2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
且直线 l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 T（5，0），则 S△AOB=
（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn，若 a2=2，S3=7，则 a5 的值
为______．
14. 已知
C. （0，1）
D. （-1，0]
3. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进
的算法，已知 f（x）=2019x2018+2018x2017+…+2x+1，程序框图设计的是 f（x）的值，
在 M 处应填的执行语句是（ ）
A. n=i
B. n=2019-i
C. n=i+1
11. 在△ABC 中，已知
，
，∠ABC=45°，D 是边 AC 上的一点，将△ABC
沿 BD 折叠，得到三棱锥 A-BCD，若该三棱锥的顶点 A 在底面 BCD 的射影 M 在线
段 BC 上，设 BM=x，则 x 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于 A，B 两点，
D. n=2018-i
4. 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布
N（-2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
（附：X⁓N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9545．）
A. 906
B. 2718
第 3 页，共 19 页
19. 目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改 革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到 2020 年，我国将全面建 立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需 从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若 一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确 定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三 个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案． 某校为了解高一年级 840 名学生选考科目的意向，随机选取 60 名学生进行了一次 调查，统计选考科目人数如表：
D. -1
8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何 体的外接球的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其 名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则 y=[x]称
则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为 P=
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为 10000× 故选 C．
=339.75．
第 7 页，共 19 页
5.答案：D
解析：【分析】 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中 档题． 利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数的图 象和性质，得出结论． 【解答】
第 5 页，共 19 页
第 6 页，共 19 页
1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
解析：【分析】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形 式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 b 值． 【解答】
解：∵ =
为纯虚数，
∴
C. 点
是函数 g（x）图象的一个对称中心
D. 函数 g（x）在区间 上为增函数
6. 设变量 x，y 满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ ）
A.
B.
C. 3
D. 4
7. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CB=2，CA=4，P 在边 AC 的中线 BD 上，则 值为（ ）
的最小
A.
B. 0
C. 4
4.答案：C
解析：【分析】 本题考查正态分布曲线的特点，数形结合是解决问题的关键，属基础题． 由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以 10000 可得答案． 【解答】 解：∵X～N（-2，4），∴阴影部分的面积 S=P（0≤X≤2）
= [P（-6≤x≤2）-P（-4≤x≤0）]= （0.9545-0.6827）=0.1359，
，即 b=- ．
故选：B．
2.答案：D
解析：【分析】 可求出集合 A，B，然后进行交集、补集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算． 【解答】 解：∵A={x|-1＜x＜1}，B={y|y＞0}； ∴∁RB={y|y≤0}； ∴A∩（∁RB）=（-1，0]． 故选：D．
3.答案：B
C. 339.75
D. 3413
5. 将函数 f（x）=2sinx 的图象向左平移 个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来
的 2 倍，得到 g（x）的图象，下面四个结论正确的是（ ）
第 1 页，共 19 页
A. 函数 g（x）在[π，2π]上的最大值为 1 B. 将函数 g（x）的图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称
故选 A．
9.答案：C
=．
解析：解：因为
，所以 f（x）=
又 1+2x+1∈（1，+∞），
所以 f（x）∈（ ，3），
由高斯函数的定义可得：
函数 y=[f（x）]的值域为 ，
故选：C．
由分式函数值域的求法得：f（x）=
=
=
，
，又 1+2x+1∈（1，+∞），所以
f（x）∈（ ，3），由高斯函数定义的理解得：函数 y=[f（x）]的值域为
别有关？
选历史
不选历史
总计
选考方案确定的男 生
选考方案确定的女 生
总计
（ Ⅲ）从选考方案确定的 16 名男生中随机选出 2 名，设随机变量
，求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ)．
附：K2= P（K2≥k0） k0
0.05 3.841
，n=a+b+c+d．
0.01 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治
选考方案确定的有 16
人
16
16
8
4
2
2
男生
选考方案待确定的有
12 人
6
0
2
0
0
选考方案确定的有 20
人
6
10
20
16
2
6
女生
选考方案待确定的有
12 人
2
8
10
0
0
2
（ Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有 99.9%把握认为选历史是否与性
7.答案：A
= =3．
解析：【分析】 本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最
第 8 页，共 19 页
值问题，本题属基础题．本题可设
，然后将
用向量
作为基底向量
表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题． 【解答】 解：由题意，画图如下：
可设
，
为
参数）．直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点． （Ⅰ）若点 P 的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值； （Ⅱ）求曲线 C 的内接矩形周长的最大值．
23. 设函数 f（x）=|ax+1|+|x-a|（a＞0），g（x）=x2-x． （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 g（x）≥f（x）的解集； （Ⅱ）已知 f（x）≥2 恒成立，求 a 的取值范围．
解：将函数 f（x）=2sinx 的图象向左平移 个单位，可得 y=2sin（x+ ）的图象，
然后纵坐标不变，把横坐标变为原来的 2 倍，得到 g（x）=2sin（ x+ ）的图象，
在[π，2π]上， + ∈[ ， ]，g（x）=2sin（ x+ ）的最大值为 ，故 A 错误；
将函数 g（x）的图象向右平移 个单位后得到的图象对应函数的解析式为 y=2sin（ x+ ），
（n∈N*，且 n≥2）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记
，求数列{cn}的前 n 项和 Tn．
18. 如图，等腰直角△ABC 中，∠B=90°，平面 ABEF⊥平面 ABC，2AF=AB=BE，∠FAB=60°， AF∥BE． （Ⅰ）求证：BC⊥BF； （Ⅱ）求二面角 F-CE-B 的正弦值．
∵
，
，cos＜
＞=0．
∴
，
=
=
．
∴
=
=4λ2-4λ（1-λ） =8λ2-4λ． 由二次函数的性质，可知：
当 λ= 时，
取得最小值 ．
故选：A．
8.答案：A
解析：【分析】 本题考查了利用三视图求几何体外接球的体积应用问题，是基础题． 根据三视图知，该几何体是三棱锥，且三棱锥的一顶点处三条棱两两互相垂直， 三棱锥的外接球即为共顶点处长方体的外接球，计算该外接球的直径，求出外接球的体 积． 【解答】 解：根据三视图知，该几何体是侧棱 PA⊥底面 ABC 的三棱锥，如图所示；
河南省2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(二)(PDF版,答案解析)
成立．
（1）求实数 k 的值；
（2）若 m 1 ， n 1 且求证 f (m) f (n) 10 ，求证： 9 1 16 ．
2
2
mn 3
二模测试卷 第 7 页（共 8 页）
二模测试卷 第 8 页（共 8 页）
高三第二次模拟考试卷
文科数学（二）答 案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】C
B．若 1 x 1，则 x2 1
C．若 x 1或 x 1，则 x2 1
D．若 x 1或 x 1，则 x2 1
4焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于 A, B 两点，
则 △ABF1的周长为（ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D．16
为
cos2
2asin (a
0)
，过点
P(1, 2)
的直线 l
的参数方程为
x
1
2t 2 （ t 为参数），l
y
2
2t 2
与 C 交于 A ， B 两点．
（1）求 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程；
（2）若 PA ， AB ， PB 成等比数列，求 a 的值．
23．（12 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 2x k 2 x ， k N* ．存在实数 x0 使 f (x0 ) 2
∴△ABF1的周长为| AF1 | | BF1 | | AB | (| AF1 | | AF2 |) (| BF1 | | BF2 |) 8 ，
故选 C． 5．【答案】A
【解析】因为平面向量 a (1, 3) ， b (2, 0) ，
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 参考答案
| PQ |
20．解：（1）x =12× 0.04 +14× 0.12 +16× 0.28 +18× 0.36 + 20× 0.10 + 22× 0.06 + 24× 0.04 =17.40 千
元，故估计 50 位农民的年平均收入 x 为 17．40 千元．…………………………………3 分
3
（2）由题意知 X ∼ N (17.40, 6.92) ，
..............4 分
（2）设直线 PQ 的方程为： x = ty +1，则直线 MN 的方程为 x = ty
由
x x2
2
= +
ty +1
y2
得
=1
(2
+
t
2
)
y
2
+
2ty
−1
=
0
，
∆
=
4t
2
+
4(2
+
t
2
)
=
8(t
2
+ 1)
>
0
设 Q(x2, y2 ) ，则
y1
+
y2
=
−
2t 2+t2
且当 2 < t < t0 时， s(t) < 0 ；当 t > t 0 时， s(t) > 0 ，
即θ (x)在(2, t0 ) 上单调递减，在 (t0 , +∞) 上单调递增
所以θ (t= )min
θ= (t0 )
2t0 + 2t0 l= n t0 t0 − 2
t02 −= 2t0 t0 − 2
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版)
2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题一、单选题1 .已知集合 A (x|a 1 x 3a 5) , B (x|3 x 22)，且 AI B A,则实数a 的取值范围是()【答案】B【解析】由AI B A 得到A B,建立不等式，即可求出 a 的取值范围. 【详解】解：Q A (x |a 1 x 3a 5) , B (x |3 x 22),且 AI B A 所以A B ，当A 时，a 1 3a 5解得a 3； 当A 时，3a 5 22a 1 3a 5 解得 3 a 9 a 1 3a 9故选：B 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题.2.已知复数z 彳(i 其中是虚数单位，满足i 21)，则z 的共轴复数是()A . 1 2iB. 1 2iC. 1 2iD . 1 2i【答案】C 【解析】由i 21化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数 Z,则z 的共轴复数可求. 【详解】则 z 1 2i - 故选：C . 【点睛】,9]B.,9)C. [2,9]D. (2,9)解：z2 i i(2 i)・2_.i・2本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3 .郑州市2019年各月的平均气温(C )数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A . 20B. 21C. 20.5【答案】C【解析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可. 【详解】解：由题意得，这组数据是： 01, 02, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 23, 28, 32, 34,,,20 21故中位数是：竺―20.5,2故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题.224.圆(x 2) (y 12) 4关于直线x y 8 0对称的圆的方程为()A . (x 3)2(y 2)24 B . (x 4)2(y 6)24C . (x 4)2(y 6)24D. (x 6)2(y 4)24【答案】C【解析】 写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线 1的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案. 【详解】y 12x，解得y22解：圆 C(x 2) (y 12)4的圆心坐标为C 2,12 ,半径为2,设C 2,12关于直线x y8 0的对称点为C(x,y),则y 12则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为(x 4)2 (y 6)2 4. 故选：C.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题.5.在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明， 光源悬挂的高度至少为( )A . 30 米B. 20 米C. 15J2米 D . 15 米【答案】A【解析】光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为 30米，画出轴截面图，即可得解；【详解】解：光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边 形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为30米，如图所示 BD DC 30,又ABC 为等腰直角三角形，故 AD 30,则要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30米， 故选：A6.若 一，,2cos2sin —，则sin 2的值为()24【解析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cossin 尘再将两边4本题考查圆锥的轴截面的相关计算，属于基础题;7 7 1 _ 1A . - B.— C. D .-8 8 8 8 【答案】A平方利用二倍角正弦公式计算可得;解：因为 2cos2 sin 一4所以c22 cossi n 2•sin — cos 4 cos —sin 4所以 2 cossincossin2 ——cos 2sin Q,2,cos sin所以 cos sin_/2 4所以 cos sin 21 一，即 82cos2cos sin.■2sin所以 sin 2 7 8故选: :A【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题;【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.7. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3,则输入的x 的取值范围是（ ）A . (2, )B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)解：设输入x a ,第一次执行循环体后， x 3a 2, i 1 ,不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， x 9a 8, i 2,不满足退出循环的条件;第三次执行循环体后， x 27a26 , i 3,满足退出循环的条件;故 9a & 82，且 27a 26 82,解得：a (4,10],【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于中档题.8. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积,S 为△ OKL 的面积.将Gini a ,称为基尼系数.对于下列说法:S①Gini 越小，则国民分配越公平;【答案】B【详解】② 设劳伦茨曲线对应的函数为y f（x ）③ 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y ④ 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y其中不正确的是：（）,则对 x (0,1)，均有给) 1； xx 2(x [0,1])，贝u Gini -；4 x 3(x [0,1])，则 Gini -. 2C.①③④D.①②④【解析】依题意，利用微积分基本定理求出a 的面积，即可判断;*累计收入百分此（%）-网」计人口百分比（％》a_解：依题意当a越小时，Gini一越小，则国民分配越公平，故 ①正确；S当收入完全平等时，劳伦茨曲线为直线OL ,此时 1 ,故②错误；x....................... c 1) 1) 1 …1 当方伦次曲线近似为 y x (x [0,1])时，a (x x )dx (-x -x ) o - o 2361 1 1 a 1 一 S OKL -11 g ,所以Gini — 〒—，故③错误；2 2 S 13 当劳伦茨曲线近似为 y x 3(x [0,1]) - 1 . . 1 ~ . a S OKL — 1 1—,所以 Gini — 2 2' S故选：B 【点睛】 本题考查微积分基本定理的应用，属于基础题 ^9. 2019年10月1日，中华人民共和国成立 70周年，举国同庆.将2, 0, 1, 9, 10这 5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个 6位数，则产生的不同的 6位数的个数为( ) A . 96 B. 84C. 120 D . 360时,1 4 12 1(x x 3)dx 0 ,故④正确;1 4、4x)【答案】B 【解析】 先求得所有不以0开头的排列数，再由以 1, 0相邻，且1在左边时所对应的 排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案 ^ 【详解】 由题意，2, 0, 1, 9, 10按照任意次序排成一行， 得所有不以0开头的排列数为4A 4 96, 4 其中以1, 0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为A 4 24 ,有一半是重复 的，故产生的不同的 6位数的个数为96 12 84 .故选：B. 【点睛】 本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题 ^ 10 .已知等差数列 a n 的公差d 0，且a 1,a 3,a 〔3成等比数列，若a 〔 1, S n 为数列a ”正!1瞧 格E…-…2S n 6^ —的刖n 项和，贝U ----- 的取小值为()a n 3A . 4B. 3C. 2^/3 2D. 2【答案】D2【解析】由题意得(1 2d) 1 12d ，求出公差d 的值，得到数列｛a n ｝的通项公式,【详解】 解：Qa i 1, a i 、a 3、a^成等比数列，_2-(1 2d) 1 12d .得d 2或d 0 (舍去)，a n 2n 1 ,n(1 2n 1)2s —2— n，2222S n 6 2n 6 n 3 n 1 2 n 1 4a n3 2n 2 n 1n 1令tn 1，则芝「： 2 2砰2 2… … 2S n 6……当且仅当t 2，即n 1时，—一的最小值为2.故选：D.【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中 档题.11.〈〈九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形 .若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为前n 项和，从而可得2S n 6an3,换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值.【详解】 如图所示，该几何体为四棱锥 P-ABCD.底面ABCD 为矩形, 其中PD 上底面ABCD.AB = 1, AD = 2, PD = 1.则该阳马的外接球的直径为 PB J1 ―1 ~4 J6. 该阳马的外接球的表面积： 4 （寸6）26 .2与计算能力，属于中档题.2 212.过双曲线与 % 1 （a 0, b 0）的右焦点F 作直线y a b足为A ,交双曲线的左支于 B 点，若uun UUU .................FB 2FA ，则该双曲线的离心率为（B. 2【答案】C22 2 2、2, 2A .掴B. 2 C . 6 D. 24【解析】由题可知该几何体为四棱锥 P-ABCD .底面ABCD 为矩形，其中PD 上底面 ABCD , 可得该阳马的外接球的直径为PB,计算得出结果即可.本题考查了四棱锥的三视图及锥体中的数量关系、球的体积计算公式, 考查了推理能力【解析】试题分析：设双曲线的右焦点 F 的坐标（c,0），由于直线AB 与直线y直，所以直线AB 方程为yb ay —X2 Ka a .. . a ab ., —（xc ）,联立｛ ，求出点A （一, —）,由已知 b a / 、 c cuuuuuu2FA ,得点B （ 222a c3c2ab华），把B 点坐标代入方程3cx y < (2a c ) 4a— & 1, -------—r 1,整理得c 45a,故离心率ea2b2 9a2c2 9c2【考点】1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.二、填空题2 613 .在X 2的展开式中常数项为.X【答案】160_ _ 2 6 ........... . 「一【解析】先求出X - 的展开式的通项T r 1 2 C6X ，令6 2r 0,求出r的值即得解.【详解】由题得x -的展开式的通项为T r1 C6x6 r(-)r2r C6x62r,令6 2r 0, r 3. 一 3 3所以展开式的常数项为2 C6=8 20=160 .故答案为：160【点睛】本题主要考查二项式展开式常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平14.已知函数f (x) 云，g(x) x cosx sin x，当x ［ 3 ,3 ］且x 0时，方程f (x) g(x)根的个数是.【答案】6【解析】先对两个函数分析可知，函数f(x)与g(x)都是奇函数，且f(x)是反比例函数,g(x)在［0 ,］上是减函数，在［,2 ］上是增函数，在［2 , 3 ］上是减函数，且g(0) 0, g( ) ; g(2 ) 2 ; g(3 ) 3 ；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可.【详解】食军：g (x) cosx xsin x cosx xsin x ；令g (x) 0 得x k , k Z .g(x)在［0 ,］上是减函数，在［,2 ］上是增函数，在［2 , 3 ］上是减函数,且g(0) 0 ， g( ) ；g(2) 2 ；g(3) 3 ；故作函数f (x)与g(x)在［0 , 3 ］上的图象如下,结合图象可知，两图象在［0 , 3 ］上共有3个交点;又f (x), g(x)都是奇函数，且f (x)不经过原点，f (x)与g(x)在［3 , 3 ］上共有6个交点，故f (x) g(x)有6个零点.故答案为：6.【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题.15 .已知直角梯形ABCD, AD//BC , BAD 90 . AD 2, BC 1, P 是腰AB 皿unr上的动点，贝U | PC PD |的最小值为 .【答案】3【解析】以直线AD , AB分别为x , y轴建立平面直角坐标系，设P(0 , b)(0制b 1), 根据向量的坐标运算和模的计算得到，|PC PD | ^9 (1 2b)2-3,问题得以解决.【详解】解：如图，以直线AD , AB分别为x , y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0) , B(0,1), C(1,1), D(2,0)设P(0 , b)(0制b 1)uur 则PC (1,1 b),uuuiPD (2, b),uur uuurPC PD (3,2b),um umr ____________ 1| PC PD| J9 (1 2b)2-• 3，当且仅当b ］时取等号,iur uur …| PC PD |的取小值为3,故答案为：3.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于基础题.3 2x x ,x e16 .设函数y |n x的图象上存在两点P,Q，使得△ POQ是以O为直角m，顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是.【答案】［e 1,)【解析】曲线y f (x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧.设P(t , f(t))(t 0),则Q( t,t3 t2),运用向量垂直的条件：数量积为0,构造函数h(x) (x 1】nx(x・・・e)，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围.【详解】解：假设曲线y f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧.不妨设P(t , f (t))(t 0),则Q( t,t3 t2),QDPOQ是以O为直角顶点的直角三角形,uuu iurOPOQ 0,即t2f(t)(t3 t2) 0(*)若方程(*)有解，存在满足题设要求的两点 P 、Q ；若方程(*)无解，不存在满足题设要求的两点 P 、Q .右 t e,则 f (t) t 3t 2代入(*)式得：t 2( t 3t 2)(t 3t 2) 0即t 4t 21 o,而此方程无解，因此t ・・・e,此时f(t) 哽， m 代入(*)式得：t 2四(t 3 t 2) 0,m即 m (t 1)lnt (**)令 h(x) (x 1)lnx(x ・・ e), 板 1 则 h (x) Inx 1 — 0x ，h(x)在［e , )上单调递增，Q t e h t h e e 1 , h(t)的取值范围是［e 1,).对于m e 1 ,方程(**)总有解，即方程(*)总有解. 故答案为：e 1, .【点睛】本题考查分段函数的运用， 注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式， 考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题.三、解答题17 .已知数列 a n 为公差不为零的等差数列，S 7 77 ,且满足勇 a a gv(I )求数列 an 的通项公式;【解析】(I )设等差数列 a n 的公差为d ,即可得到方程组，解得即可; (口)由— a n,则—工 a n 1(n 2,n N*),再由累加法求出—的b n 1 b nb n b n1b n(n)若数列b n 1 1满足—— b n 1b na n n N ，且b 11 ...-,求数列3b n 的前n 项和【答案】(Ia n 2n 3 ；( n)T n3n 2 5n 4(n 1)(n 2)通项公式，再利用裂项相消法求和即可; 【详解】解：（ i ）设等差数列a n 的公差为d ,则7a 〔 a 1 a 121d 7760d a 110d 2解得务5, a n d 2,2n 3（n ） 当n11山 ---' --b n 1 b n2时，a n,1 _1_ b nb n 1a n 1(n 2,n N*).1 b n(n 1 _1_b n 品11)(n 2 5)1 b n 1 3上Lb n 2 n(n 2).1 b2 1 b 1 1— a n 1 a nb 1L a 1 2 La 1—b 1对n 1，、一 —也适合，31b nn(n 2)(n N),bn2 1 _ n n1—— .2T n 1 1 1-1 -2 3 2 1 L 1里 n n1 31 1 3n2 5n 4 22 2 n 1 n 2 4(n 1)(n 2)【点睛】本题考查等差数列基本量的计算， 累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18 .由团中央学校部、 全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国 最美中学生 寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、 自觉树立和践行社会主义核心价值观的最美中学生”.现随机抽取了 30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图， 若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组.票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组.（l ） 在这30名学生中，青春组学生中有男生 7人，风华组学生中有女生 12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（口）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（m）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用表示所选4人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望.2 n(ad bc)附：K ——————-- - - ；其中n a b c d【答案】（I ）没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关；（□）二；10 (8)（m ）分布列详见解析，数学期望为 -.5【解析】（I ）依题意作出列联表，由列联表计算出卡方，再跟参考数据比较，即可得出结论；（n）根据古典概型的概率公式计算可得；2 , …—（n ）由样本数据得到抽取1名学生是青春组学生的概率为一，则服从二项分布5_ 2B 4,一，显然的取值为0, 1, 2, 3, 4,再列出分布列，即可求出数学期望；5【详解】解：（I ）作出2 2列联表：因为 1.83 2.706,故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关..................................... C 7 (□)用A 表示至少有1人在青春组，贝U P(A) 1 £ 一 .Cl 10(ni)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取 1名学生是青春组学生的概率为122,那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是 -,30 55又因为所取总体数量较多， 抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是 服从二项分布B 4,—5显然 的取值为0, 1 , 2, 3, 4.且P(... 2 8 数学期望E 4 - 一 5 5【点睛】本题考查独立性检验，古典概型的概率计算以及二项分布及其分布列，属于中档题.由列联表数据代入公式得K 22n(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)1.83,k) Ckw 519 .如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将VACD折起，使得点D在平面ABC1 【答案】（I ）详见解析；（□）一.4【解析】（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ,连接DE ,推导出DE BC ,AB BC ,从而BC ±平面ABD ，进而BC AD , AD 平面BCD ,由此能证明 平面ABD 平面BCD .（口）以点B 为原点，线段 BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D AC B 的余弦值. 【详解】解：（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E, 连接DE ，则DE 平面ABC ,因为BC 平面ABC ,DE BC .Q 四边形ABCD 是矩形， AB BC , BC平面 ABD,BC AD .又 AD CD, CD 平面 BCD, BC 平面 BCD, CD BC C 所以AD 平面BCD , 而AD 平面ABD , 平面ABD 平面BCD .内的射影恰好落在边 AB 上.（I ）求证：平面 ABD 平面BCD ;.... AB -（口）当 —— 2时，求二面角 D AC B 的余弦值.AD空间直角坐标系，如图所示 .设 AD a ,贝U AB2a, A(0,2 a,0) ,C(a,0,0) 由(I )知 AD BD,又缶2, ADDBA 30 , DAB 60 ,13AE AD cos DAB—a , BE AB AE a ,22x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立（□）以点B 为原点，线段 BC 所在的直线为DE AD sin DAB--3 3 史-1 3 U四，〜D 0,—a,—a , AD 0, —a,—a , AC (a, 2a,0)-2 2 2 2ir设平面ACD的一个法向量为m (x, y,z),v八 1 3则m Av °,即2ay T az 0,m AC o c cax 2ay 0.—_ ir _ _不妨取z 1,则y 焰,x 2焰,m (2J3,J3,1).r而平面ABC的一个法向量为n (0,0,1),ir rLr r m n 1 1cos m,n ir r|mHn| ：(2 3)2 ( 3)2 12 4-…一一…—1故二面角D AC B的余弦值为一.4【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.20 .在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F(3,0)的距离与A到定直线x 4距离之比为一32(I)求动点A的轨迹C的方程;(n)设点M , N是轨迹C上两个动点直线OM ,ON与轨迹C的另一交点分别为P,Q且直线OM ,ON的斜率之积等于 -,问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明4理由.2 2【答案】(I )—匕1 ； ( n )四边形MNPQ的面积为定值12.12 3【解析】（i ）设A （X , V ），依题意可得J（X 3）2y 2.史，化简即可得解;|X 4|2 1,M X 2, y 2，由 k oM k oN匚，得4【详解】解：（I ）设A （X , y ）,依题意，（X 3） y |x 4|2 2 2 2 2 2 2 2所以，S 4 X 1y 2 X 2y 1 4 X 1 y 2 2X 1X 2 y 1y 2 X 2y 1 12 X 1 X 2 144,所以S 12所以，四边形MNPQ 的面积为定值12. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法， 考查四边形面积是否为定值 的求法与证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运 用，属于中档题.(□)设 M x 1, y 1V 1V 2 X 1X 22在椭圆C 上，得X 1X 2 12,由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形 MNPQ 的面积为定值.化简得x24y 212,所以，动点(□)设 M X i , y i , M X2N2,则由斜率之积，得2X2y_12~3V 1V 2X 1X 214'| MN |所以直线 MN 离为y X 1 X 22V 12V 222令X 123 —, V3 W 44的方程为y 2 V 1 XX 1V 2X 2V 122V X 2X 1 V 2 V 1,因为点M 、N 在椭圆C 上,2X 1x 2y 1 x 1y 20 ,原点O 到直线MN 的距…， _____ ____ 1所以，△ MON 的面积S NOM - |MN | d1-X 1y 2*2乂，根据椭圆的对称性，四边形 MNPQ 的面积S2 X i y 2 X2N ,A 的轨迹C 的方程为化简得 2V】X 2 XIn x x 121.已知函数 f(x) , g(x) —厂(x 0)(i)当a 1时，求曲线y f(x) g(x)在x 1处的切线方程；— .......... 1 小、(n)讨论函数 F(x) f(x) —在(0,)上的单调性.【答案】(I)x 2y 1 0 ； (n )分类讨论，详见解析.【解析】(I )首先求出函数的导数，求 y |x 1即斜率，再由点斜式求出切线方程; (1)(口)分别求出f (x), ------- g(x)再对a 分类讨论可得; 【详解】0时,令ka 2 • a 24a 2的导函数，则F (x) f (x)(x 1)2ax7{2~ ax(x 1)解: (I )当a 1时，曲线yf (x)(1 ln x)(x 1) xln xIn x (x 1)2x 1… ,.所以y |x1(x 1)21 2 - (1 1)ln1 1 1时，切线的斜率为1 ....... .-，又切线过点(1,0)2所以切线方程为2y (n ) f (x)1ax1 g(x1 (x 1)2F (x) f (x)g(x) ax1(x 1)22(x 1) ax7<2~ax(x 1)0 时，F (x) 0, 函数F(x)在(0,)上单调递减;0时,即04, k(x) 0 ,此时 F (x)>0 ,函数 F (x)在(0,)上单调递增;时，即a 4,1 2方程一xa0有两个不等实根 x 1 x 2 ,所以x 〔此时，函数F(x)在0,x1 , x2, 上单调递增；在x1,x2上单调递减.综上所述，当a 0时，F(x)的单减区间是(0,)；2 2 2x (ya) a(n )由圆的方程可得圆心 C(0,a),半径R a ,Q |AB | -73a .2<a 2d 2••缶a,即 a 2 d 2*,当a 4时，F (x)的单减区间是a 2 . a 2 4a a 2. a 2 4a ,22a 2 . a 2 4a单增区间是 0, --------------- 2a 2 .a 2 4a2当0 a 4时，F(x)增区间是(0, ).【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，属于中档题.22 .在极坐标系中，圆 C 的方程为2a sin (a 0) .以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为 x 3 1,( t 为参数).y 4t 3(I)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程,(n)若直线1与圆C 交于A, B 两点，且| AB| J3a -求实数a 的取值范围. 【答案】(I ) C:x 2(y a)2a 2, l:4x 3y 5 0 ；( n 10a 10 .11【解析】(I )利用极坐标方程进行转化即可求圆 C 的标准方程,消去参数即可求直线l的普通方程;(n)利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可.【详解】解：(I )因为圆C 的方程为2asin (a 0),所以圆C 的直角坐标方程为直线l 的参数方程为x 3ty 4t 1,( t 为参数)，消去t 得到4x 3y 5 03则圆心到直线的距离 d|5 3a| |5 3a|324252则 d 2,—,4即d,已,2则 LLE1,二52nrta 3a 5 a 则一刑 ----- ---- ,252 'a 3a 5, ------ 1。
河南省实验中学2020届高三二测模拟测试(二)数学(理)试题 PDF版含答案
x
y
1 cos sin
( 为参数），以坐标原点
O
为极
点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 A 为曲线 C1 上的动点，点 B 在线段 OA 的延长线
上，且满足| OA | | OB | 8 ，点 B 的轨迹为 C2 .
（1）求曲线 C1
，C2
的极坐标方程；（2）设点
M
的极坐标为
2,
2
1 x＜0,
6、下列四个命题：
① 函数 f x cosxsinx 的最大值为1；
② “ x R ， x3 x2 1 0 ”的否定是“ x0 R, x3 x2 1 0 ”； ③ 若 ABC 为锐角三角形，则有 sinA sinB sinC cosA cosB cosC ；
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，过 F2 的一条直线交
椭圆于 P、Q 两点，若 PF1F2 的周长为 4 4 2 ，且长轴长与短轴长之比为 2 :1.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若 F1P F2Q PQ ，求直线 PQ 的方程.
21.（12分）已知函数 f x ex cos x .
河南省实验中学高三年级二测模拟测试二
一．选择题（共12小题，每题5分，共60分.）
1．集合
A x |
x 1
2 ， B
x
1
3x
9 ，则
A B 为(
)
3
A． 1, 2 B． 1, 2 C． 1,3 D． 1,3
2．设复数 z1 1 i, z2 x2 i(x R) ，若 z1 z2 为实数，则 x （ ）
3、C
向量
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，且A ∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，9]B．（﹣∞，9）C．[2，9]D．（2，9）2．（5分）已知复数z＝（其中i是虚数单位，满足i2＝﹣1）则z 的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．234．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4 5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）A．30米B．20米C．15米D．15米6．（5分）若α∈（，π），则2cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．1D．7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini ＝；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini ＝．其中不正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．96B．84C．120D．360 10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π12．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y ＝﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（x+）6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是．15．（5分）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD ＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则||的最小值为．16．（5分）设函数的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S7＝77，且满足a112＝a1•a61．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：；其中n＝a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0）0.1000.0500.010K 2.706 3.841 6.63519．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD 折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当时，求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F（3，0）的距离与A到定直线x＝4距离之比为．（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点M，N是轨迹C上两个动点直线OM，ON与轨迹C 的另一交点分别为P，Q，且直线OM，ON的斜率之积等于﹣，问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数F（x）＝在（0，十∞）上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：A＝∅时，a+1＞3a﹣5；A≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，且A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，∴①A＝∅时，a+1＞3a﹣5，解得a＜3；②A≠∅时，，解得3≤a＜9，∴综上得，实数a的取值范围是（﹣∞，9）．故选：B．2．【分析】利用复数的运算法则化简z，再根据共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝＝﹣2﹣i，则z的共轭复数是﹣2+i．故选：C．3．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．4．【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．【解答】解：由圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，由题意可得关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为（a，b）则解得：a＝4，b＝6，故圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，故选：C．5．【分析】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，可得OA＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．【解答】解：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，∴OA＝30，∵OP⊥平面ABCDEF，∴∠OAP＝45°，∴OP＝OA＝30．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m．故选：A．6．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）＝（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα＝﹣，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα＝，则有1+sin2α＝，sin2α＝﹣；故选：B．法2：∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．7．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．8．【分析】可由当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，可由判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④【解答】解：①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，④对，故选：B．9．【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．【解答】解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A55＝120种情况，其中数字“0”在首位的情况有：A44＝24种情况，数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A44＝24种，则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种，故选：B．10．【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，可得：a32＝a1a13，即（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，∴a32＝a1a13，∴（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．S n＝n+×2＝n2．∴＝＝＝n+1+﹣2≥2﹣2＝4，当且仅当n+1＝时取等号，此时n＝2，且取到最小值4，故选：A．11．【分析】由题意，PB为球的直径，求出PB，可得球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD 为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．12．【分析】根据题意直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y＝﹣x得A（，﹣），由＝2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣＝1，即＝1，整理可得c＝a，即离心率e＝＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】令x＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．【解答】解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，通项公式T k+1＝C x6﹣k•（）k＝C•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)令6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝C•23＝20×8＝160，故答案为：729，16014．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．故答案为：8．15．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量+的模长表达式，再求最小值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；则C（2，0），D（1，a）；所以＝（2，﹣b），＝（1，a﹣b）；所以+＝（3，a﹣2b），所以＝9+（a﹣2b）2，当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，||取得最小值为＝3．故答案为：3．16．【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx （x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入①式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0，即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝lnt，代入①式得：﹣t2+（lnt）（t3+t2）＝0，即m＝（t+1）lnt②，令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e，∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于m≥e+1，方程②总有解，即方程①总有解．故答案为：[e+1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d 的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题由题干可得．根据递推公式的特点可用累加法计算出数列{}的通项公式，接着计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则解得．∴a n＝5+2•（n﹣1）＝2n+3，n∈N*．（Ⅱ）依题意，由，可得．则当n≥2时，＝（n﹣1）（n﹣2+5）+3＝n（n+2）．当n＝1时，，即＝3也满足上式，∴＝n（n+2），∴b n＝＝（﹣），n∈N*．T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．18．【分析】（I）作出2×2列联表，求出k2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，ξ服从二项分布．由此能求出ξ的分布列、数学期望．【解答】解：（I）作出2×2列联表：青春组风华组合计男生7613女生51217合计121830由列联表数据代入公式得，因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则至少有1人在青春组的概率为．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．ξ的取值为0，1，2，3，4．且．所以得ξ的分布列为：ξ01234P数学期望．19．【分析】（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE推导出DE⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面ABD，进而BC⊥AD，又AD⊥CD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ACD⊥平面BCD．（2）过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，则DE⊥AC，AC⊥平面DME，EM⊥AC，从而∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．解：（2）在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，∵DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC，又DM∩DE＝D，∴AC⊥平面DME，∴EM⊥AC，∴∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，设AD＝a，则AB＝2a，在△ADC中，由题意得AM＝，DM＝a，在△AEM中，，解得EM＝a，∴cos∠DME＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的余弦值为．20．【分析】（I）先设A的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A的轨迹方程；（II）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．【解答】解（I）设A（x，y），由题意，，化简得x2+4y2＝12，所以，动点A的轨迹C的方程为，（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由斜率之积，得，，因为点M，N在椭圆C上，所以．所以＝（）（3﹣），化简得．直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2＝0，原点O到直线MN的距离为．所以，△MON的面积，根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S＝2|x1y2﹣x2y1|，所以，，＝4[﹣]，＝，所以S＝12．所以，四边形MNPQ的面积为定值12．21．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．（II）先对F（x）求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，曲线．．x＝1时，切线的斜率为，又切线过点（1，0）所以切线方程为x﹣2y﹣1＝0，（Ⅱ），，当a＜0时，F'（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令，，当△≤0时，即0＜a≤4，k（x）≥0，此时F'（x）≥0，函数F （x）在（0，+∞）上单调递增；当△＞0时，即a＞4，方程有两个不等实根x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，此时，函数F（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减．综上所述，当a＜0时，F（x）的单减区间是（0，+∞）；当a＞4时，F（x）的单减区间是，单增区间是当0＜a≤4时，F（x）单增区间是（0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(文科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．（5分）已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．（5分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by ＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sinA+cosA）b，则△ABC的面积的最大值为．16．（5分）据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x1234566.6 6.777.17.27.4年产量（万吨）（I）根据表中数据，建立y关于x 的线性回归方程＝x+a （II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i ﹣）（y i ﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．【解答】解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．【解答】解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．【解答】解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【解答】解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．【解答】解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A 的三角函数，则最大值可求．【解答】解：∵b＝，c＝（sinA+cosA）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．【解答】解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．【解答】解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A 1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB 为钝角，向量的数量积的符号，求出n的范围，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB 为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．【解答】解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
2020届河南省普通高中高考质量测评(二)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省普通高中高考质量测评（二）数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则A B I =（ ）A ．{|12x x <<}B ．{|2x x <}C ．{|12x x ≤≤}D ．{|14x x ≤<}【答案】A【解析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<I . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（ ） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出． 【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确； 对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案. 【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【答案】A【解析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==， 所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L 12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.10．设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(0,)2pC ，AF 与BC 相较于点E .若||2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为（ ） A ．2 B ．2C ．6D ．22【答案】C【解析】由题，可得()2,Ap p ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为32，得92ACF S ∆=，然后通过求132922ACF S p p ∆=⨯⨯=的解，即可得到本题答案.【详解】 根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-，由||2||CF AF =，得3||2AF p =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则322p y p +=，即y p =，所以2x p =，易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =，所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即92ACF S ∆=，所以132922ACF S p p ∆=⨯⨯=，解得6p =. 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．B ．6C ．24D ．48【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以11111332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<…，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<…， 所以52222ϕϕωππ-<-…， 所以5342222ππωππ-<-…，即15783ω<…，满足的只有A.故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若||3a =r ，||2b =r，2a b +=r r ，则a r 与 b r的夹角为______________. 【答案】3π 【解析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+r rr r r r 及||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，即可得到本题答案.【详解】设a r 与 b r的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r rr r r r ，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+=⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【答案】（1）3B π=（2321【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾【解析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望；（2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为X0 1 2 3 P0.0020.0440.3060.648()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=， 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA V 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ 【解析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n =r ，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为两个三角形的重心，∴23PE PF PM PN ==，//EF MN 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面,PAQ EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ⅱ）PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0)P A B PA AB =-=-u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⋅=⎧⎨⋅=⎩vu u u v v即220,220,x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可取(2,2,1)n =r，又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，所以5cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉===r u rr u r r u r ，所以25sin ,n m 〈〉=r u r . 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为25.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅V ， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =)a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()2122121|||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值. 21．已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a …时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程； （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】 本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23．已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b +的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可.【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。
_2020河南省六市第二次联考文科数学试卷及其答案
2020年河南省六市高三第二次联合调研检测数学文科参考答案一㊁选择题1-6 C B A B C D 7-12 D C C A D A 二㊁填空题13.2 14.3 15.(-1,6) 16.23三㊁解答题17解:(Ⅰ)ȵa 12+a 23+ +a n n +1=n 2+n ..①ʑ当n =1时,可得a 1=4,1分 当n ȡ2时,a 12+a 23+ +a n -1n =(n -1)2+n -1.② 分 ① ②可得:a n n +1=(2n -1)+1=2n ,4分 ʑa n =2n (n +1).n =1时也满足5分 ʑa n =2n (n +1).6分 (Ⅱ)b n =1a n =12n (n +1)=12(1n -1n +1)8分 ʑS n =12(1-12+12+12-13+ +1n -1n +1=12(1-1n +1),10分 又S n >1940,可得n >19,11分 可得最小正整数n 为20.12分 18解:(Ⅰ)证明:因为G 为A E 中点,A D =D E =2所以D G ʅA E .1分 因为平面A D E ʅ平面A B C E ,平面A D E ɘ平面A B C E =A E ,D G ⊂平面A D E ,所以D G ʅ平面A B C E .3分 在直角三角形A D E 中,易求A E =22,则D G =A D ㊃D E A E =2.4分 所以四棱锥D -A B C E 的体积为V D -A B C E =13ˑ(1+5)ˑ22ˑ2=22.6分(Ⅱ)在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E 且B P B D =457分 过点C 作C F ʊA E 交A B 于点F ,过点F 作F P ʊA D 交D B 于点P ,连接P C因为C F ʊA E ,A E ⊂平面A D E ,C F ⊄平面A D E ,所以C F ʊ平面A D E ,同理F P ʊ平面A D E ,又因为C F ɘP F =F ,所以平面C F P ʊ平面A D E .9分 因为C P ⊂平面C F P ,所以C P ʊ平面A D E .)页5共(页1第 案答学数科文三高所以在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E .10分因为四边形A E C F 为平行四边形,所以A F =C E =1,即B F =4故B P B D =B F A B =45所以在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E 且B P B D =4512分 19.(Ⅰ)0.4;(Ⅱ)710.(Ⅲ)选择方案(1)解:(Ⅰ)设事件为 随机选取一天,这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单 依题意,快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为:0.2,0.15,0.05因为0.2+0.15+0.05=0.4所以P (A )估计为0.4.4分 (Ⅱ)设事件B 为 从五名骑手中随机选取2人,至少有1名骑手选择方案(2) 从五名骑手中随机选取2名骑手,有10种情况,即{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{甲,戊},{乙,丙},{乙,丁},{乙,戊},{丙,丁}{丙,戊}{丁,戊}6分 其中至少有1名骑手选择方案(2)的情况为{甲,丁},{甲,戊},{乙,丁},{乙,戊},{丙,丁},{丙,戊},{丁,戊}共7种情况,所以P (B )=710.8分 (Ⅲ)方法1:快递公司人均日快递量的平均数是:30ˑ0.05+40ˑ0.05+50ˑ0.2+60ˑ0.3+70ˑ0.2+80ˑ0.15+90ˑ0.05=62因此,方案(1)日工资约为50+62ˑ3=23610分 方案(2)日工资约为100+(62-44)ˑ5=190<236故骑手应选择方案(1)12分 方法2:设骑手每日完成快递业务量为n 单方案(1)的日工资y 1=50+3n (n ɪN *),方案(2)的日工资y 2=100,n ɤ44,n ɪN *100+5(n -44),n >44,n ɪN *{当n <17时,y 1<y 2依题意,可以知道n ȡ25,所以这种情况不予考虑当n ȡ25时令50+3n >100+5(n -44) 则n <8510分 即若骑手每日完成快递业务量在85单以下,则方案(1)日工资大于方案(2)日工资,而依题中数据,每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05,较低,故建议骑手应选择方案(1)12分 方法3:设骑手每日完成快递业务量为n 单,方案(1)的日工资y 1=50+3n (n ɪN *),方案(2)的日工资y 2=100,n ɤ44,n ɪN *100+5(n -44),n >44,n ɪN *{所以方案(1)日工资约为140ˑ0.05+170ˑ0.05+200ˑ0.2+230ˑ0.3+260ˑ0.2+290ˑ0.15+320ˑ0.f 05=23610分 方案(2)日工资约为100ˑ0.05+100ˑ0.05+130ˑ0.2+180ˑ0.3+230ˑ0.2+280ˑ0.15+330ˑ0.)页5共(页2第 案答学数科文三高05=194.5因为236>194.5,所以建议骑手选择方案(1)12分 20.(Ⅰ)f '(x )=2x -a +1x =2x 2-a x +1x ,(x >0)1分 ȵx =1时,f (x )取得极值,ʑf '(1)=0,a =3.2分 ʑf '(x )=2x 2-3x +1x =(2x -1)(x -1)x 由f '(x )>0得0<x <12或x >1,由f '(x )<0得12<x <14分 ʑf (x )的单调增区间为(0,12)ɣ(1,ɕ),单调减区间为(12,1).5分 (Ⅱ)f '(x )=2x 2-a x +1x ,(x >0)ȵf (x )存在两个极值点ʑ方程f '(x )即2x 2-a x +1=0在(0,+ɕ)上有两个不等实根ʑΔ=a 2-8>0,x 1x 2=12>0,x 1+x 2=a 2>16分 f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=x 22-a x 2+l n x 2-x 12+a x 1-l n x 1x 2-x 1=x 2+x 1-a +l n x 2-l n x 1x 2-x 1=-a 2+l n x 2-l n x 1x 2-x 17分 ʑ所证不等式f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>4a -a 2等价于l n x 2-l n x 1x 2-x 1>4a 8分 即l n x 2-l n x 1x 2-x 1>2x 2+x 19分 不妨设x 2>x 1>0,即证l n x 2x 1>2x 2x 1-1x 2x 1+110分 令t =x 2x 1>1,h (t )=l n t -2(t -1)t +1,则h '(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,ʑh (t )在(1,+ɕ)上递增.ʑh (t )>h (1)=0.11分ʑl n x 2x 1>2x 2x 1-1x 2x 1+1成立.ʑf (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>4a -a 2成立.12分 21.解:(Ⅰ)由题知点Q 到F 的距离|Q F |等于Q 到y 轴的距离加2所以|Q F |等于Q 到直线x =-2的距离2分)页5共(页3第 案答学数科文三高由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点,以x =-2为准线的抛物线3分 所以动点Q 的轨迹W 的方程为y 2=8x 4分 (Ⅱ)设直线AM 的方程为x =m (y -4)+2(m >0),与y 2=8x 联立,得y 2-8m y +32m -16=0,则Δ=64m 2-4ˑ(32m -16)>0,ȵm >0,ʑ0<m <1或m >1,6分 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则4+y 1=8m ,即y 1=8m -4,以-1m 代替m ,得y 2=-8m-4,则向量NM ң在y 轴正方向上的投影为y 1-y 2=8(m +1m )9分 设函数f (m )=8(m +1m ,则f (m )在(0,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增,从而f (m )>f (1)=1611分故向量NM ң在y 轴正方向上的投影的取值范围为(16,+ɕ).12分 22.(Ⅰ)由曲线C 1的参数方程为x =1-32t y =3+12t ìîíïïïïï(t 为参数)消去参数得x +3y -4=0由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ得ρc o s θ+3ρs i n θ=4,即ρc o s θs i n π6+ρs i n θc o s π6=2即曲线C 1的极坐标方程为ρs i n (θ+π6)3分 由ρ2=x 2+y 2,ρ2(1+2s i n 2θ)=3,x 2+y 2+2y 2=3即x 23+y 2=15分 (Ⅱ)设A (ρ1,θ),B (ρ2,θ+π2),D (ρ3,θ),C (ρ4,θ+π2)故S 2әA O B =14ρ12ρ22=14㊃31+2s i n 2θ㊃31+2c o s 2θȡ9411+2s i n 2θ+1+2c o s 2θ2æèçöø÷2=916,即әA O B 面积的最小值为34,当且仅当ρ1=ρ2(即θ=π4)时取 = 8分 法2:ρ12c o s 2θ3+ρ12s i n 2θ=1,ρ22s i n 2θ3+ρ22c o s 2θ=1,故1ρ12+1ρ22=43ʑ2ρ1ρ2ɤ1ρ12+1ρ22=43,当且仅当ρ1=ρ2(即θ=π4)时取 = 8分 )页5共(页4第 案答学数科文三高S әA O B =12ρ1ρ2ȡ34此时S әC O D =12ρ3ρ4=12㊃2s i n (π4+π6)㊃2c o s (π4+π6)=4c o s π3=8故所求四边形的面积为S 四边形A B C D =8-34=29410分 23.证明(Ⅰ)ȵa ,b ,c >0,ʑf (x )=1a 2+|x +14c 2|+|x -1b 2|ȡ|x +14c 2-(x -1b 2)|+1a 2=1a 2+1b 2+14c 2ʑ1a 2+1b 2+14c 2=13分 由柯西不等式得(a 2+b 2+4c 2)(1a 2+1b 2+14c 2)ȡ(1+1+1)2=9当且仅当a =b =2c =3时取 = ʑa 2+b 2+4c 2ȡ95分 (Ⅱ)ȵ1a 2+1b 2ȡ2a b ,1b 2+14c 2ȡ1b c ,1a 2+14c 2ȡ1a c (以上三式当且仅当a =b =2c =3时同时取 = )7分 将以上三式相加得2a b +1b c +1a c ɤ2(1a 2+1b 2+14c 2)=2即1a b +12b c +12a cɤ110分 )页5共(页5第 案答学数科文三高。
2020年河南省郑州市高考(文科)数学第二次模拟试卷 含解析
2020年高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC的面积的最大值为．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y ＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是假命题，则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC的面积的最大值为．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A的三角函数，则最大值可求．解：∵b＝，c＝（sin A+cos A）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有①②③．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n ＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，向量的数量积的符号，求出n 的范围，然后求解即可．解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x （x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…。