吉林省长春市重点高中2021年高三上学期第一次月考理科数学试题及参考答案
根据题意,分析得当 , 与 相交,在 有两个交点,再根据周期性,作出函数图像,数形结合求解即可.
【试题解析】
解:当 时, 即
当 时,直线 过点 ,此时直线与半圆 相交,
当 时,圆心 到直线 的距离为 ,此时直线与与半圆 相切,
所以当 , 与 相交,在 有两个交点,
因为 的周期为 , 的周期为 ,且 是奇函数,
A. B. C. D.
3.已知向量 , 满足 ,且 与 夹角为 ,则 ()
A. B. C. D.
4.下列函数中,既是 上的增函数,又是以 为周期的偶函数的是()
A. B.
C. D.
5.已知命题 ：函数 在 内恰有一个零点；命题 ：函数 在 上是减函数.若 为真命题,则实数 的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.若 , , ,则 ､ ､ 的大小关系为()
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(-∞,a)单调递减,则a的取值范围是()
A.(－∞,－1]B.(－∞,2]C.[5,＋∞)D.[3,＋∞)
8.已知函数 则不等式 的解集为()
A. B.
C. D.
9.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511,ln 0.9≈－0.105)()
所以根据函数的周期性,作出函数图像,如图,
函数 与 图象交点个数是9个.
故选：C
13.5
【分析】
作出不等式组所表示的可行域,平移直线y＝－3x＋z,找出使得该直线在 轴上截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可得解.
【试题解析】
作出可行域,如阴影部分所示：
由z＝3x＋y得y＝－3x＋z,平移直线y＝－3x＋z,
(2)利用超几何分布的概率计算公式即可求解.
【试题解析】
(1)记事件 ：第1次抽到的人使用移动支付,
事件 ：第2次抽到的人不使用移动支付,
所以 .
(2)在年龄段 中抽取的人数为 ,
则 的可能取值为0,1,2,3,
已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”,祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知,若正方体的棱长为1,则其牟合方盖的体积为______.
16.如图,某湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台 ,已知射线 , 为湿地两边夹角为 的公路(长度均超过 千米),在两条公路 , 上分别设立游客接送点 , ,且 千米,若要求观景台 与两接送点所成角 与 互补且观景台 在 的右侧,并在观景台 与接送点 , 之间建造两条观光线路 与 ,则观光线路之和最长是_________________.
2021～2022学年度上学期
高三年级第一次考试数学(理)试卷
考试时间：120分钟满分：150分
2021年10月15日
一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合 ,则 ()
A.RB.
C. D.
2.已知复数 满足 ,其中 为虚数单位,则 ()
7.A
【分析】
根据对数函数的性质,结合二次函数的图象与性质,以及复合函数的单调性的判定方法,进而求得 的取值范围.
8.B
【分析】
分别讨论 和 时,利用对数函数的单调性以及解分式不等式,即可求解.
【试题解析】
当 时,不等式 即 ,可得 ,解得： ；
当 时,不等式 即 ,即 ,所以 ,
解得： 或 (舍),所以 ,
14.在 的展开式中,若含 项的系数为 ,则正实数 ___________
15.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”,如图(1)(2).刘徽未能求得牟合方盖的体积,直言“欲陋形措意,惧失正理”,不得不说“敢不阙疑,以俟能言者”.约200年后,祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同,则积不容异”,后世称为祖暅原理,即：两等高立体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立体体积相等,如图(3)(4).
综上所述：不等式 的解集为 ,
9.C
【分析】
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn,再根据题意列出不等式求解即可
【试题解析】
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn,
则vn＝100×0.90n－1.
由100×0.90n－1<60,得0.90n－1<0.6,
则(n－1)ln 0.90<ln 0.6,
即n－1> ≈ ≈4.87,则n>5.87,
又 与 互补,所以 ,
在 中,由余弦定理得： ,
即 ,即 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,当且仅当 时,取等号,
所以观光线路之和最长是4.
故选：B.
17.(1) ；(2) .
【分析】
(1)由已知条件,利用等比数列的通项公式求出公比,由此能求出数列 的通项公式；
(2)由已知条件结合(2)得到 ,由此利用错位相减法能求出数列 的前 项和 .
A.4B.5C.6D.7
10.对于任意的实数 、 ,记 .设 ,其中 , 是奇函数.当 时, 的图象与 的图象如图所示.则下列关于函数 的说法中,正确的是()
A. 有极大值 且无最小值
B. 为奇函数
C. 的最小值为-2且最大值为2
D. 在 上为增函数
11.设 , 是双曲线 的左、右焦点, 是坐标原点.过 作 的一条渐近线的垂线,垂足为 .若 ,则 的离心率为()
A. B. C. D.
12.设 , 是定义在 上的两个周期函数, 的周期为 , 的周期为 ,且 是奇函数,当 时, , ,其中 ,则在区间(0,11]上函数 与 图象交点个数是()
A. B. C.9D.10
二、填空题：(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.若变量x,y满足约束条件 ,则目标函数z＝3xy的最大值为_____.
三、解答题：(本大题共六道小题,其中18题10分,其余各题每题12分)
17.设正项数列{an}为等比数列,它的前n项和为Sn,a1＝1,且a1＋S2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知 是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.已知斜率为1的直线 过点 ,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,直线 和曲线 的交点为A, .
的展开式的通项为
令 ,则 ,所以 ,解得 或 (ห้องสมุดไป่ตู้).
故答案为：2.
15.
【分析】
根据题意,列等式.套用正方体,锥体体积公式求解.
【试题解析】
由题知 ,
因为 ,所以 .
故答案为： .
16.B
【分析】
求出 , ,在 中,利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【试题解析】
解：在 中,因为 , ,
所以 ,
【试题解析】
解：(1)设在等比数列 中,公比为 ,
, , ,
,即 ,
解得 或 (舍)
所以 ；
(2) 是首项为1,公差为2的等差数列,
,
, .
①
②
② ①,得
.
18.(1) ；(2) .
【分析】
(1)将曲线C方程左右同乘 ,根据 ,代入化简即可得答案.
(2)先求得直线l的参数方程,代入曲线C的直角坐标方程可得关于t的一元二次方程,根据t的几何意义,化简计算,即可得答案.
年龄段人数类型
使用移动支付
45
40
25
15
不使用移动支付
0
10
20
45
(1)现从这200人中随机依次抽取2人,已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下,求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；
(2)在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查 再从这25人中随机选出3人颁发参与奖,设这3人中年龄在 之间的人数为 ,求 的分布列及数学期望.
【试题解析】
(1)因为 ,所以
因为 ,
代入可得曲线 的直角坐标方程为：
(2)直线 的参数方程为 (t为参数),
将直线 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得 ,
整理可得 ,
设点A、B所对应的参数分别为 ,
所以 ,
所以
19.(1) ；(2)分布列见解析, .
【分析】
(1)根据条件概率的计算公式即可求解.
(1)求曲线 的直角坐标方程：
(2)求 的值.
19.移动支付在中国大规模推广五年之后,成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率,这大约是中国自宽带和手机之后,普及率最高的一项产品,甚至,移动支付被视为新时代中国的四大发明之一.近日,lpsosChina针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人,得到如下数据：
故选： .
3.B
【分析】
利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义即可求解.
【试题解析】
因为向量 , 满足 ,且 与 夹角为 ,
所以 ,
故选：B.
4.D
【分析】
对于A、C,都不是偶函数,不符合题意；对于B, 在区间 上不是增函数,不符合题意；对于D, ,根据正弦函数图象判断出结论.
2020-2021学年吉林长春高一上数学月考试卷
2020-2021学年吉林长春高一上数学月考试卷一、选择题1. tan3π4=( )A.√2B.1C.−√2D.−12. 函数f(x)=a x−1−1(a>0且a≠1)恒过定点()A.(0, 0)B.(0, −1)C.(1, −1)D.(1, 0)3. 下列函数是幂函数的是()A.y=x3−2B.y=2x3C.y=−x3D.y=x−34. 下列为奇函数的是()A.y=−1xB.y=−2x2−1C.y=−|x|+1D.y=5−2x5. 符合以下三个条件：①(0,π2)上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是（）A.y=−cos xB.y=cos xC.y=sin xD.y=−sin x6. 函数y=ln x−6+2x的零点为x0，则x0∈()A.(2, 3)B.(1, 2)C.(3, 4)D.(5, 6)7. 函数f(x)=5x2e x+e−x的图像大致为( )A. B.C. D.8. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2k+12)=0(k∈Z)，且f(x)的图象关于(12,0)对称．当x∈[0,12）时，f(x)=4sinπx．设函数g(x)=f(x)−1x，则g(x)在区间[−2020,2019]上的零点个数为（）A.4040B.4039C.2019D.2020二、多选题下列选项中两个函数相等的有()A.f(x)=x2+2x+1，g(t)=(t+1)2B.f(x)=xx，g(x)=1C.f(x)=|x|，g(x)=√x2D.f(x)=|x|，g(x)=(√x)2已知函数f(x)=|sin x|，下列说法中正确的是()A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称B.y=f(x)的图象关于直线x=π2对称C.f(x)既是偶函数，又是周期函数D.f(x)的最大值为√32若(12)a>(12)b，则下列关系式中一定成立的是（）A.ln(a2+1)<ln(b2+1)B.(sinθ+cosθ)a<(sinθ+cosθ)b（θ是第一象限角）C.√a3>√b3D.e a<e b(e≈2.718)已知函数f (x )={|log 2x|,x >0,−log 2|x +1|,x ≤0,若f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)且x 1>x 2>x 3>x 4，则下列结论正确的有（ ） A.0<x 1x 2x 3x 4<1 B.x 1x 2x 3x 4≥1C.x 1+x 2+x 3+x 4<0D.x 1+x 2+x 3+x 4>0三、填空题已知函数f (x )={log 2x,x >0,3x ,x ≤0,则f [(18)]=________．已知函数f (x )=sin ωx (ω>0)，若f (x )在[0,π2]上单调递增，则实数ω的取值范围是________.设函数f (x )=log 12(1+x 2)+11+2|x|，则使得f (x )≤f (2x −1)成立的x 的取值范围是________.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时， f (x )=x 2−2ax +a +2，其中a ∈R ． (1)当a =1时， f (−1)=________；(2)若f (x )的值域为R ，则a 的取值范围是________． 四、解答题解决下面两个问题. (1)计算2lg 2+lg 31+12lg 0.36+13lg 8的值；(2)若扇形圆心角为120∘，扇形面积为43π，求扇形半径．已知−π2<x <0, sin x +cos x =15,求下列各式的值．(1)sin x −cos x ；(2)1cos 2x−sin 2x .大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数V =12log 3O100，单位是m/s ，其中O 表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？(2)若一条鲑鱼的游速在[0,2]内变化，计算其耗氧量的单位数的变化范围．已知函数f(x)=12sin (ωx −φ)(ω>0, 0<φ<π2)的最小正周期为π，且f(π4)=14． (1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[π12, 5π6]上的最大值和最小值．已知函数f (x )=(13)x，函数g (x )=log 13x .(1)若函数y =g (mx 2+mx +2)的定义域为R ，求实数m 的取值范围；(2)是否存在非负实数m,n ，使得函数y =g [f (x 2)]的定义域为[m,n ]，值域为[2m,2n ]，若存在，求出m,n 的值；若不存在，则说明理由；(3)当x ∈[−1,1]时，求函数y =[f (x )]2−2af (x )+3的最小值ℎ(a ).已知函数f (x )=2x −a⋅2−x 2x +2−x是定义在R 上的奇函数．(1)试判断函数f (x )的单调性（不需要说明理由），并求函数f (x )的值域；(2)若对∀x ∈R ，t ∈(3,4)，都有不等式(t 2−2at +1)(2x +2−x )>t (2x −2−x )恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林长春高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】诱三公定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】指数表数层图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】正弦函明的政偶性正弦函射的单调长余弦函都读奇偶性余弦函验库单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数水因期性函验立零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】判断射个初数是律聚同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】周于虫数三角水三的最值函数奇三性的判刺【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】指数函数水正性的应用幂函来的单脂性、食就性及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数零都问判定定理分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质对数根助运算函使的以值分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦射可的图象正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质二次明数织性质函数的较域及盛求法函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质扇形常积至式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值函数模型较选溴与应用对数射数长单介性与滤殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角于数的深期两及其牛法三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法函数的较域及盛求法复合函表的型调性函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法函较绕肠由的判断与证明函数奇明性研性质函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年吉林长春高一上数学月考试卷
2020-2021学年吉林长春高一上数学月考试卷一、选择题1. 若集合A={−1,2}，B={0,1}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A.3B.5C.2D.42. 已知集合A={x∈R|x2−3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A.3B.1C.4D.23. 集合M={x|x=k2+14，k∈Z}，N={x|x=k4+12，k∈Z}，则正确的是()A.M⫋NB.M=NC.M与N关系不确定D.N⫋M4. 已知集合A={x∈R|x≤5}，B={x∈R|x>1}，那么A∩B等于( )A.{2,3,4}B.{1,2,3,4,5}C.{x∈R|1<x≤5}D.{2,3,4,5}5. 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4}，B={6,7}，则(∁U B)∩A等于( )A.{3,4}B.{1,6}C.{3,4,5}D.{1,7}6. 集合A={x|−1<x<1}，B={x|−a<x−b<a}．若“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，则实数b的取值范围是( )A.{b|−2<b<2}B.{b|−2≤b<0}C.{b|−2≤b≤2}D.{b|0<b≤2}7. 命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )A.存在实数x，使x≤1B.对任意实数x，都有x≤1C.对任意实数x，都有x>1D.不存在实数x，使x≤18. 如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是()A.√−a<√bB.1a <1bC.|a|>|b|D.a2<b29. 设a>1>b>−1，则下列不等式中恒成立的是()A.a>b2B.a2>2bC.1a<1bD.1a>1b10. 已知x>0，则9x+x的最小值为( )A.4B.6C.3D.511. 不等式9x2+6x+1≤0的解集是()A.{x|−13≤x≤13} B.{x|x≠−13} C.{x|x=−13} D.⌀二、多选题使ab>0成立的充分条件是( )A.a<0,b<0B.a>0,b>0C.a>1,b>1D.a+b>0三、填空题已知p:x<−2或x>10，q:x<1+a或x>1−a．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0．若命题¬p是假命题，则实数a的取值范围是________.若正数m，n满足2m+n=1，则1m+1n的最小值为________.不等式x+5x−2>0的解集为________.四、解答题设U=R，已知集合A={x|−5<x<5}，B={x|0≤x<7}，求：(1)A∩B；(2)A∪B.设全集U=R，M={x|3a<x<2a+5}，P={x|−2≤x≤1}，若M⫋∁U P，求实数a的取值范围．已知命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，¬q为假命题，求实数m的取值范围．已知−1≤x+y≤4，且2≤x−y≤3，求z=2x−3y的取值范围．−1≥a恒成立，求实数a的取值范围.若对∀x>−1，不等式x+1x+1解关于x的不等式x2−ax−2a2<0(a∈R).参考答案与试题解析2020-2021学年吉林长春高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】集合中因素的梯征元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】子明与织填集速个数问题集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】不等式因质的印用不等式于较两姆大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】根据较盛必食例件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分式不体式目解法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式因质的印用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式都特立问题基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
《精编》吉林省通化一中高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版.doc
2021-2021学年吉林省通化一中高三〔上〕第一次月考数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分〕1．〔5分〕〔2021•江西〕假设集合A={﹣1，1}，B={0，2}，那么集合{z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为〔 〕 A ． 5 B ． 4C ． 3D ． 22．〔5分〕〔2021•浙江〕设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，那么A∩〔∁R B 〕=〔 〕 A ． 〔1，4〕 B ． 〔3，4〕C ． 〔1，3〕D ． 〔1，2〕∪〔3，4〕3．〔5分〕=〔 〕A ． ﹣10B ． 10C ． ﹣20D ． 20 4．〔5分〕〔2021•天津〕命题“假设f 〔x 〕是奇函数，那么f 〔﹣x 〕是奇函数〞的否命题是〔 〕 A ． 假设f 〔x 〕是偶函数，那么f 〔﹣x 〕是偶函数 B ． 假设f 〔x 〕不是奇函数，那么f 〔﹣x 〕不是奇函数 C ． 假设f 〔﹣x 〕是奇函数，那么f 〔x 〕是奇函数 D ． 假设f 〔﹣x 〕不是奇函数，那么f 〔x 〕不是奇函数5．〔5分〕〔2021•江西〕假设f 〔x 〕=，那么f 〔x 〕的定义域为〔 〕A ． 〔，0〕B ． 〔，0] C ． 〔，+∞〕D ． 〔0，+∞〕6．〔5分〕命题p ：∃x 0∈R ，e x0≤0，q ：∀x ∈R ，2x＞x 2，以下命题中，真命题是〔 〕 A ． p ∧q B ． p ∨q C ． 〔￢p 〕∧q D ． 〔￢p 〕∨q，那么a ，b ，c 大小关系正确的选项是〔 〕 A ． a ＞b ＞c B ． b ＞a ＞c C ． b ＞c ＞a D ． c ＞b ＞a 8．〔5分〕〔2021•重庆〕假设a ＜b ＜c ，那么函数f 〔x 〕=〔x ﹣a 〕〔x ﹣b 〕+〔x ﹣b 〕〔x ﹣c 〕+〔x ﹣c 〕〔x ﹣a 〕的两个零点分别位于区间〔 〕 A ． 〔a ，b 〕和〔b ，c 〕内 B ． 〔﹣∞，a 〕和〔a ，b 〕内C ． 〔b ，c 〕和〔c ，+∞〕内D ． 〔﹣∞，a 〕和〔c ，+∞〕内9．〔5分〕〔2021•安徽〕函数f〔x〕=ax m〔1﹣x〕n在区间[0，1]上的图象如以下列图，那么m，n的值可能是〔〕A．m=1，n=1 B．m=1，n=2 C．m=2，n=1 D．m=3，n=1 10．〔5分〕〔2021•黑龙江〕当0＜x≤时，4x＜log a x，那么a的取值范围是〔〕A．〔0，〕B．〔，1〕C．〔1，〕D．〔，2〕11．〔5分〕函数y=f〔x〕的图象关于点〔﹣1，0〕对称，且当x∈〔0，+∞〕时，f〔x〕=，那么当x∈〔﹣∞，﹣2〕时f〔x〕的解析式为〔〕A．﹣B．C．﹣D．12．〔5分〕〔2021•黄冈模拟〕函数，那么方程g[f〔x〕]﹣a=0〔a为正实数〕的实数根最多有〔〕个．A．6个B．4个C．7个D．8个二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕函数的值域为_________ ．14．〔5分〕函数的减区间为_________ ．15．〔5分〕函数是〔﹣∞，+∞〕上的增函数，那么实数a的取值范围是_________ ．16．〔5分〕〔2021•广西一模〕函数y=f〔x〕是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f〔x+6〕=f〔x〕+f〔3〕成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出以下命题：①f〔3〕=0；②直线x=﹣6是函数y=f〔x〕的图象的一条对称轴；③函数y=f〔x〕在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f〔x〕在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为_________ 〔把所有正确命题的序号都填上〕三、解答题〔本大题共6小题，共70分〕17．〔10分〕Yp：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0〔m＞0〕．假设“非p〞是“非q〞的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．18．〔12分〕函数f〔x〕的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f〔x1•x2〕=f〔x1〕+f〔x2〕〔1〕求f〔1〕的值；〔2〕判断f〔x〕的奇偶性并证明；〔3〕假设f〔4〕=1，且f〔x〕在〔0，+∞〕上是增函数，解关于x的不等式f〔3x+1〕+f 〔2x﹣6〕≤3．19．〔12分〕〔2021 •福建〕统计说明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y〔升〕关于行驶速度x〔千米/小时〕的函数解析式可以表示为：x+8〔0＜x≤120〕．甲、乙两地相距100千米．〔I〕当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？〔Ⅱ〕当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．〔12分〕〔2021•桂林模拟〕函数f〔x〕=x3+ax2+bx+c，曲线y=f〔x〕在点P〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y=3x+1．〔1〕假设函数y=f〔x〕在x=﹣2时有极值，求f〔x〕表达式；〔2〕假设函数y=f〔x〕在区间[﹣2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．21．〔12分〕〔2021•安徽〕设函数f〔x〕=ax﹣〔1+a2〕x2，其中a＞0，区间I={x|f〔x〕＞0}〔Ⅰ〕求I的长度〔注：区间〔a，β〕的长度定义为β﹣α〕；〔Ⅱ〕给定常数k∈〔0，1〕，当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．22．〔12分〕函数．〔Ⅰ〕假设h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕存在单调增区间，求a的取值范围；〔Ⅱ〕是否存在实数a＞0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？假设存在，求出a的取值范围，假设不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．C2．B3．C4．B5．A6．D7．B8．A9．B10．B11．B12．A13．〔﹣∞，﹣1〕∪〔 0，+∞〕14．〔﹣∞，﹣1〕，〔﹣1，+∞〕15．〔1，3]16．①②④17．解：解法一：由p：|﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p〞：A={x|x＞10或x＜﹣2}、〔3分〕由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m〔m＞0〕∴“非q〞：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=〔6分〕由“非p〞是“非q〞的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．〔12分〕解法二：由“非p〞是“非q〞的必要而不充分条件．即“非q〞⇒“非p〞，但“非p〞“非q〞，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p〞．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2＞0，解得1﹣m≤x≤1+m〔m＞0〕∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．18．解：〔1〕令x1=1，得f〔1•x2〕=f〔1〕+f〔x2〕=f〔x2〕∴f〔1〕=0；〔2〕令x1=x2=﹣1，得f〔﹣1•〔﹣1〕〕=f〔﹣1〕+f〔﹣1〕=f〔1〕=0∴f〔﹣1〕=0因此f〔﹣x〕=f〔﹣1•x〕=f〔﹣1〕+f〔x〕=f〔x〕∴f〔x〕为偶函数〔3〕∵f〔4〕=1，∴f〔16〕=f〔4•4〕=f〔4〕+f〔4〕=2因此，f〔64〕=f〔16•4〕=f〔16〕+f〔4〕=3∴不等式f〔3x+1〕+f〔2x﹣6〕≤3即f[〔3x+1〕〔2x﹣6〕]≤f〔64〕∵f〔x〕在〔0，+∞〕上是增函数，且是偶函数∴原不等式可化为﹣64≤〔3x+1〕〔2x﹣6〕≤64解之得：﹣≤x≤5∵函数定义域为{x|x≠0}∴〔3x+1〕〔2x﹣6〕≠0，得x≠﹣且x≠3综上所述，原不等式的解集为{x|：﹣≤x≤5且x≠﹣且x≠3}19．解：〔I〕当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油〔升〕．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油．〔II〕当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h〔x〕升，依题意得，．令h'〔x〕=0，得x=80．当x∈〔0，80〕时，h'〔x〕＜0，h〔x〕是减函数；当x∈〔80，120〕时，h'〔x〕＞0，h〔x〕是增函数．∴当x=80时，h〔x〕取到极小值h〔80〕=11.25．因为h〔x〕在〔0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为20．解：〔1〕f′〔x〕=3x2+2ax+b∵曲线y=f〔x〕在点P〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y=3x+1．∴即∵函数y=f〔x〕在x=﹣2时有极值∴f′〔﹣2〕=0即﹣4a+b=﹣12∴解得a=2，b=﹣4，c=5∴f〔x〕=x3+2x2﹣4x+5〔2〕由〔1〕知，2a+b=0∴f′〔x〕=3x2﹣bx+b∵函数y=f〔x〕在区间[﹣2，1]上单调递增∴f′〔x〕≥0即3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立f′〔x〕的最小值为f′〔1〕=1﹣b+b≥0∴b≥6f′〔﹣2〕=12+2b+b≥0∴b∈∅，f′〔x〕的最小值为∴0≤b≤6总之b的取值范围是b≥021．解：〔Ⅰ〕因为方程ax﹣〔1+a2〕x2=0〔a＞0〕有两个实根x1=0，＞0，故f〔x〕＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=〔0，〕，区间长度为；〔Ⅱ〕设d〔a〕=，那么d′〔a〕=，令d′〔a〕=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′〔a〕＞0，d〔a〕单调递增；当1＜a≤1+k时，d′〔a〕＜0，d 〔a〕单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d〔a〕的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d〔1﹣k〕＜d〔1+k〕，因此当a=1﹣k时，d〔a〕在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．22．解：〔Ⅰ〕由，得h〔x〕=，且x＞0，那么h'〔x〕=ax+2﹣=，…〔2分〕∵函数h〔x〕存在单调递增区间，∴h'〔x〕＞0在〔0，+∞〕上有解，即不等式ax2+2x﹣1＞0在〔0，+∞〕上有解．①当a＜0时，y=ax2+2x﹣1的图象为开口向下的抛物线，对称轴为要使ax2+2x﹣1＞0在〔0，+∞〕上总有解，只需△=4+4a＞0，即a＞﹣1．即﹣1＜a＜0②当a＞0 时，y=ax2+2x﹣1的图象为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0 一定有解．综上，a的取值范围是〔﹣1，0〕∪〔0，+∞〕…〔5分〕〔Ⅱ〕方程那么即ax2+〔1﹣2a〕x﹣lnx=0…〔6分〕，设h〔x〕=ax2+〔1﹣2a〕x﹣lnx．于是原方程在区间内根的问题，转化为函数h〔x〕在区间内的零点问题…〔9分〕…〔12分〕解得，所以a的取值范围是…〔14分〕。
2021年吉林省长春市吉大中学高一数学文月考试卷含解析
2021年吉林省长春市吉大中学高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数C．y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】通过两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2[sin（2x+φ）+cos（2x+φ）]=2sin（2x+φ+），∴ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ+=kπ+（k∈Z），即φ=kπ（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选：C．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．2. 已知函数对任意时都有意义，则实数a的范围是（）A. B.C. D.参考答案：A略3. 无论为何实值，直线总过一个定点，该定点坐标为（）.A.（1，）B.（，）C.（，）D.（，）参考答案：D略4. 已知集合，则( )A. B. C. D.参考答案：C略5. 函数的定义域为，值域为，则的最大值与最小值之差等于A． B． C．D．参考答案：C略6. 设函数为定义在R上的奇函数，且当时，（其中b为实数），则的值为A．－3 B．－1 C．1 D．3参考答案：C为定义在上的奇函数，则，得到，则，所以，选C7. 已知集合，，则（）....参考答案：D略8. 圆与圆的位置关系是（）A．相交B．外离C．内含D．内切参考答案：D9. 以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为( )A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8参考答案：B10. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且，，则（）A. 200B. 210C. 400D. 410参考答案：B【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果。
2021-2021学年吉林省长春外国语学校高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2021学年吉林省长春外国语学校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}5|4A x x =-<<，,61,B ，则A B 等于（ ）A ．{}|14x x <<B ．{}|14x x ≤<C ．{}|14x x <≤D ．{}|14x x ≤≤【答案】A【解析】先求出集合A ，B ，然后根据交集的定义求出A B .【详解】由{}5|4A x x =-<<， 得,61,B，{}14A B x x ⋂=<<.故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题. 2．已知三个集合U 、A 、B 之间的关系如图所示，则()UA B 等于（ ）A ．{}3B ．{}0,1,2,4,7,8C ．{}1,2D ．{}1,2,3【答案】C【解析】利用韦恩图可得出UB 和A ，进而可求得集合()U A B .【详解】 由韦恩图可知，{}0,1,2,4,7,8UB =，{}1,2,3A =，因此，(){}1,2U B A =.故选：C. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查了韦恩图法的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．已知命题:p 某班所有的男生都爱踢足球，则命题p ⌝为( )A ．某班至多有一个男生爱踢足球B ．某班至少有一个男生不爱踢足球C ．某班所有的男生都不爱踢足球D ．某班所有的女生都爱踢足球【答案】B【解析】命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定． 【详解】命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题， 考察四个命题，“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定． 故选B ． 【点睛】本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，则满足{}0,1,2A B =，A B =∅的集合B 为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0D ．{}0,2【答案】C【解析】先求出集合A ，再利用已知条件即可得到集合B 中只有一个元素0，即可判断. 【详解】 由题意得：{}1,2A =，又{}0,1,2AB =，A B =∅，所以{}0B =； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算.属于容易题.5．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．4 D ．2或4【答案】A【解析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项. 【详解】依题意2A ∈，若2a =，则2=a ，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠；若2=a ，则2a =-或2a =（舍去），此时{}2,2,4A =--，符合题意； 若22a -=，则4a =，而4a =，不满足集合元素的互异性，所以4a ≠. 综上所述，a 的值为2-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题. 6．“0{x y >>”是“1xy >0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直接利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】“0{0x y >>”⇒“1xy >0”，“1xy >0”⇒“0{0x y >>”或0{0x y <<”，所以“0{x y >>”是1xy“>0”的充分不必要条件． 故选：A. 【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，属于基础题.7．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是（ ） A ．若a >b ，c >d ，则a ＋b >c ＋d B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a b c d> D ．若a 2>b 2，则－a <－b 【答案】B【解析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项. 【详解】对于A 选项，如10,21>>，则1021+<+，故A 选项错误.对于B 选项，由于a b >-，所以a b -<，所以c a c b -<+，故B 选项正确. 对于C 选项，如10,11>-<，则1011<-，所以C 选项错误. 对于D 选项，如()2210->，则()10-->-，所以D 选项错误. 综上所述，正确的命题为B. 故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.8．设集合{5A x x =或}2x <-，{}B x m x n =≤≤，若AB ={5x x 或}4x ≤，A B =∅，则mn =（ ）A ．8-B ．2C ．6D ．8【答案】A【解析】根据,A B A B ⋃⋂求得,m n ，由此求得mn . 【详解】依题意{5A x x =或}2x <-，{}B x m x n =≤≤，且AB ={5x x 或}4x ≤，A B =∅，所以{}|24B x x =-≤≤， 所以2,4m n =-=， 所以248mn =-⨯=-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集的概念和运算，属于基础题.9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103aa ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】C【解析】求得命题p 为真命题时a 的取值范围，由此求得命题p 为假命题时a 的取值范围. 【详解】先求当命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围 （1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立， （2）若a 不为0，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得13a >，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.10．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，则实数a 的值可能有几个（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意知p q ⇒/，q p ⇒，利用利用子集关系即可得到结论． 【详解】2:60p x x +-=，即2x =或3x =-. :10q ax +=，当0a =时，方程无解；当0a ≠时，1x a=-. 由题意知p q ⇒/，q p ⇒，故0a =符合； 当0a ≠时，应有12a -=或13a -=-，解得12a =-或13a =. 综上可知，0a =或12a =-或13a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于基础题．11．已知a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．M ≥N【答案】B【解析】根据题意，利用作差法进行求解． 【详解】因为a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，所以－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，所以M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，所以M >N ， 故选：B. 【点睛】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．12．方程2210ax x ++=的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（ ） A ．{0a a ≤或}1a = B ．{0a a <或}1a = C ．{1a a ≥或}0a = D ．{1a a >或}0a =【答案】A【解析】根据题意，先讨论0a =符合题意；再讨论0a ≠，根据方程有实根，得到1a ≤，分别讨论1a =，1a <且0a ≠两种情况，即可得出结果. 【详解】若方程2210ax x ++=的非空解集中有且最多有一个负实数元素， 当0a =时，12x =-，符合题意；当0a ≠时，由方程2210ax x ++=有实根，得到440a ∆=-≥，解得1a ≤； 若1a =，则方程2210x x ++=有且仅有一个实根1x =-，符合题意；若1a <且0a ≠，方程有两个不等实根，设这两个实根分别为1x ，2x ，若方程的解集中有且最多有一个负实数元素，则1210x x a=<，即0a <； 当0a ≤或1a =时，关于x 的方程2210ax x ++=的解集中有且最多有一个负实数元素；综上方程2210ax x ++=的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为{0a a ≤或}1a =.故选：A. 【点睛】本题主要考判定命题的充要条件，属于常考题型.二、填空题13．命题“对任意x ∈R ，都有30x ≥”的否定为__________； 【答案】30,0x R x【解析】直接写出此全称命题的否定. 【详解】命题“对任意x ∈R ，都有30x ≥”的否定为“300,0x R x ”.故答案为：300,0x R x【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.14．从充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要中选出一个恰当的进行填空：3x <是2x <的________________条件；【答案】必要不充分【解析】由集合的关系即可判断出结论. 【详解】 因为{}{}|2|3x x x x <<，所以3x <是2x <的必要不充分条件.故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.15．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．. 【答案】（1，+∞）．【解析】由充分必要条件与集合的关系得：A B ，列不等式组运算得解 【详解】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，得：A B ，即1112m m +>-⎧⎨+>⎩，即m ＞1，故答案为：（1，+∞）． 【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间的包含关系，属简单题． 16．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是____________. 【答案】3【解析】这个题目考查了集合的新定义问题，根据题意x A ∈，则1A x∈，就称A 是伙伴关系集合，可得到集合分别为：{}1-，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，11,,2,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【详解】根据题意得到x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，则满足条件的集合为{}1-，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，11,,2,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故答案为3. 【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．三、解答题17．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x ＋3≥0}.求： （1）A B ；（2）()RA B .【答案】（1）{}4A B x x ⋃=≥-；（2）()RA B ⋂={|3x x <-或}2x >-.【解析】（1）先求得B ，然后求得AB .（2）先求得A B ，然后求得()R A B .【详解】（1）依题意{}|3B x x =≥-，所以{}4A B x x ⋃=≥-. （2）{}|32A B x x ⋂=-≤≤-，所以()RA B ⋂={|3x x <-或}2x >-.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集，属于基础题.18．已知集合P ＝{0，x ，y }，Q ＝{2x ，0，y 2}，且P ＝Q ，求x ，y 的值. 【答案】14x =；12y =.【解析】根据两个集合相等、集合元素的互异性等知识求得,x y 的值. 【详解】 依题意P Q =，若22x xy y=⎧⎨=⎩，此时0x =，20x =，不满足集合元素的互异性，不符合. 若22x y y x⎧=⎨=⎩，解得0x y ==或11,42x y ==.当0x y ==时，不满足集合元素的互异性，不符合.当11,42x y ==时，110,,42P Q ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，符合. 故11,42x y ==. 【点睛】本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性. 19．已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}. （1）若a ＝3，求()RP Q ；（2）若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}24x x -≤<；（2）{}02a a ≤≤. 【解析】先根据P 是非空集合得到0a ≥； （1）先求得RP ，然后求得()R P Q .（2）根据充分、必要条件的知识得到PQ ，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】因为P 是非空集合，所以211a a +≥+，即0a ≥.（1）当3a =时，{47}P x x =≤≤∣，{4R P x x =<∣或7}x >，{25}Q x x =-≤≤∣， 所以(){24}R P Q xx ⋂=-≤<∣. （2）若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，即PQ ，即122150a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且12a +≥-和215a +≤的等号不能同时取得， 解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围为{02}aa ≤≤∣. 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围. 20．已知m R ∈，命题[0]:,1p x ∀∈，22m x ≥-，命题:[1,1]q x ∃∈-，m x ≤． （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p 与q 一真一假，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）0m ≥；（2）0m <或1m【解析】（1）22m x ≥-在[0,1]x ∈上恒成立，再求实数m 的取值范围；（2）由命题p 与q 一真一假可得p 真q 假或p 假q 真，再求出命题q 为真命题时m 的取值范围，再分类讨论具体情况即可求得实数m 【详解】（1）∵[0,1]x ∀∈，22m x ≥-，∴22m x ≥-在[0,1]x ∈上恒成立， ∴max (22)0m x ≥-=，即p 为真命题时，实数m 的取值范围是0m ≥． （2）∵[1,1]x ∃∈-，m x ≤，∴1m ，即命题q 为真命题时，1m ． ∵命题p 与q 一真一假，∴p 真q 假或p 假q 真． 当p 真q 假时，0,1,m m ≥⎧⎨>⎩即1m ；当p 假q 真时，0,1,m m <⎧⎨≤⎩即0m <．综上所述，命题p 与q 一真一假时，实数m 的取值范围为0m <或1m ．【点睛】本题考查由命题的真假求解参数的取值范围，属于中档题21．若命题“存在实数{}21x x x ∈-≤≤-，使得230xx m ”是假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】{}3m m ≤.【解析】由题可转化为命题“对任意的[]2,1x ∈--，不等式230xx m 恒成立”为真命题，即23m x x ≤++恒成立，求解()23f x x x =++的最小值即可得答案.【详解】由题可转化为命题“对任意的[]2,1x ∈--，不等式230xx m 恒成立”为真命题，即23m x x ≤++恒成立， 令()23f x x x =++，又()211124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]2,1--上单调递减， 所以()()min 13f x f =-=，故3m ≤.【点睛】本题考查特称命题的否定与恒成立问题，考查了转化与化归的思想.。
吉林省部分名校2021-2022学年高三上学期第一次月考 数学(文)试题答案
2021年高三10月份考试数学（文科）参考答案一、单选题1．已知集合A ={x |x ≤3，x ∈N *}，B ={-1，0，1，2，3}，则A ∩B =（ ） A ．{0，1，2，3} B ．{1，2，3} C ．{0，1，2} D ．{2，3}【答案】B【分析】首先列举法表示出集合A ，然后根据交集的概念即可求出结果. 【详解】由题意得，A ={1，2，3}，所以A ∩B ={1，2，3}.故选：B . 2．设()212i z =-，则z =（ ） A ．5 B ．17 C ．29 D ．41【答案】A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z . 【详解】因为()2212i 14i 4i 34i z =-=-+=--，因此，()()22345z =-+-=.故选：A.3．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）A ．如果,a b b c >>，那么a c >；B ．如果0a b >>，那么22a b >；C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；D ．如果a b >，0c >，那么ac bc >． 【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为,a b 22a b +出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为,a b 22a b +图中四个直角三角形的面积和为1422a b ab ⨯⨯⨯=，外围正方形的面积为222a b=+.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以222ab a b≤+，当且仅当a b=时，等号成立.故选：C.4．袋子中有6个相同的球，分別标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，则取出球的数字之和是8的概率为（）A．16B．536C．115D．215【答案】D【分析】列举出所有基本事件，分别求出总事件和所求基本事件的个数，再根据古典概型公式即可得解.【详解】基本事件共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种，其中数字和为8的基本事件有2种，所以取出球的数字之和是8的概率为215，故选：D.5．对3个非零平面向量,,a b c，下列选项中正确的是A．若0a bλμ+=，则0λμ==B．若a b a c⋅=⋅，则b c=C．若()()a b c a c b⋅=⋅，则b c=D．,,a b c两两之间的夹角可以都是钝角【答案】D【分析】向量两个特殊情况：共线和零向量，可排除A,B；向量不满足交换律所以C错．【详解】(1) a与b在同一条直线上，故A错（2）a可能为0向量，故B错（3）向量运算不满足交换律，所以C错（4）,,a b c两两之间的夹角可以都是钝角，如都为120故选D6．数列{}n a是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为n S.若11n nS ka+=-，则k=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用等比数列，求出通项n a，利用求和公式求得1n S+，代入即可得解.试卷第2页，总14页【详解】由数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n na()1111122112n n n S +++⨯-=-=∴-由11n n S ka +=-，得112121n n k +--=⨯-，即1122n n k +-=⨯，11242n n k +-∴==， 故选：D.7．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为433，则它的表面积为A ．8B ．12C ．443+D ．20【答案】B【分析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为h ，则依题意有143223V h =⨯⨯=所以3h =221142h h =+ 所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯，所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯.试卷第4页，总14页故选：B8．已知O 为坐标原点，抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 的准线上的动点，则PO PA +的最小值为（ ） A ．4 B ．43 C ．46 D ．63【答案】C 【分析】求出坐标原点O 关于准线的对称点B 的坐标，由PO PB =，则PO PA PB PA AB +=+≥，根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】解：由题意，抛物线28y x =的准线方程为2x =-， ∵6AF =，∴点A 到准线的距离为6，即点A 的横坐标为4，不妨设点A 在第一象限， 则点A 的坐标为()4,42，∵坐标原点O 关于准线的对称点B 的坐标为()4,0-， ∴PO PB =，∴PO PA +的最小值为()()22444246AB =++=.故选：C.9．某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为323π，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】利用球的体积公式求出半径，求出正三角形内切圆半径，利用勾股定理求出球心到上底面距离即可得解【详解】设球的半径为R ，三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为r ．由球的体积为323π可得343233R ππ=，解得2R =．因为正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，所以底面正三角形的内切圆半径为316323r =⨯⨯=，正三棱柱的高为4，设球心为O ，正三角形的内切圆圆心为1O ， 取11B C 的中点M ，并将这三点顺次连接，则由球的几何知识得1OO M △为直角三角形，所以()22221231OO R r =-=-=，于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为2147++=．故选：C10．已知函数21()xx f x e x e=++．则使不等式(21)()f m f m -<成立的实数m 的范围为（ ） A ．1m < B ．1mC ．113m <<D ．13m <【答案】C【分析】根据函数表达式可得，函数为偶函数，当0x >时，可通过求导判断函数的单调性，从而确定整个函数的单调性，根据单调性求解参数的取值范围【详解】因为21()xx f x e x e =++，()21()x x f x e x ef x -=+=+，所以()f x 为R 上的偶函数，且'1()2xx f x e x e=+-，易得'()f x 单调递增且'(0)0f =，所以，当0x >时，'()0f x >恒成立，()f x 单调递增，根据偶函数的对称性得，0x <时，()f x 单调递减，若(21)()f m f m -<，则有21m m -<，两边同时平方得：()2221m m -<，解得：113m <<故选：C11．已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右焦点，过1F 作b y x a=-的垂线分别交双曲线的左､右两支于,B C 两点(如图).若22CBF CF B ∠∠=，则双曲线的渐近线方程试卷第6页，总14页为（ ）A ．3y x =±B ．2y x =C ．()31y x =±D ．)31=±y x【答案】C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得12BF a =，24BF a =，再在12BF F △中运用余弦定理建立关于a ，b ，c 的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】由22CBF CF B ∠∠=，设2BC CF m ==，由122CF CF a -=得，12BF a =，所以24BF a =，2222221122121124416cos 28BF F F BF a c a BF F BF F F ac∠++-+-==⋅⋅，又112tan F C a k BF F b ∠==得12cos b BF F c∠=， 22244168a c a bac c+-∴=，令1a =，化简得：2220b b --=，得13b =程为)31y x =±，故选：C.12．已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围（ ） A ．[,1]e -- B ．[,0)e - C ．(,1)-∞- D ．(,]e -∞-【答案】B【分析】变换得到(ln )ln ax a x xe x e --≥⋅，设()x f x xe =，等价于()(ln )a f x f x -≥，即min (),ln x a x -≤令()ln x g x x=，根据函数的单调性得到最值得到答案. 【详解】由1ln 0a x x e a x +⋅+≥得()ln x axe x a x -≥⋅-，即(ln )ln a x a x xe x e --≥⋅，设(),>1()xf x xe x =，则()()'()+1>0>1x f x x e x =，，所以函数()f x 在(1,)x ∈+∞上是增函数，所以不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，等价于()(ln )a f x f x -≥， 所以ln a x x -≥，即ln x a x ≥-对任意的1x >恒成立， 因为1x >，所以ln 0x >，即ln x a x-≤对任意的1x >恒成立，即min ()ln xa x -≤， 令()ln x g x x=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由()0g x '=，得x e =， 所以当(1,)x e ∈时，()0g x '<，函数()g x 在区间(1,)e 为减函数，当(,)x e ∈+∞时，()>0g x '，函数()g x 在区间(,)e +∞为增函数，所以当x e =时，()g x 取得最小值()g e e =，所以a e -≤，所以a e ≥-，又由已知得0a <，所以a 的取值范围为[0)e -，. 故选：B.方法点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <.二、填空题13．已知角θ的终边过点(4,3)-，则sin (2θ)等于________． 【答案】2425-【分析】根据终边上的点写出sin ,cos θθ，再由sin(2)2sin cos θθθ=求值即可. 【详解】由题设，34sin ,cos 55θθ=-=，∴24sin(2)2sin cos 25θθθ==-. 故答案为：2425-14．记n S 分别为等差数列{}n a 的前n 项和，若212n a n =-，则10S =__________. 【答案】100【分析】利用通项公式求得11019,1a a ==，结合等差数列求和公式求得结果. 【详解】11019,1a a ==，所以前10项的和为10S =191101002+⨯=. 故答案为：100.15．已知实数x ，y 满足不等式组40210330x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则221x y x +++的最大值为______．试卷第8页，总14页【答案】238【分析】画出可行域，22211x y y x x ++=+++，1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-连线的斜率，数形结合可求得最大值. 【详解】画出如图可行域，因为22211x y yx x ++=+++，令1yt x =+，则t 表示可行域内的点(),P x y 与定点()1,0B -连线的斜率． 由图可知，当点P 为点57,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时，连线斜率最大，所以max7735813t ==+， 所以221x y x +++的最大值为238．故答案为：23816．在正方体1111ABCD A B C D -中，有下列结论： ①//BD 平面11CB D ；②异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒；③三棱柱111ABD A B D -的体积是三棱锥1A ABD -的体积的四倍； ④在四面体11ACB D 中，分别连接三组对棱的中点的线段互相垂直平分. 其中正确的是________（填出所有正确结论的序号）. 【答案】①④【分析】根据正方体的几何特征，证明线面平行，求异面直线夹角，求体积关系，分析正四面体对棱连线特点. 【详解】因为11//BD B D ，11B D ⊂平面11CB D ，BD ⊄平面11CB D ，所以//BD 平面11CB D ，故①正确；因为//AD BC ，所以异面直线AD 与1CB 所成的角等于1BCB ∠，在正方形11BCC B 中，145BCB ∠=︒，故②错误；三棱柱111ABD A B D -的体积是三棱锥1A ABD -的体积的三倍，故③错误； 由正方体的性质可知，正方体三条对面中心连线线段相互垂直平分.四面体11ACB D 是正四面体，其棱中点即正方体每个面的中心，对棱中点连线必经过正方体的中心，由对称性知，连接正四面体11ACB D 每组对棱中点的线段互相垂直平分，则④正确. 故答案为：①④ 三、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，3a =，7b =，()tan 3B π+=- （1）求sin A 的值； （2）求ABC 的面积. 【答案】（1）33sin A =（2153. 【分析】（1）由()tan B π+可求出sin B ，利用正弦定理可求出sin A ；（2）由余弦定理可求出c ，再借助于三角形面积即可求出结果. 【详解】（1）()tan tan 3B B π+==-23B π=， 由正弦定理得372sin sin 3Aπ=，∴33sin A （2）由余弦定理得22222cos3b ac ac π=+-，整理得23400c c +-=，解得5c =或8-（舍去），ABC 的面积113153sin 3522ABC S ac B ==⨯⨯=△.试卷第10页，总14页18．某地从今年3月份正式启动新冠肺炎疫苗的接种工作，前4周的累计接种人数统计如下表： 前x 周12 3 4累计接种人数y （千人） 2.5 3 4 4.5 （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）政府部门要求在2个月内（按8周算）完成8千人的疫苗接种工作，根据（1）中所求的回归方程，预计接下来4周是否需要加快接种工作的速度．参考公式：线性回归方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221,ni ii nii x ynxy b a y bx xnx==-==--∑∑．【答案】（1）0.7 1.5ˆ7y x =+；（2）需要加快接种工作的速度．【详解】（1）1234 2.534 4.52.5,3.544x y ++++++====， 2ˆ38.54 2.5 3.50.7, 3.50.7 2.5 1.75304 2.5ˆba -⨯⨯===-⨯=-⨯， 因此回归方程为0.7 1.5ˆ7yx =+． （2）令8x =，得0.78 1.757ˆ.35y=⨯+=， 因为7.358<，所以接下来4周需要加快接种工作的速度．19．如图在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面PBC ，PB ⊥BC ，PD =DB =BC =AB =AD =2.（1）证明：PA ⊥平面ABC ； （2）求点B 到平面ACD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得P A ⊥BC ，再由P A ⊥AB 利用线面垂直的判定定理即可证明,（2）利用三棱锥的体积公式得出12D ABC P ABC V V --==，再由等体法13B ACD D ABC ACD V V Sd --==⋅=即可求解. 【详解】（1）侧面P AB ⊥底面PBC ，PB ⊥BC ，所以BC ⊥侧面P AB 又P A ⊂侧面P AB ，所以P A ⊥BC 又PD =DB =DA ，所以P A ⊥AB 又AB BC =B ，所以P A ⊥平面ABC （2）由（1）可知：P A ⊥平面ABC ，在直角三角形P AB 中，PA =D 是PB 的中点，所以三棱锥D -ABC 为三棱锥P -ABC 体积的12.故1126D ABC P ABC ABCV V SPA --==⋅=由已知：AC AD ==AD =2，ACD △底边AD 上的高为h =故ACD △面积为：ACDS设点B 到平面ACD 的距离为d ，则13B ACD D ABC ACDV V Sd --==⋅==7d =点B 到平面ACD 20．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，其长轴长为4，1F ，2F 为左右焦点，P 为椭圆C 上一动点，且21PF PF •最大值为1 . （1）求椭圆C 的方程.（2）若直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，且OB OA OP 21+=λ (O 为坐标原点，λ为负实数)，已知41-=•OB OA k k ， 求λ的值.【答案】（1）),(00y x P 设,则2202021c y x PF PF -+=•，长轴2a=4，即a=2.122221==-≤•b c a PF PF ,则椭圆方程为1422=+y x ————（5分） （2）设A(11,y x )，B （22,y x ），则412121-==•x x y y k k OB OA ，即402121=+x x y y ——（6分）试卷第12页，总14页因为OB OA OP 21+=λ,则P 点坐标为（212121,21y y x x ++λλ）， 把P 点代入椭圆1422=+y x ，则有1)21()21(41221221=+++y y x x λλ————（9分） 142121=+y x ，142222=+y x ，化简可得，1412=+λ，所以λ＜0——（11分） 则λ=23-——————（12分） 21．已知函数()()2ln 2x a x f x x =+-+.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若()f x 的极大值点为1x ，求证：()112ln 22f x <-+. 【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =-时，可得()2ln 2f x x x x =-++，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析可得8a >，1212x x +=，12102x x a=>，则12104x x <<<，21121ax ax =-，化简得出()()11113ln 2212f x x x =++-，构造函数()()13ln 2212g x x x =++-，其中104x <<，利用函数单调性得出()14g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可证得结论成立.【详解】（1）当1a =-时，函数()2ln 2f x x x x =-++，()0,x ∈+∞.()()()221112121x x x x f x x x x x-+--++'=-+==，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<. 可得函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. 因此函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞； （2）当0a >时，()21212ax ax f x ax a x x-+'=+-=，令2210ax ax -+=，28a a ∆=-.当0∆≤时，即当08a <≤，则()0f x '≥，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不满足题意，舍去；由0∆>，解得8a >，设方程2210ax ax -+=的两个实数根分别为1x 、2x 且12x x <.当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<， 故函数()f x 的极大值点为1x ， 由韦达定理可得1212x x +=，12102x x a=>，则12104x x <<<，21121ax ax =-. ()2111111111121313ln 2ln 2ln ln 22242ax ax f x x ax ax x ax x x x -=+-+=+-+=-+=-+()11111313ln ln 12221242x x x x =-+=++-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令()()13ln 2212g x x x =++-，其中104x <<，则()()()()()()()222221411110212121x x x x g x x x x x x x ----'=-==>---， 所以，函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()1131ln 12ln 24422g x g ⎛⎫<=-+=- ⎪⎝⎭，因此，()112ln 22f x <-+.方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为os x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中ϕ为参数），曲线222:20C x y y +-=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线:l θα=（0ρ≥）与曲线1C ，2C 分别交于点A ，B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22OA OB +的最小值.【详解】（1）1C 的普通方程为2231x y +=，代入cos ,sin x y ρθρθ==得1C 的极坐标方程为试卷第14页，总14页22123sin ρθ=+， ………………………………………………………………………（3分）2C 的极坐标方程为2sin ρθ=……………………………………………………（5分）（2）联立()0θαρ=≥与1C 的极坐标方程得22s n 312i OA α=+ ……………（6分）联立()0θαρ=≥与2C 的极坐标方程得224OB sin α=…………………………（7分）则()222222334sin 212sin 226212sin 12sin OA OB αααα+=+=++-≥-++ ∴2262OA OB +-最小值为2. ……………………………………………（10分）23．[选修4-5：不等式选讲]已知为正实数，且满足（1）求的最小值（2）求证：【答案】（1）；（2）证明详见解析． 【解析】（1）（1）∵，∴，∴，∵，∴当时，的最小值为；（2）考点：配方法求函数最值、均值不等式．。
吉林省长春市实验中学2021-2022高一数学上学期9月月考试题(含解析).doc
吉林省长春市实验中学2021-2022高一数学上学期9月月考试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,2,5U A B ===，则()U A C B ⋂等于（ ） A. {}2 B. {}2,3C. {}3D. {}1,3【答案】D 【解析】试题分析：由题意得{}1,3,4U C B =，所以(){}1,3U A C B ⋂=，故选D ． 考点：集合的运算．2.函数1()3f x x =-的定义域为（ ） A. [32，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞） C. [32，+∞）D. （3，+∞）【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数2301,303x y x x -≥⎧=∴⎨-≠-⎩， 解得32x ≥且3x ≠；∴函数()13f x x =-的定义域为()3,33,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭, 故选A ．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.3.函数()()21f x x =-的单调递增区间是（ ） A. [)0,+∞ B. ()1,+∞C. (],0-∞D. (],1-∞【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数解析式可确定对称轴位置，从而得到单调区间.【详解】由解析式可知，()f x 为开口方向向上，对称轴为1x =的二次函数()f x ∴的单调递增区间为()1,+∞本题正确选项：B【点睛】本题考查二次函数单调性的问题，属于基础题.4.下列函数中，与函数y x = 相同的函数是（ ）A. 2x y x =B. y x =C. yD.2y =【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义判断即可【详解】A 选项中的函数等价于(0)y x x =≠，B 选项中的函数等价于,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，D 选项中的函数等价于(0)y x x =≥.故选C. 【点睛】此题是基础题，考查函数的定义域.5.抛物线2221y x x =-++的顶点坐标是（ ）A. ()1,1B. ()1,3--C. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】()221321222y x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭ ∴抛物线顶点坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 本题正确选项：C【点睛】本题考查二次函数顶点坐标的求解，属于基础题.6.下列函数是偶函数且在(),0-∞上单调递减的是（ ） A. 2y x=B. ()2y a xa R =-∈C. 13y x =-D.1y x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除,A C ；根据单调性可排除B ，从而得到结果. 【详解】2y x=为奇函数，A 错误；2y a x =-在(),0-∞上单调递增，B 错误； 13y x =-为非奇非偶函数，C 错误；11x x -=-- 1y x ∴=-偶函数当0x <时，11y x x =-=--，在(),0-∞上单调递减，D 正确 本题正确选项：D【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.7.化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（ ） A. a B. b C. abD.b a【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.8.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-，则必有（ ）A. 函数()f x 先增后减B. 函数()f x 是R 上的增函数C. 函数()f x 先减后增D. 函数()f x 是R 上的减函数【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义，在a b >和a b <两种情况下均可得到函数单调递增，从而得到结果. 【详解】若a b >，由()()0f a f b a b->-得：()()f a f b > ()f x ∴在R 上单调递增若a b <，由()()0f a f b a b->-得：()()f a f b < ()f x ∴在R 上单调递增综上所述：()f x 在R 上是增函数 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数单调性的定义，属于基础题.9.设()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()2xf x x c =-+，则()1f =（ ）A. 12-B.12C. 0D. 1【答案】A 【解析】 【分析】利用()00f =求得c ，从而得到0x ≤时()f x 解析式，利用()()11f f =--求得结果. 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数 ()010f c ∴=+=，解得：1c =-∴当0x ≤时，()21x f x x =-- ()()()11112112f f -∴=--=-+-=-本题正确选项：A【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解函数值，关键是利用奇函数在0x =处有意义时，()00f =求得函数解析式.10.一元二次方程24260x mx m 有两个负根，则实数m 的范围为（ ）A. 30m -<<B. 31m -<≤-C. 32m ≥D.312m -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】两个负根可相等或不相等，可得0∆≥；利用两根之和小于零，两根之积大于零，可构造不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】设24260x mx m 的两个负根为12,x x则()2121216426040260m m x x m x x m ⎧∆=-+≥⎪+=<⎨⎪=+>⎩，解得：31m -<≤- 本题正确选项：B【点睛】本题考查根据一元二次方程根的分布求解参数范围问题，关键是能够根据根的分布得到判别式、两根之和与两根之积的不等式，属于常考题型.11.已知函数2(1)(0)(){(3)2(0)a x a x f x a x x -+<=-+≥，在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. (2,3) B. [2,3)C. (1,3)D. [1,3]【答案】B 【解析】【详解】因为函数2(1)(0)(){(3)2(0)a x a x f x a x x -+<=-+≥，在(,)-∞+∞上是减函数， 所以，满足条件10{30,232a a a a -<-<∴≤<≥，故选B ．12.定义(),min ,,a a b a b b a b<⎧=⎨≥⎩，若()()2min ,1f x x =，关于函数()f x 的四个命题：①该函数是偶函数；②该函数值域为[]0,1；③该函数单调递减区间为()1,0-；④若方程()f x m =恰有两个根，则两根之和为0.四个命题中描述正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据()min ,a b 的定义可求得()()(][)2,1,11,,11,x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩，从而得到函数图象；由图象可判断函数为偶函数、值域为[]0,1，单调递减区间为()1,0-；根据y m =与()f x 两交点关于y 轴对称可知()f x m =两根之和为0，从而得到结果. 【详解】当21x <时，11x -<<；当21x ≥时，1x ≤-或1x ≥()()(][)2,1,11,,11,x x f x x ⎧∈-⎪∴=⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩可得函数图象如下图所示：()f x 图象关于y 轴对称 ()f x ∴为偶函数，①正确由图象可知，()f x 值域为[]0,1，单调递减区间为()1,0-，②③正确当y m =与()f x 有两个交点时，交点关于y 轴对称，即()f x m =两根之和为0，④正确 本题正确选项：D【点睛】本题考查根据新定义处理函数性质、值域、方程根的问题，关键是能够理解新定义的含义，得到函数的解析式和图象，利用数形结合来进行求解.第Ⅱ卷二、填空题13.设全集U 是实数集R ，{}{}2|43|1M x x N x x ><<＝，＝，则图中阴影部分所表示的集合是________.【答案】{|12}x x <≤ 【解析】 【分析】图中阴影部分所表示的集合为()U N M ⋂．【详解】∵{|22}M x x x <>＝－或，∴{|}22UM x x ≤≤＝－，∴(){|}12U N M x x ⋂≤＝＜． 【点睛】本题考查集合的基本运算，是常见考题。
2021-2022年高三上学期10月月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。
吉林省长春市九台师范高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
九台师范高中2020-2021学年度第一学期第一阶段考试高一数学试题考生注意：本试题考试时间90分钟，满分120分。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}2.函数y= x2的定义域为( )A. RB.(－∞，0)C. ()(),00,1-∞⋃ D. (0，＋∞)3．“⎩⎨⎧x>0，y>0”是“1xy>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.设全集U是实数集R,{}{}2|4,|13M x x N x x=>=<<,则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {|}x x-≤<21 B. {}|22x x-≤≤ C. {}|12x x<≤ D. {}|2x x< 5．命题“关于x的方程ax 2 －x－2＝0在(0，＋∞)上有解”的否定是( ) A．∃x∈(0，＋∞)，ax 2－x－2≠0 B．∀x∈(0，＋∞)，ax 2－x－2≠0 C．∃x∈(－∞，0)，ax 2－x－2＝0 D．∀x∈(－∞，0)，ax 2 －x－2＝0 6．函数16(0)y x xx=++>的最小值为( )A．6 B．7 C．8 D．97.设函数⎩⎨⎧≥-<=1,11,2)(xxxxf，则)1((ff)＝( )A ．0 B. 2 C ．1 D ．28.不等式220ax bx ≥＋－的解集为1|24x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭,则( ) A.8,10a b =-=- B.1,9a b =-= C.4,9a b =-=- D.1,2a b =-=9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于3002m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x (单位:m)的取值范围是( )A.{1520}x x ≤≤B.{1225}x x ≤≤C.{1030}x x ≤≤D.{2030}x x ≤≤10.已知实数a ，b 满足a>b>0，则下列不等式不成立的是 ( )A.a 2 > b 2B.22b a a b < C.a 2 b>a b 2 D.11a b< 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)11．下列命题正确的是 ( )A ．存在x <0，x 2－2x －3＝0 B ．对于一切实数x <0，都有|x |>xC ．∀x ∈R ，x 2 ＝xD ．“∃n ∈N *，2n 2＋5n ＋2能被2整除”是真命题12．命题“∀1≤x ≤3，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≥11C ．a ≥10D ．a ≤10三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把★★★★答案★★★★填在题中横线上)13．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是_ _______．14. 集合{3,1}A =-,2{2,1}B m m =--,且A B =,则实数m =______．15.若0,0>>y x ，且14=+y x ，则yx 11+的最小值为__________ 16.已知函数()()12-++=m mx mx x f 的值恒为负数，则m 的取值范围是__________四、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分8分)已知p ：－1<x <3，q ：－1<x <m ＋1，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
2021-2022学年吉林省长春市北京师大附属学校高一(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年吉林省长春市北京师大附属学校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共18小题，共90.0分）1.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()A. 10种B. 60种C. 125种D. 243种2.五名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有()种．A. 24B. 36C. 48D. 604.将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有()种A. 480B. 360C. 240D. 1205.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有()A. 60种B. 54种C. 48种D. 24种6.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种7.当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是()A. 50B. 1440C. 720D. 21608.某校从8名教师中选派4名同时去4个地区支教(每地一名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有()A. 150种B. 300种C. 600种D. 900种9.某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有()A. 720种B. 600种C. 360种D. 300种10.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()A. 30种B. 50种C. 60种D. 90种11.下列表述正确的是()A. a⊆{a}B. {B}⊆{b,a}C. ⌀⊆{−1,1}D. 0∈⌀12.命题“∀x∈R，x2−x+5≥0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+x+5<0B. ∃x∈R，x2−x+5≥0C. ∀x∈R，x2−x+5>0D. ∃x∈R，x2−x+5<013.关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<3}，则a+b=()A. −1B. 0C. 6D. 1014.设x∈R，则“x>3”是“|x−1|>1”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15.若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A. 1a <1bB. a2>b2C. ac2+1>bc2+1D. a|c|>b|c|16.设x∈R，则x>√2的一个必要不充分条件为()A. x<1B. x>1C. x<πD. x>π17.对于任意实数x，不等式(a−2)x2−2(a−2)x−4≤0恒成立，则实数a的取值范围是()A. {a|a<2}B. {a|a≤2}C. {a|−2≤a<2}D. {a|−2≤a≤2}18.已知正数x，y满足x2+2xy−3=0，则2x+y的最小值是()A. 1B. 3C. 6D. 9二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）19.下列四个命题中，假命题是()A. ∀x∈R，x+1x≥2 B. ∃x∈R，x2−x>5C. ∃x∈R，|x+1|<0D. ∀x∈R，|x+1|≥020.下列说法正确的是()A. 命题：“∀n∈N，6n+7为质数”是真命题B. 命题：“梯形的对角线相等”是全称量词命题C. 命题：“对任意x∈R，总有x2+x+1>0”是真命题≥0的解集为{x|x<−3或x≥2}D. 不等式2−xx+3三、单空题（本大题共8小题，共40.0分）21.大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有______种.(用数字作答)22.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有______种不同的选法．23.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙，丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有______种．(用数字作答)24.将7名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有______种．(用数字作答)25.已知集合A={0,|a|}，集合B={1,a}，若A∩B={1}，则a=______．26.已知x>0，y>0，且x+4y=1，则x+y的最小值为______．xy≤0是真命题，则实数a的取值范围是27.已知命题“∃x∈R，使4x2+(a−2)x+14______．28.已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B={1,2,3,4}，集合C是A的子集，且C∩B≠⌀，那么这样的子集C有______个．四、解答题（本大题共5小题，共50.0分）29.已知集合A={x|x2+2−8≤0}，集合B={x|x+5>3}．(1)求A∪B；(2)求∁R(A∩B)．30.(1)已知x>0，y>0，且2x+3y=1，求xy的最大值；(2)已知x>0，求y=x2+x+1的最小值．2x31.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+2(a−1)x+(a2−5)=0}(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．32.为了持续推进“喜迎生物多样性，相约莞丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为200平方米．(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．33.设非空集合A={x|−m<x<2m−3}，集合B是关于x的不等式ax2−(a+1)x+1>0的解集．(1)若a=2，且A⊆B，求实数m的取值范围；(2)若a∈R，求关于x的不等式ax2−(a+1)x+1>0的解集B．答案和解析1.【答案】B【解析】解：从中选3个并分配到3个志愿中，故有A53=60种，故选：B．从中选3个并分配到3个志愿中，问题得以解决．本题考查了简单的排列组合问题，关键是分清是排列还是组合，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：先选2人(除甲外)排在两端，其余的3人任意排，故A 42A33=72，故选：D．先选2人(除甲外)排在两端，其余的3人任意排，问题得以解决．本题考查了简单的站队问题，特殊位置优先安排，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查排列数公式和分步乘法计数原理的应用，属于简单题．根据题意，分3步进行分析：①将甲、乙两本书必须放在两端，②将丙、丁两本书看成一个整体，③将丙丁这个整体与另外2本书全排列，安排在中间的3个位置，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，将甲、乙两本书必须放在两端，有A22=2种情况，②，将丙、丁两本书看成一个整体，考虑2本书的顺序有A22=2种顺序，③，将丙丁这个整体与另外2本书全排列，安排在中间的3个位置，有A33=6种情况，则有2×2×6=24种不同的摆放方法；故选：A．4.【答案】C【解析】解：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个小盒，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①、先将5个小球分成4组，有C52=10种分法；②，将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A44=24种情况，则不同放法有10×24=240种；故选：C．根据题意，分2步进行分析：①、先将5个小球分成4组，②，将分好的4组全排列，放入4个盒子，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组再进行排列．5.【答案】D【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人旅游，在朝天门、解放碑景点中任选1个，有2种选法；再将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有C31A22=6种情况，则此时有2×6=12种方案；②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在朝天门、解放碑景点中任选1个，有C31C21=6种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A22=2种情况，则此时有2×6=12种方案；则甲不到瓷器口的方案有12+12=24种；故选：D．根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人旅游，②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，分别求出每一种情况的方案的数目，由加法原理计算可得答案．本题考查计数原理的应用，解题注意优先分析排约束条件多的元素，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：第一步，为甲地选一名老师，有C21=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有C42=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题7.【答案】D【解析】解：由题意可知B、C两路军车的量数类型有2、4；3、3；4、2；三种类型．由于军车互不相同，排列是有顺序的，2、4；4、2；类型的结果都是：A62A44.3、3类型的结果为：A63A33．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是：2A62A44+A63A33=2160．故选：D．确定B、C两路军车的量数类型，然后求解这6辆军车不同的分开行驶方案总数．本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力．8.【答案】C【解析】解：根据题意，分两步进行，第一步，先选四名老师，又分两类：①甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52=10种不同选法，②甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64=15种不同选法，则不同的选法有10+15=25种第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A44=24最后，由分步计数原理，可得共有25×24=600种方法，故选：C．分两步进行，先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．本题考查分步计数原理、分类计数原理的应用，关键是分析受到限制的四人的选派方法．9.【答案】D【解析】解：根据题意，分2步进行分析：×A55=60种情况，①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有12②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，则有60×5=300种不同的顺序，故选：D．根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．本题考查分步计数原理，属于简单题．【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10=20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10=30种，所以总共有20+30=50种．故选：B．11.【答案】C【解析】解：对于A，集合是自身的子集，“⊆”用在集合与集合的关系中，应为“a∈{a}”，故A错误；对于B，{B}⊈{b,a}，故B错误；对于C，空集是任何集合的子集，故C正确；对于D，空集表示不含任何元素，故D错误．故选：C．根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可．本题考查了元素与集合，集合与集合关系及符号使用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则命题“∀x ∈R ，x 2−x +5≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2−x +5<0”． 故选：D ．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：∵关于x 的不等式x 2+ax +b <0的解集是{x|1<x <3}， ∴1和3是方程x 2+ax +b =0的的实数根， 由根与系数的关系知，{−a =1+3b =1×3，解得a =−4，b =3， 所以a +b =−1． 故选：A ．先根据不等式的解集得到对应方程的两根，再利用根与系数的关系求出a 、b 的值，再计算a +b 的值．本题考查了一元二次不等式的解集与对应方程的实数根应用问题，是基础题．14.【答案】A【解析】解：因为|x −1|>1，所以x −1>1或x −1<−1，解得x >2或x <0， 因为x >3⇒x >2或x <0，但x >2或x <0推不出x >3， 所以“x >3”是“|x −1|>1”的充分不必要条件． 故选：A ．不等式|x −1|>1的解为x >2或x <0，再根据充分必要条件的概念，结合小范围能推出大范围，但反过来不成立，即可得解．本题考查充分、必要条件的判断，绝对值不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D 不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．【解答】解：对于A，取a=1，b=−1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=−1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1>0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选：C．16.【答案】B【解析】解：因为x>√2⇒x>1，而x>1推不出x>√2，所以x>√2的一个必要不充分条件为x>1．故选：B．根据必要不充分条件的概念，结合小范围能推出大范围，但反过来不成立，即可得解．本题考查充分、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】D【解析】解：当a−2=0，即a=2，原不等式即为−4≤0恒成立；当a−2>0，即a>2时，y=(a−2)x2−2(a−2)x−4为开口向上的抛物线，原不等式不恒成立；当a−2<0，即a<2时，只需Δ≤0，即4(a−2)2+16(a−2)≤0，解得−2≤a<2．综上可得，a的取值范围是[−2,2]．故选：D．讨论a−2=0，a−2<0，a−2>0，结合二次函数的图象和判别式的符号，解不等式可得所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】B【解析】解：由x2+2xy−3=0，可得y=3−x22x，那么2x+y=3−x22x +2x=3+3x22x=32x+3x2≥2√32x×3x2=3，当且仅当x=1，y=1时取“=”；故得2x+y的最小值是3．故选：B．根据x2+2xy−3=0，消去y，利用基本不等式得出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．19.【答案】BD【解析】解：对于A，当x<0时，该命题显然不成立，故A错误；对于B，取x=10，显然该不等式成立，故B正确；对于C，|x+1|≥0恒成立，故C错误；对于D，|x+1|≥0恒成立，故D正确．故选：BD．根据全称量词命题以及存在量词命题真假的判断方法，结合不等式的解法，逐项判断即可．本题考查全称量词命题以及存在量词命题真假的判断方法，属于基础题．20.【答案】BC【解析】解：对于A ，取n =7，则6n +7=49不是质数，故A 错误；对于B ，“梯形的对角线相等”即为“任意梯形的对角线相等”是全称量词命题，故B 正确；对于C ，x 2+x +1=(x +12)2+34>0显然恒成立，故C 正确；对于D ，2−x x+3≥0⇒x−2x+3≤0⇔{(x −2)(x +3)≤0x +3≠0，解得−3<x ≤2，故D 错误．故选：BC ．根据全称量词命题的概念以及真假的判断方法，分式不等式的解法求解． 本题考查全称量词命题真假的判断以及分式不等式的解法，属于基础题．21.【答案】36【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，再在A ，B ，C ，D 四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，分别求出每一种的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的综合应用，注意要先分组，再排列． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，有C 32=3种分组方法，再在A ，B ，C ，D 四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，有C 42A 22=12种情况，则3人不同的乘坐方式有3×12=36种； 故答案为：36．22.【答案】16【解析】 【分析】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．由题意可知需要分两类，从A ，B 两门课程选1门或从A ，B 两门课程选2门，根据分类计数原理可得． 【解答】解：第一类，从A ，B 两门课程选1门，再从C ，D ，E ，F 中选2门，共有C 21C 42=12种，第二类，从A，B两门课程选2门，再从C，D，E，F中选1门，共有C22C41=4种，根据分类计数原理，可得共有12+4=16种，故答案为16．23.【答案】8【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①，甲先选座位，可以在4个座位中任选1个，有4种情况，②，乙与甲不能相邻，则乙有1种选法；③，将丙、丁安排在剩下的2个座位，有A22=2种情况，则有4×1×2=8种不同的选法；故答案为：8据题意，分3步进行分析：①，甲先选座位，可以在4个座位中任选1个，②，乙与甲不能相邻，则乙有1种选法，③，将丙、丁安排在剩下的2个座位，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．24.【答案】4620【解析】解：若甲校分配2名老师，剩余5位老师分成三组，则可以分成1，1，3或1，2，2，⋅A33，此时共此时甲校有C72，若分成1，1，3，则有C53A33，若分为1，2，2，则有C51⋅C422⋅A33)=21×150=3150，有C72(C53A33+C51⋅C422若甲校分配3名老师，剩余4位老师分成三组，则可以分成1，1，2，此时甲校有C73，若分成1，1，2，则有C42A33，此时有C73C42A33=1260，若甲校分配4名老师，剩余1位老师分成三组，则可以分成1，1，1，此时甲校有C74，若分成1，1，1，则有A33，此时有C74A33=210，合，3150+1260+210=4620．故答案为：4620．分别讨论甲校分，2名，3名，4名老师，剩余老师然后分成3组进行计算即可．本题主要考查排列组合的简单计数问题，根据甲校分配人数，然后进行分类讨论是解决本题的关键，是中档题．25.【答案】−1【解析】解：集合A ={0,|a|}，集合B ={1,a}， 又∵A ∩B ={1}， ∴|a|=1，a ≠1， 解得a =−1， 故答案为：−1．由A ∩B ={1}，可得1∈A ，进而可得|a|=1，a ≠1，解得即可．本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题，解答是要注意集合元素的互异性，是基础题．26.【答案】9【解析】解：由x >0，y >0，且x +4y =1， 可得x+yxy =(x +4y)(1y +1x )=5+xy +4y x≥5+2√x y ⋅4y x=9，当且仅当x =2y =13时取等号， 所以x+yxy 的最小值为9． 故答案为：9．由乘“1”法和基本不等式，计算可得x+yxy 的最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘“1”法的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．27.【答案】{a|a ≤0或a ≥4}【解析】解：根据题意，命题“∃x ∈R ，使4x 2+(a −2)x +14≤0是真命题，即不等式4x 2+(a −2)x +14≤0的解集非空， 则有△=(a −2)2−4≥0， 解可得：a ≤0或a ≥4，即a 的取值范围为{a|a ≤0或a ≥4}； 故答案为：{a|a ≤0或a ≥4}．根据题意，分析可得不等式4x 2+(a −2)x +14≤0的解集非空，由此可得△=(a −2)2−4≥0，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及特称命题的定义，属于基础题．28.【答案】480【解析】解：∵C ∩B ≠⌀， ∴C ≠⌀，B ≠⌀，∵集合A ={1,2,3,…,9}，C ⊆A ，C ≠⌀， ∴满足条件的集合C 有29−1=511．A 中含有，B 中不含有时的元素为5，6，7，8，9． ∵{5,6,7,8,9}的非空子集有25−1=31，∴满足条件C ⊆A ，C ∩B ≠⌀的集合C 的个数有511−31=480． 故答案为：480．先考虑A 的所有子集，再求出对应集合的子集，故可求满足条件的集合C 的个数． 本题以集合为载体，考查集合的子集的个数，属于基础题．29.【答案】解：集合A ={x|x 2+2x −8≤0}={x|−4≤x ≤2}，集合B ={x|x +5>3}={x|x >−2}， (1)A ∪B ={x|x ≥−4}；(2)因为A ∩B ={x|−2<x ≤2}， 所以∁R (A ∩B)={x|x ≤−2或x >2}．【解析】化简集合A 、B ，根据并集、交集和补集的定义计算即可． 本题考查了集合的化简和运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．30.【答案】解：(1)由x >0，y >0，可得2x +3y =1≥2√6xy ，所以xy ≤124， 当且仅当x =14，y =16时，xy 取得最大值124；(2)若x>0，则y=x2+x+12x =12(x+1x+1)≥12(2+1)=32，当且仅当x=1时，y取得最小值32．【解析】(1)直接运用基本不等式，得到关于xy的不等式，再确定xy的最大值即可；(2)将函数的式子展开，再运用基本不等式求出最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，是一道基础题．31.【答案】解：(1)有题可知：A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，∵A∩B={2}，∴2∈B，将2带入集合B中得：4+4(a−1)+(a2−5)=0解得：a=−5或a=1当a=−5时，集合B={2,10}符合题意；当a=1时，集合B={2,−2}，符合题意综上所述：a=−5，或a=1．(2)若A∪B=A，则B⊆A，∵A={1,2}，∴B=⌀或B={1}或{2}或{1,2}．若B=⌀，则△=4(a−1)2−4(a2−5)=24−8a<0，解得a>3，若B={1}，则{△=24−8a=0x=−2(a−1)2=1−a=1，即{a=3a=0，不成立．若B={2}，则{△=24−8a=0x=−2(a−1)2=1−a=2，即{a=3a=−1，不成立，若B={1,2}.则{△=24−8a>01+2=−2(a−1)1×2=a2−5，即{a<3a=−12a=±√7，此时不成立，综上a>3．【解析】(1)根据条件A∩B={2}，得2∈B，建立方程即可求实数a的值．(2)A∪B=A，等价为B⊆A，然后分别讨论B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，将条件A∪B=A转化为B⊆A是解决本题的关键．32.【答案】解：(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由题意可得，xy=200，则y=200x，又因为矩形草坪的长比宽至少多10米，则200x≥x+10，即(x+20)(x−10)≤0，解得−20≤x≤10，由x>0，所以0<x≤10，故草坪宽的最大值为10米；(2)设草坪的宽为x米，长为y米，由题意可得，xy=200，则y=200x，因为草坪四周及中间的宽度均为2米，则整个绿化面的长为2x+6米，宽为200x+4米，所以绿化面积为(2x+6)(200x +4)=424+8x+1200x≥424+2√8x⋅1200x=424+80√6，所以整个绿化面积的最小值为424+80√6平方米．【解析】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，则y=200x，由题意，列出关于x的不等式，求解即可；(2)求出整个绿化面的长为2x+6米，宽为200x+4米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．33.【答案】解：(1)若a=2，B是关于x的不等式2x2−3x+1>0，解得B={x|x<12或x>1}，非空集合A={x|−m<x<2m−3}，A⊆B，可得{−m<2m−32m−3≤12或−m≥1，解得1<m≤74；(2)不等式ax2−(a+1)x+1<0等价于(ax−1)(x−1)<0，a∈R；当a=0时，不等式化为x−1>0，解得x>1；当a>0时，不等式等价于(x−1a)(x−1)<0，若0<a<1，则1a >1，解得1<x<1a；若a=1，则1a=1，解得x∈⌀；若a>1，则1a <1，解得1a<x<1；当a<0时，不等式等价于(x−1a)(x−1)>0，且1a <0<1，解得x<1a或x>1；综上，a=0时，不等式的解集为(1,+∞)，0<a<1时，不等式的解集为(1,1a)；a=1时，不等式的解集为空集；a>1时，不等式的解集为(1a,1)；a<0时，不等式的解集为(−∞,1a)∪(1,+∞)．【解析】(1)将a=2代人不等式求解，再结合A⊆B，建立不等关系求解即可；(2)不等式化为(ax−1)(x−1)<0，讨论a的取值，从而求得不等式的解集．本题考查了一元二次不等式与对应方程关系应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．。