高中数学第一章统计案例教材习题点拨新人教A选修1-2讲解
i 1
n
(yi－a－bxi)
2
＝
i 1 n
n
2 [(yi－bxi－ y ＋b x )－(a－ y ＋b x )]
＝
i 1 n
2 (yi－ bxi－ y ＋ b x ) ＋
i 1
n
2 (a－ y ＋ b x ) －2
i 1
n
(yi －bxi－ y ＋ b x )(a
－ y ＋b x )， 并且
高中数学 第一章 统计案例教材习题点拨 新人教 A 版选修 1-2
复习参考题 A组 1．解：1993～2002 年全国人口总数如下表： 年份 年末 人数 (万 人) 将年份作为横轴，相应年份全国人口总数作为纵轴，根据表中数据作散点图如下： 118 517 119 850 121 121 122 389 123 626 124 761 125 786 126 743 127 627 128 453 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
n
2 ( yi － y )
^
表示因变量的变化总效应等于随机误差的变化效应与自变量的变化效应之和． 3．解：本题需要应用回归分析模型解决．解答应该包括如何获取数据，如何根据散点 图寻找合适的模型去拟合数据，以及所得结果的解释三个方面的内容．
3
1
系．
^
^
(2)由线性回归模型的最小二乘估计量的计算公式得a＝1 334.5，b＝0.025 6， 从而得线性回归方程：
y＝0.025 6x＋1 334.5，其残差值计算结果见下表：
销售 总额 利润 残差 126 974 4 224 － 361.0 96 933 3 835 19.0 86 656 3 510 － 42.9 63 438 3 758 799.5 55 264 3 939 1 189.7 50 976 1 809 － 830.5
i 1
2 2 (a－ y ＋b x ) ＝n(a－ y ＋b x ) ，
2
2
i 1
n
(yi－bxi－ y ＋b x )(a－ y ＋b x )
＝(a－ y ＋b x )[
i 1
n
(yi－bxi)－n y ＋nb x ]
＝(a－ y ＋b x )(n y －nb x －n y ＋nb x )＝0， 所以 Q(a，b)＝
i 1
n
2 2 (yi－bxi－ y ＋b x ) ＋n(a－ y ＋b x ) .
^
^
考察上面的等式，等号右边的求和号中不包含 a，而另外一项非负，所以a和b必然使得 等号右边的最后一项达到其最小值， 即a － y ＋b x ＝0，亦即 y ＝a＋b x ，即点( x ， y )在回归直线上． 2．解：总偏差平方和
2
39 069 2 946 611.3
36 156 359 －1 901.0
35 209 2 480 244. 1
32 416 2 413 248. 7
(3)对于(2)中所建立的线性回归方程， 相关指数 R ≈0.46， 说明在线性回归模型中销售 总额只能解释利润变化的 46%，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关 系． 点拨：此题目也可以用对数或二次回归等模型来解答，只要计算和分析合理就算正确． 3．解：由所给数据计算得 K 的观测值为 k≈3.689，而根据教材表 111 知 P(K ≥2.706) ＝0.10，所以在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为“婴儿的性别与出生的时间有关 系”． B组 1．解：因为 Q(a，b)＝
^ ^ ^ ^
i 1
n
2 (yi－ y ) 表示总的效应，即因变量的变化效应；残差平方
和
i 1
n
^
(yi－yi) 表示随机误差的效应，即随机误差的变化效应；回归平方和表示解释变量
2
的效应，即自变量的变量变化效应．等式
i 1
n
2 (yi－ y ) ＝
i 1
n
^Hale Waihona Puke (yi－yi) ＋2
i 1
根据散点图， 可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系， 因此选用线性回 归模型建立回归方程． 由最小二乘法的计算公式， 得 a≈－2 095 141.503，
b≈1 110.903，
则线性回归方程为
^
y＝1 110.903x－2 095 141.503.
由 R2 的计算公式，得 R2≈0.994， 说明线性回归模型对数据的拟合效果很好． 根据回归方程，预计 2003 年末中国人口总数约为 129 997 万人，而实际情况为 129 227 万人，预测误差为 770 万人；预计 2004 年末中国人口总数约为 131 108 万人，而实际情况 为 129 988 万人，预测误差为 1 120 万人． 点拨：可以借助于网络报刊等媒体查阅相关数据，作散点图，据图判断中国人口总数与 年份呈现很强的线性关系，从而计算线性回归方程进行回归分析．该解数据来源于《中国统 计年鉴》(2003)． 2．解：(1)将解释变量销售额作为横轴，预报变量利润作为纵轴绘制散点图，可以发现 散点图中的样本点基本上在一个带形区域分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关
【数学】新课标人教A版选修1-2第一章统计案例教案
4
选修 1—2 第一章统计案例
若Ｈ0成立 , 则Ｋ2应该很小 . 把表中数据代入公式
2
K2 = 9965 7775 49-42 2099
56.632
7817 2148 9874 91
在Ｈ0成立的情况下 . 统计学家估算出如下概率
P K2 6.635 0.01
即在Ｈ0成立的情况下 ,K 2的值大于 6.635 的概率非常小． 如果Ｋ2 6.635, 就断定Ｈ 0不成立 , 出错的可能性有多大？ 出现Ｋ2=56.632 6.635 的概率不超过 1% .
周围 .
令 z=lny , a=lnc1 , b=c2 则 z=bx+a
此时可用线性回归来拟合 z=0.272x-3.843
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 Y=e0.272x-3.843
1、1 回归分析的基本思想及其初步应用（习题课） (第五课时 )
目标 ：通过习题巩固所学知识
过程 ：1、复习有关知识
教学重点： 独立性检验的步骤。 例 2。 教学难点： 对临界值的理解。 教学过程 ：1、复习独立性检验的步骤。
2、可信程度。 3、举例。 例 2。略。 补充例题： 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清 障手术的病人进行 3 年跟踪研究， 调查他们是否又发作过心脏病， 调查结果如下 表所示：
尿汞含量 x
2
消光系数 y
64
4
6
8
10
138
205
285
360
连山高级中学高二数学备课组
3
选修 1—2 第一章统计案例
（1）求回归方程。（ 2）求相关指数 R2。
解：略 。
3. 练习：选择、填空用小黑板给出。 （题来源于数学天地报） 。 4. 小结。 5. 作业。
高中数学 第一章 统计案例 1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用导学案 新人教A版选修1-2
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1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用学习目标:1．复习巩固回归分析2．复习巩固独立性检验1.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法—-相关指数和残差分析2.教学难点：解释残差变量的含义，回归直线系数的计算求解．方法：自主学习合作探究师生互动一、选择题1．对变量x、y有观测数据(x i，y i）(i＝1，2，…，10),得散点图①;对变量u、v有观测数据（u i,v i)（i＝1，2，…,10），得散点图②。
由这两个散点图可以判断（)A．变量x与y正相关,u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关,u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关2．已知x和y之间的一组数据x0123y1357则y与x的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!必过点（）A．(2,2） B．(32，0) C．（1,2) D．（错误!，4)3．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件)负相关，则课堂随笔:其回归方程可能是( ）A．错误!＝－10x＋200 B．错误!＝10x＋200C．错误!＝－10x－200 D．错误!＝10x－200 4．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为错误!＝0。
高中数学第一章统计案例本章整合课件新人教A版选修1_2
本 章 整 合
专题1
专题2
专题3
专题4
专题一 回归分析 1.对所抽取的样本数据进行分析,分析两个变量之间的关系—— 线性关系或非线性关系,并由一个变量的变化去推测另一个变量的 变化,这就是对样本进行回归分析.回归分析的过程就是建立回归 模型的过程.有时,回归模型可能会有多种选择(如作线性回归模型), 这时,可通过残差分析或利用R2来检查模型的拟合效果,从而得到 最佳模型.
专题3
专题4
应用 2
一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为 此进行了10次试验,测得的数据如下:
编号 零件数 x/个 加工时间 y/分钟 1 10 62 2 20 68 3 30 75 4 40 81 5 50 89 6 60 95 7 70 8 9 10
80 90 100
102 108 115 122
^
^
专题1专题2Fra bibliotek专题3专题4
解:(1)由题意知 n=10, ������ =
������
1 ������ ∑ ������ ������ ������ =1
2
������ =
80 10
= 8, y =
1 n ∑ ������ ������ n i=1
=
20 10
= 2,
又 ∑ ������������2 − ������ ������ = 720-10×82=80,
专题1
专题2
专题3
专题4
专题二 独立性检验 1.独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案 例分析方法,常用的直观方法为等高条形图.等高条形图由于是等 高的,因此它能直观地反映两个分类变量之间的差异的大小,而利 用独立性检验的思想方法,计算出某一个随机变量K2的观测值来判 断更精确些. 2.独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法.要确认“两个分 类变量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立, 即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.在该假设下我们构造的 随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很 大,则在一定程度上说明假设不合理.
高中数学选修1-2(人教A版)第一章统计案例1.2知识点总结含同步练习及答案
为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果 如表所示．根据所选择的
193
个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？ 有效 口服 注射 合计
58 64 122
无效
40 31 71
合计
98 95 193
解：提出假设
H 0 ：药的效果与给药方式没有关系．
） 的前提下，认为＂爱好该项运动与性别有关＂ 的前提下，认为＂爱好该项运动与性别无关＂
以上的把握认为＂爱好该项运动与性别有关＂ 以上的把握认为＂爱好该项运动与性别无关＂
0.01 = 1% 1%
的机会错误，即有
99%
以上的把握认为“爱好这项运动与性别有
关”．同时，在犯错误的概率不超过
的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案： C 解析： 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ，有 0.01 = 1% 的机会错误，即有 99% 以上的把握认为“爱好这项运 动与性别有关”．同时，在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
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≈ 7.8
附表：
P (K 2 ⩾ k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ A．在犯错误的概率不超过 B．在犯错误的概率不超过 C．有 D．有 解：C 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ，有 99% 99% 0.1% 0.1%
答案： A
B．①③
C．②③
D．①②③
3. 分类变量 X 和 Y 的列联表如下：
则下列说法中正确的是 (
2020_2021学年高中数学第一章统计案例专题强化训练含解析新人教A版选修1_2
新人教A版高中数学选修1_2：专题强化训练(一) 统计案例(建议用时：40分钟)一、选择题1．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为()P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828A.0.1%C．99% D．99.9%C[因为K2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．]2．在一线性回归模型中，计算其相关指数R2＝0.96，下面哪种说法不够恰当()A．该线性回归方程的拟合效果较好B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%C．随机误差对预报变量的影响约占4%D．有96%的样本点在回归直线上D[由相关指数R2表示的意义可知A，B，C三种说法都正确，相关指数R2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.]3．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元) 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y＝b x＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．]4．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1C [画散点图(图略)，由散点图可知X 与Y 是正相关，则相关系数r 1＞0，U 与V 是负相关，相关系数r 2＜0，故选C.]5．如图所示的等高条形图可以说明的问题是( )A ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C ．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握D [由等高条形图知，D 正确．] 二、填空题6．关于分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k ，下列说法正确的是________(填序号)． ①k 的值越大，“X 和Y 有关系”可信程度越小； ②k 的值越小，“X 和Y 有关系”可信程度越小； ③k 的值越接近于0，“X 和Y 无关”程度越小； ④k 的值越大，“X 和Y 无关”程度越大．② [k 的值越大，X 和Y 有关系的可能性就越大，也就意味着X 和Y 无关系的可能性就越小．]7．对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，当x ＝3时，对应的y 的估计值是17，当x ＝8时，对应的y 的估计值是22，那么，该线性回归方程是________，根据线性回归方程判断当x ＝________时，y 的估计值是38.y ＝x ＋14 24 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ^＝14，b ^＝1，∴回归方程为y ＝x ＋14. 由x ＋14＝38得x ＝24.]8．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，相关指数R 2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么∑i ＝110(y i －y )2的值为________．2 410.6 [∵R 2＝1－∑i ＝110(y i －y ^i )2∑i ＝110(y i －y )2，残差平方和∑i ＝110(y i －y ^i )2＝120.53，∴0.95＝1－120.53∑i ＝110(y i －y )2，∴∑i ＝110(y i －y )2＝2 410.6.]三、解答题9．某地区2012年到2018年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2012年到2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .[解] (1)由所给数据计算得 t ＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所以所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知b ^＝0.5>0，故2012年到2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2020年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．10．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表．主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 50岁以上 总计(3) [解] (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主． (2)2×2列联表如表所示：主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 总计201030(3)k ＝30×(8－128)12×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．1．已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )A ．一定是20.3%B ．在20.3%附近的可能性比较大C ．无任何参考数据D ．以上解释都无道理B [将x ＝36代入回归方程得y ^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.]2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表3A．成绩C．智商D．阅读量注：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).D[A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n ＝52，k ＝52×(6×22－14×10)220×32×16×36＝131 440.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，k ＝52×(4×20－16×12)220×32×16×36＝637360.C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， k ＝52×(8×24－12×8)220×32×16×36＝1310.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， k ＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36＝3 757160.∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．]3．在研究身高和体重的关系时，求得R 2≈________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．0.64 [结合相关指数的计算公式R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2可知，当R 2≈0.64时，身高解释了64%的体重变化．]4．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：填“是”或“否”)．是 [因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即b a ＋b ＝1858，d c ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．]5．如图是我国2012年到2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2∑ni ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .[解] (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑7i ＝1(t i －t )2＝28，∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y )∑7i ＝1(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.103t . 将2020年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.103×9＝1.847.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.847亿吨．。
高中数学选修1-2第一章课后习题解答
新课程标准数学选修1—2第一章课后习题解答第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用练习（P8）1、画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据.说明：学生在对常用的函数图象比较了解的情况下，通过观察散点图可以判断两个变量的关系更近似于哪种函数.2、分析残差可以帮助我们解决以下两个问题：（1）寻找异常点，就是残差特别大的点，考察相应的样本数据是否有错.（2）分析残差图可以发现模型选择是否合适.说明：分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适，是否有其他变量需要加入到模型中，模型的假设是否正确等. 本题只要求学生能回答上面两点即可，主要让学生体会残差和残差图可以用于判断模型的拟合效果.3、（1）解释变量和预报变量的关系式线性函数关系.R=.（2）21说明：如果所有的样本点都在一条直线上，建立的线性回归模型一定是该直线，所以每个=+，没有随机误差项，是严样本点的残差均为0，残差平方和也为0，即此时的模型为y bx aR=.格的一次函数关系. 通过计算可得21习题1.1 （P9）1、（1）由表中数据制作的散点图如下：从散点图中可以看出GDP值与年份近似呈线性关系.y表示GDP值，t表示年份. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得（2）用tˆ14292537.729a≈-，ˆ7191.969b≈从而得线性回归方程ˆ7191.96914292537.729=-.y t残差计算结果见下表.GDP 值与年份线性拟合残差表（年实际GDP 值为117251.9，所以预报与实际相差4275.540-.（4）上面建立的回归方程的20.974R =，说明年份能够解释约97％的GDP 值变化，因此所建立的模型能够很好地刻画GDP 和年份的关系.说明：关于2003年的GDP 值的来源，不同的渠道可能会有所不同.2、说明：本题的结果与具体的数据有关，所以答案不唯一.3、由表中数据得散点图如下：从散点图中可以看出，震级x 与大于或等于该震级的地震数N 之间不呈线性相关关系，随着x 的减少，所考察的地震数N 近似地以指数形式增长. 做变换lg y N =，得到的数据如下表所示.x 和y 的散点图如下：从这个散点图中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性，因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得ˆ 6.704a≈，ˆ0.741b ≈-， 故线性回归方程为 ˆ0.741 6.704y x =-+. 20.997R ≈，说明x 可以解释y 的99.7％的变化.因此，可以用回归方程 0.741 6.704ˆ10x N-+= 描述x 和N 之间的关系. 1．2独立性检验的基本思想及其初步应用练习（P15）列联表的条形图如图所示.由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”. 因为2K 的观测值0.653 6.635k ≈<，由教科书中表1-11克重，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”.说明：（1）教师应要求学生画出等高条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系. 这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错.（2）本题与例题不同，本题计算得到的2K 的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”. 这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立. 在独立性检验中，没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾.习题1.2 （P16）1、假设“服药与患病之间没有关系”，则2K 的值应该比较小；如果2K 的值很大，则说明很可能“服药与患病之间没有关系”. 由列联表中数据可得2K 的观测值 6.110 5.024k ≈>，而由教科书表1-11，得2( 5.024)0.025P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“服药与患病之间有关系”. 又因为服药群体中患病的频率0.182小于没有服药群体中患病的频率0.400，所以“服药与患病之间关系”可以解释为药物对于疾病有预防作用. 因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为药物有效.说明：仿照例1，学生很容易完成此题，但希望学生能理解独立性检验在这里的具体含义，即“服药与患病之间关系”可以解释为“药物对于疾病有预防作用”.2、如果“性别与读营养说明之间没有关系”，由题目中所给数据计算，得2K 的观测值为8.416k ≈，而由教科书中表1-11知2(7.879)0.005P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.3、说明：需要收集数据，所有没有统一答案. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.4、说明：需要从媒体上收集数据，学生关心的问题不同，收集的数据会不同. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.第一章 复习参考题A 组（P19）根据散点图，可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系，因此选用线性回归模型建立回归方程.由最小二乘法的计算公式，得 2095141.503a ≈-，1110.903b ≈，则线性回归方程为 ˆ1110.9032095141.503yx =-. 由2R 的计算公式，得 20.994R ≈，明线性回归模型对数据的拟合效果很好.根据回归方程，，预计2003年末中国人口总数约为129997万人，而实际情况为129227万人，预测误差为770万人；预计2004年末中国人口总数约为131108万人，而实际情况为129988万人，预测误差为1120万人.说明：数据来源为《中国统计年鉴》（2003）. 由于人数为整数，所以预测的数据经过四舍五入的取整运算.2、（1）将销售总额作为横轴，利润作为纵轴，根据表中数据绘制散点图如下：由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系.（2）由最小二乘法的计算公式，得 ˆ1334.5a≈，ˆ0.026b ≈， 则线性回归方程为 ˆ0.0261334.5yx =+ 其残差值计算结果见下表：（3）对于（2）中所建立的线性回归方程，20.457R ≈，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的46％，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系. 说明：此题也可以建立对数模型或二次回归模型等，只要计算和分析合理，就算正确.3、由所给数据计算得2K 的观测值为 3.689k ≈，而由教科书中表1-11知2( 2.706)0.10P K ≥=所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”.第一章 复习参考题B 组（P19）1、因为 21(,)()ni i i Q a b y a bx ==--∑21(()())n i i i y bx y bx a y bx ==--+--+∑ 2211()()n n i i i i y bx y bx a y bx ===--++-+∑∑12()()ni i i y bx y bx a y bx =---+-+∑ 并且221()()n i a y bx n a y bx =-+=-+∑，12()()n i i i y bx y bx a y bx =--+-+∑ 1()(())ni i i a y bx y bx ny nbx ==-+--+∑ ()()0a y b x n y n b xn y n b x=-+--+= 所以 221(,)()()ni i i Q a b y bx y bx n a y bx ==--++-+∑.考察上面的等式，等号右边的求和号中不包含a ，而另外一项非负，所以ˆa和ˆb 必然使得等号右边的最后一项达到最小值，即 ˆˆ0ay bx -+=， 即ˆˆy a bx =+. 2、总偏差平方和21()n i i y y =-∑表示总的效应，即因变量的变化效应；残差平方和21ˆ()ni i y y =-∑表示随机误差的效应，即随机误差的变化效应；回归平方和21ˆ()ni yy =-∑表示表示变量的效应，即自变量的变化效应. 等式 222111ˆˆ()()()n n n i ii i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑ 表示因变量的变化总效应等于随机误差的变化效应与自变量的变化效应之和.3、说明：该题主要是考察学生应用回归分析模型解决实际问题的能力，解答应该包括如何获取数据，如何根据散点图寻找合适的模型去拟合数据，以及所得结果的解释三方面的内容.。
2018年高中数学人教A版选修1-2第1章统计案例1.1习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-2 习题第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课时过关·能力提升基础巩固1 关于线性相关的两个变量y 与 x 之间的回归直线方程叙述正确的是()A. 表示 y 与 x 之间的一种确定性关系B.表示 y 与 x 之间的函数关系C.表示 y 与 x 之间的最真实的关系D.表示 y 与 x 之间真实关系的一种效果最好的拟合答案 D2 四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论 :①y与 x 负相关 ,且②y 与 x 负相关 ,且③y 与 x 正相关 ,且④y 与 x 正相关 ,且其中一定不正确的结论的序号是()A. ①②B. ②③C.③④D.①④解析正相关指的是y 随 x 的增大而增大,负相关指的是y 随 x 的增大而减小,故一定不正确的为①④ ,应选 D .答案 D3 已知变量x,y 的取值如下表所示:x4 5 6y8 6 7若 y 与 x 线性相关 ,且线性回归方程为则的值为A .1B解析由题中表格 ,得代入线性回归方程,得 7=解得故选答案 A4 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得R2与残差平方和m 如下表 :甲乙丙丁2R0.82 0.78 0.69 0.85m 106 115 124 103则试验结果体现A,B 两变量有更强的线性相关性的同学是()A .甲 B.乙 C.丙 D.丁答案 D5根据如下样本数据x345678y4.0 2.5-0.5--0.5 2.03. 0得到的回归方程为则ABCD解析可大致画出散点图如图所示,可判断故选答案 A6 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了100 次和 150 次试验 ,并且利用线性回归方法 ,求得回归直线分别为l 1和 l2.已知两个人在试验中发现变量x 的观测数据的平均值都是 s,变量 y 的观测数据的平均值都是t,则下列说法正确的是 ()A. l 1和 l2有交点 (s,t)B.l 1与 l2相交 ,但交点不一定是 (s,t)C.l 1与 l2必定平行D.l 1与 l2必定重合解析由题意知 (s,t)是甲、乙两位同学所做试验的样本点的中心,而线性回归直线恒过样本点的中心,故选 A .答案 A7 已知线性回归方程则当时的估计值是解析将 x= 11 代入得答案 8.958 下表是某厂1~4 月份用水量 (单位 :百吨 )的一组数据 ,已知用水量y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系 ,其线性回归方程是则月份1 2 3 4用水量4.5 4 3 2.5y/百吨解析答案 5.259 在研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数型曲线y= e bx+a的周围 ,令 z=ln y,求得回归直线方程为则该模型的回归方程为解析由 z=ln y得ln故故该模型的回归方程为答案10 为研究某灌溉渠道水的流速y(单位 :m/s)与水深 x(单位 :m) 之间的关系 ,测得 8 组数据如下 :水深1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.902.00 2.10x/m水的流速1.70 1.79 1.88 1.952.03 2.10 2.16 2.21y/(m·s-1)(1) 如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求出线性回归方程;(2)预测水深为 1.95 m 时水的流速 .( 精确到 0.01)分析根据已知数据 ,计算回归系数求得回归方程再进行估计解 (1)采用列表方法计算与回归系数如下i x i y i x i y i1 1.40 1.70 1.962. 3802 1.50 1.79 2.252. 6853 1.60 1.88 2.563. 008续表i x i y i x i y i4 1.70 1.95 2.89 3.3155 1.80 2.03 3.24 3.6546 1.90 2.10 3.61 3.9907 2.00 2.16 4.00 4.3208 2.10 2.21 4.41 4.641∑ 14.0015.8224.9227.993于是5,-人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2∑∑≈0.733 3,-≈1.977 5-0.733 3 ×1.75≈0.694 2.故 y 与 x 之的性回方程(2)将 x= 1.95 代入所求的性回方程,得≈2.12.算果表明当水深 1.95 m ,可以水的流速 2.12 m/s.能力提升1 已知量x 与 y 正相关 ,且由数据算得本平均数由数据算得的性回方程可能是AC解析由量 x 与 y 正相关 ,可知 x 的系数正 ,排除 C,D .而所有的回直必点由此排除B,故 A .答案 A2 某大学的女生体重y(位 :kg) 与身高 x(位 :cm) 具有性相关关系,根据一本数据(x i,y i)(i= 1,2,⋯,n), 用最小二乘法建立的回方程下列中不正确的是A. y 与 x 具有正的性相关关系B.回直本点的中心C.若大学某女生身高增加 1 cm,其体重增加0.85 kgD.若大学某女生身高170 cm, 可断定其体重必58.79 kg解析 D 中 ,若大学某女生身高170 cm,可断定其体重0.85×170-85.71= 58.79(kg) .故 D 不正确 .答案 D3 已知x与y之间的几组数据如下表:x1 2 3 4 5 6y0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为则以下结论正确的是AC∑-解析-故∑--答案 C★4 某市物价部门对本市的 5 家商场某商品一天的销售量及其价格进行调查,5 家商场该商品的价格 x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示:价格 x/元销售量y/件9 9.5 m 10.5 11 11 n 8 65已知销售量y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是且则解析由已知,得将点的坐标代入线性回归直线方程得又m+n= 20,解得 m= 10,n= 10.答案 105 关于x与y有如下数据:x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70为了对 x,y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型:甲乙则模型填甲或乙拟合的效果更好解析对于甲模型 ,∑∑对于乙模型因为所以甲模型拟合效果更好答案甲6 有一位同学家里开了一个小卖部,他为了研究气温对热茶销售杯数的影响,经过统计 ,得到一个卖出热茶杯数与当天气温的对比表:气温-5 0 4712 15 19 23 27 31 36x/℃热茶销售杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54y/杯(1) 求热茶销售杯数与气温的线性回归方程;(2)预测当气温为 -10 ℃时热茶的销售杯数 .分析根据样本点数据画出散点图,利用散点图直观分析热茶销售杯数y 与气温 x 具有线性相关关系,利用线性回归方程中参数的计算公式可得线性回归方程.解 (1)所给数据的散点图如图所示.由图可看出 ,这些点在一条直线附近,可以用线性回归方程来刻画y 与 x 之间的关系 .因为由公式计算得≈-2.352≈147.772,所以 y 对 x 的线性回归方程为(2)当气温为 -10 ℃时 ,由回归方程可以预测热茶的销售杯数为≈171.★7 假设关于某设备的使用年限x(单位 :年 )和所支出的维修费用y(单位 :万元 )的有关统计资料如下表所示 :使用年限 x/23456年维修费用 y/2.23.8 5.5 6.5 7.0万元若由资料知y 与 x 呈线性相关关系.(1) 求线性回归方程的回归系数(2)求 R2;(3)估计当使用年限为 10 年时 ,维修费用是多少 ?解 (1)由已知数据制成下表:i12345合计x i 2345620y i 2.23.85.56.57.025由此可得∑∑故∑-(2)R2= 1-≈0.958 7.∑(3)回归直线方程为当时故估计当使用年限为年时维修费用是万元。
2019秋新版高中数学人教A版选修1-2课件：第一章统计案例1.1
回归分析的基本思想及其初步应用
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【做一做 2】 线性回归方程������ = b ������ + ������ 必过点( A.(0,0) C.(0, ������) B.(������,0) D.(������, ������)
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)
解析: (������, ������)为样本点的中心.由回归直线方程������ = ������ ������ + ������ 中的系数������ , ������ 的计算公式, 知
i=1 n ^ ^
R
2
R2=1 − i=1 n 越好
∑ ( y i -y i )2 ∑ (y i -y )
2
n
^
,R2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,R2 越接近于 1,表示回归的效果
i=1
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仅供学习交流！！！
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③直线������ = ������ ������ + ������ 的斜率为������ =
答案:②
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∑ ������������ ������������ -������������ ������=1
������=1
������
������
∑
������
2 ������2 ������������ ������
题型一
题型二
题型三
题型四
反思在研究两个变量之间的关系时 ,首先要根据散点图来粗略 判断它们是否线性相关 ,是否可以用线性回归模型来拟合数据 ,然后
(新课程)高中数学《第一章 统计案例》归纳整合课件 新人教A版选修1-2
(4)回归模型的拟合效果 判断回归模型的拟合效果的过程也叫残差分析，残差分析的方法 有两种，一是通过残差图直观判断，二是通过计算相关指数 R2的 大小判断．
2．独立性检验的基本思想
独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认两个分类变量有
关系的可信程度，先假设两个分类变量没有关系，再计算随机 变量K2的观测值，最后由K2的观测值很大在一定程度上说明两 个分类变量有关系． 进行独立性检验要注意理解以下三个问题：
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^＝ y －b ^ x ≈－30.47. ≈1.267，a
i＝1
所求回归直线方程为^ y＝1.267x－30.47. ^ (3)当 x＝160 时， y≈1.267×160＋(－30.47)＝172.25.即当钢水含碳 量为 160 时，应冶炼 172.25 分钟．
专题二
线性回归分析
作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明： (1)散点图；(2) 相关指数； (3) 残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽 窄．
数值进行比较，从而得到两个分类变量在多大程度上相关．
三、两种重要图形
1．散点图
散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下： 一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状 分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系； 二是判断样本中是否存在异常．
2．残差图
残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下： 一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模 型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高． 二是确认样本点在采集中是否有人为的错误．
(2)若线性相关，求回归直线方程； (3)求出相关指数； (4)作出残差图； (5)进行残差分析；
解 (1)散点图，如图所示．
高中数学 第一章 统计案例教材习题点拨 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
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高中数学第一章统计案例教材习题点拨新人教A版选修1—2 复习参考题A组1．解：1993～2002年全国人口总数如下表：年份1993199419951996199719981999200020012002年末人数（万人）118517119850121121122389123626124761125786126743127627128453根据散点图，可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系，因此选用线性回归模型建立回归方程．由最小二乘法的计算公式,得a≈－2 095 141。
503，b≈1 110.903，则线性回归方程为y^＝1 110。
903x－2 095 141.503.由R2的计算公式，得R2≈0.994，说明线性回归模型对数据的拟合效果很好．根据回归方程，预计2003年末中国人口总数约为129 997万人，而实际情况为129 227万人，预测误差为770万人；预计2004年末中国人口总数约为131 108万人，而实际情况为129 988万人，预测误差为1 120万人．点拨：可以借助于网络报刊等媒体查阅相关数据，作散点图,据图判断中国人口总数与年份呈现很强的线性关系，从而计算线性回归方程进行回归分析．该解数据来源于《中国统计年鉴》（2003)．2．解:（1)将解释变量销售额作为横轴，预报变量利润作为纵轴绘制散点图，可以发现散点图中的样本点基本上在一个带形区域分布,猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系．(2）由线性回归模型的最小二乘估计量的计算公式得错误!＝1 334.5,错误!＝0.025 6, 从而得线性回归方程：y ＝0。