角形面积S=12×6×8=12×c×h，可得h=4.8 ，故选：C．【考点】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．9、A【解析】【分析】根据折叠的条件可得：BE DE=，在Rt BAE中，利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠，使点B与点D重合，9cmAD=，9BE AE ∴=-，根据勾股定理得：229(9)AE AE +=-，解得：4(cm)AE =．21436(cm )2ABES ∴=⨯⨯=． 故选：A ．【考点】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．10、C【解析】【详解】解：∵∠AEB =90°，AE =6，BE =8，∴AB 10∴S 阴影部分=S 正方形ABCD -SRt △ABE =102-1682⨯⨯=100-24=76.故选：C.二、填空题1、2223(10)x x +=-【解析】【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：设未折断的竹干长为x 尺，根据题意可列方程为：2223(10)x x +=-．故答案为：2223(10)x x +=-．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．2、．【解析】【分析】先作PC ⊥AB 于点C ，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，作PC ⊥AB 于点C ，在Rt △APC 中，AP =50海里，∠APC =90°-60°=30°，∴1252AC AP ==海里，PC =在Rt △PCB 中，PC=BPC =90°-45°=45°，∴PC =BC =∴PB ==故答案为：【考点】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．3、3或6【解析】【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED ＝∠AED′＝45′，得DE ＝AD ＝6；（2）当∠ED′A ＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E ＝∠D ，AD′＝AD ，DE ＝D′E ，得A 、D′、C 在同一直线上，根据勾股定理得AC ＝10，设DE ＝D′E ＝x ，则EC ＝CD −DE ＝8−x ，根据勾股定理得，D′E 2＋D′C 2＝EC 2，代入相关的值，计算即可．【详解】解：当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，×90°＝45°，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝12∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E为直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得10AC=，∴CD′＝10−6＝4，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8−x)2，解得x＝3，即DE＝3；综上所述：DE的长为3或6；故答案为：3或6．【考点】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键．4、0.5【解析】【详解】结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5、5【解析】【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：15，则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm ）．故答案为5．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)40【解析】【分析】（1）根据题目所给条件证()ABD ACE AAS ≌即可；（2）由ABD ACE △≌△可得10AB AC AD CD ==+=，由勾股定理可求BD ，即可求解；(1)证明：∵,CE AB BD AC ⊥⊥，∴90ADB AEC ∠=∠=︒，∵,AB AC A A =∠=∠，∴()ABD ACE AAS ≌．(2)解：∵ABD ACE △≌△，∴10AB AC AD CD ==+=，在Rt ABD △中，8BD ，∴111084022ABC S AC BD =⋅=⨯⨯=△．【考点】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握三角形的全等证明及性质是解题的关键．2、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行可得∠DBE ＝90°，再由HL 定理证明直角三角形全等即可；（2）构造Rt AHE ，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE 长．【详解】（1）∵AC ∥BE ，∴∠C ＋∠DBE ＝180°．∴∠DBE ＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°．∴△ABC 和△DEB 都是直角三角形．∵点D 为BC 的中点，12AC BC =，∴AC ＝DB ． ∵AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEB （HL ）．（2）AE =过程如下：连接AE 、过A 点作AH ⊥BE ，∵∠C ＝90°，∠DBE ＝90°．∴AC BH ∥，AH BC ∥，∴AH =BC =4， 122BH AC BC ===，∴2EH EB EH =-=，在Rt AHE 中，AE =【考点】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH =BC ，从而利用勾股定理求AE ．3、见解析【解析】【分析】连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．【详解】证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【考点】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．4、84.【解析】【详解】解：作AD⊥BC于D，如图所示：设BD = x ，则14CD x =-．在Rt △ABD 中，由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：()222221314AD AC CD x =-=--，∴2215x -=()221314x --，解之得：9x =．∴12AD =． ∴1·2ABC S BC AD ∆= 11412842=⨯⨯=． 5、见详解．【解析】【分析】利用4个直角三角形全等，根据=4+AEH ABCD EFGH S S S ∆正方形正方形列式，整理即可．【详解】证明：如图，AE BF CG DH a ====，AH DG CF BE b ====，HE EF FG GH c ====，∵=4+AEH ABCD EFGH S S S ∆正方形正方形，即()22142a b ab c +=⋅⋅+ ∴22222a ab b ab c ++=+，∴222+=a b c ．【考点】本题考查了勾股定理的验证，运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解决本题的关键．。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理含答案【参考答案】
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=5，BC=3，那么AC等于（）A. B.3 C.4 D.52、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q。
若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为（)A.14B.15C.8D.63、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF等于（）A. B. C. D.4、直角三角形的两条直角边长分别为4和6，那么斜边长是（）A.2B.2C.52D.5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积．下列方案中，错误的是( )A. B. C. D.6、⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3 cm，则⊙O的直径为（）A.4 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm7、⊙o的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（）A.7B.17C.7或17D.48、如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8C.9D.109、若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A.169B.169或119C.169或225D.22510、如图所示，在矩形ABCD中，AD=8，DC=4，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点,A,B,E在同一直线上），连接CF，则CF=( )A.10B.12C.D.11、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B. C. D.12、如图，在边长为2的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（）A.1B.C.D.13、如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B最大时，BC的长是（）A.1B.5C.D.14、以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（）A.3，4，5B.4，5，6C.5，12，13D.6，8，1015、如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边＝6＋3 ．其中正确的结论有（）形AOBO′A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如果一个直角二角形的两条直角边的长分别是5和12，那么这个直角三角形斜边长是________。
北师大版八年级数学勾股定理单元测试1
北师大版八年级数学勾股定理单元测试1姓名_____________班级____________学号____________分数_____________按住ctrl 键 点击查看更多初中八年级资源1 ．一、选择题:(每小题4分,共计20分)1.如图1,在山坡上种树,沿山坡走了10米,高度上升了6米,如果要求树的株距(相邻两棵树之间的水平距离)是4米,那么,斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离应是 （ ）A ．10米B ．6米C ．5米D ．4米 .图15米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A ．12米 B ．13 米 C ．14米 D ．15米.3.如图2,是一块长、宽、高分别是4cm ,2cm 和1cm A 处,沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A ．5cm B ．5.4cm C ．6.1cm D ．7cm .、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来,是第( )组（ ） A ．13,12,12 B ．12,12,8 C ．13,10,12 D ．5,8,4. 5.如图3, 一个高,宽的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固,则这条木板的长度是（ ） A ． B ． C ．4米 D ．二、填空题(每小题4分,共计32分)70cm 的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm 、40cm 、30cm 的木箱中,他能放进去吗?_______. 1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,李明向正东方向走了______米.8.如图5,小明将一张长为20cm,宽为15cm 的长方形纸剪去了一角,量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为_______.图2图3图5 图6 图79.王师傅在操场上安装一副单杠,要求单杠与地面平行,杠与两撑脚垂直,如图6所示,撑脚长A B．DC 为3m,两撑脚间的距离BC为4m,则AC=____m就符合要求.10.如图7,一架云梯长10米,斜靠在一面墙上,梯子顶端离地面6米,要使梯子顶端离地面8米,则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米.11.如图8,是一长方形公园,如果某人从景点A走到景点C,则至少要走_____米.图8 图9 图1012.在一棵树上的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树______米.13.如图10是一个三级台阶,它的每一级长、宽、高分别是2米、、, A．B是这个台阶上两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是______米.三、解答题(本题共计48分)14.如图,某人欲垂直横渡一条河,由于水流的影响,他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米,(即BC=140米),其结果是他在水中实际游了500米(即AC=500米),求该河AB处的宽度.15.我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图)请问这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱;树粗3尺,DBA指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺).16.如图,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为320cm, 在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形(单位:cm).17.如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?18.如图,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面3尺.突然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为6尺,请问水深多少?12090 AB 小河东北牧童 小屋2.6m4mAB 4219. 如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆卡车装满家具后,高4米,宽,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.、图2中的每个小正方形的边长都是1,在图1中画出一个面积是3的直角三角形;在图2中画出一个面积是5的四边形.21. 如图所示,某人到岛上去探宝,从A处登陆后先往东走4km,又往北走,遇到障碍后又往西走2km,再转向北走到处往东一拐,仅走就找到宝藏.问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少?图1 图2北师大版八年级数学勾股定理单元测试1参考答案1 ．答案:一、选择题:(每小题4分,共计20分)1.解析:坡面距离就是斜坡的长. 沿山坡走了10米,高度上升了6米, 则其水平距离为8(米);设斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是x 米, 则由题意知1084x=,所以x=5. 答案: C ．2.解析:13米长的梯子可以达到建筑物的高度可设为x 米, 因梯子的底端离建筑物5米,由勾股定理得: x 2=132-52,x=12米. 答案:A .3.解析:因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线.(1)展开前面右面由勾股定理得AB 2=22(24)137++=;(2) 展开前面上面由勾股定理得AB 2=22(14)229++=;(3)展开左面上面由勾股定理得AB 2=22(21)425++=;所以最短路径的长为5cm . 答案:（ ） A ．4.解析:等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形, 腰为斜边,高和底边长一半为直角边,因此由三角形三边关系及勾股定理可知（ ）A ． 132≠122+62, B ．122≠82+62, C ．132=122+52, D ．52≠42+42. 答案: C ．ＡＢＣ图45.解析:如图,此题可运用勾股定理解决,设这条木板的长度为x米,由勾股定理得:x222,解得x=3.9.答案: B．二、填空题(每小题4分,共计32分)6.解析:在长方体的盒子中,一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大.因此可设放入长方体盒子中的最大长度是x㎝,根据题意,得x2 =502+40 2 +3022 =4900,因为4900<5000,所以能放进去.答案:能.7.解析:如图4,把实际问题转化为数学模型,由题意可知AB=1200,AC=2000,由勾股定理得:BC2=AC2-AB2= 20002-12002=16002 ,所以BC=1600.李明向正东方向走了1600米.答案:1600.8.解析:延长A B．DC构成直角三角形,运用勾股定理得BC2=(15-3)2+(20-4)2=122+162=400,所以BC=20.答案:20cm.图5 图6 图79.解析:由题意可知A B．DC为3m,BC为4m,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=32+42=25=52,所以AC=5.答案:5.10.解析:由题意可知梯子的长是不变的,由云梯长10米 ,梯子顶端离地面6米,可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米.当梯子顶端离地面8米时, 梯子的底部距墙为6米,则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8-6=2(米).答案:2.11.解析:依据两点之间线段最短,确定最短路线为长方形公园的对角线长,可设长方形公园的对角线长为x 米,由勾股定理得:x 2=1202+3502,解得x=370. 答案:370.图8 图9 图1012.解析:如图9,把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,然后利用勾股定理解决.设树的高度为x 米, 因两只猴子所经过的距离相等都为30米.由勾股定理得:x 2+202=[30-(x-10)]2,解得x=15. 答案:15.13.解析:三级台阶平面展开图为长方形,长为2,宽为(0.2+0.3)×3则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x ,由勾股定理得:x 2=22+[(0.2+0.3)×3]22,x=2.5. 答案:2.5.三、解答题(本题共计48分)14.解析:如图,把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,然后利用勾股定理解决. 答案:在Rt△ABC 中,AB 2+BC 2=AC 2,所以AB 2+1402=5002,解得AB=480. 答:该河AB 处的宽度为480米.15.解析:本题是一道古代数学题,由于树可以近似看作圆柱,藤条绕树缠绕,我们可以按图的方法,转化为平面图形来解决.如图13,线段AB 的长就是古藤的长. 答案:如图13,在Rt△ABC 中,由勾股定理得 AB 2=BC 2+AC 2.因为BC=20,AC=3×7=21, 所以AB 2=202+212=841. 所以AB=29.所以这根藤条有29尺. 答:这根藤条有29尺.D B A120902.6m4m16.解析:如图14,彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长,彩旗的对角线长为150,所以h=320-150=170cm. 答案:彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 为170cm.. 17.解析:找最短路程,只需要找到A 点关于河岸的对称点和点B的距离就可以,借助勾股定理可以求出来. 答案:如图,作出A 点关于MN 的对称点A′,连接A′B 交MN 于点P,则A′B 就是最短路线. 在Rt△A′DB 中,由勾股定理求得A′B=17km.18.解析:本题关键是能将红莲移动后的图画出, 红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面即AC 为红莲的长.答案:设水深为h 尺.如图,Rt△ABC 中,AB=h,AC=h+3,BC=6, 由勾股定理得:AC 2=AB 2+BC 2,即(h+3)2=h 2+62. ∴h 2+6h+9=h 2+36,解得:h=4.5. 答:水深尺.19. 解析:如图,卡车能否通过,关键是车高4米与AC 的比较,BC 为,只需求AB,在直角三角形OAB 中,半径OA 为2米,车宽的一半为DC = OB =,运用勾股定理求出AB 即可.答案:过直径的中点O,作直径的垂线交下底边于点D, 如图所示,在Rt△ABO 中,由题意知OA=2,DC = OB =1.4, 所以2222 1.4 2.04AB =-=. 因为4-2.6=1.4,21.41.96=,2.04>1.96,所以卡车可以通过.答:卡车可以通过,但要小心.ABDPNA MABDC20. 解析:①只须画直角边为2和3的直角三角形即可.这时直角三角形的面积为:1232⨯⨯=3;②画面积为5的四边形,我们可画边长的平方为5的正方形即可. 答案:如图1和图2.21. 解析:本题需要把实际问题转化为数学模型,构造直角三角形,利用勾股定理完成. 答案:如图,过点B 作BC⊥AD 于C,则AC=2.5,BC=6, 由勾股定理求得AB=6.5(km) .所以登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是6.5km.图2图1。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题(时间：120分钟 总分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各组数是勾股数的是( ) A ．8，15，17B ．1.5，2，2.5C ．5，8，10D.13，14，152．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，则AC 2＋BC 2＋AB 2的值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．83．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm ，正方形A 的边长为6 cm ，B 的边长为5 cm ，C 的边长为5 cm ，则正方形D 的面积为( )A ．16 cm 2B ．15 cm 2C ．14 cm 2D ．9 cm 2第4题图第6题图第7题图 第9题图5．三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为( ) A ．6B ．4.5C ．2.4D ．86．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．807．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3.将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA 、BC 为半径的圆形形成一圆环．该圆环的面积为( )A．πB．3πC．9πD．6π8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是()A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．a2＝c2－b2D．a∶b∶c＝3∶4∶69．如图，是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长2.8 m，宽2.8 m；③号木板长4 m，宽2.4 m．可以从这扇门通过的木板是()A．①号B．②号C．③号D．均不能通过10．如图，已知圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为()A．10 dm B．15 dm C．20 dm D．25 dm二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64 cm2，则x的长为cm.第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图所示，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸减去了一角，量得AB ＝3 cm，CD＝4 cm，则剪去的直角三角形的斜边BC的长为.13．小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米回到检录处，则他开始是按方向走的．(假设小明走的每段路线都是直的)14．假设电视机屏幕为矩形．“某个电视机屏幕大小是64 cm”的含义是矩形对角线长为64 cm.如图，若该电视机屏幕ABCD 中，CDBC ＝0.6，则电视机屏幕的高CD 为 cm.(精确到1 cm)15．如图所示，一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向沿一条直线滑动 米．16．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为 .第16题图第17题图第18题图17．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若AC ＝12，BC ＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是____.18．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm 、3 dm 、2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 .三、解答题(共66分)19．(10分)学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图①放置，从正前方看图①得到的图形如图②所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！(提示：连接AC 、CF 、AF )20.(10分)如图所示的一块草坪，已知AD＝12 m，CD＝9 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块草坪的面积．21．(10分)一圆柱形油罐，如图所示，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐的底面周长为12 m，高AB为 5 m，问所建的梯子最短需多少米？22．(12分)如图，一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？23．(12分)如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.①②(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点M(0，2)，N(12，3)，根据(2)中的规律和结论构图在x轴上找一点P，使PM＋PN最小，并求出PM＋PN的最小值．24．(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，设c 为最长边．当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状(按角分类)．(1)当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为________三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为________三角形；(2)猜想：当a 2＋b 2________c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2________c 2时，△ABC 为钝角三角形；(3)判断当a ＝2，b ＝4时，△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围． 参考答案一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各组数是勾股数的是( A ) A ．8，15，17B ．1.5，2，2.5C ．5，8，10D.13，14，152．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，则AC 2＋BC 2＋AB 2的值是( D ) A ．2B ．4C ．6D ．83．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有( B ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm ，正方形A 的边长为6 cm ，B 的边长为5 cm ，C 的边长为5 cm ，则正方形D 的面积为( C )A．16 cm2B．15 cm2C．14 cm2D．9 cm2第4题图第6题图第7题图第9题图5．三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为(D)A．6 B．4.5 C．2.4 D．86．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)A．48 B．60 C．76 D．807．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形形成一圆环．该圆环的面积为(C)A．πB．3πC．9πD．6π8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是(D)A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．a2＝c2－b2D．a∶b∶c＝3∶4∶69．如图，是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长2.8 m，宽2.8 m；③号木板长4 m，宽2.4 m．可以从这扇门通过的木板是(C)A．①号B．②号C．③号D．均不能通过10．如图，已知圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(A)A ．10 dmB ．15 dmC ．20 dmD ．25 dm二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64 cm 2，则x 的长为 17 cm.第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图所示，小明将一张长为20 cm ，宽为15 cm 的长方形纸减去了一角，量得AB ＝3 cm ，CD ＝4 cm ，则剪去的直角三角形的斜边BC 的长为 20cm .13．小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米回到检录处，则他开始是按 向南或向北 方向走的．(假设小明走的每段路线都是直的)14．假设电视机屏幕为矩形．“某个电视机屏幕大小是64 cm ”的含义是矩形对角线长为64 cm.如图，若该电视机屏幕ABCD 中，CD BC ＝0.6，则电视机屏幕的高CD 为 33 cm.(精确到1 cm)15．如图所示，一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向沿一条直线滑动 1 米．16．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为 1 cm .第16题图第17题图第18题图17．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若AC ＝12，BC ＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是__152__.18．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm 、3 dm 、2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 25dm .三、解答题(共66分)19．(10分)学完了勾股定理后，张老师给同学们布置了这样一道题：有两个形状、大小完全相同的香烟盒按照图①放置，从正前方看图①得到的图形如图②所示，你能运用这个图形证明勾股定理吗？赶紧试一试吧，相信你一定能行！(提示：连接AC 、CF 、AF )证明：连接AC 、CF 、AF .设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b .如图所示，我们根据梯形的面积公式可知，梯形ABEF 的面积＝12(a ＋c )(a ＋c )．从上图我们还发现梯形ABEF 的面积等于三个三角形的面积，即12(a ＋c )(a ＋c )＝12ac ＋12ac ＋12b 2.化简可得a 2＋c 2＝b 2.20.(10分)如图所示的一块草坪，已知AD ＝12 m ，CD ＝9 m ，∠ADC ＝90°，AB ＝39 m ，BC ＝36 m ，求这块草坪的面积．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝12 m ，CD ＝9 m ，由勾股定理得AC ＝15 m ，又因为AB ＝39 m ，BC ＝36 m ， 所以△ABC 为直角三角形，则∠ACB ＝90°， 所以草坪面积S ＝12× 15× 36－12× 9× 12＝216(m 2)．21．(10分)一圆柱形油罐，如图所示，要以A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，已知油罐的底面周长为12 m ，高AB 为 5 m ，问所建的梯子最短需多少米？解：假设将圆柱体的侧面沿AB 剪开，铺平得到如图所示的长方形AA ′B ′B ， 则AB ＝A ′B ′＝5 m ，AA ′＝BB ′＝12 m ，∠BAA ′＝∠A ′＝∠AB ′ B ＝∠B ＝90°， 因此沿AB ′建梯子最短．在△AA ′B ′中，由勾股定理，得AB ′ 2＝AA ′ 2＋A ′ B ′ 2＝122＋52＝169，解得AB ′＝13 m. 所以梯子最短需13 m.22．(12分)如图，一根长度为50 cm 的木棒的两端系着一根长度为70 cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？题图 答图解：如图①，当∠B ＝90°时，设BC ＝x cm ，则AC ＝(70－x ) cm.在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即(70－x )2＝502＋x 2，解之x ＝1207，则AC ＝(70－x )＝3707， 这时该点将绳子分成1207 cm ，3707cm 两段． 当∠A ＝90°时，该点将绳子分成1207 cm ，3207cm 两段， 如图②，当∠C ＝90°时，根据勾3股4弦5可知这两段为30 cm ，40 cm.故这个点将绳子分成的两段各有30 cm ，40 cm 或3707 cm ，1207cm.23．(12分)如图①，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC .已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x .① ② (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点M (0，2)，N (12，3)，根据(2)中的规律和结论构图在x 轴上找一点P ，使PM ＋PN 最小，并求出PM ＋PN 的最小值．解：(1)∵BD ＝ 8，CD ＝ x ，∴BC ＝ (8－x )，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝（8－x ）2＋25，在Rt △CDE 中，由勾股定理，得CE ＝x 2＋1，∴AC ＋CE ＝（8－x ）2＋25＋x 2＋1.(2)根据两点之间线段最短可知，当A 、C 、E 三点共线时，AC ＋CE 的值最小．(3)如图，作点M 关于x 轴的对称点M ′，连接M ′N 与x 轴相交于点P ，则点P 为所找的点．构造直角三角形M′NN′，则PM＋PN＝M′N＝（2＋3）2＋122＝13.24．(12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC 的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形；(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形；(3)判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．解：(1)锐角钝角(2)><(3)∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c＜6，a2＋b2＝22＋42＝20.①a2＋b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜25，∴当4≤c＜25时，这个三角形是锐角三角形；②a2＋b2＝c2，即c2＝20，c＝25，∴当c＝25时，这个三角形是直角三角形；③a2＋b2＜c2，即c2＞20，c＞25，∴当25＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．。