河南省南阳市第一中学2021届高三上学期第二次月考(9月)数学(理)试题
19(12 分)．已知函数 f (x) e2x 1 ax2 e x ax2(a R) .
（1）证明：当 x e2 时， ex x2 ； （2）若函数 f (x) 有三个零点，求实数 a 的取值范围.
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20(12 分)．已知函数 f (x) (ax 2)ex e(a 2) .
(a 2)x 1, (x 1)
6．已知函数
f
(x)
loga
x, (x
1)
, 若 f (x) 在 (, ) 上单调递增，则实数 a
的取值范围为（ ）
A． (1, 2)
B． (2,3)
C． (2,3]
D． (2, )
7．已知函数 f x x ex ex ，对于实数 a，b ，“ a b 0 ”是
B．–2
C．2
D．4
2．命题
p
：
x
0,
2
，
x
sin
x
，则命题
p
是（
）
A．
x
0,
2
，
x
sin
x
B．
x
0,
2
，
x
sin
x
C．
x0
0,
2
，
x0
sin
x0
D．
x0
0,
2
，
x0
sin
x0
3．函数 f x log2x 2x 1的零点必落在区间( )
A． 1, 2
B．
1 2
,1
a
的取值范围.
选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
22．在平面直角坐标系
xOy
中，
l
的参数方程为
x y
1 t 1 t t 1 t
,
（t
为参数）.以坐标原点
O
为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为
2
12 3 sin2
2
（1）
1
0.0645
—52
3
3
33 8
0
（2）
2lg 2 lg 3
1 1 lg 0.36 1 lg16
2
4
18(12
分)．已知奇函数
f
x
a2x 1 2x 1
的定义域为 a
2, 3b
.
(1)求实数 a , b 的值;
(2)若 x a 2,3b,方程 f x2 f x m 0 有解,求 m 的取值范围.
.
（1）求 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求曲线 C 上的点到 l 距离的最大值及该点坐标.
23．已知函数 f (x) x x 1 （1）求不等式 f (x) 2 的解集； （2）设 f (x) 的最小值为 s ，若 a 0, b 0, c 0 ，且 a b c s ，求 1 3a 3b 2c 1 的取值范围.
C．
1 4
,
1 2
D．
1 8
,
1 4
4．已知奇函数 f (x) 满足 f (x) f (x 4) ，当 x (0,1) 时， f (x) 2x ，则 f log2 12
（）
A． 4 3
23
B．
32
3
C．
4
D． 3 8
5．函数
f
x
xln
x x
1
的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
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“ f a f b 0 ”的( ).
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数 f x a sin x b tan x x2 1，若 f 10 100 ，则 f 10 （ ）
cos x
A． 100
B． 98
C． 102
D． 102
9．已知函数 f x 为 R 内的奇函数，且当 x 0 时， f (x) ex 1 m cos x ，记
12．已知函数
f
(x)
e x
mx
m 2
,x
0
（ e 为自然对数的底），若方程
ex (x 1), x 0
f (x) f (x) 0 有且仅有四个不同的解，则实数 m 的取值范围是（ ）．
A． (0, e)
B． (e, )
C． (0, 2e)
D． (2e, )
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二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
a 2 f 2 ，b f 1 ，c 3 f 3 ，则 a,b, c 间的大小关系是（ ）
A． b a c B． a c b C． c b a D． c a b
10．若对 xl ， x2
m,
，且 xl
x2
，都有
x1lnx2 x2
x2lnx1 x1
1，则 m 的最小值是 (
（Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）当 x 1 时， f (x) 0 ，求 a 的取值范围.
21(12 分)．已知函数 f x ex cos x 2 ， f x 为 f x 的导数.
（1）当 x 0 时，求 f x 的最小值；
（2）当
x
π 2
时，
xex
x
cos
x
ax22xFra bibliotek0恒成立，求
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南阳市一中 2020 年秋期高三第二次月考
理数试题
命题人：许青彦（1—16）李大勇（17—23）审题人：杨要理 一．选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（ ）
A．–4
f
(x)
ex
k
1 x
ln
x
1(k
R)
在 (0, ) 上存在唯一零点
x0
，则下列
说法中正确的是________.（请将正确的序号填上）
①
k
2 ；②
k
2 ；③ ln
x0
x0
；④
1 e
x0
1 2
.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步
骤.）
17(12 分)．化简下列各式：
13．若
f
(x)
对于任意实数
x
都有 2
f
(x)
f
1 x
2x
1
，则
f
1 2
__________.
14．曲线
y
sin
x
，
x
0,
3 2
与
x
轴所围成的如
图所示的阴影部分面积是______.
15．已知实数 x, y 满足 (2x y)2 4 y2 1, 则2x+y
的最大值为________.
16．已知函数
) 注： (e 为自然对数的底数，即 e 2.71828)
1
A．
e
B．e
C．1
3
D．
e
11．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，且 f x 2 f x ．当 x 0,1 时，
f x 2x 1，则函数 g x x 2 f x 1在区间3, 6 上的所有零点之和为
（）
A．2 B．4 C．6 D．8
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河南省南阳一中2021届高三数学上学期第一次月考（8月）试题一：选择题（每小题5分，共60分） 1.函数x x y 412-+=的最小值是（ ）A.1B.21 C.41D.2 2.函数)1(42≥+=x x x y 的最小值是（ ） A.5 B. 4 C.3 D.23.函数)12(-x f 的定义域是]2,1[，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）A.]3,1[B. ]42[，C.]10[，D.]2,0[4.函数)(x f 满足x x f x f =--)1(2)(，则函数)(x f 等于（ ）A.32-x B. 32+x C.1-x D.1+-x 5.函数),3[,1223)(+∞∈++=x x x x f 的值域是（ ） A. ),711[+∞ B. ),23[+∞ C.)2,711[ D.]711,23（6.函数⎩⎨⎧≥<-+=.2,log ,2,4)21()(x x x a x a x f a 是R 上的增函数，则实数a 的范围是（ ）A. ]2,1(B. ),21(+∞ C.)2,21( D.),1+∞（7.已知函数)(x f 的值域是]5,1[，则)(52)()(x f x f x g -+=的值域是（ ） A. ]8,4[ B. {}5 C.]6,5[ D.]6,4[8.函数)(x f 是R 上的奇函数，且函数())1(+=x f x g 是R 上的偶函数，则函数)2020(f 等于 （ ） A. 1- B. 1 C.0 D.20219.函数)1(lg )(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的范围是（ ） A.]4,0[ B. )4,0( C.),4()0,(+∞-∞ D.)4,0[ D10.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．函数()21||21()log 112x f x x=+--，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 取值范围是（ ）A ． (,1]-∞B ． 111[,)(,1]322⋃ C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦12.设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞ D ．4[,)3-+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数2)1()1lg()(-++=x x x x f 的定义域为14.函数1)13()(2+-+=x a ax x f 的值域为R ，则实数a 的范围是15. 已知函数)3(ln )(2+-=ax x x f 在]4,3[上是增函数，则实数a 的范围是16．若函数()22f x x x a =-+在()0,2内有两个零点，则a 的取值范围是______．三：解答题（共70分）17．（10分）已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.18. （12分）已知函数21()12x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若对任意实数，不等式[]()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.19．（12分）已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值.20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ- （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.21．（12分）已知函数()()217g x x m x m =--+-.（1）若函数()g x 在[]2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的范围22．（12分）已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性．高三2021年秋期第一次月考数学学科试卷 一：选择题（每小题5分，共60分）1---5：B C D A D 6----10：A C C D B 11--12：B D 二：填空题13：{}101≠≠->x x x x 且且:14：{⎭⎬⎫≤≤≥9101a a a 或:15：)4,(-∞:16：{|01}a a << 三：解答题17．已知函数()()210f x x a x a =++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.18.已知函数21()12x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若对任意实数，不等式[]()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.解：（Ⅰ）∵()f x 为R 上的奇函数，∴()00f =，即102a -=，由此得1a =;经检验符合题意，故1a =（Ⅱ）由（1）知()21212121x x xf x -==-++∴()f x 为R 上的增函数. 证明，设12x x <，则()()12211222221121212121x x x x f x f x ⎛⎫-=---=- ⎪++++⎝⎭ ∵12x x <，∴212202121x x -<++，∴()()12f x f x <∴()f x 为R 上的增函数.法二：0)12(22ln 2)(2>+⋅='x xx f ∴()f x 为R 上的增函数. （Ⅲ）∵()f x 为R 上的奇函数∴原不等式可化为()()3f f x f m ⎡⎤>--⎣⎦，即()()3f f x f m ⎡⎤>-⎣⎦ 又∵()f x 为R 上的增函数，∴()3f x m >-， 由此可得不等式()23421xm f x <+=-+对任意实数x 恒成立 由2202110221x xx >⇒+>⇒<<⇒+ 22202442121x x-<-<⇒<-<++∴2m ≤.即]2,(-∞19．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 【详解】（1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当21x <-时，()135122,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去，当122x -≤≤时，()15222x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立，当2x >时，()13522,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去，则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）设集合M 中元素的最大值为2t =，即111423a b c++=.又因为22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以即2993a b c++的最小值14，当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.解：（Ⅰ）由223cos 193x x y y αα=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩,所以曲线的普通方程为22193x y +=由sin()sin cos cos sin 142442y x πππρθρθρθ-=⇒-=⇒-= 所以直线的直角坐标方程1y x =+（Ⅱ）由（Ⅰ）知,点-1,0P （）在直线l 上,可设直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）, 代入22193x y +=得2280,2640t --=∆=+> 设,A B 两点对应的参数分别是12,t t ,则121242t t t t +==-由参数的几何意义得122PA PB t t +=-==,所以PA PB += 21．已知函数()()217g x x m x m =--+-.（1）若函数()g x 在[]2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的取值范围.【详解】(1)()g x 的对称轴的方程为12m x -=，若函数()g x 在[]2,4上具有单调性， 所以122m -≤或142m -≥，所以实数m 的取值范围是5m ≤或9m ≥. （2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，则()21729x m x m x --+->-在[]1,1-上恒成立，即()2120x m x m -+++>在[]1,1-上恒成立，设()()212f x x m x m =-+++，则()min 0f x >， 当112m -≤-，即3m ≤-时，()()min 1240f x f m =-=+>，此时m 无解， 当1112m --<<，即31m -<<时，()2min 11702424m m f x f m +⎛⎫==-++> ⎪⎝⎭，此时11m -<<，当112m -≥，即1m ≥时，()()min 120f x f ==>，此时1m ≥，综上1m ≥-22．已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值；（2）讨论函数的单调性．详解：（1）∵()()2112f x ax a =+- ()12ln x a x +-， ∴()()()1210a f x ax a x x -=++'->， 由已知()()122212a f a a -=+-+' 1202a =-=，解得14a =， 此时()2131ln 842f x x x x =-+， ()131442f x x x =-+' ()()124x x x--=， 当01x <<和2x >时， ()0f x '>， ()f x 是增函数，当12x <<时， ()0f x '<， ()f x 是减函数，所以函数()f x 在1x =和2x =处分别取得极大值和极小值，()f x 的极大值为()1351848f =-=-，极小值为()13112ln2ln212222f =-+=-. （2）由题意得()()121a f x ax a x -=+-+' ()()2112ax a x a x+-+-= ()()1210a a x x a x x-⎛⎫-- ⎪⎝⎭=>， ①当120a a -≤，即12a ≥时，则当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减； 当1x >时 ,()0f x '>,()f x 单调递增． ②当1201a a -<<，即1132a <<时，则当120a x a-<<和1x >时,()0f x '>， ()f x 单调递增；当121a x a-<<时,()0f x '<,()f x 单调递减． ③当121a a ->，即103a <<时，则当01x <<和12a x a->时，()0f x '>,()f x 单调递增；当121a x a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减． ④当121a a -=，即13a =时，()0f x '≥，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增． 综上：①当103a <<时，()f x 在区间121,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1和12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②当13a =时，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增；③当1132a <<时， ()f x 在区间12,1a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增；④当12a ≥时 ()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间（1,+∞）上单调递增．。
河南省南阳市第一中学2021届高三上学期第二次月考(9月)数学(理)答案
南阳市一中2020年秋期高三第二次月考理数参考答案一、单选题1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题13．314．315．√216．①③ 三、解答题17．（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++.18．（1）因为奇函数定义域关于原点对称，所以230a b --+=.又根据定义在0x =有定义，所以()00210021a f ⋅-==+，解得1a =，1b =. （2）[]3,3x ∈-，令()2121x x f x t -==+，7799t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭则方程()()20f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解等价于20t t m +-=7799t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭有解 也等价于2y t t =+7799t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭与y m =有交点. 画出图形根据图形判断：由图可知：1112481m -≤≤时有交点，即方程()()20f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解. 19．（1）令()2ln g x x x =-，则'2()1g x x=-，当2x e ≥时，'()0g x >，故()g x 在2[e ,)+∞上单调递增，所以22()(e )e 40g x g ≥=->， 即2ln x x >，所以2x e x >. （2）由已知，()2222(e )()()e1e e 1x x x xf x ax a ax x ==---++，依题意，()f x 有3个零点，即2e 0xax -=有3个根，显然0不是其根，所以2ex a x=有3个根，令2e ()x h x x=，则'3e (2)()x x h x x -=，当2x >时，'()0h x >，当02x << 时，'()0h x <，当0x <时，'()0h x >，故()h x 在(0,2)单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上 单调递增，作出()h x 的图象，易得2e 4a >. 故实数a 的取值范围为2e(,)4+∞.20．解：（1）()()2xf x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意. 当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.21．（1）()e sin x f x x '=-，令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos xg x x '=-.当[)0,πx ∈时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；当[)π,x ∈+∞时，()πe 10g x '≥->.故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1. （2）令()e cos 2xh x x ax =+--，()e sin xh x x a '=--，则本题即证当π2x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立.当1a ≤时，若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即()0x h x ⋅≥恒成立；若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()e cos x h x x ''=-，()e sin xh x x '''=+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，又()01h '''=，π2πe 102h -⎛⎫'''-=-< ⎪⎝⎭，故存在唯一0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '''=.当0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数.。
2021届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次月考(9月)数学(理)试题解析
2021届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次月考（9月）数学（理）试题一、单选题1．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4答案：B由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 解：求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B. 点评：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．命题p ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x >，则命题p ⌝是（ ） A ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x ≤B ．0,2x π⎛⎫∀∉ ⎪⎝⎭，sin x x > C ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin x x ≤ D ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin x x > 答案：C原命题是全称命题，其否定为存在性量词命题，故按规则可写出原命题的否定. 解：因为p ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x >，故p ⌝：00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin x x ≤. 故选：C. 点评：全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性量词命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 3．函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间( ) A ．()1,2 B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,84⎛⎫⎪⎝⎭答案：B由题意得()10f >，102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()1 102f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数零点存在性定理可得出答案． 解： 由题得211log 111022f ⎛⎫=+-=-<⎪⎝⎭，()21log 12110f =+-=>， 而()1 102f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 根据函数零点存在性定理可得函数()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 故答案为B. 点评：本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．4．已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A ．43-B ．2332 C ．34D ．38-答案：A利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果. 解：由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数，由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选A. 点评：本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题.5．函数()ln 1-=x x f x x的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：A利用特殊点的函数值，由排除法得解． 解： 解：32(3)203ln f ln ==>，故排除D ； (1)20f ln -=-<，故排除C ； 11()022f ln =<，故排除B ； 故选：A ． 点评：本题考查函数图象的确定，属于基础题．6．已知函数(2)1,(1)()log ,(1)a a x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩，若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2,)+∞答案：C利用分段函数的单调性列出不等式组，可得实数a 的取值范围． 解：()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则()201211log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩解得23a <≤ 故选：C 点评：本题考查函数单调性的应用，考查分段函数，端点值的取舍是本题的易错． 7．已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 解：因为()()()()xx x x f x x ee x e ef x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-，函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C. 点评：本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8．已知函数()2sin tan 1cos a x b xf x x x+=++，若()10100f =，则()10f -=（ ）A ．100-B ．98C ．102-D ．102答案：D令()()21g x f x x =--，根据奇偶性定义可判断出()g x 为奇函数，从而可求得()()10101g g -=-=，进而求得结果.解：令()()2sin tan 1cos a x b xg x f x x x+=--=()()()()()sin tan sin tan cos cos a x b x a x b xg x g x x x-+---∴-===--()g x ∴为奇函数又()()210101011g f =--=- ()()10101g g ∴-=-=即()()2101011f ----= ()10102f ∴-=本题正确选项：D 点评：本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数，利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.9．已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()e 1cos xf x m x =-++，记()22a f =--，()1b f =--，()33c f =，则,,a b c 间的大小关系是（ ）。
河南省南阳市第一中学2021届高三上学期第二次月考（9月）英语试题附答案
河南省南阳市第一中学2021届高三上学期第二次月考（9月）英语试题附答案高三2020年秋期第二次月考英语学科试卷第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C、D）中，选出最佳选项。
AThe Dezeen x Samsung Out of the Box Competition is a global contest that challenges contestants to design innovative objects for the home that can be made by repurposing cardboard packaging. It's inspired by Samsung's Eco-Packaging, in which some of its televisions are shipped to customers.Judging criteriaEntries will be judged on how original the idea is, how visually appealing the object is and how useful it would be in the home.Who can enterThe competition is free to enter for anyone over 18 around the world. Entries from individuals and teams will both be accepted.How to enterContestants will need to submit their entry via the form down-loadable here: http://www. /samsung-out-of-the-box-competition-entry-form/. The following information should be included in the form: the name of the design, a description of its concept (maximum 300 words), one to ten images showing the object in use in the home. A video oranimation (动画) displaying the design and its assembly (组装) is optional.Closing dateAll entries must be received by 23:59 BST on October 29, 2020.Shortlist (入围名单)and finalistsIn November 2020, Dezeen and Samsung will select a shortlist of the best designs, which will be published on the Dezeen website. In December 2020, five finalists will then be exhibited at IFA Berlin, one of the world's largest trade fairs for consumer electronics. Entrants behind the top five designs will be invited to attend the IFA to present their designs to an English-speaking jury.Winners and prizesThe competition is awarding $20,000 in total prize money, which will be divided among the top five finalists. The overall winner will receive a top prize of $10,000.21.Which of the following is NOT a criterion for deciding who takes first place in the Samsung Out of the Box Competition?A. CostB. FunctionC. CreativityD. Appearance22. Lily, who decides to enter the Competition, will have to submit all the following informationEXCEPT FOR __________.A. ①①B. ①①C.①①①D. ①①23.Which of the following statements is true?A. Each of the finalists will receive a prize of $4,000.B. The overall winner will have a chance to visit Samsung.C. The best designs will be published on the Dezeen website.D. The finalists will represent their designs at IFA in their native languages.BIt was during a school trip to the Art Gallery of NSW that I realized I was not white.Aged eight, rough and noisy like any child travelling to an exciting place miles away from their own home, I was seriously reminded by a supervising teacher to stay in one place. T o ensure this happened, and that I did not escape to a closed-off exhibition area the minute her eyes turned elsewhere, she forced me to hold the hand of a quiet, modest girl in my class, the typical teacher’s pet.Already feeling incredibly self-conscious, the moment took a turn for the worse when a fellow classmate eyed our interlocked hands. With a finger pointing accusingly towards us, he said,“God, I can see her hand turning black already.”That night I came home and cried in the shower. My own secret purchase of a Dove beauty bar failed to wash off the thick layer of dark grime (污点) onto my skin. For the first time I was forced to confront the vast valley between who I thought I was and who I actually was.Race proceeded to become something I struggled with all throughout adolescence. In stories like these, the climax (高潮) usually comes during university. To an extent, that was true.In your hands today is an edition that celebrates stories like mine, of lives and experiences informed by race.While race is the source of many of our struggles, it is also the location of our characteristics, dearest stories, and most loved people. We have come to understand life better from our race. As people coming from an ethno-cultural (种族文化的) minority, our race informs, but does not single-handedly define, who we are.24.Why did the teacher ensure the author stayed in one place?A. She punished the author because the author was not white.B. She was happy to see the author and the girl hand in hand.C. She was afraid the author would be laughed at by her classmates.D. She was afraid the author would run to a forbidden exhibition area.25.When did the author realize what the race meant to her?A. The moment the boy said her hands were black.B. The minute the teacher required her to stay still.C.The moment she bought a Dove beauty bar secretly.D. The night the bar couldn’t wash off the dirt from her skin.26. It is inferred from the text that .A. she struggled hardest during her college yearsB. she fought for those who were treated in an unfair wayC. she realized who she actually was during her adolescenceD. she struggled against the prejudice all her life27.Which of the following can be the title of the passage?A. Race Is EverywhereB. Race Taught Me a LotC. Minorities Are the BestD. Race Defines Who We AreCA walk through the galleries of Quebec's Montreal Museum of Fine Arts (MMFA) places individuals face-to-face with some 43,000 artworks ranging from Chinese ceramics (陶瓷制品) to Inuit sculpture.While the visiting is an incredible cultural experience, a group of local physicians will soon be able to prescribe (开处方) museum visits as treatment for some illnesses."We know that art contributes to neural (神经的) activity," said MMFA director Nathalie Bondil. "What we see is that being in contact with art can really help your well-being."Hélène Boyer, vice president of a Montreal-based medical association, explains that museum visits have been shown to increase levels of serotonin, a neurotransmitter (神经传导物质) known as the "happy chemical" which helps to lift mood.According to Boyer, the small increase in hormones（荷尔蒙）associated with enjoying an afternoon of art is similar to that offered by exercise, making museum prescriptions ideal for the elderly experiencing pain that prevents them from regularly joining in physical activity.The museum visits are designed to improve traditionalmethods. As Bondil notes, spending time in a peaceful environment can provide a welcome distraction. "What is most important is this experience can help them escape from their own pain," she says. "When you enter the museum, you escape from the speed of our daily life.""I am convinced that in the 21st century, culture will be what physical activity was for health in the 20th century," said Bondil. "Some people would do well to recall that just in the 19th century, sports were believed to do harm to the body. Just as doctors now prescribe exercise, they。
河南省南阳市第一中学2021届高三历史上学期第二次月考(9月)试题.doc
河南省南阳市第一中学2021届高三历史上学期第二次月考（9月）试题一、选择题：本大题共40小题，每小题1.5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．公元前5世纪的时候，古希腊的城邦通常被座城墙围绕，市内有一个被称为“卫城”的地方。
在卫城上耸立着各种神庙祭坛、公共纪念物，有很多廊柱店铺、法庭，以及给城邦众神的各种供奉司。
这说明“卫城”是A．培养集体意识的场所 B．保卫城邦的前沿阵地C．城邦的政治中心 D．公民的理想国度2．雅典有一种专门的官员，坐在高高的地方监督集会的举行，如果他们发现法律遭到攻击，就会打断演说家的演讲，命令立即解散集会，要求人民散去，不能投票。
这说明在古代雅典A．政治生活缺乏法制基础 B．严格规范公民政治运行C．民主原则贯穿司法过程 D．注重法律程序的正义性3．公元前5世纪，希腊的两个著名城邦雅典和斯巴达发生战争，结果，经济高度繁荣、准备十分充分的雅典被斯巴达打败。
在总结雅典丢掉这场战争的原因时，著名的历史学家波里比阿认为：“一切事务成败的首要原因在于国家制度的形式。
国家制度是所有设想和行动计划的源泉，也是其得以实现的保证。
”根据材料，在波里比阿看来，雅典失败的原因在于A．雅典直接民主制的弊端 B．雅典社会制度的落后C．雅典贵族专制社会黑暗 D．雅典社会矛盾的尖锐4．有学者研究雅典司法时得出结论：除了凶杀和叛国案之外，所有的案件都是由公民充任审判员，轮流参与法庭审判的结果。
这反映出古代雅典A．民众法庭拥有最高权力 B．判决体现权力来源C．全体公民平等参与政治 D．法律面前人人平等5．古罗马时期,当事人定立“不索债简约”以后,若债权人反悔并要求债务人给付,只要债权人具备相关免债能力,债务人可以拒绝,这是一种比较典型的“和解协议”。
罗马法中的“和解”A．损害了债权人的利益 B．表现了私法的灵活性C．实现了人与人的平等 D．成为现代债权法的依据6．公元前204年，罗马颁布了《肯奇亚法》，禁止竞选中的普遍捐赠行为，以后又通过一系列限制候选人举办赛会或宴会资格的法律。
2021届河南省南阳市第一中学高三上学期第一次月考(8月)数学(文)试题(解析版)
2021届河南省南阳市第一中学高三上学期第一次月考（8月）数学（文）试题一、单选题1．若集合{A x y =，{B x y ==，则A B =（ ）A ．)1,⎡+∞⎣B ．)2,⎡+∞⎣C ．[])3,11,⎡--⋃+∞⎣D ．[])3,10,⎡--⋃+∞⎣【答案】C【解析】先化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】{{}3A x y x x ===≥-，{{1B x y x x ===≤-或}1x ≥，因此[])3,11,A B ⎡⋂=--⋃+∞⎣. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型. 2．设集合(){}22,1A x y xy =+=，(){},21B x y x y =+=，则AB 中元素的个数是（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．以上都不对【答案】A 【解析】(){}22,1A x y xy =+=表示以()0,0为圆心，1为半径的圆，(){},21B x y x y =+=表示直线21x y +=上的点，求两个图象交点个数即可. 【详解】(){}22,1A x y xy =+=表示以()0,0为圆心，1为半径的圆，(){},21B x y x y =+=表示直线21x y +=上的点，圆心()0,0到直线21x y +=的距离15d ==<， 可知直线与圆相交，故A B 中元素有2个.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的表示法，求两个集合的交集，注意数形结合，属于基础题. 3．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否命题是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”B ．对于命题0:P x R ∃∈，使得20010x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x +->C ．“2320x x -+=”的充分不必要条件是“2x =”D ．命题“若0m >，则方程220x x m ++=有实根”的逆否命题为“若方程220x x m ++=无实根，则0m ≤”【答案】B【解析】根据否命题的概念，可判断A ；根据特称命题的否定可判断B ；根据充分条件和必要条件的概念，可判断C ；根据逆否命题的概念，可判断D. 【详解】A 选项，命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否命题是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”，正确；B 选项，若命题0:P x R ∃∈，使得20010x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x +-≥，所以B 错；C 选项，由2320x x -+=得1x =或2x =，因此“2320x x -+=”的充分不必要条件是“2x =”；正确；D 选项，命题“若0m >，则方程220x x m ++=有实根”的逆否命题为“若方程220x x m ++=无实根，则0m ≤”；正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查判定命题的真假，涉及否命题，逆否命题，充分条件与必要条件的判定，以及特称命题的否定，属于基础题型.4．在ABC ∆中，sin cos A B >是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若B 为钝角，A 为锐角，则sinA >0，cosB <0，则满足sinA >cosB ，但△ABC 为锐角三角形不成立，充分性不成立；若△ABC 为锐角三角形，则A B A B π--，，都是锐角，即2A B ππ--<,即,0222A B B A πππ+>>>->,则()2cosB cos A π<-，即cosB sinA <，必要性成立；故“sinA cosB >”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.5．下面各组函数中是同一函数的是（ ）A ．y =y =-B ．2y =与y x =C ．()f x x =与()2x g x x=D ．()f x =()g x =【答案】A【解析】按照定义域与对应法则是否相同，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，函数y =y =-的定义域均为(],0-∞，且y ===-A 正确；对于B ，函数2y =的定义域为[)0,+∞，函数y x =的定义域为R ，所以两函数不是同一函数，故B 错误；对于C ，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2x g x x=的定义域为{}0x x ≠，所以两函数不是同一函数，故C 错误；对于D ，函数()f x =,,22⎫⎛+∞-∞-⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，函数()g x =[)1,+∞，所以两函数不是同一函数，故D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了同一函数的判断，掌握函数的概念是解题关键，属于基础题.6．函数()f x =()32-f x 的定义城是（ ）A ．24,35⎡⎫⎪⎢⎭⎣B ．114,155⎡⎫⎪⎢⎭⎣C ．1113,1515⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,15⎡⎫+∞⎪⎢⎭⎣【答案】B【解析】先根据函数()f x =()12log 250250x x ⎧-≥⎪⎨⎪->⎩，求得函数()f x 的定义域，再利用抽象函数的定义域求解. 【详解】因为函数()f x =所以()12log 250250x x ⎧-≥⎪⎨⎪->⎩， 解得1255x ≤<， 所以函数()f x 的定义域为 12[,)55， 令123255x ≤-<，解得114155x ≤< ， 所以()32-f x 的定义城是114[,)155故选：B 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．函数2212x y x-=+的值域是（ ） A ．11,2⎛⎤- ⎥⎦⎝B ．()1,1-C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝D ．()2,2-【答案】A【解析】先对函数2212x y x-=+分离常数化简，即可求出值域. 【详解】()222+212332x y x x -+==-+++，因为222x +≥，所以212210x ≤+<，所以2111223x -<-+≤+，所以函数2212x y x -=+的值域是11,2⎛⎤- ⎥⎦⎝.故答案为：A 【点睛】本题主要考查值域的求法，解题的关键是先分离常数，属于常规题型.8．若函数()()27,12log 1,1a x x f x x x -+≤⎧=⎨++>⎩（0a >且1a ≠）值域是)5,⎡+∞⎣，则实数a 的取值范围是（ ） A ．](1,2 B．(C．)+∞D ．()0,1【答案】B【解析】先求解1x ≤时，()f x 的值域，然后可得1x >时，()[5,)f x ∈+∞，分类讨论可得实数a 的取值范围. 【详解】当1x ≤时，()27f x x =-+为减函数，所以()5f x ≥； 因为()f x 的值域是)5,⎡+∞⎣，所以当1x >时，()[5,)f x ∈+∞， 所以()2log 15a x ++≥，即()log 13a x +≥； 若1a >，则有31x a +≥恒成立，所以32a ≤，即1a <≤；若01a <<，则有31x a +≤恒成立，此时无解； 故选：B. 【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，分段函数的值域要分段求解，然后取并集，侧重考查数学抽象的核心素养.9．函数()y f x =是以3为周期的偶函数，且当()0,1x ∈时，()21f x x =+，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2022B ．2C ．4D ．6【答案】B 【解析】【详解】因为函数()y f x =是以3为周期的偶函数， 所以202111133372222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又当()0,1x ∈时，()21f x x =+， 所以122f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以202122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查转化求解问题的能力，属于基础题. 10．函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>，所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知函数()()()2233,0log 16,0ax a x a x f x x x ⎧-+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >且1a ≠）是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ） A ．](1,2 B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎭⎣，C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎛⎤ ⎥⎦⎝【答案】C【解析】根据分段函数的解析式，结合分段函数的单调性的求解方法和对数函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()2233,0log 16,0ax a x a x f x x x ⎧-+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >且1a ≠）是R 上的单调函数，则满足123023log 16a a a a >⎧⎪-⎪≥⎨⎪≤+⎪⎩，解得322a ≤≤.故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的单调性求参数，以及一元二次函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练分段函数的单调性的判定方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足()()11f x f x =+-，当11x -≤<时，()3f x x =若函数()()log a g x f x x =-恰有6个不同零点，则a 的取值范围是（ ）A ．](11,5,753⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B ．](11,5,775⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦C ．](11,3,575⎛⎤⋃⎥⎝⎦ D ．](11,3,553⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】根据题意，得到()y f x =与log a y x =恰有6个不同的交点，再由题意，得到()y f x =的周期2T =，在同一坐标系下画出函数()y f x =和log a y x =的图象，分别讨论1a >和01a <<两种情况，结合图形，即可得出结果. 【详解】由条件可知函数()()log a g x f x x =-恰有6个不同的零点， 转化为()y f x =与log a y x =恰有6个不同的交点，()()2f x f x +=，∴()y f x =的周期2T =，且[)1,1x ∈-时，()3f x x =，log a y x =是偶函数，图象关于y 轴对称，如图，在同一坐标系下画出函数()y f x =和log a y x =的图象， ①当1a >时，log a y x =的图象如图所示，y 轴左侧有4个交点，右侧有2个交点，此时应满足log 51log 71a a<⎧⎨≥⎩，解得57a <≤；②当01a <<时，()y f x =与log a y x =在y 轴左侧有2个交点， 右侧有4个交点，此时应满足log 51log 71a a ≥-⎧⎨<-⎩，解得：1175a <≤；综上可知，a 的取值范围是(]11,5,775⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.二、填空题13．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2xf x x m =++，则()2f -=______.【答案】5-【解析】根据函数奇偶性，求出1m =-，再由()()22f f -=-，即可求出结果. 【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数， 所以()00f =，又当0x ≥时，()2xf x x m =++，所以()010f m =+=，则1m =-；则()()()2222215f f -=-=-+-=-.故答案为：5-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，属于基础题型.14．已知函数()()2lg 25=+-f x ax x a 在()1+∞，上是增函数，则a 的取值范围为______.【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】利用对数函数的定义域以及二次函数的单调性，转化求解即可． 【详解】函数()()2lg 25=+-f x ax x a 在()1+∞，上是增函数， 可得：011250>⎧⎪⎪-≤⎨⎪+-≥⎪⎩a a a a 解得a ∈1(0,]2,或当0a =时，2252212+-=>⨯=ax x a x ，满足条件. 则a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力． 15．()2log 40-+<a x ax 在[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是______.【答案】()()0,1⋃ 【解析】根据()2log 40-+<a x ax 在[]1,2上有解，分当01a <<时，转化3<+a x x在[]1,2上有解，当1a >时，转化为2041<-+<x ax 在[]1,2上有解，即3>+a x x且4a x x<+在[]1,2上有解求解. 【详解】因为()2log 40-+<a x ax 在[]1,2上有解，所以()2log 4log 1-+<a a x ax 在[]1,2上有解，当01a <<时,241-+>x ax 在[]1,2上有解，即3<+a x x在[]1,2上有解， 令()3f x x x=+，如图所示：由图得()max (1)4==f x f ， 所以4a <， 此时01a <<；当1a >时，2041<-+<x ax 在[]1,2上有解，即3>+a x x 且4a x x<+在[]1,2上有解， 令()3f x x x =+，且()4g x x x=+，如图所示；()min 23=f x ，()max 5g x =所以3a >5a <， 所以235<<a综上：实数a 的取值范围是()()0,123,5⋃， 故答案为：()()0,123,5⋃ 【点睛】本题主要考查对数不等式有解问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.16．知函数()231,21364,12x x f x x x x ⎧--≤≤⎪=⎨-+->⎪⎩，实数),,,2,a b c d ⎡∈-+∞⎣且a b c d <<<，满足()()()()f a f b f c f d ===，则()5lg lg 42cda b ---++的取值范围是______.【答案】()8,24【解析】画出函数()f x 的大致图像，根据对称性，得到=-a b ，4c d +=，将所求式子化为142c c ++，令2c t =，根据二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】画出函数()231,21364,12x x f x x x x ⎧--≤≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图像如下，令()()()()f a f b f c f d k ====， 则()y f x =与y k =有四个不同的交点，如图只需122k <<，即可满足()y f x =与y k =有四个不同的交点； 即y k =与()31,21xf x x =--≤≤和()2364,12f x x x x =-+->分别有两个交点， 又实数),,,2,a b c d ⎡∈-+∞⎣且a b c d <<<，所以2012a b c d -<<<<<<<， 由()()f a f b =得33a b =，则a b -=； 又函数()23642f x x x =-+-关于直线2x =对称，所以22c d+=，即4d c =-， 所以()()251lg lg 4242222c d c c c c a b -+--++=+=+⋅，令2c t =，22y t t ，因12c <<，所以()22,4ct =∈，又函数22y t t 是开口向上，对称轴为1t =-的二次函数， 所以22yt t 在()2,4t ∈上单调递增，因此22224248t t +<+<+，即28224t t <+<， 即()5lg lg 42cda b ---++的取值范围是()8,24.故答案为：()8,24.【点睛】本题主要考查分段函数性质的应用，考查二次函数求值域，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.三、解答题17．设命题:p 实数x 满足302x x -≤-：命题:q 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >.（1）若2a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围： （2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数2a 的取值集合.【答案】（1）](2,3；（2）(]1,4.【解析】（1）先解等式，分别得到:23p x <≤；:3q a x a <<；根据2a =，由p q ∧为真，得出p 真且q 真，进而可求出结果；（2）根据p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得到p 是q 的充分不必要条件，由（1）得出(]2,3是(),3a a 的真子集，列出不等式求解，得出a 的范围，即可求出结果. 【详解】（1）对于p ：302x x -≤-等价于()()20230x x x -≠⎧⎨--≤⎩，解得：23x <≤，对于q ：由22430x ax a -+<，得：()()30x a x a --<， 又0a >，所以3a x a <<，当2a =时，26x <<，若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是：](2,3； （2）因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， 所以p 是q 的充分不必要条件，由（1）知：:23p x <≤；:3q a x a <<， 所以(]2,3是(),3a a 的真子集，则233a a ≤⎧⎨>⎩，解得12a <≤，则(]21,4a ∈. 所以实数2a 的取值集合为(]1,4. 【点睛】本题主要考查由且命题的真假求参数，考查由命题的必要不充分条件求参数，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.18．（1）设集合{}2210A x R x x =∈--=，(){}222150B x x a x a =+++-=.A B A =，求实数a 的取值集合；（2）设(){}210A x x a x a =-++<，{}2340B x x x =--<，若A B ⊆，求实数a的取值范围.【答案】（1）{}2-；（2）[]1,4-.【解析】（1）根据题意分析可得A B =，由2(1)2a +=-且251a -=-可解得结果；（2）化简集合B ，分类讨论a 求出集合A ，根据A B ⊆列式可解得结果. 【详解】 （1）A B A =，∴A B ⊆，又A 中方程有两个不等实根，且B 中方程最多有两个实根，所以A B =，则2(1)2a +=-且251a -=-，所以2a =-，所以实数a 的取值集合为{}2-.（2）由2340x x --<，解得14x -<<，∴{}14B x x =-<<， 由题意得：()()()21=10x a x a x x a -++--<.当1a >时，{}|1A x x a =<<.∵A B ⊆，∴14a <≤. 当1a =时，A =∅满足条件. 当1a <时，{}|1A x a x =<<.A B ⊆，∴11a -≤<.综上，实数a 的取值范围是[]1,4-. 【点睛】本题考查了由集合之间的关系求参数，考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()22f x x x =--；（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）是否存在非负实数(),a b a b <，使得当[],x a b ∈时，函()f x 的值域为33,22b a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦？若存在，求出所有,a b 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩；（2）存在，10,2a b ==.【解析】（1）根据奇函数的性质，由已知区间的解析式，求出0x >时的解析式，再由()00f =，即可得出解析式；（2）根据题意，得到0a b ≤<，由（1）确定213b ≤<，得到()f x 在[],a b 上单调递减，再由条件条件，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，当0x >时，0x -<， 则22()(2)2f x x x x x -=---=-+，由()f x 是定义在R 上的奇函数，得2()2f x x x =-，且()00f =，综上：()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩；（2）由题意知，0a b ≤<，由（1）知，当0x ≥时，()1f x ≥-，故312b -≥-，即213b ≤<， 故()f x 在[],a b 上单调递减，从而有3()23()2f a a f b b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，由函数单调性及值域求参数，属于常考题型. 20．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数,a b 都满足()()()f a b f a f b +=，且()10f ≠，当0x >时，()01f x <<.（1）证明：()f x 在(),-∞+∞上是减函数；（2）解不等式()()211f x f x -<+【答案】（1）证明见解析；（2）11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】（1）首先证明()0f x >，然后利用2211()()()f x f x x f x -=证明即可； （2）由()()211f x f x -<+可得22()(1)(1)1(0)f x f x f x x f -+=-++<=，然后结合单调性可得到答案. 【详解】（1）因为任意实数a b ，都满足()()()f a b f a f b +=，令1,0a b ==，则(1)(1)(0)f f f =，∵(1)0f ≠，∴(0)1f =当0x <时，则0x ->，∴()()()(0)1f x f x f x x f ⋅-=-==，∵()0f x ->，∴()0f x >，即x ∈R 时，()0f x >恒成立，设任意的12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->， ∴210()1<-<f x x ，221211()0()1()()()f x f x x f x f x f x ∴<-=<∴< 即()f x 在()-∞+∞，上是减函数， （2）21()(1)f x f x -<+，()0f x >22()(1)(1)1(0)f x f x f x x f ∴-+=-++<=，由（1）知()f x 在R 上为减函数，210x x ∴-++>得：1122x -<<，故不等式的解集为⎝⎭. 【点睛】本题考查的是抽象函数的单调性的证明以及利用单调性解不等式，属于中档题. 21．记知：函数()f x 的图像与函数()31log 3h x x=-的图像关于原点对称. （1）求函数()f x 的表达式；（2）将()y f x =的图象向右平移3个单位得到函数()y g x =的图象，若存在24,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使关于x的不等式()()231f x g x +-≥成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()3()log 3f x x =+；（2）4,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据两函数关于原点对称，直接得到31()log 3f x x=-+，化简，即可得出结果；（2）先根据函数平移，得到()3log g x x =，再由不等式能成立，得到(33log log x +≥24,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ≥在24,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有t =，求出213y t t =-的最值，即可得出结果.【详解】（1）由函数()f x 的图像与函数31()log 3h x x=-的图像关于原点对称，得()331()log log 33f x x x=-=++； （2）由函数()3log (3)f x x =+，将函数()y f x =的图象向右平移3个单位得到函数()y g x =的图象，即()33log (33)log g x x x =-+=，若关于x 的不等式()()231f x g x +-≥在24,33x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有解，则332log (log 1x x -≥在24,33x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有解，即(()3332log log 1log 3x x x ≥+=在24,33x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有解，，即(3331log log (3)log 2x x +≥=24,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即x +≥24,33x ⎛⎫∈⎪⎝⎭x ≥在24,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，t =，则23x t =，即213x t =(0)t >，)2t ∈.则213y x t t ==-是开口向下，对称轴为32t =的二次函数，所以213y t t =-在32t ⎫∈⎪⎭上单调递增，在3,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减；又x =时，23y =；当2x =时，42233y =-=，2233>，所以21233y t t =->，23>，则49m >即实数的m 取值范围是4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查求函数解析式，考查对数函数与二次函数的性质，涉及二次不等式能成立问题，属于常考题型.22．已知定义域为R 的函数()()()22h x nf x h x +=--是奇函数，从()h x 为指数函数且()h x 的图象过点()2,4. （1）求()f x 的表达式；（2）若对任意的[]1,1t ∈-.不等式()()2210f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若方程()()2310f xx f a x ++--=恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合.【答案】（1）121()22x x f x +-+=+；（2）[)2,+∞；（3）{19a a <<或0}a =.【解析】（1）设()xh x a =，求得()2=xh x ，得到()1222x x nf x ++=--，再根据函数的奇偶性，求得1n =-，即可求得函数的解析式；（2）求得函数()f x 在R 上单调递减，且为奇函数，转化为2120t at a ++-≤，对任意的[]1,1t ∈-恒成立，令2()12g t t at a =++-，结合二次函数的性质，即可求解；（3）根据函数的性质，把不等式2(3)(1)0f x x f a x ++--=，转化为231x xa x +=-，结合函数的图象，即可求解. 【详解】（1）由题意，设()xh x a =，因为()h x 过点()2,4，可得24a =，解得2a =，即()2=xh x ，所以()1222x x nf x ++=--，又因为()f x 为奇函数，可得(0)0f =，即()020022nf +==--，解答1n =-，经检验，符合()()f x f x =--，所以121()22x x f x +-+=+. （2）由函数12111()22221x x xf x +-+==-+++，可得()f x 在R 上单调递减， 又因为()f x 为奇函数，因为2(2)(1)0f t a f at -+-≥，即2(2)(1)f t a f at -≥-， 所以221t a at -≤-，即2120t at a ++-≤，又因为对任意的[]1,1t ∈-，不等式()()2210f t a f at -+-≥恒成立，令2()12g t t at a =++-，即()0g t ≤对任意的[]1,1t ∈-恒成立，可得(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩，即()221(1)1201120a a a a ⎧-+⨯-+-≤⎪⎨++-≤⎪⎩，解得2a ≥，所以实数a 的取值范围为[)2,.+∞（3）由于()f x 为奇函数，所以由2(3)(1)0f x x f a x ++--=，可得2(3)(1)f x x f a x +=-，又因为()f x 在R 上递减，即231x x a x +=-，显然1x ≠，所以231x xa x +=-，令1t x =-，则45a t t =++，又由当0t >时，445259t t t t++≥⋅+=，当且仅当4t t =时，即2t =时等号成立；当0t <时，4445[())]52()51()t t t t t t ++=--++≤--⋅+=--，当且仅当4t t -=-时，即2t =-时等号成立， 方程有2个互异实数根，画出45y t t=++的图象,如图所示， 由图可得,实数a 的取值集合为{19a a <<或0}a =.努力的你，未来可期!【点睛】本题主要考查了指数函数的定义，函数的基本性质，以及函数图象的综合应用，其中解答中熟记函数的基本性质，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.精品。
河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(含解析)
数学试题1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A.B. C. D.2.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）D.33.已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（）A. B.C.D.4.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）A.4B.6C.8D.95.已知圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ）A. B.C.D.6.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方40x ++=π3π62π35π63230x y +-=60x my +=M ()()1,1,2,2P Q -M :10l x y -+=M 22(2)(3)5x y -+-=22(3)(4)13x y -+-=22(3)(2)25x y +++=22(3)(2)25x y ++-=22:1169x y C +=12F F ､P C 1290F PF ∠= 12F PF V 22:1C x y +=C 12,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭3650x y --=3650x y -+=10x y -+=6340x y -+=(),M x y ()4,0F M 25:4l x =45M程是（ ）A. B.C. D.7.已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ）8.已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，则下列结论正确的是（ ）A.直线的一个方向向量为B.直线的一个法向量为C.若直线，则D.点到直线的距离是210.已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1C.若圆与曲线恰有三条公切线，则D.当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点2212516x y +=221259x y +=221169x y +=221167x y +=M 221259x y +=M :45400l x y -+=,M N 22:12516x y C +=F C 2||6MF NF +[]2,26[]51,52[]51,76[]52,76:1l y =+l (l ):10m x ++=l m ⊥)l ()():34330l m x y m m ++-+=∈R C l ()3,3-0m =C l C 22680x y x y m +--+=16m =13m =l P C ,PA PB ,A B AB 164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（）A.椭圆B.的周长为C.面积的最大值为D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.13.已知圆，若圆关于直线对称，则的最小值为__________，此时直线的一般式方程为__________.（第一空2分，第二空3分）14.椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程；（2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程.16.（15分）已知直线，点和点分别是直线上一动点.（1）若直线经过原点，且，求直线的方程；（2）设线段的中点为，求点到原点的最短距离.17.（15分）已知圆过三点.（1）求圆的标准方程；22:1128x y C +=12,A A 12,,F F P C C 12PF F V )4112PA A V 120PF PF ⋅> 22121x y k k +=--x k 22:4250M x x y y -+--=M ()2300,0ax y b a b ++-=>>11a b+222:12x y C b +=12F F ､P ⎛ ⎝C l 1F C ,A B l 60 2ABF V l ()1,2330x +=l ()3,4M -:30l x y -+=(2,6)N ()()()12:31410,:3420l x y l x y -+-=++=A B 12,l l AB O 3AB =AB AB P P O C ()()()1,3,2,2,4,2-C（2）斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.18.（17分）已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为.（1）求的取值范围；（2）是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由.19.（17分）已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是（1）求动点的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（2）记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.l C ,M N CMN V l ()222:(1)0C x y r r -+=>22:14x E y +=E P C ,A B PA E N PB E M r C MN C ()),A BP PA PB 13-P P C A l C ,E F AE AF 13-l数学参考答案及评分意见1.D 【解析】直线的方程可化为，可知倾斜角，且满足.故选D.2.A 【解析】因为和互相平行，所以，解得，所以直线可以转化为，由两条平行直线间的距离公式可得.故选A.3.C 【解析】设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，所以①，因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.所以，所求圆的标准方程是.故选C.4.D【解析】由椭圆定义可得，又因为，所以由勾股定理可得，即，解得，则的面积为.故选D.5.B 【解析】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为，由题意得，，因为，所以，所以过点且被圆截得弦长最短的直线的方程40x ++=y x =[)0,πα∈tan α=5π6α=3230x y +-=60x my +=326m =⨯4m =640x y +=320x y +=d =M (),a b M :10l x y -+=10a b -+=,P Q MP MQ ==330a b --=3,2a b =-=-M(3,2--5r MP ===22(3)(2)25x y +++=121228,26PF PF a F F c +====1290F PF ∠=2221212PF PF F F +=()22121212236PF PF PF PF F F +-⋅==1214PF PF ⋅=12F PF V 12172PF PF ⋅=C P 1k PC 2k 22032103k -==---121k k ⋅=-112k =P为，即.故选B.6.B 【解析】设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合.，将上式两边平方并化简，得，即.故选B.7.C 【解析】解法一：设与直线平行的直线为，联立整理得，令，解得或，所以与距离时，到直线.故选C.解法二：设椭圆上点，则点到直线距离，当时，，故选C.8.C【解析】由对称性和椭圆定义可知，其中，故，又因为，设点，则，所以，当时，取得211323y x⎛⎫-=+⎪⎝⎭3650x y-+=d M25:4l x=M45MFP Md⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭45=22925225x y+=221259x y+=:45400l x y-+=l'450x y m-+=2210,259450,x yx y m⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩222582250x mx m++-=()22Δ644252250m m=-⨯⨯-= 25m=25m=-l l'd25m=dM:45400l x y-+=()5cos,3sinMθθM l d43cos,sin55ϕϕ== ()cosθϕ+=1-mind==210MF NF a+==3c==()2222|6|610||660(3)51MF NF MF MF MF MF MF+=+-=-+=-+()3,0F(),M m n55m-……22222221693||(3)(3)16625525255m m mMF m n m m⎛⎫=-+=-+-=-+=-⎪⎝⎭5m=2||MF最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以，故当时，取得最小值，最小值为51，当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围是.故选C.9.ACD 【解析】对于A ，因为直线的斜率的一个方向向量为，故A 正确；对于，所以不是直线的一个法向量，故B错误；对于C ，因为直线的斜率，所以直线与直线垂直，故C 正确；对于D ，点到直线的距离，故D 正确.故选ACD.10.ACD 【解析】对于，整理得，所以解得所以直线恒过定点，故A 正确；对于B ，当时，直线为，则圆心到直线的距离，而圆的半径为2，所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故B 错误；对于C ，曲线整理得，则曲线是圆心为，半的圆；圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以，故C 正确；对于D ，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，即圆两圆的公共弦的方程为，整理得解得直线经过点.故D 正确.故选ACD.5m =-2||MF []2,8MF ∈3MF =2||6MF NF +8MF =2||6MF NF +255176+=2||6MF NF +[]51,76:1l y =+k =l (B,110+≠)l :10m x ++=k '=1kk '=-l m )l 2d ()()A,:34330l m x y m m ++-+=∈R ()()33430m x x y +++-=30,3430,x x y +=⎧⎨+-=⎩3,3,x y =-⎧⎨=⎩l ()3,3-0m =l 3430x y +-=()0,0C l 315d <C l 22680x y x y m +--+=22(3)(4)25x y m -+-=-()3,4C ()0,052==+16m =13m =l 490x y ++=(),94P t t --PC 222294(94)224t t t t x y +++⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22940,x t x y y ty +-+++= 22:4,C x y +=∴4940tx ty y -+++=()40,4940,940,y x y x t y y -=⎧-++=∴⎨+=⎩16,94,9x y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩AB 164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭11.ABD 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，对于A ，椭圆的离心率为，故A 正确；对于B ，的周长为，故B 正确；对于面积的最大值为，故C 错误；对于D ，设，因此，D 正确.故选ABD.12. 【解析】解得，故实数的取值范围是.故答案为.13.； 【解析】圆，整理得，则的圆心为，由题意得直线过圆心，所以，又，所以.（当且仅当时，取“）.此时直线方程为，即.故答案为.【解析】已知点在椭圆上，可得，所以，又因为直线的斜率，所以的方程为.设，联立方程组消去得，可得22:1128x y C +=a =b =2c ==C ec a ==12PF F V )2241a c +=+12C,2A A a ==()000,,P x y y …12PA A V 1211222A A ⋅=⨯=()()()()()220012001002002,,2,0,2,0,8,2,,2,3P x y F F y x PF x y PF x y -=-=---=--2221200014403PF PF x y x ⋅=-+=+> 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭20,10,21,k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩312k <<k 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫⎪⎝⎭922370x y +-=22:425M x x y y -+-=22(2)(1)10x y -+-=M ()2,1230ax y b ++-=()2,142a b +=0,0a b >>()11111141944152222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++⋅=+++⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…12,33a b ==”=27033x y +-=2370x y +-=9;23702x y +-=P ⎛ ⎝222:12x y C b +=21b =()()121,1,0,1,0c F F =-l tan60k == l )1y x =+()()1122,,,A x y B x y )221,1,2y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y 271240x x ++=，所以到直线的距离，所以故答.15.解：（1）因为直线，故所求直线的倾斜角为，直线斜率为所求直线的方程为.（2）设关于直线对称的点为，则解得因为反射光线经过点，所以所在直线的斜率为，故反射光线所在直线方程为，即.16.解：（1）将化为一般式方程，得，两直线的距离为，1212124,77x x x x +=-=2AB x =-===()21,0F 0l y -+=d 21122ABF S AB d ===V 330x -+=π32π3k =∴)21y x -=-20y +-=()3,4M -:30l x y -+=(),M a b '41,33430,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩1,0,a b =⎧⎨=⎩()2,6N NM '60621k -==-()61y x =-660x y --=()()()12:31410,:3420l x y l x y -+-=++=12:3470,:3480l x y l x y +-=++=3d AB ===因为，所以和两直线垂直.因为的斜率为，所以.又因为直线经过原点，所以直线的方程为.（2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为，即所以点到原点的最短距离即点到直线的距离，因为点到直线.所以点到原点的最短距离为.17.解：（1）设所求的圆的方程是，把已知三点坐标代入得方程组解得所以圆的一般方程为.3AB =AB 12,l l 34-43AB k =AB O AB 43y x =12,l l AB P 873402x y -++=1340,2x y ++=P O O 13402x y ++=O 13402x y ++=110=P O 110220x y Dx Ey F ++++=2222221330,(2)2220,42420,D E F D E F D E F ⎧++++=⎪-+-++=⎨⎪++++=⎩2,4,20.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩C 2224200x y x y +-+-=故圆的标准方程为.（2）设直线的方程为：，因为为等腰直角三角形，又由（1）知圆的圆心为，半径为5.所以圆心到直线的距离解得或，所以直线的方程为：或.18.解：（1）设为椭圆上任意一点，，则.则.故.（2）由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在.又直线的方程为，即为，同理直线的方程为.，故.而，故，又因为.故，同理：.故直线的方程为.若直线与圆，令.C 22(1)(2)25x y -++=l 0x y c -+=CMN V C ()1,2-5d =2c =8-l 20x y -+=80x y --=()00,T x y E 022x -……()222200003||1224TC x y x x =-+=-+222003348222244333r x x ⎛⎫⎛⎫<-+=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0r <<()0,1P ()()1122,,M x y N x y ､1r <,PM PN PM 1111y y x x -=+()11110y x x y x --+=PN ()22210y x x y x --+=r =()()()2222221111112111x x y y r x r y +-+-=+-()221141x y =-()()()()()22222111114112111r y x y y r y --+-+-=-11y ≠()()2211233510x r y r +-+-=()()2222233510x r y r +-+-=MN ()()22231510x r y r +-+-=MN C r =220,3t r ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭故，即.故或或因为，所以，其方程为19.解：（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率，同理，直线的斜率，，化简，得点的轨迹方程为，即点的轨迹是除去两点的椭圆.（2）证明：设①当直线斜率不存在时，可知，且有解得或时，则直线经过点，与题意不符，舍去，故，此时直线为，②当直线斜率存在时，设直线，则.329434390t t t -+-=()()2193490t t t --+=1t =t =t =220,3t r ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1,t t ==C 22(1)x y -+=P (),x y A ()AP AP k x =≠BP BP k x =≠(13x =-≠P (2213x y x +=≠P ()),()()1122,,,E x y F x y l 1221,x x y y ==-22111,31,3AE AF x y k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅==-⎪⎩10x =1x =1x =l A 110,1x y ==±l 0x =l :l y kx b =+13AE AF k k ⋅====-联立直线方程与椭圆方程消去可得：，根据韦达定理可得：，，，所以，则或，当时，则直线恒过点，与题意不符，舍去，故，直线恒过原点，结合①②可知，直线恒过原点，原命题得证.22,1,3y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222316330k x kbx b +++-=2121222633,3131kb b x x x x k k --+==++213=-2222221,3=-1=-20b =0b =b =b =(:l y k x =+A 0b =l ()0,0l ()0,0。
2020-2021学年河南省南阳一中高三(上)第一次月考数学试题Word版含解析
2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高三数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}2．（5分）集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．643．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．（5分）函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍8．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[﹣1，0]10．（5分）已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．911．（5分）已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（每小题5分，共20分.）13．（5分）已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．14．（5分）函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是．15．（5分）已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）化简计算下列各式的值（1）+；（2）．18．（12分）已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．19．（12分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p ∧q”为真，求实数a的取值范围．20．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2017＜（e是自然对数的底数）．2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高三数学试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}【分析】由题意和并集的运算求出M∪N，再由补集的运算求出∁U（M∪N）【解答】解：因为M={2，3，4}，N={4，5}，所以M∪N={2，3，4，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，所以∁U（M∪N）={l，6}，故选：C．【点评】本题考查了补、交、并的混合运算，属于基础题．2．（5分）集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．64【分析】先求出集合P*Q中的元素有6个，由此可得P*Q的子集个数为26个，从而得出结论．【解答】解：集合P*Q中的元素为（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）共6个，故P*Q的子集个数为26=64，故选 D．【点评】本题主要考查求集合的子集，属于基础题．3．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用．4．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由题意可知f（x）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∵=f（﹣2）=f（2），1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．5．（5分）函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）【分析】先求f′（x），讨论a的取值从而判断函数f（x）在每段上的单调性，当在每段上都单调递增时求得a＞0，这时需要求函数ax2+1在x=0时的取值大于等于（a+2）e ax在x=0时的取值，这样又会求得一个a的取值，和a＞0求交集即可；当在每段上都单调递减时，求得﹣2＜a＜0，这时需要求函数ax2+1在x=0处的取值小于等于（a+2）e ax在x=0处的取值，这样又会求得一个a的取值，和﹣2＜a＜0求交集即可；最后对以上两种情况下的a求并集即可．【解答】解：f′（x）=；∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e ax＜a+2，∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，∴这种情况不存在；（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）e ax＞a+2，∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；综上得a的取值范围为[﹣1，0）．故选：B．【点评】考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调递增，递减函数的定义．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件【分析】A．利用含有量词的命题的否定去判断．B．利用含有量词的命题的否定去判断．C．利用充分条件和必要条件的定义判断．D．利用对数函数单调性的性质判断．【解答】解：A．∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx成立，即p为真命题，则￢p为假命题，∴A错误．B．根据特称命题的否定是特称命题可知：命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，∴B错误．C．∵△=4﹣4×3=﹣8＜0，∴x2+2x+3=0方程无解，∴C错误．D．根据对数函数的性质可知，若a＞1时，f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，成立．若f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则a＞1．∴“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件，∴D正确．故选D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用充分条件和必要条件的定义以及含有量词的命题的否定的定义和性质是解决本题的关键．7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍【分析】由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，可得2×+φ=kπ+，k∈Z，求得φ=kπ+，k∈Z．再结合0＜φ＜，可得φ=，f（x）=sin（2x+），∴f′（x）=2cos（2x+），∴F（x）=f′（x）﹣f（x+）=2cos（2x+）﹣sin（2x+）=2cos2xcos﹣2sin2xsin﹣cos2x=﹣sin2x．故把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象；再把所得图象的纵坐标伸长为原来的倍，可得F（x）=﹣sin2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．9．（5分）已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[﹣1，0]【分析】由f（2x）的定义域为[0，1]，能够导出1≤2x≤2，从而得到在f（log2x）中，1≤log2x≤2，由此能求出f（log2x）的定义域．【解答】解：∵f（2x）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，1≤2x≤2，∴在f（log2x）中，令1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，故选C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数函数和对数函数的运算，属于基础题．10．（5分）已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．【解答】解：因为函数为奇函数，所以在[0，6]上必有f（0）=0．当时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．因为函数是周期为3的奇函数，所以f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（）=f（）=﹣f（），所以f（）=0，即f（）=f（）=f（）=0，此时有两个零点，．所以共有9个零点．故选D．【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．11．（5分）已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞）D．（2，+∞）【分析】利用分段函数，分析出m的范围，然后利用数形结合求解选项即可．【解答】解：函数f（x）=，可知x≤1时，函数是圆的上半部分，函数的最大值为1，x＞1时，f（x）=﹣x2+2mx﹣2m+1，的对称轴为x=m，开口向下，对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f （x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x＞1时，函数的最大值中的最小值为1，此时m≥2，在平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）与y=a的图象如图：x1+x2=0，x3+x4≥2m≥4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是[4，+∞）．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数与方程的应用，函数的图象，以及分析问题解决问题的能力，是难度比较大的题目．12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分.）13．（5分）已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．【分析】先根据函数的对称轴推断出f（0）=f（），求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得．【解答】解：由条件知f（0）=f（），∴﹣b=a，∴=﹣1，∴k=﹣=1，故倾斜角为．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的图象，直线的方程及斜率的问题．考查了学生逻辑思维和空间思维的能力．解题的关键是利用好函数的对称轴．14．（5分）函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7} ．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7，故函数的定义域为{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}，故答案为：{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件15．（5分）已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是﹣4＜a≤4 ．【分析】令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得﹣4＜a≤4，故答案为：﹣4＜a≤4．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= 2014 ．【分析】由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014的值．【解答】解：f′（x）=x2﹣x+3，由f′′（x）=2x﹣1=0得x0=，f（x0）=1，则（，1）为f（x）的对称中心，由于，则f（）+f（）=2f（）=2，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了类比推理的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）化简计算下列各式的值（1）+；（2）．【分析】（1）利用诱导公式化简函数的表达式即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）+==﹣sinα+sinα=0；（2）==1．【点评】本题考查三角函数化简求值，对数运算法则的应用，考查计算能力．18．（12分）已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．【分析】先化简集合A，B，（1）根据集合的交集的运算和C⊆（A∩B），分类讨论，求出m的范围，（2）根据集合的并集和（A∪B）∩D=∅，求出m的范围．【解答】解：A={x|﹣2≤x≤7}，B={y|﹣3≤y≤5}（1）A∩B={x|﹣2≤x≤5}，①若C=φ，则m+1＞2m﹣1，∴m＜2；②若C≠φ，则，∴2≤m≤3；综上：m≤3；（2）A∪B={x|﹣3≤x≤7}，∴6m+1≥7，∴m≥1．【点评】本题主要考查集合的基本运算，参数的取值范围，属于中档题．19．（12分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p ∧q”为真，求实数a的取值范围．【分析】若p为真，可得△≥0，解得a范围．若q为真，令h（x）=e2x﹣2ex+a，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出，a的取值范围．由“p∧q”为真，可得p为真且q为真．【解答】解：若p为真，则△=a2﹣4≥0，故a≤﹣2或a≥2．若q为真，则令h（x）=e2x﹣2ex+a，则h′（x）=2e2x﹣2e=2e（e2x﹣1﹣1），令h′（x）＜0，则，∴h（x）在上单调递减；令h′（x）＞0，则x，∴h（x）在上单调递增．∴当时，h（x）有最小值，．∵∀x∈R，h（x）≥0恒成立，∴a≥0．∵“p∧q”为真，∴p为真且q为真．∴，解得a≥0．从而所求实数a的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了导数的应用、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．【分析】（1）结合具体的图象进行确定其解析式；（2）首先，结合（1）对所给函数进行化简，然后，结合三角函数的单调性求解．【解答】解：（1）结合图象，得A=2，T=，∴T=，∴=，∴ω=，∴y=2sin（x+φ），将点（﹣，0）代入，得2sin（﹣+φ）=0，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+），（2）结合（1）f（x）=2sin（x+），∴g（x）=[f（x﹣）]2，={2sin[（x﹣）+]}2，=4sin2（x+）=4×[1﹣cos（3x+）]=2﹣2cos（3x+），∴g（x）=2﹣2cos（3x+），∵x∈[﹣，]，∴3x∈[﹣，π]，∴3x+∈[﹣，]，∴cos（3x+）∈[﹣1，1]，∴cos（3x+）=﹣1时，函数取得最大值，此时，x=，最大值为4．【点评】本题重点考查了二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性求出f（x）的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而判断函数的极值问题．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x2，其定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x＞0，所以f（x）在[1，e]上是增函数，当x=1时，f（x）min=f（1）=1；故函数f（x）在[1，e]上的最小值是1．（2）f′（x）=，g（x）=2x2﹣2ax=1，（ⅰ）当a≤0时，在（0，+∞）上g（x）＞0恒成立，此时f′（x）＞0，函数f（x）无极值点；（ⅱ）当a＞0时，若△=4a2﹣8≤0，即0＜a≤时，在（0，+∞）上g（x）≥0恒成立，此时f′（x）≥0，函数f（x）无极值点；若△=4a2﹣8＞0，即a＞时，易知当＜x＜时，g（x）＜0，此时f′（x）＜0；当0＜x＜或x＞时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，所以当a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点，综上，当a≤时，函数f（x）无极值点；a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2017＜（e是自然对数的底数）．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，解得a的值即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的单调性，从而求出f（x）的最小值，结合题意确定a的范围即可；（3）问题转化为证明，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（1+x）﹣，（a＞0），∴f′（x）=，f′（1）=0，即a=2；（2）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．综上，a的取值范围为（0，1]．（3）要证，只需证两边取自然对数得，，即证，即证，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增．又，f（0）=0，所以，所以成立．【点评】本题考查了函数的单调性、极值的意义，考查导数的意义以及不等式的证明，分类讨论思想，是一道综合题．。
河南省南阳市第一中学高二数学上学期第二次月考试题(含解析)(2021年整理)
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南阳一中2017年秋期高二第二次月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。
等差数列中,，，则前9项和的值为（）A. 66 B. 99 C. 144 D. 297【答案】B【解析】试题分析:由已知得,，所以，，，故选B。
考点：等差数列的性质与求和公式.2. 在中，若，，则的外接圆半径是( ）A. B. C。
D。
【答案】D【解析】试题分析：因为正弦定理内容可以计算出外接圆的半径。
，由正弦定理知故选D.考点: 同角的三角函数关系正弦定理3. 不等式的解集为( ）A. B. 或 C. D。
或【答案】A【解析】，选A。
4。
设数列的前项和,（）A. 124 B。
120 C. 128 D. 121【答案】D【解析】当时，，当时，，不符合,则，，选D.【点睛】已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项,第二步,当时利用前n项和与前n—1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足,则通项公式要写成分段函数形式,本题求和要注意首项不满足,数列从第二项开始成等差数列，从第二项以后利用等差数列前n项和公式求和，而第一项要要单独相加。
2021届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次月考(9月)数学(理)试题(解析版)
2021届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次月考（9月）数学（理）试题一、单选题1．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．命题p ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x >，则命题p ⌝是（ ） A ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x ≤B ．0,2x π⎛⎫∀∉ ⎪⎝⎭，sin x x > C ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin x x ≤ D ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin x x > 【答案】C【解析】原命题是全称命题，其否定为存在性量词命题，故按规则可写出原命题的否定. 【详解】 因为p ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x >，故p ⌝：00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin x x ≤. 故选：C. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性量词命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 3．函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间( ) A ．()1,2 B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,84⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意得()10f >，102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()1 102f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数零点存在性定理可得出答案． 【详解】 由题得211log 111022f ⎛⎫=+-=-<⎪⎝⎭，()21log 12110f =+-=>， 而()1 102f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 根据函数零点存在性定理可得函数()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点． 故答案为B. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．4．已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A ．43-B ．2332 C ．34D ．38-【答案】A【解析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果. 【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数，由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选A. 【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题.5．函数()ln 1-=x x f x x的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用特殊点的函数值，由排除法得解． 【详解】 解：32(3)203ln f ln ==>，故排除D ； (1)20f ln -=-<，故排除C ； 11()022f ln =<，故排除B ； 故选：A ． 【点睛】本题考查函数图象的确定，属于基础题．6．已知函数(2)1,(1)()log ,(1)a a x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩，若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2,)+∞【答案】C【解析】利用分段函数的单调性列出不等式组，可得实数a 的取值范围． 【详解】()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则()201211log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩解得23a <≤ 故选：C 【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查分段函数，端点值的取舍是本题的易错． 7．已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x ee x e ef x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-，函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8．已知函数()2sin tan 1cos a x b xf x x x+=++，若()10100f =，则()10f -=（ ）A ．100-B ．98C ．102-D ．102【答案】D【解析】令()()21g x f x x =--，根据奇偶性定义可判断出()g x 为奇函数，从而可求得()()10101g g -=-=，进而求得结果. 【详解】令()()2sin tan 1cos a x b xg x f x x x+=--=()()()()()sin tan sin tan cos cos a x b x a x b xg x g x x x-+---∴-===--()g x ∴为奇函数又()()210101011g f =--=- ()()10101g g ∴-=-=即()()2101011f ----= ()10102f ∴-=本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数，利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.9．已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()e 1cos xf x m x =-++，记()22a f =--，()1b f =--，()33c f =，则,,a b c 间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】【详解】利用奇函数的性质 可得：()001cos00,0f e m m =-+-⨯=∴=，即当0x ≥时，函数的解析式为：()1xf x e =-+，令()()()0g x xf x x =≥，由函数的奇偶性的定义可得函数g (x )是定义域内的偶函数， 且：()()'11xg x x e =-+，()()()11,1,11,'110x x x x e x e g x x e +≥≥∴+≥=-+≤，即函数()g x 在区间[)0,+∞上单调递减，且：()()()()()22,11,3a g g b g g c g =-==-==， 结合函数的单调性可得：c a b <<. 本题选择C 选项.10．若对l x ∀，()2,x m ∈+∞，且2l x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是()注：(e 为自然对数的底数，即 2.71828)e =⋯A ．1eB ．eC ．1D ．3e【答案】C【解析】由题意，把问题等价于2121lnx 1lnx 1x x ++<，令()lnx 1f x x+=，根据函数的单调性，即可求解m 的范围． 【详解】由题意，当l 2x x 0<<时，由122121x lnx x lnx 1x x -<-，等价于122121x lnx x lnx x x -<-，即121212x lnx x x lnx x +<+，故()()1221x lnx 1x lnx 1+<+，故2121lnx 1lnx 1x x ++<， 令()lnx 1f x x+=，则()()21f x f x <，又21x x m 0>>>，故()f x 在()m,∞+递减，又由()21ln xf x x-'=，当()f'x 0<，解得：x 1>，故()f x 在()1,∞+递减，故m 1≥， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数恒成立及转化思想，其中解答中把问题等价于2121lnx 1lnx 1x x ++<，令()lnx 1f x x+=，根据函数()f x 的单调性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-．当[]0,1x ∈时，()21x f x =- ，则函数()()()21g x x f x =--在区间[]3,6-上的所有零点之和为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D【解析】先分析得到函数()f x 的周期和对称轴，再作出函数()g x 的图象，利用对称性得解． 【详解】由题意得，()()2f x f x +=-，∴()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 周期为4． ∵()()2f x f x +=-，∴()f x 的图象关于1x =对称．作出()f x 图象如图所示， 则()()()21g x x f x =--的零点即为()y f x =图象与12y x =-图象的交点的横坐标，四个交点分别关于点()2,0对称，则14234,4x x x x +=+=，即零点之和为8， 故选:D ．【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12．已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0,2)eD ．(2,)e +∞【答案】D【解析】首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x =+-,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在()0,+∞上的零点个数，再转化成方程1e 2xx m x ⎛⎫=-⎪⎝⎭解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解. 【详解】因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，()00F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程()()0f x f x -+=有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2xm f x mx -=-+，所以方程可以化为：e e e 02xx x m mx x -++-=，即1e 2xx m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记()e (0)xg x x x =>，()()e10xg x x ='+>，设直线12y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()g x 图像相切时的切点为(),e tt t ，则切线方程为()()e e 1tty t t x t -=+-，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1e e112t tt t t t⎛⎫-=+-⇒=⎪⎝⎭或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e，由图像可以得2em>.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.二、填空题13．若()f x对于任意实数x都有12()21f x f xx⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则12f⎛⎫=⎪⎝⎭__________.【答案】3【解析】由()f x对于任意实数x都有12()21f x f xx⎛⎫-=+⎪⎝⎭，列方程组，求出42()133f x xx=++，由此能求出12f⎛⎫⎪⎝⎭的值．【详解】解：()f x对于任意实数x都有12()21f x f xx⎛⎫-=+⎪⎝⎭，∴12()21122()1f x f xxf f xx x⎧⎛⎫-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+⎪⎪⎝⎭⎩，解得42()133f x xx=++，∴141213123232f⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭⨯．故答案为：3．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．曲线siny x=，30,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与x轴所围成的如图所示的阴影部分面积是______.【答案】3【解析】利用定积分计算出阴影部分的面积.【详解】依题意，阴影部分的面积为()()3322sin sin cos|cos|S xdx xdx x xππππππ=-=---⎰⎰()()()()33 cos cos0cos cos2cos cos0cos322πππππ⎛⎫=-----+-=-++=⎪⎝⎭.故答案为：3【点睛】本小题主要考查利用定积分计算面积，属于基础题.15．已知实数,x y满足()22241,x y y-+=则2x y+的最大值为________.2【解析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：()()222222412x y yx y y-+-+=≥，故22x y+≤，当22x y y-=，即328x=，24y=时等号成立.2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.16．已知函数1ln ()1()xk xf x e k x-+=--∈R 在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上） ①2k =；②2k >；③00ln x x =-；④0112x e <<. 【答案】①③【解析】将问题转化为e ln 10x x x x k ---+=的根为0x ，令()e ln 1x g x x x x k =---+，利用导数判断出函数的单调性，从而可得()00g x =，代入得002,ln 0k x x =+=，令()ln h x x x =+，利用导数判断函数的单调性，可判断④. 【详解】由题意知()0f x =有唯一解0x ，即e ln 10x x x x k ---+=的根为0x . 令()e ln 1xg x x x x k =---+，11()(1)e (1)e x x x g x x x x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭， 令0gx '=（）得1e xx =，当0x >时，1e xx=有唯一解t ，满足e 1t t =， 故()g x 在(0,)t 上单调递减，(,)t +∞上单调递增. 又因为0x →，();,()g x x g x →+∞→+∞→+∞，因此0t x =，即()00g x =，即0000e ln 1=0xx x x k ---+，整理可得00+ln =2x x k - 故002,ln 0k x x =+=. 另外，令1()ln ,()10h x x x h x x'=+=+>， 故h x （）在(0,)+∞上单调递增， 11111e 10,ln 2ln 0e e 2224h h ⎛⎫⎛⎫=-+<=-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④错误.故答案为：①③． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了转化与化归的思想，属于中档题.三、解答题17．化简下列各式：（1）22.531050.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3111lg 0.36lg1624++⋅+ 【答案】（1）0；（2）1.【解析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++.【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.18．已知奇函数21()21x xa f x ⋅-=+的定义域为[2,3]ab --. （1）求实数a ，b 的值；（2）若[2,3]x a b ∈--，方程2[()]()0f x f x m +-=有解，求m 的取值范围.【答案】（1）1a =，1b =；（2）1112481m -≤≤. 【解析】（1）由函数是奇函数，根据定义域关于原点对称和函数在0x =有定义由230(0)0a b f --+=⎧⎨=⎩求解.（2）由[3,3]x ∈-，令21()21x x f x t -==+，7799t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，将方程2[()]()0f x f x m +-=有，转化为27799y t t t ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭与y m =有交点，利用数形结合法求解. 【详解】（1）因为奇函数定义域关于原点对称， 所以230a b --+=. 又函数在0x =有定义，所以0021(0)021a f ⋅-==+，解得1a =，1b =. 经检验符合题意.（2）[3,3]x ∈-，令21()21x x f x t -==+，7799t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则方程2[()]()0f x f x m +-=有解 等价于277099t t m t ⎛⎫+-=-≤≤ ⎪⎝⎭有解，即27799y t t t ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭与y m =有交点.在同一坐标系中作出27799y t t t ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭与y m =的图象，如图所示：由图可知：当1112481m -≤≤时有交点，即方程2[()]()0f x f x m +-=有解， 所以m 的取值范围是1112481m -≤≤. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 19．已知函数()222()1()xx f x eax e ax a R =+--∈.（1）证明：当2x e ≥时，2x e x >；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）要证明22(e )e xx x ≥>，只需证明2ln x x >即可；（2）2e 0x ax -=有3个根，可转化为2e x a x =有3个根，即y a =与2e()xh x x=有3个不同交点，利用导数作出()h x 的图像即可. 【详解】解：（1）当2x e ≥时，要证2x e x >，两边取自然对数，即证2ln x x >， 令()2ln g x x x =-，则2()1g x x'=-，当2x e ≥时，()0g x '>， 故()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()22()40g x g e e≥=->，即2ln x x >，所以2x e x >. （2）由已知，()()()2222()11xx x x f x eax e ax e ax e =+--=-+依题意，()f x 有3个零点，而10x e +>，故20x e ax -=有3个根，易见0不是其根，所以2xe a x=有3个根，故y a =与2xe y x =有三个交点.令2()xe h x x=，则3(2)()x e x h x x -'=，当2x >时，()0h x '>，当02x <<时，()0h x '<，当0x <时，()0h x <，故()h x 在()0,2单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递增，另外，易见2()0xe h x x=>，故作出()h x 的图像如下，易得24e a >时y a =与2xe y x=有三个交点.故实数a 的取值范围为2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，属于中档题.20．已知函数()(2)(2)xf x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析;（2）[1)+∞，. 【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论2ax a -+符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于()10f =，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得0a >且21aa-≤，即得a 的取值范围. 试题解析：解：（1）()()2xf x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意. 当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增， ∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 21．已知函数()e cos 2xf x x =+-，()f x '为()f x 的导数.（1）当0x ≥时，求()'f x 的最小值；（2）当π2x ≥-时，2e cos 20x x x x ax x +--≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）1a ≤.【解析】（1）求()f x '，令()f x '=()g x ，求()g x '的正负判断()g x 的单调性，求出()g x 的最小值，即为()f x '的最小值. （2）令()e cos 2x h x x ax =+--，即证当π2x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立.由（1）可知，当0x ≥时，1a ≤成立，当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分类讨论求a 的范围即可. 【详解】（1）()e sin xf x x '=-，令()e sin xg x x =-，0x ≥，则()e cos xg x x '=-.当[)0,πx ∈时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；当[)π,x ∈+∞时，()πe 10g x '≥->.故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1.（2）令()e cos 2xh x x ax =+--，()e sin xh x x a '=--，则本题即证当π2x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立.当1a ≤时，若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即()0x h x ⋅≥恒成立；若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()e cos x h x x ''=-，()e sin x h x x '''=+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，又()01h '''=，π2πe 102h -⎛⎫'''-=-< ⎪⎝⎭，故存在唯一0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '''=.当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数.又π2πe 02h -⎛⎫''-=> ⎪⎝⎭，()00h ''=，故存在唯一1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()10h x ''=.故1π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()10h x ''>，()h x '为增函数；()1,0x x ∈时，()10h x ''<，()h x '为减函数.又π2πe 102h a ⎛⎫'-=+-> ⎪⎝⎭，()010h a '=-≥，所以π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，()h x 为增函数，故()()00h x h ≤=，即()0x h x ⋅≥恒成立；当1a >时，由（1）可知()e sin xh x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()1110a h a e a +'+≥-->，故存在唯一()20,x ∈+∞，使得()20h x '=.则当()20,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时()0x h x ⋅<，与()0x h x ⋅≥恒成立矛盾.综上所述，1a ≤. 【点睛】本题考查利用导数求最值，考查利用导数证明恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，l 的参数方程为1,11t x tt y t -+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）求l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到l 距离的最大值及该点坐标.【答案】（1）l 的普通方程为210(1)x y x -+=≠；曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=（2）曲线C 上的点到直线l31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）先将直线l 的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线C 的方程先去分母，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，化简即可求解；（2）先将曲线C 的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解. 【详解】解：（1）由1(1)221,111(1)111111t t x t t tt t y t t t -++-⎧===-⎪⎪+++⎨+-⎪===-⎪+++⎩（t 为参数），得1x ≠.消去参数t ，得l 的普通方程为210(1)x y x -+=≠；将22123sin ρθ=+去分母得2223sin 12ρρθ+=， 将222sin ,y x y ρθρ==+代入，得22143x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.（2）由（1）可设曲线C的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则曲线C 上的点到l 的距离d==，当cos13πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2,3k kπαπ=-+∈Z时，maxd==此时，2cos21,3()3232x kky kππππ⎧⎛⎫=-+=⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪=-+=-⎪⎪⎝⎭⎩Z，所以曲线C上的点到直线l31,2⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化，利用圆锥曲线的参数方程解决点到直线距离的问题，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.23．已知函数()1f x x x=+-（1）求不等式()2f x≥的解集；（2）设()f x的最小值为s，若0,0,0a b c>>>，且a b c s++=，求13321a b c--+-的取值范围.【答案】（1）12x≤-或32≥；（2）1[,3)3【解析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）先求出s=1，再求出133|21||32||21|a b c c c--+-=-+-，构造函数求取值范围.【详解】（1）12x x++≥，①由00112212x xxx x x≤≤⎧⎧⇒⇒≤-⎨⎨-+-≥-≥⎩⎩；②由0112xxx x<≤⎧⇒∈∅⎨-+-≥⎩；③由13122x x x x >⎧⇒≥⎨-+-≥⎩； 所以12x ≤-或32≥.（2）()|||1|1f x x x =+-≥，1a b c ∴++=，133|21||13(1)||21||32||21|a b c c c c c --+-=--+-=-+-，01)c <<（. 设135,0212()32211,23253,13c c g c c c c c c c ⎧-<≤⎪⎪⎪=-+-=-<≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩,当012c <≤时，函数单调递减，所以1()[,3)2g c ∈；当1223c <≤时，函数单调递减，所以11()[,)32g c ∈； 当213c <<时，函数单调递增，所以1()(,2)3g c ∈ 所以1()[,3)3g c ∈.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查三角绝对值不等式和绝对值的范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。