【北师大版】九年级上册数学：1.2.2-矩形的判定ppt课件
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1.2.2 矩形的判定九年级上册数学北师大版
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC= 2 − 2 = 82 − 42 =4 3,
∴S□ABCD = AB·BC = 4×4 3= 16 3 .
C
随堂练习
1.(教材P16随堂练习)已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是
AD 边的中点，且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
个矩形，使得 A，B，C，D 四点分别在矩形的四条边上，且
矩形的面积为菱形ABCD 面积的 2 倍.
E
A
D
B
F
H
C
G
课堂小结
角：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定
角：有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形.
┐
两个角是直角
┐
┐
√
┐
┐
一个角是直角
×
成立
┐
┐
┐
┐
┐
×
至少有几个角是直角的
四边形是矩形呢？
三个角是直角
证明猜想
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°.
求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
A
D
B
C
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴OA = OC,OB = OD.
D
A
又∵△ABO 是等边三角形，
O
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴BC= 2 − 2 = 82 − 42 =4 3,
∴S□ABCD = AB·BC = 4×4 3= 16 3 .
C
随堂练习
1.(教材P16随堂练习)已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是
AD 边的中点，且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
个矩形，使得 A，B，C，D 四点分别在矩形的四条边上，且
矩形的面积为菱形ABCD 面积的 2 倍.
E
A
D
B
F
H
C
G
课堂小结
角：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定
角：有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形.
┐
两个角是直角
┐
┐
√
┐
┐
一个角是直角
×
成立
┐
┐
┐
┐
┐
×
至少有几个角是直角的
四边形是矩形呢？
三个角是直角
证明猜想
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°.
求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
A
D
B
C
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴OA = OC,OB = OD.
D
A
又∵△ABO 是等边三角形，
O
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
1.2.2 矩形的判定 公开课课件
解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD，且 MN∥BD，∴∠ACF ＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE.∴OE＝OF (2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝ ∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE ＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
9．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点， PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件
BC＝2AB 时，四边形PEMF为矩形．
第8题图
第9题图
10．已知▱ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：① ∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD.使▱ABCD 是矩形的条件的序号是 ①③④ .
OA＝12BD，OA＝12AC，∴BD＝AC，∴▱ABCD 是矩形
13．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC且∠BAD＝∠CAE， 求证：四边形BCDE是矩形．
解 ： 证 明 ： ∵ AC ＝ AB ， AD ＝ AE ， ∠ BAD ＝ ∠ CAE ， ∴ ∠ CAD ＝ ∠ BAD － ∠ CAB ＝ ∠ CAE － ∠ CAB ＝ ∠ BAE.∴△ADC≌△AEB.∴DC ＝ BE ， ∠ ABE ＝ ∠ ACD. 又 ∵ DE ＝ BC ， ∴ 四 边 形 BCDE 为 平 行 四 边 形 ． ∵ AB ＝ AC ， ∴ ∠ ABC ＝ ACB ， ∴ ∠ ABC ＋ ∠ ABE ＝ ∠ ACB ＋ ∠ ACD ， 即 ∠EBC＝∠DCB＝90°.∴四边形BCED为矩形
北师版九上数学1.2 矩形的性质与判定(第三课时) 课件
【点拨】熟练掌握平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩
形的面积公式等是解决此类题目的关键.
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数学 九年级上册 BS版
（2022·云南）如图，在▱ ABC D中，连接 B D，点E为线段 A D
的中点，延长 B E与 C D的延长线交于点F，连接 A F，∠ B DF＝
90°.
（1）求证：四边形 AB DF是矩形；
与点 C 重合，再展开，折痕EF交 A D边于点E，交 BC 边于点F，
连接 A F， C E.
（1）求证： A O平分∠D A F；
（2）若 A E＝8 cm ，△ AB F的面积为20 cm2，求△ AB F的周长.
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数学 九年级上册 BS版
【思路导航】（1）由折叠及 A D∥ BC 可得∠ A FE＝∠ A EF，由
数学 九年级上册 BS版
第一章
2
特殊平行四边形
矩形的性质与判定（第三课时）
数学 九年级上册 BS版
目录
CONTENTS
课前预习
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
数学 九年级上册 BS版
1. 矩形的周长与面积.
若矩形相邻两边长分别为 a ， b ，则矩形的周长＝ 2（ a ＋
b ） ，矩形的面积＝
∴四边形 DEMN 为矩形.
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数学 九年级上册 BS版
（2）解：由（1）知 BM ＝ DN ＝4.
在Rt△ ABM 中，由勾股定理，得
AM ＝ 2 − 2 ＝ 52 − 42 ＝3，
∴ CN ＝ AM ＝3.
∴ MN ＝ MO ＋ ON ＝ AM ＋ CN ＝3＋3＝6，
∴ S矩形 DEMN ＝ MN ·EM ＝ MN ·BM ＝6×4＝24.
形的面积公式等是解决此类题目的关键.
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（2022·云南）如图，在▱ ABC D中，连接 B D，点E为线段 A D
的中点，延长 B E与 C D的延长线交于点F，连接 A F，∠ B DF＝
90°.
（1）求证：四边形 AB DF是矩形；
与点 C 重合，再展开，折痕EF交 A D边于点E，交 BC 边于点F，
连接 A F， C E.
（1）求证： A O平分∠D A F；
（2）若 A E＝8 cm ，△ AB F的面积为20 cm2，求△ AB F的周长.
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【思路导航】（1）由折叠及 A D∥ BC 可得∠ A FE＝∠ A EF，由
数学 九年级上册 BS版
第一章
2
特殊平行四边形
矩形的性质与判定（第三课时）
数学 九年级上册 BS版
目录
CONTENTS
课前预习
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
数学 九年级上册 BS版
1. 矩形的周长与面积.
若矩形相邻两边长分别为 a ， b ，则矩形的周长＝ 2（ a ＋
b ） ，矩形的面积＝
∴四边形 DEMN 为矩形.
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数学 九年级上册 BS版
（2）解：由（1）知 BM ＝ DN ＝4.
在Rt△ ABM 中，由勾股定理，得
AM ＝ 2 − 2 ＝ 52 − 42 ＝3，
∴ CN ＝ AM ＝3.
∴ MN ＝ MO ＋ ON ＝ AM ＋ CN ＝3＋3＝6，
∴ S矩形 DEMN ＝ MN ·EM ＝ MN ·BM ＝6×4＝24.
北师大九年级数学上册《矩形的判定》课件
(2)∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝ 90°，∴▱AECD是矩形
12．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，BE⊥ AC 于点 E，DF⊥AC 于点 F，点 O 既是 AC 的中点，又是 EF 的 中点．
(1)求证：△BOE≌△DOF； (2)若 OA＝12BD，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明 理由．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
14．(教材例4变式题)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动 点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交 ∠ACB的外角平分线于点F.连接AE，AF.
(1)求证：OE＝OF； (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？ 并说明理由．
∴EF＝ CE2＋CF2＝ 122＋52＝13.∴OC＝12EF＝123 (3)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．.理由如下： 由(1)知 OE＝OF, 当点 O 移动到 AC 中点时有 OA＝OC，∴四边 形 AECF 是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形 AECF 是矩形
2．下列关于矩形的说法中正确的是( D )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，
若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为( C )
A．4
B．3
C．2
D．1
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
12．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，BE⊥ AC 于点 E，DF⊥AC 于点 F，点 O 既是 AC 的中点，又是 EF 的 中点．
(1)求证：△BOE≌△DOF； (2)若 OA＝12BD，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明 理由．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
14．(教材例4变式题)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动 点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交 ∠ACB的外角平分线于点F.连接AE，AF.
(1)求证：OE＝OF； (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？ 并说明理由．
∴EF＝ CE2＋CF2＝ 122＋52＝13.∴OC＝12EF＝123 (3)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．.理由如下： 由(1)知 OE＝OF, 当点 O 移动到 AC 中点时有 OA＝OC，∴四边 形 AECF 是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形 AECF 是矩形
2．下列关于矩形的说法中正确的是( D )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，
若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为( C )
A．4
B．3
C．2
D．1
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
1.2矩形的性质与判定+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
2．(2023·呼和浩特市中考)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直
平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为
( A )
A．2 3
B．3
C．2 5
D．3 2
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．有一点P从点B沿着
BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交
证 明 ： ∵∠ABO ＝ ∠DCO ＝ 90° ， OB ＝
OC，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC．
∴OA＝OD．
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
1
1
∴OE＝ OA，OF＝ OD．
2
2
∴OE＝OF．
2．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO
＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是
AO，DO的中点．
2．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量
湖泊两侧C，M两点间的距离，若测得AM的长为2.5 km，则M，C两点
间的距离为
( A )
A．2.5 km
B．3 km
C．4.5 km
D．5 km
3．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角
18
三角形的面积是______．
下列结论一定正确的是
( C )
A．AC平分∠BAD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．AC⊥BD
【变式1】矩形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的对角线长为
10
_____cm．
知识点2 直角三角形斜边上的中线性质
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中
北师大课标版初中数学九年级上册1.2矩形的性质与判定(共20张PPT)
用画“边—直角、边—直角、 Ａ
B
边—直角、边”这样四步画一个
四边形。这个四边形是矩形吗？
说明理由。
D
Ｃ
判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言：∵∠A=∠B=∠C=900 ，
∴四边形ABCD是矩形。
如图：在□ABCD中，AC、BD A
相交于点O，且∠1=∠2。
求证：□ABCD是矩形。
1
B
拉动一对不相邻的顶点时，平行四 边形的形状会发生变化。
αα
（1）随着∠α 的变化，两条对角线
的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时，
平行四边形有什么特征？由此你能
得到一个怎样的猜想？
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
A
已知：□ ABCD中，AC=DB。
D
求证：□ ABCD是矩形
?
证明：在 □ ABCD中，
B
C
AB=DC， AC=DB，BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB(SSS)
∠ABC=∠DCB
又∵ AB∥DC
∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=90°
∴ □ ABCD是矩形
判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言：
A
D
∵ 在□ ABCD中，AC=BD。
B
C
∴ □ ABCD是矩形。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
新北师大版九年级数学上1.2《矩形的性质与判定：性质》ppt课件
△AOB等边三角形
A O B C D
对角线的长是6cm
练 习
已知平行四边形ABCD的对角线AC 和BD相交于点O，△AOB是等边三角 形，AB＝ 4 cm．求这个平行四边形 的面积. （分小组交流结果）
16 3cm 答案：
2
A
D
你能在四边形的基础上, 从下列条件中选三个,得到矩 B 形吗?你找到了多少个答案？
A
矩形的两条边和对角线构成 D 一个 直角 三角形， 对角线 是 斜边.
O
求矩形的边长和对角线的问 题可转化为直角三角形，利 用 勾股定理 解决.
C
B
如图，设矩形的对角线AC与BD相交 于点E，那么BE是Rt△ABC中的一条怎样 的特殊线段？它与AC有什么大小关系？ A D 为什么？
E B C
推论：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
A B D 矩形是轴对称图形 吗？如果是，那么 有几条对称别平行
平行 四边形
一个角 是直角
矩形
一、矩形与平形四边形之间的关系
平行四边形 矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形
矩形有哪些性质？
具有平行四边形的所有性质
边：矩形的对边平行且相等
角：矩形对角相等；邻角互补 对角线：矩形对角线互相平分
矩形还有哪些特殊性质？
A
D
矩形的特殊性质：
B C
猜想1、矩形的四个角都是直角． 性质
性质2： 矩形的对角线相等．
已知：如图，矩形ABCD.
求证：AC=BD.
证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD. 在△ABC和△DCB中, AB=DC ∵ ∠ABC= ∠DCB BC=CB ∴ △ ABC≌△DCB(SAS) ∴ AC=BD.
A O B C D
对角线的长是6cm
练 习
已知平行四边形ABCD的对角线AC 和BD相交于点O，△AOB是等边三角 形，AB＝ 4 cm．求这个平行四边形 的面积. （分小组交流结果）
16 3cm 答案：
2
A
D
你能在四边形的基础上, 从下列条件中选三个,得到矩 B 形吗?你找到了多少个答案？
A
矩形的两条边和对角线构成 D 一个 直角 三角形， 对角线 是 斜边.
O
求矩形的边长和对角线的问 题可转化为直角三角形，利 用 勾股定理 解决.
C
B
如图，设矩形的对角线AC与BD相交 于点E，那么BE是Rt△ABC中的一条怎样 的特殊线段？它与AC有什么大小关系？ A D 为什么？
E B C
推论：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
A B D 矩形是轴对称图形 吗？如果是，那么 有几条对称别平行
平行 四边形
一个角 是直角
矩形
一、矩形与平形四边形之间的关系
平行四边形 矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形
矩形有哪些性质？
具有平行四边形的所有性质
边：矩形的对边平行且相等
角：矩形对角相等；邻角互补 对角线：矩形对角线互相平分
矩形还有哪些特殊性质？
A
D
矩形的特殊性质：
B C
猜想1、矩形的四个角都是直角． 性质
性质2： 矩形的对角线相等．
已知：如图，矩形ABCD.
求证：AC=BD.
证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD. 在△ABC和△DCB中, AB=DC ∵ ∠ABC= ∠DCB BC=CB ∴ △ ABC≌△DCB(SAS) ∴ AC=BD.
北师大版数学九年级上册1.2矩形的性质与判定课件
解：EF为折痕.连接CE.
A
∵四边形ABCD是矩形，
ED
∴∠ABC=∠ADC=90°,
O
AD=BC=8cm，DC=AB=6cm.
∴AC AB2 BC2 62 82 10cm.
BF
C
∵折叠后点C与点A重合， ∴AC⊥EF,OC=12 AC=5cm.∴AE=EC.
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使
在△AOE和△COF中，
A
∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF=
15 4
.
∴折痕EF= 15 15
44
15 cm . 2
折叠问题中会有 相等的边，相等 的角，中垂线.
BF
ED O
C
四、随堂练习
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个 动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F. 求PE+PF的值.
点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
设AE=EC=xcm. ∴ED=(8-x)cm.
A
ED
∵ED2+DC2=EC2,
∴(8-x)2+62=x2
∴x
25 . 4
∴OE EC2 OC2
25 2 52 15 .
4
4
O
BF
C
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使 点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
AC=BD（矩形的对角线相等）.
B
C
A
∵四边形ABCD是矩形，
ED
∴∠ABC=∠ADC=90°,
O
AD=BC=8cm，DC=AB=6cm.
∴AC AB2 BC2 62 82 10cm.
BF
C
∵折叠后点C与点A重合， ∴AC⊥EF,OC=12 AC=5cm.∴AE=EC.
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使
在△AOE和△COF中，
A
∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF=
15 4
.
∴折痕EF= 15 15
44
15 cm . 2
折叠问题中会有 相等的边，相等 的角，中垂线.
BF
ED O
C
四、随堂练习
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个 动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F. 求PE+PF的值.
点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
设AE=EC=xcm. ∴ED=(8-x)cm.
A
ED
∵ED2+DC2=EC2,
∴(8-x)2+62=x2
∴x
25 . 4
∴OE EC2 OC2
25 2 52 15 .
4
4
O
BF
C
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使 点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
AC=BD（矩形的对角线相等）.
B
C