高中数学：双曲线的方程和性质
第10讲双曲线的方程和性质[玩前必备]1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.,当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.3．双曲线的几何性质[常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .[玩转典例]题型一 双曲线的定义例1 平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线例2 一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线例3 方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A ． 2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ． 1k >或1k <-例4 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． [玩转跟踪]1．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1 2．双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）A ．1B ．9C ．1或9D ．73.若曲线2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1m <B ．0m <C ．102m -<< D ．112m << 题型二 焦点三角形问题例5 （1）已知双曲线2217x y m -=，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于A 、B 两点，且AB 4=，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则m 的值为 （ ） A ．8B ．9C ．16D ．20(2)设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于A ．B ．C ．D ．例6 已知点P 是双曲线22184x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左､右焦点，若12F PF △的外接圆半径为4，且12F PF ∠为锐角，则12PF PF ⋅=（ ） A ．15 B ．16C ．18D ．20[玩转跟踪]1．已知12,F F 是双曲线22(0)x y m m -=>的两个焦点，点P 为该双曲线上一点，若12PF PF ⊥，且12PF PF +=m =（ ）A ．1BC D ．32．已知双曲线C :221916x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212||||PF F F =,则12PF F △的面积等于 A ．24B ．36C ．48D ．963.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 题型三 双曲线的标准方程例7 （1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 （2）(一题多解)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1（3）经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．（4）焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．[玩转跟踪]1．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，P 为该双曲线上一点，12,F F 为其左、右焦点，且12PF PF ⊥，1218PF PF ⋅=，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213218x y -=B ．2211832x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=3．已知()5,0F -是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（ ）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=题型四 椭圆的性质例8 已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y = 例9 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→，F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．例10 设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞[玩转跟踪]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x2．已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C ．2D.53.的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．D ．)+∞[玩转练习]1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B ．2C. 3D.23．双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO的面积为( )A.324B.322C ．2 2D ．324．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A.2 B.3 C ．2 D.55．(多选)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点 D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点6．(多选)已知点P 是双曲线E ：x 216－y 29＝1的右支上一点，F 1，F 2为双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 的横坐标为203B ．△PF 1F 2的周长为803C ．∠F 1PF 2小于π3D ．△PF 1F 2的内切圆半径为327．设F 1(－c,0)，F 2(c,0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |( ) A ．为定值a B ．为定值b C ．为定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化8．(多选)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1―→ ·MF 2―→＝0.双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则正确的是( )A.e 2e 1＝2 B ．e 1·e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝19．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为________．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为__________． 12．(一题两空)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)椭圆的方程为________________；(2)若P 为这两曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．14．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值．。
高中数学知识点：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
高中数学知识点：椭圆、双曲线、抛物线的标准
方程与几何性质
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆双曲线抛物线
定义1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值
2a(0|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(02.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方
程标准方程(0,b0)y2=2px
参数方程
(t为参数)
范围─a￡x￡a，─b￡y￡b|x| 3 a，y Rx30
中心原点O(0，0)原点O(0，0)
顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴;
长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.x轴
焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0)
焦距2c (c=)2c (c=) 离心率e=1
准线x=x=
渐近线y=x
焦半径
通径
2p
焦参数
P。
高中数学解析几何双曲线性质与定义
双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结双曲线，作为数学中的一种重要曲线形式，在高中数学学习中扮演了重要角色。
它们不仅在数学里具有丰富的性质和应用，而且在物理学、工程学以及经济学等领域也有广泛的应用。
本文将对双曲线的定义、特性以及一些常见的应用进行总结。
一、双曲线的定义及基本特性双曲线是通过平面上的点P到两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的几何位置构成的曲线。
其中，F1和F2被称为焦点，2a被称为双曲线的焦距。
与椭圆相比，双曲线的形状更加开放，两个分支分别向无穷远延伸。
双曲线还具有以下特性：1. 双曲线的离心率大于1。
离心率是一个用来衡量曲线形状的参数，对于双曲线而言，离心率大于1可以区分它与椭圆的不同。
2. 双曲线的对称轴是过两个焦点F1和F2的直线，对称轴上的点到两个焦点的距离之差等于2a。
3. 双曲线的渐近线是通过焦点F1和F2的直线。
二、双曲线的标准方程及参数方程双曲线的标准方程可以表示为： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 或 y^2/b^2 -x^2/a^2 = 1。
其中，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
双曲线的参数方程可以表示为： x = a·cosh(t)，y = b·sinh(t) 或 x = a·sinh(t)，y = b·cosh(t)。
其中，t取遍所有实数。
通过标准方程和参数方程，我们可以方便地描述并研究双曲线的性质和变化规律。
三、双曲线的应用1. 物理学中的应用双曲线在物理学中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，双曲线的场线可以用来描述电荷间的相互作用，以及电磁波的传播规律。
在热力学中，则可以用双曲线来表示一维热传导的过程。
2. 工程学中的应用在工程学中，双曲线也发挥着重要作用。
例如，在桥梁设计中，悬链线的形状可以用双曲线描述。
双曲线的对称性和渐近线性质使得它成为了设计优美而稳定的桥梁曲线。
3. 经济学中的应用双曲线在经济学中的应用较为复杂，但却具有重要意义。
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结引言在高中数学中，双曲线是一个非常重要的概念。
它作为解析几何的一个分支，在许多问题中都有着广泛的应用。
本文将总结高中双曲线的基本概念、性质以及相关的解题方法，帮助读者更加深入地理解和掌握这一知识点。
一、双曲线的定义双曲线是一种平面上的曲线，其定义可以通过以下方法得到：1.定义一条直线（称为准线）和一个点（称为焦点）；2.焦点至准线距离与焦点至双曲线上任意点距离之差的绝对值等于一个常数。
二、双曲线的方程在解析几何中，双曲线通常用点到焦点和焦准距离的关系方程表示。
根据焦准距离的不同符号，双曲线可分为以下两种情况：1.椭圆型双曲线：焦准距离之差的绝对值为正数。
其方程通常为：x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1，其中a和b为正实数。
2.双曲线型双曲线：焦准距离之差的绝对值为负数。
其方程通常为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1，其中a和b为正实数。
三、双曲线的基本性质双曲线具有以下几个基本性质：1.焦距公式：对于椭圆型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。
对于双曲线型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。
2.离心率：对于椭圆型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。
对于双曲线型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。
3.对称轴：对于椭圆型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。
对于双曲线型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。
4.渐近线：对于椭圆型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a* x。
对于双曲线型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a * x。
5.顶点：对于椭圆型双曲线，顶点为与对称轴的交点。
对于双曲线型双曲线，顶点为与对称轴的交点。
四、双曲线的画法与性质绘制双曲线的一种常见方法是使用焦点和准线进行绘制。
根据准线的不同位置可以得到不同形状的双曲线，如下所示：1.当准线与焦点重合时，得到的是一条垂直于x轴的对称双曲线。
双曲线及其标准方程 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
双曲线的知识点归纳总结高中
双曲线的知识点归纳总结高中双曲线是一种重要的数学函数，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将对双曲线的基本定义、性质、图像以及常用的求解方法进行归纳总结，以帮助高中学生更好地理解和应用双曲函数。
一、基本定义双曲线是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a、b均为实数，并且b≠0。
其中cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数，是指数函数的一种。
二、性质1. 双曲余弦函数cosh(x)为偶函数，满足cosh(x)=cosh(-x)。
2. 双曲正弦函数sinh(x)为奇函数，满足sinh(x)=-sinh(-x)。
3. 双曲余弦函数与双曲正弦函数的图像分别为关于x轴对称和关于原点对称的开口向上的曲线。
4. 双曲余弦函数的导数为双曲正弦函数，即cosh'(x)=sinh(x)，而双曲正弦函数的导数为双曲余弦函数，即sinh'(x)=cosh(x)。
三、图像1. y=cosh(x)的图像是一条开口向上的曲线，它在x=0处取最小值1，随着x的增大而不断逼近直线y=1，即y=cosh(0)=1。
2. y=sinh(x)的图像是一条对称的曲线，它在x=0处取最小值0，随着x的增大而不断逼近直线y=x。
四、常用求解方法1. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的加减法公式：cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)2. 双曲函数的导数和积分公式：(cosh(x))'=sinh(x)(sinh(x))'=cosh(x)∫cosh(x)dx=sinh(x)+C∫sinh(x)dx=cosh(x)+C综上所述，双曲线是一种重要的数学函数，在高中数学学习中有广泛的应用。
高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
e=
=
从而
−
2
5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −
2
2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为
2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1
2
高中数学双曲线知识点
高中数学双曲线知识点双曲线知识点概述1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，它的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中a和b为实数，a > 0, b > 0）。
在直角坐标系中，双曲线是所有满足上述方程的点的集合。
双曲线有两个分支，分别位于两个不同的象限。
2. 双曲线的性质- 对称性：双曲线关于x轴和y轴对称。
- 焦点：双曲线有两个焦点，位于x轴上，其坐标为\((\pm c, 0)\)，其中c是双曲线的焦距，满足\(c^2 = a^2 + b^2\)。
- 准线：每个双曲线的分支都有自己的准线，方程为 \(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，其方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
3. 双曲线的方程- 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
- 顶点：双曲线的顶点位于 \((\pm a, 0)\)。
- 焦点距离：双曲线的焦点距离为2c，其中c满足 \(c^2 = a^2 +b^2\)。
- 准线距离：点\(m\)到双曲线准线的距离为 \(\frac{|mc -a^2|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)。
4. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，例如在天文学中描述行星轨道，在工程学中用于设计某些类型的天线和声纳系统，以及在物理学中描述某些场的分布。
5. 双曲线的图形绘制绘制双曲线时，通常需要确定其顶点、焦点、准线和渐近线的位置。
首先在坐标轴上标出顶点和焦点的位置，然后画出渐近线和准线，最后通过顶点和焦点的连线绘制出双曲线的两个分支。
6. 双曲线的变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
平移可以通过改变方程中的常数项来实现，而旋转则需要通过更复杂的变换矩阵来完成。
7. 双曲线的方程推导双曲线的方程可以通过从圆锥曲线的一般方程 \(Ax^2 + Bxy + Cy^2+ Dx + Ey + F = 0\) 出发，通过特定的代换和简化得到。
高中抛物线知识点双曲线
高中抛物线知识点：双曲线双曲线是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形和函数的研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、性质和应用。
一、双曲线的定义双曲线是平面上一条特殊的曲线，它的定义是到两个固定点的距离差的绝对值等于一个常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的数学表示形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 (焦点在 x 轴上时) (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 (焦点在 y 轴上时)其中，(h, k)是双曲线的中心点，a和b分别是 x 轴和 y 轴的半轴长度。
二、双曲线的性质 1. 双曲线的形状：双曲线在中心点附近呈现出两条分离的曲线，形状类似于两个对称的开口。
这两个开口的形状由离心率决定，离心率越大，开口越窄。
2.对称性：双曲线关于中心点对称。
3.渐近线：双曲线有两条渐近线，分别接近于曲线的两个分支。
渐近线的方程为 y = k ± (b/a)(x-h)。
4.焦点和直纹的关系：对于双曲线上的任意一点P，其到两个焦点的距离差的绝对值等于双曲线的离心率。
三、双曲线的应用双曲线不仅仅是一种数学图形，它在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用。
1.物理学中的光学系统：双曲线可以用来描述光线在光学系统中的传播路径。
例如，抛物面镜和椭圆面镜都是双曲线的特殊情况。
2.工程学中的电子设备：双曲线可以用来描述天线的辐射模式和电磁波的传播。
在雷达和卫星通信等领域，双曲线经常被用来分析和设计天线系统。
3.经济学中的成本函数：在经济学中，双曲线可以用来描述成本函数和供应曲线。
这对于研究企业的生产和供应决策非常重要。
双曲线作为一种重要的几何图形和函数形式，在高中数学中占据着重要的地位。
通过了解双曲线的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一知识点，进一步拓宽数学的视野。
高中数学第八章第6讲双曲线
第6讲双曲线,[学生用书P158])1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1.教材习题改编 双曲线y 264－x 216＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．20B ．16C ．12D ．8A [解析] 设P 到另一个焦点的距离为d ， 则|d －4|＝2×8＝16， 所以d ＝20，故选A.2.教材习题改编 双曲线C 的焦点为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 220－y 24＝1B ．x 220－y 216＝1C ．y 220－x 216＝1D ．y 220－x 24＝1B [解析] 2a ＝|（－5＋6）2＋22－|（－5－6）2＋22＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.。