高中数学人教版选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程 教案(系列二)
专业文档 珍贵文档 2.2.1 双曲线及其标准方程 【教材内容分析】 本节课是高中数学选修1-1第二章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握. 【学情分析】 知识结构分析： 学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系. 能力体系分析： 本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算能力. 【教学目标】 通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义； 通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程； 通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣. 【教学重点】 双曲线的定义； 双曲线标准方程的两种形式. 【教学难点】 双曲线标准方程的推导方法及化简过程. 【教具准备】
多媒体投影仪，几何画板动画 【教学方法】
采用启发、探究式教学. 专业文档 珍贵文档 【教学环节】 教学环 节 教学内容 师生活动 设计意图
(一) 创 设 情 境 ， 感 知 图 形 回顾初中时学习过的反比例函数的图像； 观察电厂的冷却塔图片，它的轴截面的外轮廓就是双曲线的一部分. 教师引入，学生回忆初中所学内容； 多媒体展示图片，学生观察，实物感知双曲线的形状. 教师引入课题，告知学生本节课的学习目标、学习重点和学习难点.这一段可由一名学生代表阅读. 通过学生熟悉的知识以及生活中的实例让学生感知双曲线的形状，这样的两个例子简单、生动，学生易于接受.
(二) 动 画 演 示 ， 引 入 双曲线是如何形成的？可以如何给双曲线下定义？借助经典的拉链动画，引导学生总结动点在运动过程中的特征，从而引入双曲线的定义. 教师手动演示双曲线的形成过程，先演示靠近2F的一支，由学生总结动点特征: .21常数MFMF 并解释为什么有这样的特征:随着拉链的闭拢和拉开，两条线段减小或增加的量相等，所以差值始终是同一个常数. 再演示靠近1F的那一支，仍然由学生总结特征: .12常数MFMF 接着，强调以上两个常数是相等 充分调动学生的积极性，突出学生的主体地位，并且通过总结特征提高学生的语言表达能力，对图形的认知能力. 学生概述定义时往往会漏掉常数的范围，这个问题暂时保留，专业文档 珍贵文档 定 义 的，两支曲线合在一起叫做双曲线，引导学生把两个式子合二为一:.21常数MFMF 并把数学式子转化成自然语言，概述双曲线的定义：平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线.(此处暂时不说常数的范围.) 下一个环节来解决。 保留常数的范围这一问题，由学生自己发现，方能印象更加深刻.
教学环 节 教学内容 师生活动 设计意图
(三) 剖 析 定 义 剖析定义中的要点： ①“平面内”三个字容易漏掉，去掉后不严谨； ②由学生发现“绝对值”三个字的重要性； ③常数是不是像椭圆中一样有范围限制？如果有的话，是什么？为什么？ 刚才给出定义时没有加上常数的范围，定义叙述不完整，所以现在要对定义进行补充，确保定义的严谨性.最终双曲线的定义为： 第一点教师做提醒； 第二点要点拨学生去掉“绝对值”三个字后点的轨迹会是什么，学生慎重考虑后应该能够找到正确答案:去掉绝对值后轨迹变成了双曲线的一支.之后教师提醒学生做题时需注意这一点； 第三点由学生分组去讨论，然后派代表说明本组的讨论结果，直至解决问题,得到结论： ①常数等于21FF时，点的轨迹是直线21FF上以21FF、为端点向外的两条射线； ②常数大于21FF时，点的轨迹 学生的表达往往不严谨，“平面内”这三个字是很容易被忽略的，所以教师要强调.第二点学生略作思考，就能够意识到这三个字的重要性；第三点对学生而言最为困难，如果强硬给出的话，学生被动接受，专业文档 珍贵文档 ， 夯 实 基 础 平面内到两个定点21FF、的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，焦距用c2表示，常数用a2表示，显然这里有.022ac 不存在； ③常数等于0时，点的轨迹是线段21FF的垂直平分线. 以双曲线和椭圆作比较，两类曲线中a和c的大小关系不同，在椭圆中，,0ca而在双曲线中，.0ac要提醒学生注意. 不利于学生的理解和掌握，所以我采取小组讨论的做法，由学生自己得出范围，加深学生对范围的理解.
回顾椭圆的标准方程的推导步骤，推导双曲线的标准方程. 标准方程为 其中.,00ba 椭圆的标准方程有两 学生刚刚学习过椭圆，对椭圆的标准方程的推导过程印象比较深刻，用同样的步骤推导双曲线的标准方程： ①建系 以直线21FF
为x轴，线段
21FF的垂直平分线为y轴建立
平面直角坐标系. ②设点 设双曲线上任意一点M坐标为),(yx，焦距为,c2则
).,(),,(0021cFcF常数记为a2.
③写出限制条件
.12222bya
x专业文档
珍贵文档 (四) 类 比 椭 圆 ， 推 导 方 程 种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程： .12222bxay 其中.,00ba 两种形式的标准方程，应该如何判断焦点所在轴？ 学生思考并做答：在等式右边是1或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上.这与椭圆判断焦点所在轴的方法也不一样，同样要给学生强调. .221aMFMF ④列出等式 .)()(ayaxyax22222 ⑤化简这一步由学生自己动手完成，并且找一个学生演板，最终化简为 像椭圆一样，为了使双曲线方程的形式更加简洁，结合 ,0ac可设,222bac其中0b(意义讲性质时再涉及).于是双曲线的方程可化为.12222byax这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程，焦点坐标为).,(),,(0021cFcF 双曲线与椭圆标准方程中cba、、的关系不同，要给学生强调，这也是今后在做题过程中学生易混淆的地方. 培养学生的运算能力. 通过双曲线与椭圆的对比，学生可以加深对两种曲线的理解.
122222acya
x专业文档
珍贵文档 (五) 例 题 讲 解 ， 学 以 致 用 例1、已知双曲线的焦点),,(051F2F ),,(05双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程. 对例题的条件进行修改，得到如下三个变式训练： 1、已知),,(501F2F ),,(50动点P满足 .821PFPF求点P的轨迹方程. 2、已知),,(051F2F ),,(05动点P满足.821PFPF求点P的轨迹方程. 3、已知),,(051F2F ),,(05动点P满足 .1021PFPF求点P的轨迹方程. 例2、已知双曲线的焦点),,(601F2F 例1难度系数不大，给学生适当的时间，自己去做，一般情况下学生会在练习本上直接写出本题的正确答案，所以教师要通过投影给出规范的解题步骤. 三个变式均是对定义的考查，如果学生对定义中的要点理解到位，就可以顺利地把三个变式求解出来. 教师要强调双曲线的一支方程和变式训练3中两条射线的方程应如何表示，这是易错点. 例2较之例1难度略大，计算量也稍大，所以要给学生充分的思考时间.这道题由两个学生演板，一般情况下学生会利用6c和双曲线过点),(52M列方程求解，这一方法思路自然，运算较繁；有些数学程度较好并且善于思考的同学会想到利用定义求出,21MFMF即a2，再利 本节课的重点就是双曲线的定义及标准方程，而定义中的要点一是绝对值，二是常数的范围，设计例1就是要使学生正确把握定义，正确理解定义. 例2让学生演板，体现了学生在课堂上的主体作用，两种方法的对比会让学生明白解题时技巧的重要性，从而引导学生在日常学习中一定要多动脑思考，不止为做题而做题，一道题目专业文档 珍贵文档 ),,(60且经过点M
).,(52求双曲线的标
准方程.
用6c即可求出,b从而双曲线的方程得以求出，这一方法相对来讲计算量较小，而且紧扣本节课的学习重点.要给学生强调定义的重要性.
有多种解法时，可权衡一下哪一种解法更有利于节省时间，提高效率. 专业文档
珍贵文档 (六) 课 堂 练 习 ， 沙 场 练 兵 1、已知双曲线的焦点在坐标轴上，.,37ba则双曲线的标准方程为 . 2、过双曲线13422yx左焦点1F的直线交双曲线的左支于NM、两点，2F为其右焦点，MNNFMF22的值等于 . 3、在ABC中，B ),,(),,(0404C动点A满足CBsinsin .sinA21则动点A的轨迹方程为 . 教师通过投影打出三道题目，学生自己审题，动手计算.然后教师提问学生回答自己计算得到的答案: 1、194922yx或 .194922xy 2、8. 3、).(2112422xyx 学生动手去做，通过学生的做题状况教师能够看出学生对本节课知识点的掌握情况，三道练习题由浅入深，层层深入，使学生体会到学习的快乐和收获. 第3题稍有难度，用到了正弦定理，有些学生可能会不明白为什么要有,2x这一点涉及到双曲线的性质，正好为学习双曲线的性质做铺垫.
高中数学 选修1-1 新课讲义 第2章 2.2.1 双曲线及其标准方程
§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数(小于|F1F2|)；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数(小于|F1F2|)，可得到另一条曲线．梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴y 轴标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系式 a 2＋b 2＝c 2(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上． (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × ) 2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( × )3．双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( × )类型一 双曲线的标准方程 命题角度1 双曲线标准方程的认识例1 方程x 22＋m ＋y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A解析 由题意可知，(2＋m )(m ＋1)<0，∴－2<m <－1.反思与感悟 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．跟踪训练1 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 C解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 命题角度2 求双曲线标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.反思与感悟 求双曲线方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论．(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．跟踪训练2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．(2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.(2)椭圆x 227＋y 236＝1的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(－15，4)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.类型二 双曲线的定义及应用 命题角度1 双曲线中的焦点三角形例3 (1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为________．考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 4a ＋2m解析 由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a . 又|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m . (2)设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 12解析 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0，所以△F 1PF 2为直角三角形．12PF F S＝12×|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12. 引申探究本例(2)中，若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积． 解 由双曲线方程为x 2－y 212＝1， 可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13.因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0，所以△PF 1F 2为直角三角形． 所以12PF F S＝12|PF 1|·|PF 2|＝12. 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式12PF F S＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积． 特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|之间的关系．跟踪训练3 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( ) A ．1 B ．4 C ．6 D ．8 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由余弦定理得|F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2， 即m 2＋n 2－mn ＝8，∴(m －n )2＋mn ＝8，∴mn ＝4， 即|PF 1|·|PF 2|＝4.命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程例4 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且2<6＝|C 1C 2|. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1 (x ≤－1)．反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题． (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练4 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 22－y 214＝1(x ≥2) B.x 22－y 214＝1 C.x 214－y 22＝1 D.x 22＋y 214＝1 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 A解析 设动圆M 的半径为r ，则由已知得 |MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， 所以|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，所以|C 1C 2|＝8，所以22<|C 1C 2|，根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支， 因为a ＝2，c ＝4， 所以b 2＝c 2－a 2＝14，所以点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2).1．已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．不存在D ．一条射线考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 B解析 因为|PF 1|－|PF 2|＝4，且4<|F 1F 2|， 由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支．2．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A解析 由题意知，k ＋3>0且k ＋2<0， ∴－3<k <－2.3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， 则12PF F S＝12|PF 1|·|PF 2|＝24. 4．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 D解析 由a >0,0<a 2<4，且4－a 2＝a ＋2，可解得a ＝1，故选D. 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，10)．考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上， 因为点A (－5,6)在双曲线上， 所以2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8.因为过(3，10)点， 所以9a 2－10b 2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.一、选择题1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案 C解析将双曲线方程化成标准方程为x21－y212＝1，所以a2＝1，b2＝12，所以c＝a2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案 D解析 将方程化为y 2－n m －x 2－n m＝1， 由mn <0，知－n m>0， 所以方程表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．3．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上一点P 到F 1的距离为12，则P 到F 2的距离为( )A ．17B ．22C ．2或22D ．7或17考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 C解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝10，又|PF 1|＝12，则P 到F 2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选C.4．过点(1,1)，且b a ＝2的双曲线的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 D解析 ∵b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线标准方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线标准方程为y 212－x 2＝1.5．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－653考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B. 6．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.19D.35考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 B解析 设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18. ①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c 22d 1d 2＝18－166＝13. 7．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．9B ．10C ．16D ．20考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 A解析 △ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，∵|AB |＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线定义知，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，∴4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，∴a ＝3，∴m ＝a 2＝9.8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 B解析 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 二、填空题9．若点P 到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________________． 考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法求双曲线的标准方程答案 y 2－x 28＝1(y ≥1) 解析 由题意结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹为双曲线上支，且c ＝3,2a ＝2，a ＝1，b 2＝9－1＝8，故点P 的轨迹方程为y 2－x 28＝1(y ≥1)． 10．双曲线x 264－m 2－y 2m 2＝1(0<m <5)的焦距为________． 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 16解析 在双曲线x 264－m 2－y 2m 2＝1(0<m <5)中， a 2＝64－m 2，b 2＝m 2.∴a 2＋b 2＝64，可得c ＝8,2c ＝16.11．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)的双曲线的标准方程是________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 y 225－x 275＝1 解析 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 12．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝3－1＋3＋1＝2 3.三、解答题13.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 四、探究与拓展14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________. 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 56解析 设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由双曲线定义，得a －c ＝10，由正弦定理，得sin A －sin C sin B ＝a －c b ＝1012＝56. 15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25， 因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角．故△MF 1F 2为钝角三角形．。
人教A版高中数学选修1-1第二章《双曲线及其标准方程》教学设计
人教A版高中数学选修1-1第二章《双曲线及其标准方程》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。
2、过程与方法目标：本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程有一个比较深刻的认识。
3、情感、态度与价值观目标：在类比研究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣、培养学生认真参与积极交流的主题意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。
通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
二、重点
双曲线的定义及其标准方程和简单应用。
三、难点
对双曲线定义的理解，推导双曲线的标准方程。
四、教学方法
从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用探究性教学法、启发式教学法等充分调动学生的积极性，通过教师的组织，让学生对双曲线及其标准方程加以理解与记忆。
五、教学过程。
高中数学人教版选修1-12-2-2双曲线及其标准方程(二)教案
2.3.2 双曲线及其标准方程（二）【学习目标】进一步掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程。
【自主学习】 名 称 椭 圆双 曲 线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆。
即 。
当2a ﹥2c 时，轨迹是 ， 当2a =2c 时，轨迹是 ， 当2a ﹤2c 时，轨迹 。
平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即 。
当2a ﹤2c 时，轨迹是 ， 当2a =2c 时，轨迹是 ， 当2a ﹥2c 时，轨迹 。
标准方 程焦点在x 轴上时： 12222=+by a x焦点在y 轴上时：12222=+bx a y注：是根据 来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在x 轴上时：12222=-by a x焦点在y 轴上时：12222=-bx ay注：是根据 来判断焦点所在的位置cb a ,,的关系222b c a +=（符合勾股定理的结构） 0>>b a ，a 最大，bc b c b c ><=,, 222b a c +=（符合勾股定理的结构）0>>a cc 最大，可以b a b a b a ><=,, 【典型例题】例1．已知A 、B 两地相距800m ， 一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ，并且此时声速为340 m ／s 。
(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)求炮弹爆炸点的轨迹方程。
11-12高二数学：2.2.1 双曲线及其标准方程 课件(人教A选修1-1)
双曲线的定义 例 1 P 是双曲线6x42－3y62 ＝1 上一点，F1、F2 是双曲线 的两个焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|的值．
[分析] 利用双曲线的定义求解．
[解] 在双曲线6x42－3y62 ＝1 中，a＝8，b＝6，故 c＝10. 由 P 是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝16. ∴|PF2|＝1 或|PF2|＝33. 又|PF2|≥c－a＝2，得|PF2|＝33.
2.2.1 双曲线及其标准方程
1.经历从具体问题情境抽象出双曲线模型的过程． 2．掌握双曲线的定义和标准方程． 3．能利用双曲线的定义和标准方程分析解决有关问题.
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的_差__的__绝__对__值___等于 常数(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定 点叫做双曲线的__焦__点____，两焦点间的距离叫做双曲线的 ___焦__距___．
[点拨] 本题容易忽略|PF2|≥c－a 这一条件，而得出错 误 的 结 论 |PF2|＝ 1 或 |PF2|＝ 33. 在 双 曲 线 中 ， 为 什 么 有 |PF2|≥c－a 呢？事实上，设 F1、F2 分别为双曲线的左、右 焦点，P 点为双曲线右支上的点，则由双曲线定义可知|PF1| －|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a.又由三角形两边之和大于第 三边可知，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2c(当且仅当 P 在线段 F1F2 上时等号成立)，∴|PF2|＋2a＋|PF2|≥2c，即|PF2|≥c－a.
答案：B
3．已知双曲线的方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)，点 A、B 在双曲线的右支上，线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2，|AB| ＝m，F1 为另一焦点，则△ABF1 的周长为( )
高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.1 双曲线及其标准方程
2-������ < 0, 或 ② |������|-3 > 0, 由①,解得-3<m<2;由②,解得 m>3. 故实数 m 的取值范围为(-3,2)∪(3,+∞).
-14-
目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思由方程判断曲线类型,先看其分母,再结合双曲线、椭圆的不 同要求,构造关于分母中参数的方程(组)或不等式(组)即可求得.
联立上面两式,解得 a2=20-2 10, ������2 = 2 10,
������2 ������2 ∴所求双曲线的标准方程为 − 20-2 10 2 10
= 1. −
(2)∵双曲线的焦点在
������2 ������
2
������2 y 轴上,∴设双曲线的标准方程为 ������2
= 1(������ > 0, ������ > 0). ①
������2 轴上,可设标准方程为 ������2
−
������2 ������
2
= 1(������ > 0, ������ > 0).
由双曲线的定义,得 ||MF1|-|MF2|| =| 72 + ( 15)2 − (-1)2 + ( 15)2 | =|8-4|=4=2a, 则 a=2. 又 c=4,则 b2=c2-a2=12.
������2 ������
2
= 1(������ > 0, ������ > 0), 用待定系数法求得a,b;第(2)题可
先设出标准方程,然后把点 P1,P2 的坐标代入方程,联立方程组,求出 a2,b2 的值.
-17-
人教课标版高中数学选修1-1：《双曲线及其标准方程(第1课时)》教案-新版
2.2.1双曲线及标准方程（第1课时）一、教学目标 1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养,培养解析法解题能力,提高数学运算素养. 2.学习目标（1）了解双曲线的定义、图象、标准方程,会求双曲线的标准方程.（2）进一步理解坐标法的应用,并在研究双曲线的过程中注意与椭圆比较,明确两者的联系与区别. 3.学习重点双曲线的定义及其标准方程. 4.学习难点双曲线与椭圆的联系与比较. 二、教学设计 （一）课前预习 1.预习任务任务1 预习教材4548P P -,双曲线的定义应该注意什么?双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,a b c 与椭圆的,,a b c 有何区别? 任务2 完成48P 相应练习题 2.预习自测1.已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,动点P 满足122PF PF a -=,则当3a =和5时,P 点的轨迹为（ ） A.双曲线与一条直线B.双曲线与一条射线C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线 答案:D解析:考查双曲线定义2. 已知点(,)P x y 的坐标满足2222(1)(1)(3)(3)4x y x y -+--+++=±,则动点P 的轨迹为（ ）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对 答案:B解析:考查双曲线定义3. 已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,求与两定点1F 、2F 的距离差的绝对值等于6的点的轨迹方程______________.答案:221916x y -= 解析:由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为22221x y a b -=,这里26a =,210c =,∴3a =,5c =,由此得4b =.从而求得双曲线的方程为221916x y -=.（二）课堂设计 1.知识回顾(1)已知点()111222,,(,)P x y P x y 则()()22121212PP x x y y =-+-(2)我们预习本课的双曲线的标准方程得两种形式是怎样的? 2.问题探究问题探究一 双曲线的定义●活动一 什么是双曲线?与之相关的概念有哪些?在平面内到两个定点21,F F 距离之差的绝对值等于定值a 2(大于0且小于||21F F )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.●活动二 12F F 与a 之间有何大小关系?去掉定义中“绝对值”三个字,对结论有影响吗?在双曲线的定义中,条件||2021F F a <<不应忽视,若||221F F a =,则动点的轨迹是两条射线;若｜21|2F F a >,则动点的轨迹不存在.双曲线定义中应注意关键词“绝对值”,若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线一支. 问题探究二 双曲线的标准方程●活动一 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>其中a 、b 、c 的关系为222c a b =+●活动二 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系. 椭圆双曲线定义a MF MF 2||||21=+定义a MF MF 2||||21±=-0a c >>,222(0)a c b b ∴-=>0a c <<Q ,222(0)c a b b ∴-=>2222222211(0)x y y xa b a b a b 或+=+=>> 2222222211x y y x a b a b 或-=-= (a b a ,0,0>>不一定大于b )★▲问题探究三 确定双曲线的标准方程,掌握运用待定系数法,定义法求双曲线的标准方程例1.过双曲线22144x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于,M N 两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-=________. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】分析: 由双曲线定义及条件知212124MF NF NF NF a -=-==. 详解: 根据双曲线的定义,有22MF NF MN +-2221=()()=2248MF NF NF NF a a a -+-+==例2.（1）双曲线的一个焦点坐标是），（60-,经过点)6,5(-A , 求双曲线的标准方程.【知识点:双曲线的定义及标准方程】(1) 详解一:由已知得,6=c ,且焦点在y 轴上,则另一焦点坐标是()0,6.因为点)6,5(-A 在双曲线上,所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数a 2,即2222222222|(5)(66)(5)(66)||135|8,4,6420.a abc a =-++--+-=-=∴==-=-=因此,所求的双曲线标准方程是221.1620x y -= 详解二:由焦点坐标知,36,6c 22=+∴=b a∴双曲线方程为22221.36y x a a -=- ∵双曲线过点)6,5(-A ,222236251,16,20.36a b a a∴-=∴==- 双曲线方程为221.1620y x -= （2）已知双曲线通过(1,1)M 、(2,5)N -两点,求双曲线的标准方程. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解一:若焦点在x 轴上,则设双曲线的标准方程为22221x y a b-=.∵(1,1)M 、(2,5)N -在双曲线上,∴222222111(2)51a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22787a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 若焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为22221y x a b -=.同理有2222221115(2)1a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22778a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,舍去. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=.详解二:设所求双曲线的方程为()2210Ax By AB +=<. 将点(1,1)M 、(2,5)N -代入上述方程,得14251A B A B +=⎧⎨+=⎩,解得:8717A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=. 点拔:求双曲线的标准方程时,可以根据其焦点位置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a ,b 的值;若双曲线的焦点位置难以确定,可设出双曲线方程的一般式()2210Ax By AB +=<,利用条件,通过待定系数法求出系数的值,从而可写出双曲线的标准方程.例3.求与双曲线221164x y -=共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程 【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解:由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为221164x y k k-=-+. 由于点(32,2)在所求的双曲线上,从而有1841164k k-=-+. 整理得210560k k +-=,∴4k =或14k =-. 又160,40k k ->+>,∴416k -<<.从而仅有4k =.故所求双曲线的方程为221128x y -=. 点拔:与22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b k a a k b k -=-<<-+,然后根据条件确定待定系数k 即可. 3.课堂总结【知识梳理】（1）平面内点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为常数,即122MF MF a -=当122a F F <时,点M 的轨迹是双曲线; 当122=a F F 时,点M 的轨迹是两条射线; 当122a F F >时,点M 的轨迹不存在（2）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,()222210,0y x a b a b -=>>的相同点为它们的形状、大小都相同,都有222c a b =+,不同点为它们在坐标系中位置不同,焦点坐标也不相同。
人教版高中数学选修1-1课件：2.2.1 双曲线及其标准方程
解： 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=6, ∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2| =36,又|PF1|·|PF2|=32,
∴|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100.
又|F1F2|=2c=10, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴∠F1PF2=90°.
考点类析
[答案] B [解析] ∵点A,B在双曲线的右支上, ∴|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|-|AF2|=2a, ∴|BF1|+|AF1|-(|BF2|+|AF2|)=4a, ∴|BF1|+|AF1|=4a+m, ∴ △ABF1的周长为4a+m+m=4a+2m.
考点类析
【变式】已知双曲线16x2-9y2=144, F1,F2是其左、右焦点,点P在双曲线 上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2.
预习探究
[探究] 在双曲线的定义中,要求0<2a<|F1F2|,那么当2a和|F1F2|满足下列关系时, 动点的轨迹又是什么? (1)2a=0;(2)2a=|F1F2|;(3)2a>|F1F2|.
解:(1)若2a=0,则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线; (2)若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是两条射线; (3)若2a>|F1F2|,则动点的轨迹不存在.
重点难点
[重点] 双曲线的定义及其标准方程． [难点] 双曲线标准方程的推导．
教学建议
引导 教学中
学生从复习回顾“椭圆及其标准方程”通过类比引出双曲线的定义，在概念的理解上，用步步设问来加深理解．在概念的建立上，借助几何画板演示轨迹变化的动画过程，从而使
高中数学人教A版(选修1-1)课时同步教案：2.2.1双曲线及标准方程
教学目标：1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2. 使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法教学用具：CAI课件、演示教具课时安排：一课时教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么?(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.)师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)（2a>｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）二、定义探究师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：｜PF1｜-｜PF2｜=2a或｜PF2｜-｜PF1｜=2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线flash生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果｜PF1｜＞｜PF2｜,则得到曲线的右支，如果｜PF2｜＞｜PF1｜则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？（学生口述教师板书椭圆的标准方程）师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x 、y),｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c,0),F 2(c,0).由两点间距离公式，得｜PF 1｜=22)(y c x ++,｜PF 2｜=22)(y c x +-由双曲线定义，得｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a化简方程22)(y c x ++=±2a+22)(y c x +-两边平方，得(x+c)2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x-c)2+y 2化简得：cx-a 2=±22)(y c x +-两边再平方，整理得(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2 (c 2-a 2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c-2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得b 2x 2-a 2y 2=a 2b2也就是x 2/a 2-y 2/b 2=1师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处.（师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”）四、巩固内化例：已知两定点())0,5(,0,521F F -，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
人教B版高中数学选修1-1课件高二：2.2.1双曲线及其标准方程
x2 a2
+
yb22=1(a>b>0)
x2 a2
−
yb22=1(a>0,b>0)
焦点在 y 轴上
y2 a2
+
xb22=1(a>b>0)
y2 a2
−
xb22=1(a>0,b>0)
8
探究一
探究二
探究三
双曲线的定义及应用
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
12345
4.已知方程������������-23 + 2������-2������=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 k 的取值范围
是
.
解析:因为方程������������-23 + 2������-2������=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,所以
������-3 < 0,解得 2-������ > 0,
1
−
������2
8
=1.
������
������
因为一个焦点是(0,3),
所以焦点在 y 轴上, 所以 c=3,a2=-8������,b2=-1������, 所以 a2+b2=-8������ − 1������=c2=9,
所以 k=-1.
16
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1
2.2 双曲线
2
2.2.1 双曲线及其标准方程
3
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
2.2.1双曲线及其标准方程课件人教B版高中数学选修1-1
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，a,b大小 不确定，c2=a2+b2
[读一读学习要求、目标更明确] 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程． 本 2．掌握双曲线的标准方程．
讲
栏 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
目
开 [看一看学法指导、学习更灵活] 双曲线介于椭圆与抛物线之
关
间，承上启下；可以结合实例，观察分析，培养“应用数学意 识”，进一步巩固数形结合思想．
经过点 A(1, 17 )
（3）已知椭圆的方程为
， 求以
此椭 圆的顶点为焦点、焦点为顶点的双
曲线的标准方程.
例3:如果方程
表示焦点在y轴
的双曲线，求m的取值范围.
变式一: 方程
表示双曲线时，则m的
取值范围 变式二:
表示焦点在y轴的双曲线时，
求m的范围。
小结：
1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标 准方程以及方程中的a，b，c之间的关系 2、怎样的双曲线其方程是标准方程；
双曲线与椭圆之间的区分与联系：
椭圆
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
焦点
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
- x2 = 1 b2
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)