单纯形法
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn =bm x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0.
巨斯特石油公司混合问题
巨斯特石油公司要生产两种汽油产品, 一种是 一般的汽油, 另一种是特殊的汽油, 公司炼油 厂希望通过合成4类石油成份来生产这两种汽 油产品; 这些汽油的售价不同,4种石油成份成 本也不同; 公司希望确定一种混合这4类石油 成份以生产两种汽油产品的方案来获取最大 的利润.
巨斯特石油公司混合问题
单纯形法
例红星重型机械厂的产品组合问题的线性规 划问题引入松弛变量化为如下标准形式：
max
Z 4 x1 3 x2
x3 6 x1 2 x2 x4 8 s.t 2 x1 3 x2 x5 18 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
线性规划在不同领域的应用
线性规划在很多领域都有应用, 除前面的经典 应用模型外, 本章继续举例研究一些较为复杂 应用案例: 如航线安排问题P80, 水力发电问题P82, 用来 进一步说明线性规划建模技术与用Excel求解 方法. 这里不再一一列举.
基阵（ P1 P2 P4,）基本可行解(6,2,0,4,0)对应可行区域顶点B(6,2) 基阵（ P1 P3, P4,）, 基本解(9,0,-3,8,0)对应顶点A(9,0) ………………. 另外，A的另外两个m=3阶子矩阵（ P2,P4,P5 ）和（ P1,P3,P5 ）不可逆， 不能构成基阵.
线性规划应用
线性规划在很多领域都有应用, 除经典应用模型外, 一些 较为复杂应用案例来进一步说明线性规划建模技术与用 Excel求解方法. 混合问题 在生产安排问题中,管理层有时必须决定怎么混合两类以 上的资源来生产多种产品,最终产品中包含资源中一种以 上的基本成份, 而且成品包含一定比例的各类资源; 因此, 管理层要决定每类资源的采购量, 使得在成本最低的条件 下满足产品规格以及生产该产品的需求:这类问题通常称 之为混合问题, 广泛应用于石油、化工和食品等行业.
单纯形法
2) 不等式约束转化为等式约束 (1) 如果约束条件是线性不等式: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ b1 则通过引入松弛变量xn+1 ，将其转化为等价 的等式约束条件: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn + xn+1 = b1
单纯形法
故B0是线性规划的一个基。对于基B0 ， x3,x4 ,x5是基变量， x1,x2,是非基变量。
单纯形法
由于P2,P3,P4 ,线性无关,
0 1 0 B1 ( P2 , P3 , P4 ) 2 0 1 3 0 0
也是线性规划的一个基。对于基基B1， x2,x3,x4 ,是基变量， x1, x5 是非基变量
单纯形法
A ( B, N )
因此，约束方程组 变为
XB X XN
AX b
BX B NX N b
单纯形法
由于B可逆，将B 左乘以上式的两边得:
1
X B B b B NX N
令xN = 0 ，则
1
1
XB B b
X XN 0
2 x1 x x 3 x3 x4 10 x1 x x 2 x3 x5 3 s.t. ' '' 8 2 x1 x2 x2 2 x3 ' '' x1 , x2 , x2 , x3 , x4 , x5 0
' 2 ' 2 " 2 '' 2
x1 6 x3 2 1 x2 2 x3 - x 5 3 3 4 2 x4 4 x3 x5 3 3
单纯形法
将上式代入Z=4x1 +3x2中得 : Z=30- 2x3 –x5 令xN =(x3, x5 )=0, 得基本可行解X=(6,2,0,4,0) , Z’=30 由于非基变量在目标函数中系数均为小于等于 零，故X=(6,2,0,4,0)是线性规划问题最优解.
单纯形法
由上章讨论可知, 最优解里,x1, x2, x3,… xn, 中 一般会有m个不为0(我们称为基变量,用xB), 其余n-m个必须为0 (我们称其为非基变量xN), 将约束方程组系数矩阵A分为两块(B,N), 其中B为基变量xB系数子矩阵,为mXm方阵 N为非基变量xN系数子矩阵, 为mX(n-m)矩阵
(2) 如果约束条件是线性不等式:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≥ b1 则通过引入剩余变量xn+1 ≥ 0 ， 将其转化为等价的等式约束条件: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn - xn+1 = b1
单纯形法
3)变量约束的转换 在标准形式中，我们要求每个决策变量满足非负 约束，如果原问题中某个变量是自由变量（即无 非负限制）则可令
事实上，对于一般的线性规划问题（m个约束，n 个决策变量）有类似的特性： 每个基本可行解对应于可行域的顶点。 可行域中相邻的两个顶点对应基阵中只有一个基 向量不同，其余的个基向量相同。 由于线性规划的最优解是在可行域的顶点获得， 由顶点与基可行解的对应关系，我们有以下线性 规划的基本定理： 线性规划问题如果存在最优解，则一定存在一个 基本可行解是最优解。
单纯形法
单纯形法一般从可行域一个顶点（通常是原 点）出发，试图在其相邻的可行域顶点中找 目标函数值更好的顶点，若在某顶点的相邻 的顶点中找不出使目标函数有改进的顶点， 则现有顶点就是最优解。
单纯形法
新的基阵变为B=（ P1 ,P2 ,P4,） ， xB = (x1,x2, x4 ）为基变量, x3,x5将看作自由变量， 用高斯消元法将原约束方程组写为:
x’I ≥ 0, x’’i ≥ 0 . 代入原问题，即在原问题中将用两个非负变量之 差代替
单纯形法
例： 将下列线性规划问题化为标准形式:
min Z 3 x1 2 x2 4 x3
2 x1 x2 3 x3 10 x x 2x 3 3 s.t. 1 2 2 x1 x2 2 x3 8 x1 0, x3 0, x2
B
1
此时约束方程组有一个特殊形式的解,称为线 性规划的基本解 X B 1b
单纯形法
下面我们给出例2中基阵、基本解、基本可行解以及可行区域顶点之间 的对应关系 基阵(P3,P4 ,P5 ）基本可行解x3, =6, x4 , =8,x5=18, x1, = x2, = 0,对应可行区域 顶点O(0,0) 基阵（ P2 P3, P5 ）基本可行解(0,4,6,0,6)对应可行区域顶点E(0,4)
单纯形法
故约束系数矩阵
1 0 1 0 0 A 0 2 0 1 0 (P 1, P 2, P 3, P 4, P 5) 2 3 0 0 1 35
单纯形法
由于P3,P4 ,P5线性无关,
1 0 0 B0 ( P3 , P4 , P5 ) 0 1 0 0 0 1
单纯形法
我们希望找到最优的xB 即:确定xB包含,x1, x2, x3,… xn, 中哪m个, (同 时也确定xN包含,x1, x2,… xn, 中剩余的n-m 个) 然后令xN = 0 , 在约束方 程组中解出xB
可以枚举,最多有组合数
m n m n ! m !n ! n
单纯形法
1) 目标函数的转化 若原问题的目标函数是求最小化，即 : minimize Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn, 则可将目标函数乘以-1，等价转化为求如下最 大化问题： Maximize -Z = -c1x1 - c2x2 - . . . –cnxn 转化后的问题与原问题有相同的最优解
单纯形法
化为标准型后: Maximize Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn =bm x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0. 一般来说, m<..< n, 即: 约束个数小于变量个数
首先将最小化问题乘以-1，转化为最大化问题,在第一约束中 引入松弛变量x4，第二个约束中引入剩余变量x5，再令自由 变量x2=x’2– x”2 ，并将第三约束方程两边同乘以（-1), 得到 与原问题等价的线性规划标准形式：
单纯形法
max Z 3 x1 2 x 2 x 4 x3
' ' 2 '' 2
劳动力分配问题
劳动力分配问题属于资源分配问题，在求得 最优方案后发现某些资源相对过剩，而有些 资源又相对紧缺；假设在一些条件下，不同 种类资源量在一定条件下可以置换或可以共 享；我们可以把相对过剩的资源“置换”成 相对紧缺的资源以达到扩大生产规模增加利 润的目的。 具体案例如美克制造公司的劳动力分配问题
单纯形法新版
1 2
2 1
1 0
10，A 中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向量为P3
,
P 4
,
基变量为x
3
,
x
，X
4
B1
x 3 ; x 4
1
B 2
2
2 1
,
其相应的基向量为P 1
,
P 2
,
基变量为x
1
,
x
2
,
X
B2
x 1 。 x 2
问题：本例旳A中一共有几种基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基旳个数最多有多少个？ — —C m 个。 n
p 1
7
(0 0
0) 4
7;
3
360 90
3
4
[ ] 中表达进基列与出基行旳交叉元，下一张表将实 施以它为主元旳初等行变换（称高斯消去）。措施是： 先将主元消成1，再用此1将其所在列旳其他元消成0。
C X B b1
B
B
0
x 3
360
0
x 4
200
0
x 5
300
0
x 3
240
0
x 4
50
（1）先将模型化为原则型
Maxz 7 x1 12x2
9x 1 4x 2 x 3
5x 2 10 x
2
x 4
200
x 300 5
x
1, x
2, x , x , x
3
4
5
0
(2) 拟定初始基可行解、检验
1
B 0
1
,
B
b1
最优化方法-单纯形法
记：Z0=CBB-1b
(1-1) (1-2) (1-3)
(1-4)
2 最优解判别定理
定理：设B是线性规划(1-1)’～(1-2)’的基
b’=B-1b=(b’1 ,b’2 ,…..b’m )T ≥0 X(0)是与B对应的基可行解，即
X(0) ＝（ b’1 ,b’2 ,…0 ..b’m,0,…..0) T 如果X所有的检验数 j ≤0,则X 是最优解。
X
1
X
2
X
3
X 4
X
5
(1,2,0,0)T
( 45 ,0, 14 ,0)T 13 13
(34 ,0,0, 7 )T
5
5
(0, 45 , 7 ,0)T 16 16
(0, 68 ,0, 7 )T 29 29
X
6
(0,0, 68 , 45)T 31 31
注：基向量的下标视约束方程而异，不一定是1,2,…,m
例 2 求初始基可行解
max z = 3x1-2x2+5x3+9x4-x5
x1
s.t.
x2 x3
x4 x5 8 6x4 - 3 x5 12 x4 2x5 4
Hale Waihona Puke x1, , x5 0解：
系数矩阵A
b
1 0… 0… 0 a1,m+1… a1,m+t… a1n
b1
0 1… 0… 0 ┇
a2,m+1… a2,m+t… a2n ┇
b2 ┇
0 0… 1… 0 al,m+1… al,m+t… aln
线性规划问题的单纯形法求解步骤
线性规划问题的单纯形法求解步骤线性规划是一种优化问题，它的解决方法有很多种，在这里我们来介绍其中一种常用的方法——单纯形法。
我们将介绍单纯形法的求解步骤，以帮助读者更好地理解和掌握这种求解方法。
1. 建立数学模型任何一个线性规划问题的解决都需要先进行建模。
我们将问题转换成数学模型，然后使用数学方法进行求解。
线性规划问题的一般形式为：max cxs.t.Ax ≤ bx ≥ 0其中，c、x、b、A都是向量或矩阵，x≥0表示各变量都是非负数。
其中c表示目标函数，A和b表示约束条件。
2. 计算初始基可行解我们需要从初始点开始，逐步优化目标函数。
但是，在开始优化前我们需要先找到一个基可行解。
基可行解的定义是：如果所有非基变量的取值都是0，并且所有基变量的取值都是非负的，则该解被称为基可行解。
当基可行解找到后，我们就可以开始进行优化。
3. 确定进入变量在单纯形法中，每次迭代中我们都需要找到进入变量。
进入变量是指，通过操作非基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个使得目标函数增加最多的非基变量，将其称为进入变量。
4. 确定离开变量在确定进入变量后，我们需要确定一个离开变量。
离开变量是指，通过操作基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个离开变量，使得当进入变量增加到某个值时，该离开变量的值为0。
这样，我们就找到了一个最小的正根比率，使得通过基本变量出基到进入变量变为零而得到的新解是可行的。
5. 交换变量接下来，我们需要将已选定的进入变量和离开变量进行交换。
此时，我们将进入变量转变为基变量，离开变量转变为非基变量。
通过这种交换，我们还需要调整我们的基向量。
由于这个交换，我们将得到一个新的基可行解，并且它可以比之前的解更好。
6. 重复迭代我们需要重复上述步骤，直到我们找到最优解。
重复迭代意味着我们将不断查找新的进入变量和离开变量，并进行变量交换。
这种找到最优解的过程可能非常复杂，但是单纯形法的效率很高，通常可以在很短的时间内找到最优解。
单纯形法的几种特殊情况
达不到最优解。
下面一个是由E.Beale给出的循环的例子。
例5
目标函数
min f =－（3/4）x4+20x5－（1／2）x6+6x7.
约束条件：x1+（1／4）x4－8x5－x6+9x7=0，
x2+（1／2）x4－12x5－（1／2）x6+3x7=0，
x3+x6=1，
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7≥0.
50 150 250
12500
50/1 150/2 —
50 50 250
15000
— 50/1 250/1
8
§4 几种特殊情况
这样我们求得了最优解为x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,此线性规划的 最优值为15000。这个最优解是否是惟一的呢？由于在第2次迭代的检验数
中除了基变量的检验数 1,2,4 等于零外，非基变量s3的检验数也等
30 0 20 1 -M 0
1
1/10
-3/10
0
0
0
-7/10
-1
1
zj
20
30
3+M/10 11+7M/10
M
-M
cj-zj
0
0
-3-M/10 -11-7M/10
-M
0
管理运筹学
b
比值
150 30 40
-40M
150/10 — 40/1
15
15/(3/10)
30
30/1
25
25/(7/10)
例4.用单纯形表，求解下列线性规划问题。
解：加上松驰变量s1,s2,s3化为标准形式后，
单纯形法原理 单纯形表
单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。
它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。
本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。
一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。
这些可行解形成一个点集，称为单纯形。
每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。
重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。
单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。
2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。
3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。
这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。
4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。
这可以通过解一个线性方程组来实现。
5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。
6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。
二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。
每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。
表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。
在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。
通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。
总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
运筹学第2章 单纯形法
所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3
x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
2020/3/4
14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min
bi aik
aik
0
bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数
完整版单纯形法大M法
?? 4x1 ? 3x2 ? x3 ? 4
?? ? ?
x1 ? x2 ? 2 x1 ?
? 2x3 2x2 ?
? 10 x3 ?
?1
?? x1、x2、x3 ? 0
解：首先将数学模型化为标准形式
2020/4/13
max Z ? 3 x1 ? 2 x2 ? x3
?? 4 x1 ? 3 x2 ? x3 ? x4 ? 4
Page 5
将3化为1
cj
cB
基变量
0
x3
0
x4
?j
乘
0
x3
以
4
x2
3/5 后
?j
得
3
x1
到
4
x2
?j
最优解：
2020/4/13
换入列
b i
/ai2，ai2>0
3
b
x1
40
2
30
1
3
30 5/3 10 1/3
5/3
18 1 40
0
4
0
x2
x3
1
1
0
x4
θi
换
出
0
40 行
3
0
1
10
4
0
0
0
1 －1/3 18
1、大M 法
通过引进人工变量，构造一个辅助的线性规划问题，然后 由辅助的线性规划问题找出原问题的第一个初始可行基，在此 基础上，利用单纯形方法求出原问题的最优解。
2020/4/13
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 9
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z ? 3x1 ? 2 x2 ? x3
第4章 单纯形法
不为0，是否会带来目标函数值变大？ 需要最优性
检验，即如果x1或x2不论取其他任何非负值都不会
带来目标函数值增大，那该基本可行解就是最优解。
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。 （1） 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求 只用非基变量来表示目标函数，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。 此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数 记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为3x1+5x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ 1=３，σ 2=５，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。 检验数：用非基变量来代换基变量，使得目标函数只用非基变量来表示。
• Ｚ＝3x1+5x2 • 非基变量的检验数都大于0，说明增加x1或x2都可以使目标
函数值变大。故非最优解。 • 3、基变换。 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面
介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从
可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得
到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量(n-m个)为零，再求解这个m元线性方程组就可得 到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解（基解）。
在此例中我们不妨找到了