华东师大版九年级数学上全册教案
2013年9月 第 1 页 共 89 页 22．1. 二次根式（1）
教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．
当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a是负数时，a没有意义． 二、概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方
等于a．即有： （1）a≥0（a≥0）； （2）2)(a=a（a≥0）． 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x是怎样的实数时，二次根式1x有意义？
分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．
解： 被开方数x-1≥0，即x≥1．
所以，当x≥1时，二次根式1x有意义．
思考：2a等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a≥0时，aa2； 当a＜0时，aa2．
这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：
22)2(4xx=2x（x≥0）； 2224)(xxx．
四、练习: x取什么实数时，下列各式有意义.
（1）x43； （2）23x； （3）2)3(x； （4）xx3443 五、 拓展 2013年9月 第 2 页 共 89 页 例：当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？
分析：要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的≥0和11x中的x+1≠0．
解：依题意，得23010xx 由①得：x≥-32 由②得：x≠-1 当x≥-32且x≠-1时，23x+11x在实数范围内有意义．
例：(1)已知y=2x+2x+5，求xy的值．(答案:2) (2)若1a+1b=0，求a2004+b2004的值．(答案:25) 六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 七、布置作业：教材P4：1、2 八、反思及感想：
22.1 二次根式（2） 教学内容：1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）． 2013年9月 第 3 页 共 89 页 教学目标：1、理解a（a≥0）是非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键：1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）． 教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a（a≥0）是一个非负数．
做一做：根据算术平方根的意义填空： （4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；
（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______． 老师点评：①、4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， ②、4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．
同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以 ：（a）2 = a（a ≥ 0） 三、例题讲解
例1 计算： 1．（32）2 ， 2．（35）2 ， 3．（56）2 ， 4．（72）2
分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题． 解：1. （32）2 =32， 2.（35）2 =32·（5）2=32·5=45， 2013年9月 第 4 页 共 89 页 3.（56）2=56， 4.（72）2=22(7)724． 四、巩固练习 计算下列各式的值：
（18）2 （23）2 （94）2 （0）2 （478）222(35)(53) 五、应用拓展 例2 计算
1．（1x）2（x≥0），2．（2a）2 ，3．（221aa）2 ，4．（24129xx）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0； （2）a2≥0； （3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,（1x）2=x+1 （2）∵a2≥0，∴（2a）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0， ∴a2+2a+1≥0 ，∴221aa=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（24129xx）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 六、归纳小结：本节课应掌握：
1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）． 七、布置作业：教材P4：3、4
八、反思及感想：
22.1 二次根式（3） 教学内容 2a＝a（a≥0） 教学目标：1、理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简． 2、 通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键：1．重点：2a＝a（a≥0）． 2013年9月 第 5 页 共 89 页 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，2a＝a才成立． 教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容） 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)2＝a（a≥0）． 那么，我们猜想当a≥0时，2a=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知：（学生活动）填空：
22
=_______；20.01=_______；21()10=______；
22()3=________；20=________；23()
7=_______．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 22
=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37．
因此，一般地：2a=a（a≥0） 三、例题讲解： 例1 化简：（1）9 （2）2(4) （3）25 （4）2(3) 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32， 所以都可运用2a=a（a≥0）•去化简． 解：（1）9=23=3 （2）2(4)=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)=23=3 四、巩固练习：（见小黑板） 五、应用拓展
例2 填空：当a≥0时，2a=_____；当a<0时，2a=____，•并根据这一性质回答下列问题．
（1）若2a=a，则a可以是什么数？ （2）若2a=-a，则a可以是什么数？ （3）2a>a，则a可以是什么数？ 分析：∵2a=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数 2013年9月 第 6 页 共 89 页 是正数，因为，当a≤0时，2a=2()a，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1）因为2a=a，所以a≥0； （2）因为2a=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时2a=a，要使2a>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，2a=-a，要使2a>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简2(2)x-2(12)x．
六、归纳小结：本课掌握：2a=a（a≥0）及运用，同时理解当a<0时，2a＝－a的应用拓展． 七、布置作业:1．先化简再求值：当a=9时，求a+212aa的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+2000a=a，求a-19952的值．（提示：注意根式有意义的隐含条件）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+2(3)x+21025xx。 八、反思及感想：
22．2 二次根式的乘除（1） 教学内容：a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用． 教学目标：1、理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简 2、由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 1、重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．
2013新版华东师大版九年级数学上全册教案
22．1. 二次根式（1）教学内容： 二次根式的概念及其运用教学目标：1（a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．当a 当a 等于a ．即有： （1形如a （注意：在二次根式a 例题： x 分析 解： 思考：2a 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-五、 拓展例：当x 11x +在实数范围内有意义？11x +0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1+11x +在实数范围内有意义．例：(1)(2)六、 1 2八、22.1 二次根式（2）教学内容：1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）．教学目标：1a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．2、 a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键：1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2=a（a ≥0）．教学过程： 1 2．当 二、探究新知议一议：a ≥0）2（2是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，2=3，2=13，2=72，）2=0，所以三、例题讲解例1 计算： 1．）2 ， 2．（2 ， 3．2 ， 4．）2）2=a （a ≥0）的结论解题．解：1. 2 =32， 2.（2 =32·）2=32·5=45，3.2=56， 4.（2）2=22724=． 四、巩固练习计算下列各式的值：（2 2 （42 ）2 （222- 五、应用拓展例2 计算1．2（x 2分析：（1）因为x （2）a 2≥0；（3）a 2（4）4x 2所以上面的 解：（1）因为x ≥0 （2）∵a 2≥0（3）∵a 2+2a+1=（∴a 2+2a+1≥0 （4）∵4x 2-12x+9=∴4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3六、归纳小结：本节课应掌握：1（a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）;反之:a=）2（a ≥0）．七、布置作业：教材P4：3、4 八、反思及感想：22.1 二次根式（3）教学内容a（a≥0）教学目标：1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键：1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程：123．=2三、例题讲解：例1 化简：（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4四、巩固练习：（见小黑板）五、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a解：（1（3）因为当，，即使-a>a，a<0例3当x>2七、布置作业:1=2a-1=17．两种解答中，2．若│3. 若-3≤x≤八、22．2 二次根式的乘除（1）（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标：1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简2a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键1a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．23教学过程：自探.1．填空：（．（32（1（3（5（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算：（1，（2，（3，（4（a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1，（2，（3，（4，（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1(2) 化简:本节课掌握：（1（一）、选择题1A．cm2．化简31x-=A．x≥1 B．4A．=8 B．C．×D．（二）、填空题：1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：=同理可得：==七、反思及感想：22．2 二次根式的乘除（2）a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标;1a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程; 一、设疑自探——解疑合探自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1；（2=_____；（1a≥0，b>0）便可直接得出答案．分析：上面4合探2．化简：（1（2（3（4a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．二、应用拓展，且x为偶数，求（1+x的值．=a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．三、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．四、作业：（写在小黑板上） (一)、选择题:1 ）．A ．27； B ．27； C ； D2A (二) (三) （1 （2五、22.2 二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 计算（1（2，（3自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．A （y>0）B y>0）C （y>0）D ．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A B C ． D ．3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B ±12C 2D ．4的结果是（ ） A ． ； B ．； C ．； D ．（二）、填空题1．（x ≥0）2．_________．（三）、综合提高题1．已知a •请写出正确的解答过程：2．若x 、y y x y -的值．六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(1)教学内容 ： 二次根式的加减教学目标 ： 理解和掌握二次根式加减的方法． 重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程：一、设疑自探——解疑合探 自探（学生活动）：计算下列各式．（1） ；（2）；（3 ；（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书） 和 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算：（1 （2 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 合探2．计算（1） （2））+二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展已知4x 2+y 2即x=12，再合并同类二次根式，最（1 （一）、选择题1 ）．A ．①和② B2．下列各式：①3=2，其中错误的有（ ）． A ．3个 （二）、填空题1________．2．计算二次根式的最后结果是________． （三）、综合提高题1 2.236）-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(2)教学内容 ： 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 ： 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程：一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ的面积为35平方厘米．===PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为厘米．自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？解：由勾股定理，得===所需钢材长度为≈3×2.24+7≈13.7（m）3a-•b=•2，1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．A．B C．D．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．A．B C．D．（二）、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．2，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（三）、综合提高题1与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=2-2·1+12反之，+1=-1）2∴=-1）2-1求：（1（2（3（4六、反思及感想：教学目标：12重难点关键：12教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算：（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算：（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3. 计算：（1））（ （2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：已知x b a-=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，，并求值．）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．1． A 2 1．2．（（）-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a 2b-ab 2=_________． （三）、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）六、反思及感想：23.1 一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
华东师大版九年级数学上册21.1《二次根式教案
二次根式教材内容1．本单元教课的主要内容：二次根式的观点；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．教课目的1．知识与技术（ 1）理解二次根式的观点．（ 2）理解 a （a≥0）是一个非负数，（ a ）2=a（a≥0），a2 =a（ a≥ 0）．（ 3）掌握 a · b ＝ab （a≥0，b≥ 0），ab = a · b ；a = a（a≥0，b>0），a=a（a≥0，b>0）．b b b b（ 4）认识最简二次根式的观点并灵巧运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（ 1）先提出问题，让学生商讨、剖析问题，师生共同概括，得出观点．?再对观点的内涵进行剖析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（ 2）用详细数据研究规律，用不完整概括法得出二次根式的乘（除）法例定，?并运用规定进行计算．21 世纪教育网版权全部（3）利用逆向思想， ?得出二次根式的乘（除）法例定的逆向等式并运用它进行化简．（4）经过剖析前方的计算和化简结果，抓住它们的共同特色， ?给出最简二次根式的观点．利用最简二次根式的观点，来对同样的二次根式进行归并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 21 教育网3．感情、态度与价值观经过本单元的学习培育学生：利用规定正确计算和化简的谨慎的科学精神，经过研究二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生察看、剖析、发现问题的能力．教课要点1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（ a ）2＝a（a≥0）；a2 =a（a≥0） ?及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的观点．4．二次根式的加减运算．教课难点1 ．对a （a ≥0）是一个非负数的理解；平等式（ a ） 2＝a （a ≥0）及2（ ≥ ）a =a a 0的理解及应用．【根源： 21·世纪·教育·网】2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的观点把一个二次根式化成最简二次根式．教课要点1．耳濡目染地培育学生从详细到一般的推理能力，突出要点，打破难点．2．培育学生利用二次根式的规定和重要结论进行正确计算的能力，?培育学生谨小慎微的科学精神．二次根式第一课时教课内容二次根式的观点及其运用教课目的理解二次根式的观点，并利用a （ a ≥ 0）的意义解答详细题目．提出问题，依据问题给出观点，应用观点解决实质问题．教课重难点要点1．要点：形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式的观点；2．难点与要点：利用“ a （a ≥0）”解决详细问题．教课过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立达成以下三个问题：问题 1：已知反比率函数y= 3，那么它的图象在第一象限横、 ?纵坐标相等的点的坐标是x___________．问题 2：如图，在直角三角形ABC 中， AC=3，BC=1，∠ C=90°，那么 AB 边的长是__________．21·cn ·jy ·comAB C问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数以下： 8、 7、 9、 9、 7、8，那么甲此次射击的方差是 S 2，那么 S=_________． 2·1·c ·n ·j ·y老师评论：问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y ，所以 x 2=3．由于点在第一象限，所以 x= 3 ，所以所求点的坐标（3 ， 3 ）． 21·世纪 *教育网问题 2：由勾股定理得 AB= 10问题 3：由方差的观点得4 S=. 6二、研究新知很显然 3 、 10 、4，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的6式子，我们就把它称二次根式．所以，一般地，我们把形如 a （a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．www-2-1-cnjy-com（学生活动）议一议：1．-1 有算术平方根吗？2．0 的算术平方根是多少？3．当 a<0， a 存心义吗？老师评论 : （略）3 1 x （x>0）、0例．以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 、3 、、、1 x42、- 2、 1 、 x y （ x≥ 0， y?≥0）．2-1-c-n-j-yx y剖析：二次根式应知足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有： 2 、x （x>0）、 0 、- 2 、x y （ x≥ 0， y≥0）；不是二次根式的有：33、1、42、 1 ．21*cnjy*com x x y例 2．当x是多少时，3x 1 在实数范围内存心义？剖析：由二次根式的定义可知，被开方数必定要大于或等于0，所以 3x-1≥0，? 3x 1才能存心义．解：由 3x-1≥0，得： x≥1当 x≥1时，3x31 在实数范围内存心义．3三、稳固练习教材 P 练习 1、2、3． 四、应用拓展例 3．当 x 是多少时，2x 3 + 1 在实数范围内存心义？1 x 12x 3 中的≥ 0 和1剖析：要使 2x 3 +在实数范围内存心义， 一定同时知足 中x 1x 1的 x+1≠ 0．2x 3 0解：依题意，得1x 由①得： x ≥ - 32由②得： x ≠ -1当 x ≥- 3且 x ≠-1 时， 2x 3 + 1 在实数范围内存心义．2x 1例 4(1)已知 y= 2x + x 2 +5，求 x的值． (答案 :2)y(2) 若a 1 +b 1 ，求 2004 2004 的值． (答案 :2=0 a +b)5五、概括小结 （学生活动，老师评论）本节课要掌握：1．形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内存心义，一定知足被开方数是非负数．六、部署作业采用课时作业设计．。
最新华东师大版初三数学上册第24章 解直角三角形 全单元教案设计
第24章解直角三角形24.1 测量教学目标1.熟练运用勾股定理进行测量；(重点)2.熟练运用相似三角形进行测量；(重点)教学过程一、情境导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？二、合作探究探究点一：利用勾股定理进行测量如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米.6秒后，B′C＝13－0.5×6＝10米，则AB′＝B′C2－AC2＝53(米)，则船向岸边移动的距离为(12－53)米．方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了1003km 到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了100km 到达目的地C 点，求出A 、C 两点之间的距离．解析：根据所走的方向可判断出△ABC 是直角三角形，根据勾股定理可求出解．解：∵AD ∥BE ，∴∠ABE ＝∠DAB ＝60°.∵∠CBF ＝30°，∴∠ABC ＝180°－∠ABE －∠CBF ＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC 中，AB ＝1003km ，BC ＝100km ，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝（1003）2＋1002＝200(km)，∴A 、C 两点之间的距离为200km.方法总结：先确定△ABC 是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC 的长． 探究点二：运用相似三角形解决高度（长度）测量问题如图所示，某同学身高（AB ）是1.66m ，测得他在地面上的影长（BC ）为2.49m ，如果这时操场上旗杆的影长为42.3m （BE ），那么旗杆的高度（DE ）是多少米？解析：首先根据已知条件求△ABC ∽△DEB .然后得出比例式，最后求出结果.解：∵AC ∥DB （平行光），∴∠ACB ＝∠DBE ，∵∠ABC ＝∠DEB ＝90°，∴△ABC ∽△DEB ，∴有AB DE ＝BC BE，DE ＝AB ·BE BC＝28.2m ，即旗杆高度是28.2m.方法总结：同一时刻，同一地点对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的影长之比等于它们的高度之比.如图所示，为了估算河的宽度，在河对岸选定一点A ，再在河的这一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点D ，若测得BD ＝180m ，DC ＝60m ，EC ＝50m ，则河宽为 m.解析：∵∠ABD ＝∠DCE ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ABD ∽△ECD ，∴AB EC ＝BDCD，AB ＝BD ·EC CD，又∵BD ＝180m ，DC＝60m ，EC ＝50m ，∴AB ＝BD ·EC CD＝180m×50m 60m＝150m ，故填150.方法总结：被测量对象无法接近，对其宽度的测量便采用此间接的方式完成，构造相似三角形就是一种行之有效的途径.三、板书设计1．运用勾股定理进行测量； 2．运用相似三角形进行测量. 教学反思本次教学过程是对勾股定理及相似三角形的知识进行系统全面的回顾，教学过程中不仅要引导学生认真归纳总结，进行知识点的系统梳理，更为重要的是发现学生疏忽的知识点，及时有效地帮助学生解决知识的疏漏，打下坚实的基础.24.2 直角三角形的性质教学目标1．理解并掌握直角三角形的性质；(重点) 2．能利用直角三角形的性质解决问题．(难点) 教学过程一、情境导入用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．二、合作探究探究点一：直角三角形斜边上的中线的性质如图，在△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分AD .解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE ＝AE ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD 是△ABC 的高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝12×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 、F 在线段AD 的垂直平分线上，∴EF 垂直平分AD .方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 探究点二：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm ，那么腰上的高是________cm ，这个三角形的面积是________cm 2.解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD ⊥AC ，AB ＝4cm ，所以BD ＝2cm ，S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×4×2＝4(cm 2)．故答案为2，4.方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B 在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C 处，观测到海岛B 在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B 在北偏西30°方向；当船到达C 处时恰与海岛B 相距20海里．请你确定轮船到达C 处和D 处的时间．解析：根据题意得出∠BAC ，∠BCD ，∠BDA 的度数，根据直角三角形的性质求出BC 、AC 、CD 的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．解：由题意得∠BCD ＝90°－30°＝60°，∠BDC ＝90°－30°＝60°.∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴△BCD 为等边三角形．在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°－60°＝30°，∠BDC ＝60°，∴∠ABD ＝90°，即△ABD 为直角三角形，∴∠ABC ＝30°.∵BC ＝20海里，∴CD ＝BD ＝20海里．又∵BD ＝12AD ，∴AD ＝40海里．∴AC ＝AD －CD ＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A 处到C 处的时间为2010＝2(h)，从A 处到D 处的时间为4010＝4(h)．∴轮船到达C 处的时间为13时30分，到达D 处的时间为15时30分．方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．三、板书设计 直角三角形的性质：1．直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．含30°锐角的直角三角形的性质直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半教学反思在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数第1课时锐角三角函数教学目标1．理解正弦、余弦、正切的概念；(重点)2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．二、合作探究探究点一：锐角三角函数【类型一】正弦函数如图，sin A等于( )A ．2 B.55 C.12D.5解析：根据正弦函数的定义可得sin A ＝12，故选C.方法总结：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A .即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac .【类型二】余弦函数在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( )A.513 B.512 C.1213 D.125解析：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，∴cos A ＝AC AB ＝1213.故选C.方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．【类型三】 正切函数如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( )A.35B.45C.34D.43解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴tan A ＝BC AB ＝43.故选D.方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 探究点二：求三角函数值如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sin B 的值．解析：先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函数的定义解答．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3，∴AC ＝AD 2－CD 2＝52－32＝4.在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52＝41，∴sin B ＝AC AB＝441＝44141 .方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC .(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝36，求AD 的长．解析：(1)根据高的定义得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tan B ＝AD BD，cos ∠DAC ＝AD AC，再利用tan B ＝cos ∠DAC 得到AD BD＝AD AC，所以AC ＝BD ；(2)在Rt △ACD 中，根据正弦的定义得sin C ＝AD AC＝1213，可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，再根据勾股定理计算出CD ＝5k ，由于BD ＝AC ＝13k ，于是利用BC ＝BD ＋CD 得到13k ＋5k＝36，解得k ＝2，所以AD ＝24.(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，tan B ＝AD BD，在Rt △ACD 中，cos ∠DAC ＝AD AC.∵tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD＝AD AC，∴AC ＝BD ；(2)解：在Rt △ACD 中，sin C ＝AD AC ＝1213.设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k .∵BD ＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD ＝13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，∴AD ＝12×2＝24.三、板书设计 锐角三角函数 1．正弦的定义 2．余弦的定义 3．正切的定义 4．求三角函数值 教学反思本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.第2课时 特殊角的三角函数值教学目标1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点) 教学过程 一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算： (1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°. 解析：将特殊角的三角函数值代入求解． 解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cos α＝23，则锐角α的大致范围是( )A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 探究点二：特殊角的三角函数值的应用 【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BCAB，即BCBC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．【类型二】判断三角形的形状已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，试判断△ABC 的形状． 解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CD BC，tan75°＝BCCD求出即可．解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE 中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BCCD ＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．三、板书设计1．特殊角的三角函数值：2.应用特殊角的三角函数值解决问题．教学反思课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.2.用计算器求锐角三角函数值教学目标1．初步掌握用计算器求三角函数值的方法；(重点)2．熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)教学过程一、情境导入教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角∠A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角∠A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．二、合作探究探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角【类型一】已知角度，用计算器求函数值用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数． 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈ －0.7817.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序． 【类型二】已知三角函数值，用计算器求锐角的度数已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A ，∠B 的度数(结果精确到0.1°)： (1)sin A ＝0.7，sin B ＝0.01； (2)cos A ＝0.15，cos B ＝0.8； (3)tan A ＝2.4，tan B ＝0.5.解析：由三角函数值求角的度数时，用到sin ，cos ，tan 键的第二功能键，要注意按键的顺序． 解：(1)sin A ＝0.7，得∠A ≈44.4°；sin B ＝0.01得∠B ≈0.6°； (2)cos A ＝0.15，得∠A ≈81.4°；cos B ＝0.8，得∠B ≈36.9°； (3)由tan A ＝2.4，得∠A ≈67.4°；由tan B ＝0.5，得∠B ≈26.6°.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．【类型三】 利用计算器验证结论(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°； ②sin36°________2sin18°cos18°； ③sin45°________2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°________2sin30°cos30°； ⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sin αcos α.(2)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证． 解：(1)通过计算可知： ①sin30°＝2sin15°cos15°； ②sin36°＝2sin18°cos18°； ③sin45°＝2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°＝2sin30°cos30°； ⑤sin80°＝2sin40°cos40°； sin2α＝2sin αcos α.(2)∵S △ABC ＝12AB ·sin2α·AC ＝12sin2α，S △ABC ＝12×2AB sin α·AC cos α＝sin α·cos α，∴sin2α＝2sin αcos α.方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．【类型四】用计算器比较三角函数值的大小用计算器比较大小：20sin87°________tan87°.解析：20sin87°≈20×0.9986＝19.974，tan87°≈19.081，∵19.974>19.081，∴20sin87°>tan87°.方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序．探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝20km，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直的公路AB的长；(2)公路改直后比原来缩短了多少千米？解析：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中根据CH＝AC·sin∠CAB求出CH的长，由AH＝AC·cos∠CAB求出AH 的长，同理可求出BH的长，根据AB＝AH＋BH可求得AB的长；(2)在Rt△BCH中，由BC＝CHsin∠CBA可求出BC的长，由AC＋BC－AB即可得出结论．解：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈20×0.42＝8.4km，AH＝AC·cos∠CAB ＝AC·cos25°≈20×0.91＝18.2km.在Rt△BCH中，BH＝CHtan∠CBA≈8.4tan37°＝11.1km，∴AB＝AH＋BH＝18.2＋11.1＝29.3km.故改直的公路AB的长为29.3km；(2)在Rt△BCH中，BC＝CHsin∠CBA＝CHsin37°≈8.40.6＝14km，则AC＋BC－AB＝20＋14－29.3＝4.7km.答：公路改直后比原来缩短了4.7km.方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键．三、板书设计1．已知角度，用计算器求函数值；2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数；3．用计算器求三角函数值解决实际问题．教学反思备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折．舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.24.4 解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用教学目标1．理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素；(重点) 2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用．(难点)教学过程一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数．在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；(2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度数和边c的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cos B＝ac，即c＝acos B＝3632＝243，∴b ＝sin B·c＝12×243＝123；(2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝66，∴tan A＝ab＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC ＝122，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BMtan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 【类型三】运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210.方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答． 探究点二：解直角三角形的简单应用 【类型一】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝ABAC，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt△ABD 中，tan ∠BDA ＝ABAD ，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.答：AB 的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．【类型二】求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，∴四边形BFDG 是矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12＝10cm.在Rt △ABG 中，∵∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153cm ，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法；2．解直角三角形的简单应用.教学反思本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.第2课时仰角、俯角问题教学目标1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)教学过程一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】利用仰角求高度星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)．解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CPPN＝tan30°，求出x 的值即可．解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN 中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33，解得x ＝833＋894.答：塔高为833＋894m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．【类型二】利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD .解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度．解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m.答：矮建筑物的高为20m.方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．【类型三】利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．解：∵在Rt △ACD 中，CD ＝21m ，∠DAC ＝30°，∴AC ＝CD tan30°＝2133＝213m.∵在Rt △BCD 中，∠EDB ＝45°，∴∠DBC ＝45°，∴BC ＝CD ＝21m ，∴AB ＝AC －BC ＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB 约是15.3m.方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【类型四】 仰角和俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12m 的建筑物CD 上的C 处观察，测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.求建筑物AB 的高(精确到1m ，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．解析：过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为E ，根据题意可得出四边形CDBE 是正方形，再由BD ＝12m 可知BE ＝CE ＝12m ，由AE＝CE ·tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．解：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ，∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∠ECB ＝45°，∴四边形CDBE 是正方形．∵BD ＝12m ，∴BE ＝CE ＝12m ，∴AE ＝CE ·tan30°＝12×33＝43(m)，∴AB ＝43＋12≈19(m)．答：建筑物AB 的高为19m.方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．三、板书设计1．仰角和俯角的概念；。
最新华东师大版初中数学九年级上册精品教案23.6 图形与坐标
23.6 图形与坐标1. 用坐标确定位置知识与技能：能够在图形中建立适当的坐标系来描述物体的位置，并结合具体实例了解坐标系建立的位置不同，点的坐标也随之变化；能够利用坐标找到点的位置；了解位置确定的两种方法.过程与方法：通过实践、探索、观察、分析等数学活动过程，发展学生的形象思维能力和数学应用能力. 情感态度：通过小组合作学习体会到自己在小组中的作用，激发学生的学习激情，培养学生动手动脑的好习惯，树立正确的价值观.教学重难点：重点：在图形中建立直角坐标系并描述物体在坐标系里的位置.难点：建立恰当的坐标系来描述物体的位置.一、情境导入，初步认识教师出示教材P84页，关于某中学夏令营找目的地的问题.问：利用直角坐标系，你能找到目的地吗？请你在图中画出目的地的位置.二、思考探究，获取新知通过以上活动，我们可以发现，建立适当的直角坐标系，我们可以用坐标来确定物体的位置，现在我们来试一试.1.试一试如图23-6.1-1是某乡镇的示意图，试在图中建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示各地的位置.图23-6.1-1思考：①你是怎样建立直角坐标系的，各地的坐标是什么？②与同学交流一下，发现什么问题？【归纳结论】建立的直角坐标系不一样，得到各地的坐标也不一样.我们已经知道，可以用一对有序实数对表示平面上点的位置，从而确定一个物体的位置.在我们的生活中还有什么地方运用了这一知识点？（学生讨论后可自由发言）如用经度和纬度来表示某次台风中心所处的位置或表示某次强烈地震的震中位置等.阅读教材P85页“思考”.思考：由此信息，你能发现其他表示该地震中心位置的方法吗？【归纳结论】可以用“角度（方向）、距离”这两个量来刻画物体的位置.2. 方位角的研究①教师出示问题：教材P86页“小明考察环境污染问题”.②让学生试着画出表示各处位置的示意图.③根据情况教师适当点评.④说一说：在我们现实生活中还有哪些地方用到了方位角的知识.例1 如图23-6.1-2是一个边长为5的正方形，试建立适当的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标.图23-6.1-2分析：建立的直角坐标系不同，顶点的坐标也不相同.【教学说明】让学生自主完成，互相交流展示，教师点评.三、运用新知，深化理解1. 如图23-6.1-3，在矩形ABCD中，若A（-4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为 .图23-6.1-32. 七年级（2）班的同学组织到人民公园游玩，张明、王励、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图（如图23-6.1-4）在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，张明说他的坐标是（200，-200），王励说他的坐标是（-200，-100），李华说他的坐标是（-300，200）.图23-6.1-4（1）请你据此写出坐标原点的位置；（2）请你写出这三个同学所在的景点.【答案】1.（-4，3）.2. 解：（1）坐标原点为中心广场.（2）张明在游乐园，王励在望春亭，李华在湖心亭.【教学说明】教师引导学生完成上述题目.四、师生互动，课堂小结本节课你学到了哪些知识？在现实生活中有什么作用？五、教学反思本节课从生活实例入手，引导学生通过动手操作、观察、实验来体会利用有序数对确定位置的方法，发展学生的形象思维能力和数学应用能力，通过小组合作交流，培养学生的口头表达能力和合作意识.2. 图形的变换与坐标知识与技能：在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小的变换之后，点的坐标相应地发生变化. 探索图形平移、轴对称、放大或缩小的变换中，点的坐标变化规律. 过程与方法：培养学生的转化思想和知识迁移能力.情感态度：让学生体会数学变化中的规律，感受数学的乐趣.教学重难点：重点：图形运动与坐标变换的关系.难点：图形运动与坐标变换的具体运用，通过比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律.一、情境导入，初步认识思考：在同一个平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？二、思考探究，获取新知现在我们带着问题来一起探究.1. 平移变换的坐标变化规律例1 如图23-6.2-1，将△AOB沿x轴向右平移3个单位长度之后，得到△A′O′B′，三个顶点的坐标有什么变化？图23-6.2-1【归纳结论】三个顶点的纵坐标都没有改变，只是横坐标都增加了3.例2 如图23-6.2-2，△ABC的三个顶点的坐标分别为（-3，4），（-4，3）和（-1，3），先将△ABC沿y轴向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，再将△A′B′C′沿x轴向右平移4个单位长度得到△A″B″C″，试写出现在三个顶点的坐标，看看发生了什么变化.图23-6.2-2【归纳结论】经过两次平移后，三角形三个顶点的横坐标都增加了4，纵坐标都减少了3.思考：通过以上例1、例2的探究你发现经过平移变换，点的坐标变化有什么特点？【归纳结论】（1）左、右平移，它们的纵坐标都不变，横坐标有变化，向右平移几个单位长度，横坐标就增加几个单位长度；向左平移几个单位长度，横坐标就减少几个单位长度.（2）上、下平移，它们的横坐标都不变，纵坐标有变化，向上平移几个单位长度，纵坐标就增加几个单位长度；向下平移几个单位长度，纵坐标就减少几个单位长度.2. 轴对称变换的点的坐标变化规律例3如图23-6.2-3，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB，关于y轴的轴对称图形是△A″OB″，它们对应顶点的坐标有什么变化？图23-6.2-3【归纳结论】（1）关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数.（2）关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数.3. 位似变换的点的坐标变化规律例4 如图23-6.2-4，将△AOB 缩小后得到△COD .（1）它们的相似比是多少？（2）△AOB 的顶点坐标发生了什么变化？图23-6.2-4 【归纳结论】横、纵坐标都变为原来的21. 思考：将例4中的△AOB 以点O 为位似中心，将△AOB 放大到原来的2倍得到△A′OB′.（1）△A′OB′可以画几个？（2）△AOB 的顶点坐标发生了什么变化?4. 概括：填充完成教材P92页的表格.三、运用新知，深化理解如图23-6.2-5，在对Rt△OAB 依次进行位似、轴对称和平移变换后得到Rt△O′A′B′.（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；（2）设P （x ，y ）为△AOB 边上的任意一点，依次写出这几次变换后点P 对应点的坐标.图23-6.2-5【答案】解：（1）画图略.（2）设坐标纸中每个小方格的边长均为1个单位长度，则P（x，y）（2x，2y）（-2x，2y）（-2x+4，2y）（-2x+4，2y+5）.【教学说明】教师适当点拨，学生分组讨论.四、师生互动，课堂小结这节课你学到哪些知识？有哪些收获？还有哪些疑问？五、教学反思本节课采用集体讨论和活动探究的数学方法，“以教师为主导，学生为主体”，教师的“导”立足于学生的学，以学为重心，放手让学生自主探索、归纳结论，体验学习的快乐，从而激发学生的学习兴趣.。
华东师大版九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时教学设计
1.教学活动设计：
在课堂练习环节，我会提供以下几道题目：
（1）已知直角三角形的两边，求解第三边和两个锐角。
（2）实际问题：测量旗杆的高度、建筑物的高度等。
学生在练习过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问。
2.教学内容关联：
通过课堂练习，让学生在实际问题中运用解直角三角形的方法，提高解题能力和应用意识。
4.利用计算器进行计算，提高学生的计算速度和准确性，培养学生的信息技术素养。
（三）情感态度与价值。
2.培养学生勇于探索、善于思考的良好学习习惯，增强学生的自信心。
3.培养学生在实际生活中发现数学问题，运用数学知识解决问题的意识。
4.通过解直角三角形的过程，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，增强学生的应用意识。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
本节课开始时，我将向学生展示一座高楼和一座距离高楼一定距离的观测塔。提出问题：“如何通过测量地面到观测塔的高度和观测塔到高楼顶部的距离，计算出高楼的高度？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够激发他们的好奇心和学习兴趣。
2.教学内容关联：
通过这个实际问题，引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理。在此基础上，导入本节课的教学内容——解直角三角形。
在教学过程中，注重知识、技能、过程、方法、情感态度与价值观的有机统一，使学生在掌握知识的同时，提高能力，培养良好的学习态度和价值观。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有了初步的了解，掌握了勾股定理及其应用。在此基础上，学生对解直角三角形的学习具备以下特点：
1.学生已经熟悉了三角函数的概念，但对三角函数在实际问题中的应用还需进一步巩固和拓展。
22.2一元二次方程的解法--配方法教案-华东师大版九年级数学上册
班级：______姓名：___________ 年级九年级科目数学课型运算课课时 1 主备主讲课题一元二次方程的解法——配方法教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1.能准确找到配方所需的常数；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
2.让学生经历配方法的探究过程，培养学生的应用意识，转化思想，提高学生的运算能力；3.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心二、教学过程知识预备 1. 用直接开平方法解方程：27)132=+x（2.问题导入：学校要建一个操场，要求长比宽多10m，并且面积为375m2，那么操场的长和宽分别为多少？自主探究（一）探究配方所需的常数1.回顾: 完全平方公式：2)ba±（= ，说出公式的特点2.根据你所掌握的公式特点，将下列代数式配成完全平方的形式试一试：2x＋6x＋（）= x（）22x- 5x＋（） = x（）22x＋8x＋（） = x（）23、思考：当二次项系数为1时，常数项与一次项系数有怎样的关系？常数项为一次项系数一半的平方（二）用配方法解一元二次方程1、尝试解一元二次方程375102=+xx2.解下列方程。
(1)016-62=+xx（2）024-2=+xx课堂小结配方法解一元二次方程的一般步骤：1、将二次项系数化为1；2、将常数项移到方程的右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、写成()2mx n p+=的形式，用直接开平法求解。
华东师大版九年级数学上册教案23.6.2图形的变换与坐标
三案备课课时教案课题23.6.2图形的变换与坐标课型新授课第1 课时教学目标知识与能力理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律，以及图形上的点的坐标的某种变化引起的图形变换，并应用于实际问题中．过程与方法经历图形坐标变化与图形平移、旋转、放大、缩小等之间的关系，发展学生的形象思维．情感态度与价值观培养数形结合的思想，感受图形上点的坐标变化与图形变化之间的关系，认识其应用价值．内容分析教学重点图形坐标变化与图形变换之间的关系．教学难点图形坐标变化与图形变换规律的探究．教法学法启发诱导，合作探究教具学具PPT 三角板教学过程集体备课（共案）二次备课修正（个案）年月日一、创设情境、激趣导入做一做：1、小红坐在第 5 排 24 号用（5，24）表示，则（6，27）表示小红坐在第＿＿排＿＿＿号。
2、点A（3，－2）关于 x 轴对称的点是＿＿＿＿＿。
3、点A（3，4）关于 y 轴对称的点是＿＿＿＿＿。
4、P（2，3）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿。
5、 P（－2，3）到x轴的距离是＿＿＿＿＿。
二、提出问题、探索新知在同一平面直角坐标系中，一个图形经过变换之后，该图形上各点的坐标会如何变化呢？探究1：二、合作交流、尝试练习探究2：探究3：小结：（一）平移：1.图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，向右平移n个单位时，横坐标应相应地加上n个单位，反之则减；2.图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加下减. （二）轴对称：1.图形沿x轴翻折后，所得的新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；2.图形沿y轴翻折后，所得的新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数.三、联系实际、应用拓展探索（书91页）四、归纳小结、巩固练习小结：（书92页概括）练习：1、书92页练习1、2、3板书23.6.2图形的变换与坐标探究1：平移：试一试探究2：轴对称：思考缩小和放大：探索作业设计1、书93页习题2题2、练习册56-57页7-11题教后反思字体仿宋，5号。
初中数学华东师大九年级上册第21章 二次根式华师大版九上2 二次根式的意义 教案
【教学方法】启发式
实施教学过程设计
【教学过程】复习提问:
1、什么叫代数式？举出代数式的例子。
2、 是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？
【新课讲解】
在前一章中，我们已经遇到过 ， ， 这样的式子，知道符号“ ”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。因为在实数范围内，负数没有平方根。所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。
科目
数学
年级
班级
时间
课题：二次根式的意义
教学目标
1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
教材分析
【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学难点】理解二次根式的概念。
一般的，式子 ( a≥0 )叫做二次根式。
由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
( 1 )必须有二次根号；
( 2 )被开方数不能小于0。
例1：x是怎样的实数时，式子 在实数范围内有意义？
解：由x－２≥0，得x≥２
当x≥２时，式子 在实数范围内有意义。
课堂练习：第5页练习1、2、3
补充例题：
例：x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
( 1 ) ( 2 )
解：( 1 )由 ≥0，解得：x取任意实数
∴当x取任意实数时，二次根式 在实数范围内都有意义。
( 2 )由x－1≥0，且x－1≠0解得：x＞1
∴当x＞1时，二次根式 在实数范围内都有意义。
课堂练习：
取什么实数时，下列各式有意义.
华东师大版九年级数学上册22.2.2《配方法教案（含答案）[优秀范文5篇]
华东师大版九年级数学上册22.2.2《配方法教案（含答案）[优秀范文5篇]第一篇：华东师大版九年级数学上册22.2.2《配方法教案(含答案)2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x+6）m，根据矩形面积为16m,得到方程x（x+6）=16,整理得到x+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m）=n（n≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x+3）=252222（2）x+6x+9=25（3）x+6x=16（4）x+6x-16=0 【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x+6x-16=0转化为（x+3）=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16，两边都加上9即（x+6x+9=16+9, 左边写成完全平方形式，得：（x+3）=25,开平方,得：x+3=±5,（降次）即x+3=5或x+3=-5 解一次方程得：x1=2,x2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x+8x+16=（x+4）（2）x-x+2222222222622）,使左边配成x+bx+（b2）2的形式，得：2112=（x-）422（3）4x+4x+1=（2x+1）例2 列方程：（1）x+6x+5=0（2）2x+6x+2=0（3）（1+x）+2（1+x）-4=0 2【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解下列方程：（1）2x-4x-8=0（2）x-4x+2=0（3）x-22221x-1=0 22.如果x-4x+y2+6y+z 2+13=0，求（xy）z的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.第二篇：配方法含答案配方法1、方程6x2=18的根是__________；已知2（x－3）2=72，则x 的值是__________.2、若方程x2－6x＋5=0可化为（x＋m）2=k的形式，则m=__________，k=__________．3、一元二次方程x2－2x－3=0的根是__________．1、；9或－32、－3；43、x1=3，x2=－14、用配方法解方程x2－4x＋2=0，下列配方正确的是（）A．（x－2）2=2B．（x－2）2=6C．（x－2）2=－2D．（x－2）2=－65、不论x、y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（）A．总不小于2B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数6、将二次三项式x2＋6x＋7进行配方，正确结果是（）A．（x＋3）2＋2B．（x＋3）2－2C．（x－3）2＋2D．（x－3）2－27、用配方法解下列方程：（1）（2）5x2－18=9x7、（1）解：（2）解：8、用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于108、证明：2x2－8x＋18=2（x2－4x）＋18=2（x－2）2＋18－8=2（x－2）2＋10．不论x为何实数，（x－2）2≥0，∴2（x－2）2＋10≥10．即无论x取何实数，代数式2x－8x＋18的值不小于10．29、已知a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，试求9、∵a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，∴a2－2008a＋1=0, a2－2007a=a-1, a2＋1=2008a 的值且∴．10、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？10、解：设这次会议到会的人数是x人.则x2－x=132∴，∴x1=12，x2=－11<0（舍去）故这次会议到会的人数是12人．公式法1、下列方程有实数根的是（）A．2x2＋x＋1=0B．x2－x－1=0 C．x2－6x＋10=0D．x2－＋1=02、若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>1B．k≥－1 C．k＜1D．k＞1且k≠0答案：1、B2、A例2、用公式法解下列方程．（1）2x2－9x＋8=0解：b2－4ac=17（2）9x2＋6x＋1=0解：b2－4ac=0，x1=x2=（3）（x－2）（3x－5）=1解：3x2－11x＋9=0b2－4ac=13 ．故例3、解方程：.有一位同学解答如下：这里，∴，∴∴x1=，x2=．请你分析以上解答有无错误，如有错误，找出错误的地方，并写出正确的解答.解：有错误，错在常数，而c应为，正确为：原方程可化为：∵ ∴ ∴ ∴例4、m为何值时，方程（2m＋1）x2＋4mx＋2m－3=0．（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根？解：若2m＋1≠0,即m≠,则=（4m）2－4（2m＋1）（2m－3）=4（4m＋3）（1）当4m＋3>0且2m＋1≠0，即m>且m≠时，原方程有两个不相等的实数根．（2）当4m＋3=0即m=时，原方程有两个相等实数根．（3）当4m＋3<0即m<时，没有实数根．例5、若关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k=0有实数根，求k的取值范围．解：（1）当k=0时，原方程可化为－x=0，此方程有实根．（2）由题意得：，解得且k≠0．故：综合（1）（2）得k的取值范围为．例6、求证：不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．证明：∵a=2，b＝3（a－1），c=a2－4a－7．b2－4ac=[3（a－1）]2－4×2（a2－4a－7）=a2＋14a＋65=（a＋7）2＋16≥16>0．故不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x ＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．因式分解法1、方程x2－4x=0的解为__________.2、请你写出一个有一根为0的一元二次方程__________．3、方程x（x＋1）=3（x＋1）的解是（）A．x=－1B．x=3C．x1=－1，x2=3D．以上答案都不对4、解方程（x＋2）2=3（2＋x）最适当的解法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法5.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2＋3x－2=0B．x2－3x＋2=0 C．x2－2x＋3=0D．x2＋3x ＋2=06、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2＋3a－4=0有一个实数根是x=0，则a的值为（）A．1或－4B．1C．－4D．－1或47、用因式分解法解下列方程：（1）（x＋3）2=2x＋6（2）2（5x－1）2=3（1－5x）（3）9（x－2）2=4（x＋1）2（4）（2x－1）2－x2－4x－4=08、用适当的方法解下列方程：（1）x2－8x－9=0（2）（x＋3）（x－3）=（3）x（40－2x）=180（4）x2＋（）x＋=08、（1）解：（x＋1）（x－9）=0x1=－1, x2=9（2）解：∴,（3）解：x2－20x=－90x2－20x＋102=－90 ＋102（x－10）2=10∴x－10=∴，（4）解：（x＋）（x＋）=0∴x1=－，x2=－9、若x2＋xy＋y=14 ①，y2＋xy＋x=28 ②，求x＋y的值9、解：由①＋②得：（x2＋y2）＋2xy＋（x＋y）=42（x＋y）2＋（x＋y）－42=0（x＋y＋7）（x＋y－6）=0∴x＋y=－7或x＋y=6．10、关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根解：由已知得：解得m=2，∴x=，∴x1=，x2= 故m的值为2，该方程的根为x1=，x2=1.第三篇：华东师大版九年级数学上册24.1《测量》教案解直角三角形24.1 测量【知识与技能】利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法,初步接触直角三角形的边角关系.【过程与方法】使学生经历测量旗杆高度的方法探索、实际测量和计算，归纳、总结出测量高度的不同方法.【情感态度】使学生经历测量过程，从而获得成功的体验，懂得数学来源于实际并用之于实际的道理；培养学生的合作和勇于探索精神.【教学重点】探索测量距离的几种方法.【教学难点】解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握.一、情境导入,初步认识当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高.你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题，但如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二、思考探究，获取新知例1 教材100页“试一试”.如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1.5米.现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度.你知道计算的方法吗？解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AC∶A′C′=BC∶B′C′=500∶1 ∴只要用刻度尺量出纸上B′C′的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度.若量得B′C′=acm,则BC=500acm=5am.故旗杆高(1.5+5a)m.【教学说明】利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等.例2为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m；图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m；图(c)中BD=9m，EF=0.2；此人的臂长为0.6m.（1）说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度.【分析】图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质.【教学说明】测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度.三、运用新知，深化理解1.已知小明同学身高1.5m，经太阳光照射，在地面的影长为2m，若此时测得一塔在同一地面的影长为60m，则塔高为()A.90m B.80m C.45m D.40m2.如图，A、B两点被池塘隔开，在A、B外任选一点C，连结AC、BC，分别取其三等分点M、N，量得MN=38m，则AB的长为()A.76mB.104mC.114mD.152m 3.在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？4.某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖起时的影长为1.5m,同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9m，留在墙上的影长为2m，求旗杆的高度.【答案】1.C 2.C 3.1.5米 4.8米【教学说明】引导学生独立完成，在黑板上展示，教师点评.四、师生互动，课堂小结这节课你学到了哪些测量物体高度的方法？【教学说明】小组讨论展示，教师归纳总结.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时从学生身边所熟悉的测量旗杆的高度入手，通过探究设计各种测量方案，让学生学会利用所学的相似三角形、勾股定理的有关知识来解决问题，经历测量过程从而获得成功的体验，懂得数学来源于生活实际并用之于实际的道理，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力.第四篇：2013-2014学年九年级数学上册 1.2.2 配方法导学案1·2·2配方法（1）学习目标：1、掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
华东师大版九年级数学上册《公式法》教案及教学反思
华东师大版九年级数学上册《公式法》教案及教学反思一、教学目标1.掌握含参数的一元一次方程的解法，学会用“公式法”解决方程。
2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够利用公式法解决较为复杂的魔方问题。
3.培养学生的创新思维和运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点1.理解含参数的一元一次方程的解法，掌握用“公式法”解决方程。
2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够利用公式法解决较为复杂的魔方问题。
三、教学难点1.理解含参数的一元一次方程的解法，特别是在运用“公式法”时的实际操作。
2.熟练掌握魔方的基本解法，并能够在实际问题中灵活运用公式法解决问题。
四、教学内容与教学方法1. 教学内容1.1 一元一次方程的解法1.消元法2.等式移项法3.公式法1.2 魔方的解法及公式法1.魔方的基本解法2.公式法在魔方中的应用3.魔方相关实际问题的解决2. 教学方法1.讲授法：通过讲解笔记、课本知识点和必要的概念性内容，让学生对一元一次方程的解法和魔方问题有更全面的认识。
2.互动式教学法：通过小组讨论、课堂互动等方式，增强学生的参与感和探究式学习的能力。
五、教学流程1. 一元一次方程的解法1.1 自如教学主题：一元一次方程的解法步骤教师活动学生活动时间Step 1介绍公式法的概念听讲并记录课堂笔记5分钟Step 2通过例题讲解公式法的基本思路认真听讲并理解公式法的基本思路15分钟Step 3给出一些公式法解题的实例，进行求解学生跟随教师的指导，互相讨论，合作解题30分钟Step 4给一些综合的应用题，开展小组活动学生分组合作，进行讨论；教师引导学生探究复杂问题的思路和方法25分钟Step 5总结笔记学生回顾笔记，通过讲解的方式总结本节课学习的重点和难点15分钟2. 魔方的解法及公式法2.1 自由探究主题：魔方的解法及公式法步骤教师活动学生活动时间Step 1了解魔方基本的解法，自由探究学生自由探究，教师在旁边引导和点拨30分钟Step 2所有学生组成4~5人的小组，在小组内进行自由讨论并交流解法小组内自由讨论和交流解法20分钟Step 3教师再进行总结并整理魔方的基本解法和公式法学生记录重要的内容20分钟Step 4带领学生探讨魔方的应用学生在教师的引导下，讨论探究魔方在实际问题中的应用30分钟Step 5总结根据探讨的结果进行总结和归纳10分钟六、教学反思1. 教学方法在教学过程中，听取学生的意见和建议，采用互动式教学法，让学生在其中更好的掌握知识并形成持续性思考。