2017届宁夏银川一中高三第二次模拟数学(理)试题
（1）求函数 f x 的单调增区间；最大值，以及取得最大值时 x 的取值集合； （2）已知 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 f A 18.（本小题满分 12 分） 某教育主管部门到银川一中检查学生的 体质健康情况．从全体学生中，随机抽取 12
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第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的． 1．设集合 M x x 2 k 1, k Z ， N x x k 2, k Z ，则
N A． M ≠
B． M N
M C．N ≠
6第
……………..
10 分
E 3
19．
3 9 …………….. 4 4
12 分
Ⅱ
Ⅰ
20.解析：（1）由题意知： e
2 c a 2 b2 3 3 2 c e 2 ， a2 4b2 . ＝ a 4 a a2 2
又圆 x 2 y 2 b 2 与直线 x y 2 0 相切， b 1 ， a2 4 ， 故所求椭圆 C 的方程为 x2
高三（1）班有 40 名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布， 平均分为 120，方差为 100，理论上说在 130 分以上人数约为 A．19 B．12 C．6 D．5
5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A．
1 2
B．
3 5
C．
5 6
D．
6 7
6．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的 7 名老师中随机选择 4 名参加志愿者服务工 作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有 1 人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率 为 A．
3 , b c 2 ，求实数 a 的取值范围。 2
成绩 5 6 7 8 9 2 5 2 1 3第 0
8 2 8
6
7
7
8
名进行体质健康测试，测试成绩（百分制） 以茎叶图形式表示如下： 根据学生体质健 康标准，成绩不低于 76 分为优良． （1）写出这组数据的众数和中位数； （2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选 3 人进行体质健康测试，记 表 示成绩“优良”的学生人数，求 的分布列及数学期望． 19.（本小题满分 12 分） 如图，在梯形 ADEB 中，AB//DE,AD=DE=2AB，△ACD 是正三角形， AB⊥平面 ACD，且 F 是 CD 的中点。 （1）判断直线 AF 与平面 BCE 的位置关系并加以证明； （2）求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。 20.(本小题满分 12 分） 已知椭圆 C :
1 a ln x ( a R ) 。 x
（1）若函数 f ( x ) 在 [1, ) 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）已知 g ( x )
1 2 1 3 2 h( x ) f ( x ) g ( x ) x (m 1) x ， m ， .当 a 1 时， h( x) 有两个极 2 x 2
y2 1 .（4 分） 4
（2）设 E ( x1 ，kx1 ) ，F ( x2 ，kx2 ) ，其中 x1 x2 ， 将 y kx 代入椭圆的方程 x2
D． M N
2．复数 z 满足(1＋i)z＝i＋2，则 z 的虚部为 A．
3 2
B．
1 2
C．
1 2
D．
1 i 2
1 1 的最小值是 a b
3．若直线 2ax by 2 0(a 0, b 0) 被圆 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 截得的弦长为 4，则 A．
k 倍值函数.若 f ( x ) ln x x 是 k 倍值函数，则实数 k 的取值范围是
A． 0,1
1 e
B. 1,1
1 e
C． 1,1 e
D． 1,1 e
2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分． 第 13 题～第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答． 第 22 题～ 第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13． (ax x ) 5 的展开式中 x 3 项的系数为 20，则实数 a = 14．由直线 y x . .
二、填空题 13．4 14.
15 2 ln 2 8
15.
6
16.
3 2 4
三、解答题： 17. 解：（1） f ( x ) 2 cos 2 x sin(2 x
2 k
1 3 ) cos 2 x sin 2 x 1 sin( 2 x ) 1 6 2 2 6
8．2017 年“元旦”期间，银川某游乐园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨 6 时 30 分有 2 人进入游乐 园，接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来，第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来，第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来，第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来……按照这种规律进行下去， 到上午 11 时园内的人数是 A．212－57 B．211－47 C．210－38 D．29－30
2 x 2k ，可得 f(x)递增区间为 [k , k ]( k z ) 2 6 2 3 6 ) 1 ，即 2 x 2k ， 6 6 2
函数 f(x)最大值为 2，当且仅当 sin( 2 x 即 x k
1 2
B．
1 3
C．
1 6
D．
1 4
7．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：
y1 3 2 sin 100 t , y2 3sin 100 t ，则这两个声波合成后（即 y y1 y2 ）的声波的振幅 4
为 A． 6 2 B． 3 3 2 C． 3 2 D． 3 5
x 1 2 cos （ 为参数）． 2 2, ，曲线 C 的参数方程为 4 y 2 sin
（1）直线 l 过 M 且与曲线 C 相切，求直线 l 的极坐标方程； （2）点 N 与点 M 关于 y 轴对称，求曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围 23.（本题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a. （1）当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集；
( k Z ) 取到 6 } 6
∴ x { x | x k (2)由 f ( A) sin( 2 A
3 1 ) 1 ，化简得 sin( 2 A ) 6 2 6 2 5 6 6
A (0, ) 2A A
3
页 4第
（2）设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值范围.
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5第
银川一中 2017 届高三第二次模拟数学(理科)试题参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分． 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 C 6 C 7 D 8 B 9 B 10 A 11 D 12 B
1 2
B．－
1 2
C．－2
D．4
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1第
4．若随机变量 X ~ N ( , 2 ) （ 0 ），则有如下结论： P( X ) 0.6826 ，
P( 2 X 2 ) 0.9544 ， P( 3 X 3 ) 0.9974
点，与双曲线的其中一个交点为 P ，设坐标原点为 O ，若 OP mOA nOB ( m , n R ) ，且 mn 则该双曲线的离心率为 .
2 ， 9
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分 12 分） 已知函数 f x 2 cos 2 x sin( 2 x
9．如图，网格纸的小正形的边长是 1，粗线画出的是一个 几何体的三视图，则这个几何体的体积为 A．
5 2
B．
7 2
C． 2
3 4
D． 3
10．已知向量 a , b 的夹角为 120 ，且 | a |= 1 ， | b |= 2 ，则向量 a b 在向量 a 方向上的投影是
3 3
在△ABC 中，根据余弦定理，得 a2=b2+c2-bc=(b+1)2-3bc 由 b+c=2，知 bc≤1,即 a2≥1 ∴当 b=c=1 时，取等号 又由 b+c>a 得 a<2 所以 a∈[1,2) 18．解：（Ⅰ）这组数据的众数为 87，中位数为 84； …………….. （Ⅱ）抽取的 12 人中成绩是“优良”的频率为
绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理
科
数
学
(银川一中第二次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 22～23 题为选考题，其它 题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡 一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考 证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题 区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
宁夏银川一中高三第二次模拟考试——数学理(数学(理))
宁夏银川一中2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M=，集合N=，则 A ．B ．C ．D ．2．已知向量()(),2,2,4,0==b a 则下列结论中正确的是 A ．B ．C ．D ．3．已知i 是虚数单位，复数，若dx x z )1sin (||0⎰-=ππ，则m 的值为 A ．B ．0C ．1D ．24．已知随机变量服从正态分布N (0，)，若P (>2)=0.023，则P (-2≤≤2)= A ．0.977B ．0.954C ．0.5D ．0.0235．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的 几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．D ．6．如图所示，运行该程序，当输入分别为2，3时，理科数学试卷 第1页(共5页)最后输出的的值是 A ．2B ．3C ．23D ．327．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程，则p 的值为 A ．45B ．50C ．55D ．608．已知x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥143400y x y x x ，设(x+2)2+(y+1)2的最小值为，则函数的最小正周期为 A ．B ．C ．D ．9．已知函数)0,(2132cos 21sin )(≠∈+-+-=a R a a a x x a x f ，若对任意都有，则a 的取值范围是A ．B ．C ．(0,1]D ．[1,3] 10．已知函数⎩⎨⎧≤<-≤≤-=21,110),1(2)(x x x x x f ，如果对任意的，定义个n n f f f f f x f )]}([{)(=，那么的值为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．011．已知F 、A 分别为双曲线的右焦点和右顶点，过F 作x 轴的垂线在第一象限与双曲线交于点P ，AP 的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点Q ，若,则双曲线的离心率为 A ．B ．C ．D ．12．定义在(-1,1)上的函数2016321)(201632x x x x x f --+-+= ，设,且的零点均在区间(a ,b )内，其中a ,b ∈z ，a <b ，则圆x 2+y 2=b -a 的面积的最小值为 A ．B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(x +2y )n 的展开式中第二项的系数为8，则(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n 展开式中所有项的系数和为__________.14．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为，其侧面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积为_____________.15．设函数，若时，0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围为________. 16．已知数列{a n }的首项a 1=2，前n 项和为S n ，且a n +1=2S n +2n +2(n ∈N *)，则S n =______. 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分） 已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2sin 2A +3cos (B +C )=0.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S =，求s inB +sinC 的值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ADF -BCE 中，AB =BC =BE =2，CE = (1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若EB =4EK ，求直线AK 与平面BDF 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球终止.若每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X 表示摸球终止时所需要的摸球次数. (1)求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )； (2)求甲摸到白色球的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆 (＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程：(2)设直线与椭圆相交于不同的两点。
银川一中第二次模拟数学(理科)试卷答案
银川一中届高三第二次模拟数学（理科）试卷参考答答案一、选择题：二、填空题：13．1 16. 1 三、解答题： 17. 18..19．20.解：（1）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=．1122PF F F PF 、、构成等差数列， ∴1122224a PF PF F F =+==， 2a =．又1c = ，23b ∴=．∴椭圆C 的方程为22143x y +=．(2) 将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=， 化简得：2243m k =+． …………………………7分 设11d F M ==22d F M ==， …………………………9分（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则1d 12d d MN k-∴=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m 1814322+=+-=，……11分2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，334331=+>+m m ，32<S ． 当0=k 时，四边形12F MNF 是矩形，S =． …………………………13分 所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为 ……………………………14分（法二） 222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++， 222122233311m k k d d k k -+====++．MN ∴===四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=， ………11分 22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k ． …………………………………………13分当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F MNF 的面积S 的最大值为21.解：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ,且ax xxx f -=ln )(. …1分 （Ⅰ）函数22)(ln 1ln )(ln 1ln )(x x x x x x x g -=⋅-=', 当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ;当e >x 时,0)(>'x g .所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(,增区间是),e (+∞. ………………3分（Ⅱ）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立．所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-，故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． …………………………6分（Ⅲ）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………8分01当14a ≥时，由（Ⅱ），()f x 在2[e,e ]上为减函数， 则min ()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124e a ≥-．02当0<14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数，故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，min ()f x =00001()ln 4xf x ax x =-≤，20(e,e )x ∈．所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意．综上，得21124e a ≥-． …………………………13分。
宁夏银川一中高三数学第二次模拟考试试题 理
Input a ，bIf a >b Then m=a Else m=b End If Print m End宁夏银川一中2016届高三数学第二次模拟考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M=},12|{R x x x ∈≥，集合N=},32|{R x x x ∈≥-，则=N M I A ．(]1,-∞-B ．[]0,1-C ．[)+∞,5D ．φ2．已知向量()(),2,2,4,0==b a 则下列结论中正确的是 A b a =B ． b a ⊥C ．//)(-D ．8=⋅3．已知i 是虚数单位，复数)(1R m i mz ∈-=，若dx x z )1sin (||0⎰-=ππ，则m 的值为 A ．2± B ．0 C ．1 D ．24．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，2σ)，若P (ξ>2)=0.023，则P (-2≤ξ≤2)= A ．0.977B ．0.954C ．0.5D ．0.0235．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π31B ．π32C ．π34D ．π356．如图所示，运行该程序，当输入b a ,分别为2，3时， 最后输出的m 的值是 A ．2B ．3C ．23D ．327．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：t 30 40 p 50 70 m24568经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程5.175.6+=∧m t ，则p 的值为 A ．45B ．50C ．55D ．608．已知x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥143400y x y x x ，设(x+2)2+(y+1)2的最小值为ω，则函数6sin()(πω+=t t f 的最小正周期为A ．32πB ．πC ．2πD ．52π 9．已知函数)0,(2132cos 21sin )(≠∈+-+-=a R a a a x x a x f ，若对任意R x ∈都有 0)(≤x f ，则a 的取值范围是A ．)0,23[-B ．]1,0()0,1[⋃-C ．(0,1]D ．[1,3] 10．已知函数⎩⎨⎧≤<-≤≤-=21,110),1(2)(x x x x x f ，如果对任意的*N n ∈，定义理科数学试卷 第1页(共5页) 理科数学试卷 第2页(共5页)444344421Λ个n n f f f f f x f )]}([{)(=，那么)2(2016f 的值为 A ．3 B ．2C ．1D ．011．已知F 、A 分别为双曲线()0,012222>>=-b a by a x的右焦点和右顶点，过F 作x 轴的垂线在第一象限与双曲线交于点P ，AP 的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点Q ，若()AQ AP 22-=,则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．22D ．512．定义在(-1,1)上的函数2016321)(201632xx x x x f --+-+=Λ，设)4()(+=x f x F ,且)(x F 的零点均在区间(a ,b )内，其中a ,b ∈z ，a <b ，则圆x 2+y 2=b -a 的面积的最小值为 A ．πB ．2πC ．3πD ．4π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(x +2y )n 的展开式中第二项的系数为8，则(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n展开式中所有项的系数和为__________. 14．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为38π，其侧面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积为_____________. 15．设函数3)(x x f =，若20πθ≤≤时，0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围为________.16．已知数列{a n }的首项a 1=2，前n 项和为S n ，且a n +1=2S n +2n +2(n ∈N *)，则S n =______.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分） 已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2sin 2A +3cos (B +C )=0.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S =21,35=a ，求s inB +sinC 的值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ADF -BCE 中，AB =BC =BE =2，CE =22 (1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若EB =4EK ，求直线AK 与平面BDF 所成角ϕ的正弦值.19.（本小题满分12分）已知袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色的概率为71，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球终止.若每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需要的摸球次数.(1)求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )； (2)求甲摸到白色球的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程：(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 。
【全国百强校】宁夏银川一中2017届高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(银川一中第二次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=A. B.C. D.【答案】A【解析】A={x∣x2−9⩽0}={x|−3⩽x⩽3}，B={x∣y=ln(−x2+x+12)}={x∣x2−x−12<0}={x|−4<x<3}，则A∩B={x|−3⩽x<3}，本题选择A选项.2. 复数满足，则等于A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】试题分析：,故选C.考点:复数的代数运算.3. 已知直线、与平面下列命题正确的是A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】D【解析】略4. 已知，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：a= −log32<0,b= log23>1,∈(0,1)，∴b>c>a.本题选择B选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5. 已知在平面直角坐标系中，曲线在处的切线过原点，则A. 1B.C.D.【答案】B【解析】∵f(x)=alnx+x,∴，∴，∵f(a)=alna+a，∴曲线f(x)在x=a处的切线方程为y−alna−a=2(x−a)，∵曲线f(x)=alnx+x在x=a处的切线过原点，∴−alna−a=−2a，解得a=e.本题选择B选项.6. 若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a>0,，∴b<0，∵f′(x)=2ax+b，∴函数f′(x)的图象经过一，三，四象限，∴A符合题意，本题选择A选项.7. 如果执行下面的程序框图，输入，那么输出的等于A. 720B. 360C. 240D. 120【答案】B【解析】试题分析：程序在执行过程中，的值依次为；；；；，此时不满足，输出．考点：程序框图.8. 已知的图象如图所示，为得到的图象,可以将的图象A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】D【解析】根据函数的图象：A=1，，所以：ω=2，当时,，解得：，所以，要得到的图象，只需将f(x)的图象向左平移个单位长度即可。
精选宁夏银川市2017届高三数学下学期第二次模拟考试试题文
宁夏银川市2017届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第II 卷第（22）～（23）题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．设集合{}{}{}1,0,1,2,3,4,5,1,23,1,0,1,2U A B =-==-，，则()U A B =ðA ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．{}3D ．{}22．已知i 为虚数单位，复数z 满足()z i z i =-，则复数z 所对应的点Z 在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3．在区间[]1,3-上随机取一个数,x 若x 满足m x ≤的概率为21，则实数m 为A ． 0B ．1C ．2D ．34．在等差数列{}n a 中，已知43265,a a a a =是和的等比中项，则数列{}n a 的前5项的和为 A.15B.20C.25 D.1525或5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()+2f x f x =对x R ∈恒成立，当[]0,1x ∈时，()2xf x =，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.12C.2D. 16.过抛物线24y x =的焦点F且斜率为,A B 两点(A B x x >)，则AFBF=A.32 B. 34 C. 3 D.2 7.将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A ．223B ．203C ．163D ．68．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为(1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305≈≈≈)A ．2.598，3，3.1048 B.2.598，3，3.1056C.2.578，3，3.1069 D.2.588，3，3.1108 9．关于函数()[]()22cos0,2xf x x x π=∈下列结论正确的是 A.有最大值3，最小值1- B. 有最大值2，最小值2- C.有最大值3，最小值0 D. 有最大值2，最小值010．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，∠ABC=90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为A ．2πB. 4π C. 8πD.16π11．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上一点，其左，右焦点分别为12,F F ，直线1PF 与以原点O为圆心,a 为半径的圆相切于A 点，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则离心率的值为 A ．32 B ．43 C ．53 D ．54俯视图12．设函数()f x '是定义在（0，π）上的函数()f x 的导函数，有()f x sinx －()f x 'cosx ＜0，1()23a f π=，b=0，5()6c f π=，则 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分13．已知菱形ABCD 的边长为2，=60ABC ∠，点E 满足1=2BE BC ，则AE AD =． 14．若x ，y R ∈，且满足1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则23z x y =+的最大值等于．15．下列命题中，正确的命题序号是．①. 已知a R ∈，两直线1:1,l ax y +=2:2l x ay a +=，则“1a =-”是“12//l l ”的充分条件； ②. 命题:p “0x ∀≥，22xx >”的否定是“00x ∃≥，0202x x <”；③.“1sin 2α=”是“2,6k k Z παπ=+∈”的必要条件；④. 已知0,0a b >>，则“1ab >”的充要条件是“1a b >” ．16．已知数列{}n a 满足12a =，且31122(2)234n n aa a a a n n-+++⋅⋅⋅+=-≥，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cosC c2b a -=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a ．18．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[)45,50，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求正整数,,a b N 的值；（Ⅱ）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第1,2,3组得员工人数分别是多少？ （Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按性别比例抽查的40人是否喜欢阅读国学类书 籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为 该位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的边长为12，∠BAD=60°，AC 交BD 于点O ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B-ACD ，点M ，N 分别是棱BC ，AD 的中点，且． (Ⅰ)求证：OD ⊥平面ABC ；BCAD(Ⅱ)求三棱锥M -ABN 的体积.20．（本小题满分12分）已知点,A B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右顶点，点()0,2P -，直线BP 交E 于点Q ，32PQ QB =且ABP ∆是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数3()()xf x a b x e =-，ln ()xg x x=，且函数()f x 的图象在点(1,)e 处的切线与直线210e x y +-=平行． (Ⅰ)求,a b ；(Ⅱ)求证：当(0,1)x ∈时，()()2f x g x ->．请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；(Ⅱ)射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 (Ⅰ)解不等式: 211x x --<；(Ⅱ)设2()1f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．银川市2017年普通高中教学质量检测数学(文科)答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13．0 14．15 15. ①③④ 16．1n a n =+ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得 2sin A cos C －sin C ＝2sin B ， …2分2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ， ∴－sin C ＝2cos A sinC ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－ 12，而A ∈(0, π)，∴A ＝2π3. …………………………………………6分（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin∠ADB ＝BDsin A∴ sin∠ADB＝AB sin A BD ＝ 22， ……………………………………8分 ∴ ∠ADB＝π4，∴∠ABC＝π6，∠ACB＝π6，AC ＝AB ＝ 2由余弦定理，a =BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ∙AC cos A ＝ 6. …………………12分 18．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）总人数：28002.0528=⨯=N ，,28=a第3组的频率是：4.0)02.006.002.002.0(51=+++⨯-所以1124.0280=⨯=b …………………………………………………4分（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有1681122828=++（人）， 利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：第1组抽取的人数为71684228=⨯（人）， 第2组抽取的人数为71684228=⨯（人）， 第3组抽取的人数为2816842112=⨯（人）， 所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人.………………………………8分（Ⅲ）假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得2K 的观测值240(141448) 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 查表得2( 6.635)0.01P K ≥=，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国 学类书籍和性别有关系…………………………12分 19．（本小题满分12分） 【解析】：（Ⅰ）证明：ABCD 是菱形，∴AD DC =，OD AC ⊥在ADC ∆中，12,120AD DC ADC ==∠=，∴6OD = 又M 是BC中点，∴16,2OM AB MD ===222OD OM MD +=，∴DO OM ⊥ ,OM AC ⊂面ABC ，,OMAC O =∴OD ⊥面ABC .………………6分（Ⅱ）解：取线段AO 的中点E ，连接NE.∵N 是棱AD 的中点，∴//12NE DO =.∵由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ,∴NE ⊥面ABC 在ABM ∆中，12,6,120AB BM ABM ==∠=1sin 2ABM S AB BM ABM ∆∴=⋅⋅⋅∠11262=⋅⋅=∴11111832223M ABN M ABD D ABM ABMV V V S OD ---====. ……………12分20．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）由题意知△ABP 是等腰直角三角形，a =2，B （2，0）， 设Q （x 0，y 0），由32PQ QB =，则0064,55x y ==-，代入椭圆方程，解得b 2=1， ∴椭圆方程为2214x y +=.……………5分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为y=kx ﹣2，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=21614k k +，x 1x 2=21214k +，……………8分 由直线l 与E 有两个不同的交点，则△＞0， 即（﹣16k ）2﹣4×12×（1+4k 2）＞0，解得：k 2＞34，………①……………9分 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则0OM ON >，即x 1x 2+y 1y 2＞0， 则x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1﹣2）（kx 2﹣2）=（1+k 2）x 1x 2﹣2k×（x 1+x 2）+4 =（1+k 2）21214k +﹣2k×21614kk++4＞0， 解得：k 2＜4，………………………………………………②……………11分 综合①②可知：34＜k 2＜4＜k ＜2或﹣2＜k， 直线l 斜率的取值范围（﹣2，﹣2）∪（2，2）．……………12分21.（本小题满分12分）【解析】：(Ⅰ)因为 (1)f e =，故(),a b e e -=故1a b -=……………………① 依题意，(1)2f e '=-；又23()(32)xf x x x e '=--+,故42a b -=-…………② 联立①②解得2,1a b == ………………………………………………5分（Ⅱ）证明：要证()()2f x g x ->，即证3ln 22x x xe e x x->+……………6分 令3()2xx h x e e x =-∴322()(32)(1)(22)xxh x e x x e x x x '=--+=-++- 故当(0,1)x ∈时，0,10;xe x -<+>令2()22p x x x =+-，因为()p x 的对称轴为-1x =，且(0)(1)0p p ⋅< 故存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x =故当0(0,)x x ∈时，2()220p x x x =+-<，故2()(1)(22)0xh x e x x x '=-++->，即()h x 在0(0,)x 上单调递增当0(,1)x x ∈时，2()220p x x x =+->，故2()(1)(22)0xh x e x x x '=-++-< 即()h x 在0(,1)x 上单调递减 又因为(0)2,(1)h h e ==故当(0,1)x ∈时，()(0)2h x h >=………………10分又当(0,1)x ∈时，ln ln 0,22x xx x <∴+<………………11分 所以3ln 22x x x e e x x->+，即()()2f x g x ->………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】：（Ⅰ）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝4sin θ＋cos θ. (5)分(Ⅱ)设,,P Q R 的极坐标分别为12(,),(,),(,)ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即212ρρρ=⋅2122161(sin cos )2ρρρθθ∴==⨯+， 81sin 2ρθ∴=+………………10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】： (Ⅰ)当0x <时，原不等式可化为20x x -+<，解得0x >，所以x 不存在；当102x ≤<时，原不等式可化为20x x --<，解得0x >，所以102x <<； 当12x ≤时，原不等式可化为211x x --<，解得2x <，所以122x ≤< 综上，原不等式的解集为{}02x x <<<.………………5分 (Ⅱ)因为22()()1f x f a x x a a x a x a -<--+=-⋅+-12121x a x a a x a a <+-=-+-≤-+- 1212(1)a a <++=+所以()()2(1)f x f a a -<+………………10分。
【数学】宁夏银川一中2017届高三第二次模拟试题(文)
宁夏银川一中2017届高三第二次模拟试题文科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}09|2≤-=x x A ，{})12ln(|2++-==x x y x B ，则B A ⋂=（ ） A ．{}33|≤<-x x B ．{}02|≤<-x xC ．{}02|<<-x xD ．{}320|≠><x x x x 且或2．复数z 满足(1)|1|z +=，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12 D 12i3．已知直线m 、n 与平面,,βα下列命题正确的是（ ） A ．//,//m n αβ且//,//m n αβ则 B ．,//m n αβ⊥且,m n αβ⊥⊥则 C ．,m m n αβ=⊥且,n αβα⊥⊥则D ．,m n αβ⊥⊥且,m n αβ⊥⊥则4．已知21log 3=a ，31log 21=b ，31)21(=c ，则（ ） A ．a b c >> B ． a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >> 5．已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则a =（ ） A ．1B ．eC ．1eD ．06．若函数2()x f x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是（ ）7．如果执行下面的程序框图，输入46==m n ，，那么输出的p 等于（ ）A ．720B ．360C ．240D ．1208．已知()cos() (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，为得到()sin()6g x A x πω=-+的图象,可以将()f x 的图象（ ）A ．向右平移56π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 9． 公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是3a 与7a 的等比中项，168=S ，则10S 等于（ ） A ．18B ．24C ．30D ．6010．已知,是单位向量，,的夹角为 90，若向量满足c 2||=--，则||的最大值为（ ）A ．22-B ．2C ．2D ．22+11．已知函数21(1)()2(1)ax x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x+3y 的最小值为 .14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积.1F 2F )0,0(12222>>=-b a by ax 2F 21MF F ∠),2(∞+),2(∞+)2,1()2,1(15．已知点M 是半径为4的圆C 内的一个定点，点P 是圆C 上的一个动点，线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ，则||||CQ QM ⋅的最大值为 . 16．已知实数,a b 满足01,11a b <<-<<，则函数3213y ax ax b =++有三个零点的概率为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）设函数21()cos cos 2f x x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期及值域；（2）已知ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若3()2f B C +=，a =3b c +=，求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣.但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程.某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组:[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300],绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中m 的值；（2）求本次调查中续驶里程在[200,300] 的车辆数；（3）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在[200,250]的概率.19．（本题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱11A B ，1AA 的中点，点F 棱AB 上，且14AF AB =．（1）求证：//EF 平面1BDC ； （2）求三棱锥1D BEC -的体积．20．（本题满分12分） 已知函数x x a x f ln )1()(2++= （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若对任意)2,4(--∈a 及]3,1[∈x ，恒有()2a x f ma >-成立，求实数m 的取值集合.21．（本题满分12分）已知圆O ：222r y x =+，直线0222=++y x 与圆O 相切，且直线l ：y kx m =+与椭圆C ：2212x y +=相交于P Q 、两点，O 为原点.（1）若直线l 过椭圆C 的左焦点，且与圆O 交于A B 、两点，且60AOB ∠=，求直线l 的方程；（2）如图，若POQ ∆的重心恰好在圆上，求m 的取值范围.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．（1）直线过且与曲线相切，求直线的极坐标方程；（2）点与点关于轴对称，求曲线上的点到点的距离的取值范围.23.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .（1）当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；（2）设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围.O xM 4π⎛⎫⎪⎝⎭C 12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩αl M C l N M y C N参考答案一、选择题1—5 ACDBB 6—10 ABDCD 11—12 CA 二、填空题 13. 7 14. 275 15. 4 16. 165三、解答题17.解：（Ⅰ）21()cos cos 2f x x x x =+ =cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为T π=，∵x R ∈∴1cos 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[02]，， （Ⅱ）由3()cos 2()132f B C B C π⎡⎤+=+++=⎢⎥⎣⎦，得1cos(2)32A π-=，又(0)A π∈，，得3A π=，在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos3a b c bc π=+-=2()3b c bc +-，又a =3b c +=，所以393bc =-，解得2bc = 所以，ABC ∆的面积11sin2232S bc π==⨯=. 18.解：（1）有直方图可得：（0.002+0.005+0.008+m +0.002）⨯50=1得003.0=m （2）由题意知续驶里程在[200，300] 的车辆数为5)50002.050003.0(20=⨯+⨯⨯ （3）由题意知，续驶里程在[200，250)的车辆数为3，设为c b a ,,，续驶里程在[250,300]的车辆数为2，设为e d ,，共有10个基本事件：de ce cd be bd bc ae ad ac ab ,,,,,,,,,， 设“其中恰有一辆车续驶里程在[200,250]”为事件A ，则事件A 包含6个基本事件：ce cd be bd bc ae ad ,,,,,,则53106)(==A P 19.（1）设为的中点，连结，∵，为的中点， ∴为的中点，又∵为的中点，∴，又∵为的中点，为的中点， ∴，O AB 1AO 14AF AB =O AB F AO E 1AA 1//EF AO D 11A B O AB 1A D OB =又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵，，分别为，的中点，，∴面，而， ，∵，∴．20． 解: （Ⅰ）)0(12212)(>+=+='x xax x ax x f ①当0≥a 时，恒有0)(>'x f ，则)(x f 在),0(+∞上是增函数； ②当0<a 时，当a x 210-<<时，0)(>'x f ，则)(x f 在)21,0(a-上是增函数； 当a x 21->时，0)(<'x f ，则)(x f 在),21(+∞-a上是减函数 综上，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上是增函数；当0<a 时，)(x f 在)21,0(a-上是增函数，)(x f 在),21(+∞-a上是减函数 (Ⅱ)由题意知对任意()2,4--∈a 及[]3,1∈x 时， 恒有()2a x f ma >-成立，等价于()max 2x f a ma >-因为()2,4--∈a ，所以1212142<<-<a 由（Ⅰ）知：当()2,4--∈a 时，)(x f 在[]3,1上是减函数 1//A D OB 1A DBO 1//AO BD 1//EF AO //EF BD EF ⊄1DBC BD ⊂1DBC //EF 1DBC 12AB BC CA AA ====D E 11A B 1AA 14AF AB =1C D ⊥11ABB A 11D BEC C BDE V V --=1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---1113222121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=1C D=111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=所以a f x f 2)1()(max == 所以a a ma 22>-，即2+<a m 因为()2,4--∈a ，所以022<+<-a 所以实数m 的取值集合为}2|{-≤m m21.解：（Ⅰ）因为直线0222=++y x 与圆O ：222r y x =+相切 ∴32)22(1|200|22=+++=r ∴9422=+y x 因为左焦点坐标为(1,0)F -，设直线l 的方程为(1)y k x =+ 由60AOB ∠=得，圆心O 到直线l的距离d =又d ==k = ∴ 直线l的方程为1)y x =+（Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4220k x kmx m +++-= 由0∆>，得2221k m +>…（※）， 且122412kmx x k+=-+ 由POQ ∆重心恰好在圆2249x y +=上，得221212()()4x x y y +++=， 即221212()[()2]4x x k x x m ++++=，即2221212(1)()4()44k x x km x x m +++++=.∴ 22222222216(1)1644(12)12k k m k m m k k +-+=++，化简得2222(12)41k m k +=+，代入（※）得0k ≠ 又22422224(12)4411414141k k m k k k k +==+=++++ 由0k ≠, 得210k >,∴24410k k+>， ∴ 21m >，得m 的取值范围为1m <-或1m >22.解：（1）由题意得点的直角坐标为，曲线的一般方程为．设直线的方程为，即， ∵直线过且与曲线，即，解得， ∴直线的极坐标方程为或， （2）∵点与点关于轴对称，∴点的直角坐标为， 则点到圆心曲线上的点到点，曲线上的点到点的距离的取值范围为.23.解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a . 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3. 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).M ()2,2C ()2214x y -+=l ()22y k x -=-220kx y k --+=l M C 2=2340k k +=403k =或k=-l sin 2ρθ=4cos 3sin 140ρθρθ+-=N M y N ()2,2-N C =C N 22C N 2⎤+⎦。
【宁夏银川市】2017届高考数学二模试卷(理科)数学试卷-答案
宁夏省银川市2017年高考二模（理科）数学试卷答 案1~5．CABCA6~10．BBACD11~12．CD13．3-14．1215．B16．817．解：（Ⅰ）在ABC △中，根据正弦定理，有,sin sin AC DC ADC DAC=∠∠因为,AC =所以sin ADC DAC ∠=∠= 又6060,ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>o o 6060,ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>o o 所以120,ADC ∠=o (3)于是1801203030,C ∠=--=o o o o 所以60B ∠=o .…（6分）（Ⅱ）设,DC x =则2,3,BD x BC x AC ===.于是sin 33AC B B AB BC ====.…（9分） 在ABD △中，由余弦定理，得 222 2cos ,AD AB BD AB BD B -=+•即(222264222,3x x x x =+-⨯⨯=得2x =. 故2DC =.…（12分）18．解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A = “第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；()()()1,2,1,3,1,4，()2,3，()2,4，()3,4．而事件A 包含1个基本事件：()1,2．所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()2222222213310412012657.258S =+-+-++-+++=甲， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411121568S =+-+++-++-+=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19．证明：（Ⅰ）ABCD Q 是菱形，,,AD DC OD AC ∴=⊥12,120,ADC AD DC ADC ==∠=︒△中,6OD ∴=，又M 是BC中点，16,2OM AB MD ∴===222,,OD OM MD DO OM +=∴⊥Q,OM AC ⊂Q 面,,ABC OM AC O =I OD ∴⊥面,ABC又OD ⊂Q 平面ODM∴平面ODM ⊥平面ABC ．…（6分）解：（Ⅱ）由题意，,,OD OC OB OC ⊥⊥又由（Ⅰ）知,OB OD ⊥建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：()()()6,0,0,0,,D A M -故()()AM AD ==u u u u r u u u r设平面MAD 的法向量(),,,m x y z =u r则0,0m AM m AD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u r r u u u r r即30,60z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令y =则3,9x z ==()3,m ∴=u r 由条件知OB ⊥平面,ACD 故取平面ACD 的法向量为()0,0,1n =r所以，cos ,||||m n m n m n •=u r r u r r u r r 由图知二面角M AD C --为锐二面角，故二面角M AD C --（12分） 20．解：（Ⅰ）由题意知：ABP △是等腰直角三角形，()2,2,0a B =，设()00,,Q x y 由32PQ QB =u u u r u u u r ，则0064,,55x y ==- 代入椭圆方程，解得21b =∴椭圆方程为2214x y +=.… （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为()()1122,,2,y kx M x y N x y =-设,， 则22,142x y y kx ⎧+=-⎪⎨⎪⎩=整理得：()221416120,k x kx ++=- 由韦达定理可知：1212221612,1414k x x x x k k+==++，…（8分） 由直线l 与E 有两个不同的交点，则2k >0,∆> 即()()2216412140,k k ⨯⨯+>--解得：2k >34（9分） 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则0,OM ON •>u u u u r u u u r 即12120x x y y >+ 则()()1212121222x x y y x x kx kx +-=-+()21212124k x x k x x =⨯++-+（）()2221216240,14141k k k k k -⨯+=>+++ 解得：24,k <（11分） 综合①②可知：234,4k <<2k <<或2k -<< 直线l斜率的取值范围2,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U …（12分）22．解：（Ⅰ）圆2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），可得直角坐标方程：224,x y += ∴圆C 的极坐标方程 2.ρ=点P 在直线4:0x y l +-=上，直线l 的极坐标方程c s 4sin o θθρ+=.（Ⅱ）设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,,θθρρθρ 因为12si 4n o 2c s θρθρ+==. 又因为2,OP OR OQ •=即∴()2221sin co 1s 61,2ρρρθθ==⨯+ ∴si 81n2ρθ=+. 23．（1）解：根据题意，对x 分3种情况讨论： 当0x <时，原不等式可化为211,x x +<-+-解得0,x >又0x <，则x 不存在，此时，不等式的解集为∅． 当102x ≤<时，原不等式可化为211x x +-<+解得0,x >又10,2x ≤< 此时其解集为1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 当12x ≥时，原不等式化为211,x x -<+解得12,2x ≤< 又由12x ≥，此时其解集为1|22x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ 综上，原不等式的解集为{}|02x x <<（2）证明：Q ()21,x x f x =-+实数a 满足||1,x a -<故()()()22|||||11||21||||211||||2|12||1||f x f a x x a a x a x a x a x a a x a a a a -<<-=-+=-•+-+-=-+-≤-+-++=+()()()||2||1f x f a a ∴<+-宁夏省银川市2017年高考二模（理科）数学试卷解析1．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB【解答】解：∵B={x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，∴∁UB={2，3}∵集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，∴A∩∁UB={1，2，3}∩{2，3}={2，3}，故选：C．【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部相等求得b，得到z，代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：由z（2+i）=3﹣bi，得=，∴6﹣b=﹣2b﹣3，解得b=﹣9．∴z=3+3i，则|z|=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：圆C1：x2+y2=4，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，即（x+3）2+（y﹣4）2=9，表示以C2（﹣3，4）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==5=2+3，∵两个圆外切．故选：B．【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于基础题．4．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、从物理，化学，生物三科中选2科，从政治，历史，地理三科中选1科，②、从物理，化学，生物三科中选1科，从政治，历史，地理三科中选2科，分别求出每一种情况下的选法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从物理，化学，生物三科中选2科，从政治，历史，地理三科中选1科，则有C32•C31=9种选法；②、从物理，化学，生物三科中选1科，从政治，历史，地理三科中选2科，则有C32•C31=9种选法；则一共有9+9=18种选考方法；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，分类讨论注意不能有重复和遗漏的情况．5．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义，列出方程组，求出a1=﹣1，d=2，由此能求出数列{an}的前5项的和．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴数列{an}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前五项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先确定函数f（x）的周期为2，再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈时，f（x）=2x，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，∴=f（﹣）=f（）∵当x∈时，f（x）=2x，∴f（）=，故选：B．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，属于中档题．7．【考点】EF：程序框图．【分析】由n的取值分别为6，12，24，代入即可分别求得S．【解答】解：当n=6时，S=×6×sin60°=2．598，输出S=2．598，6＜24，继续循环，当n=12时，S=×12×sin30°=3，输出S=3，12＜24，继续循环，当n=24时，S=×24×sin15°=3．1056，输出S=3．1056，24=24，结束，∴故选B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9．【考点】GI：三角函数的化简求值；H2：正弦函数的图象．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=2cos2+sinx．化简可得：f（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+）+1∵x∈，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[，1]∴函数f（x）∈，故选：C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．10．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S△ABC×DQ=3，即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选：D．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想，是中档题．11．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】当点A在第一象限，通过抛物线定义及|AF|=2|BF|可知B为CE中点，通过勾股定理可知|AC=2 |BC|，进而计算可得结论．【解答】解：如图，点A在第一象限．过A、B分别作抛物线的垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|=3|BC|，在Rt△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直线l的斜率为=2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为﹣2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．12．【考点】34：函数的值域．【分析】由已知函数解析式可得f（x）+f（﹣x）=6，结合f（x）在区间（k＞0）上的值域为，即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，令k=1得答案．【解答】解：∵，∴f（﹣x）=3+=3﹣，∴f（x）+f（﹣x）=6．①又f（x）在区间（k＞0）上的值域为，即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，故可令k=1，由于函数在区间（k＞0）上是一个增函数，故m+n=f（k）+f（﹣k）由①知，m+n=f（k）+f（﹣k）=6．故选：D．【点评】本题考查函数的值域，考查函数的奇偶性与单调性的性质，属中档题．13．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件，可分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立坐标系，然后可求出点A，B，E的坐标，进而求出向量的坐标，从而求出的值．【解答】解：分别以边AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（4，0），E（2，1）；∴；∴．故答案为：3【点评】考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量坐标，向量坐标的数量积运算．14．【考点】7C：简单线性规划．【分析】设买排球x个，篮球y个，由题意列关于x，y的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和z=x+y．则，由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（8，4），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12．故答案为：12．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B【点评】本题考查了合情推理的问题，属于基础题．16．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意，可求得=ln=ln=2=2an，即数列{an}是以2为公比的等比数列，又a1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1，数列{xn}为牛顿数列，∴=xn﹣=（xn+），∴=ln=ln=2=2an，又a1=2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a3=2×22=8．故答案为：8．【点评】本题考查数列递推式，求得数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．17．【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理有，又，可得，结合∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，可求∠ADC，即可求B的值．（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，，可求，，，由余弦定理即可计算得解DC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在ABC △中，根据正弦定理，有,sin sin AC DC ADC DAC=∠∠因为,AC =所以sin ADC DAC ∠=∠= 又6060,ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>o o 所以120,ADC ∠=o (3)于是1801203030,C ∠=--=o o o o 所以60B ∠=o .…（6分）（Ⅱ）设,DC x =则2,3,BD x BC x AC ===.于是sin AC B B AB BC ==.…（9分） 在ABD △中，由余弦定理，得 222 2cos ,AD AB BD AB BD B -=+•即(222264222,x x x x =+-⨯=得2x =. 故2DC =.…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．略19．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；L Y ：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出OD ⊥AC ，DO ⊥OM ，从而OD ⊥面ABC ，由此能证明平面ODM ⊥平面ABC ． （Ⅱ）由OD ⊥OC ，OB ⊥OC ，OB ⊥OD ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣AD ﹣C 的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）ABCD Q 是菱形，,,AD DC OD AC ∴=⊥12,120,ADC AD DC ADC ==∠=︒△中,6OD ∴=，又M 是BC 中点，16,2OM AB MD ∴===222,,OD OM MD DO OM +=∴⊥Q,OM AC ⊂Q 面,,ABC OM AC O =IOD ∴⊥面,ABC又OD ⊂Q 平面ODM∴平面ODM ⊥平面ABC ．…（6分）解：（Ⅱ）由题意，,,OD OC OB OC ⊥⊥又由（Ⅰ）知,OB OD ⊥建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：()()()6,0,0,0,,D A M -故()()AM AD ==u u u u r u u u r设平面MAD 的法向量(),,,m x y z =u r则0,0m AM m AD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u r r u u u r r即30,60z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令y =则3,9x z ==()3,m ∴=u r 由条件知OB ⊥平面,ACD 故取平面ACD 的法向量为()0,0,1n =r所以，cos ,||||m n m n m n •=u r r u r r u r r 由图知二面角M AD C --为锐二面角，故二面角M AD C --（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．20．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：由，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线y =kx ﹣2，代入椭圆方程，由韦达定理，由△＞0，由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：ABP △是等腰直角三角形，()2,2,0a B =设()00,,Q x y 由32PQ QB =u u u r u u u r ，则0064,,55x y ==- 代入椭圆方程，解得21b =∴椭圆方程为2214x y +=.…（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为()()1122,,2,y kx M x y N x y =-设,， 则22,142x y y kx ⎧+=-⎪⎨⎪⎩=整理得：()221416120,k x kx ++=- 由韦达定理可知：1212221612,1414k x x x x k k +==++，…（8分） 由直线l 与E 有两个不同的交点，则2k > 0,∆> 即()()2216412140,k k ⨯⨯+>--解得：2k >34，…①…（9分） 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则0,OM ON •>u u u u r u u u r 即12120x x y y >+ 则()()1212121222x x y y x x kx kx +-=-+()21212124k x x k x x =⨯++-+（）()2221216240,14141k k k kk -⨯+=>+++ 解得：24,k <…②…（11分） 综合①②可知：234,4k <<2k <<或2k -<< 直线l斜率的取值范围2,22⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U …（12分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查及算能力，属于中档题．21．略22．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C ：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程．点P 在直线4:0x y l +-=l ：x +y ﹣4=0上，利用互化公式可得直线l 的极坐标方程． （Ⅱ）设P ，Q ，R 的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP |2=|OR |•|OQ |，即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）圆2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），可得直角坐标方程：224,x y += ∴圆C 的极坐标方程 2.ρ=点P 在直线4:0x y l +-=上，直线l 的极坐标方程c s 4sin o θθρ+=.（Ⅱ）设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,,θθρρθρ 因为12si 4n o 2c s θρθρ+==. 又因为2,OP OR OQ •=即∴()2221sin co 1s 61,2ρρρθθ==⨯+ ∴si 81n2ρθ=+. 【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，对x 分3种情况讨论：①当x ＜0时，②当0≤x ＜时，③当x ≥时；在各种情况下．去掉绝对值，化为整式不等式，解可得三个解集，进而将这三个解集取并集即得所求．（2）根据|f （x ）﹣f （a ）|=|x2﹣x ﹣a2+a |=|x ﹣a |•|x +a ﹣1|＜|x +a ﹣1|=|x ﹣a +2a ﹣1|≤|x ﹣a |+|2a ﹣1|＜1+|2a |+1，证得结果．【解答】（1）解：根据题意，对x 分3种情况讨论：当0x <时，原不等式可化为211,x x +<-+-解得0,x >又0x <，则x 不存在，此时，不等式的解集为∅． 当102x ≤<时，原不等式可化为211x x +-<+解得0,x >又10,2x ≤< 此时其解集为1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 当12x ≥时，原不等式化为211,x x -<+解得12,2x ≤< 又由12x ≥，此时其解集为1|22x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ 综上，原不等式的解集为{}|02x x <<（2）证明：Q ()21,x x f x =-+实数a 满足||1,x a -<故()()()22|||||11||21||||211||||2|12||1||f x f a x x a a x a x a x a x a a x a a a a -<<-=-+=-•+-+-=-+-≤-+-++=+．()()()||2||1f x f a a ∴<+-【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2017年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝k+2，k∈Z}，则（）A．M⊊N B．M＝N C．N⊊M D．M∩N＝∅2．（5分）复数z满足（1+i）z＝i+2，则z的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）若直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．﹣C．﹣2D．44．（5分）若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则有如下结论：（P（|X﹣μ|＜σ）＝0.6826，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9544，P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9974）高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（）A．19B．12C．6D．55．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．6．（5分）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：y1＝3sin（100πt），y2＝3sin（100πt﹣），则这两个声波合成后（即y＝y1+y2）的声波的振幅为（）A．6B．3+3C．3D．38．（5分）今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（）A．212﹣57B．211﹣47C．210﹣38D．29﹣309．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．2+D．3+10．（5分）已知向量的夹角为120°，且，，则向量在向量方向上的投影是（）A．0B．C．﹣1D．11．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（1，1+e）D．（1，1+e2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（ax+）5的展开式中x3项的系数为20，则实数a＝．14．（5分）由直线和曲线围成的封闭图形的面积为．15．（5分）若变量x、y满足约束条件，且z＝2x+y的最大值和最小值分别为M 和m，则M﹣m＝．16．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，若＝m +n（m，n∈R），且mn＝，则该双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，b+c＝2，求实数a的取值范围．18．（12分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：根据学生体质健康标准，成绩不低于76分为优良．（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在梯形ADEB中，AB∥DE，AD＝DE＝2AB，△ACD是正三角形，AB ⊥平面ACD，且F是CD的中点．（1）判断直线AF与平面BCE的位置关系并加以证明；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x+y+＝0相切．A，B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y＝kx（k＞0）与椭圆相交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣+alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）＝x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）＝f（x）+g（x），当时a＝1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2017年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝k+2，k∈Z}，则（）A．M⊊N B．M＝N C．N⊊M D．M∩N＝∅【解答】解：∵集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k+2，k∈Z}＝{整数}，∴M⊊N．故选：A．2．（5分）复数z满足（1+i）z＝i+2，则z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（1+i）z＝i+2，∴（1﹣i）（1+i）z＝（i+2）（1﹣i），∴2z＝3﹣i，∴﹣i．则z的虚部为，故选：C．3．（5分）若直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．﹣C．﹣2D．4【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2 ＝4，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2＝0，求得a+b＝1，则＝+＝2++≥4，当且仅当a＝b＝时，取等号，故则的最小值为4，故选：D．4．（5分）若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则有如下结论：（P（|X﹣μ|＜σ）＝0.6826，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9544，P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9974）高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（）A．19B．12C．6D．5【解答】解：μ＝120，σ＝＝10，∴P（110＜R＜130）＝0.6826，∴P（R＞130）＝[1﹣P（110＜R＜130）]＝×0.3174＝0.1587，∴130分以上的人数约为40×0.1587≈6人．故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序，可得S＝600，i＝1执行循环体，S＝600，i＝2不满足条件S＜1，执行循环体，S＝300，i＝3不满足条件S＜1，执行循环体，S＝100，i＝4不满足条件S＜1，执行循环体，S＝25，i＝5不满足条件S＜1，执行循环体，S＝5，i＝6不满足条件S＜1，执行循环体，S＝，i＝7满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．故选：C．6．（5分）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，且列队服务，基本事件总数n＝（+）＝720，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m＝＝120，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率p＝＝．故选：C．7．（5分）在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：y1＝3sin（100πt），y2＝3sin（100πt﹣），则这两个声波合成后（即y＝y1+y2）的声波的振幅为（）A．6B．3+3C．3D．3【解答】解：∵y1＝3sin（100πt），y2＝3sin（100πt﹣），∴y＝y1+y2＝3sin（100πt）+3sin（100πt﹣）＝sin（100πt）﹣cos100πt＝3sin（100πt﹣θ），则函数的振幅为3，故选：D．8．（5分）今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（）A．212﹣57B．211﹣47C．210﹣38D．29﹣30【解答】解：设每个30分钟进去的人数构成数列{a n}，则a1＝2＝2﹣0，a2＝4﹣1，a3＝8﹣2，a4＝16﹣3，a5＝32﹣4，…，a n＝2n﹣（n﹣1）设数列{a n}的前n项和为S n，依题意，只需求S10＝（2﹣0）+（22﹣1）+（23﹣2）+…+（210﹣9）＝（2+22+23+…+210）﹣（1+2+…+9）＝211﹣47故选：B．9．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．2+D．3+【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为三棱柱，下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面为底面边长是1，底边上的高是1，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，高是2；所以该几何体的体积为V＝V三棱柱+V长方体＝×1×1×3+1×1×2＝．故选：B．10．（5分）已知向量的夹角为120°，且，，则向量在向量方向上的投影是（）A．0B．C．﹣1D．【解答】解：向量的夹角为θ＝120°，且，，∴（+）•＝+•＝12+1×2×cos120°＝0；∴向量在向量方向上的投影是|+|cos＜+，＞＝|+|×＝＝0．故选：A．11．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x）故函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误由分子中cos3x的符号呈周期性变化，故函数的符号也呈周期性变化，故C错误；不x∈（0，）时，f（x）＞0，故B错误故选：D．12．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（1，1+e）D．（1，1+e2）【解答】解：∵f（x）＝lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）＝ka，f（b）＝kb，即：lna+a＝ka，lnb+b＝kb，即a，b为方程lnx+x＝kx 的两个不同根．∴k＝1+令k＝1+＝g（x），再令g'（x）＝＝0，可得极大值点x＝e，故g（x）的极大值为：g（e）＝1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y＝k与曲线y＝g（x）的图象有两个交点，方程k＝1+有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），∴答案为（1，1+）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（ax+）5的展开式中x3项的系数为20，则实数a＝4．【解答】解：展开式的通项为T r+1＝＝a5﹣r，令5﹣＝3得r＝4，∴a•＝20，解得a＝4．故答案为4．14．（5分）由直线和曲线围成的封闭图形的面积为﹣2ln2．【解答】解：曲线y＝﹣x+，直线y＝联立，可得交点坐标为（，2）、（2，），∴曲线y＝﹣x+，直线y＝所围成的封闭图形的面积为S＝（﹣x+﹣）dx＝（﹣x2+x﹣lnx）＝﹣2ln2．故答案：．15．（5分）若变量x、y满足约束条件，且z＝2x+y的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m＝6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z＝﹣2﹣1＝﹣3，此时N＝﹣3，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z＝2×2﹣1＝3，即M＝3，则M﹣N＝3﹣（﹣3）＝6，故答案为：6．16．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，若＝m+n（m，n∈R），且mn＝，则该双曲线的离心率为．【解答】解：由题意可知A（c，），B（c，﹣），代入＝m+n＝（（m+n）c，（m﹣n）），得P（（m+n）c，（m﹣n）），代入双曲线方程﹣＝1，整理可得4e2mn＝1，因为mn＝，所以可得e＝．故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，b+c＝2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝2cos2x+sin（2x﹣）＝cos2x+sin2x+1＝sin（2x+）+1，2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．当且仅当sin（2x+）＝1，即2x+＝2kπ+，即x＝kπ+（k∈Z）时取到．所以函数最大值为2时x的取值集合为{x|x＝kπ+，k∈Z}．…（6分）（2）由题意，f（A）＝sin（2A+）+1＝，化简得sin（2A+）＝．∵A∈（0，π），∴2A+＝，∴A＝．在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc．由b+c＝2，知bc≤1，即a2≥1．∴当b＝c＝1时，取等号．又由b+c＞a得a＜2．所以a的取值范围是[1，2 ）．…（12分）18．（12分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：根据学生体质健康标准，成绩不低于76分为优良．（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）这组数据的众数为87，中位数为84．（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝＝，P（ξ＝3）＝＝＝，所以ξ的分布列为Eξ＝0×＝．19．（12分）如图，在梯形ADEB中，AB∥DE，AD＝DE＝2AB，△ACD是正三角形，AB ⊥平面ACD，且F是CD的中点．（1）判断直线AF与平面BCE的位置关系并加以证明；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【解答】解：（1）AF∥平面BCE，证明如下：取CE的中点P，连接BP，FP，∵F是CD的中点，P是CE的中点，∴PF DE，又AB DE，∴AB PF，∴四边形ABPF是平行四边形，∴AF∥BP，又AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）设EB，DA的延长线交于点O，连接OC，则OC为平面ACD和平面BCE的交线，设AB＝1，则AD＝DE＝CD＝AC＝2，∵AB∥DE，∴，∴OD＝4，又∠CDA＝60°，∴OC＝＝2，∴OC2+CD2＝OD2，∴OC⊥CD，∵AB⊥平面ACD，OC⊂平面ACD，∴AB⊥OC，又AB∥DE，∴DE⊥OC，又CD⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，CD∩DE＝D，∴OC⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，∴OC⊥CE，∴∠DCE为平面BCE与平面ACD所成锐二面角的平面角，∵CD＝DE，DE⊥CD，∴∠DCE＝45°，∴平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x+y+＝0相切．A，B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y＝kx（k＞0）与椭圆相交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a2＝4b2，又圆x2+y2＝b2与直线x+y+＝0相切，则b＝＝1，a2＝4，故所求椭圆C的方程为；（4分）（2）设E（，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，整理得：（k2+4）x2＝4，…（5分）故x1＝﹣x2＝．①…（6分）又点E，F到直线AB的距离分别为h1＝＝，…（7分）h2＝＝，丨AB丨＝，…（8分）∴四边形AEBF的面积为S＝丨AB丨（h1+h2）＝××＝，…（10分）＝2＝2＝2≤2＝2，当k＝，（k＞0），即当k＝2时，上式取等号．∴当四边形AEBF面积的最大值时，k的值为2．（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣+alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）＝x2+（m﹣1）x+，m≤﹣，h（x）＝f（x）+g（x），当时a＝1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x﹣+alnx，∴f′（x）＝1++，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＝1++≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣（x+）在[1，+∞）上恒成立，∵y＝﹣x﹣在[1，+∞）上单调递减，∴y≤﹣2，∴a≥﹣2；（2）h（x）＝f（x）+g（x）＝lnx+x2+mx，其定义域为（0，+∞），求导得，h′（x）＝，若h′（x）＝0两根分别为x1，x2，则有x1•x2＝1，x1+x2＝﹣m，∴x2＝，从而有m＝﹣x1﹣，∵m≤﹣，x1＜x2，∴x1∈（0，]，则h（x1）﹣h（x2）＝h（x1）﹣h（）＝2lnx1+（﹣）+（﹣x1﹣）（x1﹣），令φ（x）＝2lnx﹣（x2﹣），x∈（0，]．则[h（x1）﹣h（x2）]min＝φ（x）min，φ′（x）＝﹣，当x∈（0，]．时，φ′（x）＜0，∴φ（x）在x∈（0，]上单调递减，φ（x）min＝φ（）＝﹣ln2+，∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为﹣ln2+．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．【解答】解：（1）M的直角坐标为（2，2），曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝4．设直线l的方程为y＝k（x﹣2）+2，联立方程组得（1+k2）x2+（4k﹣4k2﹣2）x+4k2﹣8k+1＝0，∵直线l与曲线C相切，∴（4k﹣4k2﹣2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣8k+1）＝0，解得k＝0或k＝﹣．∴直线l的方程为y＝2或y＝﹣（x﹣2）+2，即4x+3y﹣14＝0，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ＝2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣14＝0．（2）点N的坐标为N（﹣2，2），C（1，0）．CN＝＝，圆C的半径为2．∴曲线C上的点到点N的距离最大值为+2，最小值为﹣2．曲线C上的点到点N的距离的取值范围是[﹣2，+2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．。
宁夏银川2017届高考二模考试数学试题(理)含答案
2017届高三年级第二次模拟试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（） A． {1，3，4} B． {3，4} C． {3} D． {4}2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A． B． C． D．或5．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（）A． B． C． D．6．执行如图的程序框图，则输出的值P=（）A． 12 B． 10C． 8 D． 67.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )(A)21+ (B)18+(C)21 (D)188．过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ． 29．函数)20)(sin()(πϕϕω<>+=，其中A x A x f 的部分图像如图所示,为了得到g(x)=sin2x 的图像,则只要将f(x)的图像（ ）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度10. 已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB=2，AC=1，60=∠BAC ，则此球的表面积是（ ）A ． 2πB ．4πC ． 8πD ． 10π 11．设x ，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最小值2，则ab 的最大值为（ ）A ． 1B ．C ．D ．12.定义域为R 的函数)(x f 满足，当)2,0[∈x 时，232,[0,1)()1(),[1,2)2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若当)2,4[--∈x 时，不等式214)(2+-≥t t x f 恒成立，则实数t 的取值范围是A []2,3B [1,3]C [1,4]D []2,4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式62()x x－的展开式中，2x 的系数是______________．14．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （1）=0，则不等式f （x ﹣2）≥0的解集是 ．15.某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率是 .16.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论。
2017年宁夏银川市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年宁夏银川市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（5分）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{2}2．（5分）已知复数z的实部和虚部相等，且z（2+i）＝3﹣bi（b∈R），则|z|＝（）A．3B．2C．3D．23．（5分）已知圆C1：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆C1和圆C2的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切4．（5分）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（）A．6B．12C．18D．245．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为（）A．15B．20C．25D．15或256．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则＝（）A．B．C．D．17．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（）A．2.598，3，3.1048B．2.598，3，3.1056C．2.578，3，3.1069D．2.588，3，3.11088．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．69．（5分）关于函数f（x）＝2cos2+sin x（x∈[0，π]）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0D．有最大值2，最小值010．（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π11．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或D．12．（5分）若函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0B．2C．4D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝1，点E为DC的中点，则＝．14．（5分）为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是．15．（5分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．16．（5分）我们把满足：的数列{x n}叫做牛顿数列．已知函数f（x）＝x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，设，已知a1＝2，则a3＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（I）若∠DAC＝30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AD＝2，求DC的长．18．（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n＝a+b+c+d19．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD＝60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM＝6．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．20．（12分）已知点A，B分别为椭圆E：的左，右顶点，点P（0，﹣2），直线BP交E于点Q，且△ABP是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y ＝0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）＝aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）＝x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）2017年宁夏银川市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（5分）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{2}【解答】解：∵B＝{x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，∴∁U B＝{2，3}∵集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，∴A∩∁U B＝{1，2，3}∩{2，3}＝{2，3}，故选：C．2．（5分）已知复数z的实部和虚部相等，且z（2+i）＝3﹣bi（b∈R），则|z|＝（）A．3B．2C．3D．2【解答】解：由z（2+i）＝3﹣bi，得＝，∴6﹣b＝﹣2b﹣3，解得b＝﹣9．∴z＝3+3i，则|z|＝．故选：A．3．（5分）已知圆C1：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆C1和圆C2的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【解答】解：圆C1：x2+y2＝4，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，即（x+3）2+（y﹣4）2＝9，表示以C2（﹣3，4）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d＝＝5＝2+3，∵两个圆外切．故选：B．4．（5分）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（）A．6B．12C．18D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从物理，化学，生物三科中选2科，从政治，历史，地理三科中选1科，则有C32•C31＝9种选法；②、从物理，化学，生物三科中选1科，从政治，历史，地理三科中选2科，则有C32•C31＝9种选法；则一共有9+9＝18种选考方法；故选：C．5．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为（）A．15B．20C．25D．15或25【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1＝﹣1，d＝2，或a1＝5，d＝0，∴数列{a n}的前5项的和为：＝5×（﹣1）+5×4＝15．或＝5×5+0＝25．故选：D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，∴＝f（﹣）＝f（）∵当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，∴f（）＝，故选：B．7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（）A．2.598，3，3.1048B．2.598，3，3.1056C．2.578，3，3.1069D．2.588，3，3.1108【解答】解：当n＝6时，S＝×6×sin60°＝2.598，输出S＝2.598，6＜24，继续循环，当n＝12时，S＝×12×sin30°＝3，输出S＝3，12＜24，继续循环，当n＝24时，S＝×24×sin15°＝3.1056，输出S＝3.1056，24＝24，结束，故选：B．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1＝，故组合体的体积V＝8﹣＝，故选：A．9．（5分）关于函数f（x）＝2cos2+sin x（x∈[0，π]）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0D．有最大值2，最小值0【解答】解：函数f（x）＝2cos2+sin x．化简可得：f（x）＝cos x+sin x+1＝2sin（x+）+1∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[，1]∴函数f（x）∈[0，3]，故选：C．10．（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π【解答】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S△ABC×DQ＝3，即×3×DQ＝3，∴DQ＝3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝（）2+（3﹣R）2，∴R＝2，则这个球的表面积为：S＝4π×22＝16π．故选：D．11．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或D．【解答】解：如图，点A在第一象限．过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|AF|＝2|BF|，∴|AD|＝|CE|＝2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|＝3|BC|，在Rt△ABC中，|AC|＝2|BC|，∴直线l的斜率为＝2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为﹣2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．12．（5分）若函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0B．2C．4D．6【解答】解：∵，∴f（﹣x）＝3+＝3﹣，∴f（x）+f（﹣x）＝6．①又f（x）在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，故可令k＝1，由于函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上是一个增函数，故m+n＝f（k）+f（﹣k）由①知，m+n＝f（k）+f（﹣k）＝6．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝1，点E为DC的中点，则＝﹣3．【解答】解：分别以边AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（4，0），E（2，1）；∴；∴．故答案为：﹣3．14．（5分）为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是12．【解答】解：设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和z＝x+y．则，由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（8，4），化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12．故答案为：12．15．（5分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B16．（5分）我们把满足：的数列{x n}叫做牛顿数列．已知函数f（x）＝x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，设，已知a1＝2，则a3＝8．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，∴＝x n﹣＝（x n+），∴＝ln＝ln＝2＝2a n，又a1＝2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a3＝2×22＝8．故答案为：8．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（I）若∠DAC＝30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AD＝2，求DC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有．因为，所以．又∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+60°＞60°，所以∠ADC＝120°． (3)于是∠C＝180°﹣120°﹣30°＝30°，所以∠B＝60°．…（6分）（Ⅱ）设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，．于是，，．…（9分）在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B，即，得x＝2．故DC＝2．…（12分）18．（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n＝a+b+c+d【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得前三组的人数分别为：0.02×5×280＝28，28，[1﹣（0.02+0.02+0.06+0.02）×5]×280＝112所以前三组抽取的人数分别为，2，8（3分）（II）由上可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其概率分别为，，（7分）所以，（9分）（Ⅲ）假设H0：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得K2的观测值，（11分）查表得P（K2≥6.635）＝0.01，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系（12分）19．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD＝60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM＝6．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，∴AD＝DC，OD⊥AC，△ADC中，AD＝DC＝12，∠ADC＝120°，∴OD＝6，又M是BC中点，∴，∵OD2+OM2＝MD2，∴DO⊥OM，∵OM，AC⊂面ABC，OM∩AC＝O，∴OD⊥面ABC，又∵OD⊂平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…（6分）解：（Ⅱ）由题意，OD⊥OC，OB⊥OC，又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：故，设平面MAD的法向量，则，即，令，则x＝3，z＝9∴由条件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量为所以，由图知二面角M﹣AD﹣C为锐二面角，故二面角M﹣AD﹣C的余弦值为．（12分）20．（12分）已知点A，B分别为椭圆E：的左，右顶点，点P（0，﹣2），直线BP交E于点Q，且△ABP是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：△ABP是等腰直角三角形，a＝2，B（2，0），设Q（x0，y0），由，则，代入椭圆方程，解得b2＝1，∴椭圆方程为．…（5分）（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y＝kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝，x1x2＝，…（8分）由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞，…①…（9分）由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则，即x1x2+y1y2＞0，则x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4＝（1+k2）﹣2k×+4＞0，解得：k2＜4，…②…（11分）综合①②可知：＜k2＜4，解得＜k＜2或﹣2＜k＜﹣，直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y ＝0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）＝aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）＝，又由题意有：＝，所以m＝2，f（x）＝．此时，f′（x）＝，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）．…（5分）（2）因为g（x）＝aelnx+﹣（a+e）x，由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）＝aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．…（6分）又g（x）＝aelnx+﹣（a+e）x，则g′（x）＝，…（7分）a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，∴g（x）min＝g（e）＝﹣，∴a≥﹣，∵a≤e，∴﹣≤a≤e．…（9分）a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，综上所述，a≥﹣．…（12分）请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C 的极坐标方程ρ＝2．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因为，又因为|OP|2＝|OR|•|OQ|，即，∴，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）＝x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）【解答】（1）解：根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，此时，不等式的解集为∅．②当0≤x＜时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜，此时其解集为{x|0＜x＜}．③当x≥时，原不等式化为2x﹣1＜x+1，解得≤x＜2，又由x≥，此时其解集为{x|≤x＜2}，综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（2）证明：∵f（x）＝x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，故|f（x）﹣f（a）|＝|x2﹣x﹣a2+a|＝|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|＝|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1＝2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．。