概率统计习题
习题一 1．设A、B、C是某一随机试验的3个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C都发生； （2）A、B、C都不发生； （3）A与B发生，而C不发生； （4）A发生，而B与C不发生； （5）A、B、C中至少有一个发生； （6）A、B、C中不多于一个发生； （7）A与B都不发生； （8）A与B中至少有一个发生; （9） A、B、C中恰有两个发生. 2．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同”，B =“点数之和为10”，C=“最小点数为4”．试分别指出事件A 、B 、C以及ABU 、ABC 、AC 、CA 、BC 各自含有的样本点．
3．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件kA
（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k”，试用kA间的运算表示下列事件：
（1） 呼唤次数大于2 ； （2） 呼唤次数在5到10次范围内； （3） 呼唤次数与8的偏差大于2 4．下列命题是否成立,并说明理由: (1) ABABBUU (2) ABAB (3) ABAB (4) ABAB (5) 若AB,则=AAB (6)若AB则AB 5．事件A、B、C两两互不相容与ABC是否为一回事?为什么? 6.设A、B、C是3个事件14PAPBPC，0PABPBC, 18PAC,求A、B、C中至少有一个发生的概率.
7. 111342PAPBPABU，，,求PAB,PABU. 8．设A 、B 、C是三个随机事件，且有CABA， ，()0.9PA ， ()PBCU= 0.8 ，求()PABC．
9．将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率 10.10个号码:1号,2号,…,10号,装于一袋中,从中任取3个,按从小到大的顺序排列,求中间的号码恰好我5号的概率.
11.从一批由35件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率. 12. 一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nm≤M）正品（记为A）的概率.如果： （1） n件是同时取出的；
（2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. 13．两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率．
14.同时抛m枚硬币,求至少有一枚出现正面的概率. 15. 一个袋内装有大小相同的10个球，其中4个是白球，6个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 16．某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时．设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率．
17.50个零件,其中48个精度合格,45个表面粗糙度合格,44个精度和表面粗糙度都合格.现从中任取一个,已验得其表面粗糙度合格,问其精度合格的可能性多大?
18.已知14PA,13PBA,12PAB,求PABU. 19．设()0.5PA，()0.6PB．问 (1) 什么条件下()PAB可以取最大值，其值是多少？(2) 什么条件下()PAB可以取最小值，其值是多少？
20．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记为事件A）的概率为 415,刮风（记为事件B）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110．求(|),(|)().PABPBAPABU及 21.某人有5把钥匙,其中两把可以打开门,从中随机取一把试开房门,求第三次才打开门的概率.
22. 一猎人用猎枪向一野兔射击,第一枪距离野兔200m远，如果未击中，他追到离野兔150m处第二次射击，如果仍未击中，他追到距离野兔100m处进行第三次射击，此
时击中的概率为12.如果这个猎人射击的命中率与他到野兔的距离的平方成反比,求猎人击中野兔的概率. 23.已知某种疾病的发病率为0.1%, 该种疾病患者一个月以内的死亡率为90%；且知未患该种疾病的人一个月以内的死亡率为0.1%；现从人群中任意抽取一人，问此人在一个月内死亡的概率是多少？若已知此人在一个月内死亡，则此人是因该种疾病致死的概率为多少？
24. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
25. 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
26．设一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的．开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收．
（1）求该箱产品通过验收的概率； （2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率 27．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计
资料表明，上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30；如果“谨慎的”被保的人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%.
(1 ) 求被保险的人一年内出事故的概率。 （1） 现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 28. 甲、乙、丙3人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人 击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击 中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 29..电路由电池A与两个并联的电池B、C串联而成,设电池A、B、C损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生断电的概率.
30.三人独立地破译一份密码,已知每人能破译的概率分别是111534、、,求密码能被破译的概率. 31.某类灯泡试用时间在1000小时以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000小时以后: (1)都没有坏的概率. (2)坏了一个的概率. (3)最多只有一个坏了得概率. 32. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60％ ，其余的需重新调试．经重新调试的产品中有80％ 经检验合格，而20％ 会被判定为不合格产品而不能出厂．现该厂生产了200台仪器，求下列事件的概率：
（1） 全部仪器都能出厂； （2） 恰有10台不合格. 33.甲乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8,每人投篮3次,求 (1)两人进球数相等的概率. (2)甲比乙进球数多的概率. 34.假设每个人的生日在任何月份都是等可能的,已知某单位中至少有一人的生日在一月份的概率不小于0.96,问这个单位有多少人?
35．某自动化机器发生故障的概率为0.2，如果一台机器发生故障只需要一个维修工人去处理，因此，每8台机器配备一个维修工人，试求：
(1) 维修工人无故障可修的概率； （2）工人正在维修一台出故障的机器时，另外又有机器出故障则待维修. 如果认为每四台机器配备一个维修工人，还经常出故障得不到及时维修。那么，四台机器至少应配备多少个维修工人才能保证机器发生了故障待维修的概率小于3%．
36*.巴拿赫火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根．试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少（r=1,2,3，┄，N）？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又是多少？
习题二 1. 设随机变量X的分布律为,1,2,,9
18
ak
PXkkL. (1) 求常数a; (2)求概率14PXX或;(3)求概率7-12PX
.
2. 设随机变量X的分布律为,1,2,1cPXkkkkL,求c的值. 3. 盒中有5只球,分别编号为1、2、3、4、5号.在从盒中同时取出3只球,用X表示取出的3只球中最大的编号,写出X的分布律.
4. 抛一枚硬币,直到出现正面为止,求抛的次数的分布律. 5 .一批零件中有9个正品和3个次品,现从中任取一个,.如果每次取出的是次品,则不再放回,再取下一个,直到取到正品为止,求在取到正品以前已取得出的次品数的分布律.
6. 10门炮同时向敌舰各射击一发炮弹,当有不少于两发炮弹击中时,敌舰将被击沉,设每门炮射击一发炮弹的命中率为0.6,求敌舰被击沉的概率.
7.某街道有10部公用电话,调查表明在任一时刻每部电话被使用的概率为0.85,求在同一时刻
(1)被使用的电话部数X的分布律; (2)至少有8部电话被使用的概率; (3)至少有一部电话未被使用的概率; (4)为保证至少有一部电话不被使用的概率不小于90%,应再安装多少部公用电话? 8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 9.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数X服从参数为4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有3次呼唤的概率; (2)每分钟呼唤次数大雨 的概率. 10. 某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书
中恰有5册错误的概率. 11. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险
公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题(答案)一、单项选择题1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1]4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C )5.设随机变量X ~ N (/M6), Y 〜N 仏25)，记 P1 = P (X <//-4), p 2 = P (Y> “ + 5), 则正确的是(A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p?(c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P26.设随机变量x 〜N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C )F(x) =o,kx+b 、 x<0 0 < x< x>则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数(A ) z 7fl -cosx ； 2 0, f sinx,A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0);B. f (x)1, x < 0[cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负D. f (x)在(-叫+00)内连续A. P {X <O }=P {X >O }B. f(x)= f(-x)C. p{x<l}=p{x>l} D ・ F(x) = l-F(-x)A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设片3与E（力分别为随机变量X、兀的分布函数，为使F（沪aF©—胡（力是某一随机变量的分布函数，在下列给定的多组数值中应取（A ）&设心与人是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为ft （力和f2（力，分布函数分别为川力和E （力，则（A）亡（力+負（力必为某个随机变量的概率密度；（B） f心）临（力必为某个随机变量的概率密度；（C）川力+£（力必为某个随机变量的分布函数；（D）FAx）吠（力必为某个随机变量的分布函数。
9.1.2概率与统计练习题
件B'∪D',依据互斥事件的概率加法公式,有P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0
.29+0.35=0.64. ②(法一)由于A,AB型血不能输给B型血的人,所以“任找一人,其
考点整合 基础训练 典例导练 考径避陷 方法技巧 名校押题
1~6 6~9 10~12
血不能输给张三”为事件A'∪C',依据互斥事件的概率加法公式, 有P(A'∪C')=P(C')+P(A')=0.28+0.08=0.36.
①任找一人,其血可以输给张三的概率是多少? ②任找一人,其血不能输给张三的概率是多少? (2)一个箱子内有9张票,其号码分别为1,2,…,8,9,从中任取出2张,其 号码至少有一个为奇数的概率是多少? 【分析】(1)分析的是互斥事件,那么直接用公式可解决.
例题备选
(2)“至少有一个为奇数”的对立事件是“都为偶数”,那么可以 用对立事件的概率来解决. 【解析】(1)①对任一人,其血型为A,B,AB,O的事件分别记为A',B', C',D'.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B, O型血可以输给张三,所以“任找一人,其血可以输给张三”为事
2.特别地,若事件B与事件A互为对立事件,则A∪B为必然 事件,P(A∪B)=1.再由加法公式得P(A)=1-P(B). 3.若事件A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)(推广情况:如果 A1、A2、…、An彼此至斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+
概率论与数理统计习题库,第一章
长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417第一章#00001写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:（1）掷一颗骰子，出现奇数点．（2）将一枚均匀的硬币抛出两次，A: 第一次出现正面B: 两次出现同一面C: 至少有一次出现正面（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只，球的最小号码为1．（4）一个口袋中有2只白球、3只黑球、4只红球，从中任取一球，A: 得白球， B: 不得红球*00001#00002在数学系中任选一名学生，令事件A 表示该生为男生，事件B 表示该生为三年级学生，事件C 表示该生为运动员． （１）（１）叙述事件C AB 的意义（２）（２）在什么条件下ABC=C 成立？（３）（３）什么时候关系式C ⊂B 是正确的？ （４）（４）什么时候B A =成立？*00002#00003长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417一个工人生产了n 个零件，事件A i ="该工人生产得第i 个零件是正品" i ＝1、2、、n用A i 表示下列事件：（１）（１）没有一个零件是次品；（２）（２）至少有一个零件是次品；（３）（３）仅仅只有一个零件是次品；（４）（４）至少有两个零件是次品．*00003#00004A 、B 是两个事件．证明下列关系等价B A ⊂，B A ⊂，B B A = ，A B A = ，φ=B A*00004#00005把A 1⋂ A 2⋂⋯ ⋂ A n 表示为不相容事件的和．*00005#00006长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417证明：若（A-B ）⋂（B-A ）⊂ C ，则A ⊂（B-C ）⋂（C-B ）的充要条件是ABC= φ． *00006#00007一部五卷文集任意地排列到书架上，文卷号自左向右或自右向左恰好为12345的顺序的概率等于多少？*00007#00008在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成分数，求所得分数为既约分数得概率．*00008#00009有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9．从这五条线段中任取三条，求所取三条线段恰好能构成三角形的概率．*00009#00010把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有k面（k=0、1、2、3）涂有颜色的概率．*00010#00011一个小孩用13个字母A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T做组字游戏．如随机地排列字母，问他组成＂MATHEMATICIAN＂的概率是多少？*00011#00012甲从2、4、6、8、10中任取一数，乙从1、3、5、7、9中任取一数，求甲取的数大于乙取的数的概率．*00012#00013在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红＂车＂及一只黑＂车＂，求它们正好可以互相吃掉的概率．*00013#00014一批灯泡有40只，其中有3只是坏的，从中任取5只检查．问：（1）5只都是好的概率是多少？（2）5只中有2只是坏的概率是多少？*00014#00015一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7位乘客．电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率．*00015#00016从一副扑克牌（52）张中任取6张，求得三张红色三张黑色牌的概率．*00016#00017掷两个骰子，求所得的两个点数一个恰是另一个的两倍的概率．*00017#00018掷三颗骰子，求所得的三个点数中最大的一个恰是最小的一个的两倍的概率．*00018#00019一个班上有2n个男生及2n个女生，把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率．*00019#00020某城市共有自行车10000，牌照编号从00001到10000．问事件＂偶然遇到一辆牌照编号中有数字8的自行车＂的概率是多少？*00020#00021从n个数1、2、3、 、n中随机地取出两个数（不重复），问其中一个小于k（1<k<n），另一个大于k的概率是多少？*00021#00022有2n个数字，其中n个是0，n个是1．从中任取两数，求所取两数之和为0或为偶数的概率．*00022#00023在十个数字0、1、2、⋯、9中任取四个数（不重复），能排成一个四位偶数的概率是多少？*00023#00024四颗骰子掷一次至少得一个一点与两个骰子掷24次至少有一次得两个一点，哪一个概率大？*00024#00025从一副扑克牌（52张）中任意抽出10张，问（１）（１）至少有一张＂A＂的概率是多少？（２）（２）至少有两张＂A＂的概率是多少？*00025#00026一个中学有十五个班级，每班选出三个代表出席学生代表会议，从45名代表中选出15名组成工作委员会．求下列事件的概率（１）（１）一年级（一）在委员会中有代表；（２）（２）每个班级在委员会中均有代表．*00026#00027设甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中有c只白球d只黑球．今从两袋中各取一球，求所得两球颜色不同的概率．*00027#00028一口袋中有a只白球b只黑球，从中连续取球三次（不返回），求三只球依次为黑白黑的概率．*00028#00029从数1、2、3、⋯、n中随机地取出两个数，求所取两数之和为偶数的概率．*00029#00030任取两个正整数，求它们之和为偶数的概率．*00030#00031任取一个正整数，求下列事件的概率：（１）（１）该数的平方的末尾数字是1；（２）（２）该数的四次方的末尾数字是1；（３）（３）该数的立方的最后两位数字是1．*00031#00032设每个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不是都在同一天的概率．*00032#00033一个小组有8个学生，问这8个学生的生日都不相同的概率是多少？（一年有365天）*00033#00034n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（１）（１）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边；（２）（２）甲、乙、丙三人坐在一起；（３）（３）若n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率．*00034#00035把n个＂0＂与n个＂1＂随机地排列，求没有两个＂1＂连续在一起的概率．*00035#00036从一个装有白球、黑球与红球各n个的口袋中任取m个球，求其中有m1个白球、m2个黑球、m3个红球的概率．（m1+ m2 +m3=m）*00036#00037从一个装有n个白球、n个黑球的口袋中逐一取球（不返回，直至取完为止），求黑白球恰好相间取出的概率．*00037#00038从一个装有a个白球、b个黑球的口袋中逐一取球（不返回），直至留在袋中的球都是同一中颜色为止．求最后是白球留在袋中的概率．*00038#00039有mn个球，其中一个是黑球，一个是白球，其余的都是红球．把这mn个球放在m个袋中，每袋放n个球．求黑球与白球恰好在一袋中的概率．*00039#00040从n双尺码不同的鞋子中任取2r只（2r<n）求下列事件的概率：（１）（１）所取的2r只中没有两只成对；（２）（２）所取的2r只中只有两只成对；（３）（３）所取的2r只中只有恰成r对．*00040#00041在一口袋中装有n种颜色的球，每种颜色的球只有k只．从中任取r只（r n），求所取r 只球颜色全部都不相同的概率．*00041#00042把n根同样长的棒都分成长度为1与2之比的两根小棒，然后把2n根小棒任意地分成n对，每对又接成一根＂新棒＂．求下列事件的概率：（１）（１）全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的，（２）（２）全部新棒的长度都与原来的一样．*00042#00043一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后请另一人把六个头两两相连接，六个尾两两相连接．求放开手后六根草恰好连成一个环的概率．试把该结果推广到2n根草的情形．*00043#00044把n个不同的球随机地放入n个匣子中去，求恰有一个空匣的概率．*00044#00045一个教室共有n+k个座位，随机地坐上n个人．求其中指定的s个座位(s<n)都坐上了人的概率．*00045#00046设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住(n ≤N)．求下列事件的概率：（１）（１）指定的n 个房间里各有一人住的概率，（２）（２）恰有n 各房间，其中各住一人．*00046#00047甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n 次．求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数的概率． *00047#00048从数1、2、3、⋯、N 中不重复地任取n 个数(n ≤N)按大小排成一列：x 1<x 2<⋯<x m <⋯<x n求x m =M （m ≤M ≤N ）的概率．*00048#00049从数1、2、3、⋯、N 中可重复地任取n 个数按大小排成一列：x 1≤x 2≤⋯≤x m ≤⋯≤x n求x m =M （m ≤M ≤N ）的概率．*00049#00050已知事件A 、B 的概率都是1/2，证明： P(AB)=)B A P(*00050#00051设事件A 与B 同时发生比导致C 发生，证明：P(A)+P(B)-1≤ P(C)*00051#00052对任意事件A 、B 、C ，证明：P(AB)+P(AC)-P(BC) ≤ P(C)*00052#00053设A 、B 、C 为三个事件，且P(A)=x 、P(B)=2 x 、P(C)=3 xP(AB)=P(AC)=P(BC)= y证明：x ≤1/4，y ≤1/4．*00053#00054从装有红、白、黑各一个球的口袋中任意取球（取后放回），直至各种颜色的球都至少出现一次为止．求（１）（１）摸球次数不少于6次的概率，（２）（２）摸球次数恰好为6次的概率．*00054#00055从一副扑克牌中（有返回地）任意抽取n 张(n ≥4)，求这n 张牌包含全部四种花色的概率． *00055#00056甲乙从1、2、3、⋯、15中各任取一数（不重复），已知甲取的数是5的倍数，求甲数大于乙数的概率．*00056#00057袋中有一个白球及一个黑球，一次次地从中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n 次都没有取到黑球的概率．*00057#00058甲袋中有两个白球四个黑球，乙袋中有四个白球两个黑球．现在掷一枚均匀的硬币，若得到正面就从甲袋中连续摸球n 次（有返回），若得反面就从乙袋中连续摸球n 次．若已知摸到的n 个球均为白球，求这些球是从甲袋中取出的概率．*00058#00059两个体育协会各有排球、足球、篮球队各一个，同类球队进行比赛时协会A 的各队胜协会B 的各队的概率分别为0.8、0.4、0.4（不可能平局）．若一个协会在三次比赛中至少胜两次就称获胜，问哪一个协会获胜的可能性大？*00059#00060两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2．两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本．但赌博在中途被中断了．此时第一个赌徒还需赢得m 局才获胜，第二个赌徒还需赢得n 局才能获胜，问如何分配赌本才合理．*00060#00061把n 个不同的球随机地放入N 个匣子．求某指定的一个匣子中恰有r 个（r ≤n ）球的概率． *00061#00062甲乙两人各掷均匀硬币n 次，求两人掷出正面次数相同的概率．*00062#00063甲乙两射手轮流对同一目标进行射击，甲命中的概率为p 1，乙命中的概率为p 2，甲先射，谁先命中谁得胜．问甲乙两人获胜的概率为多少？*00063#00064设甲袋中有k 个白球及1个黑球，乙袋中有k ＋1白球，每次从两袋中各任取一球，交换放入对方的袋中．求经过n 次交换后，黑球仍在甲袋中的概率为p n ，证明：21p lim n =∞→n*00064#00065做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ．求在试验成功n 次之前至少失败m 次的概率． *00065#00066掷均匀硬币n+m 次，已知至少出现一次正面，求第一次正面出现在第n 次的概率． *00066#00067做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ．求第n 次试验时得到第r 次成功的概率． *00067#00068某数学家有两盒火柴，每盒有n 根．每次用火柴时他在两盒中任取一盒，抽出一根．求他用完一盒（既拿出最后一根）时，另一盒中还有r （1≤r ≤n ）根的概率．*00068#00069掷m+n次均匀硬币（m>n），求至少连续出现m次正面的概率*00069#00070掷均匀硬币直至第一次出现连接两个正面为止，求这时共掷了n次的概率．*00070#00071在线段(0,1)中任取十个点，求其中三点在区间（0,1/4）中，四点在区间（1/4,2/3），三点在区间（2/3,1）中的概率．*00071#00072有两只口袋，甲袋中3只白球2只黑球，乙袋中装有2只白球5只黑球．任选一袋，并从中任取一球，问此球是白球的概率是多少？*00072#00073袋中装有m(m≥3)个白球和n个黑球的罐子中失去一个球，但不知是什么颜色，为了猜测它是什么颜色，随机地从罐子中取两个球，结果均为白球，问失去的是白球的概率是多少？*00073#00074袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取5个球放入空袋中，再从此5个球中任取3个球放入另一个空袋中，最后从第三个袋子中任取一球为白球，问第一次取出的球均为白球的概率？*00074#00075一个质点从平面上某一点开始等可能地向上、下、左、右四个方向游动，每次游动的距离为1．求经过2n次游动后回到出发点的概率．*00075#00076写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点。
概率统计习题 3.4 演示文稿1
解其中记gZ(为x,此y商) 店{经110000销00xy该50种0( y商x)品每{15周00000(所xy, 得y),y的xy利x 润,由题设知Z=g(X,Y),
由题设条件知(X,Y)的联合概率密度为
1 , 10x20,10 y20,
px, y
(x,
y)
{100 0,
其它,
np1(t)[1
F1 (t)]n1
n(1
t
)n1
1
所以
E(Y )
n n
0
t n dt
n n 1
E(Z )
n n
0
t(
t)n1 dt
n 1
14.设随机变量U服从(-2,2)上的均匀分布,定义X和Y如下:
X {1 若U 1, 1 若U-1,
这是贝塔分布Be(10,1),由此得
E(Y )
10 ;Var(Y ) 11
10 11212
5 726
10．系统有n个部件组成，记 Xi为第i个部件能持续工作的时间，如果 X1, X 2 ,L , X n 独立同分布，且 Xi : Exp()，试在以下情况下求系统持续工作的平均时间：
（1）如果有一个部件在工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作。
解 因为X,Y独立,都服从N(0,1),所以 X Y : N (0, 2). ,又因为
max(X ,Y ) X Y | X Y | 2
由于 X Y : N(0, 2).,所以
E[max( X ,Y )] E( X ) E(Y ) E | X Y | E | X Y |
概率统计练习题
第一章 随机事件及其概率习题一 、填空题：1.设A ，B ，C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示（1）A 和B 都发生，而C 不发生为 ，（2）A 、B 、C 至少有两个发生的事件为 。
2.设A ，B 为两个互不相容的事件，P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A+B)= 。
3.设A ，B ，C 为三个相互独立的事件，已知P(A)=a, P(B)=b, P(C)=c,则A ，B ，C 至少有一个发生的概率为 。
4.把一枚硬币抛四次，则无反面的概率为 ，有反面的概率为 。
5.电话号码由0，1，……9中的8数字排列而成，则电话号码后四位数字全都不相同的概率表示为 。
6.设公寓中的每一个房间都有4名学生，任意挑选一个房间，则这4人生日无重复的概率表示为 （一年以365天计算）。
7. 设A ，B 为两个事件，P(A)=0.4, ,P(B)=0.8,P(B A )=0.5,则P(B|A)= 。
8.设A ，B ，C 构成一个随机试验的样本空间的一个划分，且7.0)(,5.0)(==B P A P ,则P(C)= ,P(AB)= 。
9.设A ，B 为两个相互独立的事件，P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，则P(B)= 。
10.3个人独立地猜一谜语，他们能够猜出的概率都是31，则此谜语被猜出的概率为 。
二 、选择题 ：1. 设A 与B 是两随机事件，则AB 表示（ ）（A ）A 与B 都不发生 （B ）A 与B 同时发生（C ）A 与B 中至少有一个发生 （D ）A 与B 中至少有一个不发生 2.设c B A P b B P a A P =⋃==)(,)(,)(，则)(B A P 为 （A ）b a -（B ）b c -（C ）)1(b a -（D ）)1(c a -3.若A ，B 是两个互不相容的事件，P （A ）>0，P （B ）>0，则一定有（ ） （A ）P （A ）=1—P （B ） （B ） P （A|B ）=0 （C ） P （A|B ）=1 （D ）P （A |B ）=04. 每次试验失败的概率为p (0<p<1),则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ ）（A ）)1(3p - (B)3)1(p -(C) 31p - (D)13C 3)1(p p -三、计算：1.掷两颗质地均匀的骰子，求出现的两个点数之和等于5的概率。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P Y 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P Y 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率统计课后习题答案
一次的概率等于19/27，求事件在每次试验中出现的概率. 解 记{在第次试验中出现}，
依假设 所以， ， 此即 .
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率 分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件 的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出 现次品。记 {第道工序为次品}， 则次品率
(2) 只有两次抽到废品。 解 (1)； (2)； (3)；
(4)； (5). 6. 接连进行三次射击，设={第次射击命中}，，{三次射击恰好命中二 次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示和。
解
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中 恰有1件次品的概率。
解 这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的 样本点数. 于是
概 率 X的分布函数 0 =
1 4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取 3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。 解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球 的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即；事件表示随机取 出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此 时；同理可得。 X的分布律为
(ⅳ) 有利于的样本点数，故 . 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋 中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数. (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且 有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为 . (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是 有利样本点数为，所求概率为 . 4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放 回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率： (1) 2只都合格； (2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。 解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，则 注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知 5．掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数 (ⅰ)含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) (ⅱ)含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
概率论与数理统计练习题附答案详解
概率论与数理统计练习题附答案详解第⼀章《随机事件及概率》练习题⼀、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则⼀定有（）（A ）()1()P A P B =-；（B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =；（D ）(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独⽴，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（）⼀定成⽴（A ）(|)1()P A B P A =-；（B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-；（D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满⾜P (A )＞0，P (B )＞0，下⾯条件（）成⽴时，事件A 与B ⼀定独⽴（A ）()()()P AB P A P B =；（B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =；（D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ?，则下列等式中正确的是（）（A ）()()P AB P A =；（B ）()()P AB P A =；（C ）(|)()P B A P B =；（D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）A 与B 互不相容；（B ）A 与B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对⽴事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下⾯关系成⽴的是（）（A ）()()()P AB P A P B =+；（B ）()()()P A B P A P B ≠+；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+；（C ）()()P A P AB -；（D ）()()()P A P B P AB +-。
概率统计习题
数字特征、 选择题随机变量 X 服从二项分布 B(10,0.2) ，则( )DX =194. 设 X~B(10, 31), 则D E((X X)) B. 23D.103和方差分别为(A. E (X)=2, D(X)=4B. E (X)=4, D(x)=2C. E(X)= 41,D(X)= 12D. E(X)= 1 , D(X)= 124A．EX DX 2 B EX DX 1.6 C．EX 2， DX 1.6 DEX 1.6， DX 22. X 可取无穷多个值0,1,2,，其概率分布为普阿松分布 P(3) ，则A ．EX DX =3 B ．EX1DX = C311．EX =3，DX = D ．EX = ，336．设二维随机变量( X ，Y )的分布律为1. 3. 随 机 向 量 (X,Y) 有 D X 36,DY 25 , 协 方 差 XY 12 ， 则D(X Y)()A ．B ．37C ．61D ．85A. 13C.15．已知随机变量 X 的分布函数为 F (x)=2xe其x它0.;则 X 的均值B ．0 则 E ( XY )=A ． 19C ． 197．已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则随机变量 X的 D ．13方差为(A ．-2B ．0C ． 128．设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 2 的指数分布，Y D ．2B (6 ， 21) ，则 E(X-Y)=( A ． B ．12 C． D ．59． 设二维随机变量 ( X ，Y )的协方差 Cov(X ，Y )= 1，且 D ( X )=4 ， 6D ( Y )=9 ，则 X 与Y 的相关系数 XY 为(A ． 1 216C ． 16B ． 136D ．1二、 填空题1. 设X 服从二项分布 B(n,p)，则 D(2X 1)2. 总体 X 服从 N(2,22)，则 EX 2 3．设二维随机变量 (X,Y) 的分布律为则 E(XY)4．设随机变量 X 的分布X 律 为-1 1，则 E (X 2) =P5. 设随机变量 X 在区间 [-1 ， 2] 上服从均匀分布。