北师大版九年级数学上册 一元二次方程 导学案
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北师大版九年级数学上册第二章2.1.1 一元二次方程 导学案
预习目标
1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．
2．体会方程的模型思想．
预习导学
阅读教材P31～32，完成下列问题：
(一)知识探究
1．只含有________个未知数，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a________)的形式的________方程，
这样的方程叫做一元二次方程．
2．我们把____________(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________
分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．
(二)自学反馈
1．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A．x－y2＝1 B.x2－1＝0
C.1x2－1＝0 D.x22－x－13＝0
2．将方程(2x＋1)x＝(3x－2)x＋2化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是( )
A.2－3，1，2 B.2－3，1，－2
C.3－2，－3，2 D.3－2，1，2
例题讲解
活动1 小组讨论
例1 判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1－x2＝0； (2)2(x2－1)＝3y；
(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；
(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．
提示： 判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下
三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．
例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数
及常数项分别是2，－13，11.
提示： (1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式
后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0.
活动2 跟踪训练
1．下列方程哪些是一元二次方程？
(1)7x2－6x＝0；
(2)2x2－5xy＋6y＝0；
(3)2x2－13x－1＝0；
(4)y22＝0；
(5)x2＋2x－3＝1＋x2.
2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)5x2－1＝4x; (2)4x2＝81；
(3)4x(x＋2)＝25; (4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.
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(1)a取何值时，方程为一元二次方程？
(2)a取何值时，方程为一元一次方程？
4．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
活动3 课堂小结
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.
参考答案
【预习导学】
(一)知识探究
1．一 ≠0 整式 2.ax2＋bx＋c＝0 ax2 bx c a b
(二)自学反馈
1．D 2.C
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．(1)、(4)是一元二次方程．
2．(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次
项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x
2
－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.
3．(1)当a－4≠0即a≠4时，方程为一元二次方程．(2)a－4＝0，且2a－1≠0时，原方程为一元一次方程．即a
＝4时，原方程为一元一次方程．
4．(1)根据题意，得4x2＝25，将其化成一元二次方程的一般形式是4x2－25＝0.(2)根据题意，得x(x－2)＝100，
将其化成一元二次方程的一般形式是x2－2x－100＝0.(3)根据题意，得x＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般
形式是x2－3x＋1＝0.
1、最困难的事就是认识自己。20.8.78.7.202014:1014:10:46Aug-2014:10
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北师大版九年级上册数学用公式法求解一元二次方程教案
3用公式法求解一元二次方程第1课时1.能够根据方程的系数,判断出方程的根的情况,在此过程中,培养学生观察和总结的能力.2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.3.经历导出一元二次方程的求根公式的过程,并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力.重点:熟练地使用求根公式解一元二次方程.难点:学生的数学建模意识和合情推理能力的提高.一、创设情境用配方法解下列方程:(1)2x2+3=7x.(2)3x2+2x+1=0.全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算.二、探索归纳自主推导求根公式.提出问题:解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0),学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨.最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式.学生的主要问题通常出现在这样的几个地方:(1)x2+x+-+=0中-+运算的符号出现错误和通分出现错误.(2)不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时,两边才能开平方.(3)两边开平方,忽略取“±”.归纳总结公式法定义和根的判别式.【新知应用】判断下列方程是否有解:(学生口答)(1)2x2+3=7x.(2)x2-7x=18.(3)3x2+2x+1=0.三、交流反思1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?2.如何判断一元二次方程根的情况?3.用公式法解方程应注意的问题是什么?4.你在解方程的过程中有哪些小技巧?让学生在四人小组中进行回顾与反思后,进行组间交流发言.四、检测反馈1.判断下列方程是否有解:(1)9x2+6x+1=0.(2)16x2+8x=3.(3)2x2-9x+8=0.2.解下列方程(1)3x2-6x+1=0.(2)2x2-4x=1.五、布置作业课本P43习题2.5第1、2题六、板书设计公式法求解一元二次方程1.公式探究:2.归纳方法:3.应用练习:例题七、教学反思1.要创造性地使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.本节课教师就根据学生的实际情况,调整了配方时的个别过程,使之与后续知识学习相一致,添加了例题和练习题.2.要为学生的终身学习奠基这节课不能仅仅让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识,亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理技能和逻辑思维能力;进一步发展学生合作交流的意识和能力.帮助学生形成积极主动的求知态度.3用公式法求解一元二次方程第2课时1.巩固解一元二次方程的方法.2.经历通过一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合实际意义,增强使用数学的意识.重点:熟练地使用求根公式解一元二次方程.难点:一元二次方程的建模过程,体会方程的解必须符合实际意义.一、创设情境在一块长为16m,宽为12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.你觉得这个方案能实现吗?若可以实现,你能给出具体的设计方案吗?二、探索归纳学生先自己设计,画出草图,然后到黑板上展示、交流自己的作品.展示作品问题:1.如何设未知数?怎样列方程?2.分组解答图2-5,2-6所列的方程.图2-5的解答:解:设小路的宽为x m,由题意得:(16-2x)(12-2x)=16×12×,整理,得:x2-14x+24=0,x2-14x+49=-24+49,(x-7)2=25,x1=12,x2=2,答:(略)问题:你认为小路的宽为12m和2m都符合实际意义吗?图2-6的解答:解:设扇形的半径为x m,由题意得:πx2=16×12×,πx2=96,x=±≈±5.5x1≈5.5,x2≈-5.5(舍去)3.集体解答随堂练习:根据学生所列的方程进行解答.三、交流反思通过本节课的学习,你有哪些感悟?还有哪些困惑?四、检测反馈在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图,如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%,那么金边的宽应该是多少?你将如何设未知数从而列出方程?解:设金边的宽为x m,由题意得:(90+2x)(40+2x)×72%=90×40.五、布置作业课本P44习题2.6第2题六、板书设计公式法求解一元二次方程1.探究:2.归纳:3.练习:七、教学反思1.本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题,以导为主,层层深入,以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识.引入新课时,提出了这样的问题:在一块长为16m,宽为12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.提出问题:你觉得这个方案能实现吗?若可以实现,你能给出具体的设计方案吗?当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后,接着提出问题:你的设计一定符合要求吗?怎样知道你的设计是符合要求的?以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的?剩下的图形怎样通过计算来说明?从课堂上学生的活动来看,学生的热情、思维与探究并进.2.利用多媒体课件帮助学生理解问题的实质,从而理清设计者的思路.。
初三数学上册(北师大版)《2.6应用一元二次方程(2)》【教案匹配版】最新中小学课程
（2900-50x-2500)×(8+4x)=5000
解得 x1=x2=3 2900-50×3=2750
答：每台冰箱的定价为2750元.
例题讲解
变换设未知数的方法
进价 售价 销量 每台利润 总利润
降价前 2500 2900
8
2900-2500 （2900-2500)×8
降价后 2500 292090-05-0xx
解得x1=x2=2750
答：每台冰箱的定价为2750元.
巩固练习
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，
平均每月能售出600个。调查发现：售价在40元 至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其 销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 这时应进台灯多少个？请利用方程解决这一问题。
本题的主要等量关系：
每个台灯的利润×每月的销量=10000元 解：设售价上涨x元 ，由题意得
（40+x-30)×(600-10x)=10000
解得x1=10，x2=40（不合题意，舍去） 则40+10=50，600-10×10=500
答：每个台灯的售价为50元，进货量为500个。
问题变式
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，
问题引入
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价 为2500元，售价为2900元。 （1）求利润率；
利润率=
利润 成本
×100%
利润=售价-成本
解：
2900-2500 2500
×100%
=
16%
答：利润率为16%
问题引入
例：新华商场销售某种冰箱，每台进货价 为2500元，售价为2900元。
北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程 教学案
学科讲义·初三数学 上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章 一元二次方程第一节 认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。
3.体会方程的模型思想。
（难点）知识点1： 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
知识点2： 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
知识点解析学科讲义·初三数学 数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
2022-2023北师大版九年级数学上册教案：2.1 认识一元二次方程
第二章一元二次方程2．1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2．体会方程的模型思想．阅读教材P31～32，完成下列问题：(一)知识探究1．只含有________个未知数，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a________)的形式的________方程，这样的方程叫做一元二次方程．2．我们把____________(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．(二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A．x－y2＝1 B.x2－1＝0C.1x2－1＝0 D.x22－x－13＝02．将方程(2x＋1)x＝(3x－2)x＋2化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是( ) A.2－3，1， 2 B.2－3，1，－ 2C.3－2，－3， 2D.3－2，1， 2活动1 小组讨论例1判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x2＝0；(2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．例2将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.(1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0.活动2 跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x 2－6x ＝0；(2)2x 2－5xy ＋6y ＝0； (3)2x 2－13x －1＝0；(4)y22＝0；(5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x 2－1＝4x; (2)4x 2＝81；(3)4x(x ＋2)＝25; (4)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3.3．已知方程(a －4)x 2－(2a －1)x －a －1＝0. (1)a 取何值时，方程为一元二次方程？ (2)a 取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 活动3 课堂小结1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，特别强调a ≠0.【预习导学】 (一)知识探究1．一 ≠0 整式 2.ax 2＋bx ＋c ＝0 ax 2bx c a b (二)自学反馈 1．D 2.C 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．(1)、(4)是一元二次方程．2．(1)5x 2－4x －1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x 2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x 2＋8x －25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x 2－7x ＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.3．(1)当a －4≠0即a ≠4时，方程为一元二次方程．(2)a －4＝0，且2a －1≠0时，原方程为一元一次方程．即a ＝4时，原方程为一元一次方程．4．(1)根据题意，得4x 2＝25，将其化成一元二次方程的一般形式是4x 2－25＝0.(2)根据题意，得x(x －2)＝100，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－2x －100＝0.(3)根据题意，得x ＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－3x ＋1＝0.第2课时 一元二次方程的解1．经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识．2．能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型．(难点)阅读教材P33～34，完成下列问题：(一)知识探究1．能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值，叫做一元二次方程的解．2．估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值________．(二)自学反馈幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？活动1 小组讨论例如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？(1)如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？解：根据题意，得72＋(x＋6)2＝102，即x2＋12x－15＝0.(2)x 0 0.5 1 1.5 2 …x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13 …(3)x … 1.1 1.2 1.3 1.4 …x2＋12x－15 …－0.59 0.84 2.29 3.76 …活动2 跟踪训练1．根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是( )x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.262．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2＋px＋q －15 －8.75 －2 －0.59 0.84 2.29则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( )A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是23．为估算方程x2－2x－8＝0的解，填写下表，由此可判断方程x2－2x－8＝0的解为________．x －2 －1 0 1 2 3 4x2－2x－8 0 －5 －8 －9 －8 －5 04.某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为x m.(1)你能列出相应的方程吗？(2)x可能小于0吗？说说你的理由．(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．活动3 课堂小结1．一元二次方程的解(根)的概念．2．用估算方法求一元二次方程的近似解的步骤：(1)先确定大致范围；(2)再取值计算，逐步逼近．【预习导学】(一)知识探究1．相等 2.小于大于之间(二)自学反馈x 0 0.5 1 1.5 2 2.5(8－2x)(5－2x) 40 28 18 10 4 0故可知所求的宽为1 m.【合作探究】活动2跟踪训练1．C 2.C 3.－2和44．(1)(80－2x)(60－2x)＝3 500，即x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，网球场的宽60－2x＜0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：x 2 3 4 5 6 7 …x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，∴人行走道的宽为5 m．。
九年级数学上册《2.2 配方法公式法解一元二次方程》教案 北师大版
《22配方法公式法解一元二次方程》教案姓名年级性别教材第课教学课题教学目标1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程一.教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：（1）移项：将常数项移到方程右边；（2）把二次项系数化为1：方程左右两边同时除以二次项系数（3）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()x m n+=的形式即将2x mx±的式子加上2()2m，可得到完全平方式⇒222()()22m mx mx x±+=±（4）当0n≥时，用直接开方法解变形后方程三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．【例题剖析】【衔接训练】1、一元二次方程230x -=的解是 （ ）A 、3x =B 、3x =-C 、123,3x x ==-D 、123,3x x ==- 2、一元二次方程21090x x ++=可变形为 （ ）A 、2(5)16x +=B 、2(5)34x +=C 、2(5)16x -=D 、2(5)25x +=5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是 （ ）A 、22430(2)7x x x --=-=化为 B 、227252730()416x x x -+=-=化为 C 、22525490()33636x x x --=-=化为 D 、22517215()416y y y +=+=化为 6、将二次三项式241x x -+配方后得 （ ）A 、2(2)3x -+B 、2(2)3x --C 、2(2)3x ++D 、2(2)3x +-7、（1）226___(__)x x x ++=+； （2）224___(__)3x x x -+=-； （3）228___(__)x x x ++=+ （4）2214___(__)x x x -+=-（5）227___(__)x x x ++=+ （6）223___(__)5x x x -+=- （7）22___(__)x px x ++=+； （8）22___(__)b x x x a++=+；（9）222()___(__)x m n x x -++=- （10）22___(__)x ax x -+=- 8、用配方法解一元二次方程225033x x +-=时，此方程可变形为_____________，解得：12____,____x x == 9、解下列方程：（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0 （３）（x ＋1）2= 2（4）22350x x --= （5） 22410x x --=（6）23(1)50x x +-= （7）(1)(2)12t t --=10、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长。
届九年级数学上册 23 用公式法求解一元二次方程第二课时教学设计 新版北师大版
用公式法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。
这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。
学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
二、教学任务分析体会方程是刻列出方程；课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，本节主要检验结果是否合理。
画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，因此设计了一个方案设计比较枯燥，为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，）通过一（1:活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是巩固解一元体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，元二次方程的建模过程，通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际(2)二次方程的方法；问题的勇气、才能及个性。
三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。
第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。
第一环节：知识回顾活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？活动目的： 1帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？并使花园所占面积为荒要建造一个花园，，宽为１２m的矩形荒地上，在一块长为１６m 地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？活动目的：成为学生真正以同学生平等的身份提出问题，以情境引入课题，改变教师的权威地位，使学生真正成为意义上的合作者。
教学设计—数学一元二次方程
课题初中九年级数学北师大版上册一元二次方程的解及根与系数关系执教者：张达内容分析本部分内容为选学内容。
但是考虑到解题的需要以及为高中打好基础，有必要给学生讲解一下。
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前求根公式为基础的。
教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。
然后通过1个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
学习了本节内容后可以使学生更加灵活的运用这一关系解题。
学情分析1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
4、学生在学习了这一关系后可以感觉到了它的作用，可以激发学生进一步去探索其他规律的欲望。
教学理念1、探索式学习，通过教师与学生、学生与学生之间的合作，借助科学的逻辑体系，学习一元二次方程根与系数之间的关系2、教师主体引导，学生主体学习探究。
教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
1教学重难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2014版北师大版九年级数学上2.3用公式法求解一元二次方程学案
第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程【学习目标】知识与技能：（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程；(2)会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。
能力培养：提高运算能力并养成良好的运算习惯。
情感与态度：通过用公式法解一元二次方程，体验成功的喜悦，建立学好数学的自信心。
【学习重点】用求根公式解简单数字系数的一元二次方程【学习过程】一、前置准备：1.利用配方法快速解下列两个方程：x2+2x-35=0 5x2-15x-10=02.通过对配方法解一元二次方程的学习，你认为利用配方法解方程的关键是什么？步骤呢？。
二、自学探究：利用配方法推导一元二次方程的求根公式若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），你觉得应如何利用配方法求解？（1）ax2+bx+c=0（a≠0）方程的两边同时除以a可得到：。
（2）把上式中的常数项移项可得：（3）如果对上式进行配方，方程两边应加上什么式子，这个式子是怎样得到的？。
（4）配方后可得：。
（5）思考：对于上式能不能直接利用直接开平方，为什么？结论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当时，它的根是：x= 。
式子称为求根公式，用解一元二次方程的方法称为公式法．．．。
三、合作交流：1、上面我们利用了推导出了解一元二次方程的另外一种方法：。
2、你认为利用求根公式解一元二次方程的关键是什么？与同学交流一下的想法。
3、利用公式法解方程的一般步骤：（1）（2）（3）（4）。
四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。
五、例题解析：例1 利用公式法解方程x2-7x-18=0分析：此方程中哪些数字相当于ax 2+bx+c=0（a ≠0）中的a 、b 、c ？试写出解方程的完整过程。
六、当堂训练：1、用公式法解下列方程：（1）x 2+2x-35=0 （2）5x 2-15x-10=0(3)9x 2+6x+1=0 (4)16x 2+8x=32、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。
北师大版九年级数学上册教案-第二章第二节用配方法求解一元二次方程
第二节用配方法求解一元二次方程第1课时配方法(一)教学目标会用配方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程．教学重点运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．教学难点配方过程中，解一元二次方程的要点的理解．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标活动内容：1.如果一个数的平方等于4，则这个数是________，若一个数的平方等于7，则这个数是________．一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2．用字母表示完全平方公式．3．用估算法求方程x2－4x＋2＝0的解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能设法求出其精确解吗？活动内容：1.工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100cm2正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为________；若它的面积为75cm2，则其边长应为________．(选1个同学口答)2．如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为64cm2，则原来的正方形的边长为________．若变化后的面积为48cm2呢？(小组合作交流)3．你会解下列一元二次方程吗？(独立练习)x2＝5；(x＋2)2＝5；x2＋12x＋36＝0.4．上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x m满足方程x2＋12x－15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里？(合作交流)活动目的：利用实际问题，让学生初步体会配方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识．二、自主学习指向目标自学教材第36至37页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一配方活动内容1：做一做：(填空配成完全平方式，体会如何配方)填上适当的数，使下列等式成立．(选4个学生口答)x2＋12x＋________＝(x＋6)2x2－6x＋________＝(x－3)2x2＋8x＋________＝(x＋________)2x2－4x＋________＝(x－________)2问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2＋ax的式子如何配成完全平方式？(小组合作交流)【针对训练】见学生用书第25页“当堂训练”第1，2题.探究点二用直接开平方解一元二次方程【例题讲解】活动内容2：解决例题(1)解方程：x2＋8x－9＝0.(师生共同解决)解：可以把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9两边都加上(一次项系数8的一半的平方)，得x2＋8x＋42＝9＋42.(x＋4)2＝25开平方，得x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.(2)解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0(仿照例1，学生独立解决)解：移项得x2＋12x＝15，两边同时加上62得，x2＋12x＋62＝15＋36，即(x＋6)2＝51两边开平方，得x＋6＝±51所以：x1＝51－6，x2＝－51－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－51－6不合题意舍去．答：梯子底部滑动了(51－6)米．活动内容3：及时小结、整理思路用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？(小组合作交流)【针对训练】见教材第37页随堂练习．见学生用书第25页“当堂训练”第3题．四、总结梳理内化目标用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)形式的方程，关键是把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式．五、达标检测反思目标1．用字母表示完全平方公式是：(x＋a)2＝________(x－a)2＝________2．如果一个数的平方等于16，则这个数是________，若一个数的平方等于2，则这个数是________．3．填空，完成配方.(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(2)x2－12x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋5x＋________＝(x＋________)2.4. 由上题知方程x2＋10x＋25＝1就是方程(x＋5)2＝1，直接开平方得x＋5＝________，所以原方程的解是x1＝________，x2＝________．5．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－5＝0；(2)x2－4x＋1＝0.六、布置作业教材第37页习题2.3第1，2题．见学生用书“课后作业”栏题目．第2课时配方法(二)教学目标会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．教学重点运用配方法解一元二次方程．教学难点配方过程中，解一元二次方程的要点的理解．教学设计 (设计者：×××) 教学过程设计一、创设情景 明确目标活动内容1：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤．[例如：x 2－6x －4＝0]活动内容2：(1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答．x 2＋2x ＋________＝(x ＋________)2x 2－4x ＋________＝(x －________)2x 2＋________＋36＝(x ＋________)2x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2x 2－x ＋________＝(x －________)2(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别①x 2＋6x ＋8＝0②3x 2＋18x ＋24＝0探讨方程②应如何去解呢？活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程②的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式是同解方程．学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路．二、自主学习 指向目标自学教材第38至39页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究 达成目标探究点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程活动内容1：讲解例题例 解方程3x 2＋8x －3＝0解：方程两边都除以3，得x 2＋83x －1＝0 移项，得x 2＋83x ＝1 配方，得x 2＋83x ＋(43)2＝1＋(43)2 (x ＋43)2＝259x ＋43＝±53，x 1＝13，x 2＝－3. 活动目的：通过对例题的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程．让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成(x ＋m )2＝n (n ≥0)形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心．另外，得到x ＋43＝±53后，在移项得到x ＝±53－43要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错．活动内容2：做一做：一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2配方，得t 2－3t ＋(32)2＝－2＋(32)2 (t －32)2＝14t －32＝±12t 1＝2，t 2＝1.活动目的：在前边学习的基础上，通过做一做进一步提高学生分析问题，解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫．【针对训练】见学生用书第27页“当堂训练”第1，2题．教材第40页2.4第2题.四、总结梳理 内化目标1．总结二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解的步骤；2．把一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)转化成：(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式．五、达标检测 反思目标1．将方程－5x 2＝2x ＋10化为二次项系数不为1的一般形式是________．2．(1)16x 2＋8x ＋(______)＝(4x ＋______)2.(2)9x 2－7x ＋(______)＝(3x －______)2.3．用配方法把二次三项式3x 2－4x ＋6变形，结果是( )A ．3(x －23)2＋143B ．3(x ＋23)2＋143C ．3(x －23)2－143D ．(x －23)2＋1434．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，________秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2.( )A ．2B ．4C ．2或4D ．3或65．用配方法解方程.(1)2x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋11x ＋10＝0.六、布置作业见教材第40页习题2.4第1，3题．见学生用书“课后作业”栏题目．。
北师大版九年级数学上册2.6应用一元二次方程 教 案
第二章一元二次方程2. 6 应用一元二次方程本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务.但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力.因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成.显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力.1.通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程.2.经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；3.在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力.【教学重点】能够利用一元二次方程解决有关实际问题.【教学难点】分析和建模的过程.课件.一、复习回顾（一）回忆：用配方法解一元二次方程的步骤:1. 化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系数）;2. 移项:把常数项移到方程的右边;3. 配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;◆教学重难点◆◆教学目标◆教材分析◆课前准备◆◆教学过程4. 变形:方程左边配方,右边合并同类项;5. 开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6. 求解:解一元一次方程;7. 定解:写出原方程的解.（二）一般地,对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）240,:b ac -≥当时它的根是)2402b x b ac a -±=-≥。
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.二、合作交流，探究新知（一）认识黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果,AC BC AB AC=那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比称为黄金比.其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC 和BC.其中线段AC 是线段AB 和线段BC 的比例中项,也可写成AC 2=AB ·BC.,20.6181AC BC AB AC ==≈学习一元二次方程之后我们可以求得如何求得黄金分割？2:,AC CB AC AB CB AB AC==⋅解由得 1,,1AB AC x CB x ===-设则()211,x x ∴=⨯-210x x +-=即,解这个方程得12x -±∴=1215215(,)x x -+∴=--=不合题意舍去 150.618AC AB -+∴=≈黄金比。