高二数学选修1、1-1-2四种命题及其相互关系
第一章 常用逻辑用语
[例5] 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、
b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
人 教
A
(1)写出其否命题，判断其真假，并证明你的结论．
版 数
学
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
第一章 常用逻辑用语
人 教
A
2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结
版 数
学
论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把
这样的两个命题叫做 互否命题 ， 其 中 一 个 命 题 叫 做
原命题 ，另一个叫做原命题的 否命题 ．
第一章 常用逻辑用语
3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结
论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把
人 教
A
版
数
学
第一章 常用逻辑用语
改写成“若p则q”的形式，并写出它的否命题和逆否
命题，最后判断所有命题的真假．
(1)ac>bc⇒a>b；
人 教
A
(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
版 数
学
(3)当m> 时，mx2－x＋1＝0无实根；
(4)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
首先：把原命题整理成“如果p，则q”．
其次：(1)“换位”得到“如果q，则p”，即为逆命题；
人 教
A
(2)“换质”(分别否定)得到“如果非p，则非q”即为
版 数
学
否命题；
(3)既“换位”又“换质”得到“如果非q，则非p”即
为逆否命题．
第一章 常用逻辑用语
注意：“命题的否定”只否定结论，而否命题要对条
x≠2.(真)
逆否命题：已知x、y为正整数，若y≠3或x≠2，则y≠x＋
1.(假)
第一章 常用逻辑用语
(3)原命题：若 m>14，则 mx2－x＋1＝0 无实根．(真)
否命题：若 m≤14，则 mx2－x＋1＝0 有实根．(真)
人
教
逆否命题：若 mx2－x＋1＝0 有实根，则 m≤14.(真)
A 版 数 学
[解析] (1)该命题为假，如c＝0时，ac2＝bc2.
逆命题：ac2>bc2，则a>b为真；
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2为真；
逆否命题：若a题为真．
A 版
数
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对 学
角互补，为真．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆
同真 同假．
第一章 常用逻辑用语
人 教 A 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
[例1] 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)负数的平方是正数；
人 教
A
(2)正方形的四条边相等．
版 数
学
[分析] 此题的题设和结论不很明显，因此首先将命
题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、
否命题与逆否命题．
－a＝0有实根”的逆否命题为真．
第一章 常用逻辑用语
人 教 A 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
[例4] 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并
判断真假．
人 教
A
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根．
版 数
学
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数．
(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.
命题)
(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为0.(真命题)
命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为0.(假命题)
第一章 常用逻辑用语
[点评] 命题的否定形式及否命题是两个不同的概念，
要注意区别，不能混淆．从形式上看，否命题既否定条件，
又否定结论，而命题的否定，条件不变，只否定结论.
人 教 A 版 数 学
版 数
学
可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式的解，故是假命
题．
(4)“相等的角是对顶角”是假命题．故选B.
第一章 常用逻辑用语
[点评] 本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、
(3)的解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常
用到的方法．
人 教 A 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命
第一章 常用逻辑用语
[解析] (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m
＝0无实根．(假命题)
命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无
实根．(假命题)
人 教
A
(2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇数．(假
版 数
学
命题)
命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是奇数．(真
版 数
学
至多至少等，结论的反面是比原结论更具体、更易于研究
和掌握的问题．
第一章 常用逻辑用语
人 教 A 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结
论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两
个命题叫做 互逆命题 ，其中一个命题叫做 原命题 ， 另 一
个叫做原命题的 逆命题 ．
件和结论分别进行否定．只有“如果p，则q”形式的命题
才有否命题，形式为“如果綈p，则綈q”．在写一个命题
的否定或否命题时要注意一些关键词的否定．
人 教
A
版
数
学
第一章 常用逻辑用语
2．命题的四种形式间的关系
(1)命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是
绝对的；
(2)四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对
(5)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.
第一章 常用逻辑用语
[解析] (1)原命题：若ac>bc，则a>b.(假)
否命题：若ac≤bc，则a≤b.(假)
逆否命题：若a≤b，则ac≤bc.(假)
(2)原命题：已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且
人 教
A
x＝2.(假)
版 数
学
否 命 题 ： 已 知 x 、 y 为 正 整 数 ， 若 y≠x ＋1 ， 则 y≠3 或
解法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)
证明．
在为a≥0，所以4a≥0，所以4a＋1>0，
所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，
人 教
A
所以方程x2＋x－a＝0有实根．
版 数
学
故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．
又因原命题与逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x
第一章 常用逻辑用语
[解析] (1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是
正数”．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．
人 教
A
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负
版 数
学
数．
第一章 常用逻辑用语
(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的
人 教 A 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
本节重点：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题．
本节难点：分析四种命题的相互关系以及四种命题的
真假之间的关系．
1．要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题 人
教
间的关系去验证写出的命题是否正确．
A 版
数
2．要注意否命题与命题的否定是不同的．
学
例 如 ： 原 命 题 “ 若 ∠ A ＝ ∠ B ， 则 a ＝ b” 的 否 命 题 是
(4)原命题：若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.(真) 否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0.(真) 逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0.(真)
第一章 常用逻辑用语
(5)原命题：若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.(真)
否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3且x≠－1.(真)
这样的两个命题叫做 互为逆否命题 ，其中 一 个命题
叫做 原命题 ，另一个叫做原命题的 逆否命题 ．
人 教
A
4．原命题为真，它的逆命题 不一定为真 ．
版 数
学
5．原命题为真，它的否命题 不一定为真 ．
6．原命题为真，它的逆否命题 为真 ．
7．互为逆否的命题是等价命题，它们同真 同假，同一
个命题的逆命题和否命题是一对互为 逆否 的 命 题 ， 它 们
第一章 常用逻辑用语
人 教 A 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
人 教 A 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
1．知识与技能
了解四种命题的概念，并会判断命题的真假．
2．过程与方法
了解命题的逆命题，否命题、逆否命题，能写出原命
人 教
A
题的其它三种命题．
版 数
学
能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假．
第一章 常用逻辑用语
四条边相等．
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方
形．
人 教
A
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不
版 数
学
相等．
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是
正方形．
第一章 常用逻辑用语
[点评] 例1(1)题还有另一种解答：
原命题可以写成：若一个数是负数的平方，则这个数
是正数．
逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方．
高二数学(人教A版)选修1-1课件1-1-2 四种命题及其相互关系
(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为 新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非 q， 则非 p”即为逆否命题． 注意：①非 p 常记作綈 p.②只有“若 p，则 q”形式的命
题才研究它的逆命题、否命题、逆否命题．
2． 要注意否命题与命题的否定是不同的， “命题的否定” 只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定．“若 p， 则 q”形式的命题其否命题为“若綈 p，则綈 q”．在写一个命
建模应用引路
命题方向 四种命题的关系及真假判断
[例 2]
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然
后判断真假． (1)菱形的对角线互相垂直； (2)等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
[解析]
(1)逆命题： 若一个四边形的对角线互相垂直， 则
它是菱形．是假命题． 否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相 垂直．是假命题． 逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个 四边形不是菱形．是真命题．
[答案] C
课堂典例讲练
思路方法技巧
命题方向
[例 1]
命题的四种形式之间的转换
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)负数的平方是正数； (2)正方形的四条边相等． [分析] 此题的题设和结论不很明显， 因此首先将命题改写 成“若 p，则 q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆 否命题．
4．间接证明有关问题 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接 证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间 接证明原命题为真，即正难则反的思想．
课前自主预习
1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题
人教A版高二数学选修2-1 1.1.2四种命题1.1.3四种命题的相互关系 课件
下 列 四 个 命 题 中 , 命 题 (1) 与 命 题 (2)(3)(4) 的 条 件 和 结 论 之 间 分 别 有 什 么 关 系？
（1）若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; （2）若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; （3）若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期 函数; （4）若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦 函数.
真
• 逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc ，则a≤b. 真
命题之间的真假性
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真真真 真 真假假 真 假真真 假 假假假 假
原命题为真，其 逆命题不一定为 真.
原命题为真，其 否命题不一定为 真.
原命题为真，其 逆否命题一定为 真.
互为逆否命题的 两个命题同真同 假.
• 例2 已知命题“若x2+y2=0,则x=y=0”. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题， 并判断它们的真假. 解：原命题及其逆命题、否命题、 逆否命题均为真命题.
逆否命题:
若一个数的平方不是正数,则它不是负数.
(2)正方形的四条边相等.
• 原命题可以写成:若一个四边形是正方形, 则它的四条边相等.
逆命题:
若一个四边形的四条边相等,则它是正方形；
否命题:
若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等；
逆否命题:
若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形.
• 例2 写出命题“若xy=0，则x=0或y =0” 的逆命题、否命题、逆否命题.
它的逆否命题: 两直线不平行，同位角不相等.
1.请举出一些逆否命题的例子,并判断 原命题与逆否命题的真假.
2.如果原命题是真命题,那么它的逆否 命题一定是真命题吗?
高二数学 (人教a版)选修1-1教案：1.1.2四种命题间的相互关系
§1．1.2 四种命题间的相互关系五．体验与运用例1:设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假解：逆命题“当时，若，则”．否命题“当时，若，则”．否命题为真．逆否命题“当时，若，则”．逆否命题为真．课堂练习写出命题：“若xy = 6则x = 3且y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假例2：证明：若022=+yx，则0==yx。
练习：已知a,b两直线是异面直线,且点A与B,C与D分别是直线a,b 上的相异点求证:直线AC与BD必异面通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据六、小结与反思课堂小结1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不变．2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．通过学生自己的小结，将新知识系统化、重点化。
通过学生的反思，使学生意识重点和难点，提高学习效率。
课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。
2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题 ④“A B B =U ，则A B ⊇”的逆否命题其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除 6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A I A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.0 8．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。
高中数学 北师大选修1-1 1.1.2《四种命题》1.1.3《四种命题间的相互关系》
分析：搞清四种命题的定义或” “且”.
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0. 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真） （真） （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题 的真假.因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原 命题真假等价.
（1）若f(x)是正弦函数，p 则f(x)是周期函数； q （2）若f(x)是周期函数，q 则f(x)是正弦函数； p
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命 题叫做互逆命题.（即条件和结论互换） 我们称（1）和（2）互为逆命题。 或者（2）是（1）的逆命题；这时（1）为原命题。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
三个概念
1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另 一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做 互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命 题的否命题. 3.互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好 是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题 叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个 叫做原命题的逆否命题.
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
在同一个命题的四种命题中，真命题的个数是多少？
0个
2个
4个
四种命题的关系：
高二数学选修1、1-1-2四种命题及其相互关系
1.1.2四种命题及其相互关系一、选择题1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”[答案] B[解析]考查命题与它的逆命题之间的关系．原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.2．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案] D[解析]∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案] A[解析]否命题是对命题的条件和结论都否定，故选A.4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的() A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[答案] C[解析]特例：p：若∠A＝∠B，则a＝br：若∠A≠∠B，则a≠bs：若a≠b，则∠A≠∠Bt：若a＝b，则∠A＝∠B.5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真[答案] D[解析]原命题为真，故逆否命题为真．6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．4B．3C．2D．0[答案] C[解析]当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．7．设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是() A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂β，c是α在β内的射影，若b⊥c，则a⊥bC．b⊂β，则b⊥α，则β⊥αD．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c[答案] C[解析]C选项的逆命题为“设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，b⊂β，若β⊥α，则b⊥α”，这个命题是假命题，b与α的位置关系除垂直外，还可能b与α相交或b∥α.8．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是()A．若m∈M，则n∉MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M[答案] D[解析]原命题与逆否命题等价．9．有下列四个命题：(1)“若x－y＝0，则x，y为相等的实数”的逆命题；(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；(3)“若x>5，则x2－3x－10>0”的否命题；(4)“若a b是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析](1)逆命题“x，y为相等实数，则x－y＝0”是真命题．(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假．(3)否命题“若x≤5，则x2－3x－10≤0”，假如x＝－3<5，但x2－3x－10＝8>0.为假命题．(4)逆命题“若a、b是无理数，则a b也是无理数”，假如a＝(2)2，b ＝2，则a b＝2是有理数．10．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[答案] A[解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.二、填空题11．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．[答案]真12．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.13．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．[答案]假[解析]如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．14．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“____________________”．(2)命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．[答案](1)偶数一定是末位是2的整数．(2)不是整数的数就不是有理数．(3)在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．三、解答题15．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除．[解析](1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．16．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理，故逆否命题为假．17．写出下列命题的否定和否命题．(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；(2)0的平方等于0.[解析](1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．(2)命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于0.18．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析]直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．[解析]原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．。
人教版高中数学选修1-1课件：1.1.3 四种命题间的相互关系
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
三维目标
1．知识与技能 (1)了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念． (2)掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假. 2．过程与方法 多让学生举例，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能 力；培养学生的抽象概括能力和思维能力． 3．情感、态度与价值观 通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析 问题和解决问题的能力．
备课素材
对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则 |a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都 把它作为大前提． 在写一个命题的否命题时要将命题中的关键词语改写成否定词语，特别地，“且” 的否定是“或”，“都是”的否定是“不都是”等．
备课素材
[例]写出下列命题的逆命题、否 命题和逆否命题． (1)若 a＋ 5是有理数，则 a 是无 理数； (2)若 ab＝0，则 a，b 中至少有 一个为零； (3)垂直于同一平面的两条直线 平行．
解： (1)逆命题：若 a 是无理数，则 a＋ 5是 有理数； 否命题：若 a＋ 5不是有理数，则 a 不是无 理数； 逆否命题：若 a 不是无理数，则 a＋ 5不是 有理数．
新课导入
[导入一] 情景引入 在商品大战中，广告成了电视节目中一道美丽的风景线．几乎所有的广告商都熟 谙这样的命题变换艺术，如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福， 幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效 果相当大．哪个家庭不希望幸福呢，掏钱买一盒就得了．你能写出其广告词的一 个等价命题吗？
高中数学选修1-1、1-2、4-4知识点高考复习总结
选修1－1、1-2数学知识点 选修1－1数学知识点第一章 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p q p q ∧ p q ∨ p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二章 圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
高中数学人教A版选修1-1课件：1-1-2 3 四种命题 四种命题间的相互关系
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANC
1
2
3
1.四种命题 (1)逆命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个 命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.也就是说,如果原命 题为“若p,则q”,那么它的逆命题为“若q,则p”. (2)否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 条件的否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命 题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的 否命题.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANC
1
2
3
解析命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相 等”;命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互 补”;命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于 圆”.因此互为逆命题的有③和⑥,②和④;互为否命题的有①和⑥, ②和⑤;互为逆否命题的有①和③,④和⑤. 答案③和⑥,②和④ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANC
1
2
3
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANC
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、四种命题之间的关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.二、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.联想发散反证法证明问题的类型(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.问题·探究问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6π.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,∴逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明：∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).∴逆否命题为真.深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。
高二数学人教A版选修2-1课件：1.1.2 四种命题的相互关系(共24张PPT)
变式 训练
2．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0
有实数根”的逆否命题的真假．
解析：方法一 因为 m>0，所以 12m>0，所以 12m＋4>0. 栏
目
所以方程 x2＋2x－3m＝0 的判别式 Δ ＝12m＋4>0.
链 接
所以原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”为
基础 梳理
2．四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有_相__同__的___真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 栏
_没_有__关__系__．
目 链
接
例：命题“若 x＝y，则sin x＝sin y”是真命题；它
的逆否命题：
“_若__s_in__x_≠_s_in__y_，__则__x_≠_y____”也是真命题；否命题 “_若__x_≠_y_，__则__si_n__x_≠_si_n__y_____”是假命题，逆命题 “若__s_in__x_＝__s_in__y_，__则__x_＝__y___”也是假命题．
所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以 f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
栏 目
链
即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命 接
题．
点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即 互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题 为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
解析：(1)逆命题：若x≠1或y≠2，则 x＋y≠3；假
命题．
否命题：若 x＋y＝3，则 x＝1且y＝2；假命题．