2021届高三湘豫名校联考(2020年11月)数学(文科)试题
2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）数学
（文科）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
2. 设（是虚数单位），则（）
A．1 B．C．D．2
3. 执行如图所示的程序框图，若输入，分别为4，3，则输出的
（）
A．13 B．12 C．11 D．10
4. 已知向量与满足，，与的夹角为，则
（）
A．B．6 C．D．
5. 已知数列的前项积为，且，则（）A．B．2 C．D．1
6. 已知角的终边过点，且，则的值为（）A．B．C．D．
7. 三棱柱中，平面，，，，
，则该三棱柱的外接球的体积为（）
D．
A．B．C．
8. 已知，，，则，，的大小关系为
（）
A．B．
C．D．
9. 椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为
（）
A．B．C．D．
10. 在，角，，的边分别为，，，且，
，，则的内切圆的半径为（）
A．B．1 C．3 D．
11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，
，若，则实数的取值范围为（）A．B．
C．D．
12. 在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小
的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，
则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
二、填空题
13. 已知实数，满足，则的最小值是______.
14. 为了调查某阶层月工资收入，某地政府对该阶层1000人进行了调查，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，则这1000人的月工资收入的中位数为______.（百元）
15. 已知，，则______.
16. 已知定义在上的偶函数，满足，当时，
，若方程在区间上恰有9个解，则的取值范围是______.
三、解答题
17. 高三年级计划从甲、乙两个班中选择一个班参加学校的知识竞赛，设甲班的成绩为，乙班的成绩为，两个班以往6次竞赛的成绩（满分150分）统
1 2 3 4 5 6
133 145 118 125 132 127
128 139 121 144 127 121
竞赛更合适；
（2）若，则称甲、乙属于“同一阶层”若从上述6次考试中任取三次，求至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率.
附：方差
18. 已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为正项等比数列，且满足，，求数列的前项和.
19. 如图，已知是边长为2的正方形，矩形满足，且
（1）求证：平面平面；
（2）设和分别是和上的点，且满足，.求四面体的体积.
20. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，短轴长等于2.
（1）求椭圆的方程；
（2）设、分别为椭圆的左、右顶点若点在直线：上运动，且不在坐标轴上，直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，如果恒成立，求的取值范围.
21. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.
（参考数据：，）
22. 已知曲线的直角坐标方程是，把曲线上的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.
（1）设曲线上任一点为，求的最大值；
（2），为曲线上两点，为坐标原点，若，求的值.
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集.
（2）若函数的最小值为，正数，满足，求的最小值.。
河南省湘豫名校联盟2021-2022学年高三上学期11月联考理科数学试题(wd无答案)
河南省湘豫名校联盟2021-2022学年高三上学期11月联考理科数学试题一、单选题1. 复数满足，则复数是A．B．C．D．2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．3. “”是“函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 已知.则（）A．B．C．D．5. 某校为了解学生体能素质，随机抽取了名学生，进行体能测试.并将这名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图.下列结论中不正确的是（）A．这名学生中成绩在内的人数占比为B．这名学生中成绩在内的人数有人C．这名学生成绩的中位数为D．这名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）6. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A．B．C．D．7. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：①若.则；②若，则；③若.则；④若，则.其中真命题的有（）个A．个B．个C．个D．个8. 已知在中，内角的对边分别是，若､且，则的面积为（）A．B．C．D．9. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线交双曲线的右支于两点.若.且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10. 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．11. 在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形､若二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积大小为（）A．B．C．D．12. 已知函数的图象关于中心对称﹐现将曲线的纵坐标不变横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位.得到曲线.则关于函数给出下列结论：①若.且，则；②存在.使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；③若在上恰有个零点﹐则的取值范围为④若在上单调递增，则的取值范围为其中.所有正确结论的编号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④二、填空题13. 已知抛物线的焦点为.点在上，则___________ .14. 若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________ .15. 已知在中. ，平面内有动点满足，则数量积的最大值是 ___________ .16. 若关于的不等式对于任意恒成立.则实数的取值范围是 ___________ .三、解答题17. 已知数列的前项和为.若，且(1)求；(2)设，记数列的前项和为.证明：.18. 某中学共有名教职工.其中男教师名､女教师名.为配合“双减政策”该校在新学年推行“”课后服务.为缓解教师压力，在202 1年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰﹑并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言.(1)调查结果显示：有的男教师和的女教师支持实行“弹性上下班”制，请完成下列列联表﹒并判断是否有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？支持实行“弹性上下班”制不支持实行“弹性上下班”制合计男教师女教师合计(2)已知十位先进教师足按“分层抽样”的模式评选的，用表示三位发言教师的女教师人数，求随机变量的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据：19. 如图，在四棱锥 中，侧面为等边三角形，底面为等腰梯形，且(1)证明：平面 平面 ；(2)若点 在棱 上，且二面角的大小为 ，求 的值.20. 已知椭圆的离心率，其左右焦为为椭圆 上任意一点， 点到原点 的距离的最小值为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设直线与椭圆 交于两点，且，是否存在这样的直线 同时又与圆 相切？如果存在﹐直线 有几条？如果不存在，请说明理由. 21. 已知函数 .其中且 .(1)当时，证明：当时，：(2)若函数 有两个极值点.求实数 的取值范围.22. 在平面直角坐标系中， 的参数方程为（ 为参数.）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.的极坐标方程为.(1)求 的直角坐标方程，并指出其图形的形状； (2)若曲线 与有且仅有一个公共点，求参数方程 中的 的正切值.23. 已知函数.(1)求函数的最小值；(2)记函数的最小值为，若实数，，满足.证明.。
2021年湘豫名校联盟高考数学联考试卷(理科)(2021.04) (解析版)
2021年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（理科）（4月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知复数z满足z+＝8，z＝25，则z＝（）A．3±4i B．±3+4i C．4±3i D．±4+3i2．已知集合A＝{（x，y）|3x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|x+my+1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m ＝（）A．﹣3B．C．D．33．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（）A．，B．，C．，D．，4．已知数列{a n}满足，a n a m＝a n+m，且a2＝2，那么a20＝（）A．210B．220C．230D．2405．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，M是抛物线E上一点，N是圆C：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4上一点，则|MN|+|MF|的最小值为（）A．4B．5C．6D．76．已知a＝log25+log52，b＝log25•log52，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a7．为帮助当地老百姓尽快脱贫，某市政府决定选派8名干部（5男3女）到该市甲、乙两个县去督查扶贫工作，若要求每个县至少要派3名干部，每个干部必须去两个县中的一个督查，且不能仅仅将3名女干部编为一组去某个县督查，则不同的派遣方案共有（）A．90种B．125种C．180种D．250种8．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法：①“羡除”有且仅有两个面为三角形；②“羡除”一定不是台体；③不存在有两个面为平行四边形的“羡除”；④“羡除”至多有两个面为梯形．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．49．若曲线y＝x2与y＝ln（x﹣a）有一条斜率为2的公切线，则a＝（）A．B．C．﹣ln2D．ln210．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．11．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是（）A．丙有可能没有选素描B．丁有可能没有选素描C．乙丁可能两门课都相同D．这四个人里恰有2个人选素描12．如图，A，B，C，D，P是球O上5个点，ABCD为正方形，球心O在平面ABCD内，PB＝PD，PA＝2PC，则PA与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分）.13．已知，均为单位向量，若|﹣|＝，则与的夹角为．14．请写出满足条件“f（x）≤f（1）对任意的x∈[0，1]恒成立，且f（x）在[0，1上不是增函数”的一个函数：．15．如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（坐标原点）为△ABD的重心（三条边中线的交点），其中A（﹣π，0），则△ABD的面积为．16．设函数f（x）＝，数列{a n}满足a n+1＝f（a n）（n∈N*），若{a n}是等差数列．则a1的取值范围是．三、解答题：共70分。
湘豫名校2021届高三上学期11月联考试题 化学 Word版含答案
绝密★启用湘豫名校联考(2020年11月)化学试卷注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试题卷上无效。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 K 39 Mn 55 Zn 65一、选择题(本题有16个小题。
每小题3分，共48分。
每小题只有一个选项符合题意)1.化学与人类的生活、生产息息相关，下列叙述错误的是A.预防新型冠状病毒，可用95%的医用酒精进行环境消毒B.《抱朴子》中“以曾青涂铁，铁赤色如铜”。
“曾青”是可溶性铜盐C.地沟油经过加工处理后可用来制生物柴油D.《本草纲目》中“冬月灶中所烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣”中的碱是K2CO32.下列化工生产过程中，未涉及氧化还原反应的是A.工业上合成氨B.工业上生产漂白粉C.工业制肥皂D.氯碱工业3.柔红酮结构简式如图所示，下列说法不正确的是A.柔红酮属于芳香化合物B.柔红酮的分子式为C20H16O8C.柔红酮可与Na发生反应D.一定条件下柔红酮可发生取代、氧化、加成、还原等反应4.下列反应的离子方程式正确的是A.向H2O中投入Na：2H2O＋Na＝Na＋＋2OH－＋H2↑B.常温下将氯气通入水中：Cl2＋H2O2H＋＋Cl－＋ClO－C.向NaAlO2溶液中通入过量CO2：AlO2＋2H2O＋CO2＝Al(OH)3↓＋HCO3－D.向Ba(OH)2溶液中加入NaHSO；溶液使Ba'恰好沉淀完全：Ba2＋＋2OH－＋2H＋＋SO43－＝BaSO4↓＋2H2O5.常温下，稀释0.1 mol·L－1 CH3COONa溶液，图中的横坐标表示加水的量，则纵坐标可以表示的是A.CH3CO水解的平衡常数B.溶液的pHC.溶液中CH3COOH数目D.溶液中c(CH3COO－)6.下列图示实验正确的是7.常温下，下列各组粒子在指定溶液中能大量共存的是A.c(Al3＋)＝0.1 mol·L－1的溶液中：NH4＋、S2－、Cl－、Br－B.pH＝0的溶液中：CH3CHO、Cr2O72－、K＋、SO42－C.pH＝14的溶液中：Na＋、S2－、SO32－、SO42－D.能使甲基橙变红色的溶液：Na＋、NH4＋、CO32－、Cl－8.除去下列物质中所含少量杂质(括号内为杂质)，所选用的试剂和分离方法能达到实验目的的是9.短周期元素X、Y、Z、M、Q的原子序数依次增大，X原子在所有元素中原子半径最小，Z原子最外层电子数是电子层数的3倍，Z和Q位于同主族，这五种元素组成一种离子化合物W，取一定量W溶于蒸馏水，向溶液中滴加稀氢氧化钠溶液，产生的沉淀质量与滴加氢氧化钠溶液体积的变化情况如图所示。
2021年湘豫名校联盟高考数学联考试卷(理科)(4月份)
2021年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z 满足z +z −=8，z ⋅z −=25，则z =( )A. 3±4iB. ±3+4iC. 4±3iD. ±4+3i2. 已知集合A ={(x,y)|3x −y =0}，B ={(x,y)|x +my +1=0}.若A ∩B =⌀，则实数m =( )A. −3B. −13C. 13D. 33. 自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加.现将A 房产中介公司2010−2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010−2013年，2014−2016年，2017−2019年的数据分别建立回归直线方程y ̂=b ̂1x +a ̂、y ̂=b ̂2x +a ̂2、y ̂=b ̂3x +a ̂，则( )A. b ̂1>b ̂2>b ̂3，a ̂3>a ̂2>a ̂1B. b ̂2>b ̂1>b ̂3，a ̂3>a ̂2>a ̂1C. b ̂1>b ̂2>b ̂3，a ̂3>a ̂1>a ̂2 D. b ̂2>b ̂1>b ̂3，a ̂3>a ̂1>a ̂2 4. 已知数列{a n }满足，a n a m =a n+m ，且a 2=2，那么a 20=( )A. 210B. 220C. 230D. 2405. 已知抛物线E ：y 2=4x 的焦点为F ，M 是抛物线E 上一点，N 是圆C ：(x −6)2+(y −2)2=4上一点，则|MN|+|MF|的最小值为( )A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知a =log 25+log 52，b =log 25⋅log 52，c =log 25log 52，则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <b <a7. 为帮助当地老百姓尽快脱贫，某市政府决定选派8名干部(5男3女)到该市甲、乙两个县去督查扶贫工作，若要求每个县至少要派3名干部，每个干部必须去两个县中的一个督查，且不能仅仅将3名女干部编为一组去某个县督查，则不同的派遣方案共有( )A. 90种B. 125种C. 180种D. 250种8.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法：①“羡除”有且仅有两个面为三角形；②“羡除”一定不是台体；③不存在有两个面为平行四边形的“羡除”；④“羡除”至多有两个面为梯形．其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 49.若曲线y=x2与y=ln(x−a)有一条斜率为2的公切线，则a=()A. −12ln2 B. 12ln2 C. −ln2 D. ln210.已知双曲线C：x216−y29=1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，且∠AFB=60°，则△BOF的面积为()A. 3√32B. 9√32C. 32D. 9211.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是()A. 丙有可能没有选素描B. 丁有可能没有选素描C. 乙丁可能两门课都相同D. 这四个人里恰有2个人选素描12.如图，A，B，C，D，P是球O上5个点，ABCD为正方形，球心O在平面ABCD内，PB=PD，PA=2PC，则PA与CD所成角的余弦值为()A. √33B. √55C. √63D. √105二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 均为单位向量，若|e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |=√3，则e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为______ ．14.请写出满足条件“f(x)≤f(1)对任意的x∈[0,1]恒成立，且f(x)在[0,1上不是增函数”的一个函数：______ ．15.如图，函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD的重心(三条边中线的交点)，其中A(−π,0)，则△ABD的面积为______ ．16. 设函数f(x)={x −4,x ≤−3−x 2+2,x >−3，数列{a n }满足a n+1=f(a n )(n ∈N ∗)，若{a n }是等差数列.则a 1的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsinA =acos(B −π6)．(1)求B ；(2)若c =5，b =7，求△ABC 的周长．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，已知AB//DC ，AB =AD =1，BD =√2，CD =2，PB =PC =PD =√6．(1)证明：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，求直线l 与平面ABCD 所成角的大小．19. 已知点P(1,0)在椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)上，直线y =y 0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当y 0=1时，|AB|=√2．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：y 轴上是否存在点Q ，使得|OM|，|OQ|，|ON|(O 为坐标原点)成等比数列？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知函数f(x)=e x−x−a，对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立．(1)求实数a的取值范围；]时，cosx+tanx≤e x．(2)证明：当x∈[0,π421.某种高危传染疾病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期约为14天，期间有很大的概率传染给他人，一旦发病，对感染者身体机能的损害很大.某市为了防止该传染疾病继续扩散，疾病预防控制中心决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者.由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需采用混样检测的方式进行筛查，即将多份样本混合为一个样本池进行检测.已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者则为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.在实际检测中，若检测结果为阴性，则说明样本池中没有感染者，不需再检测；若为阳性，则对样本池中每一份样本进行逐一筛查．(1)假设每个样本检测为阳性的概率为p，且每个样本的检测结果相互独立.若将10个样本混为一个样本池，每个样本平均需要消耗多少次检测？(2)据《柳叶刀》发表的研究结果显示，通过混样检测方法进行检测时，在保证灵敏度和准确性的前提下，一个样本池允许最多混合30个样本，且混合样本数越少，准确性越高.已知某市总人口约有1100万人，该市的单日检测能力为10万样本/天，预计该市每个样本检测为阳性的概率p=0.1%.若该市提出“十天大会战”(即在十天内对全市所有人口进行疾病筛查)，请问，在确保10天能全部检测完该市所有人口血液样本的前提下，一个样本池至少要混合多少个样本？(参考公式：(1+ε)n≈1+nε(n∈N∗,|ε|远小于1))22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+(y−2)2=4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，点M(3,π2)，射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f(x)=|x−12|+|x−λ|，其中λ>0．(1)若对任意x∈R，恒有f(x)≥12，求λ的最小值；(2)在(1)的条件下，设λ的最小值为t，若正数m，n满足m+2n=tmn，求2m+n的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设z =a +bi(a,b ∈R)，依题意得，2a =8，a 2+b 2=25． 解得a =4，b =±3， 所以z =4±3i ． 故选：C ．设z =a +bi(a,b ∈R)，依题意得，2a =8，a 2+b 2=25，解得a ，b ，即可得出． 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵A ∩B =⌀，∴直线3x −y =0与直线x +my +1=0平行， ∴−1m =3，解得m =−13． 故选：B ．根据A ∩B =⌀可得出直线3x −y =0与直线x +my +1=0平行，从而根据两直线的斜率相同即可求出m 的值． 本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，空集的定义，两直线平行的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：回归直线分布在散点图附近，b ̂表示回归直线的斜率，a ̂表示回归直线在y 轴上的截距， 由题意可知，2010−2013年，y 随x 的增加而迅速增加， 2014−2016年，y 随x 的增加而平缓增加， 2017−2019年，y 随x 的增加而减少， 故b ̂1>b ̂2>b ̂3，由图可知，a ̂3>a ̂2>a ̂1，故选：A ．回归直线分布在散点图附近，由b ̂和a ̂的几何意义结合图象分析即可判断．本题考查了回归方程的理解和应用，解题的关键是了解回归方程中的b ̂和a ̂的几何意义，即b ̂表示回归直线的斜率，a ̂表示回归直线在y 轴上的截距．4.【答案】A【解析】解：由已知a n a m =a n+m ，a 2=2， 可得，a 4=a 2⋅a 2=4，a 6=a 2⋅a 4=8， a 8=a 4⋅a 4=16，a 10=a 2⋅a 8=32， a 20=a 10⋅a 10=32×32=210， 故选：A ．要求a 20，已知a n a m =a n+m ，可得a 8=a 4+4=a 4⋅a 4，先求a 4，然后由a 6=a 2+4=a 2⋅a 6可求，a 10，然后求解a 20． 本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是先要根据已知求出a 4，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：如图，圆C ：(x −6)2+(y −2)2=4的圆心为C(6,2)，半径为r =2， 直线l 是抛物线的准线，过M 作MH ⊥l 于H ，则|MF|=|MH|．∴|MF|+|MN|=|MH|+|MN|≥|MH|+|MC|−|CN|≥|CH|−2．当且仅当C ，M ，H 三点共线时，等号成立，此时|MF|+|MN|取得最小值为6−(−1)−2=5， 故选：B ．画出图形，直线l 是抛物线的准线，过M 作MH ⊥l 于H ，则|MF|=|MH|.通过|MF|+|MN|≥|MH|+|MC|−|CN|≥|CH|−2.求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：∵a =log 25+log 52=∈(2,3)， b =log 25⋅log 52=lg5lg2⋅lg2lg5=1， c =log 25log 52，=lg5lg2lg2lg5=(lg5lg2)2>(lg4lg2)2=4，∴c >a >b ，故选：A．先利用对数的运算法则及性质，求得a、b、c的范围，可得a、b、c的大小关系．本题主要考查对数的运算法则及性质的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将8名干部(5男3女)分为人数分别为3、5或4、4的2组，要求3名女干部不能单独成一组，)−1=90种分组方法，有(C83+C84C44A22②将分好的2组全排列，安排到甲、乙两个县去督查扶贫工作，有A22=2种安排方法，则有90×2=180种派遣方法，故选：C．根据题意，分2步进行分析：①将8名干部(5男3女)分为人数分别为3、5或4、4的2组，要求3名女干部不能单独成一组，②将分好的2组全排列，安排到甲、乙两个县去督查扶贫工作，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：如图所示，AE//BF//CD.四边形ACDE为梯形．对于①，由题知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故①正确；对于②，因为AE//BF//CD，所以“羡除”一定不是台体，故②正确；对于③，假设四边形ABFE和四边形BCDF为平行四边形，则AE//BF//CD，AE=BF=CD，则四边形ACDE为平行四边形，与已知四边形ACDE为梯形矛盾，故不存在，③正确；对于④，若AE，BF，CD两两不相等，则“羡除”有三个面为梯形，故④错误，故选：C．画出图形，利用新定义判断①；通过AE//BF//CD，判断“羡除”一定不是台体，判断②；利用反证法判断③；通过AE，BF，CD两两不相等，则“羡除”有三个面为梯形，判断④．本题考查新定义的应用，命题的真假的判断，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由y′=2x=2⇒x=1，由点斜式得切线方程：y−1=2(x−1)，对曲线y=ln(x−a)，y′=1x−a =2⇒x=12+a，代入y=ln(x−a)得，y=−ln2，将(12+a,−ln2)代入y=2x−1，得：−ln2=2(12+a)−1⇒a=−12ln2，故选：A．利用抛物线的切线的斜率，求解切线方程，求出函数的导数，利用斜率求解切点坐标，代入切线方程，求解a即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由双曲线的方程知a=4，b=3，c=5，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1是平行四边形，∵∠AFB=60°，∴∠F1AF=120°，则S△BOF=12S△F1BF=12S△F1AF，由余弦定理得100=AF12+AF2−2AF⋅AF1cos120°=(AF1−AF)2+3AF1⋅AF=64+3AF1⋅AF，则3AF1⋅AF=100−64=36，即AF1⋅AF=12，则S△F1AF =12AF1⋅AFsin120°=12×12×√32=3√3，则S△BOF=12S△F1AF=3√32，故选：A．根据双曲线的图象和性质，构造平行四边形AFBF1，结合余弦定理以及三角形的面积进行转化求解即可．本题主要考查双曲线的图象和性质，构造平行四边形以及，利用余弦定理，三角形的面积公式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11.【答案】C【解析】解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A，B，D判断正确不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：情形一：情形二：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确．故选：C．甲选择了素描，乙必定没选素描．假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描；不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况，列表讨论可知，乙与丁必有一门课程不相同．本题考查命题真假的判断，考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养，考查推理论证能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：ABCD为正方形，故AB//CD，所以∠PAB即为所求异面直线所成角，设球O的半径为R，由题意可得PA2+PC2=4R2，又PA=2PC，可得PA=√5，AB=√2R，PB=PD⇒PO⊥BD⇒PB=√2R，所以cos∠PAB=2R2+165R2−2R22⋅4R√5⋅√2R=√105．故选：D．由AB//CD，可得∠PAB即为所求异面直线所成角，设O的半径为R，根据球的性质可求得△PAB三边的长，利用余弦定理即可求解．本题主要考查异面直线及其所成的角，考查球的性质，属于中档题．13.【答案】2π3【解析】解：根据题意，设e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 均为单位向量，若|e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |=√3，则|e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |2=3，变形可得：cosθ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3，故答案为：2π3．根据题意，设e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，由数量积的运行性质可得|e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |2=3，变形可得：cosθ=−12，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，14.【答案】f(x)=−(x−1)2，(答案不唯一)【解析】解：由题意f(x)的最大值f(1)且f(x)在[0,1]上不是增函数，故f(x)=−(x−1)2．故答案为：f(x)=−(x−1)2，(答案不唯一)．由题意f(x)的最大值f(1)且f(x)在[0,1]上不是增函数，结合基本初等函数的性质可求．本题主要考查了基本初等函数的性质的简单应用，属于基础题．15.【答案】3√3π2【解析】解：因为O为△ABD的重心，A(−π,0)，所以OA=23AC=π，所以AC=32π，所以C(π2,0)，所以πω=T2=3π2，ω=23．因为23×(−π)+φ=kπ，所以φ=kπ+2π3，又0<φ<π，所以φ=2π3，所以f(x)=2sin(23x+2π3)，于是|OB|=f(0)=2sin(23×0+2π3)=√3，故△ABD的面积为S=2×12×3π2×√3=3√3π2．故答案为：3√3π2．根据三角函数的对称性以及重心性质，求出C的坐标，结合五点对应法求出φ的值，可得函数解析式，求解OB的值，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了重心性质和三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了函数思想，属于中档题．16.【答案】(−∞,−3]∪{−2，1}【解析】解：画出函数f(x)的图象如图所示，当a1≤−3时，a2=f(a1)=a1−4≤−7，a3=f(a2)=a2−4≤−11，…数列{a n}是首项为a1，公差为−4的等差数列，符合题意，当a1>−3时，因为{a n}是等差数列，①若其公差d>0，则∃k0∈N∗，使得a k>2，这与a n+1=f(a n)=2−a n2≤2矛盾，②若其公差d=0，则a2=−a12+2=a1，即a12+a1−2=0，解得a1=−2或a1=1，则当a1=−2时，a n=−2为常数列，当a1=1时，a n=1为常数列，此时{a n}为等差数列，符合题意，③若其公差d<0，则∃k0∈N∗，使得a k0>−3且a k0+1≤−3，则等差数列的公差必为−4，因此a k0+1−a k=−4，∴2−a k2−ak0=−4，解得a k=−3(舍去)或a k=2．又当a k0=2时，a k0+1=a k0+2=a k0+3=⋯=−2，这与公差为−4矛盾．综上所述，a1的取值范围是(−∞,−3]∪{−2，1}．故答案为：(−∞,−3]∪{−2，1}．先画出分段函数的图象，再分类讨论a1≤−3和a1>−3两种情况，结合等差数列的通项公式即可求解．本题考查了分段函数的性质、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由bsinA=acos(B−π6)及正弦定理asinA=bsinB，得sinBsinA=sinAcos(B−π6)，因为sinA≠0，所以sinB=cos(B−π6)，即sinB=√32cosB+12sinB，亦即sin(B−π3)=0，由于−π3<B−π3<2π3，所以B−π3=0，所以B=π3．(2)在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，得a2−5a−24=0，解得a=8或a=−3(舍)，所以a=8，故△ABC的周长为a+b+c=20．【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinA≠0，可得sin(B−π3)=0，根据范围−π3<B−π3<2π3，可求B的值．(2)在△ABC中，由余弦定理可得a2−5a−24=0，解方程可得a的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．18.【答案】(1)证明：因为AB=AD=1，BD=√2，所以AB2+AD2=BD2，即AB⊥AD.…………………………………………………………(1分)又因为AB//DC，所以AD⊥CD.………………………………………………………………(2分)取CD中点为F点，连FB，FP，因PC=PD=√6，CD=2.所以FP=√5.……………………………………(3分)因AB//FD，AB=FD=1，AB⊥AD，所以四边形ABFD是正方形，所以FB⊥CD．且AD=FB=1，所以FP2+FB2=PB2，∴FP⊥FB.…………………………………………(4分)又因为FP∩CD=F，FP⊂平面PCD.CD⊂平面PCD．所以FB⊥平面PCD.…………………………………………………(5分)又因为FB⊂平面ABCD，所以平面PCD⊥平面ABCD.…………………………………(6分)(2)解：延长DA 和CB ，使其相交于点E ，则平面PAD 与平面PBC 的交线l 即为PE.…………(7分)由(1)知FP ⊥FB ，PF ⊥FC ，FC ⊥FB ，故以点F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．………(8分) 则P(0,0,√5)，E(−1,2，0)，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√5).……………………(9分) 又平面ABCD 的法向量为n⃗ =(0,0,1).…………………………………………………………(10分) 设直线l 与平面ABCD 所成角的大小为θ． 则sinθ=|cos〈PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 〉|=√5|√10=√22，……………………………………………………(11分) 故所求直线l 与平面ABCD 所成角的大小为π4.…………………………………………(12分) (注：此题亦可用几何法，上图中∠PEF 即为所求)【解析】(1)证明AB ⊥AD ，AD ⊥CD ，取CD 中点为F 点，连FB ，FP ，推出AB ⊥AD ，说明FB ⊥CD.利用勾股定理证明FP ⊥FB ，推出FB ⊥平面PCD.然后证明平面PCD ⊥平面ABCD ．(2)延长DA 和CB ，使其相交于点E ，说明FP ⊥FB ，PF ⊥FC ，FC ⊥FB ，以点F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABCD 的法向量，设直线l 与平面ABCD 所成角的大小为θ.利用空间向量的数量积求解直线l 与平面ABCD 所成角的大小即可．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意得{b =11a 2+(√22)2=1，解得a 2=2.……………………………………(3分) 故所求椭圆C 的方程为y 22+x 2=1.…………………………………………………………(4分)(2)假设存在点Q(0,m)使得|OM|，|OQ|，|ON|成等比数列，则|OQ|2=|ON||OM|.………(5分) 因为直线y =y 0交椭圆C 于A ，B 两点，则A ，B 两点关于y 轴对称．…………………………………(6分) 设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,y 0)(x 0≠±1)，因为P(1,0)，则直线PA 的方程为：y =y 0x 0−1(x −1)，令x =0，得y M =−yx 0−1.…………(7分) 直线PB 的方程为：y =−y 0x 0+1(x −1)，令x =0，得y N =yx 0+1.………………………………(8分)因为|OQ|2=|ON||OM|，所以m 2=y 02|x 02−1|.………………………………………………(9分)又因为点A(x 0,y 0)在椭圆C 上，所以y 02=2(1−x 02).…………………………………(10分)所以m 2=2(1−x 02)1−x 02=2，即m =±√2.…………………………………(11分)故存在点Q(0,±√2)，使得|OM|，|OQ|，|ON|成等比数列．…………………………(12分)【解析】(1)路已知条件列出{b =11a 2+(√22)2=1，求解a ，即可得到椭圆方程． (2)假设存在点Q(0,m)使得|OM|，|OQ|，|ON|成等比数列，则|OQ|2=|ON||OM|.A ，B 两点关于y 轴对称，设A(x 0,y 0)，则B(−x0,y0)(x0≠±1)，求出直线PA的方程，直线PB的方程，然后求解M、N的纵坐标，通过|OQ|2=|ON||OM|，求解m，说明垂直Q(0,±√2)，使得|OM|，|OQ|，|ON|成等比数列．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由e x−x−a≥0恒成立，得a≤e x−x对∀x∈R恒成立，令g(x)=e x−x，g′(x)=e x−1，当x>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x<0，g′(x)<0，g(x)单调减，g(x)min=g(0)=1，故所求实数a的取值范围为(−∞,1]；(2)证明：由(1)得e x≥x+1．欲证cosx+tanx≤e x，只需证cosx+tanx≤x+1即可，令ℎ(x)=cosx+tanx−x−1，ℎ′(x)=−sinx+1cos2x −1=sinx(sinx−cos2x)cos2x=sinx(sinx+sin2x−1)cos2x，令F(x)=sinx+sin2x−1，则易知F(x)在[0,π4]单调递增，且F(0)<0，F(π4)>0，故存在x0∈(0,π4)，使得F(x0)=0；当x∈[0,x0)时，F(x)<0，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,π4]时，F(x)>0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，又ℎ(0)=0，ℎ(π4)=√22−π4<0，ℎ(x)max=ℎ(0)=0，故当x∈[0,π4]时，cosx+tanx≤e x．【解析】(1)问题转化为a≤e x−x对∀x∈R恒成立，令g(x)=e x−x，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的取值范围即可；(2)问题转化为只需证cosx+tanx≤x+1即可，令ℎ(x)=cosx+tanx−x−1，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．21.【答案】解：(1)设含有10个样本的样本池所需的检验次数为X，则X可以取得值为1，11，且P(X=1)=(1−p)10，P(X=11)=1−(1−p)10，………………………………(1分)于是其分布列为：…………………………………………………………………………………………………………(2分)于是，这个样本池所需要的检验次数的期望为：E(X)=1⋅(1−p)10+11[1−(1−p)10]=11−10(1−p)10，………………………(3分)故平均每个样本需要的检测次数为11−10(1−p)1010=1+110−(1−p)10.……………………………(4分)(2)设含有k个样本的样本池所需的检验次数为Y，则其分布列为：………………………………………………………………………………………………(5分)于是，这个样本池所需要的检验次数的期望为：E(Y)=1×0.999k+(k+1)×[1−0.999k]=k+1−k×0.999k，……………(6分)故平均每个样本需要的检测次数为k+1−k×0.999kk =1+1k−0.999k.…………………(7分)根据题意，只要(1+1k −0.999k)×1100<10×10，即：1+1k−0.999k<111，…………(8分)注意到：0.999k=(1−0.001)k≈1−0.001k=1−k1000，……………………………(9分)于是只要1+1k −(1−k1000)<111，即：1k+k1000<111.………………………(10分)由于y=1k +k1000在(0,10√10)递减，经检验：当k=12时，112+121000≈0.08333+0.012=0.09533>111≈0.09090，当k=13时，113+131000≈0.07692+0.013=0.08992<111≈0.09090，…………(11分)又13<30，故每个样本池至少需要13个样本，才能完成检测．…………………………(12分)【解析】(1)设含有10个样本的样本池所需的检验次数为X，说明X可以取得值为1，11，求解概率，得到分布列，然后求解期望，即可得到结果．(2)设含有k个样本的样本池所需的检验次数为Y，求出分布列以及样本池所需要的检验次数的期望表达式，通过近似计算以及函数的单调性，转化求解当k=12时，当k=13时，推出13<30，然后推出每个样本池至少需要13个样本，才能完成检测．本题考查离散型随机变量是分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由题知点Q的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，所以曲线C2的方程为(x−2)2+y2=4.…………………………………………(2分)∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，…………………………………………(4分)曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.………………………………………………(5分)(2)在极坐标系中，设点A，B的极径分别为ρ1，ρ2，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=4|sinπ3−cosπ3|=2(√3−1)，………………………(7分)点M(3,π2)到射线θ=π3(ρ≥0)的距离为ℎ=3sinπ6=32，…………………(8分)故△MAB的面积S=12|AB|ℎ=3(√3−1)2.………………………(10分)【解析】(1)通过极坐标与直角坐标方程的互化求解曲线C1的极坐标方程；求出曲线C2的普通方程，然后转化为极坐标方程．(2)设点A，B的极径分别为ρ1，ρ2，利用|AB|=|ρ1−ρ2|求出点M(3,π2)到射线θ=π3(ρ≥0)的距离，然后求解△MAB的面积．本题考查普通方程与极坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.【答案】解：∵f(x)=|x−12|+|x−λ|≥|(x−12)−(x−λ)|=|λ−12|，∴f(x)min=|λ−12|，对任意x∈R，恒有f(x)≥12⇔|λ−12|≥12，解得λ≥1或λ≤0，又∵λ>0，故λ≥1，所以λ的最小值为1．(2)由(1)得t=1，∴m+2n=mn，∴2m +1n=1，∴2m+n=(2m+n)(2m +1n)=2mn+2nm+5≥2√4+5=9，当且仅当2mn =2nm，即m=n=3时取等号，∴2m+n的最小值为9．【解析】(1)对任意x∈R，恒有f(x)≥12，得|λ−12|≥12，再用绝对值不等式的性质求得f(x)的最小值代入可求得λ的最小值，(2)由(1)知t=1，m+2n=mn，则2m +1n=1，再变形后用基本不等式可求解．本题考查了绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值问题，属中档题．。
湘豫名校联考2020-2021学年高三数学(理科)试题
湘豫名校联考2020-2021学年高三数学（理科）试题一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数(1)(1)()z ai i a =+-∈R 为纯虚数，则复数z 的模等于（ ） A. 14B.12C. 1D. 2D根据乘法化简复数z ，根据实部为0可求解.(1)(1)z a a i =++-，因为复数z 为纯虚数，所以10a +=，解得1a =-，2z i ∴=-，2z ∴= 故选：D.2. 已知集合()(){}120M x x x =-+>，集合(){}2lg 2N x y x x ==-，则()R M N ⋂=（ ）A. (]0,1B. (]2,2-C. [)0,+∞D. ()(),01,-∞⋃+∞A求出集合M 、N ，利用补集和交集的定义可求得集合()M N R .()(){}{1202M x x x x x =-+>=<-或}1x >，则{}21R M x x =-≤≤，又(){}{}{}22lg 22002N x y x x x x x x x ==-=->=<<，因此，()(]0,1R M N ⋂=. 故选：A.3. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若721S =.则345a a a ++=（ ） A. 9 B. 12C. 15D. 18A利用等差数列求和公式可知()1777212a a S +⨯==，再结合等差数列性质即可求得答案.由等差数列前n 项和公式得()1777212a a S +⨯==，即176aa +=又由等差数列性质知：1742a a a +=，即43a =345439a a a a ∴++==.故选：A.4. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A. 4B. 22C. 10D. 23D由三视图将几何体还原在正方体中，即可得解.将该几何体放在棱长为2的正方体中，如图D ABC -，由三视图可得，该三棱锥中最长的棱为22222223AD =++=故选：D.5. 在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6C利用等比数列的通项公式可求检测的次数.法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查， 若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查， 若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查， 若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查， 若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测. 选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测， 所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测， 故选C.法二：设第n 次检测后余下的人数为n a ，则116a =且112n n a a +=， 故11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，令1n a =，则5n =，故需要检测5次， 故选：C .6. 实数,x y 满足条件1{32350x x y x y ≥+≤-++≥，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 165B. 4C. 1-D. 5D试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中141(1,2)(1,1)(,)55A B C -，所以直线2z x y =+过A 点时取最大值5，选D. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 某种商品广告投入x 万元与收益y 万元的关系如下表所示，已知y 与x 具有线性相关关系，且求得它们的回归直线的斜率为6.5，当投入11万元时，预测收益可达到（ ）A. 71万元B. 76万元C. 89万元D. 99万元C设回归直线方程为 6.5y x a =+，计算出x 、y 的值，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可求得a 的值，可得出回归直线方程，在回归直线方程中令11x =可求得结果. 设回归直线方程为 6.5y x a =+，由表格中的数据可得5x =，50y =， 由于回归直线过样本的中心点(),x y ，即6.5550a ⨯+=，解得17.5a =， 所以，回归直线方程为 6.517.5y x =+， 当11x =时， 6.51117.589y =⨯+=.故当投入11万元时，预测收益可达到89万元. 故选：C.8. 定义[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[0.13]0=，12π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[3.99]3=.执行下面的程序框图.则输出a =（ ）A. 23B. 26C. 36D. 47A该程序的功能时利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，逐次计算，结合判定条件，即可求解. 运行给定的程序框图，可得当1k =时，第1次循环：，729a =+=，不满足323a a ⎡⎤-⨯=⎢⎥⎣⎦，2k =；当2k =时，第2次循环：14216a =+=，不满足323a a ⎡⎤-⨯=⎢⎥⎣⎦，3k =； 当3k =时，第3次循环：21223a =+=，满足323a a ⎡⎤-⨯=⎢⎥⎣⎦，满足535a a ⎡⎤-⨯=⎢⎥⎣⎦，所以输出23a =. 故选：A.9. 一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（ ）种情况. A. 288B. 864C. 1436D. 1728B分别算出左边密码锁和右边密码锁的设置方式，再相乘即可得到.左边密码锁的四个数字共有224422C A 36A =种设法，右边密码锁的四个数字共有44A 24=种设法，故密码设置的方法有3624864⨯=种. 故选：B.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16. 已知圆M ：()()22004x x y y -+-=，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，切点分别为P ，Q ，若3PNQ π∠=，则点M 到直线34250x y ++=的最小距离为______.6在Rt MPN △中，求得4MN =，得到点M 的轨迹是以(3,4)N 为圆心，4为半径的圆，结合点到直线的距离公式，即可求解.如图所示，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，且3PNQ π∠=，可得在Rt MPN △中，6PNM π∠=，2PM =，所以4MN =，所以点M 的轨迹是以(3,4)N 为圆心，4为半径的圆， 因为N 到直线34250x y ++=的距离223344251034d ⨯+⨯+==+，所以点M 到直线34250x y ++=的最小距离为1046-=. 故答案为：6.三､解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3C a b c a=+-. （1）求角B ；（2）D 为边AB 上的一点，且满足1CD =，2AC =，锐角三角形ACD 面积为154，求BC 的长.（1）6π；（2）15. （1）根据正弦定理边角互化可得2223b a c ac =+，进而利用余弦定理可得解； （2）由三角形面积公式可得15sin ACD ∠=，进而得余弦，在三角形ACD 中，由余弦定理可得2AD =，在三角形ACD 中，用正弦定理可得15sin A =，再在三角形ABC 中利用正弦定理可得解. （1）sin 3C a b c a=+-，由正弦定理可得3c a b c a =+-， ∴化简可得2223b a c ac =+，2223cos 22a cb B ac +-∴==， (0,)B π∈，6B π∴=.（2）因为锐角三角形ACD 的面积为154， 所以115sin 24AC CD ACD ⋅⋅∠=，15sin 4ACD ∠=， 因为0,2ACD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以21cos 1sin 4ACD ACD ∠=-∠=， 在三角形ACD 中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，所以2AD =，在三角形ACD 中，sin sin CD AD A ACD =∠，所以15sin A =， 在三角形ABC 中，sin sin BC AC A B =，解得152BC =. (2)解题中涉及多个三角形时，优先分析条件较多的三角形．18. 如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点.（1）求证：平面AGC ⊥平面ADF ；（2）若3AB =1BC =，求直线CF 与平面ACG 所成角的正弦值. （1）证明见解析；（2210. （1）利用面面垂直的性质和判定定理可证；（2）由（1）中的条件，以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求.（1）证明：矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， 矩形ABCD 菱形ABEF AB =，AD ∴⊥平面ABEF ，AG ⊂平面ABEF ，AD AG ∴⊥，菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点，AG BE ∴⊥，AG AF ∴⊥，AD AF A ⋂=，AG ∴⊥平面ADF .又AG ⊂平面AGC ，∴平面AGC ⊥平面ADF .（2）由（1）可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，因为3AB =，1BC =，则1AD =，32AG =， 故(0,0,0)A ，33,,122C ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,1)D ，3,0,02G ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,3,0F . 则33,,12AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，333,,122CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ACG 的法向量(,,)m x y z =，则3302302AC m x y z AG m x ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，取2y =，得(0,2,3m =.设直线CF 与平面ACG 所成角为θ， 则23210sin cos ,107CF m CF m CF mθ⋅=<>===⨯⋅ 所以直线CF 与平面ACG 210. （1）22,0()22,0222,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=+-=<<⎨⎪-≥⎩由()2f x x ≥+，得0222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或02,22x x <<⎧⎨≥+⎩或2,222,x x x ≥⎧⎨-≥+⎩解得0x ≤或4x ≥，故不等式()2f x x ≥+的解集为(][),04,-∞+∞.（2）由绝对值三角不等式的性质，可知2(2)2x x x x -+≥--=，当且仅当(2)0x x -≤时取“=”号，122a b∴+=，即22b a ab +=.22221112222a b a b a b b a ab b a ++⎛⎫∴==+≥⨯= ⎪+⎝⎭，当且仅当a b b a =，即32a b ==时取等号，故222a b b a++的最小值为1. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。
2021届河南省湘豫名校高三上学期1月月考数学文科试题(解析版)
湘豫名校联考（2021年1月）数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题1．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为（ ）A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--2．设集合{1,0,1}A =-，集合{}B x x t =>，若A 、B 两集合的关系如图，则实数t 的取值范围为（ ）A ．1t ≤B ．1t ≥C ．1t <D ．1t >3．根据如下样本数据：得到的回归方程为y bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b > B ．0a >，ˆ0b < C ．0a <，0b >D ．0a <，ˆ0b< 4．函数2ln||y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在数列{}n a 中，12a =，()*111nn na a n a ++=∈-N ，则2021a =（ ）A ．12-B ．-3C ．13D ．26．《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量P （单位：毫克/升） 与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系式为0e kP P -=（k ，0P 均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ） A ．12小时 B ．59小时 C ．5小时 D ．10小时7．函数()g x 的图象是由函数()22f x x x =+的图象向右平移4π个单位长度得到的，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数B ．()g x 为偶函数C ．()g x 的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()g x 的图象的一条对称轴为78x π=8．在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱1BB ，BC 的中点，若M 在以1C N 为直径的圆上，则异面直线1A D 与1D M 所成的角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．随长方体的形状变化而变化9．疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为5，则下列判断错误的是（ ） A ．注射疫苗发病的动物数为10B ．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为23C ．能在犯错概率不超过0．001的前提下，认为疫苗有效D ．该疫苗的有效率为75%10．圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>无交点，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．(C ．[2,)+∞D ．(1,2]11．函数3()log f x x =，若正实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，且()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则n m -=（ ） A ．83B ．809C ．154D ．2551612．已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E ，F 分别为边AB 和CD 上的动点（不与端点重合），且//EF AD ，将四边形ADFE 沿EF 折起，使平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB ，CD ，当三棱柱ABE DCF -的体积最大时，该三棱柱的外接球体积为（ ）A ．3B ．3C ．6D ．第Ⅱ卷二、填空题13．若单位向量1e ，2e 的夹角为120°，则12e e -=______．14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，6AB =，弦AB 中点P 的横坐标2P x =，则该抛物线的方程为______．15．已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和为n S ，且()*122n n a S n ++=∈N ，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为______． 16．不等式ln ax x x+>在(1,e)x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题 （一）必考题：17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c2222ac +=-． （1）求sin B ； （2）若a =2b =，求ABC △的面积．18．某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格． （单位：人次）（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式? 19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 中点．（1）求证：1//AB 平面1BD M ；（2）若12AA AD ==，AB =A 到平面1BD M 的距离．20．已知函数2()ln ()2a f x x x a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有极值-1，求()f x 的图象在1x =处的切线方程．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点1F ，2F 分别为其左、右焦点，点A ，B 分别为其左、右顶点，点Q 为椭圆上不与A ，B 重合的动点，且1QAF △（1）求椭圆C 的方程；（2）分别过点A ，B 作直线1l AQ ⊥于点A ，2l BQ ⊥于点B ，设1l 与2l 相交于点P ，求点P 的轨迹方程．（二）选考题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为,212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为2sin 303πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，2l 交极轴于点A ，交直线1l 于B 点．（1）求A ，B 点的极坐标方程；（2）若点P 为椭圆2213y x +=上的一个动点，求PAB △面积的最大值及取最大值时点P 的直角坐标． 23．已知函数()21()f x x x m m =-++∈R ． （1）若1m =，解不等式()6f x ≤；（2）若关于x 的不等式()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．湘豫名校联考（2021年1月）数学（文科）参考答案一、选择题1．A 【解析】由1i i=-在第四象限，故选A ． 2．B 【解析】由题意，A B ⋂=∅，故1t ≥，故选B ．3．B 【解析】由图表中的数据可得，变量y 随着x 的增大而减小，则ˆ0b<， 又回归方程y bx a =+经过(2,4)与(3,2.5)附近，可得0a >，故选B ． 4．A 【解析】2ln ||y x x =-为偶函数，故B 、D 不成立， 当0x >时，12y x x '=-，当2x ⎛∈ ⎝⎭时，2ln y x x =-单调递减， 当,2x ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，2ln y x x =-单调递增，故选A ． 5．D 【解析】12a =，212312a +==--，3131132a -==-+， 411121312a -==+，51132113a +==-，故数列{}na 是以4为周期的周期数列， 故202112a a ==，故选D ．6．C 【解析】由题知：当0t =时，0P P =，所以500(190%)e kP P --=⋅，即5e0.1k-=，由000.01e kt P P -=⋅，即()25e e kkt --=，解得10t =，即还需5小时，故选C ． 7．C 【解析】由题知：()2sin 22sin 2444g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 当78x π=时，3242x ππ-=，易知C 正确．8．C 【解析】如图，连接MN ，1C M ，则1MN C M ⊥，因为11C D ⊥平面11B BCC ，所以11C D MN ⊥， 因为1111C M C D C ⋂=，所以MN ⊥平面11C D M ， 所以1MN D M ⊥，由1//MN A D ，所以11A D D M ⊥，所以异面直线1A D 与1D M 所成的角为90°．故选C ．9．D 【解析】由题知：注射疫苗动物共40只，未注射为60只；A 、B 正确．补充列联表，得：22100(20104030)16.6710.82860405050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 故能在犯错概率不超过0．001的前提下认为疫苗有效．故选D ．10．D 【解析】由题知：圆心(1,0)到直线y kx =的距离2d ==，故k =．由题意：ba≤24e ≤． 故(1,2]e ∈，选D ． 11．A 【解析】3()log f x x =，正实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，01m n ∴<<<，且33log log m n =，33log log m n ∴=-，33log log 0m n ∴+=，解得1mn =，又()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，易知()223log 2f m m =-=，13m ∴=，此时3n =，83n m ∴-=，故选A ．12．C 【解析】设AE x =，则4BE x =-，折得的几何体为三棱柱，故1(4)32AEB DFC V x x -=-⋅．当且仅当2x =时，AEB DFC V -的体积最大．此时外接球直径为BD ==故外接球体积3 43r V π==球．二、填空题1321211121132e e -=++⨯⨯⨯=，故123e e -=． 14．24y x =【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义知：126x x p ++=， 又1222P x x x +==，即2p =，故抛物线方程为24y x =． 15．9【解析】由122n n a S ++=，122(2)n n a S n -+=≥，相减得12(2)n n a a n +=≥， 又11a =，212a =，则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 不等式可化为100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9．16．[1,)-+∞【解析】由不等式ln ax x x+>在(1,e)x ∈上恒成立， 即2ln a x x x >-在(1,e)x ∈上恒成立．令2()ln g x x x x =-，则()ln 12g x x x '=+-，1()20((1,e))g x x x''=-<∈， 故()g x '在(1,e)上单调递减，()(1)1g x g ''<=-， 故()g x 在(1,e)上单调递减，又(1)1g =-，故1a ≥-．三、解答题17．【解析】（12222ac =-得2223a cb ac +-=-，由余弦定理知，2223cos 22a c bB acac +-===又(0,)B π∈，所以sin B ==（2）由2222cos b a c ac B =+-，即221c c +=，解得1c =（舍去负根），所以ABC △的面积11sin 1)22S ac B === 18．【解析】（1）由题知，老年人选择自助餐的频率11519P =， 中年人选择自助餐的频率23239P =， 青年人选择自助餐的频率32742P =， 则213P P P >>，即中年人更倾向于选择自助餐．（2）点餐不满意的人群中，老年人1人（设为a ），中年人2人（设为b ，c ），青年人2人（设为d ，e ）． 从中选取2人，其基本事件有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，共10个基本事件，其中2人都是中年人仅有一个(,)b c 符合题意； 故两人都是中年人的概率为110P =． （3）由表可知，自助餐满意的均值为：1521012510058052121074x ⨯+⨯+⨯==++． 点餐满意的均值为：241017550125417526x ⨯+⨯+⨯==++ 12x x >，故建议其选择自助餐．（答案不唯一，言之有理即可）19．【解析】（1）连接1AC 交1BD 于点O ，则O 为1AC 中点，连接OM ， 又M 为11B C 中点，故OM 为11AB C △的中位线，故1//OM AB ，又OM ⊂平面1BD M ，1AB ⊄平面1BD M ， 所以1//AB 平面1BD M ．（2）由（1）知，1//AB 平面1BD M ，则A 到平面1BD M 的距离与1B 到平面1BD M 的距离相等，连接11D B ． 故1111D BB M B D MB V V --=，又1D MB △中，13D M =，BM =，14BD =． 由余弦定理知：15cos 6MD B ∠=，则1sin 6MD B ∠=故1111sin 2BD M S BD D M MDB =⋅⋅∠=△ 故1B 到平面1BD M的距离111311D BB M BD M V d S -===△ 即点A 到平面1BD M． 20．【解析】（1）由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞，且211()ax f x ax x x-'=-=．当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增．当0a >时，令()0f x =得x =所以当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减．（2）由（1）及(1)f 有极值-l 知0a >，且1ln 12f ==-，所以1ln 2=-，e a =． 所以2e ()ln 2f x x x =-，e (1)2f =-，(1)1e f '=-． 所以()f x 在1x =处的切线方程为e (1e)(1)2y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 即e (e 1)102x y -+-+=[或y=2或e (1e)12y x =-+-] 21．【解析】（1）由题意得12c e a==，即2a c =． 又11()2QAF Q S a c y =-⋅△，点Q 为椭圆上的动点．故Q y b ≤，则1QAF S △的最大值为1()2a c b -⋅=即()222()3a c a c --=，代入2a c =得1c =，故2a =，b = 即椭圆方程为22143x y +=．（2）设()00,Q x y ，(,)P x y ，则2200143x y +=．① 由题意得：002AQ y k x =+，(2)2AP y k x x =≠-+，0BQ 02y k x =-，(2)2BP y k x x =≠-， 则1AQ AP k k ⋅=-，1BQ BP k k ⋅=-． 且22004AQ BQy k k x ⋅=-，代入①得34AQ BQ k k ⋅=-，又1AQ AP BQ BP k k k k ⋅⋅⋅=， 所以43AP BP k k ⋅=-， 即22443y x =--，整理得2211643y x +=． 故221(2)1643y x x +=≠±为所求轨迹方程． 22．【解析】（1）1l的方程为y x =，化为极坐标方程为()6πθρ=∈R ． 代入2l 的方程得：3ρ=，即3,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 方程2sin 303πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令0θ=，即ρ=)A ． （2）由（1）知，OA =3OB =，且6BOA π∠=，故AB =，设点P 到直线AB 的距离为d ，故S =，设点()cos P θθ，2l的一般方程为3y =-，故|3|2224S d θθπθ-⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 当32()4k k πθπ=+∈Z时，max 4S = 此时，P点坐标为⎛ ⎝⎭．23．【解析】（1）1m =时，()|21||1|f x x x =-++， 即3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()6f x ≤，即1,36x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,226x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,236,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得22x -≤≤．即不等式()6f x ≤的解集为{}22x x -≤≤．（2）当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式|21||||21|x x m x -++≤+ 即||2121x m x x ++-≤+， 即||2x m +≤在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 故22x m -≤+≤，22x m x --≤≤-． 故max (2)m x ≥--，且min (2)m x ≤-，3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故1104m -≤≤． 即实数m 的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
湘豫联考2021届高考数学联考试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
湘豫联考2021届高考数学联考试卷(文科)(3月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设M 、N 是两个集合，定义M ∗N ={x|x ∈M ，且x ∉N}.若M ={y|y =log 2(−x 2−2x +3)}，N ={y|y =√x,x ∈[0,9]}，则M ∗N =( )A. (−∞,0]B. (−∞,0)C. [0,2]D. (−∞,0)∪(2,3]2.已知= b +i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a + b 等于( )A. −1B. 1C. 2D. 33.给定两个命题p ，q.若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.A. 原点对称B. y 轴对称C. x 轴对称D. 直线y =x 对称5.如图，在四面体ABCD 中，若M 、N 、P 分别为线段AB 、BC 、CD 的中点，则直线BD 与平面MNP 的位置关系为( )A. 平行B. 可能相交C. 相交或BD ⊂平面MNPD. 以上都不对6.已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ ，满足|a ⃗ |=√22|b ⃗ |，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥(3a ⃗ −2b ⃗ )，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( ) A. 34πB. 14πC. 12πD. π7.若x ，y 满足约束条件：{x >0x +2y ≥32x +y ≤3；则x −y 的取值范围为( )A. [0,3]B. [0,32]C. [−32,0]D. [−3,0]8.把函数y =√3sin2x +2cox 2x −1，x ∈R 图象上所有的点向右平行移动π12个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为( )A. y =sinxB. y =2sin4xC. y =2sinxD. y =2sin(x +π12)9.若数轴上P ，Q 两点的坐标分别为−2，x ，且P ，Q 两点间的距离PQ =4，则x =( )A. −6或2B. −6或4C. 6D. 410. 已知点P 为双曲线C ：x 236−y 264=1上的动点，点A(−10,0)，点B(10,0).若PA =15，则PB =( )A. 27B. 3C. 3或27D. 9或2111. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱AA 1，BB 1，CC 1分别交于M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则△MNQ 面积的最小值为( )A. √7B. 3C. 2√7D. 612. 已知f(x)={e x +ax,x >00,x =0e −x−ax,x <0，若函数f(x)有5个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1e )B. (−∞,−e)C. (e,+∞)D. (1e ,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则实数．14. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1.则f(8)=______． 15. 一小区计划植树不少于1000棵，若第一天植2棵，以后每天植树棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n ∈N ∗)等于______． 16. 抛物线y 2=x 的焦点F 坐标为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅18. 某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：环数78910命中次数2783(1)求此运动员射击的环数的平均值；(2)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果(2次、7次、8次、3次)中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m次、n次，每个基本事件为(m,n)，求事件“m+n≥10”的概率．19. 如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，AD=AP=PB=1，∠APB=90°，点E、F分别为BC、AP中点．(1)求证：EF//平面PCD；(2)求三棱锥D−PEF的体积．20. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1，(a>b>0)的e=√32，焦距为2√3．(1)求E的方程；(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．21. 已知f(x)=sin2wx+√32sin2wx−12(x∈R,w>0)，若f(x)的最小正周期为2π．(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在区间[−π6,5π6]上的最大值和最小值．22. 已知直线l的参数方程为{x=−√2+tcosαy=tsinα(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ−2sinα−2cosα=0．(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=2，求直线l倾斜角求α的值．23. 已知数f(x)=|x−1|+|x+2|．(1)若存在x使不等式|a|−f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；(2)若a+4a−f(x)≥0对任意正数a恒成立，求x的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：M={y|y=log2(−x2−2x+3)}={y|y=log2[−(x+1)2+4]}={y|y≤2}，N={y|y=√x,x∈[0,9]}={y|0≤y≤3}，则M∗N={y|y<0}，故选B ．求出集合M，N的等价条件，结合集合的定义进行运算即可．本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2.答案：B解析：∵=b+i，∴a+2i=−1+b i.∴a=−1，b=2．∴a+b=1．3.答案：A解析：试题分析：由题意，则根据原命题与逆否命题等价，则，所以p是﹁q的充分不必要条件，故选A．考点：1.充分条件与充要条件；4.四种命题的关系．4.答案：B解析：本题主要考查了函数的定义域，函数的奇偶性问题。
2020年11月湘豫名校联考2021届高三毕业班联考生物试题
绝密★启用前湘豫名校联考2021届高三毕业班上学期联考质量监测生物试题2020年11月注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试题卷上无效。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷选择题（共30分）一、选择题：本题共30小题,每小题1分。
共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.细胞膜是系统的边界,下列相关叙述正确的是A.镶嵌在磷脂双分子层中的蛋白质都能移动B.癌细胞膜表面的糖蛋白增多使癌细胞容易转移C.电子显微镜下可观察到细胞膜的流动镶嵌模型D.细胞间的信息交流大都与细胞膜的结构和功能有关2.下列有关生物体内生理过程的叙述,正确的是的固定发生在细胞质基质中A.水绵细胞内CO2B.人体细胞内DNA分子复制可发生在线粒体中结合发生在线粒体内膜上C.硝化细菌内［H］与02D.人体细胞内丙酮酸分解成酒精的过程发生在细胞质基质中3.下列生命活动与蛋白质的功能无关的是1A.与某些病毒发生特异性结合B.将无机盐离子转移至根细胞内C.降低H2O2分解所需的活化能 D.激发雄性或雌性个体第二性征4.将甲溶液、乙溶液和甲、乙混合溶液进行如下三组实验,下列推测正确的是注；“+表示有颜色反应,“-”表示无颜色反应。
A.甲溶液含有淀粉B.乙溶液含有葡萄糖C.混合溶液不含淀粉D.混合溶液含有淀粉酶5.下图表示植物叶肉细胞内光合作用、呼吸作用中O的转移过程。
下列相关叙述不正确的是A.过程②③都有ATP生成B.过程②⑤都要消耗NADPHC.过程①②都需在生物膜上进行D.过程③可为过程②提供反应物6.下列能在生物体内双向进行的生理活动是①质壁分离过程中水分子的扩散②DNA和RNA之间互为模板合成③有机物的化学能与热能的转化④活细胞内ATP与ADP的转化A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④7. 一个完整的细胞周期包括有G期（DNA合成前期）、S期（DNA合成期）、G?期（DNA合成后期）和M期。
多面体的内切球外接球问题求解策略(原卷版)
专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。