北师大八年级数学下册压轴题
解答题压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版
2021年八下期中考试金牌解答题压轴题训练（一）（时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题1．已知在ABC 中，AB AC =，射线BM 、BN 在ABC ∠内部，分别交线段AC 于点G 、H ．（1）如图1，若60ABC ∠=︒，30MBN =︒∠，过点A 作AE BN ⊥于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ；①求证：CE AG =；①若2BF AF =，连接CF ，求CFE ∠的度数；（2）如图2，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ．若2∠=∠=∠BFE BAC CFE ，请直接写出=ABF ACFSS________．【答案】（1）①见解析；①30°；（2）2 【分析】（1）①根据题意可得60BFD ∠=︒，ABC 为等边三角形，从而综合三角形的外角定理得到ABF CAF ∠=∠，最终运用“角边角”证明ABG CAE △≌△即可； ①取BF 的中点K ，连接AK ，由2BF AF =推出FAK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到FAK FKA ∠=∠，并求出1302FKA BFD ∠=∠=︒，然后结合①的结论证明GAK EFC △≌△，从而得到30CFE AKF ∠=∠=︒；（2）在BF 上取BK =AF ，连接AK ，推出①EAC =①FBA ，根据全等三角形的性质得到CF ABKA SS =△，①AKB =①AFC ，证得①F AK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF =FK ，即可得到结论． 【详解】（1）①①AE BN ⊥，30MBN =︒∠， ①60BFD ∠=︒，即：60ABF BAF ∠+∠=︒， ①60ABC ∠=︒，AB AC =， ①ABC 为等边三角形，则60BAF CAF BAC ∠+∠=∠=︒，60BAG C ∠=∠=︒， ①ABF CAF ∠=∠， 在ABG 和CAE 中，ABF CAF AB ACBAG C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ABG CAE ASA △≌△， ①CE AG =；①如图所示，取BF 的中点K ，连接AK ， ①2BF AF =， ①12AF BK FK BF ===， ①FAK 是等腰三角形，①FAK FKA ∠=∠，①2BFD FAK FKA FKA ∠=∠+∠=∠， ①1302FKA BFD ∠=∠=︒， 由①可得：AG CE =，BG AE =，AGB AEC ∠=∠， ①KG BG BK AE AF FE =-=-=， 在GAK 与EFC 中，AG CE AGB AEC KG FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()GAK EFC SAS △≌△， ①30CFE AKF ∠=∠=︒；（2）如图所示，在BF 上取BK =AF ，连接AK ， ①①BFE =①BAF +①ABF ，①BFE =①BAC ， ①①BAF +①EAC =①BAF +①ABF ， ①①EAC =①FBA ， 在①ABK 和①ACF 中，AB AC ABK FAC BK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABK ①①ACF (SAS )， ①CF ABKA SS =△，①AKB =①AFC ，①①BFE =2①CFE ， ①①BFE =2①AKF ，①①BFE =2①AKF =①AKF +①KAF ， ①①AKF =①KAF ，①F AK 是等腰三角形， ①AF =FK ， ①BK =AF =FK ， ①FK ABKA S S =△， ①22FAFK ABFABKABKAC SSS SS=+==△，①2ABF ACFS S=，故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等，正确结合题意作出辅助线是解题关键．2．某市出租车的起步价是7元（起步价是指不超过3km 行程的出租车价格），超过3km 行程后，其中除3km 的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足1km 按1km 计算）．如果仅去程乘出租车而回程时不乘坐此车，并且去程超过3km ，那么顾客还需付回程的空驶费，超过3km 部分按每千米0.8元计算空驶费（即超过部分实际按每千米2.4元计费）．如果往返都乘同一出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元等候费．现设小文等4人从市中心A 处到相距km x （12x ）的B 处办事，在B 处停留的时间在3分钟以内，然后返回A 处．现在有两种往返方案：方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）； 方案二：4人乘同一辆出租车往返． 问选择哪种计费方式更省钱？（写出过程）【答案】当x 小于5时，方案二省钱；当x=5时，两种方案费用相同；当x 大于5且不大于12时时，方案一省钱 【分析】先根据题意列出方案一的费用：起步价+超过3km 的km 数×1.6元+回程的空驶费+乘公交的费用，再求出方案二的费用：起步价+超过3km 的km 数×1.6元+返回时的费用1.6x+1.6元的等候费，最后分三种情况比较两个式子的大小． 【详解】 方案一的费用：7+（x -3）×1.6+0.8（x -3）+4×2 =7+1.6x -4.8+0.8x -2.4+8=7.8+2.4x，方案二的费用：7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6=3.8+3.2x，①费用相同时x的值7.8+2.4x=3.8+3.2x，解得x=5，所以当x=5km时费用相同；①方案一费用高时x的值7.8+2.4x＞3.8+3.2x，解得x＜5，所以当x＜5km方案二省钱；①方案二费用高时x的值7.8+2.4x＜3.8+3.2x，解得x＞5，所以当x＞5km方案一省钱．【点睛】此题考查了应用类问题，解答本题的关键是根据题目所示的收费标准，列出x的关系式，再比较．3．已知：如图，①AOB=α，OC平分①AOB，D是边OA上一点，将射线OB沿OD平移至射线DE，交OC于点F，E在F右侧．M是射线DA上一点（与D不重合），N是线段DF上一点（与D，F不重合），连接MN，①OMN=β．（1）请在图1中根据题意补全图形；（2）求①MNE的度数（用含α，β的式子表示）；（3）点G在线段OF上（与O，F不重合），连接GN并延长交OA于点T，且满足2①NGO ＋①OMN=180°，画出符合题意的图形，并探究①ENM与①ENG的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）①MNE=β＋α，（3）见解析，①ENM=180°﹣2①ENG 【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可；（3）结论：①ENM=180°﹣2①ENG．利用三角形的外角的性质解决问题即可．【详解】解：（1）图形如图所示．（2）①DE①OB，①①MDN=①AOB，①①MNE=①OMN＋①MDN=β＋α．（3）结论：①ENM=180°﹣2①ENG．理由：如图，设①NGO=γ．①2①NGO＋①OMN=180°，①2γ+β=180°，即β=180°-2γ，①①ENM=α＋β=α＋180°﹣2γ=180°＋α﹣2γ，①①ENG=①DNT=①MTN﹣①ADF=①AOC＋①NGO﹣①ADF=12α＋γ﹣α =γ﹣12α，即2γ=2①ENG+α，①①ENM=180°＋α﹣(2①ENG+α)= 180°﹣2①ENG ． 【点睛】本题考查了平移变换，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．综合与实践如图①，已知直线33y x =+与x 轴，y 轴分别交于B ，A 两点以B 为直角顶点在第二象限内部作等腰Rt ABC ，完成下列任务：（1）点C 的坐标为______________； （2）求直线AC 的关系式；（3）如图①，直线AC 交x 轴于M ，点()3,P a -是线段BC 上一点，在线段BM 上是否存在一点N ，使直线PN 平分BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(4,1)C -；（2）132=+AC y x ；（3）存在，19(,0)4-N 【分析】（1）如图1，作CQ①x 轴，垂足为Q ，利用等腰直角三角形的性质证明①ABO①①BCQ （AAS ），根据全等三角形的性质求OQ ，CQ 的长，确定C 点坐标； （2）由待定系数法，即可求出答案；（3）依题意确定P 点坐标，可知①BPN 中BN 边上的高，再由S ①PBN =12S ①BCM ，求BN ，进而得出ON ．【详解】解：（1）①33y x =+,令x=0，则y=3，令y=0，则x=1-， ①点A 为（0，3），点B 为（1-，0）， ①OA=3，OB=1；如图，作CQ①x 轴，垂足为Q ，①①OBA+①OAB=90°，①OBA+①QBC=90°， ①①OAB=①QBC ，又①AB=BC ，①AOB=①Q=90°， ①①ABO①①BCQ （AAS ），①BQ=AO=3，OQ=BQ+BO=4，CQ=OB=1， ①C （-4，1）；（2）设直线AC 的解析式为：AC y kx b =+， 由A （0，3），C （4-，1）可知，341b k b =⎧⎨-+=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ①直线AC ：132=+AC y x ； （3）如图，①点B （1-，0），点C （-4，1）， 直线BC ：1133y x =--， ①()3,P a -是线段BC 上一点， ①23,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由132=+AC y x 知，点M 为（-6，0）， ①BM=5，则S ①BCM =52．设点N （n ，0），且点N 在线段BM 上，则BN=1n --， 假设存在点N 使①BPN 面积等于①BCM 面积的一半， 则12BN•y P =12×52， ①125(1)234n ⨯--⨯=， 解得：194n =-，①点N 的坐标为（194-，0）； 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．5．小南根据学习函数的经验，对函数|2|y a x b =-+的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：请按要求完成下列各小题：（1）该函数的解析式为 ，自变量 x 的取值范围为 ； （2）n 的值为 ；点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭该函数图象上；（填“在”或“不在”） （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为 坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质： ； ①如图，在同一坐标系中是一次函数1133y x =-+的图象，根据象回答，当11|2|33a xb x -+<-+时，自变量 x 的取值范围为 ．【答案】（1）23y x =--；全体实数；（2）-3；不在；（3）见解析；（4）①函数有最小值为-3；①24x -<< 【分析】（1）把x=-4，y=3；x=-3，y=2代入2y a x b =-+得到二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值，即可求出解析式；自变量 x 没有限制，为全体实数； （2）把x=2代入（1）中的解析式，可求出n 的值；把x=12代入（1）中的解析式，可求出y 的值，即可判断点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在不在该函数图象上； （3）描点，顺次连接即可画出该函数的图象；（4）①观察图象即可得到函数的最小值；①根据图象即可求出11|2|33a xb x -+<-+时x 的取值范围．解：（1）把x=-4，y=3；x=-3，y=2代入2y a x b =-+， 得423322a b a b ⎧--+=⎪⎨--+=⎪⎩， 解得，13a b =⎧⎨=-⎩， ①该函数的解析式为23y x =--；自变量 x 的取值范围为全体实数； 故答案是：23y x =--；全体实数；（2）在23y x =--中，当x=2时，3y =-，①n=-3．当x=12时，32y =-， ①点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭不在函数23y x =--的图象上； 故答案为：-3；不在；（3）该函数的图象如图：（4）①从图象可以看出，该函数有最小值为-3；故答案为：函数有最小值为-3；①从图象可以看出，当24x -<<时23y x =--的图象位于1133y x =-+的图象的下方， ①当11|2|33a xb x -+<-+时，自变量 x 的取值范围为24x -<<． 故答案为：24x -<<．本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象求不等式的解集，正确画出函数的图象是解题的关键．6．如图1，已知①ABC中，①ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（1）求BD的长度；（2）如图2，将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；①连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A'CD'，若点M为AC 的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．【答案】（1）﹣；（2）﹣；①45°或225°；（3）＋3【分析】（1）过点C作CH①AB于H，由等腰直角三角形的性质可得CH＝BH＝12AB，由勾股定理求出DH，则可求出答案；（2）①由旋转的性质可得CD＝CD'＝①DCD'＝30°＝①CDA＝①CD'A'，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得CF＝D'F＝，EF，CE＝2EF＝，即可求解；①分两种情况讨论，由“SSS”可证①A'CD①①BCD'，可得①A'CD＝①BCD'，即可求解；（3）当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，即可求解．解：（1）如图1，过点C 作CH①AB 于H ，①①ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，CH①AB ，①AB ＝CD ＝，CH ＝BH ＝12AB ＝，①CAB ＝①CBA ＝45°，①DH ==①BD ＝DH ﹣BH ＝﹣；（2）①如图2，过点E 作EF①CD'于F ，①将①ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A′CD′，①CD ＝CD'＝，①图1中CD=2CH ，①①DCD'＝30°＝①CDA ＝①CD'A'，①CE ＝D'E ， 又①EF①CD'，①CF ＝D'F ＝EF=CE ＝2EF ＝，①DE ＝DC ﹣CE ＝﹣；①如图2﹣1，①①ABC＝45°，①ADC＝30°，①①BCD＝15°，①①ACD＝105°，①将①ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到①A′CD′，①AC＝A'C，CD＝CD'，①ACA'＝①DCD'＝α，①CB＝CA'，又①A′D＝BD′，①①A'CD①①BCD'（SSS），①①A'CD＝①BCD'，①105°﹣α＝15°＋α，①α＝45°；如图2﹣2，同理可证：①A'CD①①BCD'，①①A'CD＝①BCD'，①α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，①α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（3）如图3，当A'D'①AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，①①A'＝45°，A'D'①AC ，①①A'＝①NCA'＝45°，①CN ＝A'N ＝，①点M 为AC 的中点，①CM ＝12AC ＝3，①MN 的最小值＝NC ﹣CM ＝﹣3；如图4，当点A ，点C ，点D'共线，且点N 与点D'重合时，MN 有最大值，此时MN ＝CM ＋CN ＝＋3，①线段MN 的取值范围是﹣＋3．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质是解题的关键．7．如图，ABC 中，CD AB ⊥于点 D ，CD BD =，点 E 在CD 上，DE DA =，连接BE ．（1）求证：BE CA =；（2）延长BE 交AC 于点F ，连接DF ，求CFD ∠的度数；（3）过点C 作CM CA ⊥，CM CA =，连接BM 交CD 于点N ，若12BD =，5AD =，直接写出NBC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）①CFD =135°；（3）①NBC 的面积为21．【分析】（1）由“SAS ”可证①BDE ①①CDA ，可得BE =CA ；（2）过点D 作DG ①AC 于G ，DH ①BF 于H ，由全等三角形的性质可得①DBE =①ACD ，S ①BDE =S ①ADC ，由面积关系可求DH =DG ，由角平分线的性质可得①DFG =①DFH =45°，即可求解；（3）在CD 上截取DE =AD =5，连接BE ，延长BE 交AC 于F ，由①BEN ①①MCN ，可得EN =CN ，由三角形的面积公式可求解．【详解】证明（1）在①BDE 和①CDA 中，90BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①BDE ①①CDA （SAS ），①BE =CA ；（2）如图2，过点D 作DG ①AC 于G ，DH ①BF 于H ，①①BDE ①①CDA ，①①DBE =①DCA ，S ①BDE =S ①ADC ，①①DBE +①A =①ACD +①A =90°，①①AFB =①CFB =90°，①S ①BDE =S ①ADC ， ①1122BE DH AC DG ⨯=⨯⨯， ①DH =DG ，又①DG ①AC ，DH ①BF ，①①DFG =①DFH =45°，①①CFD =135°；（3）如图3，在CD 上截取DE =AD =5，连接BE ，延长BE 交AC 于F ，由（1）、（2）可得BE =AC ，BF ①AC ，BD =CD =12，①CM ①CA ，①BF ①CM ，①①M =①FBN ，①CM =CA ，①CM =BE ，在①BEN 和①MCN 中，FBN M BNE MNC BE CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BEN ①①MCN （AAS ），①EN =CN ，①EC =CD -DE =12-5=7， ①72CN =，①①NBC的面积1171221 222NC BD=⨯⨯=⨯⨯=，故①NBC的面积为21．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/吨和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．【答案】（1）大货车用8辆，小货车用10辆；（2）w=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．【分析】（1）根据大、小两种货车共18辆，以及两种车所运的货物的和是192吨，据此即可列方程或方程组即可求解；（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式；（3）根据运往甲地的物资不少于96吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据（2）中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案．【详解】（1）设大货车用x 辆，则小货车用（18﹣x ）辆，根据题意得：14x +8（18﹣x ）=192，解得：x =8，18﹣x =18﹣8=10．答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）设运往甲地的大货车是a ，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a ），运往甲地的小货车是（10﹣a ），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a ），w =720a +800（8﹣a ）+500（10﹣a ）+650[10﹣（10﹣a ）]=70a +11400（0≤a ≤8且为整数）；（3）14a +8（10﹣a ）≥96，解得：a ≥83． 又①0≤a ≤8，①3≤a ≤8 且为整数．①w =70a +11400，k =70＞0，w 随a 的增大而增大，①当a =3时，W 最小，最小值为：W =70×3+11400=11610（元）．答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．9．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．（3）如图①，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，3BC =+D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．【答案】（1）CE①BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 2=+【分析】（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）CE 与BD 位置关系是CE①BD ，数量关系是CE=BD①ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △①DAE 90BAC ∠=∠=︒①D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠①D CAE BA ∠=∠①BA=CA ，AD=AE①ABD ACE ≅①ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD①ACB 45B ∠=∠=︒①ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE①BD故答案为：CE①BD ；CE=BD ；（2）如图①，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，则ACE ABG ≅①AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒①BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒①GAD DAE 45∠=∠=︒在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ADG ADE ≅①ED=GD①GBD 90∠=︒①222BD BG DG +=即222BD EC DE +=（3）如图①，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，①AEC AFB ≅①AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒①CAB 120∠=︒，AB=AC①ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒①FBD 60∠=︒①EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒①DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD①ADE ADF ≅①DF=DE①以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形①以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形①BDF 是直角三角形若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒①BF=2BD=EC ，DF DE ==①(BC BD DE EC BD 2BD 33BD =++=+==①BD 1=①DE =①BE BD DE 1=+=+若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒①BD=2BF=2EC ，DF DE ==①(BC BD DE EC 2BF BF 33BF =++=+==①BF 1=①BD=2，DE =①BE 2=+【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
专题04 一元一次不等式与一元一次不等式组【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(原卷版)
【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】专题04 一元一次不等式与一元一次不等式组一、选择题1．（2021八上·鄞州期末）已知a ＜b ，下列式子正确的是（ ）A ．a+3＞b+3B ．a ﹣3＜b ﹣3C ．﹣3a ＜﹣3bD ．33a b > 2．（2021八上·鄞州期末）若a ＞b ，则下列各式正确的是（ ） A ．a ﹣b ＜0 B ．3﹣a ＜3﹣b C ．|a|＞|b| D ．33a b < 3．（2021八上·瓯海月考）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）A ．24人B ．23人C ．22人D ．不能确定4．（2021八上·秀洲月考）不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解是x ＞a ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜3 B ．a=3 C ．a ＞3 D ．a≥35．（2021八上·余杭月考）已知关于x 的不等式(4)4a x a -<-的解集为1x <-，则a 的取值范围是( )A ．4a >B ．4a ≠C ．4a <D ．4a6．（2021八上·金东期中）不等式 054ax ≤+≤ 的整数解是1，2，3，4.则实数a 的取值范围是（ ）A ．514a -≤<- B ．1a ≤- C ．54a ≤- D ．54a ≥- 7．（2021八下·郑州期中）如果关于x 的分式方程 2x a x -- ＝1+ 522x x x -- 有正整数解，且关于y 的一元一次不等式组 33240y y y a -⎧>-⎪⎨⎪-≤⎩ 的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（ ）A ．8B ．7C ．3D ．28．（2020八下·南岸期末）如图，已知直线 3y ax =+ 与 3y bx =- 交点为P ，根据图象有以下3个结论：①0a > ；②0b >③2x > 是不等式 33ax bx +>- 的解集.其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．（2020八上·余杭期末）如图，直线 y ax b =+ 与 x 轴交于点 ()4,0A ，与直线 y mx = 交于点 ()2,B n ，则关于 x 的不等式组 0ax b mx <-< 的解为（ ）A ．42x -<<-B ．2x <-C ．4x >D ．24x << 二、填空题 10．（2022八下·长兴开学考）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c 相交于点P （m ，3）．则关于x 的不等式x+2≥ax+c 的不等式的解为 。
北师大版八年级下册数学压轴题专题上课讲义
北师大版八年级下册数学压轴题专题1小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF ⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．方法：（1）________________________________________________________ （2）________________________________________________________（3）________________________________________________________1（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，∵∠EAF=∠B，∴∠EAF+∠C=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF；（2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，，∴△AEP≌△AFQ，∴AP=AQ；（3）解：已知：AB=4，∠B=60°，求四边形APCQ的面积，解：连接AC、BD交于O，∵∠ABC=60°，BA=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD，∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积，由（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，OA=AB=2，OB=AB=2，∴四边形ABCD的面积=×2×2×4=8，∴四边形APCQ的面积=4．2问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．方法：（1）________________________________________________________ （2）________________________________________________________（3）________________________________________________________2解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠EDC=90°，∴DE==6，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=DE=6．3如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．方法：（1）________________________________________________________ （2）________________________________________________________（3）_________________________________________________________________________________________________________3解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，在△FME和△BMH中，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH，∵CD=BC，∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．（2）如图2，连接BE，∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B、E、D在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，∴CM=AF，EM=AF，∴CM=ME，∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，∴CM⊥ME．（3）如图3，连接DF，MG，作MN⊥CD于N，在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD，∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°，∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．4（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM 与GN的数量关系是MG=NG；位置关系是MG⊥NG．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．4解：（1）连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE相交于点H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．5将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．【分析】（1）先运用SAS判定△AEG≌Rt△FDG，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，∴∠AEB=∠ABE，又∵∠ABE+∠GDE=90°=∠AEB+∠DEG，∴∠EDG=∠DEG，∴DG=EG，∴FG=AG，又∵∠DGF=∠EGA，∴△AEG≌Rt△FDG（SAS），∴DF=AE，又∵AE=AB=CD，∴CD=DF；（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD 于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=AD=AG，∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°﹣60°=300°．6如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=AB，BE=AB∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，AC=BC=3，∴S平行四边形BCFD=3×=9．。
B卷必刷北师大八年级下第3单元：图形的平移与旋转(专题整合,期中期末,压轴题训练,易错过关,名校直升
图形的平移与旋转专题整合与提升专题一：图形的平移1、平移的概念:在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
平移的两个要素:平移方向，平移距离，平移的关键词:"在同一个平面内"，"沿某个方向"。
2、平移的性质:（1）平移不改变图形的形状与大小，即平移后所得的新图形与原图形相同（全等）; （2）连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
例1、生活中有很多平移的例子，下列物体的运动是平移的是( )A.水中小鱼的游动B.天空中划过的流星的运动C.出膛的子弹沿水平直线的运动D.小华在跳高时的运动变式1:下列生活中的各个现象，属于平移变换现象的是( )A.拉开抽屉B.用放大镜看文字C.时钟上分针的运动D.你和平面镜中的像变式2:下列现象中属于平移的是( )A.升降电梯从一楼升到五楼B.闹钟的钟摆运动C.树叶从树上随风飘落D.方向盘的转动变式3:下列运动属于平移的是( )A.冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡B.投篮时的篮球运动C.急刹车时汽车在地面上的滑动D.随风飘动的树叶在空中的运动变式4:如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF 的位置，AB=10, DO=4,平移距离为6，则阴影部分的面积为。
变式5:如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF,若四边形ABFD的周长为22cm,则△ABC的周长为cm。
变式6:如图，在△ABC中，C=90°, AC=6, BC=8, ,点D, M分别在BC, AC上，RT△BDE, RT△EFG, RT△GHI, RT△IJK, RT△KMA的斜边都在AB上，则五个小直角三角形的周长和为。
专题二:图形的旋转1、旋转的概念:在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
注意:（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.（2)旋转的角度一般小于360°。
压轴题训练(三)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)
2021年八下期中考试金牌压轴题训练（三）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、单选题1．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．16B．24C．30D．40【答案】D【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．【详解】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，如图，∵图2中长方形的周长为48，∵AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∵AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∵2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故选：D．．【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．2．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964【答案】C【分析】 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，=30MON ∠︒，111OA A B =，得到1=30∠︒，由12B A OM ⊥，得到1OA 的长度，进而得到22122A B B A =，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而得出答案．【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∵1=30∠︒，∵===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∵111A B =，∵21121A B A A ==，∵22OA =，∵222OA A B =，∵22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∵122334////B A B A B A∵1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∵3323324A B B A OA ===，∵331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =，进而发现规律是解题关键．3．若不等式组213x x a->⎧⎨≤⎩的整数解共有三个，则a 的取值范围是（ ） A ．56a ≤<B ．56a <≤C ．56a <<D ．56a ≤≤【答案】A首先确定不等式组的解集，利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解不等式2x -1＞3，得：x ＞2，∵不等式组整数解共有三个，∵不等式组的整数解为3、4、5，则56a ≤<，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a 的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．二、填空题4．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，P 为平面内任意一点，1CP =，连接PD ，将线段PD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DQ ，连接CQ ，则3DQ CQ +的最小值为_________．【分析】根据正方形的性质证明()△△QDA PDCSAS ≅，得出点Q 在以点A 为圆心，1为半径的圆上运动，根据题意判断计算即可；由题意可知DQ DP =，90QDP ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∵DA DC =，90ADC ∠=︒，∵ADC ADP QDP ADP ∠-∠=∠-∠，即QDA PDC ∠=∠，∵()△△QDA PDCSAS ≅， ∵1QA PC ==，∵点Q 在以点A 为圆心，1为半径的圆上运动，如图所示，在AD 上取一点E ，使13AE =，则13AE AQ AQ AD ==， ∵△QAE△DAQ ， ∵13QE QD =，13DQ CQ CQ QE +=+＞CE ， 当Q 位于Q '的位置时，13DQ CQ +取得最小值CE ，13CE ===∵1333DQ CQ DQ CQ ⎛⎫+=+⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了四边形综合，准确利用相似三角形和全等三角形性质求解是解题的关键． 5．如图，在等边ABC 中，6AC =，点O 在AC 上，且2AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是___．【答案】4【分析】根据题意得OP =OD ，∵POD =60°，又∵ABC 是等边三角形，所以∵A =∵B =∵C =60°，∵AOP +∵APO =120°，∵AOP +∵COD =120°，所以∵APO =∵COD 从而∵APO ∵∵COD ，则AP =CO ；又AO =2，AC =6，则AP =4．【详解】解：根据题意得，OP =OD ，∵POD =60°，∵∵ABC 是等边三角形，∵∵A =∵B =∵C =60°，又∵∵AOP +∵APO =120°，∵AOP +∵COD =120°，∵∵APO =∵COD ，∵在∵APO 和∵COD 中，==A C APO COD OP OD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∵∵APO ∵∵COD （AAS ），∵AP =CO ，又∵AO =2，AC =6，即CO =4，∵AP =4；故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，掌握其判定及性质，得出∵APO ∵∵COD 是正确解答本题的基础．6．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105° 150°【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∵AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∵BAP=α，则∵APC=α+30°，∵∵BAC=90°，∵∵PCA=60°，∵PAC=90°-α，∵AI 、CI 分别平分∵PAC ，∵PCA ， ∵∵IAC=12∵PAC ，∵ICA=12∵PCA ， ∵∵AIC=180°-（∵IAC+∵ICA ）=180°-12（∵PAC+∵PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∵105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∵AIC ＜150°， ∵m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题7．在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （0，b ）．已知a ，b ()240b -=． （1）∠求出A ，B 两点的坐标；∠如图1，点P 为∠AOB 三个内角角平分线的交点，且AB=5，求点P 的坐标；（2）如图2．若点C 为点A 关于y 轴对称的点，∠DBE 是将∠ABC 绕点B 顺时针旋转后所得图形，连接AD 、CE 交于点F ．求证：BF 平分∠CFD ．（3）在（2）的基础上继续绕点B 旋转使得D 、B 、C 三点共线，若ABO α∠=，求∠CFD 的度数（用含α的式子表示）．【答案】（1）∵A(-3，0)，B(0，4)；∵(-1，1)；（2）∵证明见解析；∵90-α︒【分析】（1）∵根据非负性可求出a 和b ，即可得到A 、B 的坐标；∵从P 点分别向AB 、BO 、AO 作垂线，分别交D 、E 、F ，先证明∵BDP ∵∵BEP ，同理可证∵PFO ∵∵PEO ，∵PDA ∵∵PF A ，设PF =x ，则DP =PE =x ，可得到PAB POB PAO ABO S S S S ++=△△△△，即可求得PF ，进而得到P 点坐标；（2）∵根据∵DBE 是将∵ABC 绕点B 顺时针旋转后所得图形，点C 为点A 关于y 轴对称的点，可证得∵DBE ∵∵ABC ，进而可证得∵BDA ∵∵BCE ，得到∵BAF =∵BEC ，进而得到∵EFB ∵∵AFB ，即可证得BF 平分∵CFD ；∵连接BF ，可得∵BFC =∵ECA ，根据∵BFC =180°-∵FBC -∵BCF 即可求解．【详解】解：（1）()240b -=，∵a +3=0，b -4=0，∵a =-3，b =4，∵A (-3，0)，B (0，4)；∵∵点P 为∵AOB 三个内角角平分线的交点，且AB =5，∵∵DBP =∵EBP ，∵FOP =∵EOP ，∵DAP =∵F AP ，从P 点分别向AB 、BO 、AO 作垂线，分别交D 、E 、F ，如下图所示，∵DP =PE =PF ，在∵BDP 和∵BEP 中，BP BP DP DE BDP BEP =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵∵BDP ∵∵BEP ，同理可得∵PFO ∵∵PEO ，∵PDA ∵∵PF A ，设PF =x ，则DP =PE =x ，∵PAB POB PAO ABO S S S S ++=△△△△， 即()115433422x x x ++=⨯⨯， 解得：x =1，又∵点P 在第二象限，∵P点坐标为：(-1，1)；（2）∵∵点C为点A关于y轴对称的点，∵AB=BC，在∵BDA和∵BCE中，∵∵DBE是将∵ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，∵∵DBE∵∵ABC，∵BD=AB=BE=BC，∵DBE=∵ABC，∵∵DBE+∵EBA=∵ABC+∵EBA，即∵DBA=∵EBC，∵∵BDA∵∵BCE，∵∵BAF=∵BEC，在∵EFB和∵AFB中，AB=EB，BF=BF，∵BAF=∵BEC，∵∵EFB∵∵AFB，∵BF平分∵CFD；∵如图，连接BF，由题可知，∵BFC=∵ECA，∵∵BFC=180°-∵FBC-∵BCF=180°-（∵ABC+∵FBA）-∵BCF=180°-∵ABC-（∵BCF+∵FBA）=180°-∵ABC-（∵BCF+∵FCA）=180°-2α-（90°-α）=90-α︒，∵∵CFD=90-α︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、几何变换-旋转，解题的关键是综合运用相关知识．8．如图1，在平面直角坐标系中，AO＝AB，∠BAO＝90°，BO＝8cm，动点D从原点O出发沿x轴正方向以a cm/s的速度运动，动点E也同时从原点O出发在y轴上以b cm/s的速度运动，且a，b满足关系式a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，连接OD，OE，设运动的时间为t秒．（1）求a，b的值；（2）当t为何值时，∠BAD∠∠OAE；（3）如图2，在第一象限存在点P，使∠AOP＝30°，∠APO＝15°，求∠ABP．【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）t＝83或t＝8；（3）∵ABP＝105°．【分析】（1）将a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0用配方法得出（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，利用非负数的性质，即可得出结论；（2）先由运动得出BD＝|8﹣2t|，再由全等三角形的性质的出货BD＝OE，建立方程求解即可得出结论．（3）先判断出∵OAP∵∵BAQ（SAS），得出OP＝BQ，∵ABQ＝∵AOP＝30°，∵AQB＝∵APO ＝15°，再求出∵OAP＝135°，进而判断出∵OAQ∵∵BAQ（SAS），得出∵OQA＝∵BQA＝15°，OQ＝BQ，再判断出∵OPQ是等边三角形，得出∵OQP＝60°，进而求出∵BQP＝30°，再求出∵PBQ＝75°，即可得出结论．【详解】解：（1）∵a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，∵（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，∵a﹣2＝0，b﹣1＝0，∵a＝2，b＝1；（2）由（1）知，a＝2，b＝1，由运动知，OD＝2t，OE＝t，∵OB＝8，∵DB＝|8﹣2t|∵∵BAD∵∵OAE，∵DB＝OE，∵|8﹣2t|＝t，解得，t＝83（如图1）或t＝8（如图2）；（3）如图3，过点A作AQ∵AP，使AQ＝AP，连接OQ，BQ，PQ，则∵APQ＝45°，∵P AQ＝90°，∵∵OAB＝90°，∵∵P AQ＝∵OAB，∵∵OAB+∵BAP＝∵P AQ+∵BAP，即：∵OAP＝∵BAQ，∵OA＝AB，AD＝AD，∵∵OAP∵∵BAQ（SAS），∵OP＝BQ，∵ABQ＝∵AOP＝30°，∵AQB＝∵APO＝15°，在∵AOP中，∵AOP＝30°，∵APO＝15°，∵∵OAP＝180°﹣∵AOP﹣∵APO＝135°，∵∵OAQ＝360°﹣∵OAP﹣∵P AQ＝135°﹣90°＝135°＝∵OAP，∵OA＝AB，AD＝AD，∵∵OAQ∵∵BAQ（SAS），∵∵OQA＝∵BQA＝15°，OQ＝BQ，∵OP＝BQ，∵OQ ＝OP ，∵∵APQ ＝45°，∵APO ＝15°，∵∵OPQ ＝∵APO +∵APQ ＝60°，∵∵OPQ 是等边三角形，∵∵OQP ＝60°，∵∵BQP ＝∵OQP ﹣∵OQA ﹣∵BQA ＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∵BQ ＝PQ ，∵∵PBQ ＝12（180°﹣∵BQP ）＝75°， ∵∵ABP ＝∵ABQ +∵PBQ ＝30°+75°＝105°．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了配方法、非负数的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质，构造出全等三角形是解题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 和图形W 的中间点的定义如下：Q 是图形W 上一点，若M 为线段PQ 的中点，则称M 为点P 和图形W 的中间点．(2,3)C -，(1,3)D ，(1,0)E ，(2,0)F -．（1）点(2,0)A ，∠点A 和原点的中间点的坐标为________；∠求点A 和线段CD 的中间点的横坐标m 的取值范围；（2）点B 为直线2y x =上一点，在四边形CDEF 的边上存在点B 和四边形CDEF 的中间点，直接写出点B 的横坐标n 的取值范围．【答案】（1）∵（1，0）；∵0≤m≤32；（2）32-≤n≤0或1≤n≤3． 【分析】（1）∵由题意根据点A ，O 的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论；∵根据题意先依据题意画出图形，观察图形可知点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C′D′，根据点A ，C ，D 的坐标，利用中点坐标公式可求出点C′，D′的坐标，进而可得出m 的取值范围；（2）根据题意利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标为（n ，2n ），进而依据题意画出图形，观察图形可知：点B 和四边形CDEF 的中间点只能在边EF 和DE 上，当点B 和四边形CDEF 的中间点在边EF 上时，利用四边形CDEF 的纵坐标的范围，可得出关于n 的一元一次不等式组，解之即可得出n 的取值范围；当点B 和四边形CDEF 的中间点在边DE 上时，由四边形CDEF 的横、纵坐标的范围，可得出关于n 的一元一次不等式组，解之即可得出n 的取值范围．【详解】解：（1）∵∵点A 的坐标为（2，0），∵点A 和原点的中间点的坐标为()002202++，，即（1，0）． 故答案为：（1，0）； ∵如图1，点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C′D′．由题意可知：点C′为线段AC 的中点，点D′为线段AD 的中点．∵点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（-2，3），点D 的坐标为（1，3），∵点C′的坐标为（0，32），点D′的坐标为（32，32）， ∵点A 和线段CD 的中间点的横坐标m 的取值范围为0≤m≤32． （2）∵点B 的横坐标为n ，∵点B 的坐标为（n ，2n ），当点B 和四边形CDEF 的中间点在边EF 上时，有023020n n ⎧⎨⎩-≤-≥， 解得：32-≤n≤0；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有121 3220nn⎧⎨⎩⨯-≤⨯-≥，解得：1≤n≤3．综上所述，点B的横坐标n的取值范围为32-≤n≤0或1≤n≤3．【点睛】本题考查中点坐标公式和一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是（1）∵利用中点坐标公式求出结论；∵通过画图找出点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′；（2）分点B和四边形CDEF的中间点在边EF上及点B和四边形CDEF 的中间点在边DE上两种情况，找出关于n的一元一次不等式组．。
专题01 等腰三角形与直角三角形【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】(原卷版)
【2022春北师大版八下数学压轴题突破专练】专题01 等腰三角形与直角三角形一、选择题1．（2022八下·长兴开学考）如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE=CD ，BD=CF ，若∠A=40°，则∠EDF 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°2．（2021八上·海曙期末）如图，在 Rt ABC 中， AC BC = ， 90C ∠= ， D 为 AB 边的中点， 90EDF ︒∠= ， EDF ∠ 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 和 CB 的延长线于 E ， F ，当点 E 在 AC 延长线上时， DEFS， CEFS，ABCS的关系为（ ）A ．DEF CEF S S- =ABC1S 2B ．DEFCEFS S - = ABC SC ．DEFCEFSS+ = ABC 2SD ．ABCCEF SS+ =DEFS3．（2021八上·鄞州期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为（ ）A．44 B．43 C．42 D．41 4．（2021八上·开化期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（)A．36°B．46°C．54°D．72°5．（2022八下·）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=84°，则∠FEG等于（）A．32°B．38°C．64°D．30°6．（2021八上·瓯海月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣3），在坐标轴上确定一点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）个A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2021八上·衢江月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A ．50B ．C ．100D ．8．（2021八上·如皋期末）如图，在 ABC 中， AC BC = ， 30B ∠=︒ ，D 为AB 的中点，P 为 CD 上一点，E 为 BC 延长线上一点，且 .PA PE = 有下列结论：①30PAD PEC ∠+∠=︒ ；②PAE 为等边三角形；③PD CE CP =- ；④.ABCAECP S S=四边形 其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②C ．①②④D ．③④9．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC =40°，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在AB 上，且满足DF =DE ，求∠DFB 的度数．”小贤的解答：以D 为圆心，DE 长为半径画圆交AB 于点F ，连接DF ，则DE =DF ，由图形的对称性可得∠DFB =∠DEB ．结合平行线的性质可求得∠DFB =140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB 还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）A ．小军说的对，且∠DFB 的另一个值是40° B ．小军说的不对，∠DFB 只有140°一个值C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值10．（2021八上·龙沙期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线N上，点B1、B2、B3……在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长（）A．22019B．4040 C．4038 D．22020二、填空题11．等腰三角形的一边长是2cm，另一边长是4cm，则底边长为cm. 12．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为，CE的长为.13．（2022八下·）在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为。
(完整版)北师大版初中中考数学压轴题及答案
中考数学专题复习(压轴题)1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22）2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？P图 3B D 图 2B 图 1 AB C D E R PH Q4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.6如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.7.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．C DA B E F NM8.如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数x k y =的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标 为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为．9.如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． 友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．x图16压轴题答案1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得 c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，====所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆.2 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=． （2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=． C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠． AB CD E R P H Q M 2184cos 1cos 105C ∴∠===，45QMQP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=．②当PQ RQ =时，312655x -+=，6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QRBAC CR CA ==，366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．3解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM ANAB AC =，即43x AN=．∴ AN ＝43x ． ……………2分∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分H Q A B C D E R P H QB 图 1（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =， ∴ 58OD x =． …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴当x＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． 故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．BD 图 2QBP 图 3∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………… 9分 MNP PEFy S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………1分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． …………………………12分4 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得k =,P图 4以直线AB 的解析式为343y x =-+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532, ∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+=∴D(532,72)(3)设OP=x,则由（2）可得D(323,22x x ++)若ΔOPD 的面积为：133(2)224x x += 解得：23213x -±=所以P(23213-±,0)5yxHG E DBA OP67解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．……………1分∵AB∥CD，∴DG＝CH，DG∥CH．∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，D∴△AGD≌△BHC（HL）． CMN∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．∴ 四边形MEFN 为矩形．∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DGME AG AE =． ∴ ME ＝x 34． …………………………………………………………6分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分 （3）能． ……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即 =34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4．A B E F G H∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．8解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ．解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）；∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴 上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）． ∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． ………………11分（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分9解：（1）直线y=-x轴交于点A，与y轴交于点C．(10)A∴-，，(0C， ················································································· 1分点A C，都在抛物线上，3a cc⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩3ac⎧=⎪∴⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2y x x=-- ····················································· 3分∴顶点1F⎛-⎝⎭， ······················································································ 4分（2）存在····································································································· 5分1(0P ·································································································· 7分2(2P ·································································································· 9分（3）存在····································································································10分理由：解法一：延长BC到点B'，使B C BC'=，连接B F'交直线AC于点M，则点M就是所求的点．··············································································11分过点B'作B H AB'⊥于点H．B点在抛物线233y x x=-(30)B∴，在Rt BOC△中，tan OBC∠=，x30OBC∴∠=，BC=在Rt BB H'△中，12B H BB''==6BH H'==，3OH∴=，(3B'∴--， ··············································12分设直线B F'的解析式为y kx b=+3k bk b⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得2kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩62y x∴=-························································································13分62yy x⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩解得377xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M⎛∴⎝⎭∴在直线AC上存在点M，使得MBF△的周长最小，此时37M⎛-⎝⎭，．········14分解法二：过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点．连接BH交AC于点M，则点M即为所求．11分过点F作FG y⊥轴于点G，则OB FG∥，BC FH∥．90BOC FGH∴∠=∠=，BCO FHG∠=∠xHFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，．在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=，可求得3GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC的对称点．03H ⎛∴- ⎝⎭， ············································ 12分设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=······················································································· 13分y y ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． 110解：（1）点E 在y 轴上 ·············································································· 1分 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ································································· 3分（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM = 点D 在第一象限， ∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭， ··············································································· 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A 的坐标为( ················································································· 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ， 2c ∴=由题意，将(A，122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得899a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =--+ ·················································· 9分 （3）存在符合条件的点P ，点Q ． ·································································· 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2 ······················································································· 11分 依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =--+上282299m m ∴--+= 解得，10m =，2m =1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形， PQ OB ∴∥，PQ OB ==∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，2Q ； 当点2P的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ··········································· 14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）。
压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)
2021年八下期中考试金牌压轴题训练（一）（时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、单选题1．如图，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＜OC ，△AOB ＝△COD ＝36°．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：△△AMB ＝36°，△AC ＝BD ，△OM 平分△AOD ，△MO 平分△AMD ．其中正确的结论个数有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】由SAS 证明△AOC △△BOD 得出△OCA ＝△ODB ，AC ＝BD ，△正确；由全等三角形的性质得出△OAC ＝△OBD ，由三角形的外角性质得：△AMB +△OBD ＝△OAC +△AOB ，得出△AMB ＝△AOB ＝36°，△正确；作OG △AM 于G ，OH △DM 于H ，如图所示：则△OGA ＝△OHB ＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG ＝OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分△AMD ，△正确； 假设MO 平分△AOD ，则△DOM ＝△AOM ，由全等三角形的判定定理可得△AMO △△DMO ，得AO ＝OD ，而OC ＝OD ，所以OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故△错误；即可得出结论． 【详解】解：△△AOB ＝△COD ＝36°， △△AOB +△BOC ＝△COD +△BOC ， 即△AOC ＝△BOD ， 在△AOC 和△BOD 中，OA OBAOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOC △△BOD （SAS ），△△OCA ＝△ODB ，AC ＝BD ，故△正确； △△OAC ＝△OBD ， 由三角形的外角性质得： △AMB +△OBD ＝△OAC +△AOB ， △△AMB ＝△AOB ＝36°，故△正确；作OG △AM 于G ，OH △DM 于H ，如图所示，则△OGA ＝△OHB ＝90°， △△AOC △△BOD ，所以两个三角形的面积相等， △AC ＝BD ， △OG ＝OH ，△MO 平分△AMD ，故△正确；假设MO 平分△AOD ，则△DOM ＝△AOM ， 在△AMO 与△DMO 中，AOM DOM OM OMAMO DMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△AMO △△DMO （ASA ）， △AO ＝OD ， △OC ＝OD ， △OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故△错误； 正确的个数有3个； 故选：B ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．2．如果关于x 的不等式组4430x x x m -⎧-<-⎪⎨⎪->⎩的解集为4x >，且整数m 使得关于x ，y 的二元一次方程组831mx y x y +=⎧⎨+=⎩的解为整数（x ，y 均为整数），则不符合条件的整数m 的有（ ）A ．-4B ．2C ．4D ．5【答案】D 【分析】根据不等式组的解集确定m 的取值范围，根据方程组的解为整数，确定m 的值． 【详解】解：4430x x x m -⎧-<-⎪⎨⎪->⎩①②解不等式△得，4x >， 解不等式△得，x m >， 因为不等式组的解集是4x >， 所以，4m ≤，解二元一次方程组831mx y x y +=⎧⎨+=⎩得，73x m =-，因为x 为整数，所以31m -=或31m -=-或37m -=或37m -=-， 则4m =或2m =或10m =或4m =-， △4m ≤△4m =或2m =或4m =-， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练运用解方程组和解不等式组方法求解，根据整数解准确进行求值．3．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =．将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论错误的是（ ）A ．点O 与O '的距离为4B ．150AOB ∠=︒C ．S 四边形AOBO′6=+D ．3AOB AOC S S +=+△△【答案】D 【分析】证明△BO′A△△BOC ，得△OBO′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AOO′是直角三角形，进而可判断． 【详解】解：如图，连接OO ′，由题意可知，△1+△2＝△3+△2＝60°， △△1＝△3，又△OB ＝O ′B ，AB ＝BC ， △△BO ′A △△BOC ， 又△△OBO ′＝60°， △△OBO ′是等边三角形， △OO ′＝OB ＝4． 故A 正确； △△BO ′A △△BOC ， △O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，△△AOO ′是直角三角形，△AOO ′＝90°， △△AOB ＝△AOO ′+△BOO ′＝90°+60°＝150°， 故B 正确；S 四边形AOBO ′＝S △AOO ′+S △OBO ′═12×3×4+4×42＝， 故C 正确； 如图2将△AOC 绕A 点顺时针旋转60°到△ABO'位置，同理可得S △AOC +S △AOB 故D 错误； 故选D ． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二、填空题4．如图，Rt △ABC 中，△BAC ＝90°，分别以△ABC 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD 、△ACE 、△BCF ，若图中阴影部分的面积S 1＝6.5，S 2＝3.5，S 3＝5.5，则S 4＝_____．【答案】2.5【分析】DE 分别交BF 、CF 于点G 、点H ；设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，ABG S m =△，ACH S n =△，由222+=a b c ，可得ABD ACE BCF S S S +=△△△，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】如图，DE 分别交BF 、CF 于点G 、点H△△ABD 、△ACE 、△BCF 均是等腰直角三角形 △AB ＝BD ，AC ＝CE ，BC ＝CF ，设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，ABG S m =△，ACH S n =△ △222+=a b c△ABD ACE BCF S S S +=△△△△1ABD S S m =+△，4ACE S n S =+△，23BCF S S S m n =+++△ △1423S m n S S S m n +++=+++ △4231=3.5 5.5 6.5 2.5S S S S =+-+-= 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．5．小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的裝修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x ，y 均为整数，且满足y<x<2y ，则小张的方案装修总费用最少为________元．【答案】234041401260y y +- 【分析】设每平方米木地板a 元，木制吊顶b 元，地砖m 元，乳胶漆n 元，则复合材料墙面()a b +元，木质墙面m n 元，根据题意列出不等式组，得到340345a b m n +≥⎧⎨+≥⎩，根据“小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元”列式即可求解． 【详解】解：设每平方米木地板a 元，木制吊顶b 元，地砖m 元，乳胶漆n 元， 则复合材料墙面()a b +元，木质墙面m n 元，根据题意可得6008090a b m n a b m n +++≥⎧⎨≤+--≤⎩，解得340345a b m n +≥⎧⎨+≥⎩，小李的总花费()()()()()2336xya xyb m n y x xy a b m n x y ++++=++++，小张的总花费()()()()()2336xym xyn a b y x xy m n a b x y ++++=++++， △()()()()()()661260xy a b m n x y xy m n a b x y ++++-+-++=， △2y x y <<，△()()()61260xy a b m n x y ++++-()23406345126034041401260y y y y y y ≥⋅⨯+⨯+-=+-，故答案为：234041401260y y +-． 【点睛】本题考查不等式组的实际应用，根据题意列出不等式是解题的关键．6．如图，在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC 内一点，则PA PB PC ++的最小值为__________．【分析】将△APB 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AP B ''，连接PP '、CB '，作CN△B A '交B A '的延长线于点N ，则△AP B ''△△APB ，由题意可证△P AP ' 是等边三角形，所以PA PB PC PC PP P B '''++=++，所以当B P P C ''、、、 共线时，=PA PB PC B C'++最小，求出B C '==【详解】将△APB 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AP B ''，连接PP '、CB '，作CN△B A '交B A '的延长线于点N ， 则△AP B ''△△APB ，△△BAP=△B AP '' ，△ AB AB 3'== ，AP AP '= ，''︒∠B AB=∠P AP=60 ， △△P AP ' 是等边三角形， △ AP AP PP ''== ，△ PA PB PC PC PP P B '''++=++ ，△ 当B P P C ''、、、 共线时，=PA PB PC B C '++最小， △△CAN=180°-△60BAB BAC '-=︒∠ ，CN△AN ， △△ACN=30°，△ 112AN AC == ，CN ==， △ 314B N AB AN ''=+=+= ，△ B C '=，△ =PA PB PC B C '++；【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，旋转的性质，以及等边三角形的性质和求线段最值的问题，掌握做辅助线是解题的关键．三、解答题7．问题背景 如图1，在等腰Rt△ABC 和等腰Rt△CDE 中，AC ＝BC ，CE ＝CD ，△ACB ＝△DCE ＝90°，求证：AE ＝BD ．尝试应用 如图2，在等腰Rt△ABC 中，AC ＝BC ，△ACB ＝90°，点E 是AC 边上一点，点F 是BE 上一点，若△CFE ＝45°，EF ＝4，△ABE 面积为30，求BF 的长．拓展创新 M 是等腰Rt△ABC 外一点，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，若△AMC ＝75°，AM ＝2，CM，直接写出MB 的长．【答案】问题背景 证明见解析；尝试应用 BF ＝6；拓展创新 BM ＝【分析】问题背景：证得△ACE=△BCD ，证明△ACE△△BCD （SAS ），则可得出答案；尝试应用：过点C 作DC△CF 交BE 延长线于点D ，连接AD ，由问题背景可知：△BFC△△ADC ，得出BF=AD ，△CBF=△CAD ，由三角形的面积可得出（BF+4）×BF=60，解出BF=6． 拓展创新：作CH△CM ，且CH=CM ，连接MH ，得出AM=MH ，过点M 作MG△AH 于点G ，求出△MAG=30°，得出AG=GH ，由直角三角形的性质可求出答案． 【详解】 问题背景：证明：△△ACB ＝△DCE ＝90°， △△ACE ＝△BCD ， 在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ACE△△BCD （SAS ）， △AE ＝BD ； 尝试应用：解：过点C 作DC△CF 交BE 延长线于点D ，连接AD ，由问题背景可知：△BFC△△ADC ，△BF ＝AD ，△CBF ＝△CAD ，△△BEC ＝△AED ，△△ADE ＝△BCE ＝90°，△AD△BE 于点D ，△△ABE 的面积为30， △302BE AD •=， △（BF+4）×BF ＝60，解得：BF ＝6，BF ＝﹣10（舍去）．△BF ＝6．拓展创新：解：如图3，作CH△CM ，且CH ＝CM ，连接MH ，AH ，△△CMH 为等腰直角三角形，△△CMH ＝45°，△△CBM△△CAH （SAS ），△BM ＝AH ，△△AMC ＝75°，△△AMH ＝△AMC+△CMH ＝75°+45°＝120°，△CM ，△MH CM ＝2，△AM ＝2，△AM ＝MH ，过点M 作MG△AH 于点G ，△△MAG ＝30°，AG ＝GH ，△MG ＝1，△AG ＝GH△AH ＝△BM ＝【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,5A -，与x 轴交于点B ，与正比例函数3y x =的图象交于点C ，点C 的横坐标为1（1）求AB 的函数表达式；（2）若点D 在y 轴负半轴，且满足13COD BOC S S =△△，求点D 的坐标； （3）若3kx b x +<，请直接写出x 的取值范围．【答案】(1)y=-x+4；（2）D （0，-4）；（3）x ＞1.【分析】（1）根据y=3x 确定点C （1,3），利用A(-1,5)，C （1,3）确定直线AB 的解析式；（2）根据AB 的解析式确定点B （4,0），点C 的纵坐标是△BOC 边OB 上的高，可求BOC S ，利用COD S △=13BOC S ，求得COD S △，根据三角形面积公式求得OD 的长即得到点D 的坐标； （3）利用数形结合思想，直接写出答案即可.【详解】（1）当x=1时，y=3x=3，△点C （1,3），△直线y=kx+b 经过点A(-1,5)，C （1,3），△35k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得14k b =-⎧⎨=⎩， 故AB 的函数表达式为y=-x+4；（2）△y=-x+4与x 轴交于点B ，△B （4,0），△BOC S =12y OB C ⋅=1432⨯⨯=6， △COD S △=13BOC S ，△COD S △=2, △12x OD C ⋅=112OD ⨯⨯=2， △OD=4，故D （0，-4）；（3）根据图像，得x ＞1.【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，函数图像的交点意义，三角形的面积计算，一次函数与不等式的关系，数形结合思想，熟练运用待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键. 9．如图△，点O 为直线AB 上一点，射线OC AB ⊥于O 点，将一直角三角板的60°角的顶点放在点O 处，斜边OE 在射线OB 上，直角顶点D 在直线AB 的下方．（1）将图△中的三角板绕点O 逆时针旋转至图△，使一边OE 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠，问：直线OD 是否平分AOC ∠？（2）将图△中的三角板绕点O 按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线OD 恰好平分AOC ∠，求t 的值．（3）将图△中的三角板绕点O 顺时针旋转至图△，使OD 在AOC ∠的内部，请探究：AOE ∠与DOC ∠之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）不平分；（2）1或13；（3）△DOC -△AOE =30°【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，△BOE =45°，于是△BOD =△DOE -△BOE =15°．进而求出△COM 与△AOM 的值，△AOM ≠△COM ．直线OD 不平分△AOC ；（2）分OD 与OD 的延长线平分△AOC 两种情况；（3）△AOE =60°-△AOD 、△DOC =90°-△AOD ，△DOC -△AOE =（90°-△AOD ）-（60°-△AOD ）=30°．【详解】解：（1）直线OD 不平分△AOC ．理由如下：延长DO 到M ．当OE 平分△BOC 时，△BOE =45°，△BOD =△DOE -△BOE =15°．而△DOM=180°，△BOC=90°．所以：△COM=180°-90°-15°=75°．△AOM=90°-75°=15°．△AOM≠△COM．直线OD不平分△AOC；（2）3或39；延长DO到M，△△AOC=90°，当直线OD恰好平分角△AOC，△△AOM=△COM=45°，△△BOD=180°-90°-45°=45°，△△BOE=△DOE-△BOD=15°，即逆时针旋转15°时DO延长线平分△AOC，由题意得，15t=15，△t=1，当DO平分△AOC，△△DOA=45°，△△AOE=60°-45°=15°，180°+15°=195°，即逆时针旋转195°时DO平分△AOC，△15t=195°，△t=13，△t=1或13；（3）△DOC-△AOE=30°△△DOE=60°，△AOC=90°，△△AOE=60°-△AOD、△DOC=90°-△AOD，△△DOC-△AOE=（90°-△AOD）-（60°-△AOD）=30°，△△AOE与△DOC之间的数量关系为：△DOC-△AOE=30°．【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．。
2020-2021学年八年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)解答题压轴题训练(三)(原卷版)
1 1 2021年八下期中考试金牌解答题压轴题训练（三） （时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题
1．如图，将ACB△和ACD△拼成一个四边形ABCD，其中45ACB，90ADC，
//CDAB，过点A作AEBC，垂足为点E，连接ED．
（1）探索线段AD、CD、ED之间有何等量关系，并加以证明； （2）设2AC，将ACE△绕点C旋转得ACE△，连接AA、AE，请直接写出AAE△的最大面积．
2．如图1所示，腰长为3的等腰RtAOB的腰与坐标轴重合，直线
2
3yx与AB交于
点C． （1）求点C的坐标； （2）如图2，将直线OC沿y轴正方向平移4个单位长度得到直线DE（其中D、E分别为新直线与y轴、x轴的交点），连接DC、CE，求CDE的面积； （3）如图3，在第（2）问的条件下，将AOB沿x轴平移得到NKM，连接DN、DM， 2 2
当DMN为等腰三角形时，直接写出M的坐标． 3．定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24． （1）填空：（﹣2）※3＝ ； （2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 ； （3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围； （4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果
是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
4．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:1:2AOCBOC．将一直
角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． 3 3
（1）将图1中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角尺旋转过的角度为_______． （2）继续将图2中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在AOC的内部，试探究AOM∠与NOC之间满足什么等量关系？并说明理由．
压轴题01：三角形的证明综合专练20题(解析版)- 八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)
压轴题01：三角形的证明综合专练20题（解析版）一、单选题1．如图所示，直线l 是一条河的河岸，P ，Q 是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M 处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P 关于直线l 的对称点P '，连接Q P '交直线l 于点M ，作图即可.【详解】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P 关于直线l 的对称点P '，连接Q P '交直线l 于点M ，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，故选：B ．【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法. 2．如图，在ABC 中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，有如下五个结论：①AO BC ⊥；①OD OE =；①OEF 是等边三角形；①OEF CEF ≌；①54OEF ∠=︒．则上列说法中正确的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】利用三线合一可判断①；由折叠的性质可判断①；根据垂直平分线的性质得到OA=OB，从而计算出①ACB=①EOF=63°，可判断①；证明①OAB①①OAC，得到OA=OB=OC，从而推出①OEF=54°，可判断①；而题中条件无法得出OD=OE，可判断①．【详解】解：如图，连接OB，OC，①AB=AC，OA平分①BAC，①BAC=54°，①AO①BC（三线合一），故①正确；①BAO=①CAO=12①BAC=12×54°=27°，①ABC=①ACB=12×（180°-①BAC）=12×126°=63°，①DO是AB的垂直平分线，①OA=OB，即①OAB=①OBA=27°，则①OBC=①ABC-①OBA=63°-27°=36°≠①OBA，由折叠可知：①OEF①①CEF，故①正确；即①ACB=①EOF=63°≠60°，OE=CE，①OEF=①CEF，①①OEF不是等边三角形，故①错误；在①OAB和①OAC中，AB AC OAB OAC OA OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①OAB ①①OAC （SAS ），①OB =OC ，又OB =OA ，①OA =OB =OC ，①OCB =①OBC =36°，又OE =CE ，①①OCB =①EOC =36°，①①OEC =180°-（①OCB +①EOC ）=180°-72°=108°，又①OEC =①OEF +①CEF①OEF =108°÷2=54°，故①正确；而题中条件无法得出OD =OE ，故①错误；①正确的结论为①①①共3个，故选B ．【点睛】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及全等三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 3．如图，已知AOP α∠=，线段4OA =，点B 为射线OP 上一点，则下列结论正确的是（ ） ①当30α=︒，2AB =时，可得到形状唯一确定的AOB ；①当45α=︒，3AB =时，可得到形状唯一确定的AOB ；①当30α=︒时，在射线OP 上存在三个点B 使得AOB 为等腰三角形；①当45α=︒时，在射线OP 上存在三个点B 使得AOB 为等腰直角三角形．A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A【分析】 过A 作AH ①OP 于点H ，求出AH 的长，分别根据①α的度数画出相应图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质判断各结论．【详解】解：如图①所示：过A作AH①OP于点H，①OA=4，①α=30°，①AH=12OA=12×4=2，又AH①OP，AH=AB，①B与H重合，则①AOB形状唯一确定，故①正确；如图①所示，过点A作AH①OP于点H，①OA=4，①α=45°，AH①OP，①AH=OH，222OA AH OH=+，即AH=，①AB＞AH，①当B在图①中B1，B2位置时，都能使得AB=3，则①AOB不唯一，有2个，故①错误；如图①所示，有3个B点使得①AOB为等腰三角形，即AB1=AO=4，OB2=OA=4，B3A=B3O，故①正确；如图①所示，AB①OA于点A时，①AOB1为等腰直角三角形，AB2①OP于点B2时，①AOB2为等腰直角三角形，OP上有2个点B使得①AOB为等腰直角三角形，故①错误；即正确的结论为：①①，故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，确定三角形的条件，解题的关键是根据各种情况画出图形，结合图形的性质解答．4．如图，Rt①ACB中，①ACB=90°，①ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF①AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①①APB=135°；①AD=PF+PH；①DH平分①CDE；①S四边形ABDE=74S△ABP；①S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．①正确．证明①ABP①①FBP，推出P A=PF，再证明①APH①①FPD，推出PH=PD即可解决问题．①错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．①错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．①正确．由DH ①PE ，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在①ABC 中，A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC①①ACB =90°①①A +①B =90°又①A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC①①BAD +①ABE =12（①A +①B ）=45°①①APB =135°，故①正确①①BPD =45°又①PF ①AD①①FPB =90°+45°=135°①①APB =①FPB又①①ABP =①FBPBP =BP①①ABP ①①FBP （ASA ）①①BAP =①BFP ，AB =FB ，P A =PF在①APH 和①FPD 中 APH FPD PA PFPAH PFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①①APH ①①FPD （ASA ）①PH =PD①AD =AP +PD =PF +PH ．故①正确①①ABP ①①FBP ，①APH ①①FPD①S △APB =S △FPB ，S △APH =S △FPD ，PH =PD①①HPD =90°①①HDP =①DHP =45°=①BPD①HD ①EP①S △EPH =S △EPD①S △APH =S △AED ，故①正确①S 四边形ABDE =S △ABP +S △AEP +S △EPD +S △PBD=S △ABP +（S △AEP +S △EPH ）+S △PBD=S △ABP +S △APH +S △PBD=S △ABP +S △FPD +S △PBD=S △ABP +S △FBP=2S △ABP ，故①不正确若DH 平分①CDE ，则①CDH =①EDH①DH ①BE①①CDH =①CBE =①ABE①①CDE =①ABC①DE ①AB ，这个显然与条件矛盾，故①错误故选B ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在①ABC 中，点M ，N 分别是AC ，BC 上一点，AM ＝BN ，①C ＝60°，若AB ＝9，BM ＝7，则MN 的长度可以是（ ）A ．2B ．7C ．16D ．17【答案】B【分析】 通过构造等边ABQ △和等边MBP ，得到QBP ABM ≅（SAS ），再证明QMP NMB ≅（SAS ），即可将线段AB 、BM 和MN 集中到①QMB 中，根据三角形三边关系即可判断MN 的长度取值范围．【详解】解：如图，作等边ABQ △和等边MBP ，连接QP 、QM ，在等边ABQ △和等边MBP 中，60QBA PBM ∠=∠=︒，①60QBP QBM QBM ABM ∠+∠=∠+∠=︒，①QBP ABM ∠=∠，又①9QB AB ==，7PB MB ==，①QBP ABM ≅（SAS ），①BQP BAM ∠=∠，PQ AM =，①AM ＝BN ，①PQ BN =在ABC 中，180ACB CAB CBA ∠+∠+∠=︒，60ACB ∠=︒，①18060120MBC MAB ABM MAB ABM ∠=︒-︒-∠-∠=︒-∠-∠，在QBP △中，180QPB BQP QBP ∠+∠+∠=︒，60MPB ∠=︒，①18060120MPQ BQP QBP MAB ABM ∠=︒-︒-∠-∠=︒-∠-∠，①MBN MPQ ∠=∠，在QMP △和NMB △中，PB MB MBN MPQ PQ BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①QMP NMB ≅（SAS ）①MQ MN =，在QMB 中，QB MB QM QB MB -<<+，①AB MB MN AB MB -<<+，①216MN <<，①选项B ，MN =7符合题意，故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定的综合应用，解题关键是线段AB 、BM 和MN 通过旋转全等集中到同一个三角形中，再根据三角形三边关系即可判断MN 的长度取值范围．6．如图，①ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，①BAC ＝45°，过点A 作AD ①BC 于点D ，过点B 作BE ①AC 于点E ，AD ，BE 交于点F ，H 为AB 的中点，连接EH ，CH ，FH ，则下列说法正确的个数为（ ） ①①BAD ＝①CBE ；①EH ①AB ；①CE ＝12AF ；①AE ＝CE +CF ；①S △EFH ＝S △EHC ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】 先根据等腰三角形的性质可得22.5,67.5BAD CAD ABC ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质可得22.5CBE ∠=︒，由此可判断①；先判断出Rt ABE △是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断①；先根据三角形全等的判定定理证出BCE AFE ≅，根据全等三角形的性质可得BC AF =，在AE 上截取GE CE =，连接BG ，从而可得BG BC =，再根据等腰三角形的性质可得67.5,45BGC CBG ∠=︒∠=︒，从而可得12<CE BC ，据此可判断①；先根据等腰三角形的三线合一可得AD 垂直平分BC ，从而可得BF CF =，再证出Rt CEF 是等腰直角三角形，从而可得CE EF =，然后根据线段和差可得AE BE CE CF ==+，即可判断①；过点H 作HM AC ⊥于点M ，作HN BE ⊥于点N ，先根据等腰三角形的三线合一可得EH 平分AEB ∠，再根据角平分线的性质可得HM HN =，然后根据三角形的面积公式即可判断①．【详解】解：,45,AB AC BAC AD BC =∠=︒⊥，122.5,67.52BAD CAD BAC ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒∠=∠=︒， BE AC ⊥， 9022.5CBE ACB ∴∠=︒-∠=︒，BAD CBE ∴∠=∠，说法①正确；,45BE AC BAC ⊥∠=︒，Rt ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE =， H 为AB 的中点，EH AB ∴⊥（等腰三角形的三线合一），说法①正确； 在BCE 和AFE △中，22.590CBE FAE BE AE CEB FEA ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()BCE AFE ASA ∴≅，BC AF ∴=，如图，在AE 上截取GE CE =，连接BG ，则BE 垂直平分CG ，BG BC ∴=，67.5,18045BGC BCG CBG BGC BCG ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒， BGC CBG ∴∠>∠，2BC CG CE ∴>=，即12<CE BC ，12CE AF ∴<，说法①错误； ,AB AC AD BC =⊥，AD ∴垂直平分BC ，BF CF ∴=，22.5BCF CBF ∴∠=∠=︒，45EFC BCF CBF ∴∠=∠+∠=︒，Rt CEF ∴是等腰直角三角形，CE EF =，BE EF BF CE CF ∴=+=+，又AE BE =，AE CE CF ∴=+，说法①正确；如图，过点H 作HM AC ⊥于点M ，作HN BE ⊥于点N ，Rt ABE 是等腰直角三角形，EH 是AB 边上的中线，EH ∴平分AEB ∠（等腰三角形的三线合一）， HM HN ∴=， 1122EFH EHC S S EF HN CE HM ∴=⋅=⋅=，说法①正确；综上，说法正确的个数为4个，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键，较难的是①，通过作辅助线，利用到角平分线的性质定理．7．如图，在①ABC 中，AB ＝AC ，①BAC ＝90°，直角①EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF 交AP 于点G ，以下五个结论：①①B ＝①C ＝45°；①AP ＝EF ；①①AFP 和①AEP 互补；①①EPF 是等腰直角三角形；①四边形AEPF 的面积是①ABC 面积的34，其中正确的结论是（ ）A ．①①①B ．①①①①C ．①①①①D ．①①①【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质求出①B =①C ，即可判断①；根据四边形内角和是360°可判断①，根据等腰直角三角形求出AP ①BC ，AP =12BC =PC ，①BAP =①CAP =45°=①C ，求出①FPC =①EP A ，根据ASA 推出①APE ①①CPF ，推出AE =CF ，PE =PF ，S △APE =S △CPF ，再逐个判断①①①即可．【详解】解：①AB =AC ，①BAC =90°，直角①EPF 的顶点P 是BC 的中点，①①B =①C =12×（180°-90°）=45°，AP ①BC ，AP =12BC =PC ，①BAP =①CAP =45°=①C ，①①APF +①FPC =90°，①APF +①APE =90°，①①FPC =①EP A ，在①APE 和①CPF 中， EAP C AP CPEPA FPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①APE ①①CPF （ASA ），①AE =CF ，EP =PF ，①①EPF 是等腰直角三角形，故①①正确；根据等腰直角三角形的性质，EF，所以，EF 随着点E 、F 的变化而变化，只有当点E 为AB 的中点时，EF=AP ，在其它位置时EF ≠AP ，故①错误；在四边形AEPF 中，①BAC =90°，①EPF =90°，①①AFP +①AEP =360°-（①BAC +①EPF ）=180°，即①AFP 和①AEP 互补，故①正确；①①APE ①①CPF ，①S △APE =S △CPF ，①BP =CP ，①S △APC =12S △ABC ，①四边形AEPF 的面积=S △APE +S △APF=S △CPF +S △APF=S △APC=12S △ABC ，故①错误，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，能求出①APE ①①CPF 是解此题的关键．8．如图，ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点D 在ABC 内部，且使得302ABD BAD α=∠-∠=︒．则ACD ∠的度数为（ ）A ．30α-︒B ．60α-︒C ．30D ．不能确定【答案】C【分析】 如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，证明ABD ACE ≅，得到ACE 为等腰三角形，再证明ADE 为等边三角形，推出DCE 为等腰三角形，由三角形外角的性质得出12ACD AED ∠=∠即可． 【详解】如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，在ABD △和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(),ABD ACE SAS ∴≅ABD BAD∠=∠，∴ABD△为等腰三角形，∴ACE为等腰三角形，CAE BAD∠=∠，BACα∠=，302BADα-∠=︒，30302260,DAE BAC BAD CAEααα∴∠=∠-∠-∠⎛⎫⎛⎫=--︒--︒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=︒ADE∴为等边三角形，,DE AE CE∴==∴DCE为等腰三角形，延长CE交AD于F点，(),,2222,116030,22AEF EAC ECADEF ECD EDCAED AEF DEFACE DCEACE DCEACDACD AED∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=⨯︒=︒故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9．如图，在AOB和COD△中，,()OA OB OC OD OA OC==<，AOB CODα∠=∠=，直线,AC BD交于点M，连接OM．以下结论：①AC BD=；①OAC OBD∠=∠；①CMDα∠=；①OM平分BOC∠．其中正确的是___________（填序号）．【答案】①①①【分析】由SAS证明①AOC①①BOD得出①OAC=①OBD，AC=BD，①①正确；由全等三角形的性质得出①OAC=①OBD，由三角形的外角性质得：①AMB+①OBD=①OAC+①AOB，得出①AMB=①AOB=α，可得①正确；作OG①AM于G，OH①DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得①AMO=①DMO，假设OM平分①BOC，则可求出①AOM=①DOM，由全等三角形的判定定理可得①AMO①①DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故①错误；即可得出结论．【详解】解：①①AOB=①COD=α，①①AOB+①BOC=①COD+①BOC，即①AOC=①BOD，在①AOC和①BOD中，OA OBAOC BOD OC OD，①①AOC①①BOD（SAS），①①OAC=①OBD，AC=BD，故①①正确；由三角形的内角和定理得：①AMB+①OBD=①OAC+①AOB，①①OAC=①OBD，①①AMB=①AOB=α，CMD，故①正确；作OG①AM于G，OH①DM于H，如图所示，①AOC①①BOD，①结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，①MO平分①AMD，①①AMO=①DMO，假设OM平分①BOC，则①BOM=①COM，①①AOB=①COD，①①AOB+①BOM=①COD+①COM，即①AOM=①DOM，在①AMO与①DMO中，AOM DOM OM OMAMO DMO，①①AMO①①DMO（ASA），①OA=OD，①OC=OD，①OA=OC，而OA＜OC，故①错误；正确的个数有3个；故答案为：①①①．【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．10．如图，①ABC中，AB＝AC＝5，在BA延长线上取一点D，使AD＝7，连结CD，点E为AC边上一点，当①AEB＝①D时，①BCD的面积是①BCE的面积的6倍，则AE＝___，①BCD的面积为___．【答案】3【分析】过点B作BH①CA交CA的延长线于点H，过点C作CG①AD于点G，在线段DG上截取GF＝GA，连接CF，则CG是AF的垂直平分线，证明①CFD①①BAE，可得FD＝AE，根据①BCD的面积是①BCE的面积的6倍，可得CG＝S△BCE，AE＝32CE，进而可得AE的长；再利用勾股定理求出CG，进而可得①BCD的面积．【详解】解：如图，过点B作BH①CA交CA的延长线于点H，过点C作CG①AD于点G，在线段DG上截取GF ＝GA，连接CF，则CG是AF的垂直平分线，①CA＝CF，①①CAF＝①CF A，①180°﹣①CAF＝180°﹣①CF A，①①CAB＝①CFD，①AB＝AC＝5，①CF ＝AB ＝AC ＝5，在①CFD 和①BAE 中，CFD BAE FDC AEB CF BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①CFD ①①BAE （AAS ），①FD ＝AE ，①AB ＝5，AD ＝7，①BD ＝AB +AD ＝12，①S △BCD ＝12⨯BD •CG ＝12⨯12CG ＝6CG ， ①S △BCD ＝6S △BCE ，①6CG ＝6S △BCE ，①CG ＝S △BCE ，①S △ABC ＝12BA •CG ＝12⨯5CG ＝52CG ， ①S △ABC ＝52S △BCE ， ①S △ABE ＝S △ABC ﹣S △BCE ＝52S △BCE ﹣S △BCE ＝32S △BCE ， ①S △ABE ＝12⨯AE •BH ，S △BCE ＝12⨯CE •BH ， ①12⨯AE •BH ＝32×12⨯CE •BH ， ①AE ＝32CE ， ①AE CE ＝32， ①AE ＝35AC ＝35×5＝3， ①FD ＝AE ＝3，①AF ＝AD ﹣FD ＝7﹣3＝4，①AG ＝FG ＝12AF ＝2，①CG ①AG ，①①AGC ＝90°，在Rt①ACG 中，①AGC ＝90°，AC ＝5，AG ＝2，①CG=①BD ＝12，①S△BCD ＝12⨯BD •CG ＝12⨯ 综上所述：AE ＝3，①BCD 的面积为．故答案为：3；【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．11．如图，ABC 是边长为5的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒．E 、F 分别在AB 、AC 上，且60EDF ∠=︒，则三角形AEF 的周长为______．【答案】10【分析】延长AB 到N ，使BN =CF ，连接DN ，求出①FCD =①EBD =①NBD =90°，根据SAS 证①NBD ①①FCD ，推出DN =DF ，①NDB =①FDC ，求出①EDF =①EDN ，根据SAS 证①EDF ①①EDN ，推出EF =EN ，易得①AEF 的周长等于AB +AC ．【详解】解：延长AB 到N ，使BN =CF ，连接DN ，①①ABC 是等边三角形，①①ABC =①ACB =60°，①BD =CD ，①BDC =120°，①①DBC =①DCB =30°，①①ACD =①ABD =30°+60°=90°=①NBD ，①在①NBD 和①FCD 中，BD DC NBD FCD BN CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①NBD ①①FCD （SAS ），①DN =DF ，①NDB =①FDC ，①①BDC =120°，①EDF =60°，①①EDB +①FDC =60°，①①EDB +①BDN =60°，即①EDF =①EDN ，在①EDN 和①EDF 中，DE DE EDF EDN DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①EDN ①①EDF （SAS ），①EF =EN =BE +BN =BE +CF ，即BE +CF =EF ．①①ABC 是边长为5的等边三角形，①AB =AC =5，①BE +CF =EF ，①①AEF 的周长为：AE +EF +AF =AE +EB +FC +AF =AB +AC =10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，点E 在线段AD 上，∠ACE ＝45°，∠ABC ＝2∠ECB ，若BD ﹣CD ＝2，AE ＝6，则AB ＝_____．【答案】8【分析】延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．设①ECB＝α，则①B＝2α，根据题意可求出①DEC＝90°-α．根据作图结合线段垂直平分线的性质可证明AB＝AF，①BAD＝①F AD，①B＝①F＝2α．由三角形外角性质可求出①DAC＝45°-α．由①DAF＝90°-2α，从而得出①CAF＝45°-α，即证明①DAC＝①F AC，从而易证△GAC①①F AC（SAS），得出①G＝①F＝2α，GC＝CF＝2．再根据①GCE＝180°-①G-①DEC，即可求出①GCE=90°-α，即得出①GCE＝①GEC，从而得出GC＝GE＝2，即可求出AG＝AB ＝8．【详解】解：延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．设①ECB＝α，则①B＝2α，①AD①BC，①①DEC＝90°-α，①BD＝DF，①AB＝AF，①BAD＝①F AD，①①B＝①F＝2α，①①DEC＝90°-α，①ACE＝45°，①①DAC＝90°-α-45°＝45°-α，①①DAF＝90°-①F＝90°-2α，①①CAF ＝90°-2α-(45°-α)＝45°-α，①①DAC ＝①F AC ，在△△GAC 和△F AC 中，AC AC GAC FAC AG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①GAC ①①F AC （SAS ），①①G ＝①F ＝2α，GC ＝CF ＝DF -CD ＝BD -CD ＝2，①①GCE ＝180°-①G -①DEC ＝180°-2α- (90°-α)＝90°-α，①①GCE ＝①GEC ，①GC ＝GE ＝2，①AG ＝AF=AB ＝2+6=8．故答案为：8．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形全等的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，AD ⊥BC 于D ，F 为AC 上一点，连接BF 交AD 于E ，过F 作MN ⊥FB 交BA 延长线于M ，交BC 于N ，若点M 恰在BN 的垂直平分线上，且DE ：BN ＝1：7，S △ABD ＝15，则S △ABE ＝_____．【答案】252【分析】过点F 作FG ①BN 于点G ，根据已知条件证明①ABD ①①BFG ，可得BD ＝FG ，AD ＝BG ，再证明①BDE ①①FGN 可得DE ＝GN ，根据DE ：BN ＝1：7，可得GN ：BN ＝1：7，设ED ＝x ，DE ：BG ＝1：6，可得AD ＝BG ＝6x ， AE ＝5x ，然后根据S △ABD ＝15，进而可得S △ABE ．【详解】解：如图，过点F 作FG ①BN 于点G，①AD①BC，①①ADC＝90°，①①C＝45°，①①DAC＝45°，①MN①FB，①①FBN+①FNB＝90°，①点M恰在BN的垂直平分线上，①MB＝MN，①①ABN＝①FNB，①①ABN+①BAD＝90°，①①BAD＝①FBN，①①AFB＝①FBC+①C＝①BAD+①DAC＝①BAF，①BA＝BF，在①ABD和①BFG中，ADB BGFBAD FBG，AB BF①①ABD①①BFG（AAS），①BD＝FG，AD＝BG，①①BED+①EBD＝90°，①BAD+①ABD＝90°，①①BED＝①ABD＝①BFG=①FNG，在①BDE和①FGN中，BDE FGNBED FNG，BD FG①①BDE①①FGN（AAS），①DE ＝GN ，①DE ：BN ＝1：7，①GN ：BN ＝1：7，设ED ＝x ，①DE ：BG ＝1：6，①AD ＝BG ＝6x ，①AE ＝AD ﹣ED ＝6x ﹣x ＝5x ，①S △ABD ＝15，①S △ABE ＝551566ABD S =⨯△=252． 故答案为：252． 【点睛】本题是三角形的综合题，属于中考题中填空题压轴题，考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．14．如图，ABC 中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，9BD =，11.5AC =，则边BC 的长为______．【答案】【分析】延长BD 到F ，使得DF ＝BD ，从而得BC ＝CF ，过点C 作CH ①AB ，交BF 于点H ，根据等腰三角形的性质与判定，可得EH ＝CE ，从而得AC ＝BH ，再证明CH =HF ，结合勾股定理即可求出答案．【详解】解：延长BD 到F ，使得DF ＝BD ，①CD ①BF ，①CD 垂直平分BF ，①BC ＝CF ，①F=①CBE ，过点C 作CH ①AB ，交BF 于点H ，①CH ①AB ，①①ABE ＝①CHE ，①BAE ＝①ECH ，①EA ＝EB ，①①ABE =①BAE ，①①CHE ＝①ECH ，①EH ＝CE ，①AC ＝BH ，①2A CBE ∠=∠，①①CHE ＝①ECH =2①CBE ，①①CHE =2①F ，①①F =①HCF ，①HC =HF ，①9BD =，11.5AC =，①DH ＝BH −BD ＝AC −BD ＝2.5，①HF ＝HC ＝9−2.5＝6.5，①在Rt ①CDH ，CD 6，①在Rt ①BCD 中，BC故答案是：【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，添加辅助线构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键，本题属于中等题型．15．如图，在锐角①ABC 中，点D 在线段CA 的延长线上，BC 边的垂直平分线分别交AB 边于点E ，交①BAC 的平分线于点M ，交①BAD 的平分线于点N ，过点C 作AM 的垂线分别交AM 于点F ，交MN 于点O ，过点O 作OG ①AB 于点G ，点G 恰为AB 边的中点，过点A 作AI ①BC 于点I ，交OC 于点H ，连接OA 、OB ，则下列结论中，（1）①MAN =90°；（2）①AOB =2①ACB ；（3）OH =2OG ；（4）①AFO ①①AFH ；（5）AE +AC =2AG ．正确的是________．（填序号）【答案】（1）（2）（4）（5）【分析】（1）使用角平分线的性质即可；（2）根据AB 和BC 的垂直平分线OG 和MN 可以得到OA =OB =OC ，进而得到三组相等的角，再进行等量代换即可；（4）在AFO 和AFH 中，易得AFO AFH ∠=∠和公共边AH ，再通过角度的计算和等量代换可以得到COM BAC AHF AOC ∠=∠=∠=∠，即可证明AFO AFH △≌△；（5）根据垂直平分线的性质和（4）中的全等三角形可得BO =AH ，通过角度的计算和等量代换可以证明EBO CAH ∠=∠和BOE AHC ∠=∠，进而可通过证明BOE AHC △≌△得到BE =AC ，再进行等量代换即可；（3）易得OH =2OF ，根据分析无法证明OF =OG ，故可判断该项不符合题意．【详解】解：（1）①AM 平分BAC ∠，AN 平分BAD ∠，①12BAM BAC ∠=∠，12BAN BAD ∠=∠． ①()111222MAN BAM BAN BAC BAD BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 又①根据图示可得180BAC BAD ∠+∠=︒， ①()111809022MAN BAC BAD ∠=∠+∠=⨯︒=︒． 故（1）符合题意．（2）①G 为AB 中点，且OG AB ⊥，MN 垂直平分BC ，①OA =OB =OC ，90AOG OAB ∠+∠=︒．①OAB OBA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，AOG BOG ∠=∠．①ACB OCA OCB OAC OBC ∠=∠+∠=∠+∠，2AOB AOG ∠=∠．又①180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒，①180ACB OBA OBC OAB OAC ∠+∠+∠+∠+∠=︒．①()2180ACB OAC OBC OAB ∠+∠+∠+∠=︒．①22180ACB OAB ∠+∠=︒．①90ACB OAB ∠+∠=︒．①ACB AOG ∠=∠．①22AOB AOG ACB ∠=∠=∠．故（2）符合题意．（4）如图所示，延长CO 交AB 于点J ．①OB =OC ，MN 垂直平分BC ，①BOM COM ∠=∠，90OCB COM ∠+∠=︒．又①OAB OBA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，①BAC OAB OAC OBA OCA ∠=∠+∠=∠+∠．①180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒，①180OCA OCB OBA OBC BAC ∠+∠+∠+∠+∠=︒．①()2180OCA OBA OCB BAC ∠+∠+∠+∠=︒．①22180OCB BAC ∠+∠=︒．①90OCB BAC ∠+∠=︒．①COM BAC ∠=∠．又①MN BC ⊥，AI BC ⊥，①//MN AI ．①COM AHF ∠=∠．①BAC AHF ∠=∠．①AM 平分BAC ∠，CO AM ⊥，①JAF CAF ∠=∠，90AFO AFH ∠=∠=︒．又①180JAF AFJ AJF ∠+∠+∠=︒，180CAF AFC ACF ∠+∠+∠=︒，①AJC ACJ ∠=∠．①1801802BAC AJC ACJ ACJ ∠=︒-∠-∠=︒-∠．又①OAC OCA ∠=∠，①1801802AOC OAC OCA OCA ∠=︒-∠-∠=︒-．①BAC AOC ∠=∠．①AOC AHF ∠=∠．在AFO 和AFH 中，①,,,AFO AFH AOF AHF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AFO AFH AAS △≌△．故（4）符合题意．（5）①22AOB AOG ACB ∠=∠=∠，AOG BOG ∠=∠，①BOG ACB ∠=∠．又①OG AB ⊥，AI BC ⊥，①90OGB ∠=︒，90AIC ∠=︒．①90BOG EBO ∠+∠=︒，90ACB CAH ∠+∠=︒．①EBO CAH ∠=∠．①AFO AFH △≌△，①OA =HA ．又①OA =OB ，①BO =AH ．①BOM COM ∠=∠，180BOE BOM ∠=︒-∠，180COE COM ∠=︒-∠，①BOE COE ∠=∠．又①//MN AI ，①AHC COE ∠=∠．①BOE AHC ∠=∠．在BOE △和AHC 中，①,,,EBO CAH BO AH BOE AHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()BOE AHC ASA △≌△．①BE =AC ．①AE +AC =AE +BE =AB ．①G 为AB 中点，①AB =2AG ．①AE +AC =2AG ．故（5）符合题意．（3）①AFO AFH △≌△，①FO =FH ．①OH =2OF ．①OG AB ⊥，CO AM ⊥，①90AGO AFO ∠=∠=︒．①无法证明AF =AG 和AOG AOF ∠=∠和OAG OAF ∠=∠，①无法证明AFO AGO △≌△．①OF 和OG 可能相等，也可能不相等．①OH 与2OG 不一定相等．故（3）不符合题意．故答案为：（1）（2）（4）（5）．【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键，特别注意等量代换的使用．三、解答题16．如图（1），ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D 是AC 的中点，点E 在CD 上（点E 不与点D 和点C 重合），AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ，连接DG ．(1)求证：ADF BDE △≌△；(2)设GF a =，GE b =，GD c =，证明：a b +=；(3)如图（2），延长AG 交BC 于点M ，若点M 是BC 中点，点N 是AB 的中点，请证明点N 、F 、C 三点共线．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到①ADF =①BDE =90°，①BAC =①BCA =45°，AD =BD ，AF ①BE 得①1+①2=90°，由①BDE =90°得①3+①2=90°，则①1=①3，根据ASA 即可得到结论；（2）过点D 作DH ①DG 交AF 点H ，证明①DHF ①①DGE (ASA )，根据全等三角形的性质得DH =DG ，GE =HF，则①DHG 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得FH +FG ，则FG +GE =DG 即a +b ；（3）连接NF ，CF ，如图，根据中点的定义得BN =12AB ，BM =12BC ，由AB =BC 得BN =BM，证明①BFN ①①BFM (SAS )，可得①BFN =①BFM ，再证①ADF ①①CDF (SSS )，可得①AFD =①CFD ，由对顶角①BFM =①AFD 得①BFM =①AFD =①CFD ，则①NFM =①AFC ，由①AFC +①CFM =180°得①NFM +①CFM =180°，即N 、F 、C 三点共线．(1)证明：如图所示：①AB BC =，点D 是AC 的中点①==90ADF BDE ∠∠︒ ，45ABD CBD ∠=∠=︒①90ABC ∠=︒，AB BC =①45BAC BCA ∠=∠=︒①BAC ABD ∠=∠①AD BD =①AF BE ⊥① 1290∠+∠=︒①90BDE ∠=︒①3290∠+∠=︒①12∠=∠又①==90ADF BDE ∠∠︒ ，AD BD =①ADF BDE △≌△．(2)证明：（法一）过点D 作DH DG ⊥交AF 点H ， 如图所示：5+=90BDG ∠∠︒ ，①6+=90BDG ∠∠︒①56∠=∠①ADF BDE △≌△①42∠=∠，DF DE =①≌DHF DGE①DH DG =， GE HF =又①DH DG ⊥① DHG △是等腰直角三角形①+FH FG①+FG GE 即a b +=（法二）过点D 作DH DG ⊥交BE 的延长线于点H ，如图所示：则6+=90EDH ∠∠︒①=FDG EDH∠∠①ADF BDE△≌△①42∠=∠，DF DE=，①=DFG DEH∠∠①≌FDG EDH①DH DG=，GF EH=① DHG△是等腰直角三角形①+H GEE①GF EH=①+FG GE即a b+=(3)证明：方法一（定义法）：连接NF，CF，如图所示：①点N是AB的中点，点M是BC的中点①12BN AB=，12BM BC=①AB BC=①BN BM=①AB BC=，点D是AC的中点①ABD CBD∠=∠又①BF BF=① ≌BFN BFM①BD 垂直平分AC①AF CF =又①==AD CD ，DF DF①ADF CDF △≌△①=AFD CFD ∠∠①=BFM AFD ∠∠①===BFM AFD AFD CFD ∠∠∠∠①=NFM AFC ∠∠①+=180AFC CFM ∠∠︒①+=180NFM CFM ∠∠︒①N 、F 、C 三点共线方法二（同一法）：连接CN ，设CN 交BD 于点O ，如图所示：①点N 是AB 的中点，点M 是BC 的中点 ①12BN AB =，12BM BC = ①AB BC =①BN BM =①AB BC =，点D 是AC 的中点①ABD CBD ∠=∠①AB BC =，==90ABM CBN ∠∠︒ ， BM BN =①ABM CBN △≌△①=BMF BNO ∠∠①BM BN=，ABD CBD∠=∠①≌BMF BNO①BO BF=①点O与点F重合①N、F、C三点共线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．17．在边长为10的等边①ABC中，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．(1)如图①，当点P为AB的中点时，①求证：PD＝QD；①求CD的长；(2)如图①，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，试确定BE、CD的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①见解析；①5 2(2)BE+CD＝5或BE﹣CD＝5，见解析【分析】（1）①如图①，过点P作PF AC交BC于点E，只要证明△PFD≌△QCF即可．②由△PFD≌△QCD，可推出DF=DC=12CF=52即可．（2）分两种情况：如图①，当点P在线段BA上时，BE+CD＝12BC＝5；如图①﹣1中，当点P在线段BA的延长线上时，BE﹣CD＝12BC＝5．如图①，过点P作PF AC交BC于点E．∴∠FPD＝∠Q，∠PFB＝∠ACB＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵P、Q的运动速度相同，∴PB＝QC，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCF，∴PD＝QD．②∵P是AB中点，∴BP＝BF＝102＝5，∴CF＝10﹣BF＝5，∵△PFD≌△QCD，∴DF＝DC＝12CF＝52．(2)①如图①，当点P在线段BA上时，BE+CD＝12BC＝5，由（1）可知：△PFD≌△QCD，∴DF＝DC，∵PE⊥BF，∴BE＝EF，∵BF+CF＝BC，∴2BE+2CD＝BC，BC＝5．∴BE+CD＝12①如图①﹣1中，当点P在线段BA的延长线上时，BE﹣CD＝1BC＝5．2理由：作PG AC交BC的延长线于G．同理可证：△PGD≌△QCD，BE＝EG，∴DC＝DG，∵BG﹣CG＝BC，∴2BE﹣2CD＝BC，BC＝5．即BE﹣CD＝12【点睛】本题考查三角形的综合、等边三角形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．18．实践与探究：在等边①ABC的两边AB、AC所在直线上分别有M、N两点，点D为①ABC外一点，且①MDN＝60°，①BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）智慧小组的同学们按照特殊到一般的思路入手，他们先画出了如图1的特殊情况，当点M、N在边时．他们发现这两副图形虽然不同，但是线段BM、NCMN之间的数量关系始终不变，请你直接写出线段BM、NC、MN之间的数量关系_____．（2）创新小组的同学们画出了如图3的情况，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM＝2，NC＝10时，则①AMN的周长是______．【答案】（1）MN=BM+CN；（2）20【分析】（1）如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DBM①①DCE（SAS），得DM=DE，①BDM=①CDE，再证明△MDN①①EDN（SAS），得MN=NE，可得结论：MN=BM+CN；（2）如图3，作辅助线，构建三角形全等，证明△DBM①①DCF（SAS），得①BDM=①CDF，DM=DF，再证明△MDN①①FDN（SAS），得MN=NF，可得结论：CN=MN+BM；即可求出①AMN的周长．【详解】解：（1）MN=BM+CN，如图2，延长AC到E，使CE=BM，连接DE，①①ABC是等边三角形，①①ABC=①ACB=60°，①BD=CD，①BDC=120°，①①DBC=①DCB=30°，①①ABC+①DBC=①ACB+①DCB，①①DCE =180°-①ACD =180°-90°=90°，在Rt △DBM 和Rt △DCE 中，①90BD CD ABD DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①DBM ①①DCE （SAS ），①DM =DE ，①BDM =①CDE ，①①BDC =120°，①MDN =60°，①①BDM +①CDN =120°-60°=60°，即①CDE +①CDN =60°，①①NDE =60°，在△MDN 和△EDN 中，①60DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①MDN ①①EDN （SAS ），①MN =NE ，①NE =CN +CE ，CE =BM ，①MN =BM +CN ；故答案为：MN =BM +CN ；（2）CN =BM +MN ；在NC 上截取CF =BM ，连接DF ，由（1）知：①ABD =①ACD =90°，①①MBD =180°-90°=90°，在△DBM 和△DCF 中，①BD CD BDM DCF BM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DBM ①①DCF （SAS ），①①BDM =①CDF ，DM =DF ，①①MDN =①BDM +①BDN =①CDF +①BDN =60°①①BDC =120°，①①NDF =60°，在△MDN 和△FDN 中，①60MD FD MDN FDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①MDN ①①FDN （SAS ），①MN =NF ，①CN =NF +CF ，CF =BM ，①CN =MN +BM ；①BM ＝2，NC ＝10，①MN =8，①AB =AC ，①①AMN 的周长为：周长MN AM AN =++MN BM AB AN =+++MN BM AC AN =+++MN BM NC =++821020=++=；故答案为：20．【点睛】此题是三角形的综合题，考查了等边三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．19．已知点D 在△ABC 外，90BAC ∠=︒，AB AC =，射线BD 与△ABC 的边AC 交于点H ，AE BD ⊥，(1)如图1，求证：2DE DC BD +=；(2)如图2，已知25ABE ∠=︒，4BE =，点F 在线段BC ，且BE BF =，点M ，N 分别是射线BC 、BD 上的动点．在点M ，N 运动的过程中，请判断式子EM MN NF ++的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，最小值为4【分析】（1）在BD 上取BG =CD ，连接AG ，AD ．由题意易证()ABG ACD SAS ≅，即得出AG AD =．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出GE DE =，从而可得出结论；（2）作点E 关于BC 的对称点E '，点F 关于BD 的对称点F '．连接E F ''，交BD 于点N '，BC 于点M '，连接BF BE ''，．根据轴对称的性质即可知EM MN NF E M MN NF E F ''''++=++≥，即EM MN NF ++存在最小值，取最小值时N 与N '重合，M 与M '重合，最小值为E F ''的长．根据轴对称的性质结合题意可求出60F BE ''∠=︒，4BE BF ''==，即证明BE F ''△为边长为4的等边三角形，即可求出4E F ''=，从而即得出答案．(1)如图，在BD 上取BG =CD ，连接AG ，AD ．①在ABG 和ACD △中，AB AC ABD ACD BG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ABG ACD SAS ≅，①AG AD =．又①AE BD ⊥，①E 为DG 中点，即GE DE =，①2BD BG GE DE CD DE =++=+，①2DE DC BD +=；(2)如图，作点E 关于BC 的对称点E '，点F 关于BD 的对称点F '．连接E F ''，交BD 于点N '，BC 于点M '，连接BF BE ''，．由作图可知EM E M NF NF BE BE BF BF ''''====，，，，F BD FBD '∠=∠，EBC E BC '∠=∠． ①EM MN NF E M MN NF ''++=++，①E M MN NF E F ''''++≥，即EM MN NF ++存在最小值，即取最小值时N 与N '重合，M 与M '重合，最小值为E F ''的长．①452520F BD FBD ABC ABD '∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，①20EBC E BC '∠=∠=︒，①60F BE F BD FBD EBC E BC ''''∠=∠+∠+∠+∠=︒．①4BE BF ==，BE BE BF BF ''==，，①4BE BF ''==，①BE F ''△为边长为4的等边三角形，①4E F ''=，①EM MN NF ++的最小值为4．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．。