高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

数列和不等问题（教师版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）

例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2

1

12

12224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以

21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n

（2）)1

21

121(21)12)(12(111+--=+-==

+n n n n a a b n n n ，所以

2

1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=

n n n B n Λ 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412

2333

n n n S a +=

-?+，1,2,3,n =g

g g （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n

n n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：1

32n

i i T =<∑.

解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+2

3

所以a 1=2

再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +2

3, n=2,3，4,…

将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－1

3×(2n+1－2n ),n=2,3, …

整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1

= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 1

3×(2n+1－1)(2n+1－2) = 2

3

×(2n+1－1)(2n －1)

T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)

所以, 1

n

i i T =∑

= 32

1

(

n

i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 3

2

二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列{}n a 中，11

2

a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．

设n

n n a a b -=12

，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：1

3n T <．

解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981

2

a q a =

=-． ∴n n a )2

1

(-=． n

n n n

n n b 231

)2(41)2

1(141?≤

--=

--=

． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）

∴n n b b b B Λ++=2131)211(312

11)

211(213123123123122<-=--?

=?++?+?≤n n Λ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈L ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232

n n a a a n n

n N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈Q

112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列

12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈

（II ）证法一：12111

44...4(1).n n k k k k n a ---=+Q

12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=

即 2120,n n n b b b ++-+=*

211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列

（III ）证明：Q

1121211

,1,2,...,,1212

2(2)2

k k k k k k a k n a ++--==<=--

12231 (2)

n n a a a n

a a a +∴

+++<

111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k

k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和

例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证：1

12

1

3-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n n a n

a )2

1(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n

n n a n

a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：1

212

1

2221--+++≥-n n n a a Λ． 令12212221--+++=

n n n S Λ，所以n n n S 2

1

22212132-+++=Λ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=-Λ，所以1212-+-=n n n S ，所以12

13-+-≥n n n a ， 故得1

12

1

3-++-≥>n n n n a a ．

3．放缩后成等差数列，再求和

例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2

2n n n a a S +=.

(1) 求证：22

14

n n n a a S ++<；

(2)

a a Θ ，又由条件n n n S a a 22

=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得

0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a Θ ∴11n n a a +-=

所以， n n a n =-?+=)1(11，(1)

2

n n n S +=

所以4

2)1(212)1(2

1

222++=++?<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+

2

1

2)1(2

+<

+<

n n n n ，所以 2)1(23222121+++?+?=

++n n S S S n ΛΛ2

1

2322++++

12

2312-=

+=

+n S n n ；2

2

2)1(2

2

22

121n n S n n n S S S =

+=

+

++

>

++ΛΛ

练习：

1.（08南京一模22题）设函数213

()44

f x x bx =

+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.

(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和1

6

的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 1

2

b =

（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵2

1111(22)22123n c n n n ??=<- ?+++??，∴1231111

+23236

n n T c c c c n ??=+++???<-< ?+??…

2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有

8

7

11154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；

⑵由已知得：1

112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1

122(1)n n n a a --=+-

2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32

)

1([232)1(1

1+--=+---n n n n a a 故数列{

32)1(+-n

n a }是以3

2

1+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故

1)2)(31(32)1(---=+-n n

n a ∴22[2(1)]3

n n

n a -=--

∴数列{n a }的通项公式为：2

2[2(1)]3

n n n a -=

--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边

=

232451113111[]221212(1)m m

m a a a -+++=+++-+--L L ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

3

2322

1

21121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将121

2

-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时，

m a a a 11154+++Λ)11()11(11654m

m a a a a a +++++=-Λ )21

2121(2321243-++++<

m Λ )2

11(4123214--?+=

m 8321+<

8

7= （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，

8

711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a ΛΛ 所以对任意整数4>m ，有

m a a a 11154+++Λ8

7

<。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。

3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,22

11

求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立； （2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n Λ成立； （3）11112112006

212006

<+++<

-

a a a Λ 分析：（1）用数学归纳法易证。

（2）由12

1+-=+n n n a a a 得：)1(11-=-+n n n a a a )1(111-=-∴--n n n a a a … … )1(1112-=-a a a

以上各式两边分别相乘得： )1(111211-=--+a a a a a a n n n Λ，又21=a 11211+=∴-+a a a a a n n n Λ

（3）要证不等式11112112006

212006

<+++<

-

a a a Λ， 可先设法求和：

2006

21111a a a +++Λ，再进行适当的放缩。 )1(11-=-+n n n a a a Θn n n a a a 1111

11--=

-∴

+1

1

1111---=∴+n n n a a a 200621111a a a +++∴

Λ)1111()1111()1111(200720063221---++---+---=a a a a a a Λ 111120071---=

a a 2006

2111a a a Λ-=1<又20062006

1

2006212=>a a a a Λ 20062006212

1

111->-

∴a a a Λ∴原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。

数列和不等问题（学生版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）

例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2

1

真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412

2333

n n n S a +=

-?+，1,2,3,n =g

g g

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n

n n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：1

32n

i i T =<∑.

二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列{}n a 中，11

2

a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．

设n

n n a a b -=12

，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：1

3n T <．

真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b

b b n a n N ---=+∈L ，证明：数列{}n b 是等差数列；

（Ⅲ）证明：

*122311...()232

n n a a a n n

n N a a a +-<+++<∈.

2．放缩后为“差比”数列，再求和

例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证：1

12

1

3-++-≥>n n n n a a

3．放缩后成等差数列，再求和

例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2

2n

n n a a S +=. (1) 求证：22

14

n n n a a S ++<；

(2)

练习：

1.（08南京一模22题）设函数213

()44

f x x bx =

+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.

(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和1

6

的大小并证明之.

2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8

7

11154<+++m a a a Λ

3.（07武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,22

11

求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立； （2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n Λ成立； （3）11112112006

212006

<+++<

-

a a a Λ