辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学(文)试题(PDF版)
辽宁省沈阳市辽宁浑南第一中学2018年高三数学文测试题含解析
辽宁省沈阳市辽宁浑南第一中学2018年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B2. 在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.参考答案：C由题意知，∴，∴，又、不共线，∴，∴3. 设偶函数（的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D略4. 若复数z满足，其中i为虚数为单位，则z=（）A. B. C. D.参考答案：A因为，所以，，所以，故选A.考点：复数的概念与运算.5. 若数列满足（为正常数，）,则称为“等方差数列”.甲：数列为等方差数列；乙：数列为等差数列，则甲是乙的（）A．充分不必条件 B．必不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D6. 已知集合，，则下列关系中正确的是（）A. B. C.D.参考答案：D略7. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）（A） (B) （C） (D)参考答案：B略8. 设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )A．8 B．4 C．1 D．参考答案：B考点：基本不等式；等比数列的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．9. 已知函数，如果，且，下列关于的性质：①，②不存在反函数，③，④方程在上没有实数根，其中正确的是A．①② B．①④ C．①③D．③④参考答案：B10. 已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知：＝2+,则＝参考答案：12. 已知点A（﹣1，0），B（1，0），若点C满足条件AC=2BC，则点C的轨迹方程是．参考答案：3x2+3y2﹣10x+3=0考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：先设点C的坐标是（x，y），根据题意和两点间的距离公式列出关系式，再化到最简即可．解答：解：设点C的坐标是（x，y），因为点A（﹣1，0），B（1，0），且AC=2BC，所以，两边平方后化简得，3x2+3y2﹣10x+3=0，所以点C的轨迹方程是：3x2+3y2﹣10x+3=0，故答案为：3x2+3y2﹣10x+3=0．点评：本题考查了动点的轨迹方程的求法，以及两点间的距离公式，考查了计算化简能力13. 已知函数，若，则实数等于。
辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学理---精校解析Word版
2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由复数的运算法则有：，则实部和虚部之积为.本题选择B选项.2. 设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】求解指数不等式可得：，据此有：.观察选项，只有C选项符合题意.本题选择C选项.3. 命题“若，则”的逆否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】逆否命题同时否定条件和结论，然后将条件和结论互换位置，据此可得：命题“若，则”的逆否命题是若，则.本题选择D选项.4. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数的值为（）..............................A. -3B. -3或9C. 3或-9D. -9或-3【答案】B【解析】结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数：的函数值，且函数值为，据此分类讨论：当时，；当时，；综上可得，输入的实数的值为或.本题选择B选项.5. 刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆的半径为，则圆的内接正六边形可以分解为6个全等的三角形，且每个三角形的边长为，据此可得，圆的面积为，其内接正六边形的面积为，利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是.本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.6. 如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合三视图可知该几何体是圆锥的一半，且圆锥底面半径，圆锥的高，据此可知该几何体的体积：.本题选择A选项.7. 设满足约束条件，则的最大值是（）A. -15B. -9C. 1D. 9【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，观察可得目标函数在点处取得最大值：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8. 若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法.A. 4B. 8C. 12D. 24【答案】B【解析】由不对号入座的结论可知，三个人排队，对对号入座的方法共有2种，据此结合乘法原理可知，满足题意的站法共有：种.本题选择B选项.9. 函数在的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】整理函数的解析式有：若，则，据此可知函数的单调递增区间满足：，即，则函数的单调递增区间是.本题选择C选项.10. 已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为：，即：，由直线与圆的位置关系可得：，整理可得：，则：，据此有：.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．11. 在各项都为正数的等比数列中，若，且，则数列的前项和是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由等比数列的性质可得：，则数列的公比：，数列的通项公式：，故：，则数列的前项和是：.本题选择A选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12. 设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知在上递减，是偶函数，则在上递增，又，即的图象关于直线对称，因此在上递减，在上递增（实际上是周期为4的周期函数），，方程在区间内有4个根，即函数与函数的图象有4个交点，如图，所以且，解得，故选D．点睛：（1）本题考查函数零点与方程根的关系问题，解题方法把方程的根转化为函数图象交点，如本题中方程在上有4个根，转化为函数与函数的图象在上有4个交点，为此先作出函数的图象，根据已知得出是周期为4的周期函数，再根据偶函数的性质可以作出的图象；（2）如满足，则是其对称轴；（3）如果的图象有两个对称轴和，则它是周期函数，是它的一个周期.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13. 已知随机变量，若，则__________．【答案】0.8【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线对称，则：，则：.14. 在推导等差数列前项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得__________．【答案】44.5【解析】令，则：，两式相加可得：, 故：，即.15. 已知正三角形（为坐标原点）的顶点在抛物线上，则的边长是__________．【答案】【解析】设点A位于第一象限，由抛物线图形的对称性可知，直线的方程为：，联立直线方程与抛物线方程可得交点坐标为：，则，结合两点之间距离公式可得：,即的边长是.16. 已知是直角边为2的等腰直角三角形，且为直角顶点，为平面内一点，则的最小值是__________．【答案】-1【解析】以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，则，，利用向量的坐标运算法则有：，据此可知，当，即点坐标为时，取得最小值是.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在中，已知内角对边分别是，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意利用正弦定理边化角可得，结合诱导公式和两角和差正余弦公式可得，结合三角形的性质可得(Ⅱ)由题意结合面积公式可得，然后利用角C的余弦定理得到关于c的等式，整理计算可得.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得又∴∴∴∴又∴（Ⅱ）由面积公式可得∴∴18. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用面面垂直的性质定理可得平面.据此有，结合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.(Ⅱ)取的中点为，的中点为，连接，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的余弦值为. 法2：若以为原点，建立空间直角坐标，则面的法向量面的法向量，计算可得为钝角，则余弦值为.试题解析： （Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴.又∵平面平面，∴平面.又∵平面，∴. ∵，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）取的中点为，的中点为，连接易得底面，以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得，，，设平面的一个法向量为而，即取得设平面的一个法向量为而，则即取得由图知所求二面角为钝角故二面角的余弦值为.法2：若以为原点，建立空间直角坐标，如图，不妨设正方形的边长为2可得面的法向量面的法向量由图可得为钝角∴余弦值为.点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下列联表.（Ⅰ）请将列联表补充完整；试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为，求随机变量的分布列及期望.附：，其中.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合所给的数据写出列联表，据此计算可得，则有的把握认为“恋家”与否与国别有关.(Ⅱ)由题意可得：的可能取值为0，1，2，计算相应的概率值有：，，，据此得到分布列，计算数学期望有.试题解析：（Ⅰ）∴∴有的把握认为“恋家”与否与国别有关.（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，的可能取值为0，1，2，，∴的分布列为∴.20. 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证：为定值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)设，由题意可得，则，点在椭圆上，整理计算可得轨迹方程为.(Ⅱ)分类讨论：当与轴重合时，.当与轴垂直时，.当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为，，，联立直线与椭圆的方程有，结合弦长公式有，把直线与曲线椭圆联立计算可得.则.据此，结论得证.试题解析：（Ⅰ）设，易知，，又因为，所以，又因为在椭圆上，所以，即.（Ⅱ）当与轴重合时，，，∴.当与轴垂直时，，，∴.当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为此时设，，，把直线与曲线联立，得，可得∴，把直线与曲线联立，同理可得.∴.点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知，.（Ⅰ）求函数图象恒过的定点坐标；（Ⅱ）若恒成立，求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证，据此可得函数的图象恒过点.(Ⅱ)原问题等价于恒成立.构造函数，分类讨论有：①若时，不能恒成立.②若时，在时为极小值点，，满足题意时只需.讨论可得要使函数成立，只有在时成立.(Ⅲ)结合(Ⅱ)的结论有，构造函数，结合函数的性质可得一定有2个零点，分别为的一个极大值点和一个极小值点，则函数在区间上存在一个极值点，所以最小极值点在内.据此整理计算可得.试题解析：（Ⅰ）因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证，此时，所以函数的图象恒过点.（Ⅱ）依题意得：恒成立，∴恒成立.构造函数，则恒过，，①若时，，∴在上递增，∴不能恒成立.②若时，，∴.∵时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，∴在时为极小值点，，∴要使恒成立，只需.设，则函数恒过，，，，函数单调递增；，，函数单调递减，∴在取得极大值0，∴要使函数成立，只有在时成立.（Ⅲ），设，令，∴在单调递减，在单调递增，在处取得极小值可得一定有2个零点，分别为的一个极大值点和一个极小值点设为函数的极小值点，则，∴，，因为，因为，所以在区间上存在一个极值点，所以最小极值点在内.∵函数的极小值点的横坐标，∴函数的极小值，∴.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：极坐标与参数方程设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)设，则，据此可得轨迹方程为：，，.(Ⅱ)由题意可得直线的直角坐标方程为，则点到直线的距离为，据此计算可得面积的最大值为.试题解析：（Ⅰ）设，则又点的轨迹的极坐标方程为∴，，，.（Ⅱ）直线的直角坐标方程为点到直线的距离为.23. 选修4-5：不等式选讲已知，，函数.（Ⅰ）当，时，解关于的不等式；（Ⅱ）若函数的最大值为2，求证：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得.零点分段求解不等式可得不等式的解集为；(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得，则.由均值不等式的结论可得，当且仅当时，等号成立.证法二：由题意可得，零点分段可得，结合函数图像可得.由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的结论.试题解析：（Ⅰ）当时，.不等式为.①当时，因为不等式为，所以不等式成立，此时符合；符合要求的不等式的解集为；②当时，因为不等式为，所以，此时，符合不等式的解集为；③当时，因为不等式为不成立，解集为空集；综上所述，不等式的解集为.（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得，，∴.∴，当且仅当时，等号成立.另解：（Ⅱ）因为，，所以，所以函数，所以函数的图象是左右两条平行于轴的射线和中间连结成的线段，所以函数的最大值等于，所以.∵，∴.或者，当且仅当，即时，“等号”成立.。
高三数学试题-辽宁省沈阳市二十中2018届高三上学期第一次月(文科) 最新
辽宁省沈阳市二十中2018届高三上学期第一次月考数学（文）第Ⅰ卷(客观题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合=M ｛x x ＜2｝，集合=N ｛x 0＜x ＜1｝，则下列关系中正确的是（ ） A R N M =⋃ B =⋂N M ｛x 0＜x ＜1｝ C M N ∈ D φ=⋂N M2.若函数)(x f 的定义域是[0，4]，则函数xx f x g )2()(=的定义域是（ ） A [ 0，2] B (0，2) C (0，2] D [0，2)3. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( ) A 15° B 30° C 45° D 60°4.已知条件甲：函数x a x f =)( (a>0，a ≠1)在其定义域内是减函数，条件乙：a 21log >0，则条件甲是条件乙的（ ）A 充分而不必要的条件B 必要而不充分的条件C 充要条件D 既不充分又不必要的条件 5. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2－1（n ≥1），则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．2 6．sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｄ．17．{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．338．函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π＝的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）A ．y ＝2sin(611x 10π+)B ．y ＝2sin(611x 10π-)C ．y ＝2sin(2x ＋6π)D ．y ＝2sin(2x －6π)9.已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.1[,1)7D.11[,)7310.定义在R 上的偶函数]1,0()()1()(∈-=+=x x f x f x f y ，且当满足时单调递增， 则（ ）A ．)25()5()31(f f f <-<B ．)5()25()31(-<<f f fC ．)5()31()25(-<<f f fD ．)25()31()5(f f f <<-11. 已知8079--=n n a n （+∈N n ）则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）A.101,a aB.81,a aC. 98,a aD.109,a a12．设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图1所示，则导函数y ＝f '(x)可能为（ ）第Ⅱ卷(主观题 共90分)二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）13.关于x 的不等式0422<-+ax ax 的解集为R ，则实数a 取值范围为 . 14．若不等式02>++c bx ax 的解集是}31|{<<-x x ,且12>++c bx ax 的解集是空集,则a 的取值范围是________.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4,222=⋅+=+bc a c b 且，则△ABC 的面积等于 . 16.给定下列命题①半径为2，圆心角的弧度数为21的扇形的面积为21； ②若a 、β为锐角，21tan ,31)tan(==+ββa ，则42πβ=+a ； ③若A 、B 是△ABC 的两个内角，且sinA ＜sinB ，则BC ＜AC ；④若a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长，且222c b a -+<0则△ABC 一定是钝角三角形．其中真命题的序号是 ．A BC D三、解答题（共70分）17. (10分) 测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得75,60BCD BDC CD s ∠=∠==，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高AB 。
辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学理试题 含解析
2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）D.【答案】B，本题选择B选项.2. ）D.【答案】C观察选项，只有C选项符合题意.本题选择C选项.3. ）A.C.【答案】D【解析】逆否命题同时否定条件和结论，然后将条件和结论互换位置，据此可得：本题选择D选项.4. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0）..............................A. -3B. -3或9C. 3或-9D. -9或-3【答案】B或本题选择B选项.5. 刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化，理论上能把.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）【答案】B6个全等的三角形，且每个三角形利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.6. 如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）【答案】A本题选择A选项.7. ）A. -15B. -9C. 1D. 9【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8. 若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法.A. 4B. 8C. 12D. 24【答案】B【解析】由不对号入座的结论可知，三个人排队，对对号入座的方法共有2种，.本题选择B选项.9. ）D.【答案】C【解析】整理函数的解析式有：若，则，据此可知函数的单调递增区间满足：本题选择C选项.10.率为（）【答案】B本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．11. ，则数列）【答案】A则数列的前项和是：本题选择A选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12.4个不同的根，则实数）【答案】D对称，因此4的周期函数），4个根，4个交点，如图，D．点睛：（1）本题考查函数零点与方程根的关系问题，解题方法把方程的根转化为函数图象交4个根，转化为函数4周期为4（2（3.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13. ．【答案】0.814. 在推导等差数列前．【答案】44.515. 为坐标原点）的顶点__________．【解析】设点A的边长是16. 2__________．【答案】-1【解析】以A利用向量的坐标运算法则有：据此可知，当，即点坐标为时，点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.17. 对边分别是【答案】【解析】试题分析：(Ⅱ)由题意结合面积公式可得，然后利用角C的余弦定理得到关于c的等式，整理计算试题解析：∴（Ⅱ）由面积公式可得18. 如图所示，在四棱锥.【答案】【解析】试题分析：的中点为法2面，计算可得为钝角，则余弦值为试题解析：的中点为的方向分别为不妨设正方形的边长为2，取得由图知所求二面角为钝角的余弦值为法2不妨设正方形的边长为2由图可得为钝角点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、朋友聚集的地方占、个人空间占为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下列联表.（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2及期望.0.050【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：为“恋家”与否与国别有关.(Ⅱ)由题意可得：0，1，2，计算相应的概率值有：，.试题解析：（Ⅰ）∴有的把握认为“恋家”与否与国别有关.（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，0，1，2∴的分布列为.20. 设为坐标原点，动点在椭圆轴的垂线，垂足为的轨迹方程；的轨迹交于两点，过.【答案】（Ⅱ）【解析】试题分析：(Ⅱ)分类讨论：当轴垂直时，的方程为，，联立直线把直线与曲线椭圆联立计算可得据此，结论得证.试题解析：在椭圆上，所以，即轴重合时，，，与轴垂直时，.与轴不垂直也不重合时，可设的方程为，，.点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.存在唯一的极小值点【答案】【解析】试题分析：...结合函数的性质可得定有2的一个极大值点和一个极小值点，则函数在区间.据此整理计算可得试题解析：..，∴在，则函数0，.2为函数上存在一个极值点，所以最小极值点在内.的极小值点的横坐标（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：极坐标与参数方程，..【答案】，【解析】试题分析：到直线的距离为试题解析：的直角坐标方程为23. 选修4-5：不等式选讲，函数2【答案】【解析】试题分析：(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得由均值不等式的结论可得，当且仅当时，等号成立.证法二：由题意可得由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的结论.试题解析：.时，因为不等式为时，因为不等式为时，因为不等式为的解集为（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得当且仅当时，等号成立.另解：所以函数的图象是左右两条平行于或者当且仅当，即时，“等号”成立.。
辽宁省沈阳市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案
2018届高三第一次模拟考试（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2<-+=x x x B ，则=B A （ ）A ．}1{-B ．}0,1{-C ．}1,0,1{-D ．}0,1,2{--2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x （ ） A ．2B ．5C ．3D ．103.下列函数的图像关于y 轴对称的是（ ）A ．x x y +=2B ．x y 1-=C ．x x y --=22D ．x x y -+=22 4.已知平面向量),1(m a = ，)1,3(-=b 且b b a//)2(+，则实数m 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．32D ．32- 5.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =A ．60B ．75 C.90 D ．1056.在抛物线px y 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 A.21B.1C.2D.4 7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A.83 B.43C.248+D.246+ 8.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55 C. 2 D ．552 9.若函数()()2log =+f x x a 与()()21=-+g x x a x ()45-+a 存在相同的零点，则a 的值为 A ．4或52-B ．4或2-C ．5或2-D ．6或52- 22俯视图侧视图10.若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．)0,12(πB ．)0,6(πC ．)0,3(πD ．)0,2(π11.“1=a ”是“1-=x 是函数1)(223-+--=x a ax x x f 的极小值点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知函数()21sin 21x x f x x x-=+++，若正实数b a ,满()()490f a f b +-=，则11a b +的最小值是A.1B.29C.9D.18二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.在如右图所示程序框图中，任意输入一次)10(≤≤x x 与)10(≤≤y y 中奖！”的概率为 .14.已知方程1)2(22=-+y m mx 表示双曲线，则m 的取值范围是 .15. 已知函数()sin x f x e x =，则)(x f 在0=x 处的切线方程为 .16. 若31)6sin(=+πx ，则=-)267sin(x π. 三.解答题：共70分。
高三数学试题-辽宁省沈阳市二十中2018届高三上学期第
辽宁省沈阳市二十中2018届高三上学期第一次月考数学（文）第Ⅰ卷(客观题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合=M ｛x x ＜2｝，集合=N ｛x 0＜x ＜1｝，则下列关系中正确的是（ ） A R N M =⋃ B =⋂N M ｛x 0＜x ＜1｝ C M N ∈ D φ=⋂N M2.若函数)(x f 的定义域是[0，4]，则函数xx f x g )2()(=的定义域是（ ） A [ 0，2] B (0，2) C (0，2] D [0，2)3. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( ) A 15° B 30° C 45° D 60°4.已知条件甲：函数x a x f =)( (a>0，a ≠1)在其定义域内是减函数，条件乙：a 21log >0，则条件甲是条件乙的（ ）A 充分而不必要的条件B 必要而不充分的条件C 充要条件D 既不充分又不必要的条件 5. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2－1（n ≥1），则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．2 6．sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｄ．17．{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．338．函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π＝的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）A ．y ＝2sin(611x 10π+)B ．y ＝2sin(611x 10π-)C ．y ＝2sin(2x ＋6π)D ．y ＝2sin(2x －6π)9.已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.1[,1)7D.11[,)7310.定义在R 上的偶函数]1,0()()1()(∈-=+=x x f x f x f y ，且当满足时单调递增， 则（ ）A ．)25()5()31(f f f <-<B ．)5()25()31(-<<f f fC ．)5()31()25(-<<f f fD ．)25()31()5(f f f <<-11. 已知8079--=n n a n （+∈N n ）则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）A.101,a aB.81,a aC. 98,a aD.109,a a12．设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图1所示，则导函数y ＝f '(x)可能为（ ）第Ⅱ卷(主观题 共90分)二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）13.关于x 的不等式0422<-+ax ax 的解集为R ，则实数a 取值范围为 . 14．若不等式02>++c bx ax 的解集是}31|{<<-x x ,且12>++c bx ax 的解集是空集,则a 的取值范围是________.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4,222=⋅+=+bc a c b 且，则△ABC 的面积等于 . 16.给定下列命题①半径为2，圆心角的弧度数为21的扇形的面积为21； ②若a 、β为锐角，21tan ,31)tan(==+ββa ，则42πβ=+a ； ③若A 、B 是△ABC 的两个内角，且sinA ＜sinB ，则BC ＜AC ；④若a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长，且222c b a -+<0则△ABC 一定是钝角三角形．其中真命题的序号是 ．A BC D三、解答题（共70分）17. (10分) 测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得75,60BCD BDC CD s ∠=∠==，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高AB 。
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题Word版含答案
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(){}03<-=x x x A ，{}32101，，，，-=B ，则=B A （ ） A ．{}1- B ．{}21， C ．{}30， D ．{}3211，，，- 2.已知i 是虚数单位，复数i z i 21-=⋅，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知平面向量()3,4a =，1(,)2b x =，若→→b a //，则实数x 为（ ）A ． 32-B ．32C ．83D ．83- 4.命题”：“21)21(,N ≤∈∀+x x P 的否定为（ ）A ．+∈∀N x ，2121>x ）（B ．+∉∀N x ，2121>x ）（C.+∉∃N x ，2121>x ）（ D ．+∈∃N x ，2121>x ）（5.已知直线)3(:+=x k y l 和圆1)1(:22=-+y x C ，若直线l 与圆C 相切，则=k （ ） A ．0 B ．3 C. 33或0 D ．3或06.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（ ）A ．10636+B ． 10336+ C. 54 D ．277.将D C B A 、、、这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是（ ） A ．21 B ．41 C. 61 D ．818.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)mod (m n N ≡，例如mod3)211（=.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于 （ ）A ．21B ．22 C.23 D ．249.将函数0)ω)(4πsin(ω2)(>+=x x f 的图象向右平移ω4π个单位，得到函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]3π6π[，-上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．3B ．2 C. 23 D ．4510.已知C B A S 、、、是球O 表面上的不同点，⊥SA 平面ABC ，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，若球O 的表面积为π4，则=SA （ ）A ．22B ．1 C. 2D ．2311.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于21F F 、的对称点分别为B A 、，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若12=-BN AN ，则=a（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．612.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=1,)1(log 1,222)(2x x x x f x ，则函数()()[]()232--=x f x f f x F 的零点个数是（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸上）13. 二项式6)21xx +（的展开式中的常数项为 ． 14. 若实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥03010y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最大值为 ．15. 已知ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，面积为S ，且满足22)(4c b a S --=，8=+c b ，则S 的最大值为 ．16. 设函数2)2()(x xg x f +=，曲线)(x g y =在点))1(1g ，（处的切线方程为019=-+y x ，则曲线)(x f y =在点))2(2f ，（处的切线方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421a a a 、、成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下22⨯列联表：（单位：人）.（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布及数学期望.附：参考数据：（参考公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥C C AA 11底面ABC ，211=====BC AB AC C A AA ，且点O 为AC 中点.（Ⅰ）证明：⊥O A 1平面ABC ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点为)0,6(1-F ，22+e .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，设),(00y x R 是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆4)()(2020=-+-y y x x 引两条切线，分别交椭圆于点Q P 、，若直线OQ OP 、的斜率存在，并记为21k k 、，求证：21k k 为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问22OQ OP +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.已知函数21)(ax x e x f x ---=. （Ⅰ）当0=a 时，求证：0)(≥x f ；（Ⅱ）当0≥x 时，若不等式()0≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若0>x ，证明2)1n(1)1x x e x >+-（.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线x y l =:，圆⎩⎨⎧+-=+-=ϕϕsin 2y cos 1:x C ，(ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线l 与圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 的交点为N M 、，求CMN ∆的面积.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数x a x x f 21)(--=，)0>a （. （Ⅰ）若3=a ，解关于x 的不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若对于任意的实数x ，不等式2)()(2aa a x f x f +<+-恒成立，求实数a 的取值范围.2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-5: BCCDD 6-10: ABCCB 11、12：AA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.2514. 1 15. 8 16.062=++y x 三、解答题17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题设，4122a a a =， .................2分即d d 31)1(2+=+，解得01d d ==或 .................4分 又∵0≠d ，∴1d =，可以求得n a n =. .................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n n b 2+=123(12)(22)(32)(2)n n T n =++++++++2=(123222)nn ++++++++）（ .................8分222)1(1-++=+n n n . .................12分 （分别求和每步给2分） 18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）635.65.12225302020303005030202030)33636(50222>==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=χ .................2分 ∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. .................4分 （Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为202505p == .............6分 X 的可能取值为3,2,1,0，由题意，得)52,3(~B X)3,2,1,0(,)53()52()(33===-k C k X P k k k∴随机变量X 的分布列为.................10分 ∴随机变量X 的数学期望56=）（X E . .................12分 19.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明:因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1， .................2分 又∵侧面11AAC C ⊥底面ABC ,交线为AC ,且⊂O A1平面C C AA 11， ∴⊥O A 1平面ABC . .................4分（Ⅱ）如图,以O 为原点,1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，1A ，1(0,C ，B∴(3,1,0)AB =，1(3,0,A B =，11(0,2,0)AC = .................6分 设平面1AA B 的一个法向量为),,(111z y xm =，则有111110000m AB y m A B ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⋅==⎪⎩令11=x ，得1y =，11z =∴)1,3,1(-=m . .................8分 设平面11BC A 的法向量为),,(222z y x =，则有21122120000y m AC m A B ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨=⋅=⎪⎩令12=x ，则20y =，21z =，∴)1,0,1(=n .................10分 ∴510102,cos =>=<n m ∴所求二面角的大小为)510arccos(-. .................12分20. (本小题满分12分) 解:（Ⅰ）由题意得，22,6==e c ，解得32=a ， .................1分 ∴椭圆方程为161222=+y x . (3)分（Ⅱ）由已知，直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，且与圆R 相切， ∴2121001=+-k y x k ，化简得()0424201002120=-+--y k y x k x同理()0424202002220=-+--y k y x k x ， .................5分 ∴12,k k 是方程22000240k x y k y -+-=的两个不相等的实数根∴2040x -≠，0∆>，44202021--=x y k k .................7分∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以16122020=+y x ，即2020216x y -= ∴21421220221-=--=x x k k ． .................8分 （Ⅲ）22OP OQ +是定值18．设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1612,221y x x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212121212121122112k k y k x ∴()2121212121112k k y x ++=+ 同理，得()2222222221112k k y x ++=+． .................10分 由1212k k =-，∴2222221122OP OQ x y x y +=+++()()222221212111221112k k k k +++++= ()1821361821212111221112212121212121=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=k k k k k k综上：1822=+OQ OP ． .................12分 21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）0a =时，'()1,()1xxf x e x f x e =--=-. .................1分 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. .................2分 故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，00)(min ==）（f x f ，∴()0f x ≥ .................3分 （Ⅱ）方法一：'()12xf x e ax =--.由（Ⅰ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 故'()2(12)f x x ax a x ≥-=- 从而当120a -≥，即12a ≤时，在区间[0,)+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，()(0)f x f ≥，即()0f x ≥，符合题意. .................5分 又由1(0)xe x x >+≠，可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x xf x e a e e e e a --<-+-=--在区间(0,ln 2)a 上，'()0f x <，()f x 单调递减，()(0)f x f <，即()0f x <，不合题意. .................7分 综上得实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. .................8分方法二：()12x f x e ax '=--，令ax e x h x 21)(--=，则a e x h x2)(-='.1）当21a ≤时，在[)+∞,0上，()0h x '≥，)(x h 递增，)0()(h x h ≥，即0)0()(='≥'f x f)(x f ∴在[)+∞,0为增函数，0)0()(=≥∴f x f ，21≤∴a 时满足条件； .................5分 2）当12>a 时，令0)(='x h ，解得a x 2ln =，在当[)0,ln 2a 上，,0)(<'x h )(x h 单调递减，()a x 2ln ,0∈∴时，有0)0()(=<h x h ，即0)0()(='<'f x f ，∴)(x f 在区间)2ln ,0(a 为减函数，∴0)0()(=<f x f ，不合题意. .................7分综上得实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. .................8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当21=a 时，0>x ，212x x e x ++>，即212x x e x+>-欲证不等式2)1ln()1(x x e x>+-，只需证22)1ln(+>+x xx ..................10分 设22)1ln()(+-+=x x x x F ，则222)2)(1()2(411)(++=+-+=x x x x x x F ’0>x 时，0)('>x F 恒成立，且0)0(=F ，0)(>∴x F 恒成立.所以原不等式得证. .................12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， .................1分cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4πθ=（∈ρR ）， .................3分圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. .................5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ， .................8分因为圆C 的半径为1，则CMN ∆的面积o 11sin 452⨯=12. .................10分（用直角坐标求解酌情给分）23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(--=，即021|3|<--x x ， .................1分 原不等式等价于x x x 2132<-<-， .................3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . .................5分 （Ⅱ）2||||)()(ax a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--，.................6分 由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- .. (8)分 原问题等价于2||a a <，又0>a ，2a a <∴，解得1>a . .................10分。
2018年沈阳市高三教学质量监测(一)理科数学(含答案)(2018.01)
第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上.
13.已知随机变量 N (1, 2 ) ，若 P ( 3) 0.2 ，则 P ( 1) ．
14.在推导等差数列前 n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得
18.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形，且
PA PD ， APD 90 .
（Ⅰ）证明：平面 PAB 平面 PCD ； （Ⅱ）求二面角 A PB C 的余弦值.
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19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪 里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中生中
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 89
．
15.已知正三角形 AOB （ O 为坐标原点）的顶点 A、B 在抛物线 y 2 3x 上，则 AOB 的边
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长是
．
16.已知 ABC 是直角边为 2 的等腰直角三角形，且 A 为直角顶点， P 为平面 ABC 内一点，
3 3 4 1 C. 2
A．
3 3 2 1 D． 4
B．
6.如图所示，络纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某 简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
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A．4 3Fra bibliotekB．8 3
C.
16 3
D．
32 3
2 x 3 y 3 0 1 7.设 x、y 满足约束条件 2 x 3 y 3 0 ，则 z x y 的最大值是（ ） 2 y 3 0
辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学(理)试卷(含答案)
2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 是虚数单位，则复数231ii++的实部与虚部之积为（ ） A ．54- B ．54 C ．54i D ．54i -2.设集合{|1}A x x =>，{|21}x B x =>，则（ ） A ．{|0}A B x x =>I B ．A B R =U C ．{|0}A B x x =>U D ．A B =∅I3.命题“若0xy =，则0x =”的逆否命题是（ ） A ．若0xy =，则0x ≠ B ．若0xy ≠，则0x ≠ C ．若0xy ≠，则0y ≠ D ．若0x ≠，则0xy ≠4.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为（ ）A ．-3B ．-3或9 C.3或-9 D ．-9或-35.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）A ．33B ．33C.12π D ．14π6.如图所示，络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．43π B ．83π C.163π D ．323π 7.设x y 、满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则12z x y =+的最大值是（ ）A ．-15B ．-9 C.1 D ．98.若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.A ．4B ．8 C.12 D ．249.函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++在(0,)2x π∈的单调递增区间是（ ）A ．(0,)4π B ．(,)42ππ C.(0,)8π D ．(,)84ππ10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(4)4x y -+=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B 233 D ．3211.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列1{}(1)(1)nn n a a a +--的前n 项和是（ ） A ．11121n +-- B ．1121n -+ C.1121n -+ D ．1121n -- 12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，2()12xf x =-，若在区间(2,6)-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)4B ．(1,4) C.(1,8) D ．(8,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13.已知随机变量2(1,)N ξσ:，若(3)0.2P ξ>=，则(1)P ξ≥-= ． 14.在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得222sin 1sin 2sin 89︒︒︒+++=L ．15.已知正三角形AOB ∆（O 为坐标原点）的顶点A B 、在抛物线23y x =上，则AOB ∆的边长是 ．16.已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r （）的最小值是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，已知内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且2cos 2c B a b =+. （Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若6a b +=，ABC ∆的面积为23，求c .18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA PD =，90APD ︒∠=.（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值.19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占25、朋友聚集的地方占15、个人空间占25.美国高中生答题情况是：家占15、朋友聚集的地方占35、个人空间占15.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下22⨯列联表.（Ⅰ）请将22⨯列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关； （Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆194x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程E ；（Ⅱ）过(1,0)F 的直线1l 与点P 的轨迹交于A B 、两点，过(1,0)F 作与1l 垂直的直线2l 与点P 的轨迹交于C D 、两点，求证：11||||AB CD +为定值. 21.已知2()2x f x e ax x =--，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 图象恒过的定点坐标； （Ⅱ）若'()1f x ax ≥--恒成立，求a 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：()f x 存在唯一的极小值点0x ，且012()4f x -<<-.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：极坐标与参数方程设过原点O 的直线与圆22(4)16x y -+=的一个交点为P ，M 点为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的极坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(3,)3π，点B 在曲线C 上，求OAB ∆面积的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =+--. （Ⅰ）当1a =，1b =时，解关于x 的不等式()1f x >； （Ⅱ）若函数()f x 的最大值为2，求证：112a b+≥.试卷答案一、选择题1-5:BCDBB 6-10:ACBCB 11、12：AD二、填空题13.0.8 14.44.5 15.三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin C B A B =+又sin sin()A B C =+∴2sin cos 2sin()sin C B B C B =++∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C B B C B C B =++ ∴2sin cos sin 0B C B += ∴1cos 2C =- 又(0,)C π∈∴23C π=（Ⅱ）由面积公式可得1sin 2ABC S ab C ∆== ∴8ab =2222cos c a b ab C =+-=222()28a ab b a b ab ++=+-=∴c =法2：可解出24a b =⎧⎨=⎩或42a b =⎧⎨=⎩代入2222cos 28c a b ab C =+-=，∴c =18.（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥平面PAD . 又∵AP ⊂平面PAD ，∴CD AP ⊥.∵PD AP ⊥，CD PD D =I ，∴AP ⊥平面PCD . ∵AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD .（Ⅱ）取AD 的中点为O ，BC 的中点为Q ，连接,PO OQ 易得PO ⊥底面ABCD ，OQ AD ⊥以O 为原点，以,,OA OQ OP u u u r u u u r u u u r的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P设平面APB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u u r而(1,0,1)PA =-u u u r ，(1,2,1)PB =-u u u r2200n PA n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u ur u u u r 即11111020x z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取11x =得1(1,0,1)n =u u r设平面BCP 的一个法向量为2222(,,)n x y z =u u r而(1,2,1)PB =-u u u r ，(1,2,1)PC =--u u u r则2200n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r 即2222222020x y z x y z +-=⎧⎨-+-=⎩取21y =得2(0,1,2)n =u u r 121212cos ,||||n n n n n n ⋅==⋅u u r u u ru u r u u r u u r u ur ==由图知所求二面角为钝角 故二面角A PB C --的余弦值为.法2：若以D 为原点，建立空间直角坐标，如图， 不妨设正方形的边长为2可得面PAB 的法向量1(1,0,1)n =u u r面PBC 的法向量2(0,1,2)n =u u r121212cos ,||||n n n n n n ⋅==⋅u u r u u ru u r u u r uu r u u r 1025=⨯ 由图可得A PB C --为钝角 ∴余弦值为105-.19.（Ⅰ） 在家 其他 合计 中国 22 33 55 美国93645∴2100(2236933)31695545K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1001134.628 3.8413123⨯⨯=≈>⨯∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关.（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，X 的可能取值为0，1，20223253(0)10C C P X C ===，1123253(1)5C C P X C ===，2023251(2)10C C P X C ===∴X 的分布列为∴3314()012105105E X =⨯+⨯+⨯=.20.解：（Ⅰ）设(,)P x y ，易知(,0)N x ，(0,)NP y =u u u r， 又因为NM NP ==u u u u r u u u r ，所以()M x y ，又因为M 在椭圆上，所以2219x +=，即22198x y +=. （Ⅱ）当1l 与x 轴重合时，||6AB =，16||3CD =， ∴1117||||48AB CD +=. 当1l 与x 轴垂直时，16||3AB =，||6CD =， ∴1117||||48AB CD +=. 当1l 与x 轴不垂直也不重合时，可设1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠ 此时设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y把直线1l 与曲线E 联立22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(89)189720k x k x k +-+-=，可得1212221220188997289k x x k k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩∴2248(1)||89k AB k ++，把直线2l 与曲线E 联立221(1)198y x kx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，同理可得2248(1)||98k CD k +=+.∴222211899817||||48(1)48(1)48k k AB CD k k +++=+=++. 21.（Ⅰ）因为要使参数a 对函数值不发生影响，所以必须保证0x =， 此时02(0)0201f e a =-⨯-⨯=，所以函数的图象恒过点(0,1). （Ⅱ）依题意得：221x e ax ax --≥--恒成立，∴1x e ax ≥+恒成立. 构造函数()1x g x e ax =--，则()=1x g x e ax --恒过(0,0)，'()x g x e a =-， ①若0a ≤时，'()0g x >，∴()g x 在R 上递增， ∴1x e ax ≥+不能恒成立.②若0a >时，'()0g x =，∴ln x a =.∵(,ln )x a ∈-∞时，'()0g x <，函数()1x g x e ax =--单调递减；(ln ,)x a ∈+∞时，'()0g x >，函数()1x g x e ax =--单调递增，∴()g x 在ln x a =时为极小值点，(ln )ln 1g a a a a =--， ∴要使221x e ax ax --≥--恒成立，只需ln 10a a a --≥. 设()ln 1h a a a a =--，则函数()h a 恒过(1,0)，'()1ln 1ln h a a a =--=-，(0,1)a ∈，'()0h a >，函数()h a 单调递增；(1,)a ∈+∞，'()0h a <，函数()h a 单调递减，∴()h a 在1a =取得极大值0，∴要使函数()0h a ≥成立，只有在1a =时成立.（Ⅲ）'()22x f x e x =--，设()22x m x e x =--'()2x m x e =-，令'()0m x >，ln 2x >∴()m x 在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，(ln 2)2ln 20m =-< '()()22x f x m x e x ==--在ln 2x =处取得极小值可得'()f x 一定有2个零点，分别为()f x 的一个极大值点和一个极小值点 设0x 为函数()f x 的极小值点，则0(0,2)x ∈，∴0'()0f x =，00220x e x --=，02000()2x f x e x x =--=2200002222x x x x +--=-因为22(2)22260m e e =-⨯-=->，因为33/2233()225022m e e =-⨯-=-<， 所以在区间3(,2)2上存在一个极值点，所以最小极值点在3(,2)2内. ∵函数()f x 的极小值点的横坐标03(,2)2x ∈， ∴函数()f x 的极小值2001()2(2,)4f x x =-∈--，∴12()4f x ︒-<<- 22.（Ⅰ）设(,)M ρθ，则(2,)P ρθ又点P 的轨迹的极坐标方程为8cos ρθ=∴28cos ρθ=，4cos ρθ=，2k πθ≠，k Z ∈.（Ⅱ）直线OA 的直角坐标方程为y =点(2,0)到直线的距离为dmax 1()2)||332OAB S OA ∆===.23.解：（Ⅰ）当1,1a b ==时，2,11()2,1212,2x f x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩.不等式()1f x >为|1||1|1x x +-->.①当1x ≥时，因为不等式为1121x x +-+=>，所以不等式成立， 此时符合；符合要求的不等式的解集为{|1}x x ≥；②当11x -≤<时，因为不等式为1121x x x ++-=>，所以12x >， 此时，符合不等式的解集为1{|1}2x x <<； ③当1x ≥时，因为不等式为1121x x --+-=->不成立，解集为空集； 综上所述，不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >.（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||||||||x a x b a b +--≤+，0a >，0b >∴2a b +=. ∴111111()()(2)222b a a b a b a b a b+=++=++≥， 当且仅当1a b ==时，等号成立.另解：（Ⅱ）因为0a >，0b >，所以0a b -<<，所以函数()|||||()|||f x x a x b x a x b =+--=----,()2,()(),()a b x b x a b a x b a b x a +≥⎧⎪=+--<<⎨⎪-+≤-⎩，所以函数()f x 的图象是左右两条平行于x 轴的射线和中间连结成的线段， 所以函数的最大值等于a b +，所以2a b +=.∵2a b +=， ∴11111()()22a b a b a b+=++≥.或者1122(2)a a a a a a -++==--22222(2)()2a a a a ≥=+--， 当且仅当2a a =-，即1a =时，“等号”成立.。
辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学理试题+Word版含答案
2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 是虚数单位，则复数231ii++的实部与虚部之积为（ ） A ．54- B ．54 C ．54i D ．54i -2.设集合{|1}A x x =>，{|21}x B x =>，则（ ） A ．{|0}A B x x => B ．A B R = C ．{|0}AB x x => D ．A B =∅3.命题“若0xy =，则0x =”的逆否命题是（ ） A ．若0xy =，则0x ≠ B ．若0xy ≠，则0x ≠ C ．若0xy ≠，则0y ≠ D ．若0x ≠，则0xy ≠4.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为（ ）A ．-3B ．-3或9 C.3或-9 D ．-9或-35.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）A．4π B．2π C.12π D ．14π6.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．43π B ．83π C.163π D ．323π 7.设x y 、满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则12z x y =+的最大值是（ ）A ．-15B ．-9 C.1 D ．98.若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.A ．4B ．8 C.12 D ．249.函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++在(0,)2x π∈的单调递增区间是（ ）A ．(0,)4π B ．(,)42ππ C.(0,)8π D ．(,)84ππ10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(4)4x y -+=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B．3211.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列1{}(1)(1)nn n a a a +--的前n 项和是（ ） A ．11121n +-- B ．1121n -+ C.1121n -+ D ．1121n -- 12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，()()12xf x =-，若在区间(2,6)-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)4B ．(1,4) C.(1,8) D ．(8,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13.已知随机变量2(1,)N ξσ，若(3)0.2P ξ>=，则(1)P ξ≥-= ．14.在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得222sin 1sin 2sin 89︒︒︒+++= ．15.已知正三角形AOB ∆（O 为坐标原点）的顶点A B 、在抛物线23y x =上，则AOB ∆的边长是 ．16.已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+（）的最小值是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，已知内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且2cos 2c B a b =+. （Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若6a b +=，ABC ∆的面积为c .18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA PD =，90APD ︒∠=.（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值.19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占25、朋友聚集的地方占15、个人空间占25.美国高中生答题情况是：家占15、朋友聚集的地方占35、个人空间占15.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下22⨯列联表.（Ⅰ）请将22⨯列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关； （Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆194x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足2NP NM =.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程E ；（Ⅱ）过(1,0)F 的直线1l 与点P 的轨迹交于A B 、两点，过(1,0)F 作与1l 垂直的直线2l 与点P 的轨迹交于C D 、两点，求证：11||||AB CD +为定值. 21.已知2()2x f x e ax x =--，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 图象恒过的定点坐标； （Ⅱ）若'()1f x ax ≥--恒成立，求a 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：()f x 存在唯一的极小值点0x ，且012()4f x -<<-.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：极坐标与参数方程设过原点O 的直线与圆22(4)16x y -+=的一个交点为P ，M 点为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的极坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(3,)3π，点B 在曲线C 上，求OAB ∆面积的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =+--. （Ⅰ）当1a =，1b =时，解关于x 的不等式()1f x >； （Ⅱ）若函数()f x 的最大值为2，求证：112a b+≥.试卷答案一、选择题1-5:BCDBB 6-10:ACBCB 11、12：AD二、填空题13.0.8 14.44.5 15.三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin C B A B =+又sin sin()A B C =+∴2sin cos 2sin()sin C B B C B =++∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C B B C B C B =++ ∴2sin cos sin 0B C B += ∴1cos 2C =- 又(0,)C π∈∴23C π=（Ⅱ）由面积公式可得1sin 2ABC S ab C ∆== ∴8ab =2222cos c a b ab C =+-=222()28a ab b a b ab ++=+-=∴c =法2：可解出24a b =⎧⎨=⎩或42a b =⎧⎨=⎩代入2222cos 28c a b ab C =+-=，∴c =18.（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥.又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥平面PAD . 又∵AP ⊂平面PAD ，∴CD AP ⊥. ∵PD AP ⊥，CDPD D =，∴AP ⊥平面PCD .∵AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD .（Ⅱ）取AD 的中点为O ，BC 的中点为Q ，连接,PO OQ 易得PO ⊥底面ABCD ，OQ AD ⊥以O 为原点，以,,OA OQ OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P 设平面APB 的一个法向量为1111(,,)n x y z = 而(1,0,1)PA =-，(1,2,1)PB =-2200n PA n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111020x z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取11x =得1(1,0,1)n =设平面BCP 的一个法向量为2222(,,)n x y z = 而(1,2,1)PB =-，(1,2,1)PC =--则2200n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222222020x y z x y z +-=⎧⎨-+-=⎩取21y =得2(0,1,2)n =121212cos ,||||n n n n n n⋅==⋅==由图知所求二面角为钝角 故二面角A PB C --的余弦值为法2：若以D 为原点，建立空间直角坐标，如图， 不妨设正方形的边长为2 可得面PAB 的法向量1(1,0,1)n = 面PBC 的法向量2(0,1,2)n =121212cos ,||||n n n n n n ⋅==⋅=由图可得A PB C --为钝角∴余弦值为5-.19.（Ⅰ）∴22100(2236933)31695545K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1001134.628 3.8413123⨯⨯=≈>⨯∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关.（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，X 的可能取值为0，1，20223253(0)10C C P X C ===，1123253(1)5C C P X C ===，2023251(2)10C C P X C ===∴X 的分布列为∴3314()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 20.解：（Ⅰ）设(,)P x y ，易知(,0)N x，(0,)NP y =， 又因为NM =，所以()M x y ，又因为M 在椭圆上，所以2219x +=，即22198x y +=. （Ⅱ）当1l 与x 轴重合时，||6AB =，16||3CD =， ∴1117||||48AB CD +=. 当1l 与x 轴垂直时，16||3AB =，||6CD =， ∴1117||||48AB CD +=. 当1l 与x 轴不垂直也不重合时，可设1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠ 此时设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y把直线1l 与曲线E 联立22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(89)189720k x k x k +-+-=，可得1212221220188997289k x x k k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩∴2248(1)||89k AB k +=+，把直线2l 与曲线E 联立221(1)198y x kx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，同理可得2248(1)||98k CD k +==+.∴222211899817||||48(1)48(1)48k k AB CD k k +++=+=++. 21.（Ⅰ）因为要使参数a 对函数值不发生影响，所以必须保证0x =， 此时02(0)0201f e a =-⨯-⨯=，所以函数的图象恒过点(0,1). （Ⅱ）依题意得：221x e ax ax --≥--恒成立，∴1x e ax ≥+恒成立. 构造函数()1x g x e ax =--，则()=1x g x e ax --恒过(0,0)，'()x g x e a =-， ①若0a ≤时，'()0g x >，∴()g x 在R 上递增， ∴1x e ax ≥+不能恒成立.②若0a >时，'()0g x =，∴ln x a =.∵(,ln )x a ∈-∞时，'()0g x <，函数()1x g x e ax =--单调递减；(ln ,)x a ∈+∞时，'()0g x >，函数()1x g x e ax =--单调递增，∴()g x 在ln x a =时为极小值点，(ln )ln 1g a a a a =--， ∴要使221x e ax ax --≥--恒成立，只需ln 10a a a --≥. 设()ln 1h a a a a =--，则函数()h a 恒过(1,0)，'()1ln 1ln h a a a =--=-，(0,1)a ∈，'()0h a >，函数()h a 单调递增； (1,)a ∈+∞，'()0h a <，函数()h a 单调递减，∴()h a 在1a =取得极大值0，∴要使函数()0h a ≥成立，只有在1a =时成立.（Ⅲ）'()22x f x e x =--，设()22x m x e x =--'()2x m x e =-，令'()0m x >，ln2x >∴()m x 在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，(ln 2)2ln 20m =-< '()()22x f x m x e x ==--在ln2x =处取得极小值可得'()f x 一定有2个零点，分别为()f x 的一个极大值点和一个极小值点 设0x 为函数()f x 的极小值点，则0(0,2)x ∈，∴0'()0f x =，00220x e x --=，02000()2x f x e x x =--=2200002222x x x x +--=-因为22(2)22260m e e =-⨯-=->，因为33/2233()225022m e e =-⨯-=-<， 所以在区间3(,2)2上存在一个极值点，所以最小极值点在3(,2)2内. ∵函数()f x 的极小值点的横坐标03(,2)2x ∈， ∴函数()f x 的极小值2001()2(2,)4f x x =-∈--，∴12()4f x ︒-<<- 22.（Ⅰ）设(,)M ρθ，则(2,)P ρθ又点P 的轨迹的极坐标方程为8cos ρθ=∴28cos ρθ=，4cos ρθ=，2k πθ≠，k Z ∈. （Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为y =点(2,0)到直线的距离为d =max 1()2)||332OAB S OA ∆===+. 23.解：（Ⅰ）当1,1a b ==时，2,11()2,1212,2x f x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩.不等式()1f x >为|1||1|1x x +-->.①当1x ≥时，因为不等式为1121x x +-+=>，所以不等式成立，此时符合；符合要求的不等式的解集为{|1}x x ≥；②当11x -≤<时，因为不等式为1121x x x ++-=>，所以12x >， 此时，符合不等式的解集为1{|1}2x x <<； ③当1x ≥时，因为不等式为1121x x --+-=->不成立，解集为空集； 综上所述，不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >.（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||||||||x a x b a b +--≤+，0a >，0b >∴2a b +=. ∴111111()()(2)222b a a b a b a b a b+=++=++≥， 当且仅当1a b ==时，等号成立.另解：（Ⅱ）因为0a >，0b >，所以0a b -<<，所以函数()|||||()|||f x x a x b x a x b =+--=----,()2,()(),()a b x b x a b a x b a b x a +≥⎧⎪=+--<<⎨⎪-+≤-⎩，所以函数()f x 的图象是左右两条平行于x 轴的射线和中间连结成的线段， 所以函数的最大值等于a b +，所以2a b +=.∵2a b +=， ∴11111()()22a b a b a b+=++≥. 或者1122(2)a a a a a a -++==--22222(2)()2a a a a ≥=+--， 当且仅当2a a =-，即1a =时，“等号”成立.。