2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形选择、填空题型
5 D. 5 2 2 解析：由余弦定理可得AC ＝9＋2－2×3× 2× 2 ＝5，所以
AC BC BC· B sin AC＝ 5.再由正弦定理得 sin B ＝ sin A ，所以sin A＝ AC 2 3× 2 3 10 ＝ ＝ 10 . 5
答案：C
4．(2013· 福建高考)如图，在△ABC中，已 知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC 2 2 ＝ 3 ，AB＝3 2，AD＝3，则BD的长为_______． π 2 2 解析： 因为 sin∠BAC＝ ， AD⊥AC， 且 所以 sin2＋∠BAD 3
三角变换与求值
[例 1] A. 2 (2)若 (1)(2013· 重庆高考)4cos 50° －tan 40° ＝ 2＋ 3 B. 2 C. 3 ( )
D．2 2－1 )
2sin2α＋sin 2α π 1 π tanα＋4＝2，且－2<α<0，则 π ＝( cosα－4
(3)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 A＋B 7 4sin 2 －cos 2C＝2，且a＋b＝5，c＝ 7，则△ABC的面积
2
为________． [自主解答] (1)由已知及正弦定理得2sin Asin B＝ 3 sin
π 3 π 0， ，所以A＝ . B，因为sin B>0，所以sin A＝ 2 .又A∈ 2 3
2 2 2 2 ＝ ，所以 cos∠BAD＝ ，在△BAD 中，由余弦定理， 3 3 得 BD＝ AB2＋AD2－2AB· ADcos∠BAD
2 2
2 2 ＝ 3 2 ＋3 －2×3 2×3× ＝ 3. 3 答案： 3
1．两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α± β)＝sin αcos β± αsin β. cos ②cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan α± β tan ③tan(α± β)＝ . 1∓tan αtan β (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α ③tan 2α＝ . 1－tan2 α
2 5 A．－ 5
3 5 B．－ 10
3 5 C．－ 10
2 5 D. 5
11 4 3 π π (3)若 cos(2α－β)＝－14，sin(α－2β)＝ 7 ，0<β<4<α<2，则 α＋β 的值为________．
[自主解答]
sin 40° (1)4cos 50° －tan 40° ＝4cos 50° cos 40° －
1．在△ABC 中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C 的 值是 2 A．－ 2
解析：由tan Atan
( 2 B. 2
B＝tan
)
1 C.2
A＋tan
1 D．－2
B＋1，可得
tan A＋tan B ＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝ 1－tan Atan B 3π π 2 4 ，则C＝4，cos C＝ 2 .
——————————规律· 总结————————————
1．化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切” 来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒 等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异， 化同名(同角)，化简求值．
2．解决条件求值应关注的三点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来 表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角 的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这 个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的 大小． ——————————————————————
(2)余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－ 2abcos C. b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 推论：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ， a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab . 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2 －c2＝2abcos C.
4 3 π π ∵sin(α－2β)＝ 7 且－4<α－2β<2， 1 ∴cos(α－2β)＝7. ∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) 11 1 5 3 4 3 1 ＝－14×7＋ 14 × 7 ＝2. π 3π π ∵4<α＋β < 4 ，∴α＋β＝3. π [答案] (1)C (2)A (3)3
2 2 2 1 a ＋b －7 根据余弦定理，有cos C＝ 2 ＝ 2ab ，则ab＝a2＋b2－7，故3ab＝a2
＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，所以ab＝6，所以△ABC的面 1 1 3 3 3 积S△ABC＝2absin C＝2×6× 2 ＝ 2 .
[答案]
(1)A
(2)C
a b bsin A 100sin 30° 5 3 (2)依题意得sin A＝sin B，sin B＝ a ＝ ＝8< 2 ，因此 80 0° <B<60° 或120° <B<150° .若0° <B<60° ，则C＝180° －(B＋30° )>90° ，此 时△ABC是钝角三角形；若120° <B<150° ，此时△ABC仍是钝角三角 形．因此，此三角形一定是钝角三角形． A＋B 7 (3)因为4sin －cos 2C＝ 2 ，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1 2 7 7 1 1 2 2 ＝2，2＋2cos C－2cos C＋1＝2，cos C－cos C＋4＝0，解得cos C＝2.
3 3 (3) 2
互动探究
将本例(1)中“2asin B＝ 3b”改为“2bcos B＝acos C＋ ccos A，且 b2＝3ac，角 C 所对的边长为 c”，如何求解？ 解： 因为 2bcos B＝acos C＋ccos A， 根据正弦定理可得， 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A，即 sin 2B＝sin(A＋C) π ＝sin B，故 B＝ .因为 b2＝3ac，所以 sin2B＝3sin Asin C，即 3 3 1 1 3 2 得 2 ＝3×2×[cos(A－C)－cos(A＋C)]＝2cosA－C＋2， π π 2π cos(A－C)＝0，即 A－C＝ 或 C－A＝ ，又 A＋C＝ ，得 A 2 2 3 π 7π ＝ 或 . 12 12
答案： B
α β 1 2 π π α－ ＝－ ，sin －β ＝ ，且 <α<π，0<β< ，则 2．已知cos 2 9 3 2 2 2
α＋β cos 2 ＝________.
π π π α π π π 解析：因为 2 <α<π，0<β< 2 ，则 4 < 2 < 2 ，－ 2 <－β<0，－ 4 <－ β π β π α π 2<0，所以4<α－2<π，－4<2－β<2.
1－sin
2α
－β＝ 2
5 ， 3
α＋β β α 故 cos ＝cosα－2－2－β 2 β α β α ＝cosα－2cos2－β＋sinα－2sin2 －β 1 ＝－9×
5 4 5 2 7 5 ＋ × ＝ . 3 9 3 27
7 5 答案： 27
利用正弦、余弦定理解三角形
[例2] (1)(2013· 湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边
长分别为a，b.若2asin B＝ 3b，则角A等于 ( ) π π π π A.3 B.4 C.6 D.12 (2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝ 80，b＝100，A＝30° ，则此三角形 A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 ( )
－sin 40° 4sin 40°cos 40° sin 40° 2sin 80° · ＝ ＝ cos 40° －cos 40° cos 40° 2cos 10° －sin 40° 2cos 10° －sin30° ＋10° ＝ ＝ cos 40° cos 40° 3 3 － 2cos 10° 2 sin 10° ＝ cos 40°
3cos 30° 10° cos －sin 30° 10° sin 3cos 40° ＝ ＝ cos 40° ＝ 3. cos 40°
π tan α＋1 1 (2)由tanα＋4＝ ＝ ，得tan 1－tan α 2
1 α＝－3.
π 10 又－2<α<0，所以sin α＝－ 10 . 2sin2α＋sin 2α 2sin αsin α＋cos α 2 5 故 ＝2 2sin α＝－ 5 . π ＝ 2 cosα－4 2 sin α＋cos α 11 π 5 3 (3)∵cos(2α－β)＝－14且4<2α－β<π，∴sin(2α－β)＝ 14 .
α 2 β 1 π β α α－ ＝－ <0，sin －β ＝ >0，所以 <α－ <π，0< 又cos 2 9 2 2 2 2 3
π －β<2.
则
β sinα
2
α cos2－β＝
1 1 sin B，因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝2， 2 1 1 π 即sin(A＋C)＝2，故sin B＝2，因为a>b，所以∠B＝6. 答案：A
高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(2013·郑州模拟)若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.15 B ．－15C.513D ．－513解析：选D 由于α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z)，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3<0，故α＋π3是第四象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－513，∴c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435⇒32sin α＋12cos α＝－45⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45⇒cos ( α＋⎭⎪⎫2π3＝45. 3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析：选B 由正弦定理知bsin B ＝csin C，结合条件得c ＝b sin Csin B＝2 2.又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.4．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 根据正弦定理，可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b＋c ＝2a ，可得c ＝73b ，然后结合余弦定理，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以角C ＝2π3.5．(2013·东城模拟)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1; ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1; ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 因为在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，所以tanA ＋B2＝tan π－C 2＝cot C 2＝cosC 2sin C2，而sin C ＝2sin C 2·cos C 2，由tan A ＋B 2＝sin C ，得cos C2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C2≠0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，C ＝π2，A ＋B ＝π2，①③错误． 6．(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝si n 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2.7．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )A ．2 B.12C ．3D.13解析：选B 因为sin β＝m sin (2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，也即(1－m )sin(α＋β)·cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α，所以tan α＋βtan α＝1＋m 1－m ＝3，所以m ＝12.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量p ＝(1，－3)，q ＝(cos B ，sin B )，p ∥q ，且b cos C ＋c cos B ＝2a sin A ，则C ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A ∵p ∥q ，∴－3cos B ＝sin B ，即得tan B ＝－3，∴B ＝120°.∵b cosC ＋c cos B ＝2a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin 2A ，即sin A ＝sin(B＋C )＝2sin 2A ，又由sin A ≠0，得sin A ＝12，∴A ＝30°.C ＝180°－A －B ＝30°.9．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 法一：∵sin α＋cos α＝33， ∴(sin α＋cos α)2＝13，∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z)，∴4k π＋π<2α<4k π＋3π2(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.法二：sin α＋cos α＝33两边平方，得 1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝mc 2(m 为常数)，若tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，则m 的值为( )A ．2B ．4C ．7D ．8解析：选A由tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，得sin C cos C ·sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝2sin A sin B cos A cos B ，即sin C cos C ·sin A ＋Bcos A cos B ＝sin C cos C ·sin C cos A cos B ＝2sin A sin Bcos A cos B， 所以sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，因此cos C ＝sin 2C 2sin A sin B，综合运用正弦、余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab，所以a 2＋b 2＝2c 2，故m ＝2. 二、填空题11．(2013·浙江高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：△ABM 中，由正弦定理BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC ，所以32a ＝c a 2＋4b22b，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：6312．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.解析：法一：由θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sinθ＋cos θ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105. 法二：将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，得tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，所以sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105. 答案：－10513．在△ABC 中，角A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，AC ＝3，则边BC 的长为________． 解析：由题意可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又A 为三角形的一个内角，所以A ＝2π3.在△ABC中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝19，所以BC＝19.答案：1914．(2013·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝10，cos C ＝78，则△ABC 的面积的最大值为________．解析：∵在△ABC 中cos C ＝78，∴sin C ＝158，又由c ＝10－a －b ，可得c 2＝(10－a－b )2，则a 2＋b 2－2ab cos C ＝100＋a 2＋b 2－20(a ＋b )＋2ab ，整理可得4(a ＋b )＝20＋34ab ，∴20＋34ab ≥8ab ，整理可得3ab －32ab ＋80≥0，解得ab ≥203或ab ≤4.当ab ≥203时，仅当a ＝b ＝203时取等号，此时a ＋b ＝403>10，与a ＋b ＋c ＝10矛盾；当ab ≤4时，S △ABC ＝12ab sin C ＝1516ab ≤1516×16＝15，当且仅当a ＝b ＝4时取等号．答案：1515．在某海岛上有一座海拔1千米的山，山顶A 上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该轮船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船的航行速度是________千米/小时．解析：如图所示，设海岛的底部为点D .在Rt △ABD 中，BD ＝1tan 30°＝3；在Rt △ACD 中，CD ＝1tan 60°＝33.故在Rt △BCD 中，BC ＝3＋13＝303. 所以轮船的速度为30316＝230(千米/小时)．答案：23016．(2013·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①b a cos C <1－c acos B ；②△ABC 的面积为S △ABC ＝12AB u u ur ·AC u u u r ·tan A ；③若a cos A ＝c cos C ，则△ABC 一定为等腰三角形；④若A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是－1<sin A ＋cos A <1； ⑤若A ＝π3，a ＝3，则b 的最大值为2.解析：对于①，注意到当△ABC 是正三角形时，b a cos C ＝12＝1－cacos B ，因此①不正确；对于②，注意到当A ＝π2时，tan A 不存在，此时结论显然不成立，因此②不正确；对于③，注意到当A ＝30°，C ＝60°时，A ＋C ＝B ＝90°，此时有a cos A ＝c cos C 成立，但△ABC 不是等腰三角形，因此③不正确；对于④，由△ABC 是钝角三角形，A 是最大内角得A 是钝角，即90°<A <180°，135°<A ＋45°<225°，sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)∈(－1,1)；反过来，由－1<sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)<1得－22<sin(A ＋45°)<22，135°<A ＋45°<225°，又A 是最大的内角，因此60°≤A <180°，135°<A ＋45°<225°，所以90°<A <180°，由此可知④正确；对于⑤，依题意得asin A＝bsin B，bsin B＝3sinπ3＝2，b ＝2sin B 的最大值是2⎝ ⎛⎭⎪⎫当B ＝π2时取得最大值，因此⑤正确．综上所述，其中正确命题的序号是④⑤.答案：④⑤。
【状元之路】高考数学二轮复习 专题知识突破 1-2-2 三角恒等变换与解三角形课件(文、理)新人教A版
解析 先由正弦定理求出 sinB，再求角 B.关键在于对解的个数 的判断．
由正弦定理，得sianA＝sibnB.把 A＝π6，a＝1，b＝ 3代入，解得 sinB＝ 23.因为 b>a，所以 B>A，结合题意可知 B＝3π或23π.
5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 推论：cosA＝b2＋2cb2c－a2，cosB＝a2＋2ca2c－b2， cosC＝a2＋2ba2b－c2. 变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB， a2＋b2－c2＝2abcosC.
答案 1
知识方法·考点串联
连点串线成面 构建知识体系
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ. (3)tan(α±β)＝1ta∓ntaαn±αttaannββ.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan2α＝1－2tatannα2α.
3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明．
4．正弦定理 sianA＝sibnB＝sincC＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. a:b:c＝sinA:sinB:sinC.
高考数学(理科)二轮复习课件：2.2三角4.3
考向一
考向二
考向三
考向四
对点训练 1(2018 全国卷 1,理 21)已知函数 f(x)= -x+aln x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明:
解:
������ ������2 ������������+1 1 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=- 2-1+������=- - 2 . ������ ������
,使得
此时 g(x)在区间(0,x0)内为增函数,在(x0,+∞)内为减函数, 又 g(x0)=������ − e������ 0 =0, ∴
1 ������0
0
1
= e������ 0 ,x0=-ln x0.
1 1 1 ,1 2 1 ������0
0
∴g(x)max=g(x0)=ln x0-e������ 0 +2=-x0-������ +2=- ������0 + ������0 +2.
1 ������
������(������1 )-������(������2 ) <a-2. ������1 -������2
①若 a≤2,则 f'(x)≤0,当且仅当 a=2,x=1 时 f'(x)=0,所以 f(x)在(0,+∞)单
调递减.
②若 a>2,令 f'(x)=0 得,x=������������+ ������2 -4 ,+∞ 2
考向一
考向二
考向三
考向四
证明不等式(多维探究) ������ln������-������e������ 例1(2018河北保定二模,理21)已知函数 f(x)= (a,b∈R且 ������ a≠0,e为自然对数的底数). (1)若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为0,且f(x)有极小值,求实 数a的取值范围; (2)当a=b=1时,证明:xf(x)+2<0.
《三角恒等变换(二)》示范公开课教学课件【高中数学人教】
1
10 10
2
=
3 10 10
；
所以cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ=
2
5×3 10
5 10
－
5×
5
10 = 2 ．
10 2
又由α，β均为锐角，可得0<α+β<π，所以α+β=
π 4
．
环节二、技能初建
4．方法提炼
问题4 请结合例3的解答过程进行总结，对于已知三角函数值求角的问题， 一般采取什么样的思路进行求解？
2
2
2
2
2 1 cos
并称之为“半角公式”（这组公式不需要记忆），符号由 所在象限决定．
2
另外，公式sin2 = 1 cos 和cos2 = 1 cos ，从左边到右边，它们的次数从
2
2
22
二次降为一次，而角则由扩大为α，因此也被称为“降幂（扩角）公式”．
环节二、技能初建
1．典例精析
例（22）（在1）△已AB知C锐中角，αc满osA足=s4in， 6tanB=2，13，求求tans2inCα的的值值．．
2
cosα＝2cos2
2
－1，所以cos2
2
=
1+ cosα 2
．
②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2 = 1 cosα ．
2 1+ cosα
环节二、技能初建
1．典例精析
教师讲解：例1的结果还可以表示为：
sin = 1 cos ，cos = 1 cos ，tan = 1 cos ，
环节二、技能初建
1．典例精析
例1 试以cosα表示sin2 ，cos2 ，tan2 ．
2014届高考数学二轮专题热点提升训练三角恒等变换与解三角形(2)
常考问题7 三角恒等变换与解三角形[真题感悟]1．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ ( )．A.16B.13C.12D.23解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.答案 A2．(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )． A.π2B.π6C.π4D.π3解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 3sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.答案 D3．(2013·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析 由已知和正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．答案 B4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )．A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析 因为B ＝π6，C ＝π4，所以A ＝7π12.由正弦定理得b sin π6＝csinπ4，解得c ＝2 2. 所以三角形的面积为12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12.因为sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝32×22＋22×12＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12，所以12bc sin A ＝22×22⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12＝3＋1，选B.答案 B5．(2013·福建卷)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．解析 ∵sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3，即BD ＝ 3. 答案3[考题分析]题型 选择题、填空题、解答题难度 低档 利用正弦定理、余弦定理求三角形的边、角以及判断三角形形状． 中档 以解答题形式考查正余弦定理与三角恒等变换的综合问题.。
2014版高中数学复习方略配套课件：小专题复习课(二)(北师大版 理 通用)
5
10
cos A 1 sin2A 2 5 ,cos B 1 sin2B 3 10 ,
5
10
cosA B cos Acos B sin Asin B
2 5 3 10 5 10 2 . 5 10 5 10 2
0＜A B＜,A B .
答案：
4
4
3.（2013·合肥模拟）已知 ( ,),且sin cos 2 3 .
2 6, 4
所以B=30°, sin B 1 ,
2
由正弦定理得 b a sin B 2 6 1 2.
sin A
2 6 2
4
3.在△ABC中，AB= 3，点D是BC的中点，且AD=1，∠BAD=30°, 则△ABC的面积为________.
【解析】如图所示，在△ABD中，
BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos 30°
C所对的边，S是该三角形的面积，若向量m=(2sin B,cos 2B),
n (2cos2 ( B), 1),且m n 3 1. 42
(1)求角B的大小.
(2)若B为锐角，a=6, S 6 3, 求b的值.
【解析】（1）由m·n= 3-1得
4sin Bcos2 ( B) cos 2B 3 1. 42
1 cos( B)
4sin B
2 1 2sin2B
2
2sin B 1 3 1，
3 1，
sin B 3，B 或B 2 .
2
3
3
(2)因为B为锐角，所以 B .
3
由a=6,S=6 3得, 1 ac 3 6 3,c 4.
22
由b2=a2+c2-2accos
3
=36+16-2×6×4×1 =28,
2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义：专题二 第1讲三角函数的图像与性质-推荐下载
二、经典例题领悟好
π ，π
[例 1] (1)(2013·辽宁五校第二次联考)若 θ∈(2 )，则
A．sin θ－cos θ
C．±(sin θ－cos θ)
B．cos θ－sin θ
D．sin θ＋cos θ
(2)(2013·江西师大附中模拟)已知角 α 终边上一点 P( 3，1)，则 2sin 2α－3tan α＝( )
A．－1－3 3
C．－2 3
[解析] (1)
1－2sinπ＋θsin －θ
＝ 1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，
π ，π
又 θ∈(2 )，
∴sin θ－cos θ>0，
故原式＝sin θ－cos θ.
3π
( ) 2
B．1－3 3
D．0
(2)由已知得|OP|＝2，由三角函数定义可知 sin α＝2，cos α＝ 2 ，即 α＝2kπ＋6(k∈Z)．
当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，否则机械地使用三
角函数定义会出现错误.
2利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，
其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.
三、预测押题不能少
π ＋β
1．(1)已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cos(2 )＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，
3 ∠AOB＝α.若点 A 的纵坐标为5，则 sin α＝________；tan 2α＝________.
3
3
解析：由点 A 的纵坐标为5及点 A 在第二象限，得点 A 的横坐标为－5，所以 sin
高三数学二轮复习 专题整合突破三角恒等变换与解三角形 课件理
π 1 sin3＝2.
π 2π π (2)∵α∈3，2，∴2α∈ 3 ，π ，
1 3 又由(1)知 sin2α＝2，∴cos2α＝－ 2 2 2 1 sinα cosα sin α－cos α －2cos2α ∴ tanα－ tanα ＝ cosα － sinα ＝ sinαcosα ＝ sin2α ＝ 3 －2 －2× 1 ＝2 3. 2
即
π 1 sin2α＋3＝－2.
π π 4π π ∵α∈3，2，∴2α＋3∈π， 3 ， π ∴cos2α＋3 ＝－
3 2，
π π π π π ∴ sin2α ＝ sin 2α＋3－3 ＝ sin 2α＋3 cos 3 － cos 2α＋3
解答此类问题的关键是结合已知条件， 求出相应角的三 角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.
题型 2 典例 2
求值 [2016· 安徽合肥质检]已知
π π cos6＋α· cos3－α
π π 1 ＝－4，α∈3，2 .
[重要结论] 1．判断三角形形状的常用结论 (1)sinA＝sinB 且 A＋B≠π⇒ 等腰三角形
π (2)sin2A＝sin2B⇒ A＝B 或 A＋B＝2
； ⇒等腰或直角
三角形； (3)cosA＝cosB⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (4)cos2A＝cos2B⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (5)sin(A－B)＝0⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (6)A＝60° 且 b＝c⇒ 等边 三角形；
5．降幂公式
1－cos2α 2 (1)sin2α＝
；
1＋cos2α 2 (2)cos2α＝ .
高考理科数学二轮专题提分教程全国课件三角恒等变换与解三角形
1 2 3
同角三角函数基本关系式
$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$，$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$
诱导公式
利用周期性、奇偶性等性质推导出的公式，如 $sin(pi - alpha) = sinalpha$，$cos(-alpha) = cosalpha$
利用解三角形解决光学问题
03
通过观测光的入射角、反射角和折射角，利用三角函数关系解
决光学问题。
05
高考真题解析与应试技巧
高考真题分类解析
三角函数性质与图像变换
通过历年高考真题，深入剖析三角函数周期性、奇偶性、单调性等 性质，以及图像的平移、伸缩、对称等变换规律。
三角恒等变换公式应用
系统梳理和、差、倍、半角公式，以及积化和差、和差化积等恒等 变换公式，结合高考真题讲解其在解题中的灵活应用。
利用解三角形测量距离
通过观测角度和已知长度，利用三角函数关系 计算两点之间的距离。
利用解三角形进行定位
通过观测多个角度和已知长度，利用三角函数关系确定目标物体的位置。
航海、航空问题中的解三角形
利用解三角形确定航向
通过观测目标方位角和距离，利用三角函数 关系计算航向。
利用解三角形计算航行时间
通过观测目标方位角和速度，利用三角函数 关系计算航行时间。
两角和与差公式
$sin(alpha pm beta)$，$cos(alpha pm beta)$，$tan(alpha pm beta)$的表达式
三角恒等式及其证明
三角恒等式
在特定条件下始终成立的等式，如 $sin^2alpha + cos^2alpha = 1$， $tan^2alpha + 1 = sec^2alpha$
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 第1讲 三角函数的图像与性质选择、填空题型
1．(2013· 山东高考)将函数 y＝sin(2x＋φ)的图像沿 x 轴向左 π 平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 φ 的一个 8 可能取值为 3π A. 4 C．0 π B. 4 π D．－ 4 ( )
π 解析：把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移 8 个单位后，
π 得到的图像的解析式是y＝sin 2x＋4＋φ ，该函数是偶函数
7πω ωπ 3π 1，由图可得 12 ＋ 6 ＝ 2 ，解得ω＝2，所以平移后的图像对
π 应的函数解析式为y＝sin2x＋3.
[答案]
(1)C
(2)C
——————————规律· 总结————————————
根据三角函数图像确定解析式应注意的问题 在利用图像求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关参数时， 注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据 图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k 的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的 陷阱． ————————————————————————
π 2π π 2 － ＋ ＝f ＝－ . f 6 3 3 2
答案：A
4.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，>0,0<φ<π) 为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△ EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为 ( 3 A．－ 2 C. 3 6 B．－ 2 D．－ 3 )
a2 ＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝ a4
3 sin x 的图像向左平移n(n>0)个单位，所得图像对应的函数 1 cos x ( 5π C. 6 2π D. 3 )