江苏省无锡市八年级(上)期中数学试卷
八年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A.B. C. D.2.若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ）A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或173.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 6、8、10 D. 25、24、74.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（ ）A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②去5.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠DEF ，AB =DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A. ∠A=∠DB. BC=EFC. ∠ACB=∠FD. AC=DF 6.如图的2×4的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC 成轴对称的格点三角形一共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7.如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，点D 在AB 边上，DE ⊥AB ，并与AC 边交于点E ．如果AD =1，BC =6，那么CE等于（ ）A. 5B. 4C. 3D. 28.如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，A C 于点D 和E ，∠B =60°，∠C =25°，则∠BAD 为（ ）A. 70∘ B. 75∘ C. 80∘D. 50∘9.如图，在第一个△ABA1中∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）A. 175∘B. 170∘C. 10∘D. 5∘10.如图，在等边△ABC中，AB=6，N为AB上一点，且AN=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是（ ）A. 8B. 10C. 27D. 27二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为______．12.已知直角三角形斜边长为10cm，则此直角三角形斜边上的中线长是______cm．13.如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=______°．14.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=20，BD=15，则点D到AB的距离为______．15.如图，在△ABC中，BC=8cm，∠BPC=118°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是______cm，∠DPE=______°．16.如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2=______，∠ABC=______°．17.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=35°，∠2=30°，则∠3=______．18.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了______cm．19.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．20.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN=______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）21.如图，已知∠AOB及M、N两点，求作：点P，使点P到∠AOB的两边距离相等且到M、N的两点也距离相等．（要求不写作法，但保留作图痕迹）22.如图，正方形网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点在格点上．（1）判断△ABC是否是直角三角形？并说明理由．（2）求△ABC的面积．23.如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC∥EF．24.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD．（1）求∠BDA的度数；（2）若AD=2，求BC的长．25.如图，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC，点D在AB边上．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若AE=3，AD=2．求ED的长．26.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）求证：BH=AC；（2）求证：BG2-GE2=EA2．27.已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．（1）如图1：当四边形ABCD是正方形时，且∠EAF=45°，则EF、BE、DF满足的数量关系是______，请说明理由；（2）如图2：当AB=AD，∠B=∠D=90°，∠EAF是∠BAD的一半，问：（1）中的数量关系是否还存在？______（填是或否）（3）在（2）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系．28.如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA 向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意；故选：B．根据轴对称图形的定义判断即可．本题考查轴对称图形、中心对称图形的定义，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．2.【答案】C【解析】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，∵3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有17．故选：C．因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．3.【答案】A【解析】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理：；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4.【答案】C【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：C．根据三角形全等的判定方法ASA，即可求解．此题主要考查了全等三角形的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．5.【答案】D【解析】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选：D．根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：如图：共3个，故选：B．根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．本题考查的是轴对称图形，根据题意作出图形是解答此题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∵DE⊥AB，∴∠AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC-AE=6-2=4，故选：B．根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答．8.【答案】A【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故选：A．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，计算出结果．本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A==80°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===40°；A同理可得∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠A n=，以点A4为顶点的底角为∠A5．∵∠A5==5°，故选：D．先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A6的度数．本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE．∵等边△ABC的边长为6，AN=2，∴BN=AC-AN=6-2=4，∴BE=EN=AN=2，又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN=2DE，CN∥DE，又∵N为AE的中点，∴M为AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴DE=2MN，∴CN=2DE=4MN，∴CM=CN．在直角△CDM中，CD=BC=3，DM=AD=，∴CM==，∴CN=×=．∵BM+MN=CN，∴BM+MN的最小值为2．故选：D．要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．11.【答案】FM5379【解析】解：F M 5 3 7 9∴该汽车牌照号码为FM5379．易得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解．解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．12.【答案】5【解析】解：∵直角三角形斜边长为10cm，∴斜边上的中线长为5cm．故答案为5．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这一性质，即可推出斜边上的中线长为5cm．本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于认真的进行计算．13.【答案】35【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠EAC，∵∠EAC=35°，∴∠BAD=35°，故答案为：35．根据全等三角形性质得出∠BAC=∠DAE，求出∠BAD=∠EAC，代入求出即可．本题考查了全等三角形性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．14.【答案】5【解析】解：作DE⊥AB于E，∵BC=20，BD=15，∴CD=20-15=5，∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=5，故答案为：5．作DE⊥AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得到答案．本题主要考查平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15.【答案】8 56【解析】解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．故答案为8（2）∵∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∠BPC=118°，∴∠DPC=118°-∠PBC-∠PCB∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∴∠PBC+∠PCB=180°-118°，∴∠DPC=118°-（∠PBC+∠PCB）=118°-180°+118°=56°．故答案为56．（1）分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．（2）根据三角形内角和定理即可求得．此题主要考查了平行线的判定，内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．16.【答案】10 45【解析】解：连接AC．根据勾股定理可以得到：AB2=12+32=10，AC2=BC2=12+22=5，∵5+5=10，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．故答案为：10，45．连接AC，根据勾股定理得到AB2，BC2，AC2的长度，证明△ABC是等腰直角三角形，继而可得出∠ABC的度数．本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．17.【答案】65°【解析】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠1=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠2=30°．∵∠3=∠1+∠ABD，∴∠3=35°+30°=65°．故答案为：65°．由∠BAC=∠DAE可以得出∠1=∠CAE，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出结论．本题考查了等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用．解答时证明三角形全等是关键．18.【答案】2【解析】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm；∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．19.【答案】112【解析】解：如图，连接OB、OC，∵OA平分∠BAC，∠BAC=56°，∴∠BAO=∠BAC=×56°=28°，∵AB=AC，∠BAC=56°，∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-56°）=62°，∵OD垂直平分AB，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAO=28°，∴∠OBC=∠ABC-∠OBA=62°-28°=34°，由等腰三角形的性质，OB=OC，∴∠OCE=∠OBC=34°，∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠OEC=180°-2×34°=112°．故答案为：112．连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO=28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB=OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE=CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．20.【答案】2m【解析】解：作AE⊥OM，BF⊥OM，∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°∴∠AOE=∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE=BF，AE=OF即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7（m），∴2EO+EF=17，则2×EO=10，所以OE=5m，OF=12m，所以OM=OF+FM=15m又因为由勾股定理得ON=OA=13，所以MN=15-13=2（m）．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．故答案为：2m．首先得出△AOE≌△OBF（AAS），进而得出CD的长，进而求出OM，MN的长即可．此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用，正确得出△AOE≌△OBF是解题关键．21.【答案】解：如图所示，点P即为所求．【解析】分别作∠AOB的平分线和线段MN的中垂线，交点即为点P；本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线和中垂线的性质和尺规作图．22.【答案】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：由勾股定理可得：AC2=32+22=13，BC2=82+12=65，AB2=62+42=52，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）S△ABC=8×4-12×2×3-12×8×1-12×4×6=13．【解析】（1）根据勾股定理求出AB、BC及AC的长，再根据勾股定理的逆定理来进行判断即可；（2）用大正方形的面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结果．本题考查了勾股定理、正方形的性质、三角形面积的计算、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题（1）的关键．23.【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=DC，∴AC=DF．∴在△ABC与△DEF中，AB=DE∠A=∠DAC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．【解析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论．本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C=30°∵AD⊥AB∴∠BDA+∠B=90°∴∠BDA=60°（2）∵∠BDA=60°，∠C=30°，且∠BDA=∠C+∠DAC∴∠DAC=60°-30°=30°=∠C∴AD=CD=2∵AB⊥AD，∠B=30°∴BD=2AD=4∵BC=BD+CD∴BC=2+4=6【解析】（1）由题意可得∠B=∠C=30°，由AB⊥AD，可求∠BDA的度数；（2）根据30度所对的直角边等于斜边的一半，可求BD=4，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠C=∠DAC=30°，可得AD=CD=2，即可求BC 的长．本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是本题的关键．25.【答案】（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，∴∠DCB=∠ECA，在△ACE和△BCD中CE=CD∠ACE=∠BCDCA=CB∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=∠B=45°，∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠B=45°，∴∠EAD=90°，∴在Rt△AED中，∠EAD=90°，AE=3，AD=2，由勾股定理得：ED=32+22=13．【解析】（1）根据∠ACB=∠ECD=90°求出∠DCB=∠ECA，根据SAS推出两三角形全等即可；（2）根据等腰直角三角形求出∠BAC=∠B=45°，根据全等三角形的性质求出∠EAC=∠B=45°，求出∠EAD=90°，根据勾股定理求出即可．本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．26.【答案】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD，∵在△DBH和△DCA中，∠BDH=∠CDABD=CD∠HBD=∠ACD，∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．（2）连接CG，由（1）知，DB=CD，∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴△ABE≌△CBE，∴EC=EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．【解析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．27.【答案】EF=BE+DF是【解析】解：（1）EF=BE+DF，理由：如图1，延长CB至M，使BM=DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠D=90°，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∵四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=45°，∴∠EAM=∠EAF，在△EAM和△EAF中，，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF=EM=BM+BE=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF；（2）是存在，理由如下：延长CB到P使BP=DF，∵∠ABC=∠D=90°，∴∠ABP=90°，∴∠ABP=∠D，在△ABP和△ADF中，，∴△ABP≌△ADF（SAS），∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，∵∠EAF=∠BAD，∴∠BAE+∠DAF=∠EAF，∴∠BAP+∠FAD=∠EAF，即：∠EAP=∠EAF，在△APE和△AFE中，，∴△APE≌△AFE（SAS），∴PE=FE，∴EF=BE+DF；故答案为：是；（3）如图3，补全图形．证明：在BC上截取BP=DF，∵∠B=∠ADC=90°，∴∠ADF=90°，∴∠B=∠ADF，在△ABP和△ADF中，，∴△ABP≌△ADF（SAS），∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，∵∠EAF=∠BAD，∴∠DAE+∠DAF=∠BAD，∴∠BAP+∠EAD=∠BAD，∴∠EAP=∠BAD=∠EAF，在△APE和△AFE中，，∴△APE≌△AFE（SAS），∴PE=FE，∴EF=BE-BP=BE-DF．（1）先判断出△ABM≌△ADF，进而得出AM=AF，∠BAM=∠DAF，然后由∠EAF=45°，证得∠EAM=∠EAF，继而证得△EAM≌△EAF，继而证得结论；（2）首先延长CB到P使BP=DF，证得△ABP≌△ADF（SAS），再证得△APE≌△AFE（SAS），继而证得结论；（3）首先在BC上截取BP=DF，证得△ABP≌△ADF（SAS），再证得△APE≌△AFE（SAS），即可得EF=BE-BP=BE-DF．此题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质．正方形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．28.【答案】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．①当MN∥BC时，AM=AN，即10-t=t，∴t=5；当DN∥BC时，AD=AN，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE=DM，则t-4=5，∴t=9；如果ED=EM，则点M运动到点A，∴t=10；如果MD=ME=t-4，过点E做EF垂直AB于F，因为ED=EA，所以DF=AF=12AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；因为BM=t，BF=7，所以FM=t-7则在Rt△EFM中，（t-4）2-（t-7）2=42，∴t=496．综上所述，符合要求的t值为9或10或496．【解析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t-4；分别得出方程，解方程即可．本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．。
江苏省无锡市八年级上学期数学期中考试试卷
江苏省无锡市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017九下·武冈期中) 下列“表情”中属于轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·重庆模拟) 下列命题正确的是（）A . 长度为 5cm、2cm 和 3cm 的三条线段可以组成三角形B . 的平方根是±3C . 无限不循环小数是无理数D . 两条直线被第三条直线所截，同位角相等3. （2分）下列五个命题：（1）零是最小的实数；（2）数轴上的点不能表示所有的实数；（3）无理数都是带根号的数；（4）的立方根是；（5）一个数的平方根有两个，它们互为相反数.其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （2分） (2017八下·钦州港期末) △ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b-c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分） (2020八上·昆明期末) 如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 10、15、20，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO 等于（）A . 1∶1∶1B . 1∶2∶3C . 2∶3∶4D . 3∶4∶56. （2分）已知三条线段的比是：①2：3：4；②1：2：3；③2：4：6；④3：3：6；⑤6：6：10；⑥6：8：10．其中可构成三角形的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分） (2018八上·上杭期中) 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（）A . （SAS）B . （SSS）C . （ASA）D . （AAS）8. （2分） (2016八下·枝江期中) 已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A .B . 3C . +2D .9. （2分）下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（）A . 1，1，2B . 2，2，5C . 3，3，5D . 3，4，510. （2分）(2019·广西模拟) 如图，0A=OB，OC=OD，∠0=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（）A . 60°B . 50°C . 45D . 30°二、填空题 (共8题；共11分)11. （1分） (2019八上·淮安期中) 有一个数值转换器，原理如图：当输入x为81时，输出的y的值是________.12. （2分）如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1=110°，∠2=46°，则x=________．13. （1分） (2019八上·孝南月考) △ABC≌△DEF，且△ABC的周长为11，若AB=3，EF=4，则AC=________.14. （1分） (2018九上·温州开学考) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED等于________度15. （1分） (2016九上·夏津开学考) 已知等腰三角形的两边a，b，满足|a-b-2|+ =0，则此等腰三角形的周长为 ________。
2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期中数学试卷1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.如图，AC、BD相交于点O，∠1=∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA，则还需要加上条件( )A. AD=BCB. BD=ACC. ∠D=∠CD. OA=AB3.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( )A. BC=1，AC=2，AB=√3B. BC=1，AC=2，AB=√5C. BC：AC：AB=3：4：5D. ∠A：∠B：∠C=3：4：54.如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB.小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5.已知一个等腰三角形有一个角为50∘，则顶角是( )A. 50∘B. 80∘C. 50∘或80∘D. 不能确定6.下列说法正确的是( )A. 三个角对应相等的两个三角形全等B. 面积相等的两个三角形全等C. 全等三角形的面积相等D. 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等7.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是( )A. 点EB. 点FC. 点GD. 点H8.在直角三角形中，两条直角边长分别为5，12，则斜边上的中线长为( )A. 13B. 12C. 6.5D. 69.如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为( )A. 2√3B. √13C. √14D. √1510.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于( )A. 75B. 32C. 53D. 211.正方形有____________条对称轴．12.已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是______ .13.如图，P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AC于点E，PE=1.5，AE=2，则AP的长为______，点P到AB的距离是______.14.如图，点B在AE上，∠C=∠D，要能证△ABC≌△ABD，只需再补充一个条件：______.15.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AB=6，分别以边AC、BC为直径向形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为______ .(结果中保留π)16.如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=6厘米，则FC=______，EF=______.17.如图，已知四边形ABCD中，AB=12cm，BC=10cm，CD=14cm，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B−C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．18.如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD 于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为______.19.已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO.求证：(1)△ABO≌△DCO；(2)∠OBC=∠OCB.20.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E.(1)若∠A=50∘，求∠CBD的度数；(2)若AB=7，BC的长为5，求△CBD的周长．21.如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A(−3,3)，B(−4,−2)，C(0,−1).(1)直接写出△ABC的面积为______；(2)画出△ABC关于y轴的对称的△DEC(点D与点A对应，点E与点B对应)，点E的坐标为______.22.已知在四边形ABCD中，∠A=90∘，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，求四边形ABCD的面积．23.如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规按下列要求作图：(保留作图痕迹)①作△ABC的角平分线AD；②作∠CBE=∠ADC，BE交CA的延长线于E；③作AF⊥BE，垂足为F.(2)图中BF与EF相等吗？证明你的结论．24.在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB=90∘，并画∠AOB的平分线OC.(1)把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F(如图①).度量PE、PF的长度，这两条线段______(填“相等”或“不相等”).(2)把三角尺绕点P旋转(如图②)，PE与PF相等吗？请说明理由．(3)探究：画∠AOB=50∘，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF=130∘.∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点(如图③)，PE与PF相等吗？请说明理由．25.新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．(1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD=120∘，∠BCD=150∘，则∠ABC=______∘；(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC=√2AB，∠A=60∘，∠D=150∘，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；(3)若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90∘，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．26.如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，(1)试说明△ABC是等腰三角形；(2)已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)，①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．已有条件AB=AB，∠1=∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA必须添加边相等，根据判定方法可得应添加BD=AC.【解答】解：还需要加上条件BD=AC，∵在△ACB和△BDA中{AB=AB ∠1=∠2 AC=BD，∴△ACB≌△BDA(SAS)，故选：B.3.【答案】D【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵12+22=(√5)2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=45∘，∠5=60∘，∠C=75∘，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D.先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．4.【答案】A【解析】解：由作图可知，OA=OC，AB=CB，在△AOB和△COB中，{OA=OC AB=CB OB=OB，∴△AOB≌△COB(SSS)，∴∠BOA=∠BOC，故选：A.根据SSS证明三角形全等可得结论．本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．5.【答案】C【解析】解：分两种情况：若该角为底角，则顶角为180∘−2×50∘=80∘；若该角为顶角，则顶角为50∘.∴顶角是50∘或80∘.故选C.已知中没有明确该角为顶角还是底角，所以应分两种情况进行分析．此题主要考查学生对等腰三角形的性质的运用能力．6.【答案】C【解析】解：A、说明两三角形的形状相同，不能确定大小，故错误；B、强调了两三角形的大小，没有确定形状，故错误；C、由全等三角形的性质可以得出结论；D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误．∴正确答案为为C.故选C.根据三角形全等条件可以得出全等从形状和大小两个方面同时满足就可以从备选答案中得出结论．本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答本题时弄清全等三角形的了两个必备条件是关键．7.【答案】B【解析】解：∵BF=AF=CF=√12+42=√17，∴到△ABC三个顶点距离相等的点是F，故选：B.根据勾股定理即可得到结论．本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出BF=AF=CF是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：由勾股定理可知斜边长为：√52+122=13，∴斜边上的中线长为13，2故选：C.先根据题意求出直角三角形的斜边长，然后根据斜边上的中线性质即可求出答案．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．9.【答案】B【解析】解：如图，连接AE，因为点C关于BD的对称点为点A，所以PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为3，BE=2，∴AE=√22+32=√13，∴PE+PC的最小值是√13.故选：B.要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．10.【答案】A【解析】解：如图延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F.∵在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB=5.∵D为AB的中点，∴AD=BD=DC.∵1 2AC⋅BC=12AB⋅CF，∴1 2×3×4=12×5×CF，解得CF=125.由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，∴CH⊥AE，AH=HE.∵DC=DB，12BD⋅CF=12DC⋅HE，∴HE=CF=125.∴AE=245.∵AD=DE=DB，∴△ABE为直角三角形．∴BE=√AB2−AE2=√52−(245)2=75.故选：A.延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F.首先证明DC垂直平分线段AE，△ABE是直角三角形，求出AE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．11.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质．根据正方形是轴对称图形的性质分析．【解答】解：根据正方形的性质得到，如图：正方形的对称轴是两组对边中线所在直线和两组对角线所在直线，共有4条．故答案为4.12.【答案】22或26【解析】解：当6为底时，其它两边都为6，10、10可以构成三角形，周长为26；当6为腰时，其它两边为6和10，可以构成三角形，周长为22.故答案为：22或26.因为等腰三角形的两边分别为6和10，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．13.【答案】2.51.5【解析】解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则PD长即为点P到AB的距离，在Rt△APE中，由勾股定理得，AP=√PE2+AE2=√(1.5)2+22=2.5，∵P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AC于点E，PD⊥AB，∴PD=PE=1.5，故答案为：2.5；1.5.根据勾股定理以及角平分线的性质即可求解．本题考查了勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．14.【答案】∠CAB=∠DAB【解析】解：在△ABC和△ABD中{AB=AB∠CAB=∠DAB ∠C=∠D∴△ABC≌△ABD(AAS)故答案为：∠CAB=∠DAB.根据全等三角形的判定定理加条件．本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、是解题关键．15.【答案】92π【解析】解：∵以AB为直径大半圆的面积=12π×32=92π，∴这两个半圆的面积的和为=92π.故答案为：92π.根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆的面积，重在验证勾股定理．16.【答案】，2103【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm，∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，∴AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=√102−62=8cm，所以，FC=BC−BF=10−8=2cm；由折叠可知，EF=DE，设EF=x，则DE=x，CE=6−x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC2+EC2=EF2，即22+(6−x)2=x2，解得x=103，即EF=103cm.故答案为：2，103.根据矩形的对边相等可得AD=BC，根据翻折变换的性质可得AF=AD，然后利用勾股定理列式计算求出BF，再根据FC=BC−BF计算即可得解；根据翻折变换的性质可得EF=DE，设EF=x，表示出CE，再利用勾股定理列方程求解即可．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．17.【答案】2或125 【解析】解：设点Q 的运动的时间为t s ，点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP =2tcm ，CP =(10−2t)cm ，CQ =xt(cm)，∵点E 为AB 的中点，∴BE =12AB =6cm ，∵∠B =∠C ，∴当BP =CP ，BE =CQ 时，根据“SAS ”可判定△BPE ≌△CPQ ，即2t =10−2t ，6=xt ，解得t =52，x =125； 当BP =CQ ，BE =CP 时，根据“SAS ”可判定△BPE ∽△CQP ，即2t =xt ，6=10−2t ，解得t =2，x =2；综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或125cm/s. 故答案为：2或125.设点Q 的运动的时间为t s ，点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP =2tcm ，CP =(10−2t)cm ，CQ =xt(cm)，由于∠B =∠C ，则当BP =CP ，BE =CQ 时，△BPE ≌△CPQ ，所以2t =10−2t ，6=xt ，当BP =CQ ，BE =CP 时，SAS ”可判定△BPE ∽△CQP ，所以2t =xt ，6=10−2t ，然后分别解方程即可．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．18.【答案】8【解析】解：如图，取CD 的中点F ，连接EF ，∵CD =6，M 为CD 的中点，射线OA ⊥射线OB 于点O ，∴OF =CF =12CD =3，∵CE=4，CE⊥CD，∴FE=√CE2+CF2=√42+32=5，∴OE≤FE+OF，∴OE≤8，即点E到点O的最大距离为8，故答案为：8.取CD的中点F，连接EF，利用直角三角形斜边上中线的性质得OF的长，再利用勾股定理可得EF的长，最后利用三角形三边关系可得答案．本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形的三边关系求线段的最值是解题的关键．19.【答案】证明：(1)在△ABO和△DCO中，{∠AOB=∠COD ∠ABO=∠DCO AB=DC，∴△ABO≌△DCO(AAS)；(2)由(1)知，△ABO≌△DCO，∴OB=OC∴∠OBC=∠OCB.【解析】(1)由已知条件，结合对顶角相等可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；(2)由等边对等角得结论．此题考查了全等三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键．20.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠A=50∘，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−50∘)=65∘，又∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠ABD=∠A=50∘，∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=15∘；(2)∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴DB+DC=DA+DC=AC，又∵AB=AC=7，BC=5，∴△CBD周长为12.【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=65∘，根据线段垂直平分线的性质得到DA= DB，求出∠ABD的度数，计算即可；(2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．21.【答案】192(4,−2)【解析】解：(1)S△ABC=4×5−12×1×5−12×1×4−12×3×4=192，故答案为：192；(2)如图，△DEC即为所求，E(4,−2)，故答案为：(4,−2)；(1)把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．(2)利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点D，E即可．本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：如图，连接BD，在R△ABD中，AB=3，DA=4，根据勾股定理得，BD=5，在△BCD中，BC=12，CD=13，BD=5，∴BC2+BD2=122+52=132=CD2∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB⋅AD+12BC⋅BD=12×3×4+12×12×5=36.【解析】先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△BCD是直角三角形．23.【答案】解：(1)如图，AD、∠CBE和AF为所作；(2)BF与EF相等．理由如下：∵∠CBE=∠ADC，∴BF//AD，∴∠E=∠CAD，∠ABE=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴∠ABE=∠E，∴AB=AE，∵AF⊥BE，∴BF=EF.【解析】(1)利用基本作图先作BAC的平分线，再作∠CBE=∠ADC，然后过A点作BE的垂线即可；(2)先证明BF//AD，则∠E=∠CAD，∠ABE=∠BAD，接着证明∠ABE=∠E，所以△ABE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到BF=EF.本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．24.【答案】相等【解析】解：(1)由度量可知，PE=PF，故答案为：相等．(2)PE=PF，理由如下：当PE⊥OA时，如图①，∵∠AOB=90∘，OC平分∠AOB，∴∠POE=∠POF=45∘，∵∠PEO=∠EPF=∠EOF=90∘，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO=360∘，∴∠PFO=90∘，∴∠PEO=∠PFO，∵OP=OP，∴△PEO≌△PFO(AAS)，∴PE=PF；当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，∵∠OMP=∠ONP=90∘，∠POM=∠PON=45∘，OP=OP，∴△POM≌△PON(AAS)，∴PM=PN，∵∠OMP=∠ONP=∠MON=90∘，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN=360∘，∴∠MPN=90∘，∵∠EPF=90∘，∴∠MPE=∠NPF=90∘−∠EPN，∵∠PME=∠PNF=90∘，∴△PME≌△PNF(ASA)，∴PE=PF，综上所述，PE=PF.(3)PE=PF，理由如下：如图③，在OF上取一点G，使OG=OE，连接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG=∠POE，∵OP=OP，∴△POG≌△POE(SAS)，∴∠OGP=∠OEP，PG=PE，∴∠PGF+∠OEP=∠PGF+∠OGP=180∘，∴∠AOB=50∘，∠EPF=130∘，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP=360∘，∴∠PFG+∠OEP=180∘，∴∠PGF=∠PFG，∴PG=PF，∴PE=PF.(1)由测量可知，PE=PF；(2)PE=PF，分两种情况，当PE⊥OA时，证明△PEO≌△PFO，可得PE=PF；当PE与OA不垂直时，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，先证明△POM≌△PON得PM=PN，再证明△PME≌△PNF，可得PE=PF；(3)在OF上取一点G，使OG=OE，连接PG，先证明△POG≌△POE，可得∠OGP=∠OEP，PG=PE，再由同角的补角相等证明∠PGF=∠PFG，则PG=PF，得PE=PF.此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、多边形的内角和定理、线段相等的证明等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．25.【答案】45【解析】解：(1)如图1，∵四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，∴AB=AD，CB=CD，∵∠BAD=120∘，∠BCD=150∘，∴∠ABD=∠ADB=1×(180∘−120∘)=30∘，2∠CBD=∠CDB=1×2(180∘−150∘)=15∘，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30∘+15∘=45∘，故答案为：45.(2)如图2，连接BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60∘，AB=BD，∵∠ADC=150∘，∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=150∘−60∘=90∘，∵BC=√2AB，∴BC=√2BD，∴CD=√BC2−BD2=√(√2BD)2−BD2=BD，∴AB=AD，CD=BD，∴四边形ABCD是“等腰四边形”．(3)如图3，AB=AD，根据题意得AB=BC=CD，∠ABC=90∘，∵CB=CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=45∘，∴∠ADB=∠ABD=45∘，∠CDB=∠CBD=45∘，∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=45∘+45∘=90∘；如图4，AB=DB，∵AB=BC=CD，∴DB=BC=CD，∴∠CBD=∠BDC=60∘，∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=90∘−60∘=30∘，∴∠BDA=∠BAD=12×(180∘−30∘)=75∘，∴∠ADC=∠BDC+∠BDA=60∘+75∘=135∘；如图5，AD=BD，设AB=BC=CD=m，作DE⊥AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，∴AE=BE=12AB=12m，DE垂直平分CF，∴FD=CD=m，∵∠BED=∠EBC=90∘，∴∠BED+∠EBC=180∘，∴BC//ED，∴CG=BE=12m，∴FG=CG=12m，∴CF=CG+FG=12m+12m=m，∴FD=CD=CF，∴∠CDF=60∘，∴∠EDC=12∠CDF=30∘，∵∠BDE=∠CBD，∠CDB=∠CBD，∴∠BDE=∠CDB=12∠EDC=15∘，∴∠ADE=∠BDE=15∘，∴∠ADC=∠ADE+∠BDE+∠CDB=15∘+15∘+15∘=45∘，综上所述，∠ADC的度数为90∘或135∘或45∘.(1)由“等腰四边形”的定义及题中所给的条件，可得AB=AD，CB=CD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求出∠ADC的度数；(2)连接BD，先证明△ABD是等边三角形，则∠ADB=60∘，可得∠BDC=90∘，再根据勾股定理证明CD=BD，由此证得四边形ABCD是“等腰四边形”；(3)分三种情况，一是AB=AD，则△ABD≌△CBD，可求得∠ADC=90∘；二是AB=DB，则△BCD 是等边三角形，先得到∠BDC=60∘，再求出∠BDA的度数，则可求得∠ADC的度数；三是AD=BD，作DE⊥AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，先证明△DCF 是等边三角形，再求出∠ADC的度数．此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解第(3)题时应进行分类讨论，以免丢解．26.【答案】(1)证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=25x2，∴AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)解：S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x>0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm.①当MN//BC时，AM=AN，即10−t=t，∴t=5；当DN//BC时，AD=AN，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6.②当点M在BD上，即0≤t<4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4<t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE=DM，则t−4=5，∴t=9；如果ED=EM，则点M运动到点A，∴t=10；如果MD=ME=t−4，过点E做EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=12AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；∵BM=t，BF=7，∴FM=t−7则在Rt△EFM中，(t−4)2−(t−7)2=42，∴t=49 6.综上所述，符合要求的t值为9或10或496.【解析】(1)设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；(2)由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN//BC时，AM=AN；当DN//BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即4<t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE= DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t−4；分别得出方程，解方程即可．本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．。
无锡市八年级上学期数学期中考试试卷
无锡市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共16题；共32分)1. （2分）(2020·内乡模拟) 下列命题是真命题的是（）A . 对角线互相平分的四边形是平行四边形B . 相等的两个角是对顶角C . 两边和一角分别对应相等的两个三角形全等D . 圆内接四边形对角相等2. （2分） (2018八上·兴隆期中) 已知实数x，y满足 +|y+2|＝0，则x+y的值为（）A . ﹣2B . 2C . 4D . ﹣43. （2分）当x=1时，下列分式中值为0的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018八上·兴隆期中) 下列条件中，不能判定两个三角形全等的条件是（）A . 两边一角对应相等B . 两角一边对应相等C . 三边对应相等D . 两边和它们的夹角对应相等5. （2分） (2018八上·兴隆期中) 实数a ， b ， c ， d在数轴上的对应点的位置如图所示.若，则下列结论中正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018八上·兴隆期中) 一个正方形的面积等于30，则它的边长a满足（）A . 4＜a＜5B . 5＜a＜6C . 6＜a＜7D . 7＜a＜87. （2分）(2017·迁安模拟) 若分式□ 运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（）A . +B . ﹣C . +或×D . ﹣或÷8. （2分） (2018八上·兴隆期中) 如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，则图中全等三角形的对数是（）A . 2对B . 3对C . 4对D . 5对9. （2分） (2018八上·兴隆期中) 将＝2.23606797…精确到千分位是（）A . 2.2B . 2.24C . 2.236D . 2.23710. （2分） (2018八上·兴隆期中) 如图为张晓亮的答卷，每个小题判断符合题意得20分，他的得分应是（）A . 100分B . 80分C . 60分D . 40分11. （2分）下列各式中，正确的是（）A . －＝B . －＝C . ＝D . －＝12. （2分） (2018八上·兴隆期中) 下列命题中原命题和逆命题都正确的是（）A . 对顶角相等B . 两直线平行，同旁内角相等C . 全等三角形的对应角相等D . 全等三角形的对应边相等13. （2分）(2018·北京) 如果，那么代数式的值为（）A .B .C .D .14. （2分） (2018八上·兴隆期中) 如图，在中，D、E分别是AC、BC上的点，若≌ ≌ ，则的度数是A .B .C .D .15. （2分） (2018八上·兴隆期中) 关于x的方程无解，则k的值为（）A . ±3B . 3C . ﹣3D . 216. （2分） (2018八上·兴隆期中) 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共4分)17. （1分） (2020八下·黄石期中) 已知，则 =________.18. （1分） (2019七上·荔湾期末) 若﹣xmy4与 x3yn是同类项，则(m﹣n)4＝________．19. （2分） (2018八上·兴隆期中)（1）如图①△ABC是一个边长为2的等腰直角三角形，它的面积是2．把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形ABCD，则这个正方形的面积也就等于三角形的面积，即为2，则这个正方形的边长就是________，它是一个无理数．（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是________，它是一个无理数．三、解答题 (共7题；共60分)20. （5分） (2019八下·呼兰期末) 先化简,再求值：；其中a= ．21. （10分） (2018八上·兴隆期中) 阅读下列材料：关于x的分式方程x+ ＝c+ 的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣，即x+ ＝c+ 的解是x1＝c，x2＝﹣；x+ ＝c+ 的解是x1＝c，x2＝；x+ ＝c+ 的解是x1＝c，x2＝．（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+ ＝c+ （m≠0）的解是什么？并利用方程解的概念（使得方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解）进行验证．（2）根据以上的规律方法解关于x的方程：x+ ＝a+22. （5分） (2018八上·兴隆期中) 某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数．23. （5分） (2018八上·兴隆期中) 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：△ABC，尺规作图：求作∠APC＝∠ABC．小明同学的主要作法如下：如图甲：①作∠CAD＝∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP＝CB，连结CP．所以∠APC＝∠ABC．问题：小明的作法正确吗？请你用帮助小明写出证明过程．24. （15分） (2018八上·兴隆期中) 已知：如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）△CGB≌△CFA；（3）求∠AMB；25. （10分） (2018八上·兴隆期中) 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？26. （10分） (2018八上·兴隆期中) （类比学习，从图1中找方法在图2中运用）（1）如图1，在正方形ABCD（四条边都相等，每个内角都是90°）中，E是AB上一点，G是AD上一点，F 是AD延长线上一点，且∠GCE＝45°，BE＝DF．求证：GE＝BE+G D．（2）如图2，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD＝CB，∠B+∠D＝180°．求证：AE＝AD+BE．参考答案一、单选题 (共16题；共32分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、二、填空题 (共3题；共4分)17-1、18-1、19-1、19-2、三、解答题 (共7题；共60分)20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、。
江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：第 1，3，4 个图形均为轴对称图形，共 3 个． 故选：C． 根据轴对称图形的概念求解． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】
解：∵（±2）2=4= ，
8.【答案】A
【解析】
解：∵点 P 在∠AOB 的平分线上， ∴点 P 到 AO 的距离=点 P 到 OB 的距离=5． 由垂线段最短可知 PQ≥点 P 到 OB 的距离，即 PQ≥5． 故选：A． 依据角平分线的性质可知点P 到 OB 的距离为 5，最后，依据垂线段最短进行 判断即可． 本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6. 如图，△ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，AF⊥BC， 则
下面结论错误的是 ） （
A.BF=EF B.DE=EF C.∠EFC=45∘ D.∠BEF=∠CBE
7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 28°，则顶角是（ ）
A. 28∘
B. 118∘
C. 62∘
D. 62∘或 118∘
∴ 的算术平方根是 2． 故选：C．
根据算术平方根的定义：一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x
叫做 a 的算术平方根．记为 ． 本题考查了算术平方根，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为 逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3.【答案】B
【解析】
于点 D，交 AC 于点 E．若∠DCB=30°
，则∠DCA=
°．
无锡滨湖区八年级上期中考试数学试题有答案-(苏科版)(精选)
学校 班级 姓名 考试号………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（第6题） （第7题） （第8题）A BC DFE期中考试试题初二数学（本卷满分120分，考试时间为100分钟）一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分．）1．在下列常见的手机软件小图标中，属于轴对称图形的是 （ ） 2．下列各数属于无理数的是 （ ） A ．3.14159 B ．3－27 C ．22D ．81 3．下列说法正确的是 （ ） A ．1＝±1 B ．1的立方根是±1C ．一个数的算术平方根一定是正数D ．9的平方根是±3 4．两边长分别为3、7的等腰三角形的周长为 （ ） A ．13B ．17C ．13或17D ．以上都不对5．下列几组数中，能作为直角三角形三边的是 （ ） A ．32，42，52 B ．3，4，4 C ．2，3，5 D ．3，2， 5 6．如图，已知AB ＝AC ，添加下列条件仍不能．．使△ABD ≌△ACD 的是 （ ） A ．∠B ＝∠C ＝90° B ．AD 平分∠BAC C ．AD 平分∠BDC D ．BD ＝CD 7．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与 书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）A.ASAB. SASC. AASD.SSS8．如图，已知△ABC 是等腰三角形， AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上的一个动点（不 与A 、B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE ＋DF 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．185 D ． 245A ．B ．C ． D．翻折，点A 、B 分别落在点A ′、B ′的位置，再将△A ′CD 、△B ′CE 分别沿A ′C 、B ′C 翻折， 点D 与点E 恰好重合于点O ，则∠A ′OB ′的度数是 （ ） A ．120° B ．135° C ．140°D ．150°10．如图，∠MON ＝90°，已知△ABC 中，AC ＝BC ＝13，AB ＝10，△ABC 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，△ABC 的形 状始终保持不变，在运动的过程中，点C 到点O 的最小距离为 （ ） A ．5 B ．7 C ．12 D ．26二、填空题（本大题共8小题，共8空，每空2分，共16分．） 11．－8的立方根是__________．12．写出一个小于－3的无理数__________．13． 如图，正方形 A BCD 的边长为1，且DB ＝DM ，则数轴上的点M 表示的数是__________． 14．如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝80°，∠C ＝20°，则∠EAC ＝__________°．15．如图，点P 、Q 分别为等边△ABC 的边AB 、BC 上的点，且AP ＝BQ ，若AQ 与PC 相交于点M ,则∠AMC 的度数为__________°．16．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 的垂直平分线分别交AB 于点D ，交AC 于点E ．若∠DCB ＝30°，则∠DCA ＝__________°． 17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，O 是BC 的中点，P 是射线AO 上的一个动点，则当∠BPC ＝90°时，AP 的长为__________．（第16题）A BCDE（第14题）OABCDE-1（第13题） MPAB CQ（第15题）（第9题） （第 10题）BC AOMNA18．如图，在△ABC中，AC＝5，∠C＝60°，点D、E分别在BC 、AC上，且CD＝CE ＝2，将△CDE沿DE所在的直线折叠得到△FDE（点F在四边形ABDE内），连接AF，则AF的长为_________．三、解答题（本大题共9小题，共74分．）19．（本题满分10分）计算：（1）计算：（－1）2016－2－2＋ 4 ；（2）（2016－π)0－（－2）2＋|3－2|．20．（本题满分10分）解方程：（1）162－9＝0 ；（2）(2－1)3＝－27．21．（本题满分7分）已知2a＋4的立方根是2，3a＋b－1的算术平方根是3，13的整数部分是c，求3a－b＋c的值．22．（本小题6分）如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，BF＝CE，AB＝DE，23．（本题满分6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8．(1) 用直尺和圆规在边BC 上求作一点P ，使PA ＝PB (不写作法，保留作图痕迹) ； (2) 连结AP ，求AP 的长．24．（本题满分6分）如图，在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1）， △ABC 的三个顶点都在格点上，且直线m 、n 互相垂直． （1）作△ABC 关于直线m 的对称图形△A ′B ′C ′； （2）在直线n 上存在一点P ，使△BCP 的周长最小， ① 请在直线n 上作出点P ；② △BCP 的周长的最小值为__________．nmABC从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P运动的时间为t秒．当t为何值时，△BCP为等腰三角形？CA B26．（本题满分10分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．ADMENB27．(本题满分10分) 在等边△ABC 中，P 、Q 是BC 边上的两点，AP ＝AQ ． （1）如图1，已知∠BAP ＝20°，求∠AQP 的度数；（2）点P 、Q 在BC 边运动（不与B 、C 重合），点P 在点Q 的左侧，点P 关于直线AB 的对称点为M ，连接AM 、QM ．① 按题意，将图2补全；② 在点P 、Q 运动的过程中，小明通过观察、实验、提出以下两个猜想： （a ）始终有∠MAP ＝∠CAP ； (b )始终有QA ＝QM ．上述两个猜想你认为正确的是_________（填序号）,请证明你的结论．CABPQ图1CAB图2期中考试参考答案及评分标准初二数学一、选择题（每题3分，共30分）1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题（每空2分，共16分）11．－2； 12．答案不唯一，如－π；13．1＋2； 14．100； 15．120；16．40； 17．5＋1或5－1；（写出一个答案得一分，多写或写错不得分） 18．7．三、解答题（本大题共9小题，共74分）19．（1）（－1）2016－2－2＋ 4 （2）（2016－π)0－（－2）2＋|3－2|．＝1－41＋2 …… 3分 ＝ 1－2＋2－ 3 …… 3分＝432． …… 5分 ＝1－3． …… 5分20．（1）162－9＝0 ； （2） (2－1)3＝－272＝169， …… 3分 2－1＝－3 ， …… 3分＝±43． …… 5分 ＝－1． …… 5分（做出一种，得2分）21．a ＝2，b ＝4，c ＝3 ． …… 6分 (每正确求出一个，得2分）3a －b ＋c ＝5 ． …… 7分22 ．证明：BC ＝EF ， …… 2分 △ABC ≌△DEF ． …… 4分 AC//DF ． …… 6分23．(1) 作图（略） …… 2分 （2）设PA ＝PB ＝，则PC ＝8－． 在△ACP 中，∠C ＝90°，∴ 42＋(8－)2＝2 ， …… 5分 解得＝5． ……6分24．(1)作图（略）……2分(2) ①作图（略）……4分②135．……6分25．当点P在AC上时，CP＝CB＝3，t＝1.5 ；……2分当点P在AB上时，分三种情况：（1）若BP＝BC＝3，则AP＝2 ，t＝3 ；……4分（2）若CP＝CB＝3，作CM⊥AB，可求CM＝2.4，PM＝BM＝1.8∴AP＝1.4 ，t＝2.7．……6分(3) 若PC＝PB，则∠B＝∠BCP，∠A＝∠ACP，∴AP＝CP ＝BP＝2.5 ，t＝3.25 ．……8分综上所述，当t＝1.5、3 、2.7 或3.25 时，△BCP为等腰三角形．……9分26．(1) 证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°∴BD＝DC ．……1分∵∠BDC＝∠MDN＝90°，∴∠BDN＝∠CDM ．……2分∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM＝90°－∠A＝∠ACD ，……3分∴△DBN≌△DCM．……4分(2) NE－ME＝CM．……5分证明：由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN ．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD ，∴DF＝FN ．……7分又可证△DEF ≌△CEM ，∴ME＝EF，CM＝DF．……9分∴CM ＝DF＝FN＝NE－FE＝NE－ME．……10分27．(1) 80°；……2分（2）①正确画出图形；……4分证明：由轴对称性，得AM＝AP，∠BAP＝∠BAM……6分又∵AP＝AQ，∴AM＝AQ．……7分∵AP＝AQ，∴∠APQ=∠AQP．又∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BAP=∠CAQ ．……8分∴∠BAM=∠CAQ，……9分∴∠QAM=∠CAB＝60°．∴△MAQ是等边三角形，∴QA=QM．……10分。
江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷-(含答案)
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.的平方根是（）A. 4B. 2C.D.2.若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（）A. 或B.C. 或D.3.如图，与左边正方形图案属于全等的图案是（）A.B.C.D.4.在3.14159、、-、、π、1.20202020…，这五个数中，无理数有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.下列各图中，一定全等的是（）A. 顶角相等的两个等腰三角形B. 有两边和一角分别相等的等腰三角形C. 各有一个角是，腰长都是3cm的两个等腰三角形D. 底边和顶角都相等的两个等腰三角形6.下列各组数中，是勾股数的是（）A. 12，15，18B. 12，35，36C. ，，D. 5，12，137.若x＜-1，则等于（）A. B. C. 3x D.8.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，若PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS，其中正确的是（）A. ①②③B. ①C. ①②D. ①③9.野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有四张三角形的铁皮（如图所示），她想选择其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能正好落在“锅”中．她的选择最多有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种10.如图1所示为三角形纸片ABC，上有一点P．已知将A，B，C往内折至P时，出现折线，，，其中Q、R、S、T四点会分别在，，，上，如图2所示．若△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，则△PRS面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.若，则x2008+2008y= ______ ．12.已知a、b为两个连续的整数，且＜＜，则a+b=______．13.如图，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．△BCE的周长是53cm，则BC= ______ cm．14.△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则BC的长为______．15.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=______°．16.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2016= ______ ．17.△ABC中，AB=13，BC=20，AC=21，AD平分∠BAC，M、N分别是AD、AB上的点，则BM+MN的最小值是______．18.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共74.0分）19.求x的值：（1）（x-1）3=-27（2）（2x+1）2=；（3）=100．20.已知5a-1的平方根是±3，b、c均为有理数，且b、c满足等式b+c+2=c2+5，求a+b+c的算术平方根．21.如图A、B在方格纸的格点位置上．（1）若要再找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的格点C在图中共有______ 个；（2）若要再找一个格点D，使△ABD的面积为3，则这样的格点D在图中共有______ 个；（3）若要再找一个个点E，使△ABE的三边均为无理数，则这样的格点E在图中共有______ 个．22.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证：OE＝OF．23.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CA=CB，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E．（1）求证：AD=CE；（2）连接AE，若AB=5，BE=3，求四边形AEBC的周长和面积．24.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由；（3）连接BD，试说明：△ABD的面积和△ACE的面积相等．25.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．（1）探索AB与BF的数量关系，说明理由．（2）若BF=1，求BC的长．26.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒（1）出发1秒后，△ABP的周长=______；（2）当t=______时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？27.已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：=4，4的平方根是±2．故选：D．先求得的值，然后根据平方根的定义求解即可．本题主要考查的是主要考查的是平方根和算术平方根的定义，求得的值是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，∴等腰三角形的一个内角为80°，①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°．故选C．等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．3.【答案】C【解析】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．A、B、D图案均与题干中的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180°后与题干中的图形重合．故选c．根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断，对选择项逐个与原图对比验证．本题考查的是全等形的识别，主要根据全等图形的定义做题，属于较容易的基础题．4.【答案】D【解析】解：无理数有：-，π，1.20202020…共3个．故选D．无理数就是无限不循环小数，根据定义即可判断．本题考查了无理数的定义，无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．5.【答案】D【解析】解：A、两个等腰三角形的腰不一定相等，所以A错误；B、有两边和一角分别相等的等腰三角形不一定全等，所以B错误；C、各有一个角是45°，腰长都是3cm的两个等腰三角形不一定全等，所以C也错误；D、正确，利用了AAS或ASA都可以．故选D此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况．此处可以运用排除法进行分析．本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．6.【答案】D【解析】解：A、不是，因为122+152≠182；B、不是，因为122+352≠362；C、不是，因为0.3，0.4，0.5不是正整数；D、是，因为52+122≠132．且5、12、13是正整数．故选D．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．7.【答案】D【解析】解：∵x＜-1，∴2x-1＜0，x+1＜0，∴|2x-1|+=|2x-1|+=1-2x-1-x=-3x．故选D．将原式化为|2x-1|+，再根据x＜-1判断出2x-1和x+1的大小，化简即可．主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=-a．8.【答案】C【解析】解：如图，在RT△APR和RT△APS中，，∴RT△APR≌RT△APS（HL），∴∠AR=AS，①正确；∠BAP=∠1，∵AQ=PQ，∴∠1=∠2，∴∠BAP=∠2，∴QP∥AB，②正确，∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．故选：C．易证RT△APR≌RT△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证RT△APR≌RT△APS是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：如图，第一个沿直角三角形作斜边上的中线切，第二个三角形在钝角处沿20°角的另一边切，第三个三角形在60°角处沿20°角的另一边切，第四个三角形无法分成两个等腰三角形，所以，她的选择最多有3种．故选C．根据翻身后饼也能正好落在“锅”中，考虑把三角形分成两个等腰三角形即可．本题考查了全等三角形的应用，判断出翻折后正好能够重合是三角形是等腰三角形是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：根据题意，得△BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR的面积和△PSR的面积相等．又△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，∴△PRS面积等于（16-5×2）÷2=3．故选C．根据折叠，知△BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR的面积和△PSR的面积相等，结合已知△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，即可求解．此题主要是能够根据折叠，得到重合图形的面积相等．11.【答案】2【解析】解：由，根据二次根式的意义，得解得x=1，故y=0，∴x2008+2008y=12008+20080=2．由于已知等式的两个二次根式有意义，而二次根式要求被开方数为非负数，由此列不等式组求x、y的值，接着就可以求出结果．本题考查了二次根式的意义，指数运算，属于基础题，需要熟练掌握．12.【答案】11【解析】解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a=5，b=6，∴a+b=11．故答案为：11．根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．13.【答案】21【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，∴AE=EB，AE+EC=AC=32cm，∴BE+EC=32cm，∵△BCE的周长是53cm，∴BE+EC+BC=53cm，∴BC=53-BE-EC=53-32=21cm，故答案为：21．利用线段的垂直平分线的性质可得AE=EB，然后根据△BCE的周长是53cm，即可求得答案．此题考查了线段垂直平分线的性质．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】14或4【解析】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=132-122=25，∴CD=5，∴BC的长为BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=132-122=25，∴CD=5，∴BC的长为DC-BD=9-5=4．故答案为14或4．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD．本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．15.【答案】45【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=∠ABE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-45°）=67.5°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵EF=BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴BF=EF=CF，∴∠BEF=∠CBE=22.5°，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．故答案为：45．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．16.【答案】22015【解析】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1，a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1，以此类推：a2016=22015．故答案是：22015根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而得出答案．此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．17.【答案】12【解析】解：∵AD平分∠BAC，作N关于AD的对称点N′，则N′在AC上，连接MN′，则MN=MN′，过B作BE⊥AC于E，∵BM+MN=BM+MN′，∴BM+MN≥BE（垂线段最短），设AE=x，则CE=21-x，则，解得：x=5，∴BE==12，即BM+MN的最小值是12．通过作辅助线，先找出BM+MN的最小值是BE，设AE=x，根据勾股定理列方程组可求出x的值，从而得BE的长，即是BM+MN的最小值．本题考查了最短路径问题，根据角平分线的性质定理及垂线段最短，得三角形的高线BE即是最短路径．18.【答案】【解析】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案为：．根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．19.【答案】解：（1）由题意得x-1=3，解得：x=4；（2）由题意得：2x+1=±2，解得：x=或x=-．（3）由题意得：x-1=±100，解得：x=101，x=-99．【解析】（1）依据平方根的定义可得到x-1=3，故此可求得x的值；（2）依据平方根和算术平方根的定义可得到2x+1=±2，故此可求得x的值；（3）先依据平方根的定义得到|x-1|=100，从而可求得x的值．本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．20.【答案】解：∵5a-1的平方根是±3，∴5a-1=9∴a=2，∵b+c+2=c2+5，∴c=-2，b=9，∴a+b+c=2-2+9=9，∴9的算术平方根是3．【解析】根据平方根、算术平方根，即可解答．本题考查了实数，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根．21.【答案】10；8；16【解析】解：（1）如图所示：AB==2，以B为顶点，BC=BA，这样的C点有2个；以A为顶点，AC=AB，这样的C点有2个；以C为顶点，CA=CB，这样的点有6个，所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有10个．（2）如图所示：若要再找一个格点D，使△ABD的面积为3，则这样的格点D在图中共有8个．（3）如图所示：若要再找一个个点E，使△ABE的三边均为无理数，则这样的格点E在图中共有16个，故答案为：10；8；16．（1）根据勾股定理计算出AB=2，然后分类讨论确定C点位置；（2）找到△ABD的面积为3的格点即为所求；（3）本题需根据勾股定理和图形即可找出所有满足条件的点．．本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．22.【答案】证明：∵在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．23.【答案】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB=90°，∴，∠ADE=∠ADC=∠E=90°=∠ACB，∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE；（2）解：连接AE，如图所示：∵∠ACB=90°，CA=CB，∴CA=CB=AB=5，∴AD=CE===4，∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE=3，∴DE=CE-CD=1，∴AE===，∴四边形AEBC的周长=AE+BE+BC+AC=+3+5+5=13+；四边形AEBC的面积=△ACE的面积+△BCE的面积=×4×4+×4×3=14．【解析】（1）证出∠CBE=∠ACD，由AAS证明△ACD≌△CBE，得出对应边相等即可；（2）连接AE，由勾股定理和等腰直角三角形的性质得出CA=CB=AB=5，由勾股定理求出AD=CE=4，由全等三角形的性质得出CD=BE=3，求出DE=CE-CD=1，再由勾股定理求出AE即可得出四边形AEBC的周长，四边形AEBC的面积=△ACE的面积+△BCE的面积，代入计算即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．24.【答案】解：（1）图2中△ABE≌△ACD，证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD∵在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD；（2）DC=BE，CD⊥BE，理由：∵△ABE≌△ACD，∴CD=BE，∠ACD=∠B=45°，∵∠ACB=45°，∴∠DCB=90°，∴CD⊥BE；（3）过A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH=BC，∴S△BCD=BC•CD=AH•BE，S△ABE=BE•AH，∴S△BCD=2S△ABE，∵△ABE≌△ACD，∴S△ABD+S△ABC=S△ABE=S△ABC+S△ACE，即S△ABD=S△ACE．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，求出∠BAE=∠CAD，根据SAS证△ABE≌△ACD即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）过A作AH⊥BC于H，根据三角形面积的和差即可得到结论．本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，主要考查学生的计算能力和推理能力．25.【答案】解：（1）结论：AB=3BF．理由：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD平分∠BAC，∴DC=BD，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF（ASA），∴DE=DF，CE=BF，∵AE=2BF，∴AC=3BF，∴AB=3BF．（2）∵AC=AB，CD=BD，DE⊥AC，∴AD⊥BC，∴∠CDA=∠CED=90°，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CDA，∴CD2=CE•CA，∵CE=BF=1，AC=3BF=3，∴CD2=3，∴CD=，∴BC=2CD=2．【解析】（1）首先证明AC=AB，再证明△CDE≌△DBF，推出DE=DF，CE=BF，由题意AE=2BF，AC=AB=3BF．（2）只要证明△CED∽△CDA，得CD2=CE•CA，由此即可解决问题．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．26.【答案】（7+）cm，；1.5s或2.7s【解析】解：（1）如图1所示：由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC===4（cm），动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2cm，∴AP=2cm，∵∠C=90°，∴PB==（cm），∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7+（cm），故答案为：（7+）cm，（2）分两种情况：①如图2所示：当点P在边AC上时，CP=BC=3cm，3÷2=1.5（s），此时用的时间为1.5s，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；②如图3所示：当点P在边AB上时，CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高CD，则CD==2.4（cm），在Rt△PCD中，PD===1.8（cm），∴BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9-3.6=5.4（cm），则用的时间为5.4÷2=2.7（s），△BCP为等腰三角形；综上所述：当t=1.5s或2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；故答案为：1.5s或2.7s；（3）分两种情况：①如图6所示：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴2t+t=4-2t+3-t+5，解得：t=2；②如图7所示：当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9∴AQ=5-（t-3）=8-t，CQ=3-（2t-9）=12-2t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴4+8-t+12-2t=t-3+2t-9，解得：t=6，综上所述：当t为2s或6s时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．（1）根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）由勾股定理得AC=4cm，有两种情况，①当点P在边AC上时；②当点P 在边AB上时；求出点P运动的路程，即可得出结果；．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，根据题意得出方程，解方程即可；当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9；根据题意得出方程，解方程即可．此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；此题涉及到了动点，有一定难度，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．27.【答案】解：（1）①连接CD，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，∴CD=AD=BD，又∵AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF．②连接DG，∵∠ACB=90°，G为EF的中点，∴CG=EG=FG，∵∠EDF=90°，G为EF的中点，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH．（2）如图，当E在线段AC上时，∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：，∴AC=AE+EC=3+4=7；如图，当E在线段CA延长线时，AC=EC-AE=4-3=1，综合上述AC=7或1．【解析】（1）①连接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，证△ADE≌△CDF 即可；②连接DG，根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；（2）求出EF=5，根据勾股定理求出EC，即可得出答案．本题考查了等腰三角形性质和判定，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．。
无锡市初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)
无锡市初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)无锡市2021初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分．〕1．以下标志中，可以看作是轴对称图形的是( )A． B． C． D．2．在以下各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是( ) A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF 3．以下四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，假定AB=6cm，那么△DEB的周长是( )A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm5．如图，假设把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格抵达A′点，衔接A′B，那么线段A′B与线段AC的关系是( )A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直6．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，衔接PM，PN，那么以下结论：①PM=PN；②△PMN为等边三角形；下面判别正确是( )A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确7．一等腰三角形底边长为8cm，腰长为5cm，那么腰上的高为( )A．3cm B． cm C． cm D． cm8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC 交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延伸线于F，衔接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD= AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题〔本大题共11小题，每空2分，共22分．〕9．如图，在△ABC与△ADC中，AD=AB，在不添加任何辅佐线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是__________．10．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，那么∠A的度数是__________．11．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．假定AD=6，DE=5，那么CD的长等于__________．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=3cm，BC=4cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD=__________．13．等腰三角形的两边长区分为2cm和4cm，那么这个三角形的周长为__________cm．14．一个等腰三角形的一个角为80°，那么它的顶角的度数是__________．15．直角三角形斜边上的高与中线区分是5cm和6cm，那么它的面积是__________cm2．16．△ABC中，点O是△ABC内一点且到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，那么∠BOC=__________．17．如图，点P是∠AOB内恣意一点，OP=5cm，点M和点N 区分是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，那么∠AOB的度数是__________．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，那么该等腰三角形的底角的度数为__________．19．如图，在△ABC中AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，那么边BC的长为__________．三、简答题：〔本大题共7小题，共54分〕20．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．〔1〕在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；〔2〕在直线l上找一点P〔在答题纸上图中标出〕，使PB+PC 的长最短，这个最短长度的平方值是__________．21．如图，△ABC，AC＜AB．〔1〕用直尺和圆规作出一条过点A的直线l，使得点C关于直线l的对称点落在边AB上〔不写作法，保管作图痕迹〕；〔2〕设直线l与边BC的交点为D，且∠C=2∠B，请你经过观察或测量，猜想线段AB、AC、CD之间的数量关系，并说明理由．22．如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD．求证：〔1〕△ABF≌△DCE．〔2〕AF∥DE．23．如图，某住宅小区在施工进程中留下了一块空地，AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需破费多少元？24．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．〔1〕折叠后，DC的对应线段是__________，CF的对应线段是__________；〔2〕假定AB=8，DE=10，求CF的长度．25．勾股定理奥秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的〝面积法〞给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用〝面积法〞来证明，下面是小聪应用图1证明勾股定理的进程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，那么DF=EC=b﹣a ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a〔b﹣a〕∴ b2+ ab= c2+ a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2请参照上述证法，应用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．26．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，假定动点P从点C末尾，按C→A→B→C的途径运动，且速度为每秒1cm，设动身的时间为t秒．〔1〕动身2秒后，求△ABP的周长．〔2〕问t为何值时，△BCP为等腰三角形？〔3〕另有一点Q，从点C末尾，按C→B→A→C的途径运动，且速度为每秒2cm，假定P、Q两点同时动身，当P、Q中有一点抵达终点时，另一点也中止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分红相等的两局部？无锡市2021初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)参考答案及试题解析一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分．〕1．以下标志中，可以看作是轴对称图形的是( )A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【剖析】依据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不契合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不契合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不契合题意；D、是轴对称图形，契合题意．应选：D．【点评】此题主要考察了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要留意：判别轴对称图形的关键是寻觅对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判别中心对称图形是要寻觅对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．在以下各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是( ) A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF 【考点】全等三角形的判定．【剖析】依据标题所给的条件结合判定三角形全等的判定定理区分停止剖析即可．【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以应用AAS 定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项契合题意；C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以应用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以应用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；应选：B．【点评】此题考察三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．留意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必需有边的参与，假定有两边一角对应相等时，角必需是两边的夹角．3．以下四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3【考点】勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【剖析】由勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；D、12+〔〕2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．应选：B．【点评】此题考察勾股定理的逆定理：假设三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．如图，在△A BC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，假定AB=6cm，那么△DEB的周长是( )A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【剖析】依据角平分线的性质失掉DC=DE，AC=AE，依据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，AC=AE，∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm．应选：B．【点评】此题考察的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5．如图，假设把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格抵达A′点，衔接A′B，那么线段A′B与线段AC的关系是( )A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直【考点】平移的性质；勾股定理．【专题】网格型．【剖析】先依据题意画出图形，再应用勾股定理结合网格结构即可判别线段A′B与线段AC的关系．【解答】解：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格抵达A′点，衔接A′B，与线段AC交于点O．∵A′O=OB= ，AO=OC=2 ，∴线段A′B与线段AC相互平分，又∵∠AOA′=45°+45°=90°，∴A′B⊥AC，∴线段A′B与线段AC相互垂直平分．应选：D．【点评】此题考察了平移的性质，勾股定理，正确应用网格求边长长度及角度是解题的关键．6．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，衔接PM，PN，那么以下结论：①PM=PN；②△PMN为等边三角形；下面判别正确是( )A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定．【剖析】依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判别①正确；依据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再依据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而失掉∠MPN=60°，又由①得PM=PN，依据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判别②正确．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM= BC，PN= BC，∴PM=PN，正确；②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2〔∠BCN+∠CBM〕=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；所以①②都正确．应选：C．【点评】此题主要考察了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．7．一等腰三角形底边长为8cm，腰长为5cm，那么腰上的高为( )A．3cm B． cm C． cm D． cm【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【剖析】作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，由等腰三角形的性质得出BD，由勾股定理求出AD，由三角形面积的计算方法即可求出腰上的高．【解答】解：如下图：作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，那么∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD= BC=4cm，∴AD= = =3〔cm〕，∵△ABC的面积= AB?CE= BC?AD，∴AB?CE=BC?AD，即5×CE=8×3，解得：CE= ，即腰上的高为；应选：C．【点评】此题考察了勾股定理、等腰三角形的性质三角形面积的计算；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理求出AD是处置效果的关键．8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC 交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延伸线于F，衔接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD= AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．【剖析】过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，依据角平分线性质求出CE=EQ，DF=DH，依据勾股定理求出AC=AQ，AF=AH，依据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出③；依据三角形外角性质求出∠CND=45°，证△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；证△DCF≌△DBH，失掉CF=BH，AF=AH，即可求出④．【解答】解：如图，过E作EQ⊥AB于Q，∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，∴CE=EQ，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ⊥AB，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ，∴∠QEB=45°=∠CBA，∴EQ=BQ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴③正确；作∠ACN=∠BCD，交AD于N，∵∠CAD= ∠CAB=22.5°=∠BAD，∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD，∴∠DBC=∠CAD，在△ACN和△BCD中，∴△ACN≌△BCD，∴CN=CD，AN=BD，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN，∴AN=CN，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE，∴CD=AN=EN= AE，∵AN=BD，∴BD= AE，∴①正确，②正确；过D作DH⊥AB于H，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA，∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，∴DF=DH，在△DCF和△DBH中∴△DCF≌△DBH，∴BH=CF，由勾股定理得：AF=AH，∴ = = = =2，∴AC+AB=2AF，AC+AB=2AC+2CF，AB﹣AC=2CF，∵AC=CB，∴AB﹣CB=2CF，∴④正确．应选D【点评】此题主要考察了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的了解和掌握，能综合运用这些性质停止推理是解此题的关键．二、填空题〔本大题共11小题，每空2分，共22分．〕9．如图，在△ABC与△ADC中，AD=AB，在不添加任何辅佐线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是DC=BC或∠DAC=∠BAC．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【剖析】添加DC=BC，应用SSS即可失掉两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，应用SAS即可失掉两三角形全等．【解答】解：添加条件为DC=BC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC〔SSS〕；假定添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC〔SAS〕．故答案为：DC=BC或∠DA C=∠BAC【点评】此题考察了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．10．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，那么∠A的度数是50°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【剖析】依据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，依据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再依据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后依据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．【点评】此题考察了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟忘性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．11．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．假定AD=6，DE=5，那么CD的长等于8．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【剖析】由〝直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〞求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，应用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE= AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，那么依据勾股定理，得CD= = =8．故答案是：8．【点评】此题考察了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=3cm，BC=4cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD= cm．【考点】翻折变换〔折叠效果〕．【剖析】先应用勾股定理求得AB=5，然后由翻折的性质失掉AE=AC=3，CD=DE，那么EB=2，设CD=EC=x，那么BD=4﹣x，然后在Rt△DEB中应用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：在Rt△ACB中，AB= =5，由翻折的性质可知：AE=AC=3，CD=DE，那么BE=2．设CD=DE=x，那么BD=4﹣x．Rt△DEB中，由勾股定理得：DB2=DE2+EB2，即〔4﹣x〕2=x2+22，解得：x= ．∴CD= ．故答案为：．【点评】此题主要考察的是翻折的性质、勾股定理的运用，应用翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．13．等腰三角形的两边长区分为2cm和4cm，那么这个三角形的周长为10cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【剖析】题中没有指明哪边是底哪边是腰，那么应该分两种状况停止剖析．【解答】解：〔1〕当三边是2cm，2cm，4cm时，2+2=4cm，不契合三角形的三边关系，应舍去；〔2〕当三边是2cm，4cm，4cm时，契合三角形的三边关系，此时周长是10cm；所以这个三角形的周长是10cm．故填10．【点评】此题考察了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；没有明白腰和底边的标题一定要想到两种状况，分类停止讨论，还应验证各种状况能否能构成三角形停止解答，这点十分重要，也是解题的关键．14．一个等腰三角形的一个角为80°，那么它的顶角的度数是80°或20°．【考点】等腰三角形的性质．【剖析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种状况．【解答】解：〔1〕当80°角为顶角，顶角度数即为80°；〔2〕当80°为底角时，顶角=180°﹣2×80°=20°．故答案为：80°或20°．【点评】此题考察了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，假定标题中没有明白顶角或底角的度数，做题时要留意分状况停止讨论，这是十分重要的，也是解答效果的关键．15．直角三角形斜边上的高与中线区分是5cm和6cm，那么它的面积是30cm2．【考点】直角三角形斜边上的中线．【剖析】由于直角三角形斜边上的中线是6cm，因此斜边是12cm，而高线，因此可以依据面积公式求出三角形的面积．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线是6cm，∴斜边是12cm，∴S△= ×5×12=30cm2∴它的面积是30cm2．故填：30cm2．【点评】此题主要考察了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．16．△ABC中，点O是△ABC内一点且到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，那么∠BOC=110°．【考点】角平分线的性质．【剖析】依据O到三角形三边距离相等，失掉O是内心，再应用三角形内角和定理和角平分线的概念即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，∴AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，∠BCO=∠ACO= ∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°﹣70°=110°．故答案为：110°．【点评】此题考察的是角平分线的定义和三角形的内心的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．如图，点P是∠AOB内恣意一点，OP=5cm，点M和点N 区分是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，那么∠AOB的度数是30°．【考点】轴对称-最短路途效果．【剖析】区分作点P关于OA、OB的对称点C、D，衔接CD，区分交OA、OB于点M、N，衔接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解答】解：区分作点P关于OA、OB的对称点C、D，衔接CD，区分交OA、OB于点M、N，衔接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．故答案为：30°．【点评】此题考察了轴对称的性质、最短路途效果、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是处置效果的关键．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，那么该等腰三角形的底角的度数为63°或27°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【剖析】分锐角三角形和钝角三角形两种状况，应用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．【解答】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．①假定是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=〔180°﹣54°〕÷2=63°；②假定三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=〔180°﹣126°〕÷2=27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．【点评】此题主要考察先生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的了解和运用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．19．如图，在△ABC中AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，那么边BC的长为21．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【剖析】在直角三角形ACD中，应用勾股定理求出CD的长，在直角三角形ABD中，应用勾股定理求出BD的长，由CD+BD 求出BC的长即可．【解答】解：在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，依据勾股定理得：CD= =6，在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，依据勾股定理得：BD= =15，那么BC=6+15=21，故答案为：21【点评】此题考察了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．三、简答题：〔本大题共7小题，共54分〕20．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．〔1〕在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；〔2〕在直线l上找一点P〔在答题纸上图中标出〕，使PB+PC 的长最短，这个最短长度的平方值是13．【考点】作图-轴对称变换．【剖析】〔1〕区分找到各点的对称点，依次衔接可得△A′B′C′．〔2〕衔接B'C，那么B'C与l的交点即是点P的位置，求出PB+PC的值即可．【解答】解：〔1〕如下图：〔2〕如下图：PB+PC=PB'+PC=B'C= = ．那么这个最短长度的平方值是13．【点评】此题考察了轴对称作图及最短路途效果，解答此题的关键是掌握轴对称的性质，难度普通．21．如图，△ABC，AC＜AB．〔1〕用直尺和圆规作出一条过点A的直线l，使得点C关于直线l的对称点落在边AB上〔不写作法，保管作图痕迹〕；〔2〕设直线l与边BC的交点为D，且∠C=2∠B，请你经过观察或测量，猜想线段AB、AC、CD之间的数量关系，并说明理由．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】作图题．【剖析】〔1〕先作∠BAC的平分线l，再过点C作CF⊥l交AB于F，那么可失掉点C和F点关于l对称，所以l为所作；〔2〕连结DF，如图，应用等腰三角形的判定方法失掉AF=AC，那么AD垂直平分CF，所以DF=DC，那么∠DCF=∠DFC，再应用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF，接着证明∠B=2∠BCF，于是失掉∠B=∠BDF，那么FB=FD=CD，那么易得AB=AF+FB=AC+CD．【解答】解：〔1〕如图，直线l为所作；〔2〕AB=AC+CD．理由如下：连结DF，如图，∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，∴AF=AC，∴AD垂直平分CF，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，∵∠AFC=∠ACF，∵∠AFC=∠B+∠BCF，∴∠ACF=∠B+∠BCF，∵∠ACB=2∠B，∴2∠B﹣∠BCF=∠B+∠BCF，∴∠B=2∠BCF，∴∠B=∠BDF，∴FB=FD，∴FB=CD，∴AB=AF+FB=AC+CD．【点评】此题考察了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上停止作图，普通是结合了几何图形的性质和基本作图方法．处置此类标题的关键是熟习基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐渐操作．也考察了角平分线的性质．22．如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD．求证：〔1〕△ABF≌△DCE．〔2〕AF∥DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【剖析】〔1〕由等式的性质就可以得出BF=CE，由平行线的性质就可以得出∠B=∠C，依据SAS就可以得出结论；〔2〕由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB=∠DEC就可以得出结论．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE．∵AB∥CD，∴∠B=∠C ．在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE〔SAS〕；〔2〕∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴AF∥DE．【点评】此题考察了等式的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．23．如图，某住宅小区在施工进程中留下了一块空地，AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需破费多少元？【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【剖析】衔接AC，依据勾股定理求出AC，依据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．【解答】解：连结AC，如下图：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC= =10〔米〕，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴该区域面积S=S△ACB﹣S△ADC= ×10×24﹣×6×8=96〔平方米〕，∴铺满这块空地共需破费=96×100=9600元．【点评】此题考察了勾股定理，三角形面积，勾股定理的逆定理的运用；解此题的关键是求出区域的面积．24．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．〔1〕折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是FC′；〔2〕假定AB=8，DE=10，求CF的长度．【考点】翻折变换〔折叠效果〕．【剖析】〔1〕依据翻折后的对应点确定出对应线段即可；〔2〕在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE=6，从而失掉AD=16，然后证明BE=BF=10，从而可求得FC=16﹣10=6．【解答】解：〔1〕∵点D与点B重合，点C落在点C′的位置上，∴DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是FC′．故答案为：BC′；FC′．〔2〕由翻折的性质可知：DE=BE=10，∠2=∠BEF．∵AD∥BC，∴∠2=∠1．∴∠1=∠BEF．∴BE=BF=10．在Rt△A BE中，由勾股定理得：AE= = =6，∴AD=AE+ED=6+10=16．∴CF=CB﹣BF=16﹣10=6．【点评】此题主要考察的是翻折的性质、勾股定理的运用，证得BE=BF=10是解题的关键．25．勾股定理奥秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的〝面积法〞给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用〝面积法〞来证明，下面是小聪应用图1证明勾股定理的进程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，那么DF=EC=b﹣a ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a〔b﹣a〕∴ b2+ ab= c2+ a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2请参照上述证法，应用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．【考点】勾股定理的证明．【剖析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，那么BF=b ﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，那么BF=b ﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE= ab+ b2+ ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a〔b ﹣a〕，∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a〔b﹣a〕，∴a2+b2=c2．【点评】此题考察了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解此题的关键．26．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，假定动点P从点C末尾，按C→A→B →C的途径运动，且速度为每秒1cm，设动身的时间为t秒．〔1〕动身2秒后，求△ABP的周长．〔2〕问t为何值时，△BCP为等腰三角形？〔3〕另有一点Q，从点C末尾，按C→B→A→C的途径运动，且速度为每秒2cm，假定P、Q两点同时动身，当P、Q中有一点抵达终点时，另一点也中止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分红相等的两局部？【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题；动点型．【剖析】〔1〕依据速度为每秒1cm，求出动身2秒后CP的长，然后就知AP的长，应用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．〔2〕由于AB与CB，由勾股定理得AC=4 由于AB为5cm，所以必需使AC=CB，或CB=AB，所以必需使AC或AB等于3，有两种状况，△BCP为等腰三角形．〔3〕分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，那么PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=6；当P点在AB上，Q在AC上，那么AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．【解答】解：〔1〕如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C末尾，按C→A→B→C的途径运动，且速度为每秒1cm，∴动身2秒后，那么CP=2，∵∠C=90°，∴PB= = ，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+ =7 ．〔2〕①如图2，假定P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②假定P在AB边上时，有三种状况：i〕如图3，假定使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii〕如图4，假定CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，依据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD = = =1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，那么用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ〕如图5，假定BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P 运动的路程为4+2.5=6.5cm那么所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形〔3〕如图6，当P点在AC上，Q在AB上，那么PC=t，BQ=2t ﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分红相等的两局部，∴t+2t﹣3=3，∴t=2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，那么AP=t﹣4，AQ=2t ﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分红相等的两局部，∴t﹣4+2t﹣8=6，∴t=6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分红相等的两局部．【点评】此题考察先生对等腰三角形的判定与性质的了解和。
2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校八年级上学期期中数学试题
2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校八年级上学期期中数学试题1.下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2.如图点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，下列所添条件不恰当的是（）A．AF=EC B．AE=CF C．∠A=∠C D．∠D=∠B 3.如图平分，于C，D在上，，则的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定4.等腰三角形的周长为25，其中一边长7，则其腰长为（）A．7或9B．7C．9D．以上都不对5.若是△所在平面内的点，且，则下列说法正确的是（）A．点是△三边垂直平分线的交点B．点是△三条角平分线的交点C．点是△三边上高的交点D．点是△三边中线的交点6.如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠B．C．DE＝GE D．CD＝BEAEB7.下列说法：①若三角形一边上的中线和这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；②全等三角形的中线相等；③如果直角三角形的两边长分别为3、4，那么斜边长为5；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8.如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在B′处，若，则的度数为（）A．B．C．D．9.如图所示，，点P是内一定点，并且，点M、N分别是射线上异于点O的动点，当的周长取最小值时，点O到线段的距离为（）A．1B．2C．3D．410.（2017•鄂州）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（）A．B．C．D．11.16的算术平方根是___________．12.比较大小：_____（填写“＞”或“＜”）．13.直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的斜边上的高是______．14.如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为____．15.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．16.如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E、F分别是AC、BD的中点，AC＝6，则EF＝_______．17.如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为__________．18.如图，在中，，D是的中点，点E是边上一动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，则_____．19.计算：(1)；(2)．20.求下列各式中x的值：（1）x2-4=0；（2）（x＋7）3＝－2721.已知某正数的两个平方根分别是和，y的立方根是，求这个正数及的平方根．22.如图，，，，点在边上，与交于点．(1)求证：；(2)若，求的度数．23.如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．(1)若，，求的周长；(2)若，，求的度数．24.（1）如图1，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿直线折叠，点C落在边上（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，已知，请用圆规和直尺在上找一点D，使沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边上的E处，且．（不写作法，保留作图痕迹）25.如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示的长；(2)若点P到直线的距离等于，求t的值；(3)直接写出在整个运动中，为等腰三角形时t的值．26.在等边△ABC中，点D在边AC上，连接BD，点E在边AB上，连接DE，已知，．(1)如图1，当点D为AC中点时，求DE2的值；(2)如图2，以DE为边，向下作等边△DEF，连接BF，当时，求AD的长；(3)如图3，在（1）的条件下，G为线段BD上一点，连接EG，将线段EG绕点E逆时针旋转60°得到线段EH，连接HG．当的值最小时，请直接写出△DGC的面积．。
2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级(上)期中数学试卷[含答案]
2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A．贵州航空B．江西航空C．春秋航空D．香港航空2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A﹣∠B＝∠C5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（ ）A．1B．2C．3D．46．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）A．1B．C．2D．7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5B．△ABC不可能是等边三角形C．△ABC为直角三角形时，x＝4D．3＜x＜68．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．2B．3C．3.5D．410．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 ．12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 ．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为 ．15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ．16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是 ．（填写序号）17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝ ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为 ；（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD 的长．23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝ 时，AP平分△ABC的面积．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．24．（12分）【了解概念】如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．【探究归纳】（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝ ．2023-2024学年江苏省无锡市新吴区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A．贵州航空B．江西航空C．春秋航空D．香港航空【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解答】解：∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝50°．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．3．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）A．AC＝DB B．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCB D．∠ACB＝∠DBC【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；B．∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，BC＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选不项符合题意；D．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．4．（3分）已知△ABC的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a2﹣c2＝b2C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A﹣∠B＝∠C【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一判断即可．【解答】解：A、∵202＝62+82，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵a2﹣c2＝b2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、设∠A＝x°，则∠B＝（）°，∠C＝（）°，则x++＝180，∴x＝，即∠A＝（）°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；D、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．5．（3分）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等；其中真命题的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】利用线段的垂直平分线的判定方法、角的对称性、等腰三角形的定义、全等三角形等知识点逐项判断即可．灵活运用相关定义是解题的关键．【解答】解：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；④两边分别相等且其夹角也相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．综上，真命题有2个．故选：B．【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形，灵活运用相关定义是解题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）A．1B．C．2D．【分析】点D到AB的距离，指的是过点D作AB的垂线段DE的长度，根据角平分线的性质，可以得到DE＝CD，利用AC＝4，DC＝AD，可以求出线段CD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝，AC＝4，∴，∴，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，点D到AB的距离指的是过点D作AB的垂线段的长度，是解决此题的突破口．7．（3分）在△ABC中，AC＝3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）A．△ABC为等腰三角形时，x＝4.5B．△ABC不可能是等边三角形C．△ABC为直角三角形时，x＝4D．3＜x＜6【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．【解答】解：A、当AB＝BC＝4.5，即x＝4.5时，△ABC是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；B、周长为12的等边三角形，边长为4，而AC＝3，故△ABC不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；C、△ABC是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知AC＝3，AB＝x＝4时，BC＝5或AC＝3，AB＝x＝5，BC＝4都可以，原说法错误，故选项符合题意；D、根据三角形的三边关系可知3＜x＜6，说法正确，故选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°，HN＝MN＝x即可解决问题；【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MBN＝30°，∴∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝m，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．2B．3C．3.5D．4【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．【解答】解：如图，连接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：5﹣2＝3．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．10．（3分）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（ ）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴折叠成直三棱柱后CM＝＝，折叠成直三棱柱后CP＝＝，折叠成直三棱柱后CN＝＝，∵＞＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 15 ．【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，所以其另一边只能是6，故其周长为6+6+3＝15．故答案为15．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．12．（3分）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 16 ．【分析】根据线段垂直平分线得到AC＝CE＝5，直接根据周长公式计算即可．【解答】解：∵MN垂直平分AE，∴AC＝CE＝5，∴AB＝AC＝5，又∵BC＝6，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+5+6＝16，故答案为：16．【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15 度．【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．14．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为 2 ．【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求BD＝2．【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，则∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，在△BCD和△ECD中，，∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴．∵AC＝10，BC＝6，∴，故答案是：2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．15．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 1.4m ．【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD、OE＝BD，求出DE的长即可解答．【解答】解：由题意可知：∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），∵AD＝1m，∴AE＝AD+DE＝1+0.4＝1.4（m）．故答案为：1.4m．【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明△COE≌△OBD（AAS）是解题的关键．16．（3分）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50cm×40cm×20cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，请问这位旅客可以购买的尺寸是 ①②③ ．（填写序号）【分析】先根据勾股定理求得长方体的体对角线的长度，然后与画卷的长度进行比较即可解答．【解答】解：如图，连接AC，CE．由题意知：AD＝20cm，CD＝50cm，AE＝40cm．在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝AD2+CD2＝202+502．在直角△ACE中，CE2＝AE2+AC2．∴CE2＝402+202+502＝4500．因为382＝1444＜4500，402＝1600＜4500，602＝3600＜4500，682＝4624＞4500，所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查勾股定理，求得长方体的体对角线的长度是解题的关键．17．（3分）如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3＝S4＝6，则S1+S5＝ 6 ．（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积）【分析】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．证明△ABC≌△MBQ（SAS），推出∠ACB＝∠BQM＝90°，由∠PQB＝90°，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP 是矩形，推出MG＝PC＝BC，证明△MGW≌△BCT（AAS），推出MW＝BT，由MN＝BM，NW＝MT，可证△NWE≌MTP，推出S1+S5＝S3＝6，【解答】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W．∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，∴∠ABC＝∠MBQ，∵BA＝BM，BC＝BQ，∴△ABC≌△MBQ（SAS），∴∠ACB＝∠BQM＝90°，∵∠PQB＝90°，∴M，P，Q共线，∵四边形CGMP是矩形，∴MG＝PC＝BC，∵∠BCT＝∠MGB＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，∴∠MQG＝∠BTC，∴△MGW≌△BCT（AAS），∴MW＝BT，∵MN＝BM，∴NW＝MT，可证△NWE≌MTP，∴S1+S5＝S3＝6，解法二：∵AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2+S左空+S右空+S5＝S3+S4+S左空+S右空，∴S1+S5＝S4＝6故答案为6．【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 22.5°或67.5°或45° ．【分析】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答．【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，分三种情况：当A′D＝A′E时，如图：∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°；当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图：∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°，∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°；当DA′＝DE时，∴∠A′＝∠DEA′＝30°，∵∠DEA′是△ACE的一个外角，∴∠DEA′＞30°，∴此种情况不成立；当ED＝EA′时，如图：∴∠EDA′＝∠A′＝30°，∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°，∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°；综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°，故答案为：22.5°或67.5°或45°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠AEB＝∠DFC．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠BFD的度数．【分析】（1）利用平行线的性质得∠B＝∠C，再利用AAS证明△ABE≌△DCF；（2）利用全等三角形的性质得∠D＝∠A＝45°，再利用三角形外角的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴∠D＝∠A＝55°，∴∠BFD＝∠C+∠D＝30°+55°＝85°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．20．（8分）如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中根据要求完成画图．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的图形△DEF；△ABC的面积为 4 ；（2）在图2中，画出∠ABC的角平分线．【分析】（1）根据轴对称的性质确定A，B，C的对应点D，E，F，然后再顺次连接即可，再运用割补法求△ABC的面积即可；（2）先构造等腰直角三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质作图即可．【解答】解：（1）如图1：△DEF即为所求．△ABC的面积为．（2）如图2：线段BD即为所求．．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．21．（8分）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：连接AC∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，BC＝12m，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，则AC＝5m，∴AC2+CD2＝25+144＝169＝132又∵AD2＝132，∴AC2+CD2＝CD2∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝6+30＝36（m2），∴学校要投入资金为：200×36＝7200（元）；答：学校需要投入7200元买草皮．【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD 的长．【分析】（1）由角的和差可得∠DAC＝∠BAE，进而证得△ACD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可证明结论；（2）如图2：连接BE，由垂直平分线的性质可得AD＝DE，进而得到△ADE是等边三角形，即；再运用全等三角形的性质可得BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，最后运用勾股定理即可解答．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）解：如图2：连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从B出发沿射线BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝ 1 时，AP平分△ABC的面积．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（3）若点E、F分别为BC、AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值．【分析】（1）先由勾股定理可得BC的长，当AP是中线时，AP平分△ABC的面积，即2t＝2，可得结论；（2）当△ABP为等腰三角形时，存在三种情况：AP＝BP或AB＝AP或AB＝BP，根据BP＝2t和等量关系列方程可解答；（3）如图4中，如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，根据对称可知：AE+EF的最小值就是AF'的长，根据面积法可得结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4，当BP＝CP时，AP平分△ABC的面积，即BP＝2t＝2，∴t＝1，则当t＝1时，AP平分△ABC的面积；故答案为：1；（2）分三种情况：①如图1，AP＝PB，由题意得：AP＝BP＝2t，∴CP＝4﹣2t，由勾股定理得：AP2＝AC2+PC2，∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，∴t＝；②如图2，AB＝BP＝5，∴2t＝5，∴t＝；③如图3，AB＝AP，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BP，∴BP＝2BC＝8，∴2t＝8，∴t＝4；综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值是或或4；（3）如图4，延长AC至A'，连接BA'，过点A作AF'⊥A'B于F'，在AB上取BF＝BF'，则AB与A'B关于BC对称，∴EF＝EF'，∴AE+EF＝AE+EF'＝AF'，即此时AE+EF的值最小，且最小值是AF'的长，∵AC＝A'C＝3，AB＝A'B＝5，∴△ABA'的面积＝×6×4＝×5AF'，∴AF'＝，∴AE+EF的最小值是．【点评】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．24．（12分）【了解概念】如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，连接BD并延长与CE交于点F，那么将∠BFC叫做△ABC和△ADE的底联角．【探究归纳】（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：（2）如图2，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∠DCE＝62°，求∠BDC的度数；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，CD＝5，点O为四边形ABCD内一点．且OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，求AD的长．【分析】（1）由题中的条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是，先证明△BAD≌△CAE，推得∠ADB＝∠AEC，再由∠DAE+∠DFE＝180°，∠BFC+∠DFE＝180°得∠BFC＝∠DAE＝∠BAC；（2）当点D在△ABC的内部时，延长BD交CE于点F，由（1）中的结论直接推得∠BFC＝∠DAE＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；当点D在△ABC的外部时，设BD交CE于点F，交AC于点G，先证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，则∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，由此推得∠AFC＝90°，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC的度数；（3）连接AC、BD交于点F，则∠BFC＝∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，由勾股定理可推得AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，则AD2+42＝62+52，可求出AD长．【解答】解：（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．理由：如图1，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∴∠ADF+∠AEC＝∠ADF+∠ADB＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∵∠BFC+∠DFE＝180°，∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC．（2）当点D在△ABC的内部时，如图2甲，延长BD交CE于点F，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，∴∠BFC＝∠DAE＝90°，∵∠DCE＝62°，∴∠BDC＝∠BFC+∠DCE＝90°+62°＝152°；当点D在△ABC的外部时，如图2乙，BD交CE于点F，交AC于点G，∵∠BAC＝DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE＝90°+∠CAD，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠CGD＝∠AGB，∴∠ACE+∠CGD＝∠ABD+∠AGB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC﹣∠DCE＝90°﹣62°＝28°，综上所述，∠BDC＝152°或∠BDC＝28°.（3）如图3，连接AC、BD交于点F，∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BFC＝∠COD＝90°，∴∠AFB＝∠AFD＝∠CFD＝90°，∴AD2＝FA2+FD2，BC2＝FB2+FC2，AB2＝FA2+FB2，CD2＝FC2+FD2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2＝FA2+FB2+FC2+FD2，∵AB＝6，BC＝4，CD＝5，∴AD2+42＝62+52，∴AD＝3，∴AD的长为3．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解题的关键是通过作辅助线创造条件，用在一般情况下得出的结论解决特殊情况下的问题．25．（10分）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a，b（a＜b），斜边为c．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 60 、 61 ；（2）当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，若b＝ ，c＝ 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；（3）当a＝n（n为偶数，且n＞4）时，若b＝ ，c＝ ； 时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；（4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当a＝20时，c＝ 25或52或101或29 ．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；（3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；（4）由勾股定理可得：a2+b2＝c2，再根据勾股定理可得（c﹣b）（c+b）＝400；然后根据列举法即可解答．【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61．（2）观察发现：当a＝n（n为奇数，且n≥3）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：；证明如下：∵，∴，又∵n为奇数，且n≥3，∴n，三个数组成的数是勾股数．（3）观察发现：当a＝n（n为偶数，且n≥5）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方。
江苏省无锡市 八年级(上)期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
四
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
总分
A.
B.
C.
D.
2. 在下列各数中，是无理数的是（ ）
A. 4
B. 227
C. 3−9
D. 3.14
3. 下列各组数据中的是三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是
并直接写出正方形 ABCD 的面积为
；
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2在图中以线段 AB 为一腰的等腰三角形 ABE，点 E 在格点上，则满足条件的 点 E 有 个； 3 在图中的直线 a 上找一点 Q，使得△QAB 的周长最小．
23. 对于实数 a，我们规定：用符号[a]表示不大于 a 的最大整数，称[a]为 a 的根整数， 例如：[9]=3，[10]=3．
．
24. 如图，在数学活动课中，小明剪了一张△ABC 的纸片，其中 ∠A=60°，他将△ABC 折叠压平使点 A 落在点 B 处，折痕 DE，D 在 AB 上，E 在 AC 上． 1请作出折痕 DE；（要求：尺规作图，不写作法，保 留作 图痕迹） 2 判断△ABE 的形状并说明； 3 若 AE=5，△BCE 的周长为 12，求△ABC 的周长．
5.【答案】D
【解析】
解 ：∵|m-2|+|n-4|=0， 又∵|m-2|≥0，|n-4|，≥0， ∴m=2，n=4， 当 2 是等腰三角形的底时，4，4，2 能构成三角形，周长为 10， 当 4 是底时，2，2，4 不能构成三角形． 故选：D． 利用非负数的性质求出 m，n 的值，再分两种情形讨论即可； 本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解 题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．