安徽大学2014-2015(1)高等数学A(二)、B(二)A卷
2015学年高考理科数学年安徽卷答案
【提示】根据题意， PAB 30 为定值，可得点 P 的轨迹为一以 AB 为轴线的圆锥侧面与平面 的交线，
则答案可求. 【考点】圆锥曲线的定义，线面位置关系. 8.【答案】B
【解析】因为 |a 1|| sin b | t ，所以 (a 1)2 sin2 b t2 ，所以 a2 2a t2 1 ，故当 t 确定时，t2 1 确定，
所以 a2 2a 唯一确定，故选 B. 【提示】根据代数式得出 a2 2a t2 1， sin 2b t2 ，运用条件，结合三角函数可判断答案.
5 【提示】由题意可得 2x y﹣4 0 ， 6﹣x﹣3y 0 ，去绝对值后得到目标函数 z 3x﹣4y 10 ，然后结合圆心 到直线的距离求得| 2x y﹣4 6﹣x﹣3y |的最大值.
【考点】简单的线性规划.
15.【答案】 2 2
【解析】设 F(c,0)
关于直线
y
n
面，故选 A.
【提示】根据线面垂直的判定定理得出 A 正确；B 根据面面垂直的性质判断 B 错误；根据面面平行的判断
定理得出 C 错误；根据面面平行的性质判断 D 错误.
【考点】直线、平面的位置关系.
5.【答案】D
【解析】因为
f
(x)
x
1 x
cos(x)
x
1 x
5/8
设平面 BB1C1C 的法向量为 n (x，y，z) ，
n
OB
2014-2015(1)期末考试试卷(A)(线性代数)
考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共1页)3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141B ，利用初等变换求1-A ，并求解求矩阵方程B AX =。
4、设有向量组TTTT---=--=-==)1,1,3,4(,)3,1,0,3(,)7,1,3,2(,)0,0,1,1(4321αααα，（1）求此向量组的秩和一个极大无关组；（2）将其余向量用极大无关组线性表示。
5、设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知4321,,,ηηηη是它的四个解向量，且T )2,2,0,1(1=η，T )8,2,5,1(432=++ηηη，求其通解。
6、λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解？无解？有无穷多组解？7、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 10相似，求b a ,的值。
8、求一个正交变换，将二次型2123222132142),,(x x x x x x x x f -+-=化为标准形。
9、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30201t t t t A ，且A 为正定矩阵，求t 的取值范围。
三、证明题（每小题6分，共12分）1、设向量组321,,ααα线性无关，321αααβ++=，证明：1αβ-、2αβ-、3αβ-线性无关。
2、设A 是正交矩阵，证明：A 的特征值为1或1-。
考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------满分8分得分4、满分8分得分5、满分8分得分满分8分得分7、满分8分得分8、满分8分得分满分8分得分三、证明题1、满分6分得分2、满分6分得分。
安徽大学20-21第一学期高数A(一)期末考试A卷
安徽大学2020—2021学年第一学期《高等数学A （一）》期末考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号一、选择题（每小题2分，共10分） 1. 下列说法正确的是（ ）.A. 若数列2{}nx 收敛，则数列{}n x 必收敛； B. 若数列{}n x 收敛，()f x 是(,)-∞+∞上单调有界函数，则{()}n f x 必收敛；C. 若数列{}n x 收敛于a ，数列{}n y 发散，则数列{}n n x y 必发散；D. 若数列{}n x 收敛于a ，则数列3{}n x 与数列31{}n x +均收敛于a .2. 下列关于函数2e 1xy x =-的渐近线说法正确的是（ ）.A. 有水平渐近线1y =；B. 有垂直渐近线1x =±；C. 有两条斜渐近线；D. 无垂直渐近线.3. 已知方程330x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围是（ ）. A. (,2)-∞-； B. (2,)+∞； C. (2,2)-； D. [2,2]-.4. 设函数()f x ，()g x 均在[0,1]上可导，且()()f x g x <，则必有（ ）. A. 11lim ()lim ()x x f x g x →→<； B. ()()f x g x ''<；C. 110()d ()d f x x g x x <⎰⎰； D.()d ()d f x x g x x <⎰⎰.5. 若()f x 为(,)-∞+∞上可导的偶函数，则()()d f x f x x '-=⎰（ ）.A ． 21()2f x C -+； B ．21()2f x C +； C ．21()2f x C -+； D ．21()2f x C +.院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------得分二、填空题（每小题2分，共10分）6. 极限sin lim sin n n nn n→∞+=- .7. 设22()||(1)x xf x x x +=-，则x = 是其可去间断点.8. 已知2()y f x =,2()arctan f x x '=,则1d d x yx == .9.函数 1()(2 (0)xf x t x =>⎰的单调增加区间为 .10. 星形线33cos ,(0)sin ,x a t a y a t ⎧=>⎨=⎩在t 从0到2π上的全长为 .三、计算题（每小题9分，共54分）11．求极限 (e1)lim xx x +-→.12.已知极限201xx →=，求a 和b .得分得分13．设()y y x =是由方程 y x y =确定的隐函数，求微分d y ．14.计算.15. 计算 120ln(1+)d (2)x x x -⎰.答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16. 计算 2 11d (1)x x x +∞+⎰.四、应用题（每小题8分，共16分）17. 求曲线2y x =上任一点处的曲率，并问哪一点处曲率最大？得分18. 设曲线xy a =，直线x a =，2 (0)x a a =>及0y =所围成的平面图形分别绕x 轴与y 轴旋转得到的旋转体体积分别记作x V 和y V ，问a 为何值时，x y V V =.五、证明题（每小题10分，共10分）19. 证明ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+ (0,0,)x y x y >>≠.得分答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------。
【真题】2014-2015年安徽省亳州市高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
2014-2015学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．﹣4C．4+4i D．2i2．（5分）已知X=log m n，则mn＞1是X＞1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（）A．B．C．1D．4．（5分）若等差数列{a n}有两项a m和a k（m≠k），满足a m=，a k=，则该数列前mk项之和为（）A．﹣1B．C．D．+15．（5分）下列命题正确的是（）A．函数y=sin（2x+）在区间内单调递增B．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2πC．函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形D．函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形6．（5分）已知实数x，y满足，设m=x+y，若m的最大值为6，则m的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．07．（5分）某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种D．144种8．（5分）若函数f（x）的导函数是f′（x）=x2﹣4x+3，则函数g（x）=f（a x）（0＜a＜1）的单调递减区间是（）A．[log a3，0]，[1，+∞）B．（﹣∞，log a3]，[0，+∞）C．[a3，a]D．[log a3，1]9．（5分）若对任意x∈[0，5]，不等式1+x≤≤1+x恒成立，则一定有（）A．m≤，n≥﹣B．m≤﹣，n≥﹣C．m≤﹣，n≥D．m，n＞﹣10．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：=m+n，4m+3n=2，且||=4，||=6，则•=（）A．36B．24C．24D．12二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为．12．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为．13．（5分）已知m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有+≥，且当=时等号成立，利用此结论，可求函数f（x）=+，x∈（0，1）的最小值为．14．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．15．（5分）我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出以下几个说法：①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．17．（12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（1）求证：平面MOE∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥PCB；（3）设二面角M﹣BP﹣C的大小为θ，求cosθ的值．18．（12分）近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级：在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．19．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+（﹣1）n（n∈N*）．（1）若b n=a2n﹣1﹣，求证：数列{b n}是等比数列并求其通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+＜3．21．（14分）已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．2014-2015学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．﹣4C．4+4i D．2i【解答】解：∵（x﹣2）i﹣y=1+i，∴，解得x=3，y=﹣1．（1+i）x+y=（1+i）2=2i．故选：D．2．（5分）已知X=log m n，则mn＞1是X＞1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若m=2，n=1，满足mn＞1，但X=log m n=0，则X＞1不成立，若m=，n=，则X=log m n=2＞1，但mn=＞1不成立，故mn＞1是X＞1的既不充分也不必要条件，故选：D．3．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（）A．B．C．1D．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为[1，]．因此可知：A，C，D皆有可能，而＜1，故B不可能．故选：B．4．（5分）若等差数列{a n}有两项a m和a k（m≠k），满足a m=，a k=，则该数列前mk项之和为（）A．﹣1B．C．D．+1【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的性质以及已知条件得d==，∵a1+（m﹣1）d=a m，∴a1=﹣（m﹣1）=，∴a mk=+（mk﹣1）=1，∴s mk==．故选：B．5．（5分）下列命题正确的是（）A．函数y=sin（2x+）在区间内单调递增B．函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期为2πC．函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形D．函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形【解答】解：∵x∈∴2x+∈（﹣，），∴y=sin（2x+）在区间内是先增后减，排除A；∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=，排除B；令x=代入得到cos（+）=cos=0，∴点（，0）是函数y=cos（x+）的图象的对称中心，满足条件．故选：C．6．（5分）已知实数x，y满足，设m=x+y，若m的最大值为6，则m 的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（k，k），联立，得B（﹣2k，k），由图可知，使目标函数取得最大值的最优解为A，取得最小值的最优解为B，则k+k=6，即k=3，∴m min=﹣2×3+3=﹣3．故选：A．7．（5分）某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种D．144种【解答】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果，∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果，根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选：C．8．（5分）若函数f（x）的导函数是f′（x）=x2﹣4x+3，则函数g（x）=f（a x）（0＜a＜1）的单调递减区间是（）A．[log a3，0]，[1，+∞）B．（﹣∞，log a3]，[0，+∞）C．[a3，a]D．[log a3，1]【解答】解：∵g（x）=f（a x），∴g′（x）=f′（a x）a x lna，∵0＜a＜1，∴lna＜0，a x＞0，当g′（x）=f′（a x）a x lna＜0，∴f′（a x）≥0，∵f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）∴f′（a x）=（a x﹣1）（a x﹣3）≥0，∴a x≤1，a x≥3，解得x≥0，或x≤log a3，故选：B．9．（5分）若对任意x∈[0，5]，不等式1+x≤≤1+x恒成立，则一定有（）A．m≤，n≥﹣B．m≤﹣，n≥﹣C．m≤﹣，n≥D．m，n＞﹣【解答】解：当m=0时，1+x≤化为1≤，对于任意x∈[0，5]不等式不恒成立，可排除A，当n=0时，不等式≤1+x化为≤1，对于任意x∈[0，5]不等式恒成立，可排除C，当m=﹣时，令f（x）=﹣1+，则对于任意x∈[0，5]恒成立，∴f（x）为增函数，则f（x）＞f（0）=0．即不等式≥1﹣恒成立．由此排除D，故选：B．10．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：=m+n，4m+3n=2，且||=4，||=6，则•=（）A．36B．24C．24D．12【解答】解：如图，根据已知条件：；∴；∴；∴①+②得，42=12（4m+3n）+（m+n）=；∴③；①×3+②×4得，144=144（m+n）+（4m+3n）=144（m+n）+2；∴④；∴联立③④可．故选：A．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为4．【解答】解：当S=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：P=2，S=1+=；当S=时，满足进行循环的条件，执行循环体后：P=3，S=1++=；当S=时，满足进行循环的条件，执行循环体后：P=4，S=1+++=2；当S=2时，不满足进行循环的条件，则输出P的值为4故答案为：4．12．（5分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为﹣．【解答】解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是T r+1=•（2x2）5﹣r•=（﹣1）r••25﹣r••x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3；=（﹣1）3••22••x；∴T3+1∴x的系数是﹣•22•=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）已知m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有+≥，且当=时等号成立，利用此结论，可求函数f（x）=+，x∈（0，1）的最小值为．【解答】解：∵m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有+≥，且当=时等号成立，∴f（x）=+=+=+≥=，当且仅当时等号成立，即当x=∈（0，1）时取等号，∴函数f（x）的最小值为：故答案为：14．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O﹣MNB的体积是．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得O（1，1，2），M（1，0，0），B（2，2，0），N（0，2，1），=（0，1，2），=（1，2，0），=（﹣1，2，1），||==，||==，cos＜＞==，sin＜＞==，=∴S△MNB==，设平面MNB的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，﹣1，4），∴点O到平面MNB的距离d===，∴三棱锥O﹣MNB的体积V===．故答案为：．15．（5分）我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出以下几个说法：①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为①②③④．【解答】解：①双曲线x2﹣=1中，∵e==，∴双曲线x2﹣=1是黄金双曲线，故①正确；②b2=ac，则e===，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=（舍），∴该双曲线是黄金双曲线，故②正确；③如图，F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b），且∠F1B1A2=90°，∴，即b2+2c2=（a+c）2，整理，得b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故③正确；④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，∴NF2=OF2，∴，∴b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此，2A+=，解得A=．由正弦定理，得b=，…（10分）由A=，由B=，可得sinC=，…（12分）∴S=ab•sinC==．17．（12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（1）求证：平面MOE∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥PCB；（3）设二面角M﹣BP﹣C的大小为θ，求cosθ的值．【解答】（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．因为OM∥AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．因为OE∩OM=O，OM⊂平面MOE，OE⊂平面MOE，所以平面MOE∥平面PAC；（2）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以BC⊥AC因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB；（3）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间坐标系．因为∠CBA=30°，PA=AB=2，所以CB=2cos30°=，AC=1．延长MO交CB于点D．因为OM∥AC，所以MD⊥CB，MD=1+=，CD=CB=．所以P（1，0，2），C（0，0，0），B（0，，0），M（，，0）．所以=（1，0，2），=（0，，0）．设平面PCB的法向量=（x，y，z）．由，得，令z=1，则x=﹣2，y=0．所以=（﹣2，0，1）．同理可求平面PMB的一个法向量=（1，，1）．则cos＜，＞==，即cosθ=．18．（12分）近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级：在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【解答】解：（1）记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，则…（3分）（2）记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，则…（7分）（3）ξ的可能值为0，1，2，3，，，，…（10分）其分布列为：ξ0123P…（12分）19．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为椭圆过点P（，），所以=1，解得a2=2，…（2分）又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，所以AF2⊥F2P，即﹣⋅=﹣1，所以b2=c（4﹣3c）．…（6分）而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0，解得c2=1，故椭圆C的方程是+y2=1．…（8分）（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得（1+2k2）x2+4kpx+2p2﹣2=0．因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以△=16k2p2﹣4（1+2k2）（2p2﹣2）=8（1+2k2﹣p2）=0，即1+2k2=p2．…（10分）设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，则⋅==1，即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k2+（s+t）kp+2=0 （**）．由（*）恒成立，得解得，或，…（14分）而（**）不恒成立．②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±时，定点（﹣1，0）、F2（1，0）到直线l的距离之积d1⋅d2=（﹣1）（+1）=1．综上，存在两个定点（1，0），（﹣1，0），使其到直线l 的距离之积为定值1．…（16分）20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+（﹣1）n（n∈N*）．（1）若b n=a2n﹣1﹣，求证：数列{b n}是等比数列并求其通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+＜3．【解答】（本小题满分15分）解：（1）=，…（2分），又．所以{b n}是首项为，公比为4的等比数列，且．…（5分）（2）由（1）可知，…（7分）．…（9分）所以，或…（10分）（3）∴．===…（12分）当n=2k时，=当n=2k﹣1时，＜＜3∴++…+＜3．…（15分）21．（14分）已知函数g（x）=，f（x）=g（x）﹣ax．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（3）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．【解答】（1）解：由得，x＞0且x≠1，则函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），且g′（x）=，令g′（x）=0，即lnx﹣1=0，解得x=e，当0＜x＜e且x≠1时，g′（x）＜0；当x＞e时，g′（x）＞0，∴函数g（x）的减区间是（0，1），（1，e），增区间是（e，+∞），（2）由题意得函数f（x）=在（1，+∞）上是减函数，∴f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，即当x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0即可，又∵f′（x）=﹣a==，∴当时，即x=e2时，．∴，得，故a的最小值为．（3）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得，当x∈[e，e2]时，，则，故问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有”，当时，由（2）得，f（x）在[e，e2]上为减函数，则，故，当时，由于f′（x）=在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，，不合题意．（ii ）若﹣a ＜0，即0＜，由f′（x ）的单调性和值域知，存在唯一x 0∈（e ，e 2），使f′（x 0）=0，且满足：当x ∈（e ，x 0）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数；当x ∈（x 0，e 2）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数； 所以，f （x ）min =f （x 0）=≤，x ∈（e ，e 2），所以，a≥，与0＜矛盾，不合题意．综上，得．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f(q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
华南农业大学2014-2015大学数学2期末试卷(A)及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）后附答案2014-2015学年第 2 学期 考试科目：大学数学Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.事件A 、B 为两个事件，若()0.6P A =，(|)0.4P B A =，则()P A B =2.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤=其它，，02cos )(πx x A x f ，则系数A =3.已知随机变量X N Y N ~()~()-1131，，，且X 与Y 相互独立，若Z X Y =-+27，则Z 服从分布（写出具体分布及其参数）。
4. 以X 表示接连10次独立重复射击命中目标的次数，已知每次射击命中目标的概率为0.4，则2()E X =______．5.设来自总体X N ~(.)μ，092的容量为9的样本得样本均值X =5，则未知参数μ的置信度为95%的置信区间是6.设总体2~(,)X N μσ，其中μ未知，12,,n X X X 为其一个样本，样本均值为X ,样本方差为2S ，检验原假设2200:H σσ=与备择假设2210:H σσ≠，该检验统计量为__________________(用22,,n S σ来表示）二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下述函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（）A. 21(),1F x x =+当x R ∈ B. 11()arctan 2F x x π=+，当x R ∈C. ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0;0 ),1(21)(x x e x F xD. ()2F x x =，当01x <<2. 设X 和Y 相互独立，且分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则（）。
A.2/1}0{=≤+Y X PB. 2/1}1{=≤-Y X PC. 2/1}0{=≤-Y X PD. 2/1}1{=≤+Y X P3. 设)(Y X ，的概率密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它，，，，02010)(y x C y x f ，则=C （）A. 3B. 1/3C.1/2D. 24. 设随机变量,X Y 的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.A.()E X Y EX EY +=+B.()E XY EX EY =⋅C.()D X Y DX DY +=+D. ()D XY DX DY =⋅5. 总体2~(,)X N μσ，从总体中抽取容量为n 的样本，样本均值为X ，则统计量2X Y n S μ⎛⎫-= ⎪⎝⎭服从（）分布。
安徽大学2013—2014学年第二学期《应用随机过程》A卷及其参考答案
安徽大学2013—2014学年第二学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 __专业 姓名 学号一、填空题（每小题4分，共16分）1、设X 是概率空间(),,F P Ω上的一个随机变量，且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义()E X C 如下：（1）____________________________； （2） ___________________________________________________； 2、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，则()N t 具有________、 ________增量，且0t ∀>，0h >充分小，有：()(){}()0P N t h N t +-=＝ ________，()(){}()1P N t h N t +-=＝_____________；3、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动，则0t ∀>，()W t ～_______，且与Brown 运动有关的三个随机过程_______________、_________ ___________、___________________________都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为_______________ ______________________________，其处理问题的实质在于________ __________________________________________________________。
二、证明分析题（共10分，选做一题）（1）设X 是定义于概率空间(),,F P Ω上的非负随机变量，并且具有指数分布，即：{}()1x P X x e λ-≤=-，0x >，其中λ是正常数。
设λ是另一个正常数，定义：()XZ e λλλ--=，由下式定义：()A P A ZdP =⎰，A F ∀∈；（i ）证明：()1P Ω=；（ii ）在概率测度P 下计算的分布函数：{}()P X x ≤，0x >；（2）设(){},0W t t ≥是P 下的标准Brown 运动，试分别由鞅的定义及Ito-Doeblin （伊藤—德布林）公式证明：(){},0X t t ≥是鞅（过程），这里，()()()33X t W t tW t =-。
2014-2015学年数2-B答案
f '(x) 0
,且
1 f ( x)dx 1
0
3
,求
1 f 1 ( x)dx . 0
解: 1 f 1 ( x)dx 0
1
y
f '( y)dy, y
f
1 ( x)
0
yf ( y) |10
1 0
f ( y)dy
1 1 2.
33
4.
若 f 2(x) 1
x
[
f
2 (t )
(
f
'(t ))2 ]dt
3 x) sin 2x 3cos 2x x 1
2
13Biblioteka 2626. 计算由抛物面 z x 2 y 2 ,柱面 x 2 y 0 ,以及平面 2x y 0 , xy 坐标平面围
成的封闭空间的体积.
解: V Dzd ， D : x 2 y 0 和 2x y 0 围成的封闭区域。
( x 2 y 2 )d D
lim 0 x
e ax
lim
x
f ( x)e ax ae ax
b.
a
x
a
证:方程 y'ay f ( x) 的通解为
y e ax ( x f (t )e at dt C ) . 0
lim y( x) lim e ax ( x f (t )e at dt C )
x
x
0
lim e ax x f (t )e at dt
x
0
x f (t )e at dt
距离最短. 解：建立目标函数
F ( x, y, z,, ) x 2 y 2 z 2 (2x 3 y z 3) ( x 2 y 2 4)
2014级《微积分B(二)》A卷及解答
4.二次积分
2 d
cos f (r cos , r sin )rdr 可以写成
0
0
(D)一定有极值 （D）
1
yy2
(A) dy
f (x, y)dx
0
0
1
1 y2
(B) dy
f (x, y)dx
0
0
1
1
(C) dx f (x, y)dy
0
0
1
xx2
(D) dx
2x3ex2
2.
1 －1
x2
tan
x
1
1 x
2
dx
2
3.设 z f (x ln y, y x) ，且 f 具有一阶连续偏导数，则全微分 dz
( f1ln
y
f
2)dx
(
x y
f1
f2)dy
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4.若 D 是由 x 1, y 1 围成的正方形区域，则 x2dxdy _____________
上海立信会计学院 2014～2015 学年第二学期
2014 级本科《微积分 B（二）》期终考试试卷（A）答案
（本场考试属闭卷考试，考试时间 120 分钟，禁止使用计算器） 共 4 页
学院：
班级
学号
姓名
题号 一
二
三
四
五 总分
得分
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
1.下列不等式中，成立的是
0 0
，解得唯一驻点：
x0
3a 2b 2a2 b2
大学期中高数考试试卷及答案解析 (6)
安徽大学2008—2009学年第一学期院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学C （一）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）题 号一二三四五六总分得 分阅卷人一、填空题（每小题2分，共10分）得分1．已知()sin f x x =, 2[()]1f x x ϕ=−,则()x ϕ=.2．设x →∞时,21ax bx +与1sinx是等价无穷小量,则=a ,b =. 3．曲线C ：5433101031y x x x x =−+++上的拐点坐标为. 4．设()x f x xe =，则n 阶导函数()()n f x =.5．设为由方程()y f x =33sin 330x y x y +−+=所确定的隐函数，则'(0)y =.得分二、选择题（每小题2分，共10分） 1.设函数1()lim1nn xf x x →∞+=+(x >−1),则对于函数()f x ( )A.不存在间断点.B. 仅有1x =是间断点.C.仅有是间断点.D. 0x =0x =与1x =都是间断点.2．函数()f x 在点0x 处的左、右导数存在且相等是()f x 在点0x 处可导的( )A.充分非必要条件 .B.必要非充分条件.C.充分必要条件D.无关条件.3.设()f x 的导函数为sin 2x ,则()f x 有一个原函数为( )A.1cos 22x −B.1cos 22xC.1sin 24x −D. 1sin 24x4.下列说法正确的是( )A. 函数()f x 在(,内的极值点一定是驻点.)a bB. 函数()f x 在[,内的最大值一定是极大值.]a bC. 函数()f x 的驻点一定不是间断点.D. 若，则00()()0f x f x ′′′==0x x =一定不是()f x 的极值点.5.下列各种描述正确的是( )A.12111d x x 1x +∞+∞−=−=∫.B.因为1()f x x=为奇函数,所以111d 0x x −=∫.C..sin d limsin d lim 00a aa a x x x x +∞−∞−→+∞→+∞==∫∫=D. 1112111d 2x x x−−−=−=−∫.三、计算下列极限（每小题6分，共24分） 得分1.lim n →+∞2.n3.lim (arctan )2x x x π→+∞−4.()21sin 0lim cos xx x →四、计算下列积分（每小题6分，共24分） 得分1．x ()0a >2．2∫3．x ∫4．1|ln|de e x x−∫得分 五、综合分析题（每小题10分，共20分）1.设2,1(),1x xf xax b x⎧≤=⎨,.+>⎩试确定的值,使得,a b()f x处处可导,并求其导函数()f x′.2．设为由曲线D1xy=和直线1,2,0x x y===所围成的平面图形.（1）求的面积.D（2）求由绕D x轴旋转所得到的旋转体体的体积.六、证明题（每小题6分，共12分）得分1．证明方程23126x x x +++=0有且仅有一个实根.2．设()f x ，在[,上连续，且()g x ]a b ()0g x ≠[,]x a b ∈(,)a b ξ∈，．试证明至少存在一个，使得()d ()()()d ba b af x x fg g x xξξ=∫∫．。
西南科技大学2014-2015学年第2学期期末考试试卷(附答案)
西南科技大学2014-2015学年第2学期期末考试试卷《高等数学B2》（经管类）A 卷（附答案）一、填空题（每小题3分，共15分）1．函数z ={}____________________(,)D x y =.2．设224(,)(0,0)(,)0(,)=(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≠+=，则(0,0)____________________x f '=.3．函数xy z e =的全微分____________________dz =.4. 设D 是由1,x y =±=±围成的闭区域，则____________________(sin sin )Dy x y dxdy ++=⎰⎰21.5. 若某二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解为3x ，其对应的二阶常系数齐次微分方程的特征方程有两个实根1,2，则该非齐次方程的通解为____________________.二、选择题 (每小题3分，共15分)1．对(,)z f x y =在点,)x y （处下列命题正确的是（ ）.A ．若偏导数存在则一定连续 B. 若偏导数存在则一定可微C. 若连续则一定偏导数存在D. 若可微则一定偏导数存在2. 设函数(,)z f x y =在点00,)x y （的某邻域内连续且有一、二阶连续偏导数，又00(,)0,x f x y '=00(,)0y f x y '=，令000000(,),(,),(,)xxxy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===，则下列命题正确的是（ ）.A. 20AC B -<时具有极值，0A >时有极小值B. 20AC B <-时具有极值，0A <时有极大值C. 20AC B ->时具有极值，0A >时有极大值，0A <时有极小值D. 20AC B ->时具有极值，0A <时有极大值，0A >时有极小值3．若{}22(2)(1)2(,)x y D x y -+-≤=，则下列正确的是（ ）.A.()()ln()D D D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23 B.()ln()()D D D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23C.ln()()()D D D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23 D. ()()ln()D D D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰32 4.微分方程y '=的通解为（ ）. A. 21arctan 2y x c =+ B. 21arcsin 2y x c =+ C. 21arctan 2y x = D. 21arcsin 2y x = 5. 下列级数收敛的是（ ）. A. 1123n n n ∞-=∑ B. 1132n n n -∞=∑ C. 12n n ∞=∑ D. 1n n ∞=∑三、解答题（1小题每小题7分，2-8小题每小题9分，共70分）1.求极限00x y →→2. 若f 具有二阶连续偏导数，且(2,)x z f x y =，求22xz ∂∂.3. 设),(y x z z =由方程z e xyz =确定，求yz x z ∂∂∂∂,.4. 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售商品的广告，根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用x （万元）及报纸广告费用y （万元）之间的关系有如下的经验公式：22(,)1514328210R x y x y xy x y =++---，若提供的广告费用为1.5（万元），求相应的最优广告策略.5.计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域22224x y ππ≤+≤6. 求一阶线性微分方程x y y e -'+=的通解.7. 判断级数1(1)5nnn n ∞=-∑是否收敛?如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?8. 求幂级数13n n n x n ∞=⋅∑的收敛域.(答案详解)：一、填空题（每小题3分，共15分）1.22+1x y ≤2.03.xy xy ye dx xe dy +4.4 5. 2312x x y c e c e x =++二、选择题 (每小题3分，共15分)1． D 2. D 3． C 4.B 5.A三、解答题（1小题7分，2-8小题每小题9分，共70分）1. 20016x x y y →→→→==-分分.2. 2112f y f z x '+'='—4分，2221211144f yf y f z xx ''+''+''=''—5分. 3. x x z z yz F z F e xy''=-='-—5分，y y z z xz F z F e xy ''=-='-—4分. 4. 22(,,)()1514328210F x y x y xy x y λ=++---( 1.5)x y λ++-—4分令0x y F F F λ'''===—3分，得唯一驻点及所求(0,1.5)—2分. 5. =I 6分2220sin 6d r rdr πππθπ=-⎰⎰3分.6. 5[]()dx dx x x y e e e dx c e x c ---⎰⎰=+=+⎰分4分.7. 15n n n ∞=∑，1lim 111555n n n n n →∞+=<+，收敛—7分，1(1)5nn n n ∞=-∑绝对收敛—2分. 8. 1(1)lim 311313n n n n n →∞+⋅+=⋅，3R =—5分，3x =-，1(1)n n n∞=-∑收敛，3x =，11n n ∞=∑发散—2分 收敛域[3,3)-—2分.。