高一数学 三角函数的图像及性质
三角函数一、知识梳理1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：2.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.结论：如果函数)()(k x f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的周期T=2k ；如果函数)()(x k f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的对称轴是k x k k x x =-++=2)()(3.图象的平移对函数y ＝A sin （ωx ＋ϕ）＋k （A ．＞．0．，． ω．＞．0．，． ϕ．≠0．．，． k ．≠0．．）．，其图象的基本变换有： （1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的.A ＞1，伸长；A ＜1，缩短. （2）周期变换（横向伸缩变换）：是由ω的变化引起的.ω＞1，缩短；ω＜1，伸长. （3）相位变换（横向平移变换）：是由φ的变化引起的.ϕ＞0，左移；ϕ＜0，右移. （4）上下平移（纵向平移变换）： 是由k 的变化引起的.k ＞0， 上移；k ＜0，下移二、方法归纳1.求三角函数的值域的常用方法：① 化为求代数函数的值域；② 化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域； ③ 化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；2.三角函数的周期问题一般将函数式化为()y Af x ωϕ=+（其中()f x 为三角函数，0ω>）．3.函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数k ϕπ⇔=()k ∈Z ； 函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数2k πϕπ⇔=+()k ∈Z函数cos()y A x ωϕ=+为偶函数k ϕπ⇔=； 函数cos()y A x ωϕ=+为奇函数2k πϕπ⇔=+()k ∈Z4.函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调增区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+()k ∈Z 解出，单调减区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+()k ∈Z 解出； 函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω<>的单调增区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+()k ∈Z 解出， 单调减区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+()k ∈Z 解出.5.对称性：（1）函数sin()y A x ωϕ=+对称轴可由2x k πωϕπ+=+()k ∈Z 解出；对称中心的横坐标是方程x k ωϕπ+=()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（ 即整体代换法） （2）函数()cos y A x ωϕ=+对称轴可由x k ωϕπ+=()k ∈Z 解出；对称中心的横坐标是方程2x k πωϕπ+=+()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（ 即整体代换法）（3）函数()tan y A x ωϕ=+对称中心的横坐标可由2kx ωϕπ+=()k ∈Z 解出， 对称中心的纵坐标为0，函数()tan y x ωϕ=+不具有轴对称性.三、课堂例题精讲例1.下列函数中，周期为2π的是（ ） A.sin 2x y = B.sin 2y x =C.cos4x y = D.cos 4y x =答案：D例2.已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A.关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B.关于直线x π=4对称 C.关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D.关于直线x π=3对称 答案：A.解析：由题意知2ω=，所以解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经验证可知它的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭.例3.函数的最小正周期和最大值分别为（ ）A.π，1B.π2C.2π，1D.2π2答案：A.解析：x x x x x y 2cos 232sin 212cos 212cos 232sin =⋅-⋅+⋅+⋅=，∴T =π，y max =1 例4.函数[]()sin 3(π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（ ）A.5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B.5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C.π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D.π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，答案：D.解析：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=3sin 2)(x x f ，.0,6656,0),(65262),(22322符合题意由此可得得令得令⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π≤≤π-=∈π+π≤≤π-π∈π+π≤π-≤π-πx k k k x k k k x k Z Z例5.将⎪⎭⎫⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 答案：A.解析：看向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D.例6.函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 答案：C解析：法一：∵函数sin y x =的一个单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0， 又函数sin y x =是以π为周期的函数，∴函数sin y x =的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+ππ2,k k （k ∈Z ）.当k =1时，函数sin y x =的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C. 法二：作出函数sin y x =的图象，由图易知sin y x =的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C.法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A 、B 两个选择支的端点值相等，而选择支D 的左端点值大于右端点值， 所以根据单调递增的概念判断，可排除A 、B 、D ，故选C.例7.函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .答案： ω=3例8.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()2cos 21g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同.若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是 . 答案：3[-,3]2解析：由题意知，2ω=，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin (-)=-62π，最大值为3sin =32π， 所以()f x 的取值范围是3[-,3]2. 例9.定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 . 答案：23解析“线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23. 故线段P 1P 2的长为23.例10.设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)mx =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合.解析：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1 由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，. 例11. 已知函数()sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点M )0,43(π对称，且在区间[0，2π]上是单调函数，求ϕ和ω的值. 解析：由)(x f 是偶函数，得)()(x f x f =-，故sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x 都成立， 且0,cos 0.ωϕ>∴=依题设0≤ϕ≤π，cos .2πϕ∴=由)(x f 的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ取0)43(),43()43(0=∴-==πππf f f x 得 0)43cos(),43cos()243sin()43(=∴=+=x x x f ωωπωπ又0>ω，得......2,1,0,243=+=k k x ππω ...2,1,0),12(32=+=∴k k ω当0=k 时，)232sin()(,32πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数.当1=k 时，)22sin()(,2πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数. 当k ≥2时，)2sin()(,310πωω+==x x f 在]2,0[π上不是单调函数. 所以，综合得32=ω或2=ω.四、课后作业1.函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A.233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2.已知函数()f x =Acos （x ωϕ+）的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ） A.23-B .23 C.32 D. 32-3. 设ω>0，函数f （x ）=2sinωx 在]4,3[ππ-上为增函数，那么ω的取值范围是 .4.判断方程sinx=π100x实数解的个数.5.求函数y=2sin )4(x -π的单调区间.6.已知函数()f x =xx x 2cos 1cos 3cos 224+-，求它的定义域和值域，并判断奇偶性.100л7.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值.8.设()f x = x x 2sin 3cos 62-， （1）求()f x 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α54的值.9. 求下列函数的值域： （1）y=x x x cos 1sin 2sin -； （2）y=sinx+cosx+sinxcosx ； （3）y=2cos )3(x +π+2cosx.10.已知函数f （x ）=－sin 2x+sinx+a ，（1）当f （x ）=0有实数解时，求a 的取值范围； （2）若x ∈R ，有1≤f （x ）≤417，求a 的取值范围.11.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.参考答案： 1.答案：A 2.答案：C 3.答案：203ω<≤ 4.答案：199 解析：方程sinx=π100x 的实数解的个数等于函数y=sinx 与y=π100x 的图象交点个数， ∵|sinx|≤1∴|π100x|≤1， |x|≤100л 当x≥0时，如下图，此时两线共有100个交点， 因y=sinx 与y=π100x都是奇函数，由对称性知当x≤0时，也有100个交点， 原点是重复计数的，所以只有199个交点. 5.解析：y=2sin )4(x -π可看作是由y=2sinu 与u=x -4π复合而成的.又∵u=x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ），得-2k π-4π≤x ≤-2k π+43π （k ∈Z ）. 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin )4(x -π 的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π （k ∈Z ）， 得2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π（k ∈Z ）， 解得-2k π-45π≤x ≤-2k π-4π （k ∈Z ），即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin )4(x -π的递增区间. 综上可知：y=2sin )4(x -π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）. 6.解析：由题意知cos2x≠0，得2x≠k π+2π， 解得x≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以()f x 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x x ,42ππ且,. 又()f x =xx x 2cos 1cos 3cos 224+-=x x x 2cos )1)(cos 1cos 2(22--=cos 2x-1=-sin 2x.又定义域关于原点对称， ∴()f x 是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x≠42ππ+k ，k ∈Z . ∴-sin 2x≠-21.所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.7.解析：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.因此，函数()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）解法一：因π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上增，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上减，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-.解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.8.解析：（Ⅰ）1cos 2()622xf x x +=3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 故()f x的最大值为3；最小正周期22T π==π.（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π.从而4tan tan 53απ==.9.解析：（1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=xx x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x+2cosx=22)21(cos +x -21.于是当且仅当cosx=1时取得y max =4，但cosx≠1，∴y ＜4，且y min =-21，当且仅当cosx=-21时取得. 故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21. （2）令t=sinx+cosx ，则有t 2=1+2sinxcosx ，即sinxcosx=212-t .有y=f （t ）=t+212-t =1)1(212-+t .又t=sinx+cosx=2sin )4(π+x ， ∴-2≤t≤2.故y=f （t ）=1)1(212-+t （-2≤t≤2）， 从而知：f （-1）≤y≤f （2）， 即-1≤y≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y=2cos )3(x +π+2cosx=2cos3πcosx-2sin 3πsinx+2cosx=3cosx-3sinx =23⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos )6(π+x . ∵)6cos(π+x ≤1，∴该函数值域为［-23，23］.10.解析：（1）f （x ）=0，即a=sin 2x －sinx=（sinx －21）2－41∴当sinx=21时，a min =－41，当sinx=－1时，a max =2， ∴a ∈[41-，2]为所求.（2）由1≤f （x ）≤47得⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≤1sin sin 417sin sin 22x x a x x a∵ u 1=sin 2x －sinx+2)21(sin 417-=x +4≥4u 2=sin 2x －sinx+1=43)21(sin 2+-x ≤3 ∴ 3≤a≤4.11.解析：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤max min ()3()2f x f x ==，∴.（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，.12.解析：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］， 而f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b . 当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b 解之得a =6，b =－5.当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b 解之得a =－6，b =1.。
第1课时三角函数的图象和性质课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
5. 函数 f(x)＝4sinπ3－2x的单调减区间是______－__kπ_－__1_π2_，__－__k_π_＋__51_π2__(k_∈__Z_)_____． 【解析】 令 t＝π3－2x，它为减函数．当 y＝sint 单调递增时，t∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ， k∈Z，所以令－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－1π2－kπ≤x≤51π2－kπ，k∈Z，故 原函数的单调减区间为－1π2－kπ，51π2－kπ(k∈Z)．
(多选)对于函数 f(x)＝12(sin x＋cos x)－12|sin x－cos x|，下列说法中正确的是 ( BD )
A. f(x)的值域为[－1,1] B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值 C. 函数 f(x)的最小正周期是 π D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】对于函数 f(x)＝sin6x＋π4，令 x＝－2π4，可得 f(x)＝0，故函数 f(x)的图象关 于点－2π4，0对称，故 A 正确；令 x＝－π8，可得 f(x)＝－1，是最小值，故函数 f(x)的图 象关于直线 x＝－π8对称，故 B 正确；将函数 f(x)＝sin6x＋π4的图象沿 x 轴向右平移2π4个 单位长度，可得函数 y＝sin6x－6·2π4＋π4＝sin 6x 的图象，故 C 正确；当 x∈2π4，72π4时， 6x＋π4∈π2，2π，此时 f(x)不单调，故 D 错误．
3. (多选)下列函数中，最小正周期为 π 的有( ABD )
A. y＝sin2x＋π2 C. y＝tan2x
B. y＝cos2x＋π2 D. y＝|sinx＋cosx|
【解析】 由于函数 y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，故 A 正确；由于函数
高一数学正弦函数的性质与图像PPT课件
x
0
π
2
π
3π
2
2
sinx 0
1
0
-1
0
1sinx 1
2
1
0
1
2y . 1.
y1s i nx x[,0 , 2 π
.
.
o
π
.
3π
-1
2
2
2
x
ysinxx[,0,2 π ]
1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图
. 2. y
1
y=sinx+2, x∈[0， ]
.
.
.
o
π
3π
-1
2
2
2
出十篇纸来，去交给福晋。”“丫鬟，您要交哪十篇呢？”“你看着拿吧，反正够十篇就行了！其它的，你帮我收到小柜里，也别扔掉 了。”吟雪既不认字也不会写字，当然不知道哪些写得好哪些写得坏，反正丫鬟说让交十篇，于是她就从表面上随便捡了捡，凑够了十 篇，赶快送到了霞光苑。福晋从红莲的手中接过据说是年侧福晋交来的十篇《女诫》，心中暗喜，谢天谢地，等了十来天，终于等到了 天仙妹妹交上来的处罚成果！于是她长长地出了壹口气，随意看了看这些纸页。雅思琦是好奇年妹妹这字写得如何，于是任凭她左看看、 右看看，看了半天她也看不懂这些字写得到底如何，不过，怎么看着不像平常见到的那些汉字方方正正的？全都是乱糟糟的，不像是写 出来，反而像是画出来似的。反正看也看不明白，她就直接让红莲将这十篇《女诫》送到了朗吟阁。第壹卷 第117章 重罚今天王爷没 有府里用晚膳，回到府里的时候，已经快要到壹更天了。当他进入书房之后，立即就看到了摆在桌子上的这十篇《女诫》，茫然不知所 措。秦顺儿见状，赶快上前壹步：“启禀爷，这是福晋送来的，说是年侧福晋受处罚而写的十篇《女诫》，请爷过目。”他这才想起来， 上次给福晋布置了处罚年氏的事情，这些日子壹忙，他都快把这件事情忘记了，看来福晋用的是抄书的处治法子！疑惑之间，他随手拿 起来看了壹眼。不看还好，这壹看，他简直就是气不打壹处来！上次她写家信的时候用的是颜体，他就曾经无情地批驳过她：还没有学 会走就想学跑。现在再看到冰凝初学米芾的狂草，这回他已经实在是懒得再批发成语了，而是惜字如金地只给了四字：东施效颦！也该 着冰凝走背运，吟雪这个不识字的丫环因为不知道丫鬟哪篇写得好，以为凭丫鬟那么出众的才学，哪壹篇写得都壹样呢，于是就随便捡 了十篇。可是她随便那么壹捡的那些，居然就是丫鬟刚刚开始学习米芾的那前十几篇，虽然后面那三、四十篇也没有达到多高的水平， 但总比这初练的十几篇要强很多。对于年氏小小年纪，不知天高地厚的表现，他心中的憎恶情绪陡然升起，当即认为罚抄《女诫》实在 是太轻了！于是随手将这十篇《女诫》摔到秦顺儿的手里，同时吩咐他：“给福晋传话：就凭这几篇《女诫》，根本起不起惩戒作用！ 必须再加重处罚！”福晋得到爷的吩咐，也不知道天仙妹妹这书抄得哪个方面不合爷的意，又惹了爷哪里不痛快。可是还让她再加重处 罚的措施，简直是难为死她了！壹方面她觉得冰凝还是个小孩子，爷这么大人了，何苦跟个孩子置气呢！另壹方面，爷的话就是金科玉 律，必须不折不扣地遵照执行！被逼无奈的雅思琦足足憋了两天时间，才算勉强又凑出来了两条处罚措施：罚三个月的月银，禁足
高一数学三角函数的图象与性质(二)
三角函数的图象与性质（二）一、基本知识：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．二、例题分析：【例1】(2004年某某卷)设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象与性质以及分析问题与解决问题的能力．“会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型”，此类问题的求解一般是先找出周期，定出A 与是的值，最后确定 的值．【标准答案】A【例2】 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．分析 求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T 2=3π．得 T=6π，所以ω=13．所以y=2sin(x 3+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(x 3 ＋π6）．【例3】 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)（2）求这个函数关于直线x=2解：（1）T=13π3－ π3=4π．∴ω=2πT = 12．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x2沿x 轴向右平移 π3而得到的．∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）．点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用． 【例4】 已知函数y=12cos 2x+ 32sinxcosx+1 (x ∈R)．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.解题突破口：利用三角公式进行恒等变形化简为)sin()(ϕω+=t A x f ,（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．解 (1)y= 12·1+cos2x 2 + 32·12 sin2x +1= 12sin(2x+π6)+ 54．当2x+π6 =2k π+π2 ，即x=k π+π6，k ∈Z 时，y max = 74．(2）由y=sinx 图象左移π6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移 54个单位即可．点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化． 【例5】已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.（I ）函数)(x f 的最小正周期和最大值;（II ）在给出的直角坐标系中，画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能、“五点”法作图以及运算能力. 解题突破口：要求函数数)(x f 的最小正周期和最值,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式. 要画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.主要用“五点”法作图.【标准答案】（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=)42sin(21)4sin 2cos 4cos2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π- 8π-8π 83π 85π y1 21- 1 21+ 1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是【例6】(2003年卷)已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值.【思路串讲】本题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力. 解题突破口：要求函数数)(x f 的最小正周期和最值,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式.【标准答案】（Ⅰ）因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T ……6分（Ⅱ）因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1.所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.2……13分【例7】（2003年春季卷）已知函数)(,2cos 4sin 5cos 6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.【思路串讲】本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.解题突破口：要求函数数)(x f 的定义域,转化为02cos ≠x ,要求函数数)(x f 的值域,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式.【标准答案】由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos 624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos 6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或. 三、训练反馈：1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ D ）A ．y=cosx+1B ．y=cosx －1C ．y=－cosx+1D ．y=－cosx －12．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （ B ） A ． (12k π，0)， k ∈Z B ．（13k π，0）， k ∈ZC ．（14k π，0）， k ∈ZD ．（k π，0），k ∈Z3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为 （ B ）A ．x=－ π2B ．x=－ π4C ．x= π8 D ．x=π4．为了得到函数y=3sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π4)的图象上所有点（ B ）A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．5．要得到y=sin(2x －π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ D ）A ．向左平移π3个单位B ． 向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ． 向右平移π6个单位6．函数y=12sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 （ B ）A ．θ=2k π+π2B ．θ=k π+π2 C ．θ=2k π+πD ．θ=k π+π(k ∈Z)7．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ D ） A ．y=sin(－2x+π3) B ．y=sin(－2x －π3)C ．y=sin(－2x+ 2π3)D ． y=sin(－2x －2π3)8．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ D ）A ．sin(1+x)B ． sin(－1－x)C ．sin(x －1)D ． sin(1－x)9．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是 （A ）10．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是．4π-BACD11．将y=sin(3x －π6)的图象向（左、右）平移个单位可得y=sin(3x+π3)的图像．左，π612．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－ 12，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式． y=12 sin(3x+π6)13．已知函数y=3sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合； （2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（1）{x ｜x=π3+2k π，k ∈Z}； （2）将y=sinx 的图象向左平移π6，得到函数y=sin(x+π6)的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+π6)的图象．word 11 / 11。
高一数学讲义 第六章 三角函数
高一数学讲义 第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1； 当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-； 当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1； 当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性． 解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+， 则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--， 则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立； 若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间． 解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值． 解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值： （1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠； （3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =． （2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =． 说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点． 基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+； （2）()sin f x x x =； （3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++； （7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间： （1）sin 0x >； （2）cos 0x <； （3）1sin 2x >； （4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++； （3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数． 正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像． 例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期： （1）()()tan 0y ax b a =+≠； （2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小； （2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小； （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，； （5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。
高一必修3三角函数知识点
高一必修3三角函数知识点三角函数是高中数学中的重要内容之一，在高一必修3课程中，我们将学习一些基本的三角函数知识点。
本文将对这些知识点进行详细介绍和总结。
一、角的概念角是由一条射线绕着一个固定点旋转而形成的图形，常用小写字母表示，如∠ABC。
角可以分为正角、负角、零角等。
二、弧度制弧度制是角度的另一种衡量方式，用弧长与半径的比值表示。
1弧度等于角所对的弧长等于半径的弧长。
三、三角函数的定义三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
以一个锐角∠θ为例，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
四、基本三角函数的性质1. 正弦函数和余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。
2. 正弦函数和余弦函数的周期都是360°（或2π弧度）。
3. 正切函数的定义域为所有余切不为0的实数，正切函数的周期是180°（或π弧度）。
4. 正弦函数和余弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，而正切函数是奇函数。
5. 正弦函数是周期函数，且在0°到180°（或0到π弧度）的区间上是增函数，180°到360°（或π到2π弧度）的区间上是减函数。
五、特殊角的三角函数值1. 30°和150°的三角函数值：正弦函数值为1/2，余弦函数值为√3/2，正切函数值为1/√3。
2. 45°和135°的三角函数值：正弦函数值为√2/2，余弦函数值为√2/2，正切函数值为1。
3. 60°和120°的三角函数值：正弦函数值为√3/2，余弦函数值为1/2，正切函数值为√3。
六、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像为一条连续的曲线，振幅为1，且在0时取得最小值。
2. 余弦函数的图像为一条连续的曲线，振幅为1，且在0时取得最大值。
3. 正切函数的图像为一组周期为180°的射线，无定义点为45°和225°，其余每隔180°重复。
高一数学春季教材班第1讲 三角函数的图像与性质
三角函数的图像和性质【知识要点】【典型例题】例1（1）求函数x x y tan log 221++=的定义域（2）求函数)sin(cos x y =的定义域（3）求函数2cos x y x=+的值域 例2判断下列函数的奇偶性： （1）2f (x )|sin x|xtan x =-；（2）11cos x(sin x )f (x )sin x -=- 例3求下列函数的单调增区间：（1）24x y tan()π=-； （2）24y sin(x )π=-；（3）1234x y log cos()π=+ 例4已知函数a x x x f ++-=sin sin )(2（1）当0)(=x f 有实数解时，求实数a 的取值范围（2）若417)(1≤≤x f 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围 例5（1）证明函数()sin ()f x x x R =∈的最小正周期为2π（2）求函数()sin cos f x x x =+的最小正周期（3）求函数()sin f x x =的最小正周期例6试问方程sin 100x x =是否有实数解？若有，请求出实数解的个数？若没有，请说明理由已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 函数cos y x x =-的部分图象是已知函数3sin )(xx f π=，则=++++)2003()3()2()1(f f f fA 、2003B 、3C 、0D 、3-设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ） A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，数小正周期为π2 D ．非周期函数 函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、以上都不对 设f (x )Asin(x )(A ωϕω=+，为正常数，x R )∈，则00f ()=是f (x )为奇函数的（ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 下列函数中，既是区间02(,)π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）A 、y x tan x =B 、y |sin x|=C 、2y cos x =D 、y sin|x |= 函数23y sin(x )π=-+的递减区间是＿＿＿＿＿；函数y lg cos x =的递减区间是＿＿＿＿ 函数1sin 23sin 4-+=x x y 的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿。
高一数学三角函数图像知识点
高一数学三角函数图像知识点高一数学学习中，三角函数图像是一个非常重要的内容。
掌握了三角函数图像的基本知识点，不仅可以帮助我们理解三角函数的性质，还能够在解题中进行快速推导和判断。
下面就让我们来一起探讨高一数学中的三角函数图像知识点。
一、正弦函数的图像正弦函数是最早接触的三角函数之一，其图像具有周期性和对称性。
一般来说，我们首先需要掌握正弦函数的基本图像，即sin(x)的图像。
在坐标系中以原点为中心，沿着x轴正方向画出一段长度为2π的区间。
从图像上可以观察到，正弦函数在(0,0)处取得最小值0，在(π,0)处取得最大值1，在(2π,0)处又取得最小值0。
图像曲线是上下波动、连续不断的。
同时，正弦函数的图像关于y轴是对称的。
这是因为sin(-x) = -sin(x)。
二、余弦函数的图像余弦函数是正弦函数的对称函数，其图像也具有周期性和对称性。
同样在坐标系中以原点为中心，画出一段长度为2π的区间。
与正弦函数不同的是，余弦函数的最小值是-1，最大值是1，分别在(0,1)和(π,-1)处取得。
同样地，图像也是上下波动、连续不断的。
而余弦函数的图像关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。
三、正切函数的图像正切函数是另一个重要的三角函数，其图像具有特殊的性质。
同样在坐标系中以原点为中心，画出一段长度为π的区间。
正切函数的图像没有确定的最大值或最小值，它在每个周期内反复逼近无穷大和负无穷大。
同时，正切函数的图像在每个周期内都有一个垂直渐近线（即x=kπ+π/2，其中k为整数），这个垂直线将图像分为多个相同的部分。
与之相关的是，正切函数的图像是关于原点对称，即tan(-x) = -tan(x)。
四、割函数的图像割函数是余切函数的倒数，其图像也非常有特点。
同样在坐标系中以原点为中心，画出一段长度为π的区间。
割函数的图像没有确定的最大值或最小值，它在每个周期内反复逼近无穷大和负无穷大。
同时，割函数的图像在每个周期内也有一个垂直渐近线，这个垂直线将图像分为多个相同的部分。
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值【答案】（1）ω=2，；（2）.【解析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线对称，结合可得φ 的值．（2）由条件求得再根据的范围求得的值，再根据，利用两角和的正弦公式计算求得结果．试题解析：（1）因为f(x)图像上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期，从而，又因f(x)的图象关于直线对称，所以，又因为得，所以.（2）由（1）得所以，又得所以，因此.【考点】三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数的图像与性质，角的变换，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系（平方关系）.2.不等式的解集为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换.由得：，故不等式的解集为.【考点】三角函数的恒等变换，三角函数的性质.3.函数的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】的对称轴方程为,即令，得.【考点】诱导公式、三角函数的图像与性质.4.已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案】(1);(2)最大值为，最小值为．【解析】解题思路：利用两角和与差的三角公式和二倍角公式及其变形化成的形式，再求周期与最值.规律总结：涉及三角函数的周期、最值、单调性、对称性等问题，往往先根据三角函数恒等变形化为的形式，再利用三角函数的图像与性质进行求解.注意点：求在给定区间上的最值问题，要注意结合正弦函数或余弦函数的图像求解．试题解析：(1)，故的最小正周期为π.(2)函数在闭区间上的最大值为，最小值为 .【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的图像与性质.5.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，又，又在区间上是增函数，所以有。
【考点】函数的单调性及三角函数值大小的比较。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(2)课件1北师大版必修4
故
故函数的值域为[- ,2].
上的值域.
第十五页，共51页。
【方法技巧】函数y=Asin(ωx+φ)+b的值域(最值)的求解策略 (1)x∈R时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),结合函数y=Asinx+b中sinx的有界 性求其值域. (2)x∈[a,b]时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),先依据x∈[a,b],求出“ωx+φ”的 范围,在此基础上类比函数y=Asinx+b值域的求法,结合函数单调性或函数图像 求解.
3因为x08由2知函数fx在02上是增加的在28上是减少的所以当x2时fx有最大值为当x8时fx有最小值为1故fx的值域为1类型二函数yasinx性质的综合应用典例已知函数fxasinxa00的图像在y轴上的截距为1它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为解题探究1怎样确定周期和a的值
1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(tú xiànɡ)与性
误的是 ( )
A.图像C关于直线x=- 对称 B.图像C关于点 对称12
C.函数f(x)在区间
内是增加的
D.由y=3cos2x得图像向右平移(pínɡ yí) 个单位长度可以得到图像C
第二十七页，共51页。
【解析】选C.A,B经验证可知正确(zhèngquè),C中当 不是正弦函数的单调区间,错误; D中y=3cos2x得图像向右平移 5个单位长度可以得到y=3cos
12 因为 正确(zhèngquè).
第二十八页，共51页。
【补偿(bǔcháng)训练】已知函数f(x)=2sin
(ω>0)的最小正周期为
π.
(1)求函数f(x)的递增区间.
【课件】第三课时+三角函数的图象变换及性质应用课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
6
)
再把正弦曲线向右平移1π8
个单位长度，得到函
O
y=sin3x
数 y=sin3(x－1π8)＝sin3x－π6的图象；
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 2 倍， 这时的曲线就是函数 y=2 sin3x－π6的图象，如图 5.6-7 所示.
巩固与练习 一、三角函数图象五点作图及的平移变换
பைடு நூலகம்
下面用“五点法”画函数 y=2 sin3x－π6在一个周期(T＝23π )内的图象，
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
y
y=sinx
O
y y=sin(ωx)
x
O
y y=sin(ωx+φ)
x
x
O
y
y=Asin(ωx+φ)
O
x
φ＞0 时所有点向左平移ωφ个单位 φ＜0 时所有点向右平移ωφ个单位
复习引入 你能结合筒车运动的例子解释函数 y=2sin3x＋π6+1.5 的实际意义吗？
筒车 筒车角 转前初 轴心距水 半径 速度 始位置 面高度
巩固与练习
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋 转，在旋转过程中，游客距离地面的高度 H 呈现周而复始的变化，因 此可以考虑用三角函数来刻画， 先观察运动状态动画 由右图不难看出游客距 离地面的的高度 H 随 时间 t 的变化，是一个 关于时间 t 的三角函数
巩固与练习 解
用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表，列出五个关键点； 第二步：在同一坐标系中描出各点； 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．