2020人教版新课程高一数学必修1第三章3.1.1函数的概念(2)
（4）f(x)= x 3 值域为 _[_0_, _+_∞__)_____
例2、求下列函数的值域:
y 2x 3 x 1
也可用反表示 法。
变式1：求y 2x 3（x 0）的值域 x 1
变式2：求y
x2 x2
1的值域 1
例3、求所给函数的值域
（1）f (x) x2 2x 3 （2）f (x) x2 2x 3，x [1,0] （3）f (x) x2 2x 3，x [1,4]
3.1.1函数的概念（2）
求函数的值域
例1、求下列函数的值域：
（1）f(x)
=
1
－2x
值域为
R ________________
（2）f(x)= | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 } 值域为 _{_－__1_,_0_,_1_}
（3）f(x)=
2 x
2
值域为 _____(_－__∞_,_0_)_∪__(_0_, _+_∞__)____
y
7 2
o
x
拓展：
形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。
例5、求函数 y =
x2 2x 3 2x2 2x 1
的值域
本节小结：
本课主要学习了直接法，分离 常数法，图象法，配方法，判别 式法，换元法，反表示法，希望 同学们认真学习牢固掌握，课下 多多练习。
决定函数的最大（小）值.
求下列函数的值域： （1）y = 2 x 1
3x 3
（2）y = 1 4 x
2x 3
（3）y = x2+4x+3 (-3≤x≤1)
（4）y =3-2x-x2 x∈[-3,1]
例4、求下列函数的值域： （1）y = x + 1 x
y
1
o
x
（2）y = 2x －3 + 4x 13
b2
⑵若定义域为x [a,b]
则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
.
①若x0 [a,b],则f(x0)
②若x [a,b],则[a,b]是
a>0时,是函数的最小值;
在f(x)的单调区间内
a<0时,是函数的最大值 再比较f(a),f(b)的大小
只需比较f(a),f(b)的大小即可 决定函数的最大（小）值.
(4) f (x) x2 2x 3
（5）f(x) = | x + 1 | －| 1 －x |
注：对于二次函数,y=ax2+bx+c(a≠0)
⑴若定义域为R时 : 当a>0时，则当x=
b
时，
2a
其最小值；ym in
4ac 4a
b2
当a<0时，则当
x
b a
时，其最大值.
ymax
4ac 4a
3.1.1函数的概念2—函数的三要素课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
练一练：1：①若f(x)=x2-3x,则f(2)=_-_2__, ②f(f(2))=_1__0___③若f(a)=4,则a=_4_或__-_1__ 思考： 2：若f(2x+1)=x2-3,则f(7)=__6______
1①：f(2)=22-3×2=-2
f②(a：xf+(fb(2)与))=f(f(x-)2的)=关(-系2)2：-3×利(-用2)换=1元0 法，括号 里③：面4的=内a2-容3a相等解。得即a利1=用4或f(at2)==-f1(ax+b),得出 t3=：a∵xf+(2bx,+求1出)=xx=2-(3t-b)/∴a2,代x+入1f=(7ax+b), 得出 f(t)∴,即x=f3(x)的表∴达f(2式x+。1)=32-3=6
y＝kx(k≠0)
R
反比例函数
{x|x≠0}
一次函数
y＝kx＋b(k≠0)
R
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
R
思考：求y 2x 3 - 1 1 的定义域 2-x x
思考：求y 2x 3 - 1 1 的定义域 2-x x
2x 3 0
解即：xx要 使2 23函数有意义-，3必须x 有 22x且2xx0x
0
0
0
x 2 x 0
2 原函数定义域为{x | - 3 x 2且x 0}
2
②当一个函数由两个以上的数学式子的和，差，
积，商的形式构成时，定义域是使各部分都有意
义的公共部分的集合
为了方便书写，函数的定义域一般用区间表示
(1)区间的概念．设a，b是两个实数，且a＜b.
定义
名称 符号
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
河北省任丘市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册：3.1.1 函数的概念(第二课时)
§3．1．1 函数的概念（第二课时）导学目标：1．了解构成函数的三要素，能求具体函数及抽象函数的定义域． 2．了解构成函数的三要素，理解函数值域的含义，能求简单函数的值域．（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =+++++的定义域；（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．通过观察，若函数()f x ()1f x -=①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ．（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域． （2）求函数21()x f x --=的定义域．【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． （2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？）（3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()f x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域．【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．（2）求函数()63f x x x =-在区间[]2,4上的值域．§3．1．1 函数的概念（第二课时）参考答案（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？ 【答案】（1）[)0,+∞（2）()1f x x =-，[)1,+∞（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =+++++的定义域； 【答案】要使函数有意义，应有504010x x x +≥⎧⎪+≠⎪⎨⎪⎪+≠⎩即541x x x ≥-⎧⎪≠-⎨⎪≠-⎩所以函数的定义域是[)()()54411-----+∞，，,．（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．通过观察，若函数()f x x =，则函数()11f x x -=-，我们可有如下结论：①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ． 【答案】[)1,+∞（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？ 【答案】{}033x x x N ≤≤∈且 【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？【答案】 令2t x =，由x R ∈，可得0t ≥，223y t t =--，0t ≥；前后函数自变量改变，相应的取值范围也改变．题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域．（2）求函数()f x =的定义域．【答案】（1）11|22x x x ⎧+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}|13x x x <>或；【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域． 【答案】（1）[]0,4 （2）[]2,2- （3）31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3）13,212x x -≤≤∴-≤-≤，故()f x 的定义域为[2,2]-， 所以令2212x -≤+≤，解得3122x -≤≤， 故()21y f x =+的定义域是31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． 【答案】[1,1]-由题意，函数()f x 的定义域为[1,2]-，则函数()()()g x f x f x =+-满足1212x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1221x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[1,1]-．（2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域． 【答案】[)(]2,11,1---；函数()f x 的定义域[]4,2-,即422x -≤≤,可得21x -≤≤ 又分母10x +≠,可得1x ≠-． ∴()()21f xg x x =+的定义域为[)(]2,11,1---．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．【答案】{}026t t ≤≤题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？） （3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．高中数学必修第一册- 11 -【答案】（1）{}0,2,3（2）[)2,+∞，{}6,3,2，[)2,11（3）(]2,1--【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()af x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域． 【答案】（1）[)2,+∞；（2）[]4,5【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．【答案】（1）[)4,5- （2）1(,]2-∞ （3）[4,)+∞（2）()()224321f x x x x =-+=--，因为1-≤x ≤1，所以3-≤x −2≤1-，所以1≤(x −2)2≤9，则0≤(x −2)21-≤8．故函数()[]243,1,1f x x x x =-+∈-的值域为[0，8]．函数()g x 的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令()2112,02t t x x t -=-=≥，得21122y t t =--+，故1,2y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，所以函数()12g x x x =--的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）()()()2212111124111x x x h x x x x x -+-+===-++≥---．当且仅当x ＝2时“＝”第三章 函数的概念与性质- 12 -成立，故函数()2(1)1x h x x x =>-的值域为[)4,+∞．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R 【答案】B2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域． 【答案】(,1]-∞-∪1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．由1124x ≤+≤，得112x -≤≤，即110x -≤<或102x<≤， 解得x ≤ 1-，或12x ≥．∴函数的定义域为(-∞，1-]∪[12，+∞)．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．【答案】13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．高中数学必修第一册- 13 -()f x 的定义域是[0,2]，且11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102,2102,2x x ⎧+⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩则13,2215,22x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩ 即1322x ．()g x ∴的定义域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．【答案】 [2,2]-（2）求函数()3f x x =在区间[]2,4上的值域．【答案】12,4⎤-⎦t =,则26x t =- ∵[]2,4x ∈,2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t tt =--=+-其对称轴16t =-, 故得()f x 的值域为12,4⎤-⎦．。
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。
如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。
函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。
2020学年新教材高中数学第3章函数3.1.1函数及其表示方法(第1课时)函数的概念课件新人教B版必修第一册
1．思考辨析 (1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函 数．( ) (2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一 个函数．( ) (3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一个函 数．( )
选项D中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝( x )4＝x2的定义域为[0，＋ ∞)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．]
(2)[解] ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法
则f：y＝
1 x2
的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不
是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则
3．若f(x)＝1－1 x2，则f(3)＝________. －18 [f(3)＝1－1 9＝－18.]
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．
x x＜2 2≤x≤3 x＞3
y －1 0
1
{－1,0,1} [函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．]
合作探究 提素养
(1)C [选项A中，由于f(x)＝ x2 ＝|x|，g(x)＝x两函数对应法则不
同，所以它们不是同一函数；
选项B中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝
x2
的定义域为
{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；
选项C中，f(x)＝ 3 x3 ＝x，g(x)＝x的定义域和对应法则完全相同， 所以它们是同一函数；
f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义
河北省2020年新高一数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结(人教版)
2020年新高一数学必修一知识点总结第三章 函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。
2.函数问题的共同特征：①定义域、值域均为非空数集；②定义域和值域间有一 个对应关系；③对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数 与之对应。
3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号 f 统一表示对应关系。
【注】函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。
4.函数定义一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按 照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就 称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对 应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
5.函数的三要素：①定义域；②对应关系；③值域。
6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是 由它的定义域和对应关系决定的。
（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范围。
如y ={}0x x ≠（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：()s t v t =,隐含着0t ≥。
6.几个特殊函数的定义域和值域（1）正比例函数()0y kx k =≠，定义域和值域都为全体实数R 。
（2）一次函数()0y kx b k =+≠，定义域和值域都为全体实数R 。
（3）反比例函数()0k y k x=≠，定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠。
（4）一元二次函数()20y ax bx c a =++≠，定义域为R 。
①当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭； ②当0a <时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
3.1.1 函数的概念-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(人教A版必修第一册)
3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念【学习目标】1. 函数的概念 (1)函数的定义设A ，B 是 ，如果对于集合A 中的 ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 . (2)函数的定义域与值域函数y ＝f (x )中，x 叫做 ， A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的 ． (3)对应关系f ：除解析式、图象表格外，还有其他表示 对应关系的方法，引进符号f 统一表示对应关系． 注意：判断对应关系是否为函数的2个条件 ①A 、B 必须是非空数集．①A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应． 2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为： 、 和 。
3．相同函数值域是由 和 决定的，如果两个函数的定义域和 相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数． 4. 区间及有关概念 (1)一般区间的表示.设a ，b ①R ，且a <b ，规定如下：{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号【小试牛刀】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．()(5)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．()(6)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．()(7)函数f(2x－1)的定义域指2x－1的取值范围．()【经典例题】题型一函数关系的判定例1(1) 若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是()(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？①f：把x对应到3x＋1；①g：把x对应到|x|＋1；①h：把x对应到1x；①r：把x对应到x.[跟踪训练] 1 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是()题型二已知函数的解析式求定义域求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义．例2 求下列函数的定义域．（1）y＝2＋3x－2；(2)y＝x2－2x－3；(3)y＝3－x·x－1；(4)y＝(x－1)0＋2x＋1；[跟踪训练] 2 求下列函数的定义域：(1)y＝(x＋1)2x＋1－－x2－x＋6. (2)y＝10－x2|x|－3.题型三函数相同判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.例3下列各组函数：①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；①f(x)＝xx，g(x)＝xx；①f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；①f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；①汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).[跟踪训练] 3 （1）与函数y＝x－1为同一函数的是()A．y＝x2－xx B．m＝(n－1)2C．y＝x－x0D．y＝3(t－1)3（2）判断以下各组函数是否表示相等函数：①f(x)＝(x)2；g(x)＝x2.①f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.题型四求抽象函数的定义域两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域.例4 (1)设函数f(x)＝x，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？[跟踪训练] 4 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．注意：定义域是x的取值范围，f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1是相对应的．例5 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域.[跟踪训练] 5（1）函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域．(2)函数f(1－x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域。
3.1.1函数的概念-高一数学人教A版必修一同步课件
注意点： (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆； (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区分； (3)区间是实数集的一种表示情势，集合的运算仍然成立； (4)∞是一个符号，而不是一个数，它表示数的变化趋势.
三、点拨精讲（22分钟）
例1 把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； 解 {x|x≥－1}＝[－1，＋∞). (3){x|－1<x<1}； 解 {x|－1<x<1}＝(－1,1).
由 a≤g(x)≤b，解得 x 的取值集合 即为 f[g(x)]的定义域． (2)已知 f[g(x)]的定义域为[m，n]，求 f(x)的定义域：
由 m≤x≤n，求得 g(x)的取值范围 即为 f(x)的定义域．
四、课堂小结（3分钟）
1.区间的表示； 2.判断是否为同一个函数； 3.已知函数值求自变量的值； 4.求抽象函数的定义域.
第一节：函数的概念2
一、学习目标（1 分钟）
1.能正确使用区间表示数集. 2.会判断两个函数是否为同一个函数. 3.会求一些简单函数的定义域、值域.
二、问题导学（4分钟）
（一）区间的概念
设a，b是两个实数，而且a<b,我们规定： ⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做 闭区间，表示为 [a， 。
• (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分 别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数， 即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
• (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因 变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．
(2){x|x<0}； 解 {x|x<0}＝(－∞，0). (4){x|0<x<1或2≤x≤4}.
人教版高中数学必修第一册3.1函数的概念及其表示 课时1函数的概念(1)【课件】
【活动4】理解区间的含义，学会用区间表示集合
【问题13】理解区间的含义，并能正确填表：
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x<a} {x|x≤a}
3．在探索函数单调性的符号语言表述时，要深入体会 数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法．
3.1 函数的概念及其表示
课时1 函数的概念(1)
教学目标
1. 通过观察、辨析具体实例的共同属性抽象出函数的概 念,会用集合与对应的语言来刻画函数,能正确地认识和理解函 数符号y=f(x)的含义.
2. 掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和 函数值,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,感受学习函数 的必要性和重要性.
(1) 上午6时气温约是多少?全天的最高、最低气温分 别是多少?
(2) 在什么时刻,气温为0 ℃? (3) 在什么时段内,气温在0 ℃以上?
初探新知
【活动1】 认识函数概念和函数的三要素 【问题1】已知① 某高速列车加速到300 km/h后保持匀速 运行1 h.这段时间内，设列车的行进路程为s(km)，运行时间 为t(h)；② 某维修公司要求工人每周工作至少3天，至多6天， 工资标准为300元/天，每周付一次工资，设一个工人的工资 为w(元)，他工作天数为d(天).你能给出①②中变量对应的解 析式吗？ 【问题2】问题1中变量的范围如何表示？
情境导学
2.GDP(国内生产总值)是指一个国家(或地区)所有常住 单位在一定时期内生产的全部最终产品和服务价值的总和， 常被认为是衡量国家(或地区)经济状况的指标．如果有一 份某市2000－2018年的GDP数据，你认为GDP是年份的函数 吗？
高中数学第3章函数的概念与性质3.1.2第1课时函数的表示法课件人教A版必修一
求函数解析式的四种常用方法 (1)待定系数法：若已知 f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式， 根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：设 t＝g(x)，解出 x，代入 f(g(x))，求 f(t)的解析式即 可． (3)配凑法：对 f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用 g(x)表示 出来，再用 x 代替两边所有的“g(x)”即可．
养运算素养.
情景 导学 探新 知
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值 380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小 时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y ＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300 500
氰化物浓度
0.678 0.398
0.121 0.05 0.01
问题：根据初中所学知识，请判断问题(1)、(2)、(3)分别是用什
么法表示函数的？
提示：解析法、图象法和列表法．
函数的表示法
思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形 式表示吗？
5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域．
[解] (1)f(x)图象的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围 是[－1,3]，
即f(x)的值域是[－1,3]．
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
2020-2021学年高一上数学第三章《函数的概念与性质》3.1.1函数的概念
(1)y＝ － ；
(2)y＝ ＋ .
解(1)由 得
所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(2)由 得x≤－ 或2≤x<4，
所以定义域为 ∪[2,4)．
命题角度2求函数值
例3已知f(x)＝ (x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(3)由 解得－2≤x<0或0<x≤2，
所以函数y＝ ＋ 的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
反思感悟求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练3已知f(x)＝ 则f(f(2))＝________.
答案－
解析f(2)＝－22＋1＝－3，
∴f(f(2))＝f(－3)＝－ .
三、同一个函数的判定
例4下列选项中能表示同一个函数的是()
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
反思感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空实；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1下列图象中，可作为函数图象的是________．(填序号)
答案①③④
解析对于②⑤中存在一个x的值，y有两个值与之对应，所以不是函数图象，①③④符合函数定义．
二、求函数的定义域、函数值