山东省济南市高二上学期数学期中考试试卷
山东省济南市高二上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共18分)
1. （1分）给出下列命题：
①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；
②两个平面的交线可能是一条线段；
③经过空间任意三点的平面有且只有一个；
④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．
其中正确命题的序号为________．
2. （1分） (2018高三上·连云港期中) 命题：“ x > 1， x2 - 2 > 0”是________命题．（填“真”、“假’”）
3. （1分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥l；
③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m且l⊥α；
④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β
其中真命题的个数________ ．
4. （1分） (2018高二上·西宁月考) 设平面，直线与交于S，若
，则 ________.
5. （1分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，0），（1，1，1），则该四面体的外接球的体积为________
6. （1分）等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．
7. （1分） (2016高一下·吉林期中) 圆柱的底面半径为3，侧面积为12π，则圆柱的体积为________．
8. （1分）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1 ．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________
9. （1分） (2019高二上·慈溪期中) 圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是________;关于直线l:y=x-1对称的圆C'的方程为________.
10. （1分） (2020高二上·遂宁期末) 已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，为切点，则弦长的最小值为________
11. （1分） (2017高二上·黄山期末) 已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
12. （1分）(2017·贵阳模拟) 已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．
13. （1分） (2017高一下·盐城期中) 若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=________．
14. （5分） (2017高二上·芜湖期末) 若圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x﹣l对称，过点C （﹣a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．
二、解答题 (共6题；共70分)
15. （10分）过点M（0，1）作直线，使它被两直线l1：y= + ，l2：y=﹣2x+8所截得的线段恰好被点M平分，求此直线方程．
16. （10分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点
（1）求证：BC1∥平面AB1D1
（2）求证：平面A B1D1∥平面C1BD．
17. （10分） (2016高二上·桐乡期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD= ．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
18. （10分） (2017高一下·穆棱期末) 已知圆与圆：关于直线对称，且点在圆上．
（1）判断圆与圆的公切线的条数；
（2）设为圆上任意一点，，，三点不共线，为的平分线，且交于，求证：与的面积之比为定值．
19. （15分）(2018·重庆模拟) 如图，在三棱柱中，，平面，侧面是正方形，点为棱的中点，点、分别在棱、上，且
，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
20. （15分）(2017·石家庄模拟) 已知点，点P是圆上的任意一点，设Q为该圆的圆心，并且线段PA的垂直平分线与直线PQ交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）已知M，N两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），点T是直线x=4上的一个动点，且直线TM，TN分别交（1）中点E的轨迹于C，D两点（M，N，C，D四点互不相同），证明：直线CD恒过一定点，并求出该定点坐标．
参考答案一、填空题 (共14题；共18分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共70分)
15-1、16-1、
16-2、
17-1、18-1、18-2、
19-1、19-2、20-1、
20-2、。
2021-2022学年山东省济南一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线经过两点A （2，﹣m ），B （m ，m ﹣1）且倾斜角为135°，则m 的值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．−322．已知a →=（1，5，﹣2），b →=（m ，2，m +1），若a →⊥b →，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．﹣8 C ．6 D ．83．椭圆3x 2+4y 2＝12的焦点坐标为（ ） A ．（±1，0） B ．（0，±1） C ．（±√7，0） D ．（0，±√7）4．已知m ∈R ，则“m ＞2”是“方程x 2m−1+y 2=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知空间向量a →，b →，c →两两夹角均为60°，其模均为1，则|a →+b →−2c →|＝（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2 D ．√56．已知圆C 与直线x ﹣y ＝0及x ﹣y ﹣4＝0都相切，圆心在直线x +y ＝0上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝2 B ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝2C ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2D ．（x +1）2+（y +1）2＝27．在一个平面上，机器人从与点C （1，﹣4）的距离为5的地方绕点C 顺时针而行，在行进过程中保持与点C 的距离不变．它在行进过程中到过点A （﹣6，0）与B （0，8）的直线的最近距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知直线l ：（m +3）x +（m ﹣2）y ﹣m ﹣2＝0，点A （﹣2，﹣1），B （2，﹣2），若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） B ．（2，4）C ．[−32，8] D ．（4，+∞）二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错得得0分．9．设有一组圆∁k ：（x ﹣2k +1）2+（y ﹣k ）2＝1，下列说法正确的是（ ） A ．这组圆的半径均为1B ．直线2x ﹣y +2＝0平分所有的圆∁kC ．直线2x ﹣3y +1＝0被圆∁k 截得的弦长相等D ．存在一个圆∁k 与x 轴和y 轴均相切10．下列说法正确的是（ ）A ．过点（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1B ．点（0，2）关于直线y ＝x +1的对称点是（1，1）C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．圆O 1：x 2+y 2﹣2x ＝0和圆O 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ＝0的交点为A ，B ，则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为x ﹣y ＝0B ．线段AB 中垂线方程为x +y ﹣1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为√22+112．在四面体P ﹣ABC 中，以下说法正确的有（ ）A ．若AD →=13AC →+23AB →，则可知BC →=3BD →B ．若Q 为△ABC 的重心，则PQ →=13PA →+13PB →+13PC →C ．若四面体P ﹣ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，则|MN →|=1D ．若PA →⋅BC →=0，PC →⋅AB →=0，则PB →⋅AC →=0三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．平面α的一个法向量是n →=（﹣2，﹣2，1），点A （﹣1，3，0）在平面α内，则点P （﹣2，1，4）到平面α的距离为 ．14．过点（√3，−√5），且与椭圆y 225+x 29=1有相同的焦点的椭圆的标准方程 ．15．已知直线x ﹣y +a ＝0与圆O ：x 2+y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等边三角形，则实数a ＝ ．16．如图，已知P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝120°，则线段PC 长为 ．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l ：3x ﹣2y ﹣6＝0．（1）若直线l 1过点M （1，﹣2），且l 1⊥l ，求直线l 1的方程；（2）若直线l 2∥l ，且直线l 2与直线l 之间的距离为√13，求直线l 2的方程．18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．（1）求BN的长；（2）求A1B与B1C所成角的余弦值；19．（12分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．（1）若直线l交圆C于A，B两点，求弦AB的长；（2）求过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ．P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD ，BC ＝4，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点． （Ⅰ）求证：DM ∥平面P AB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BF1⊥F1F2，|F1B|=5，|F1F2|＝4．3（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．22．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，平面SBC ⊥平面ABC ，SB ＝SC ＝AB ＝AC =√2，BC ＝2，若O 为BC 的中点．（1）证明：SO ⊥平面ABC ；（2）求异面直线AB 和SC 所成角的大小；（3）设线段SO 上有一点M ，当AM 与平面SAB 所成角的正弦值为√3015时，求OM 的长．2021-2022学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线经过两点A （2，﹣m ），B （m ，m ﹣1）且倾斜角为135°，则m 的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．−32解：由题意可得：−m−(m−1)2−m=tan135°＝﹣1，解得m ＝1， 故选：C ．2．已知a →=（1，5，﹣2），b →=（m ，2，m +1），若a →⊥b →，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣8C ．6D ．8解：a →=（1，5，﹣2），b →=（m ，2，m +1），a →⊥b →， ∴a →⋅b →=m +10﹣2（m +1）＝0，解得m ＝8． 故选：D ．3．椭圆3x 2+4y 2＝12的焦点坐标为（ ） A ．（±1，0）B ．（0，±1）C ．（±√7，0）D ．（0，±√7）解：椭圆3x 2+4y 2＝12的标准方程为：x 24+y 23=1，所以a ＝2，b =√3，c ＝1， 所以椭圆的焦点坐标（±1，0）． 故选：A ．4．已知m ∈R ，则“m ＞2”是“方程x 2m−1+y 2=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：“方程x 2m−1+y 2=1表示椭圆，∴m ﹣1＞0，且m ﹣1≠1， ∴m ＞1且m ≠2，∴“m ＞2”⇒m ＞1且m ≠2，∴“m ＞2”是“方程x 2m−1+y 2=1表示双椭圆”的充分不必要条件，故选：A ．5．已知空间向量a →，b →，c →两两夹角均为60°，其模均为1，则|a →+b →−2c →|＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5解：|a →+b →−2c →|=√(a →+b →−2c →)2=√a →2+b →2+4c →2+2a →⋅b →−4a →⋅b →−4a →⋅c →=√1+1+4+2×1×1×12−4×1×1×12−4×1×1×12 =√3． 故选：B ．6．已知圆C 与直线x ﹣y ＝0及x ﹣y ﹣4＝0都相切，圆心在直线x +y ＝0上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣1）2＝2 B ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝2C ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2D ．（x +1）2+（y +1）2＝2解：圆心在x +y ＝0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ； 验证：A 中圆心（﹣1，1）到两直线x ﹣y ＝0的距离是√2=√2；圆心（﹣1，1）到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离是√2=3√2≠√2．故A 错误．故选：B ．7．在一个平面上，机器人从与点C （1，﹣4）的距离为5的地方绕点C 顺时针而行，在行进过程中保持与点C 的距离不变．它在行进过程中到过点A （﹣6，0）与B （0，8）的直线的最近距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：直线AB 的方程为x −6+y 8=1，即4x ﹣3y +24＝0．机器人的运行轨迹为一个圆，以C （1，﹣4）为圆心，半径等于5，圆的方程为 （x ﹣1）2+（y +4）2＝5，圆心C 到直线AB 的距离为d =|4+12+24|√16+9=8，故点C 到直线AB 的距离最小为8﹣5＝3， 故选：A ．8．已知直线l ：（m +3）x +（m ﹣2）y ﹣m ﹣2＝0，点A （﹣2，﹣1），B （2，﹣2），若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）C．[−32，8]D．（4，+∞）解：根据题意，若直线l与线段AB相交，则点A、B在直线l的两侧或直线l上，则有[（m+3）×（﹣2）+（m﹣2）×（﹣1）﹣m﹣2][（m+3）×2+（m﹣2）×（﹣2）﹣m﹣2]≤0，变形可得：（4m+6）（m﹣8）≤0，解可得：−32≤m≤8，即m的取值范围为[−32，8]，故选：C．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错得得0分．9．设有一组圆∁k：（x﹣2k+1）2+（y﹣k）2＝1，下列说法正确的是（）A．这组圆的半径均为1B．直线2x﹣y+2＝0平分所有的圆∁kC．直线2x﹣3y+1＝0被圆∁k截得的弦长相等D．存在一个圆∁k与x轴和y轴均相切解：圆∁k：（x﹣2k+1）2+（y﹣k）2＝1，可得圆心坐标为∁k：（2k﹣1，k），半径为1，故A正确；把（2k﹣1，k）代入2x﹣y+2＝0，得2（2k﹣1）﹣k+2＝3k＝0不恒成立，即直线2x﹣y+2＝0不恒过圆心，故B错误；圆心（2k﹣1，k）到直线2x﹣3y+1＝0的距离d=|2(2k−1)−3k+1|13=|k−1|13不是定值，而圆的半径为定值，则直线2x﹣3y+1＝0被圆∁k截得的弦长不相等，故C错误；若存在一个圆∁k与x轴和y轴均相切，则|2k﹣1|＝|k|＝1，解得k＝1，故D正确．故选：AD．10．下列说法正确的是（）A．过点（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点是（1，1）C．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0解：对于A，当x1≠x2时，过点（x1，y1），（x2，y2）的直线斜率为k=y2−y1x2−x1，方程为y﹣y1=y2−y1x2−x1（x﹣x1），整理得（y2﹣y1）（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）（y﹣y1）＝0，当x1＝x2时，过点（x1，y1），（x2，y2）的直线方程是x＝x1，即x﹣x1＝0，满足（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）﹣（x 2﹣x 1）（y ﹣y 1）＝0，当y 1＝y 2时，过点（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程是y ＝y 1，即y ﹣y 1＝0， 满足（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）﹣（x 2﹣x 1）（y ﹣y 1）＝0，∴过（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程为（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）﹣（x 2﹣x 1）（y ﹣y 1）＝0，故A 错误； 对于B ，点（0，2）与（1，1）的中点坐标（12，32）满足直线方程y ＝x +1，并且两点连线的斜率为﹣1，∴点（0，2）关于直线y ＝x +1的对称点为（1，1），故B 正确； 对于C ，直线x ﹣y ﹣2＝0在两坐标轴上的截距分别为：2，﹣2，直线x ﹣y ﹣2＝0与坐标轴围成的三角形的面积是：12×2×2=2，故C 正确；对于D ，当直线过原点时，直线方程为y ＝x ，当直线不过原点时，设直线方程为x +y ＝a ，代入（1，1），得a ＝2，直线方程为x +y ﹣2＝0， ∴经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0或y ＝x ，故D 错误． 故选：BC ．11．圆O 1：x 2+y 2﹣2x ＝0和圆O 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ＝0的交点为A ，B ，则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为x ﹣y ＝0B ．线段AB 中垂线方程为x +y ﹣1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为√22+1 解：∵圆O 1：x 2+y 2﹣2x ＝0和圆O 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ＝0的交点为A ，B ， ∴圆O 1与圆O 2公共弦AB 所在的直线方程为x ﹣y ＝0，故A 正确； ∵O 1（1，0），O 2（﹣1，2），O 1O 2所在直线斜率为﹣1，∴线段AB 的中垂线的方程为y ﹣0＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣1＝0，故B 正确； 圆O 1：x 2+y 2﹣2x ＝0的圆心为O 1（1，0），半径r 1＝1， 圆心O 1（1，0）到直线x ﹣y ＝0的距离d =2=√22． ∴P 到直线AB 距离的最大值为√22+1， 圆O 1与圆O 2公共弦AB 的长为2√1−12=√2，故C 错误，D 正确．故选：ABD ．12．在四面体P ﹣ABC 中，以下说法正确的有（ ）A ．若AD →=13AC →+23AB →，则可知BC →=3BD →B ．若Q 为△ABC 的重心，则PQ →=13PA →+13PB →+13PC →C ．若四面体P ﹣ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，则|MN →|=1D ．若PA →⋅BC →=0，PC →⋅AB →=0，则PB →⋅AC →=0解：对于A ：若AD →=13AC →+23AB →，整理得：13AD →+23AD →=13AC →+23AB →，则可知BC →=3BD →，故A 正确； 对于B ：若Q 为△ABC 的重心，则PQ →=13PA →+13PB →+13PC →，根据中线向量的应用，故B 正确； 对于C ：若四面体P ﹣ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，则|MN|=√12+12=√2，故C 错误；对于D ：如图所示：作PO ⊥平面ABC ，由于PA →⋅BC →=0，所以OC ⊥AB ， 同理PC →⋅AB →=0，故AO ⊥BC ， 整理得：OP ⊥AC ，BO ⊥AC ， 所以AC ⊥平面BOP ，故AC ⊥PB ， 故PB →⋅AC →=0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．平面α的一个法向量是n →=（﹣2，﹣2，1），点A （﹣1，3，0）在平面α内，则点P （﹣2，1，4）到平面α的距离为103．解：根据题意，可得∵A （﹣1，3，0），P （﹣2，1，4），∴AP →=（﹣1，﹣2，4），又∵平面α的一个法向量n →=（﹣2，﹣2，1），点A 在α内， ∴P （﹣2，1，4）到α的距离等于向量PA →在n →上的投影的绝对值， ∴PA →•n →=−1×（﹣2）+（﹣2）×（﹣2）+4×1＝10，即d =|PA →⋅n →||n →|=103，故答案为：103．14．过点（√3，−√5），且与椭圆y 225+x 29=1有相同的焦点的椭圆的标准方程y 220+x 24=1 ．解：椭圆y 225+x 29=1的焦点为（0，±4），则所求椭圆的c ＝4， 可设椭圆方程为y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0），则有a 2﹣b 2＝16，① 再代入点（√3，−√5），得，5a 2+3b 2=1，②由①②解得，a 2＝20，b 2＝4． 则所求椭圆方程为y 220+x 24=1．故答案为：y 220+x 24=1．15．已知直线x ﹣y +a ＝0与圆O ：x 2+y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等边三角形，则实数a ＝ ±√3 ．解：圆O ：x 2+y 2＝2的圆心为（0，0），半径r =√2，若直线x ﹣y +a ＝0与圆O 交于A ，B 两点，且△AOB 为等边三角形， 则圆心O 到直线的距离d =√(√2)2−(22)2=√62，又由点到直线的距离公式可得，d =|a|√2，可得√2=√62， 解得a =±√3． 故答案为：±√3．16．如图，已知P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝120°，则线段PC 长为 12 ．解：P A ⊥平面ABC ，可知P A ⊥AC ， P A ＝AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝120°，可得AC =√AB 2+CB 2−2AB ⋅BCcos120°=√36+36+36=6√3， 则线段PC 长为：√62+(6√3)2=12． 故答案为：12．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l ：3x ﹣2y ﹣6＝0．（1）若直线l 1过点M （1，﹣2），且l 1⊥l ，求直线l 1的方程；（2）若直线l 2∥l ，且直线l 2与直线l 之间的距离为√13，求直线l 2的方程． 解：（1）因为直线l 的方程为3x ﹣2y ﹣6＝0，所以直线l 的斜率为32．因为l 1⊥l ，所以直线l 1的斜率为−23．因为直线l 1 过点M （1，﹣2），所以直线l 1的方程为y +2=−23（x ﹣1），即2x +3y +4＝0． （2）因为直线l 2与直线l 之间的距离为√13，所以可设直线l 2的方程为3x ﹣2y +m ＝0， 所以22=√13，解得m ＝7或m ＝﹣19．故直线l 2的方程为3x ﹣2y +7＝0或3x ﹣2y ﹣19＝0．18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点． （1）求BN 的长；（2）求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值；解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，由题意可得B （0，1，0），N （1，0，1）， ∴|BN →|=√(1−0)2+(0−1)2+(1−0)2=√3， ∴线段BN 的长为√3．（2）依题意得A 1（1，0，2），C （0，0，0），B 1（0，1，2）， ∴BA 1→=（1，﹣1，2），CB →1=（0，1，2）， ∴BA 1→•CB →1=1×0+（﹣1）×1+2×2＝3， 又∵|BA 1→|=√6，|CB →1|=√5， ∴cos ＜BA 1→，CB →1＞=BA 1→⋅CB →1|BA →||CB →|=√3010，故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为√3010．19．（12分）已知直线l ：x ﹣y +1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0． （1）若直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦AB 的长； （2）求过点（4，﹣1）且与圆C 相切的直线方程．解：（1）将圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0化成标准方程：（x ﹣1）2+（y +2）2＝9， ∴圆C 的圆心C （1，﹣2），半径r ＝3．∵圆心C （1，﹣2）到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离d =|1+2+1|2=2√2，∴|AB|=2√r 2−d 2=2√9−8=2；（2）①当所要求切线的斜率不存在时，过点（4，﹣1）的直线为x ＝4，是圆C 的一条切线； ②当所要求切线的斜率存在时，设圆C 的切线方程为y +1＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k ﹣1＝0， ∵圆心C （1，﹣2）到直线kx ﹣y ﹣4k ﹣1＝0的距离为r ， 即√k 2+1=3，解得：k =−43，∴此时切线方程为y +1=−43(x −4)，化简得4x +3y ﹣13＝0， 综上所述，所要求的切线方程为：x ＝4或4x +3y ﹣13＝0．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ．P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD ，BC ＝4，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点． （Ⅰ）求证：DM ∥平面P AB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两垂直．以A 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． 则P （0，0，2），B （2，0，0），D （0，2，0），C （2，4，0）点M 为PC 中点，故M （1，2，1）故DM →=(1，0，1)， 又AP →=(0，0，2)，AB →=(2，0，0)，所以DM →=12AP →+12AB →所以DM →，AP →，AB →为共面向量，AP →，AB →在一个平面内，DM →，不在AP →，AB →的平面内， 所以DM ∥平面P AB ．（Ⅱ）设E （2，a ，0），0＜a ＜4依题意可知平面BDE 的法向量为AP →=(0，0，2)，DP →=(0，−2，2)，DE →=(2，a −2，0) 设平面PDE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，{n →⋅DP →=−2y +2z =0n →⋅DE →=2x +(a −2)y =0，令z ＝1，则n →=(2−a2，1，1)． 因为二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为23，所以|cos〈AP →，n →〉|=|AP →⋅n→|AP →|⋅|n →||=23，即2×√(2−a 2)2+1+1=23，解得a ＝1或a ＝3．所以存在点E 符合题意，当BE ＝1或BE ＝3时，二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为23．21．（12分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上，片门位于另一个焦点F 2上．由椭圆一个焦点F 1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F 2．已知BF 1⊥F 1F 2，|F 1B |=53，|F 1F 2|＝4．（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：建立如图所示的平面直角坐标系，设截口BAC 所在椭圆方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，因为BF 1⊥F 1F 2，|F 1B|=53，|F 1F 2|＝4，所以在直角△BF 1F 2中，|BF 2|=√|BF 1|2+|F 1F 2|2=133， 故2a ＝|F 1B |+|F 2B |＝6，a ＝3，又2c ＝|F 1F 2|＝4，c ＝2， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝5，所求椭圆方程为x 29+y 25=1．（2）因为点P 在椭圆上，|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，又∠F 1PF 2＝60°，所以cos60°=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|2|PF 1||PF 2|=12，①因为|PF 1|2+|PF 2|2＝（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|＝36﹣2|PF 1||PF 2|， |F 1F 2|＝2c ＝4， 代入①式，即可得：|PF 1|⋅|PF 2|=203， 故△F 1PF 2的面积为：12|PF 1|⋅|PF 2|×12=53．22．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，平面SBC ⊥平面ABC ，SB ＝SC ＝AB ＝AC =√2，BC ＝2，若O 为BC 的中点．（1）证明：SO ⊥平面ABC ；（2）求异面直线AB 和SC 所成角的大小；（3）设线段SO 上有一点M ，当AM 与平面SAB 所成角的正弦值为√3015时，求OM 的长．解：（1）证明：∵SB ＝SC ，BO ＝OC ，∴SO ⊥BC ， ∵平面SBC ⊥平面ABC ，平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，SO ⊂平面SBC ， ∴SO ⊥平面SBC ．（2）解：∵SB =SC =AB =AC =√2，BC ＝2， ∴BS ⊥CS ，BA ⊥CA ，如图，分别以OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，∵A （0，1，0），B （1，0，0），S （0，0，1），C （﹣1，0，0）， ∴AB →=(1，−1，0)，SC →=(−1，0，−1)， ∵|cos〈AB →，SC →〉|=|AB →⋅SC →||AB →|⋅|SC →|=1√2⋅√2=12， ∴异面直线AB 和SC 所成角为π3．（3）设m →=(a ，b ，c)为平面SBA 的法向量， ∵AB →=(1，−1，0)，SB →=(1，0，−1)，∴{a −b =0a −c =0，即m →=(1，1，1)， 设M （0，0，t ），（t ∈[0，1]）， ∴AM →=(0，−1，t)， 设AM 与平面SAB 所成角为θ， ∵sinθ=|cos〈m →，AM →〉|=|m →⋅AM →||m →|⋅|AM →|，∴√3015=√3⋅√1+t2，6+6t 2＝15（t 2﹣2t +1）， 3t 2﹣10t +3＝0，（t ﹣3）（3t ﹣1）＝0，t ＝3（舍），t =13， ∴OM 的长为13．。
济南市高二上学期期中数学试卷A卷(考试)
济南市高二上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为（）A . ∀x∈R，x02+4x0+6≥0B . ∃x0∈R，x02+4x0+6＞0C . ∀x∈R，x02+4x0+6＞0D . ∃x0∈R，x02+4x0+6≥02. （2分）棱长为2的正四面体的表面积是（）A . 4B . 4C .D . 163. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A . A1E⊥DC1B . A1E⊥BDC . A1E⊥BC1D . A1E⊥AC4. （2分）已知直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的取值为（）A . -B .C . 2D . -25. （2分）(2017·莆田模拟) 记不等式所表示的平面区域为D，若对任意（x0 ， y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，则c的取值范围是（）A . （﹣∞，4]B . （﹣∞，2]C . [﹣1，4]D . （﹣∞，﹣1]6. （2分）(2017·天心模拟) 给出下列四个命题：①回归直线恒过样本中心点；②“x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“对∀x∈R，均有x2+2x+3＞0”；④“命题p∨q”为真命题，则“命题¬p∧¬q”也是真命题．其中真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）(2017·渝中模拟) 如图所示某物体的三视图，则求该物体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（）A . 16条B . 17条C . 32条D . 34条9. （2分）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数 f（x）=ax﹣x4 ，x∈[ ，1]，A、B是图象上不同的两点，若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是（）A .B .C . 5D . 111. （2分）(2017·安徽模拟) 已知在各棱长都为2的三棱锥A﹣BCD中，棱DA，DB，DC的中点分别为P，Q，R，则三棱锥Q﹣APR的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，平面α经过B1D1 ，直线AC1∥α，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A . 2B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·张掖期末) 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且非p是非q的必要不充分条件，则实数a的范围是________．14. （1分）(2018·临川模拟) 已知三棱锥的各顶点在一个表面积为的球面上，球心在上，平面， ,则三棱锥的体积为________.15. （1分） (2016高二上·襄阳期中) 分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为________①平行②相交③异面④垂直．16. （1分） (2016高二上·苏州期中) 圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二上·德惠期中) 命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．（1）若命题为真，求的取值范围；（2）若命题为真，求的取值范围．18. （10分）已知△ABC中，顶点A（2，1），B（﹣1，﹣1），∠C的平分线所在直线的方程是x+2y﹣1=0．（1）求点C的坐标；（2）求点A到直线BC的距离．19. （10分） (2016高三上·定州期中) 如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）若四边形OAQP是平行四边形，（i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程；（ii）设∠POA=θ（0≤θ≤2π），点Q（m，n），且f（θ）=m+ n．求关于θ的函数f（θ）的解析式，并求其单调增区间．20. （10分）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边CD上，点F在边AB上，且DF⊥AM，垂足为E，若将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，连接D′B，D′C，得四棱锥D′﹣ABCM．（1）求证：平面D′EF⊥平面AMCB；（2）若∠D′EF= ，直线D′F与平面ABCM所成角的大小为，求几何体A﹣D′EF的体积．21. （5分）正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E为线段B′C上的一点，（Ⅰ）求正方体ABCD﹣A′B′C′D′的内切球的半径与外接球的半径；（Ⅱ）求三棱锥A﹣DED′的体积．22. （10分） (2015高二上·昌平期末) 已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（1）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（2）若直线l：ax﹣y+4=0与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
济南市数学高二上学期文数期中考试试卷C卷
B . c2=a2+b2﹣2abcosC
C . c2=a2+b2+2absinC
D . c2=a2+b2﹣2absinC
12. （2分） 在 中，若 ， 则 （ ）
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） 已知 ， 则a，b，c的大析式；
（II）若关于x的方程f（x）=9m+3有实数解，求实数m的取值范围．
18. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．
（1） 求cosB；
（2） 若 • =4，b=4 ，求边a，c的值．
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题 (共6题；共52分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
20-2、
21-1、
22-1、
22-2、
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 若 的内角 满足 ， 则 （ ）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高二上·林芝期中) 已知 为等差数列， ， 则 （ ）
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
6. （2分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则 =（ ）
22. （10分） 已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .
2023-2024学年山东省济南市高二上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省济南市高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．方向相反的两个向量是相反向量B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量,AB CD 满足AB CD > ，则AB CD>D ．相等向量其方向必相同【正确答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A 错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B 错误；向量不能比较大小，故C 错误；相等向量其方向必相同，故D 正确；故选：D.2．两条直线1l ：210x y --=与2l ：3110x y +-=的交点坐标为（）．A ．(32)--，B ．(23)--，C ．(2)3，D ．(32)，【正确答案】C【分析】联立两直线的方程，解方程组即可求解.【详解】因为直线1l ：210x y --=，直线2l ：3110x y +-=，由2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以1l 与2l 两条直线的交点坐标为(2)3，，故选：C.3．已知(2,1)M 、(1,5)N -，则MN =（）．AB ．4C ．5D【正确答案】C【分析】利用两点间距离公式即可求解.【详解】因为(2,1)M 、(1,5)N -，所以5MN ==，故选：C.4．原点到直线250x y +-=的距离为（）A ．1BC ．2D【正确答案】D【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.【详解】由点到直线距离可知所求距离d ==故选：D本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.5．已知直线51230x y +-=与直线512100x y ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．2C ．12D ．4【正确答案】A【分析】直接利用两平行直线之间的距离公式计算即可.1=.故选：A.6．圆224240x y x y +-++=的半径和圆心坐标分别为A ．1;(2,1)r =-B ．2;(2,1)r =-C ．2;(2,1)r =-D ．1;(2,1)r =-【正确答案】D【详解】22(2)(1)1x y -++=∴ 半径和圆心坐标分别为()1;2,1r =-,选D7．椭圆22125169x y +=的焦点坐标为（）A ．(5,0),(5,0)-B ．(05),(05)-,,C ．(0,12),(0,12)-D ．(12,0),(12,0)-【正确答案】C【分析】由方程可得22,a b ，结合椭圆中,,a b c 的关系及焦点位置可得焦点坐标.【详解】因为椭圆的方程为22125169x y +=，所以焦点在y 上，且22169,25a b ==，由22216925144c a b =-=-=可得12c =，所以焦点为(0,12),(0,12)-.故选：C.本题主要考查椭圆的焦点坐标，利用方程求解焦点时，一看焦点位置，二算焦距大小，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知两个异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a •12b=-，则两直线的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】B【分析】先求出向量,a b的夹角，再利用异面直线角的定义直接求解即可【详解】设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos a ＜，12b =- ＞，∴cos a ＜，12b =-＞，∴a ＜，23b π=＞，∴θ3π=，故选：B ．本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与a ＜，b＞的关系，属于基础题．9．椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的距离为2，可得点P 到另一个焦点的距离．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为8，故选：D ．本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．10．若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3【正确答案】B【分析】由双曲线的定义运算即可得解.【详解】由双曲线的定义得12||||26PF PF a -==，即23||6PF -=，因为2||0PF >，所以2||9PF =.故选：B.11．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，则m 的值为（）A ．8-B ．0C ．2D ．10【正确答案】A【分析】利用直线的斜率公式求解即可.【详解】解： 过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率为2-，422m m-∴=---，解得8m =-，故选：A.12．已知向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos ,m n 〈〉=l 与α所成的角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒【正确答案】B【分析】根据直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角与线面角之间的关系，可得线面角的正弦值，即可求得答案.【详解】设直线l 与α所成的角为,090θθ≤≤ ，因为向量,m n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，且cos ,m n 〈〉=，故cos sin ,|2|m n θ〈〉==，即得60θ= ，故选：B13．如果直线1l 的斜率为2，12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．12-B ．2C ．12D ．-2【正确答案】A【分析】直接由两直线垂直则斜率乘积等于1-,计算可得2l 的斜率.【详解】由于直线1l 的斜率为2且12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为12-.故选：A14．圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径12r =，又211212r r O O r r -<=<+，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ．圆与圆的位置关系．15．已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4C ．32D ．43【正确答案】C【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝ca ＝32．16．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【正确答案】B【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d ，与圆的半径r 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B直线与圆的位置关系．二、多选题17．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（）A ．28y x =-B ．28y x=C ．24y x=-D ．24y x=【正确答案】AB【分析】根据焦点到准线的距离为p 求解.【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，根据四个选项可得28y x =-，28y x =满足4p =，故选：AB 三、单选题18．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【正确答案】C【详解】2c e a ==，故2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【正确答案】A 【分析】解方程001544x x +=即得解.【详解】解：由题得抛物线的准线方程为14x =-，则有014AF x =+，即有001544x x +=，解得01x =．故选：A20．若抛物线()20y ax a =>的焦点与椭圆2212x y +=的上顶点重合，则=a （）A ．12B ．14C ．2D ．4【正确答案】B分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆2212x y +=的上顶点是()0,1抛物线()20y ax a =>的焦点10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为两点重合所以114a=所以14a =故选：B本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.四、多选题21．若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,αα，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（）A ．若斜率12k k =，则12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12αα=，则12l l ∥D ．若12παα+=，则12l l ⊥【正确答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12αα=，则12l l ∥，正确；对于D,若12παα+=，不妨取12π2π33,αα==，则1122tan tan k k αα====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC22．下列命题中，正确的命题为（）A ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔B ．若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= C ．若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则//n aD ．0PM PN MN -+= 【正确答案】BD【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断A 、B ；由法向量的概念和直线方向向量的定义判断C ，根据空间向量线性运算法则判断D.【详解】解：对于A ，若1n ，2n分别是两个不重合平面α，β的法向量，则12////n n αβ⇔ ，故A中平面α，β可能平行或重合，故A 错误；对于B ，若1n ，2n分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⊥⇔⋅= ，故B 正确；对于C ，若n是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，l 与平面α平行，则n a ⊥ ，所以0n a ⋅= ，故C 错误；对于D ，0PM PN MN NM MN -+=+=，故D 正确．故选：BD ．23．已知双曲线方程为22832x y -=，则（）A ．焦距为6B ．虚轴长为4C ．实轴长为D ．离心率为4【正确答案】BCD【分析】求出双曲线的标准方程，得到a =2b =，6c =，对照选项即可求解.【详解】双曲线方程22832x y -=化为标准方程为：221324x y -=，可得：a =2b =，6c =，所以双曲线的焦距为212c =，虚轴长为24b =，实轴长为2a =，离心率4c e a ==，故选.BCD24．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为（）A ．y 2＝xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y【正确答案】AD【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .故选：AD25．已知(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值可能为（）A ．3-B ．3C ．2-D ．1【正确答案】AB【分析】由点到直线的距离公式可得关于a 的方程，解方程即可．【详解】解：因为(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，=即236a a +=+，化简得29a =，解得3a =±，所以实数a 的值可能为3±．故选：AB ．五、填空题26．若直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率为________．【正确答案】1-【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得直线的斜率.【详解】依题意，直线的斜率为135tan 1k =︒=-.故1-27．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．【正确答案】【详解】∵cos 〈u ，v 〉＝＝－，∴〈u ，v 〉＝π，∴平面α与β的夹角是.28．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为10，焦距为6，则此椭圆的标准方程为____________.【正确答案】2212516y x +=【分析】依题意可得22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得a 、b ，即可得解.【详解】依题意，设椭圆方程为()222210,0y x a b a b +=>>，则22221026a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得534a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212516y x +=.故答案为.2212516y x +=29．以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是___________.【正确答案】()()22112x y ++-=【分析】通过圆过定点A 和B ，以及线段AB 是直径，求出圆心和半径，即可求出圆的标准方程.【详解】解：由题意，在圆中，圆过()2,0A -和()0,2B ，且以AB 为直径，设圆心为C ，半径为r ，∴2012-+=-，0212+=，AB ==∴()1,1C -，12r AB =，∴以两点()2,0A -和()0,2B 为直径端点的圆的标准方程是：()()22112x y ++-=，故答案为.()()22112x y ++-=30．若经过点(),4m 和()22,m 的直线l 与斜率为1-的直线互相垂直，则m 的值是_______.【正确答案】3-【分析】分析可知，直线l 的斜率为1，利用斜率公式可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】由题意可知，直线l 的斜率为2412m k m -==-且2m ≠，所以，21m --=，解得3m =-.故答案为.3-六、解答题31．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点.(1)求直线AC 与平面1C AD 所成角的正弦值；(2)求平面1C AD 与平面ABC 的夹角的余弦值.【正确答案】33(2)33【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，12AA =，点D 是BC 的中点．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()10,2,2C ，()1,1,0D ，所以()0,2,0AC = ，()10,2,2AC = ，()1,1,0AD = ，设平面1C AD 的法向量(,,)n x y z = ，则10220n AD x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，则1y =-，1z =，得()1,1,1n =- ，设直线AC 与平面1C AD 所成角为θ，则3sin 323n AC n AC θ⋅===⨯⋅ 所以直线AC 与平面1C AD 33.（2）解：显然平面ABC 的一个法向量可以为()0,0,1m = ，设平面1C AD 与平面ABC 的夹角为α，则cos 3n m n mα⋅===⋅ ，所以平面1C AD 与平面ABC的夹角的余弦值为3.32．已知圆经过点()2,0P 和坐标原点，且圆心C 在直线0x y -=上(1)求圆的标准方程；(2)直线y x b =+与圆C 相交，求b 的范围.【正确答案】(1)()()22112x y -+-=(2)()2,2b ∈-【分析】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据题意列出方程组，求出,,a b r ，即可得解；（2）根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离d r <，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】（1）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得()22222220a b r a b r a b ⎧-+=⎪+=⎨⎪-=⎩，解得2112a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的标准方程为()()22112x y -+-=；（2）圆C 的圆心为()1,1，半径r =圆心()1,1到直线y x b =+的距离d ==因为直线y x b =+与圆C 相交，所以d r <，<，解得22b -<<，所以()2,2b ∈-.33．已知双曲线标准方程.2213y x -=(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)求以原点为顶点，以此双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程，过抛物线的焦点且倾斜角为4π的直线与此抛物线交于两点,A B ，求弦AB 的长度.【正确答案】(1)y =(2)8【分析】（1）根据双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线方程公式，可得答案；（2）根据双曲线的标准方程，求得其右顶点的坐标，利用抛物线的标准方程，由焦点可得方程，写出直线方程，联立写出韦达定理，结合弦长公式，可得答案.【详解】（1）由双曲线标准方程：2213y x -=，则1,a b =y =.（2）由双曲线标准方程：2213y x -=，则其右顶点坐标为()1,0，由题意可得抛物线的标准方程为24y x =，其该抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程为1y x =-，联立可得241y x y x ⎧=⎨=-⎩，整理可得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，121=x x ，则128AB x =-===.34．已知F 1，F 2分别为椭圆2221100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点.(1)若∠F 1PF 2＝60°，且 F 1PF 2，求b 的值；(2)求|PF 1|⋅|PF 2|的最大值.【正确答案】(1)8；(2)100.【分析】（1）利用 F 1PF 2的面积得到122563PF PF ⋅=，再利用余弦定理求解；（2）结合椭圆的定义，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：由椭圆方程知2221100x y b+=，a =10，2210036c b =-=则1220PF PF +=，由 F 1PF 2的面积为121sin 602S PF PF =⋅⋅ 解得122563PF PF ⋅=，由余弦定理得2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅⋅ ，()212123400256144PF PF PF PF =+-⋅=-=，即210036b -=，所以264b =，即8b =；（2）由基本不等式得()212121004PF PF PF PF +⋅≤=，当且仅当1210PF PF ==时，等号成立，所以12PF PF ⋅的最大值为100.。
山东省济南市高二上学期数学期中考试试卷
山东省济南市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）正方体的棱长为1，、、分别为三条棱的中点，、是顶点，那么点到截面的距离是（）A .B .C .D .2. （2分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A .B .C .D . 23. （2分） (2016高二下·南昌期中) 空间中，设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A . 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB . 若m⊥α，m⊥β，则α∥βC . 若m⊥β，α⊥β，则m∥αD . 若n⊥m，n⊥α，则m∥α4. （2分）(2016·中山模拟) 已知实数x，y满足，若直线kx﹣y+1=0经过该可行域，则实数k的最大值是（）A . 1B .C . 2D . 35. （2分） (2016高二上·赣州期中) 过点（1，﹣3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A . x﹣2y﹣7=0B . 2x+y+1=0C . x﹣2y+7=0D . 2x+y﹣1=06. （2分） (2016高三上·浦东期中) 如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条7. （2分）(2020·汨罗模拟) 若直线截得圆的弦长为，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A . 2B . 6C . 4D .9. （2分）已知直线，是平面，给出下列命题：（1）若,则；②若,则；③若,则；④若a与b异面，且，则b与相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a ，b都垂直.其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）当曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A . (0,)B . (,]C . (,]D . (,+)二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高二上·长寿月考) 直线y=x+100的斜率是________12. （1分） (2018高一上·寻乌期末) 在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为________．13. （1分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=BC，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=________时，CF⊥平面B1DF．14. （1分） (2017高二上·成都期中) 已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是________．15. （1分） (2016高二上·潮阳期中) 记不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D没有公共点，则实数a的取值范围是________．16. （1分）内接于半径为R的圆的矩形，周长最大值为________．17. （1分） (2017高三下·河北开学考) 在正三棱锥S﹣ABC中，AB= ，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S﹣ABC外接球的球心到平面ABC的距离为________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知两直线，，当为何值时，和（1）平行；（2）垂直？19. （10分） (2020高二上·徐州期末) 如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：直线与平面相交．20. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于 , 两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.21. （15分）(2019高二上·南宁月考) 在四棱锥中，，．为的中点．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．22. （5分） (2017高三上·四川月考) 已知动圆经过点，并且与圆相切.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设为轨迹C内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹C于A,B两点，当k为何值时？是与m无关的定值，并求出该值定值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、第11 页共12 页21-2、22-1、22-2、第12 页共12 页。
山东省济南市第一中学高二数学上学期期中试题
数学试题1． ABC ∆中453010A C ===o o ，，c ，则a 等于（A ） 10 （B ） （C ） （D ）2．在等差数列{}n a 中，已知12234,8a a a a +=+=，则7a 等于 （A ）7 （B ）10 （C ）13 （D ）19 3. 若ba b a 11,>>且，则有 （A ）0,0<<b a （B ）0,0><b a （C ）0,0>>b a （D ）0,0<>b a4. 在ABC ∆中，3,2a b c ===，则角B 等于（A ）3π （B ）4π （C ）6π （D ）23π 5. 由首项11a =，公比2q =确定的等比数列{}n a 中，当64n a =时，序号n 等于 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）76．设,,,a b c d R ∈，给出下列命题：①若ac bc >，则a b >；②若,a b c d >>，则a c b d +>+；③若,a b c d >>，则ac bd >；④若22ac bc >，则a b >．其中真命题的序号是 （A ）①② （B ）②④ （C ）①②④ （D ）②③④7．在ABC ∆中，若010,30a c A ===，则B 等于（A ）1050（B ）600或1200（C ）150（D ）1050或1508. 已知等差数列{}n a 前17项和1751S =，则 5791113a a a a a -+-+= （A ）3 （B ）6 （C ）17 （D ）51 9. 已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） （A ）5 （B ）4 （C ）8 （D ）610. 在ABC ∆中，60A ∠=o ，a =，3b =，则ABC ∆解的情况（ ）（A ） 有一解 （B ） 有两解 （C ） 无解（D ） 不能确定11．}{n a 为等比数列，n S 是其前n 项和，若2318a a a ⋅=，且4a 与52a 的等差中项为20，则5S = （A ）29 （B ）30 （C ） 31 （D ）3212．若正实数,a b 满足1a b +=，则1a +4b的最小值是 （A ）4 （B ）6 （C ） 8 （D ）9 13. ABC ∆中，若sin sin cos cos A B A B <，则这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）等腰三角形 14. 已知点()3,1和()4,6-在直线 320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是 ( ) （A ）724a a <->或 （B ）247a a <->或 （C ）724a -<< （D ）247a -<< 15. 设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ）2744n n +（B ）2533n n + （C ）2324n n+ （D ）2n n +第Ⅱ卷（非选择题，共75分，填空每题5分）20. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1,3,ABC a b S ∆==则=21.（本题满分12分）已知不等式2320ax x -+>， （1）若2a =-，求上述不等式的解集；（2）不等式2320ax x -+>的解集为{|1}x x x b <>或，求a b ,的值 22.（本题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13. (1) 求a n 及S n ； (2) 令b n ＝4a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 23.（本题满分12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b .(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积． 24.（本题满分14分）设数列{}n a 前n 项和n S ，且22n n S a =-，令2log n n b a = （I ）试求数列{}n a 的通项公式； （II ）设nn nb c a =，求证数列{}n c 的前n 项和2n T <.2014.11高二数学参考答案 BCDAD BDABC CDBCA 16． 3 17. 2±18. 4 19. 90 20. 3221.（本题满分12分）已知不等式2320ax x -+>， （1）若2a =-，求上述不等式的解集；（2）不等式2320ax x -+>的解集为{|1}x x x b <>或，求a b ,的值解：（1）222,23202320a x x x x =--+>∴+-<∴方程22320x x +-=的两根为1212 , 2x x =-=，所以不等式22320x x +-<的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ （2） 由题意知0a >且1,b 是方程2320ax x -+=的根320,1a a ∴-+==，又21,2b b a⨯=∴=23.（本题满分12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b .(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由已知得到：2sin A sin B ＝3sin B ，且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin B ≠0.∴sin A ＝32，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，由已知得到： 36＝b 2＋c 2－2bc ×12⇒(b ＋c ) 2－3bc ＝36⇒64－3bc ＝36⇒bc＝283，∴S △ABC ＝12×283×32＝7 33 24.（本题满分14分）设数列{}n a 前n 项和n S ，且22n n S a =-，令2log n n b a = （I ）试求数列{}n a 的通项公式； （II ）设nn nb c a =，求证数列{}n c 的前n 项和2n T <. 解析Ⅰ）当2n ≥时，111(22)(22)22,n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=- 所以，12,n n a a -= 即12,nn a a -= 当1n =时，11122,2,S a a =-=由等比数列的定义知，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，数列{}n a 的通项公式为1222,N .n n n a n -+=⨯=∈（Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n n n n nc a == 所以231123122222n n n n n T --=+++⋅⋅⋅++， ①以上等式两边同乘以1,2得2311121,22222n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++②①-②，得2311111[1()]111111221()122222222212n n n n n n n n n n T +++-=+++⋅⋅⋅+-=-=--- 111211222n n n n n +++=--=-， 所以222n n n T +=-. 所以2n T <。
山东省济南市高二上学期期中数学试卷(理科)
山东省济南市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知等差数列 中，，记，（）A . 78 B . 68 C . 56 D . 522. （2 分） 满足条件 A . 零个 B . 一个 C . 两个 D . 无数个的的个数是（ ）3. （2 分） (2020 高一下·大庆期末) 已知正项数列 （）的前 n 项和为 ，满足A.B.C.D.，则4. （2 分） 设 a>1，b>0，若 a+b=2，则的最小值为A.第 1 页 共 20 页B.6 C. D. 5. （2 分） (2015 高一下·西宁期中) 已知 x＞1，则函数 A.4 B.3 C.2 D.1的最小值为（ ）6. （2 分） (2018 高三上·吉林期中) 在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，△ABC 的面积为 （），则 BC 的长为A.B.C. D.3 7. （2 分） (2016 高二上·集宁期中) 已知平面区域如图所示，z=mx+y 在平面区域内取得最 大值的最优解有 无数多个，则 m 的值为（ ）A . ﹣1第 2 页 共 20 页B.1C.D.﹣8. （2 分） (2018 高一下·佛山期中) 在，已知，且中，内角 ， ，所对的边分别是 ， ，，，则的面积是（ ）A.B.C.D.或9. （2 分） (2019 高一下·温州期中) 已知数列 是等比数列，数列是等差数列，若，则（）A.B.C.D. 10. （2 分） (2016 高二上·宝安期中) 在△ABC 中，若 a=7，b=8，cosC= ，则最大角的余弦值是（ ） A. B.第 3 页 共 20 页C.D. 11. （2 分） 函数的零点落在内，则 的取值范围为（ ）A.B.C.D. 12. （2 分） 已知函数 f(x)=ax-x3 ， 对区间（0，1 ］上的任意两个值 x1,x2 ， 当 x1<x2 时总有 f(x2)-f(x1)>x2-x1 成立，则 a 的取值范围是 A . （4，+ ） B . （0，4） C . （1，4） D . （0，1）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高二上·郑州期中) 若数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 满足 a1=1，Sn=an+1+n，则其通项公 式为________．14. （1 分） (2016 高三上·山西期中) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若+=2a，b= ，则△ABC 面积是________15. （1 分） 不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0 的解集是________．16. （1 分） (2017 高二上·如东月考) 各项均为正数的等比数列 中，，若从中抽掉一项后，余下的第 4 页 共 20 页项之积为，则被抽掉的是第________项．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17.（10 分）(2016 高二上·温州期中) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知=．（1） 求角 C 的大小；（2） 若 c=2，求△ABC 面积最大值．18. （10 分） (2018 高二下·普宁月考) 已知函数（且）.（1） 当时，解不等式；（2） 若的最大值为 ，且正实数 满足，求的最小值.19.（10 分）已知数列 的前 项和（1） 求数列的通项公式；，且，等差数列 满足，.（2），求数列 的前 项和 .20. （10 分） (2019 高一下·大庆月考) 在锐角 ．（1） 求角 A 的大小；中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，（2） 若，求周长的取值范围．21. （15 分） (2020·淮安模拟) 已知正项数列 中，，点在抛物线上.数列 中，点在经过点，以为方向向量的直线 l 上.（1） 求数列 ， 的通项公式；（2） 若，问是否存在，使得第 5 页 共 20 页成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；（3） 对任意的正整数 n，不等式 范围.成立，求正数 a 的取值22. （10 分） (2017·柳州模拟) 已知关于 x 的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M．（1） 求 M 的值；（2） 正数 a，b，c 满足 a+2b+c=M，求证：+≥1．第 6 页 共 20 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：第 7 页 共 20 页解析： 答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：第 8 页 共 20 页答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、 考点： 解析：第 9 页 共 20 页答案：8-1、 考点： 解析：第 10 页 共 20 页答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
济南市高二上学期期中数学试卷D卷(考试)
济南市高二上学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列有关命题说法正确的是（）A . 命题p：“∃x∈R，sinx+cosx=”，则¬p是真命题B . “x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0“的否定是：“∀x∈R，x2+x+1＜0”D . “a＞l”是“y=logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件2. （2分）设Sn为等差数列{an }的前n项和，若S8＝30，S4＝7，则a4的值等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高三上·长春期中) 在△ABC中，sin2A=sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的值是（）A .B .C .D .4. （2分）设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为（）A .B .C . 3nD .5. （2分）(2018·全国Ⅱ卷文) 在中，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·南阳开学考) 等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇=255，所有偶数项和S 偶=﹣126，末项是192，则首项a1=（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知是等差数列，为其前项和，若，为坐标原点，点，点，则（）A . -2014B . 2014C . -3973D . 39739. （2分） (2015高二上·和平期末) 若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤1或x≥2}，则点P（b，c）的轨迹是（）A .B .C .D .10. （2分）函数在区间上的最小值是（）A . 3B . 5C . 4D .11. （2分）(2017·虎林模拟) 设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A . 14B . 16C . 17D . 1912. （2分）在下列函数中，最小值是2的是（）A . y= +B . y= （x＞0）C . y=sinx+ ，x∈（0，）D . y=7x+7﹣x二、填空 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高三上·定州期中) 在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos = ，且acosB+bcosA=2，则△ABC的面积的最大值为________．14. （1分） (2016高一下·揭阳期中) 如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=________．15. （2分） (2017高一下·庐江期末) 已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为________，y的取值范围是________．16. （1分） (2016高二下·吉林期中) 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二上·延安期中) 已知在等差数列{an}中，a2=11，a5=5．（1）求通项公式an；（2）求前n项和Sn的最大值．18. （5分）(2018·北京) 在△ABC中，a=7,b=8,cosB=- ，（Ⅰ）求∠A：（Ⅱ）求AC边上的高。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.