2018版高中数学苏教版必修四学案：2.4 第2课时 向量平行的坐标表示

第2课时 向量平行的坐标表示 学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．
知识点 向量平行的坐标表示
已知下列几组向量：
(1)a ＝(0,3)，b ＝(0,6)；
(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；
(3)a ＝(－1,4)，b ＝(3，－12)；
(4)a ＝(12，1)，b ＝(－12
，－1)． 思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？
思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？
思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？
梳理 (1)向量平行的坐标表示
①条件：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0.
②结论：如果a ∥b ，那么____________；如果__________，那么a ∥b .
(2)若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1，P 2三点共线．
①当λ∈__________时，P 位于线段P 1，P 2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点．
②当λ∈__________时，P 在线段P 1P 2的延长线上．
③当λ∈__________时，P 在线段P 1P 2的反向延长线上．
类型一 向量共线的判定与证明
例1 (1)下列各组向量中，共线的是________．
①a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)
②a ＝(2,3)，b ＝(3,2)
③a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)
④a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)
(2)已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的
方向相同还是相反？
反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，AE →＝13AC →，BF →＝13
BC →，求证：EF →∥AB →.
类型二 利用向量平行求参数
例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？
引申探究
1．若例2条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？
2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？
反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解．
跟踪训练2 设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
类型三 三点共线问题
例3 已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？
反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．
跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭
⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线．
1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是________．
2．与a ＝(6,8)平行的单位向量为____________．
3．已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________．
4．已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD 是梯形．
5．已知A (3,5)，B (6,9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标．
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
(1)当b ≠0，a ＝λb .
(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.
(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2
，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 共线．
思考3 坐标不为0时成正比例．
梳理 (1)②x 1y 2－x 2y 1＝0 x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)①(0，＋∞) ②(－∞，－1) ③(－1,0)
题型探究
例1 (1)④ (2)共线且方向相反
跟踪训练1 证明 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)． ∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，
AB →＝(4，－1)，
∴AE →＝13AC →＝(23，23)，
BF →＝13BC →＝(－23，1)．
∴(x 1，y 1)－(－1,0)＝(23，23)，
(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)，
∴(x 1，y 1)＝(－13，23)，
(x 2，y 2)＝(73，0)．
∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)．
∵4×(－23)－(－1)×83＝0，
∴EF →∥AB →.
例2 解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)
＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．
由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．
得⎩⎪⎨⎪⎧
k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 引申探究
1．解 由例2知当k ＝－13
时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13
(a －3b )， ∵λ＝－13
<0， ∴k a ＋b 与a －3b 反向．
2．解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)，
∵a ＋k b 与3a －b 平行，
∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，
解得k ＝－13
. 跟踪训练2 2
例3 解 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，
AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，
若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，
∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )，
解得k ＝－2或11，
又AB →，AC →有公共点A ，
∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．
跟踪训练3
证明 AB →＝⎝
⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，
∵7×4－72
×8＝0， ∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ，
∴A ，B ，C 三点共线．
当堂训练
1．－4
2.⎝⎛⎭⎫35，45或⎝⎛⎭⎫－35
，－45 3．6
4．证明 ∵A (3，－1)，B (1,2)，C (－1,1)，D (3，－5)． ∴AB →＝(－2,3)，CD →＝(4，－6)．
∴CD →＝－2AB →，即|AB →|＝12
|CD →|， ∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ，
∴四边形ABCD 是梯形．
5.⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11。