上海交通大学附属中学2020-2021学年高二下学期开学考数学试题
交大附中高二开学摸底考数学试卷
2021.03
一、填空题
1．设(12i)24iz（i为虚数单位），则||z ．
2．已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于 ．
3．直线
3445xtyt
（t为参数）的斜率为 ．
4．已知直线l的一个方向向量(2,3,5)d，平面的一个法向量(4,,)nmn，若l，则
mn
．
5．已知抛物线
2
2xpy
上的点(2,2)A，则A到准线的距离为 ．
6．如图，以长方体
1111
ABCDABCD
顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直
角坐标系，若1DB的坐标为(4,3,2)，则1AC的坐标为 ．
7．已知关于x的实系数方程
2
0xaxb
有模为1的虚根，则a的取值范围是 ．
8．在四面体ABCD中，5ABCD，6ACBD，7ADBC，则AB、CD所成的角的余弦
值为 ．
9．在空间中，已知一个正方体的12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则sin ．
10．已知圆
22:(1)1Mxy，圆22
:(1)1Nxy
，直线1l、2l分别过圆心M、N，且1l与圆
M
相交于A、B两点，2l与圆N相交于C、D两点，点P是椭圆22149xy上任意一点，则
PAPBPCPD
的最小值为 ．
11．如图，在棱长为2的正方体
1111
ABCDABCD
中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABBA内，若
1
DPCM
，则PBC△的面积的最小值为 ．
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为
4
a
的圆在一个半径为
a
的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为222333xya，给
出下列四个结论，正确的是 ．
（1）星形线的参数方程为：33cossinxatyat（t为参数）；
（2）若5a，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）
（3）曲线11221xy在星形线22331xy的内部（包含边界）；
（4）设星形线围成的面积为S，则22,4Saa．
二、选择题
13．
1z、2
z
是复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若
22
12
0zz
，则2212zz B．21212124zzzzzz
C．
22
1212
00zzzz
D．2211zz
14．如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B、
D
点间的距离是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．32
15．定义：复数z与i的乘积iz为复数z的“旋转复数”，设复数i(,)zxyxyR对应的点(,)xy在曲
线220xxyy上，则z的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）
A．
220yxyx B．2
20yxyx
C．
220yxyx D．2
20yxyx
16．如图，已知正四面体
1234AAAA，点5A、6A、7A、8A、9A、10
A
分别是所在棱中点，点P满足
4414243
APxAAyAAzAA
且1xyz，记44min|||AQAP，则当1i，10j且ij时，数量
积4ijAQAA的不同取值的个数是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．21
三、解答题
17．如图，三棱锥PABC的三条棱PA、AB、AC两两互相垂直，22ABACPA，点D在棱
AC
上，且(0)ADAC．
（1）当12时，求异面直线PD与BC所成角的大小；
（2）当三棱锥DPBC的体积为29时，求的值．
18．已知m是实数，关于x的方程
2
:(21)0Exmxm
．
（1）若2m，求方程E在复数范围内的解；
（2）若方程E有两个虚数根1x、2x，且满足122xx，求m的值．
19．如图，AB是圆柱的底面直径且2AB，PA是圆柱的母线且2PA，点C是圆柱底面圆周上的点．
（1）求证：BC平面PAC；
（2）当三棱锥PABC体积最大时，求二面角CPBA的大小．（结果用反三角函数值表示）
20．如图，在RtSOA△中，
6
OSA
，斜边4SA，半圆H的圆心在边OS上，且与SA相切，现将
RtSOA△
绕SO旋转一周得到一个几何体，点B为圆锥底面圆周上一点，且90AOB．
（1）求球H的半径；
（2）求点O到平面SAB的距离；
（3）设P是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO与平面SAB所成角正弦值的范围．
21．已知双曲线
22
22
:1(0,0)xyabab
，设P是双曲线上任意一点，O为坐标原点，F为双曲线
右焦点，1A、2A为双曲线的左右顶点．
（1）若(2,3)d是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
（2）已知：无论点P在右支的何处，总有||||POPF，求ba的取值范围；
（3）若2a，3b，动点Q与双曲线的顶点不重合，直线1QA和直线2QA与直线:1lx相交于点
S
和T，试问：以线段ST为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．
参考答案
一、填空题
1．2 2．9 3．
5
4
4．16
5．52 6．(4,3,2) 7．(2,2) 8．
13
25
9．33 10．8 11．255 12．（1）（3）（4）
二、选择题
13．D 14．D 15．C 16．B
三、解答题
17．（1）
3
；（2）23．
18．（1）12i，12i；（2）0或8．
19．（1）证明略；（2）
6
arcsin
3
．
20．（1）
23
3
；（2）2217d；（3）42214221,1414．
21．（1）arctan43；（2）(0,3)；（3）
1,02或5
,0
2
．
2020-2021学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件答案：B分析：本题首先可根据复数z 为纯虚数得出0a =以及0b ≠，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.解：若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B.2．已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于1l ：1110a x b y +-=和2l ：2210a x b y +-=的交点情况是（）A ．存在k ，1P ，2P 使之无交点B ．存在k ，1P ，2P 使之有无穷多交点C ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D ．无论k ，1P ，2P 如何，总是唯一交点答案：D分析：根据12,P P 在直线1y kx =+上且不重合，得到12210a b a b -≠，由此分析两直线的位置关系，从而判断出直线的交点个数.解：因为直线1y kx =+经过点()0,1不经过原点，点12,P P 在直线1y kx =+上且不重合， 所以12,OP OP 不共线，所以12210a b a b -≠， 因为11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩，即112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，方程组的系数矩阵为：1122a b a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以111221220a b D a b a b a b ==-≠，所以11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩有唯一解， 所以不论k ，1P ，2P 如何，12,l l 总是唯一交点，故选：D.点评：关键点点睛：二元一次方程组的解可以利用行列式去计算，未知数的系数比例关系决定了行列式的值也具有相应的比例关系.3．平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心答案：C分析：将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心.解：三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ， 所以222222*********1,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+ 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C.点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.4．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案：A分析：先确定2PD PC =，再在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，求出P 的轨迹方程，即可得到结论．解：由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∽ 又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==，2PD PC ∴=，在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ， 由2PD PC ==2244()39x y ∴+-=P 在底面ABCD 内运动， ∴轨迹为圆的一部分故选：A ．点评：关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹. 二、填空题 5．复数21i-的虚部为____________． 答案：1分析：根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部.解：因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 故答案为：1. 6．直线()121:44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a =____________．答案：12分析：将直线1l 的方程化为普通方程，根据两直线垂直可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值. 解：将直线1l 的方程化为普通方程得260x y -+=，2:30l ax y ++=，且12l l ⊥，所以，210a -=，解得12a =. 故答案为：12. 7．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．答案：11试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．简单的线性规划．8．若方程2(3)40x k i x k ++++=有实数根，则实数k 的取值是____________． 答案：4-分析：将方程整理为：2430x kx k ix ++++=，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k 的值.解：因为2(3)40x k i x k ++++=有实数根，所以2430x kx k ix ++++=有实根， 所以0x =，所以40k +=，所以4k =-， 故答案为：4-.9．抛物线24y x =的准线方程为______. 答案：116y =-试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是抛物线方程10．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π分析：由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．点评：本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，3AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________． 答案：23分析：取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDOAB S⨯⨯，计算可得结果.解：取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CO DO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为3AC BC AD BD ====，2AB CD ==，所以()22210322CO DO ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22110221222CDOS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为11221333A BCD CDOV AB S -=⨯⨯==， 故答案为：23. 点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.12．在北纬45°东经30°有一座城市A ，在北纬45°东经120°有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是______； 答案：3R π 分析：由已知中在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045东经0120有一座城市B ，设地球半径为R ，我们可以求出北纬45︒的纬线圈半径，及连接AB 两点的弦的长，进而求出A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠，代入弦长公式即可得到答案．解：由已知地球半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为2R ， 又两座城市的经度分别为东经30和东经120︒，故连接两座城市的弦长22L R R ==，则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=，所以A 、B 两地之间的距离是3R π. 故答案为：3R π. 点评：本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两个关键的几何量，一是球的半径R ，一是A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠．13．设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________.答案：13分析：根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.解：由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =，或213PF =经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =. 故答案为：13.14．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 答案：6分析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.解：设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +=，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =12216z z Z Z -==， 6.点评：结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应平面向量OZ .15．已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有____________条． 答案：3分析：根据条件先将直线,a b 平移至过点P ，然后根据直线,a b 所成角的角平分线以及直线,a b 所在平面的垂线分析与直线,a b 所成角均为55︒的直线的条数. 解：将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ， 此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒； 当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相等， 且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件的l 有2条， 综上所述：过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条， 故答案为：3.点评：结论点睛：已知异面直线,a b 所成角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过空间任意一点O 作直线l ，使得l 与,a b 成等角ϕ：（1）当0,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，此时l 不存在； （2）当2θϕ=时，此时l 有一条；（3）当22θπθϕ-<<，此时l 有两条；（4）当2πθϕ-=时，此时l 有三条；（5）当22πθπϕ-<<时，此时l 有四条.16．三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30和45的角，且平面ABC 与平面α成60的二面角，那么ACB ∠的大小为____________．答案：90或22分析：对ABC ∠为锐角和钝角两种情况讨论，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出ABC 的三边边长，结合余弦定理可求得ACB ∠的大小. 解：分以下两种情况讨论：（1）若ABC ∠为锐角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan 3CD CED DE ∠==3DE ∴=， 2223CE CD DE ∴=+=， CE AB ⊥，22263AE AC CE ∴=-=，2263BE BC CE a =-=， 所以，6AB AE BE a =+=，222AC BC AB ∴+=，所以，90ACB ∠=；（2）若ABC ∠为钝角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan 3CD CED DE ∠==33DE a ∴=， 22233CE CD DE a ∴=+=， CE AB ⊥，2226AE AC CE ∴=-=，226BE BC CE =-=， 所以，6AB AE BE =-=， 在ABC 中，AC 2a =，2BC a =，6AB =， 由余弦定理可得22222cos 23AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅， 0180ACB <∠<，所以，22arccos3ACB ∠=. 综上所述，90ACB ∠=或2arccos3. 故答案为：90或22点评：关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对ABC ∠进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出ABC 三边的边长，并结合余弦定理求解. 三、解答题17．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1)若1BM AC ⊥，求h 的值；(2)若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．答案：（1）1h =（2）10sin5arc 试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =．(2)解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z = 由0{n AB n AM ⋅=⋅=得0{x y z =+=所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈． （1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值． 答案：（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．分析：（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值. 解：解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 点评：关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD 和FBC 是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC 面积的2.2倍．设04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 答案：（1）160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6πθ=．分析：（1）由题意知FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5cos FM θ=，得FBC 的面积为25cos θ，从而得屋顶面积为16022cos FBC ABFE S SS θ=+=； （2）别墅总造价为2sin 60096004800057600cos y s h θθ-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，令()2sin cos f θθθ-=，求导求最值即可求解.解：（1）由题意知FH ⊥平面ABCD ，FM BC ⊥， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥， 在Rt FHM 中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=，因此FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=， 从而得屋顶面积为25251602222 2.2cos cos cos FBC ABFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=， 所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）在Rt FHM 中，5tan FH θ=，所以主体的高度为65tan h θ=-， 所以()1605sin 600960065tan 60096006cos cos y s θθθθ⎛⎫=+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭ 2sin 4800057600cos θθ-⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， 令()2sin cos f θθθ-=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222cos sin 2sin 12sin cos cos f θθθθθθθ-+--+'==， 令()0f θ'>解得64ππθ<<，令()0f θ'<解得06πθ<<，所以()2sin cos fθθθ-=在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以当6πθ=时，()2sin cos fθθθ-=取得最小值，即当6πθ=时，总造价最低.点评：关键点点睛：本题解题的关键点是找出Rt FHM 的边角关系，表示出FBC 的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度65tan h θ=-即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可. 20．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．答案：（1）11113B F B A =，证明见解析；（2；（3）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．分析：（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可证得1//AM A N ，从而可得11//C F A N ，由此可得11113B F B A =，再由11113B F B A =证明线面平行即得； （2）用等体积法可求得点A 到平面BDF 的距离；（3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于E ，连接FQ ，FQP ∠是二面角F BD A --的平面角，设1B F x =，(02)x <<，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围．解：（1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角，即30DBA ∠=︒，所以tan 30AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， ∵11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ，∴11A FC N 是平行四边形， 11//A N FC ，11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，∴1111////,MN DD AA MN DD AA ==，∴1A AMN 是平行四边形，∴1//AM A N∴1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，∴//AM 平面1BC F ，即//AE 平面1BC F ．（2）1232322ABD S ==△，1232313F ABD V -=⨯=由长方体性质可得2BF =33BD =，303DF =，∵222BF FD BD +=，∴BF DF ⊥， ∴130152233BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得 11523339h ⨯=，∴55h =． （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥， ∵FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，∴BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，∴BD FQ ⊥，∴FQP ∠是二面角F BD A --的平面角， 设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， ∴2tan FP FQP PQ x ∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角，∴,42FPQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭． ∴二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 点评：方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．21．设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4． （1）求E 的标准方程； （2）设椭圆上31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断以2PF （2F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2l ：y kx m =+与曲线E 交于两点C ，D （C ，D 异于点N ），且满足NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）内切；答案见解析；（3）2l 恒过定点；定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 分析：（1）根据椭圆的定义求解出,a c 的值，根据222a b c =+求解出22,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）先求解出两圆的方程，然后通过计算圆心距和圆的半径，得到圆心距与圆的半径之间的关系，由此确定出两圆的位置关系；（3）根据条件NC ND NC ND +=-可得0NC ND ⋅=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理形式表示出0NC ND ⋅=对应的坐标形式，由此得到,k m 之间的关系式，从而确定出直线2l 所过的定点.解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由条件可知：2224c a =⎧⎨=⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，所以222243a b a c ⎧=⎨=-=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=； （2）内切，理由如下：因为31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,0F ，所以2PF 中点为M30,4⎛⎫⎪⎝⎭，且54PM ==， 因此，以2PF 为直径的圆的方程为：22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，半径154R =以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，半径22R =，2134R R ==-， 因此，以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆内切； （3）设()()1122,,,C x y D x y ，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++， 又因为NC ND NC ND+=-，所以NC ND ⋅=，所以()()()()12120x x y y λλμμ--+--=，所以()()()()12120x x kx m kx m λλμμ--++-+-=， 所以()()()()()222121210k x x k m x x m μλλμ++--+++-=，所以()()()()()()()2222214128340k m k m km m k μλλμ⎡⎤+-+---++-+=⎣⎦， 所以()()()222222271218334460m kkm k m λλμλμμ-++++++-=，又(,)N λμ在E 上，所以223412λμ+=， 所以()()()2222271218121260m kkm k m λμλμ-+++-++-=，所以22227860m km k m λμλμ+-+-=，所以()()2243k m m λμ+=+， 所以43k m m λμ+=+或()43k m m λμ+=-+，当43k m m λμ+=+时，m k λμ=-+，所以()2:l y k x λμ=-+过点(,)N λμ，不满足条件； 当()43k m m λμ+=-+时，77k m λμ=--，所以2:77l y k x λμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2l 过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上可知：直线2l 恒过定点,77λμ⎛⎫-⎪⎝⎭. 点评：方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 与过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k与,x y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。
上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期开学摸底考数学试题
上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期开学摸底考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线210x y -+=的一个法向量为______.2．直线350x --=的倾斜角大小为___________.3．直线20x ++=与直线10x +=的夹角为______.4．一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂直，则这条直线方程为___________.5．若点()4,A a 到直线4310x y --=的距离等于3，则a =__________．6．过点()21A -，与()12B ，半径最小的圆的方程为___________. 7．对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______.8．已知直线l ：2y ax =+和()1,4A 、()3,1B 两点，若直线l 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围为______.9．已知()2,3A 、()4,8B -两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直线的方程为______.10．已知定点()0,5A -，P 是圆()()22232x y -++=上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为______.11．若直线l 与直线1y =和70x y --=分别交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,1P -，则直线l 的斜率等于__________．12．已知正三角形的三个顶点()()(0020,A B C ，，，，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 近上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P .若1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ的取值范围为____________.二、单选题13．如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，那么下列命题中正确的是（ ）A ．曲线C 的方程为(),0F x y =B ．(),0F x y =的曲线是CC ．以方程(),0F x y =的解为坐标的点都在曲线C 上D ．曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上14．若圆C ：()()222x a y a a -++=被直线l ：20x y ++=分成的两段弧长之比是1:3，则满足条件的圆C （ ）A ．有一个B ．有两个C ．有三个D ．有四个15．两直线12,l l 的方程分别为0x b +=和sin 0x a θ+=（,a b 为实常数），θ为第三象限角，则两直线12,l l 的位置关系是（ ）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．不确定16．若()2,3P 既是()11,A a b 、()22,B a b 的中点，又是直线1l ：11130a x b y +-=与直线2l ：22130a x b y +-=的交点，则线段AB 的中垂线方程是（ ）A ．23130x y +-=B ．32120x y +-=C ．320x y -=D ．2350x y -+=三、解答题17．讨论两直线1l ：1mx y +=-和2l ：323mx my m -=+之间的位置关系.18．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 19．已知定点()2,0A -、()2,0B ，动点C 在线段AB 上，且PAC ∆、QBC ∆均为等边三角形（P 、Q 均在x 轴上方）.（1）R 是线段PQ 的中点，求点R 的轨迹；（2）求ARB ∠的取值范围.20．过点()2,1P -的直线l 分别交()102y x x =≥与()20y x x =-≥于A 、B 两点. （1）设A 点的坐标为()2,a a ，用实数a 表示B 点的坐标，并求实数a 的取值范围；（2）设AOB ∆的面积为245，求直线l 的方程； （3）当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.参考答案1．()2,1-【分析】先求得直线210x y -+=的斜率，由此与其垂直的直线的斜率，进而求得直线210x y -+=的一个法向量.【详解】直线210x y -+=的斜率为2，故与其垂直的直线的斜率为12-，故直线210x y -+=的一个法向量为()2,1-.故填：()2,1-.【点睛】本小题主要考查直线的法向量的求法，属于基础题.2．3π 【解析】【分析】根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由tan k α=得直线的倾斜角，得解.【详解】由350x -=得3y =-，所以直线的斜率k =α且0απ≤<，由tan k α=得直线的倾斜角为3π. 故填：3π. 【点睛】本题考查直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再得直线的倾斜角的问题，属于基础题. 3．60︒【分析】分别求得题目所给两条直线的倾斜角，由此求得两条直线的夹角.【详解】直线20x +=的斜率为-150.直线10x +=的倾斜角为90，所以两条直线的夹角为1509060-=.故填：60.【点睛】本小题主要考查两条直线夹角的计算，考查直线的倾斜角，属于基础题.4．2114170x y -+=【分析】设出过两直线的交点的直线系方程(23)(31)0x y x y λ+-+-+=，由直线垂直的判定条件得到关于λ的方程，解之再代入即得所求的直线方程.【详解】设过230x y +-=与310x y -+=的交点的直线方程为：(23)(31)0x y x y λ+-+-+=， 因为此直线与直线2350x y +-=垂直，所以()()132230λλ+⋅+-⋅=，解得83λ=-， 所以这条直线方程为：8(23)(31)03x y x y +---+=，即2114170x y -+=. 故填：2114170x y -+=.【点睛】本题考查过两直线的交点的直线系方程和两直线垂直的判定条件，属于基础题.5．0或10【解析】【分析】根据题意以及点到直线的距离公式得到15335a -==，化简，解出方程即可. 【详解】因为点()4,A a 到直线4310x y --=的距离等于3，所以15335a -==，解得0a =或10a =.故答案为：0或10.本题考查了点到直线的距离公式的应用，较为基础.6．22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由圆心到直线的距离d 、半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0, 此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，可得圆的方程.【详解】设所求的圆的圆心为C ，圆的半径为R ，圆心到直线AB 的距离为d , 则2222AB R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知得AB ==要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0，此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB， 圆的方程是22231222x y ⎛⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故填：22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题. 7．()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由2224620x y mx my m +--+-=由得()2222320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故填：()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.8．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】求得直线所过定点C ，结合,AC BC 的斜率和图像，求得实数a 的取值范围.【详解】依题意可知，直线l 过定点()0,2C ，画出图像如下图所示，由图可知[],BC AC a k k ∈，其中21124,203301BC AC k k --==-==--，所以a 的取值范围是1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故填：1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查直线斜率公式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9．1120x y +=或560x y +=【分析】分成两种情况：一个是直线l 过原点和线段AB 的中点，一个是直线l 过原点且与直线AB 平行，分别求得直线l 的方程.【详解】当直线l 过原点和线段AB 的中点时，线段AB 的中点为111,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线l 的方程为112y x =-，即1120x y +=. 当是直线l 过原点且与直线AB 平行时，直线AB 的斜率为835426-=---，故直线l 的方程为56y x =-，即560x y +=. 故填：1120x y +=或560x y +=.【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查两条直线平行的条件，考查中点坐标公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.10．()3,2-【分析】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像.求得直线AC 的方程，联立直线AC 的方程和圆的方程，求得交点P 的坐标.【详解】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像如下图所示.此时PA 取得最大值.圆心坐标为()2,3-，故直线AC 的方程为()()503520y x ---=----，即5y x =-.由()()225232y x x y =-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得()3,2P -，（点()1,4-舍去）.故填：()3,2-.【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查直线和圆的交点坐标的求法，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11．23- 【分析】设M （,1a ），N （,7b b -），根据中点公式，求得a ，b 的值，进而根据斜率公式求得直线斜率.【详解】设M （,1a ），N （,7b b -） ，已知MN 的中点为()1,1P -， 则121712a b b +⎧=⎪⎪⎨+-⎪=-⎪⎩ ，解得2,4a b =-= ，即M （-2,1），N （4，-3）， 则直线l 的斜率等于1(3)2243--=--- 故填:23-.【点睛】本题考查了求直线的交点，考查了直线斜率的求法，灵活运用中点坐标公式求值，可简化运算.12．2⎛ ⎝【分析】设1BP x =，则求得x =，再根据反射的条件：入射角等于反射角可得：12102,3CPP BPP πθ∠=∠=-2123,CP P AP P θ∠=∠=在12CPP ∆和32AP P ∆中运用正弦定理表示3AP ，由302,AP <≤可求得tan θ的取值范围. 【详解】根据题意做出示意如下图所示：设1BP x =，则2tan 12x x θ=⇒=-，根据反射的条件：入射角等于反射角可以得：121021232,,3CPP BPP CP P AP P πθθ∠=∠=-∠=∠=在12CPP ∆中由正弦定理得222sin 23(2),2sin sin sin 3CP x CP x πθπθθθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⇒=⋅-⎛⎫- ⎪⎝⎭而sin 2sin 3θπθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2CP =222AP CP -==在32AP P ∆中由正弦定理得3223sin 22sin sin sin 33AP AP AP AP θππθθθ⋅=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322tan AP θ=322tan 02,2,0AP θ<≤≤<解得tan ,2θ⎛∈⎝，故填：2⎛ ⎝【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的应用，关键在于由反射的条件得出边、角之间的关系，再由302,AP <≤建立不等式，求得范围，属于难度题. 13．D 【分析】根据曲线和方程的关系选出正确选项. 【详解】依题意可知，曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，也即曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上.但是方程(),0F x y =的解，不一定是曲线C 上的点，所以A,B,C 选项错误，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查曲线和方程的关系，属于基础题. 14．B 【分析】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，根据圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3可知AOB 90∠=，由此得到圆心到直线的距离，进而以此列方程，解方程求得a 的值，从而得出得出正确选项. 【详解】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，由于圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3，所以AOB 90∠=.由于圆的圆心为(),a a -，半径为a ，所以圆心到直线l ，也,2,2a a ===±，所以满足条件的圆有两个. 故选B.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题. 15．A 【解析】因为θ为第三象限角，所以1sin 10sin sin sin sin θθθθθ⨯+=+=-=， 所以两直线垂直.故选A.点睛：.两直线位置关系的判断：1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：12120A A B B +=；平行：1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！ 16．C 【分析】将P 点坐标代入12,l l 的方程，由此求得直线AB 的斜率，进而求得线段AB 中垂线的斜率，根据点斜式求得线段AB 的中垂线方程. 【详解】将P 点坐标代入12,l l 的方程得1123130a b +-=，2223130a b +-=，所以,A B 两点在直线2313x y +-上，故23AB k =-，所以线段AB 的中垂线的斜率为32，依题意AB 中点为()2,3P ，所以线段AB 的中垂线方程是()3322y x -=-，即320x y -=.故选C. 【点睛】本小题主要考查点和直线的位置关系，考查线段垂直平分线方程的求法，属于基础题. 17．3m =-时，两直线重合；当0m ≠且3m ≠-时两直线相交. 【分析】根据两条直线重合、平行、相交、垂直的条件，判断两直线的位置关系. 【详解】两条直线化为一般式得12:10,:3230l mx y l mx my m ++=---=. 显然0m ≠. 由13m m m =-，得3m =-时，此时， 11323m m m m ==---所以两直线重合. 两直线不平行.当0m ≠且3m ≠-时两直线相交. 【点睛】本小题主要考查两条直线的位置关系，属于基础题.两条直线的位置关系有：重合、平行、相交、垂直等.18．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0- 【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.19．（1）y =()1,1x ∈-；（2）1,cos 27arc ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）设出C 点坐标，根据等边三角形的性质求得,P Q 两点的坐标，根据中点坐标公式求得R 点的轨迹方程.（2）利用余弦定理求得cos ARB ∠的表达式，由此求得cos ARB ∠的取值范围，进而求得ARB ∠的取值范围.【详解】（1）设()00,C x y ，则022x -≤≤，如图，则002,2CA x BC x =+=-，因为PAC ∆、QBC ∆均为等边三角形，所以))00002222,,,2222x x x x P Q ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为R 是线段PQ 的中点，设R 为(),x y ，则000222222x x x x -+=+=，))0022222x x y +-=+=R的轨迹为[]1,1y x =∈-.（2）设([],1,1R x x ∈-，则()()222223,23AR x BR x =++=-+，由余弦定理得cos ARB ∠2222AR BR AB AR BR+-=⋅212=2=①.当1x =±时，①式为πcos 0,2ARB ARB ∠=∠=. 当11x -<<时，()222110,011x x -≤-<<-≤，①式为cos ARB∠=，注意到由于()22011x <-≤，所以()22481491x+≥-，所以cos ARB∠1,07⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭.综上所述，1cos ,07ARB ⎡⎤∠∈-⎢⎥⎣⎦，故ARB ∠的取值范围是1,cos 27arc ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查利用余弦定理解三角形，考查反三角函数，属于中档题.20．（1）48,5353aa a a -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，35a >；（2）11122y x =-；（3）37y x =- 【分析】（1）设出B 点坐标，利用B 在射线()20y x x =-≥上以及BP PA λ=列方程组，解方程求得B 点坐标.（2）结合（1）的结论，利用三角形面积公式列方程，解方程求得a 的值，进而求得直线l 的方程.（3）结合（1）的结论，求得PA PB ⋅的表达式，进而求得PA PB ⋅最小时a 的值，进而求得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),B m n ，由于B 在射线()20y x x =-≥上，则2n m =-①.()()2,1,22,1BP m n PA a a =---=-+，由于,,A P B 三点共线，BP PA λ=，则()()()()21122m a n a -⋅+=--⋅-②，解由①②组成的方程组得48,5353a am n a a -==--，所以B 点坐标为48,5353aa a a -⎛⎫⎪--⎝⎭.由于,A B 两点不重合，故0a >，且A 在第一象限，B 在第四象限.故405380530aa aa a ⎧>⎪-⎪-⎪<⎨-⎪>⎪⎪⎩，解得35a >. （2）由于()1212⨯-=-，所以OA OB ⊥，结合（1）得()482,,,5353a a A a a B a a -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以12OABS OA OB ∆=⋅⋅12425==，化简得()26560,5a a -==，所以126,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线方程两点式得直线l 的方程为612556121255y x --=---，化简得11122y x =-. （3）由（1）得()482,,,5353aa A a a B a a -⎛⎫⎪--⎝⎭，35a >，而()2,1P -，所以 PA PB ⋅=2565353a a a -+=⋅-()1615353553a a ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2435≥⋅=，当且仅当()161553553a a -=-，即75a =时等号成立.此时147,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线方程两点式得直线l 的方程为714557141255y x --=---，化简得37y x =-.【点睛】本小题主要考查直线和直线相交交点坐标的求法，考查三角形面积公式，考查最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。
上海市交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题
上海市交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若()3,1a =-，()1,b t =，且()2a b a +⊥，则t =______. 2．已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则A B =______. 3．函数f （x ）()21232log x x =-+-的单调递增区间是_____． 4．已知函数()()arcsin 2110y x x =+-≤≤，则16f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭_____________.5．若实数λ满足()1AD AB AC λλ=+-，其中D 是ABC ∆边BC 延长线（不含C ）上一点，则λ的取值范围为______.6．若对任意x ∈R ，不等式2sin 22sin 0x x m +-<恒成立，则m 的取值范围是_____. 7．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．8．已知梯形ABCD ，AB CD ∥，设1AB e =，向量2e 的起点和终点分别是A 、B 、C 、D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量a ，都可以唯一表示为1e 、2e 的线性组合，那么2e 的个数为______.9．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 10．已知函数()22x x x af x xx a ⎧--≤=⎨->⎩，若函数()f x 无最大值，则实数a 的取值范围为______.11．设[0,2)ϕπ∈，若关于x 的方程sin(2)x a ϕ+=在区间[0,]π上有三个解，且它们的和为43π，则ϕ=________ 12．设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP xAB y AC =+，则x y xy ++的取值范围为______.二、单选题13．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π=14．在等差数列{}n a 中，设*,,,k l p r N ∈，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分非必要条件15．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的高，2AE ED =，3BAC π∠=，3AB =，2AC =，则AE CE ⋅的值为（ ）A ．67-B ．23-C ．-2D ．2316．凸四边形就是没有角度数大于180的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（ ）A ．3B ．4C 1D三、解答题17．在一个平面内，一质点O 受三个力1F 、2F 、3F 的作用保持平衡（即1F 、2F 、3F 的和为零向量），其中3F 与2F 的夹角为α，3F 与1F 的夹角为β.（1）若120α=，150β=，310F =，求力1F 、2F 的大小；（2）若123::1:F F F =α与β.（用反三角函数表示） 18．已知函数()2f x ax 2ax 2(a 0)=-+>在区间[]1,4-上的最大值为10．()1求a 的值及()f x 的解析式；()2设()()f xg x x=，若不等式()x x g 3t 30-⋅≥在[]x 0,2∈上有解，求实数t 的取值范围．19．已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，若()()f A f B =，且A B ≠，AB =，求ABC ∆外接圆半径的长.20．已知函数()()22xxf x k x R -=+⋅∈.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）设0k >，问函数()f x 的图像是否关于某直线x m =成轴对称图形，如果是，求出m 的值，如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数()g x 的图像关于某直线x m =成轴对称图形”的充要条件为“函数()g m x +是偶函数”）（3）设1k =-，函数()14223xxh x a a -=⋅--，若函数()f x 与()h x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.21．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：()*11n n a a n N+=+∈.（1）当113a =-时，且10n a -<<，写出2a 、3a ； （2）若数列{}()*110,na n n N ≤≤∈是公差为-1的等差数列，求1a 的取值范围；（3）记n S 为{}n a 的前n 项和，当10a =时， ①给定常数()*4,m m m N≥∈，求1m S-的最小值；②对于数列1a ，2a ，…，8a ，当8S 取到最小值时，是否唯一存在满足()*21126,j j a a j j N +-=+≤≤∈的数列{}n a ？说明理由.参考答案1．23 【分析】根据向量坐标运算,可得2a b +,再由向量垂直的坐标关系即可求得t 的值. 【详解】根据向量坐标运算,可得()27,2a b t +=-+由向量()2a b a +⊥,可得()22120a b a t +⋅=+-=. 解得23t = 【点睛】本题考查了向量加法运算,根据向量垂直的坐标关系求参数,属于基础题. 2．()[),23,-∞+∞【分析】分别解分式不等式和二次不等式,得集合A 与集合B,即可求得A B .【详解】 因为集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,解得{}52A x x =-<< 集合{}2|230,B x x x x R =--≥∈,解得{}|13B x x x =≤-≥或 则()[),23,AB =-∞+∞.【点睛】本题考查了分式不等式与二次不等式的解法,并集的运算,属于基础题. 3．[32，2）． 【分析】根据对数复合函数的单调区间方法以及定义域求解即可. 【详解】由题,因为()12log f x x =为减函数,故求()()212log 32f x x x =-+-的单调递增区间即求232y x x =-+-的单调递减区间,即3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.又对数函数的定义域有2320x x -+->,解得()1,2x ∈.故()()212log 32f x x x =-+-的单调递增区间是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调区间,属于基础题. 4．14-【分析】先由函数解析式，求出逆函数解析()111sin 22-=-f x x ，代入求解，即可得出结果. 【详解】由()()arcsin 2110y x x =+-≤≤得21sin +=x y ，即11sin 22=-x y ， 所以()111sin 22-=-fx x ，因此1111sin 62624ππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f .故答案为14- 【点睛】本题主要考查求逆函数的值，会求逆函数的解析式即可，属于常考题型. 5．(),0-∞ 【分析】根据题意,画出示意图,根据平面向量基本定理及向量共线条件,化简即可得λ的取值范围. 【详解】由题意可知,示意图如下图所示:根据向量线性运算可得()1AD AB AC λλ=+-AB AC AC λλ=+-即()AD AC AB AC λ-=- 所以CD CB BC λλ==-因为D 是ABC ∆边BC 延长线（不含C ）上一点 所以CD 与CB 反向 即0λ<.所以(),0λ∈-∞ 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量共线的条件应用,属于中档题.6．1,)++∞ 【解析】 【分析】问题转化为m ＞sin2cos21m x x >-+对任意x ∈R 恒成立，只需由三角函数求出求y ＝sin2cos21x x -+的最大值即可．【详解】不等式2sin22sin 0x x m +-<，即sin2cos21214m x x x π⎛⎫>-+=-+ ⎪⎝⎭.214x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1，1m ∴>，故答案为)1,+∞.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题． 7．9 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ，∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②．解①得：；解②得：． ∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ． 8．8 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知, 1e 与2e 不平行.从A 、B 、C 、D 中任意选取两个点作为向量,可得总向量个数,排除共线向量的个数后即可得2e 的个数. 【详解】由题意可知, 1e 与2e 不平行则从A 、B 、C 、D 中任意选取两个点作为向量,共有244312A =⨯=个向量在这些向量中,与1e 共线的向量有AB ,BA ,CD ,DC 所以2e 的个数为1248-= 个本题考查了平面向量共线的简单应用,注意向量的方向性,属于基础题. 9．23-【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n --23，由此能求出2lim n n a →∞【详解】∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴（12a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=23(11)4n -， ∴2n S =23(11)4n -；又12345 a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --）， 即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n --23∴2211lim lim(32n n n n a -→∞→∞=-2)3=-23，故答案为：-23【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于10．(),1-∞- 【分析】画出分段函数的图像,根据函数图像讨论a 的不同取值,分析是否存在最大值即可. 【详解】根据()22x x x af x xx a ⎧--≤=⎨->⎩,画出函数图像如下图所示:由图像可知,当1a ≥-，()f x 取得二次函数顶点,此时存在最大值为1，当1a <-时，最大值在一次函数左端点,但左端点没有取得等号，所以1a <-时没有最大值 综上, 实数a 的取值范围为(),1-∞-. 【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题. 11．6π或76π【解析】 【分析】由关于x 的方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上有三个解，且函数()y sin 2x ϕ=+的最小正周期为π可得，最大和最小的解分别为π和0，根据它们的和为43π，可求出中间的解，列出等式，根据ϕ的范围即可求出结果. 【详解】因为关于x 的方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上有三个解，且函数()y sin 2x ϕ=+的最小正周期为π，再由三角函数的对称性可知：方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上的解的最小值与最大值分别为0和π； 又它们的和为43π，所以中间的解为3π，所以有2sin sin 3a πϕϕ⎛⎫==+⎪⎝⎭，即1sin sin 2ϕϕϕ=-，故tan ϕ= 又[)0,2ϕπ∈，所以6πϕ=或76π. 故答案为6π或76π【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型. 12．[]1,3 【分析】根据共线向量基本定理,设AP mAM =,结合条件AP xAB y AC =+可求得x y m +=的等量关系，根据M 的位置可求得x y +的范围，同时根据基本不等式，求得xy 的取值范围， 即可得x y xy ++的取值范围。
2020-2021学年上海市交大附中高一下学期期中考数学试卷含详解
上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边上有一点()512P -，，则=αtan ．2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________. 3.若53sin =α，且)2,0(πα∈，则tan α= ．4.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin 22___________．5.把ααcos 3sin -化为)),(,0)(sin(ππϕϕα-∈>+A A 其中的形式：_________．6.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx y 的最小正周期为___________. 7.已知：32)3sin(-=+πθ，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+ ”，解得的结果为426+ . 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是____________.12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度 14.方程2tan =x 的解集是（ ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π 15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2千米，河宽AC为1千米.根据规划需在线段BC上选择一个点D，沿AD铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低．（1）模型建立：我们假设：1. B、D之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A、D之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；∠=；则θ的取值范围为_____________．可以将该项工程的总费用如果设ADCθy表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y最低．（2）模型求解：请求解上述模型．AC D B19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（1）若8-=a ，求C tan 的值；（2）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值.20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． (1) 用m 与α表示点A 的横坐标； (2) 将m 表示为α的函数；(3) 求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设()y f x =是定义在D 上的函数，若对任何实数(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()fx x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数．（1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由.上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.【答案】512-2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________.【解析】1111tan arctan tan arctan 112323tan arctan arctan 111112311tan arctan tan arctan 2323⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.【答案】434.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin22___________．【解析】2222222sin sin cos 2tan tan 2sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα+++===++. 5.【答案】)3sin(2πα-6.【答案】π7.已知：2sin(3)3θπ+=-，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.【解析】由2sin(3)3θπ+=-得2sin 3θ=，所以原式tan cos sin 2(tan )(cos )3sin 2cot sin tan θθθθθθθθθ-⋅⋅=+--==-⋅⋅.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 【解析】由题意得3sin cos cos sin ,sin cos cos sin 544αβαβαβαβ+=-=， 解得1sin cos ,cos 31sin 4040αβαβ==，所以tan sin cos 31tan cos sin ααββαβ==. 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+”，解得的结果为426+. 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 【解析】由题意得sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=+， 所以sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=-， 所以(sin cos )(sin cos )0ααββ--=，又α和β为锐角，所以4πα=或4πβ=，若4πα=，满足题意； 若4πβ=，则6257sin sin sin441212πππα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以6πα=或3π， 综上，原题中的锐角α的值为6π或4π或3π. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 【解析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB ，设0,60BAQ ABQ αα∠=∠=-， 则033sin sin(60)AB AP PB αα=+=+- 0001166sin sin(60)1[cos(260)cos60]2ααα≥=⋅---2612112≥=-，当且仅当030α=时取等号，故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为12米.11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是__________.【解析】由题意得21cos3cos 640m m θθ-+--<对任意20,πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以2cos 373cos 24cos 2cos 2m θθθθ+>=-++--恒成立， 令[]cos 22,1t θ=-∈--，因为7()4f t t t=++在[2,1]--上严格减， 所以max3()2f t =-，所以332m >-，故21->m .12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.【解析】设ACD α∠=，则7sin 21sin πα=BCD ∆中，ααπ3sin )7sin(+=CD BC ，按计算器得=BC 1.证明；因为7A π=，设14πα=，则2A α=，且72πα=，即342παα=-，所以ααπα4cos )42sin(3sin =-=（1），设,,AD m AC n BC a ===，则m CD 2=， 在ACD ∆中由余弦定理得22222)2cos 2cos 22n m m n mn mnαα-=+-⇒=（2）在等腰三角形ABC 中，na AC BC221sin ==α （3）将（1）整理为()22321sin 213sin 4sin ααα--=-，展开得4328sin 4sin 8sin 3sin 10αααα+--+=，()32(sin 1)8sin 4sin 10ααα+-+=，所以24sin cos 24sin10ααα--+=，将（2），（3）代入上式得()222220()0am an ma mn m a am n m a --+=⇒-+=⇒=，即AD BC =. 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ A ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度【解析】设半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ， 由题意得224lr l r =⎧⎨+=⎩，解得21l r =⎧⎨=⎩，所以2lr θ==，故选A.14.方程2tan =x 的解集是（ C ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】根据等分象限法，得3α的终边在第一、二、三象限，故选D. 16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ A ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数【解析】因为()()()2f x f x g x +-=，所以()()()()2f x f xg x g x -+-==， 且()()()()()()22f x f x f x f xg x g x ππππππ++---+-++===-， 即()g x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2cos()2cos g x g x g x g x p x x xππ---+---==-()()2cos g x g x xπ-+=()p x =，且()(2)()2cos()g x g x p x x ππππ+-++=+()()()2cos g x g x p x x π+-==-，当2x k ππ=+时，()0p x =，所以()y p x =是偶函数且周期为π；同理，()()()2f x f x h x --=，所以()()()()2f x f x h x h x ---==-，且()()()()()()22f x f x f x f x h x h x ππππππ+------++===-，即()h x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+-+--==--()()()()()2sin 22sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+===，且()(2)()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x q x x xπππππ++++++===+，当2x k ππ=+时，()0q x =，所以()y q x =是偶函数且周期为π；综上所述，选A.三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．【解析】（1）因为，所以 因为，所以，所以．5cos 8αα+=4sin()65πα+=(0,)3πα∈(,)662πππα+∈3cos()65πα+=（2,所以，因为，所以，所以所以sin cos cos sin 636310ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A 与B ，它们的直线距离为2千米，河宽AC 为1千米.根据规划需在线段BC 上选择一个点D ，沿AD 铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低． （1）模型建立：我们假设：1. B 、D 之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为_____________． 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y 最低．2ββ+=sin()32πβ+=(,)62ππβ∈5(,)326πππβ+∈cos()3πβ+=cos()sin[()]sin[()()]263πππαβαβαβ+=++=+++cos()αβ+=（2）模型求解：请求解上述模型．【解析】（1）由题设cot CD θ=，1sin AD θ=，223CB AB AC =-=，3cot DB θ=- 所以θθθθsin cos 23)cot 3(sin 212-+=-+=⋅+=BD AD y （]2,6[ππθ∈）1. B 、D 之间的地下电缆沿线段BD （直线）铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿线段AD （直线）铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍； 如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为]2,6[ππθ∈. 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为θθsin cos 23-+=y .因此，原实际问题的数学模型为：求θ，该项工程的总费用y 最低. （2）设tan2t θ=(tan151)t ︒≤≤，则22sin 1t t θ=+，22tan 1tt θ=-代入（1）的结论，得ACDB222121123sin cos 23t t t t y ++--+=-+=θθ32321232122322≥++=+-++=tt t t t当且仅当3122t t=时取等号，即t =时，32min =y再由tan 2t θ=得3πθ=答：当3πθ=时，工程总费用y 最低为32.19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（3）若8-=a ，求C tan 的值；（4）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值. 【解析】（1）8tan tan =-=+a B A ，4tan tan =B A .所以38418tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan =--=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π（2）因为方程有两个实数根，所以0162≥-=∆a ，又因为4tan tan =B A ，所以A tan 与B tan 同号，而三角形中不可能有两个钝角. 所以A tan 与B tan 都大于0，所以0tan tan >-=+a B A . 解得4-≤a .34341tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan ≥-=---=-+-=+-=+-=a a B A B A B A B A C π当且仅当4-=a ，即2tan tan ==B A 时，C tan 取到最小值为34. 20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． （1）用m 与α表示点A 的横坐标； （2）将m 表示为α的函数；（3）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？ 【解析】（1）作AH 垂直y 轴于H ，则αsin m AH =，所以点A 的纵坐标为αsin m -（2）点)41cos ,sin (+-ααm m A所以)cos 41()sin (2ααm m +=-，即041cos sin 22=--ααm m ，解得αα2sin 21cos ±=m ，由于0m ＞， 所以))2,0((sin 21cos 2πααα∈+=m（3）同理αα2cos 2sin 1-=BF ，αα2cos 2sin 1+=DF ，αα2sin 2cos 1-=CF “蝴蝶形图案”的面积：))2,0(()cos (sin 4cos sin 121212πααααα∈-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令]21,0(,cos sin ∈=t t αα, 所以),2[1+∞∈t则161211414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S ，所以21=t ，即4πα=时，“蝴蝶形图案”的面积取最大值为21. 21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设是定义在D 上的函数，若对任何实数()y f x =(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数． （1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由. 【解析】（1）()()210f x x x=<不是C 函数， 说明如下(举反例)： 取13x =-，21x =-，12α=， 则()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()11111231022262f f f =-----=-++>， 即()()()()()121211f x x f x f x αααα+->+-， 所以()()210f x x x=<不是C 函数； （2）0M =时，对任何实数(0,1)α∈以及(0,)+∞中的任意两数1x 、2x ，有33311x x αα<，33311(1)(1)x x αα-<-，所以()33322223312112122(1)3(1)3(1)(1)x x x x x x x x αααααααα+-=+-+-+-3333331212(1)(1)x x x x αααα<+-<+-即()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-， 所以3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数； 而0M <时，取12M x =，20x =，12α=， 则311(1)022264M M f ⎛⎫⋅+-⋅= ⎪⎝⎭，311()(1)(0)22216M M f f +-=，由于0M <，所以336416M M >，故3,(,)y x x M =∈+∞不是定义域上的C 函数；综上，实数M 的最小值为0. （3）假设()y f x =是R 上的C 函数，若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠. （i ）若()()f m f n <，记1x m =，2x m T =+，1n mTα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-，那么()()()()()()121211f n f x x f x f x αααα=+-≤+-()()()()1f m f m T f m αα=+-+=，这与()()f m f n <矛盾； （ii ）若()()f m f n >， 记1x n =，2x n T =-，1n mTα-=-，同理也可得到矛盾； 所以()f x 在[)0,T 上是常数函数， 又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾.f x不是R上的C函数.所以()。
2020-2021学年上海市交通大学附属中学高二上学期期中数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年上海市交通大学附属中学高二上学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知曲线22:1C mx ny +=22(0)m n +≠.下列说法中不正确的是（ ） A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若0m n =>，则C 是圆，其半径为C ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线的方程为y = D ．若0,0m n =>，则C 是两条直线 答案B【分析】根据方程表示椭圆和双曲线的条件求解可得答案.解：对于A ，若0m n >>，则方程可化为22111x y m n+=，因为110n m>>，所以C 是椭圆，其焦点在y 轴上，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则CB 不正确； 对于C ，若0mn <，则C是双曲线，其渐近线的方程为y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则方程化为y =，C 是两条直线，故D 正确. 故选：B点评：关键点点睛：根据方程表示椭圆和双曲线的条件求解是解题关键.2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条答案C【分析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条. 解：由题意得：()()2214225AB =-++=∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切 ∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选C点评：本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知,OA OB OM AB ⊥⊥，则点M 的轨迹方程为（ ）A ．2220x y px +-= （原点除外） B ．2220x y py +-=（原点除外） C ．2220x y px ++= （原点除外） D ．2220x y py ++=（原点除外） 答案A【分析】当斜率存在时，由题意设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+，根据直线AB 与抛物线有两个公共点，且OA OB ⊥，整理可得2b kp =-，所以(2)y kx b k x p =+=-，又OM AB ⊥可得xk y=-，代入直线方程，可得2220(0)x y px y +-=≠，当斜率不存在时，设直线AB 的方程为0x x =，00(),M x ，解得02x p =，故点(2,0)M p ，满足方程2220x y px +-=，从而确定动点M 的轨迹方程.解：当斜率存在时，设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OMAB ⊥得x k y=-， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=，所以2122bx x k=，所以2212121212()2()()y y kx b kx b k x pbx kb x x kb =++=+++=， 由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k+=，所以2b kp =-，所以(2)y kx b k x p =+=-，把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠， 当斜率不存在时，设直线AB 的方程为0x x =，00(,)A x y ，00(,)B x y -， 由OMAB ⊥得点M 在x 轴上，即00(),M x ，OA OB ⊥，22000x y ∴-=，又点00(,)A x y 在抛物线上，故2002y px =，整理得02x p =，故点(2,0)M p ，满足方程2220x y px +-=，综上所述：动点M 的轨迹方程为2220x y px +-=（除原点外） 故选：A.点评：（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．4．已知⊙M：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=答案D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 解：圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.点评：本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题5．直线l 经过点(1,1)A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为_________（请写出一般方程）. 答案210x y --=【分析】由直线l 与直线230x y --=平行，可知直线l 的斜率，又直线l 经过点(1,1)A ，利用直线方程的点斜式可求得直线l 的方程.解：由直线l 与直线230x y --=平行，可知直线l 的斜率2k =， 又直线l 经过点(1,1)A ， 则直线方程为12(1)y x -=-， 整理得210x y --=. 故答案为：210x y --=6．设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为_________.答案【分析】由椭圆方程求出a ，再根据椭圆的定义可求得结果.解：由22153x y +=得25a =，所以a =，由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =.故答案为：7．已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =______. 答案6【分析】根据点A 到C 的焦点的距离为12，由抛物线的定义得到122A pAF x =+=，然后由点A 到y 轴的距离为9，得到9A x =求解.解：设抛物线的焦点为F ，因为点A 到C 的焦点的距离为12， 所以由抛物线的定义知122A pAF x =+=， 又因为点A 到y 轴的距离为9， 所以9A x =， 所以32p ，解得6p .故答案为：6.点评：本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.8．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为_________. 答案221x y -=【分析】根据直线l 过抛物线焦点和点(0,)b ，可知该直线斜率为b -，由双曲线的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，可求得1a b ==，从而得到双曲线方程. 解：双曲线的渐近线方程为by x a=±，抛物线24y x =的焦点为(1,0)， 所以直线l 过点(1,0)和(0,)b ，斜率为01b b -=--， 所以直线l 的方程为0(1)y b x -=--，即y bx b =-+， 因为直线l 与双曲线的一条渐近线平行，一条渐近线垂直，所以1b b a b b a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩，解得1a b ==，所以双曲线的方程为221x y -=， 故答案为：221x y -=9．已知直线l 的参数方程是1sin 62cos6x t y t ππ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是_________. 答案23π【分析】将直线l 的参数方程化简为普通方程求得斜率，再利用斜率与倾斜角的关系求解.解：化简参数方程得11222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去参数t得2y =， 所以直线l的斜率为因为倾斜角的范围是[0,)π所以倾斜角为2 3π.故答案为：23π10．设x、y满足约束条件10103x yx yx-+>⎧⎪+-≥⎨⎪⎩，则23z x y＝﹣的最小值是________.答案-6【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线23z x y＝-过可行域内的点A时，从而得到23z x y＝-的最小值即可．解：解：由23z x y＝-得233zy x=-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线233zy x=-，由图象可知当直线233zy x=-，过点A时，直线233zy x=-截距最大，此时z最小，由310xx y=⎧⎨-+=⎩得34xy=⎧⎨=⎩，即(34)A，，代入目标函数23z x y＝﹣，得23346126z⨯⨯＝-＝﹣＝-．∴目标函数23z x y＝﹣的最小值是﹣6．故答案为：6-点评：本题考查简单线性规划问题，属中档题．11．已知221:(2)1C x y+-=，222:(2)9C x y++=，动圆与1C，2C均外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.答案221(0)3x y y -=>【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过动圆与已知圆的位置关系列出方程求解即可． 解：已知圆221:(2)1C x y +-=和圆22(2)9x y ++=，得圆()110,2,1C r =，圆()220,2,3C r -=，设动圆圆心(),M x y ，因为与圆1C 和圆2C 都相切，所以121,3MC r MC r =+=+， 即2112(3)(1)24MC MC r r r r -=+-+=<=+，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支，其中1,2a c ==，所以点M 的轨迹方程为221(0)3x y y -=>.故答案为：221(0)3x y y -=>.点评：方法点睛：求轨迹方程的方法：定义法，直接法，相关点代入法，消参法，交轨法等.12．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.答案26米解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得0x =，故水面宽为 抛物线的应用13．设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________. 答案13【分析】根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.解：由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =，或213PF =经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =. 故答案为：13.14．已知x 、y 满足22236x y +=，则23x y +的最大值为_________.【分析】设23t x y =+，联立2223236t x yx y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，可得出关于x 的二次方程，利用0∆≥求出t 的取值范围，由此可求得结果.解：设23t x y =+，联立2223236t x yx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 可得22104180x tx t -+-=，则()()222164101824300t t t ∆=-⨯⨯-=⨯-≥，解得t ≤≤因此，23x y +15．已知点A 为(,0)y x x R x =∈>上一点，B 为y 轴上动点，C 为y x=上动点（,,A B C 三点不共线），则ABC 周长的最小值为_________.答案32【分析】设出(,)A m n ，作点A 关于y 轴的对称点(,)A m n '-，作点A 关于3y x =的对称点(,)A p q ''，根据对应关系求出A ''的坐标，根据中垂线的性质表示出三角形的周长，结合基本不等式的性质求出三角形周长的最小值即可．解：解：不妨先固定点(,)A m n ，作点A 关于y 轴的对称点(,)A m n '-，作点A 关于33y x =的对称点(,)A p q ''，则33232q np m n q m p-⎧=⎪-⎪⎨++⎪=⋅⎪⎩， 解得132312p m q n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即13312(2)m A n '-'，由垂直平分线的性质得ABC 的周长A B BC CA A A ''''''=++≥， 当且仅当,,,A B C A '''四点共线时取等号，而2213312222m n m m n A n A ⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪ ⎪ ⎪''' ⎪⎝⎭⎝⎭=22223333332222m m m n n n ⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝+⎪⎝⎭22224333232334+22333m m m m m =+=++≥⎛⎫+ ⎪ ⎪=⎝⎭ 当且仅当232m =时取等号，所以ABC 的周长的最小值为32故答案为：32点评：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数y =图像上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的取值范围是_________.答案1⎤+⎦【分析】由y =，表示圆224x y +=的上半圆，且()()1122,,,OA x y OB x y ==，根据12122OA OB x x y y ⋅=+=-，易得23AOB π∠=，设22(2cos ,2sin ),(2cos(),2sin())33ππA ααB αa ++，其中0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用两角和与差的三角函数和辅助角公式得到1212x x y y +++=)αφ--，再利用正弦函数的性质求解.解：函数y =224x y +=的上半圆，且()()1122,,,OA x y OB x y ==，12122OA OB x x y y ⋅=+=-，所以1cos 2||||OA AO OA OB B OB ⋅∠==-⋅，即23AOB π∠=，不妨设A 在B 的右边， 并设22(2cos ,2sin ),(2cos(),2sin())33ππA ααB αa ++，其中0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以1212222cos 2sin 2cos()2sin()33ππαααx x αy y =++++++++，2cos 2sin cos sin αααααα=+---+，(1(1)αααφ=++=--，其中tan 2ϕ==，ϕ为锐角，且3πφ＞，所以,3παφφφ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则sin()αφ-在0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调，所以1212)1x x y y αφ⎤+++=--∈⎦.故答案为：1⎤⎦点评：关键点点睛：本题关键点是将函数y =的图象转化为圆224x y +=的上半圆，利用三角换元，将问题质转化为三角函数的性质问题求解.三、解答题17．设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l的距离为（1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程.答案（1）4；（2）22195x y +=.【分析】（1）由题意可设直线l的方程为)y x c -，再利用点到直线的距离公式即可求解.（2）由（1）可得)2y x =-，联立方程)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消x ，求出两交点的纵坐标，再由222AF F B =得出两交点纵坐标的关系即可求解. 解：（1）由题意可得：直线l的方程为)y x c =-，()1,0F c -到直线l的距离为=2c =，∴椭圆C 的焦距24c =.（2）由（1）可得)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，10y <，20y>，联立)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22224330ab y y b ++-=，解得()2122223a y a b +=+，()2222223a y a b-=+，因为222AF F B =，所以122y y -=，即()()2222222222233a a a b a b+-=⋅++，解得3a =，又2c =，故b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=.点评：本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.18．已知点1F 、2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作垂直于x轴的直线在x 轴上方交上双曲线于点M ，且1230MF F ∠=，12MF F △的面积为（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线实轴右端点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值.答案（1）22124x y -=；（2）49. 【分析】（1）求出点M 的坐标，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出双曲线的方程；（2）设渐近线10l y -=的倾斜角为θ，可得tan θ=cos2θ的值，利用点到直线的距离公式求出1PP 、2PP ，利用平面向量数量积的定义可求得12PP PP ⋅的值.解：（1）设()2,0F c 、()()00,0M c y y >，则222c a b =+，将点M 的坐标代入双曲线的方程得220221y c a b -=，可得4202b y a =，00y >，20b y a∴=，22b MF a∴=，1230MF F ∠=，2MF x ⊥轴，所以，21222b MF MF a==，由双曲线的定义可得2122b MF MF a a -==，2b a ∴=，则223c a b a =+=，122221223432MF F b b c S c a a a=⨯⨯===△，2a ∴=，2b =， 因此，双曲线的方程为22124x y -=；（2）双曲线的两条渐近线为1:20l x y -=，2:20l x y +=， 易知()2,0P，渐近线1l 的倾斜角为θ，则tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin cos sin 1tan 3θθθθθθθθθ--∴=-===-++，21213PP PP ===+， 由平面向量数量积的定义可得()1212414cos 2339PP PP PP PP πθ⋅=⋅-=⨯=. 点评：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．19．如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB ，其中C 为半圆弧中点，渠宽AB 为2米.（1）当渠中水深CD 为0.4米时（D 为水面中点），求水面的宽;（2）若把这条水渠改挖（不准填上）成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时（精确到0.01米），所挖的土最少? 答案（1）1.6米；（2）1.15米.【分析】（1）本题实际上为求对应半圆上点的坐标：先建立直角坐标系，求出半圆弧ACB所在曲线方程：221(11,0)x y x y +=-≤≤≤．再根据水深CD 确定对应点纵坐标，代入圆方程求得横坐标，从而确定水面的宽度；（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，因此问题转化为求圆的切线：设切点 (cos ,sin )(0)2P θθθπ-<<，则切线EF 的方程为 cos sin 1x θy θ+=．从而可根据切线方程与两直线y ＝-1和y ＝0的交点坐标，求出对应等腰梯形的面积2sin 2cos S θθ+=，再根据辅助角公式求出S 取最大值时点的坐标，从而求出底面的宽度.解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，因为2AB =米，所以半圆的半径为1米， 所以半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤因为水深0.4CD =米，所以0.6OD =米， 在直角ODM ∆中，0.8DM ===米，所以2 1.6MN DM ==，故水面的宽为1.6米；（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两条腰必须和半圆相切， 设切点(cos ,sin )02πP θθθ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭是第四象限内半圆上的一点， 因为(cos ,sin )OP θθ=，所以切线方程为cos (cos )sin (sin )0θx θθy θ-+-=，即cos sin 1x θy θ+=，令0y =，得1,0cos E θ⎛⎫⎪⎝⎭，令1y =-，得1sin ,1cos θF θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直角梯形OCFE 的面积为S ，则1111sin 12sin ()1022cos cos 2cos 2θθπS CF OE OC θθθθ++⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⨯=⨯-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 2cos 2θS θ-=-)2θφ+=-，于是sin()1θφ+=≥-，解得2S ≥，取等号的条件为22S φS ==-=3πϕ=-，又sin()1θϕ+=-，所以6πθ=-，此时0E ⎫⎪⎭，1F ⎫-⎪⎪⎝⎭1.15≈米时，所挖的土最少. 点评：本题考查圆，圆的切线的应用，考查三角函数求最值以及取最值时角的取值，属于中档题.结论点睛：（1）()sin cos a b θθθϕ+=+，其中tan baϕ=； （2）圆的方程为()()222x a y b r -+-=，则圆上一点()00,x y 的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.20．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-.（1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.答案（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞；【分析】（1）设直线:2pMN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果；（3）设233,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可. 解：（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：221212121214316y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+=-=-（3）设233,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭ 则2334,24y AB y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，224343,4y y BC y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅=，即()()()()22234334342016yy y y y y --+--=由题意知：32y ≠，43y y ≠ ()()3432160y y y ∴+++=()4333316162222y y y yy ∴=--=--++++ ①当320y +<时，()43316222102y y y ≥⋅++=+ 当且仅当()331622y y -=-++，即36y =-时等号成立 ②当320y +>时，()4331622262y y y ≤-⋅++=-+ 当且仅当()331622y y -=-++，即32y =时取等号 又32y ≠ 46y ∴<-综上所述：存在点,B C ，使得AB BC ⊥；C 点纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞点评：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、向量数量积的运算、垂直关系的向量表示、存在性问题的求解等知识；求解存在性问题的关键是能够利用已知的等量关系将问题转化为关于某一变量的方程，通过方程求得结果；本题易错点是在运用基本不等式求最值时，忽略等号成立的条件，造成范围求解错误.21．如图，椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>中，长半轴的长度与短轴的长度相等，点(2,1)M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆相交于点,D E .当点M 恰好为线段AB 的中点时，10AB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2MB AM =，试求直线AB 的方程； （3）求AD EB ⋅的最小值.答案（1）221123x y +=；（2）4(2)17y x ⎛=++ ⎝⎭；（3）165. 【分析】（1）由长半轴与短轴关系有2a b =，根据()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上及M 为线段AB 的中点，即可求得直线1l 的方程，联立椭圆方程求参数2b ，写出椭圆方程即可.（2）设直线AB 的方程为(2)1(0)y k x k =++≠，根据直线与椭圆的关系联立方程，应用韦达定理有1212,x x x x +，结合已知2MB AM =应用向量数乘的坐标表示有1226x x +=-，即可的12,x x 关于k 的表达式，进而求得k 值，写出直线AB 的方程；（3）根据向量的数量积的坐标表示可得()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++，利用基本不等式求其最小值.解：（1）∵长半轴的长度与短轴相等，有2a b =，∴椭圆的方程为222214x y b b+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则22211222224444x y b x y b⎧+=⎨+=⎩，两式相减，得()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，又(2,1)M -为线段AB 中点，即12124,2x x y y +=-+=，∴直线AB 的斜率1211212y y k x x -==-，所以直线AB 的方程为122y x =+，由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得224820x x b ++-=，由0∆>得22b >，则212124,82x x x x b +=-=-，∴12||AB x x =-==23b =，∴椭圆C 的标准方程为221123x y +=；（2）设直线AB 的方程为(2)1(0)y k x k =++≠，由221123(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩得()222148(21)4(21)120k x k k x k +++++-=， 所以21212228(21)4(21)12,1414k k k x x x x k k-++-+==++， 因为2MB AM =，2211(2,1),(2,1)MB x y AM x y =+-=---， 所以2122(2)x x +=--，即1226x x +=-， 所以1126x x x ++=-，即128(21)614k k x k-++=-+， 所以2221221686248861414k k k k k x k k +---+-==++， 所以22222221688868166141414k k k k k k x k k k---+---+=-=+++， ∴综上有()222122224441128868166141414k k k k k k x x k k k ++--+---+=⋅=+++，即()()()()222288681661616814kk k k k k k -+---+=+-+，展开化简得432432646412814436646416168k k k k k k k k +-+-=+-+-， 所以221281443616168k k k k -+-=-+-，即2283270k k -+=，解得4157k =±∴直线AB的方程为4(2)17y x ⎛=++ ⎝⎭.（3）设()()3344,,,D x y E x y ，则()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-，∵()()()()()21122122,12,1122x y x y k x x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +=-++++=⎡⎤⎣⎦+，同理()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+，∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++= ⎪++++⎝⎭()222222011651442k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时取等号，点评：关键点点睛：（1）利用椭圆长短轴数量关系，中点坐标及直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式求椭圆参数，并写出方程.（2）设直线AB 的方程，联立椭圆方程，并根据已知条件应用向量的坐标表示，得到12,x x 关于k 的表达式，建立方程求k 值.（3）由向量数量积的坐标表示得到关于k 的表达式，利用基本不等式求最值.。
上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期摸底考试数学试题
上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．不等式2120x x ---<的解集为 .2．设53()7f x ax bx cx =+++（其中a 、b 、c 为常数，x ∈R ），若(2011)17f -=-，则(2011)f =________3．若(1)1lim 2n a n n a→∞++=+，则实数a =________ 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知35a =，59a =，则7S =________5．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且222212n n a a a ++=，22a =，则1a =________6．已知2sin 3x =，(,)2x ππ∈，则x =________（用反三角函数表示）7．设0a >， 0b >3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为________ 8．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()f x f x x --<0的解集为________.9．已知()cos()3f x x πω=+的图像与1y =的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x =的图像，最少需要把sin()y x ω=的图像向左平移________个单位10．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12<b b ，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ．11．如图，已知扇形的圆心角为2α(0)4πα<<，半径为R ，则扇形的内接矩形面积的最大值为________12．已知函数11()f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b ∈R ）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．二、单选题13．“1a >”是“11a <”的（ ）条件 A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要14．在ABC ∆中,若()()3a b c a b c ab +++-=,且sin 2sin cos C A B =,则ABC ∆是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形,但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形,但不是等腰三角形 15．若集合(){|lg 21}A x x =-<，集合1{|28}2x B x =<<，则A B =（ ） A ．()1,3- B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()2,316．数列{}n a 满足13a =，且对任意n ∈*N ，11n n n a a a +-=，n A 表示{}n a 前n 项之积，则2017A =（ ）A ．3-B ．23C ．3D ．12-三、解答题17．若函数2()sin ())()2f x x x cos x πωωω=+的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.18．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数． （1）求,a b 的值；（2）已知()f x 在定义域上为减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()2220(f t t f t k k -+-<为常数）恒成立,求k 的取值范围.19．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上．（1）求r 的值；（11）当b =2时，记1()4n nn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前项和． 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1n n S pS q +=+（p 、q 为常数，*n ∈N ），又12a =，21a =，33a q p =-.（1）求p 、q 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数m 、n ，使1221mn m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由.21．已知函数()f x 的定义域为[0,1]，若函数()f x 满足：对于给定的T (01)T <<，存在[0,1]t T ∈-，使得()()f t T f t +=成立，那么称()f x 具有性质()P T .（1）函数()sin f x x =([0,1])x ∈是否具有性质1()4P ？说明理由； （2）已知函数131,0312()62,33234,13x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩具有性质()P T ，求T 的最大值； （3）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，满足(0)(1)f f =，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n ，使得函数()f x 具有性质1()P n，若存在，求出这样的n 的取值集合；若不存在，请说明理由.参考答案1．(1,1)-【详解】 解：因为22212021|2(21)(2)x x x x x x ---⇔-<-⇔-<-23311x x ⇔<⇔-<<2．31【解析】∵()537f x ax bx cx =+++ (其中a ,b ,c 为常数,x ∈R ),f (−2011)=−17， ∴f (2011)=a ⋅20115+b ⋅20113+c ⋅2011+7f (−2011)=a (−2011)5+b (−2011)3+c (−2011)+7∴f (2011)+f (−2011)=14,∴f (2011)−17=14∴f (2011)=14+17=31.故答案为31.3．1【解析】分式类极限的逆向思维问题，注意到同次的分式极限值为最高项系数比，则有121a a +=⇒=．4．49【详解】等差数列中，∵35a =，59a =，∴S 7=72 (a 1+a 7)=72 (3a +5a )=72(5+9)=49， 故答案为49.点睛：等差数列的基本运算题目有两种处理方式：第一种转化为基本量问题（首项和公差）；第二种巧解，利用等差数列的重要性质处理.5【解析】n =1时，a 2⋅a 4=2(a 2)2，∵a 2=2，∴a 4=4，∵等比数列{a n }的公比为正数，∴q ，∵a 2=2，∴1a =6．2arcsin3π- 【解析】 ∵2sin 3x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2 arcsin 3x π=-. 故答案为2arcsin 3x π=- 7．43a 与23b 的等比中项，所以223321a b a b =⋅⇒+=，又因为0,0a b >>，所以()212142448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =是等号是成立的，所以21a b +的最小值为8.8．(－1，0)∪(0，1)【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，进而求得结果. 【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数. 因为()()f x f x x --＝2·()f x x<0， 即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故答案为：(－1，0)∪(0，1).【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.9．512π 【详解】∵()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的最大值为1，其图象与y =1的图象的两相邻交点间的距离为π，令ω>0，∴函数y =f (x )的周期T =2πω=π， ∴ω=2；∴f (x )=cos(2x +3π)=sin[(2x +3π)+π2]=sin2(x +512π) ∴要得到y =f (x )的图象，只需把y =sin2x 的图象向左移动512π个单位长度单位， 故答案为512π10．3+【详解】设等差数列的公差为，由12a a <可知为正数，∵是等比数列，∴，又∵2(1,2,3)i i b a i ==， ∴或2111()(2)a d a a d +=-+，若2111()(2)a d a a d +=+：则不合题意，舍去，若2111()(2)a d a a d +=-+，则，，化简得， 经检验，由，故舍去， ∴.11．21tan 2R α 【详解】设∠MOQ =x ，则MQ =R sin x在△OMN 中,()MN sin 2x α-=()sin 1802R α︒-,∴MN =()Rsin 2αx sin2α- ∴矩形面积S =()2sin 2αx sinxsin2R α- =22sin2R α [cos(2x −2α)−cos2α]⩽2R 2sin2α[1−cos2α]=21tan 2R α， 当且仅当x =α时,取得最大值,故矩形面积的最大值为21tan 2R α， 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.12．(4,2)--【详解】 因为11()()f x x x f x x x-=-+---=--， 所以函数()f x 为偶函数，只需研究(0,)+∞上根的情况，当1x >时，2()f x x=； 当01x <≤时，()2f x x =. 要使方程2()()0f x a f x b ++=（,a b ∈R ）恰有6个不同实数解，需使方程20t at b ++=（,a b ∈R ）恰有2个不同实数解，其中一根为2，另一根在区间(0,2)内，所以42,022b a a =--<--<，即a 的取值范围是(4,2)--.13．B【解析】 由11a<，解得：a 0a 1，或， ∴“1a >”是“11a <”的充分不必要条件 故选B14．A【详解】222()()3;a b c a b c ab a b c ab +++-=⇒+-=则22201cos ,60;22a b c C C ab +-==∴= sin 2sin cos sin()2sin cos sin cos cos sin C A B A B A B A B A B =⇒+==+即sin()0,;A B A B -=∴=为等边三角形，故选A15．D【详解】A={x|lg （x-2）＜1}={x|lg （x-2）＜lg10}={x|2＜x ＜12}，B={x|＜2x ＜8}={x|2-1＜2x ＜23}={x|-1＜x ＜3}，∴A∩B={x|2＜x ＜3}故选D ．16．C【解析】由题意得,13a =,1 1n n n a a a +-=,∴1n a +=1−1n a ， 则a 2=23,a 3=−12,a 4=3，…， ∴数列{}n a 是以3为周期的数列,且a 1⋅a 2⋅a 3=3×23×(−12)=−1， ∵2017=672×3+1,∴2017A =( a 1⋅a 2⋅a 3)672⋅a 1=(−1)672⋅3=3， 故选：C.点睛：本题借助数列考查函数的周期性，通过归纳猜想得到数列的周期性，从而把问题转化为前三项的问题.17．（1）1ω=；（2）[4,43]k k ππππ++()k ∈Z .【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、和差角公式化简函数式，然后利用公式求ω的值；（2）利用图象变换知识得到g(x) =sin2x +12.，令2kπ+2π≤2x ≤2kπ+3π2（k ∈Z ）得到单调减区间. 试题解析：由()()()2sin 2f x x x cos x πωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=sin 2=1cos2ωx 2-+2sin2ωx=2sin2ωx -12cos2ωx+12 =sin(2ωx -π6)+1 2. 因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω＞0， 所以2π2ω=π， 解得ω=1.（2）将函数y=f(x)的图象向左平移12π个单位，得到函数f(x+12π)的图象， 再将所得图形各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=f(x 4+12π)，即函数y=g(x)的图象. 由（1）知f(x)=sin(2x-2π)+1 2， 所以g(x)=f(x 4+12π)=sin[2(x 4+12π)-π6]+1 2=sin 2x +12. 令2kπ+2π≤2x ≤2kπ+3π2（k ∈Z ）， 解得4kπ+π≤x≤4kπ+3π（k ∈Z ），因此函数y=g(x)的单调递减区间为[4kπ+π，4kπ+3π]（k ∈Z ）.18．解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0， 即111201,().2222xx b b f x +--=⇒=∴=++………………………3 （2）由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++，………………………5 设12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++. 因为函数y=2x 在R 上是增函数且12x x <， ∴2122x x ->0.又12(21)(21)x x ++>0 ，∴12()()f x f x ->0，即12()()f x f x >，∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.另法：或证明f′(x)0 (9)（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式 22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， (3)因为()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-．即对一切t ∈R 有2320t t k -->， 从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<- (13)【解析】定义域为R 的奇函数()00f =，得b=1，在代入1，-1，函数值相反得a; ()()22220f t t f t k -+-<()()()()22222222f t t f t k f t t f t k ∴-<--∴-<-+,通常用函数的单调性转化为自变量的大小关系．（1）()f x 是奇函数，∴()00f =，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 即102b a -+=+∴1b =∴()1212x x f x a+-+=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分()()11f f =--∴1121241a a-+-+=-++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ∴2a =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分（2）由（1）知由上式易知()f x 在R 上为减函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分又因为()f x 为奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<， 等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ()f x 为减函数∴2222t t t k ->-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分即对一切t R ∈都有2320t t k -->┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分∴4120k ∆=+<∴13k <-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 19．（1）1r =-（11）13322n n n T ++=- 【解析】因为对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+， 当1n =时,11a S b r ==+，当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，又因为{n a }为等比数列，所以1r =-，公比为，所以． （2）当b =2时，11(1)2n n n a b b --=-=，111114422n n n n n n n b a -++++===⨯，则234123412222n n n T ++=++++， 3451212341222222n n n n n T +++=+++++， 相减，得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-， 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--， 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-． 20．（1）12p =，2q ；（2）212n n a -=； （3）存在符合条件的所有有序实数对：(1,1)、(2,1)、(2,2)、(3,2)、(3,3)、(3,4).【解析】试题分析：（1）利用1n n S pS q +=+，n 取1，2，可得方程组，即可求p 、q 的值；（2）利用和式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列{a n }的通项公式；（3）先求和，再化简不等式，确定m 的取值，即可求得所有符合条件的有序实数对（m ，n ）． 试题解析：（1）由题意，知，解之得（2）由（1）知，S n +1=S n +2，①当n ≥2时，S n =S n ﹣1+2，②①﹣②得，a n +1=a n （n ≥2）， 又a 2=a 1，所以数列{a n }是首项为2，公比为的等比数列，所以a n =．（3）由（2）得，=，由，得，即，即，因为2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，①因为m∈N*，所以m=1或2或3．当m=1时，由①得，2＜2n×3＜8，所以n=1；当m=2时，由①得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；当m=3时，由①得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．21．（1）不具有；（2）12；（3）*{|,2}n n n∈≥N.【详解】（1）函数f（x）=sinx（x∈[0，1]），不具有性质P（14）证明如下：对任何t∈[0，1﹣14]=[0，]，均有0≤t≤t+14≤1由于函数f（x）=sinx，在x∈[0，1]上单调递增∴f（t）＜f（t+14）所以，函数f（x）=sinx（x∈[0，1]不具有性质P（14）（2）T的最大值为12．求解如下：∵f（12）=f（1）=﹣3×1﹣4=1，又f（12）=6×12﹣2=1∴f（t+12）=f（t）在t∈[0，1﹣12]上有解，t=12因此，f（x）具有性质P（12），从而T可取到12下证：12＜T＜1不可能出现．首先，当x∈（0，13]时，f（x）=﹣3x+1＜1，当x∈（13，12）时，f（x）=6x﹣2＜6×12﹣2=1即，当x∈（0，12）时，均有f（x）＜1，同理可得，当x∈（12，1），均有f（x）＞1．假设12＜T＜1，那么，当t∈[0，1﹣T]时①若t=0，则f（t）=f（0）=1，又t+T=T∈（12，1），所以f（t+T）=f（T）＞1，即f（t+T）＞f（t）②若t∈（0，1﹣T] （0，12），则f（t）＜1，又t+T∈（T，1），注意到12＜T＜1，故f（t+T）＞1，故f（t+T）＞f（t）这就是说，如果12＜T＜1，那么，当t∈[0，1﹣T]时，均有f（t+T）＞f（t），即f（t+T）=f（t）均不成立综上所述，T的最大值为1 2（3）任取n∈N+，n≥2，设h（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，则有h（0）=f（）﹣f（0）h（）=f（）﹣f（）h（）=f（）﹣f（）…h（）=f（）﹣f（）…h（）=f（1）﹣f（）以上各式相加得h（0）+h（1n）+f（）+…+h（）+…+h（）=f（1）﹣f（0）=0，即h（0）+h（1n）+f（）+…+h（）+…+h（）=0当h（0），h（1n），f（），…，h（）中有一个为0时，不妨设为h（）=0，这里i∈{0，1，2，…，n﹣1}，而0=h（）=f（+）﹣f（），即f（+）﹣f（）=0推得f（+1n）=f（）故函数f（x）具有性质P（1n）（n∈N+，n≥2）当h（0），h（1n），f（），…，h（）均不为0时，因为其和为0，所以必然存在正数与负数，不妨设h（）＞0，h（）＜0，（i＜j，i，j∈{0，1，2…，n﹣1}）由于h（x）的图象也是连续不断的曲线，故，至少存在一个t∈（，）使得h（t）=0，即f（t+ 1n）﹣f（t）=0．亦即f（t+1n）=f（t），故函数f（x）具有性质P（1n）（n∈N+，n≥2）综上所述，存在正整数n，且n的取值集合是{n|n∈N+，n≥2}．点睛：做这类信息迁移题，一是要按照给定的定义，把已知的函数代入进去进行尝试，二是要注意函数的值域和定义域要满足条件，三是要考虑函数的性质（特别是单调性奇偶性等），四是合理构造新函数或者新等量关系转化问题．。
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．复数z 满足1i z ⋅=，则Im z =_________. 2．抛物线24y x =的焦点坐标是_______．3．若12a i z ⎛⎫= ⎪⎝⎭（i 为虚数单位，0a >）且3z =，则a 的值为_________.4．直线223x ty t=+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.5．若方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为_________.6．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，且过点A ，则双曲线的方程是_________. 7．点P 为直线3440x y ++=上的动点，点Q 为圆22:2440C x y x y +--+=上的动点，则PQ 的最小值为_________.8．已知12F F 、是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为4，则b =_________. 9．已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________. 10．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．12．如图，已知椭圆22:194x y Γ+=和圆222:()0O x y r r +=>，设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交于椭圆Γ于,B C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r =_________.二、单选题13．设z 为非零复数，则“1z z+R ∈”是“1z =”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（ ）A ．1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭ B ．1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭ C ．1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭D ．1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭15．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B 、两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．曲线22:1045x y ⎛Γ--=⎝，要使直线()y m m R =∈与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()3,3-C ．553,,333⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．55553,,,33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、解答题17．已知实系数一元二次方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一根为2i -（i 为虚数单位），另一根为复数z .（1）求复数z ，以及实数,a b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记22λλλλ-、、在复平面上对应点分别为、、A B C ，求()OA OB OC +⋅的值.18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆2211x y m mΓ+=+：，过点(1,0)D -的直线:(1)l y k x =+与椭圆Γ交于M N 、两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ； （1）当1m =且1k =时，求点M N 、的坐标；（2）当2m =时，设,EM DM EN DN λμ==，求证：λμ+为定值，并求出该值.20．设抛物线22(0)y px p Γ=>：，00(,)D x y 满足2002y px >，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y .（1）求证：直线11()yy p x x =+与抛物线Γ相切；（2）若点A 坐标为(4,4)，点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标；（3）设点D 在直线0x p +=上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；21．已知椭圆2211612x y Ω+=：.双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长. （1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A B 、两点，求OAB ∆的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中为,k m 整数）与椭圆Ω交于不同两点A B 、，与双曲线Γ交于不同两点C D 、，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.参考答案1．1- 【解析】 【分析】求出复数z ，然后找出其虚部即可. 【详解】因为1i z ⋅=，故1z i i==- 故Im z =1-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题. 2．10,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标. 【详解】由24y x =得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴上，且112,4216p p ==，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题. 3．1 【分析】由行列式的计算可得复数z ，再根据3z =a . 【详解】因为12a i z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2z a i =-，则()()()()332322414286121z a i a aia i aa a i =-=---=---故3z ==整理得3216123310a a a ++-=分解因式可得()()211628310a a a -++=对21628310a a ++=，因0<，故无实数根.故此方程只有一个实数根，解得1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题考查复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题. 4．12arctan 【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角. 【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan . 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题. 5．5(,1)(,)2-∞+∞ 【分析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可. 【详解】因为方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示双曲线故()()1520k k --<，即()()1250k k --> 解得()5,1,2k ⎛⎫∈-∞⋃+∞⎪⎝⎭. 故答案为：()5,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲线方程的特点. 6．2291y x -= 【分析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程，待定系数即可. 【详解】因为双曲线的渐近线为3y x =±，且过点A不难判断，点A 在直线3y x =±的上方，故该双曲线的焦点在y 轴上.设双曲线方程为22221y x a b-=，则221013,1a b a b =-=，解得13b =，1a =，则双曲线的方程为2291y x -=. 故答案为：2291y x -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置. 7．2 【分析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求. 【详解】由圆的方程22:2440C x y x y +--+=，可得圆心为()1,2,12r ==.因为圆心到直线的距离31d r ==>=，故直线与圆相离，则312min PQ d r =-=-=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题. 8．2 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得. 【详解】因为12PF PF ⊥，故1290F PF ∠=︒； 由椭圆中焦点三角形的面积公式可得212tan 2F PF S b ∠= 即22445b tan b =⨯︒=，解得2b = 故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题. 9．18【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案. 【详解】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直, 则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18,故答案为：18【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.10．2【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可. 【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,2OP OQ cos sin cos θθθθ⎛⋅=⋅= ⎝⎭()θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()2maxOP OQ⋅=.故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.11．－1 【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA === 令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质. 12．65【分析】根据一般的结论，取特殊的点()0,2A ，结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果. 【详解】因为A 为椭圆上任意一点，都满足题意， 故设A 点坐标为()0,2，设()(),,,B m r C m r ---. 则点B 满足椭圆方程，即可得224936m r +=① 直线AB 方程为22ry x m+=-+ 因为该直线与圆相切，r=②联立①②，消去m可得：2536360r r-+=故解得65r=或6r=因为当6r=时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意，故65r=.故答案为：65.【点睛】本题考查椭圆与圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段.13．B【分析】设出复数z，对1zz+R∈”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可.【详解】设,(,z a bi a b=+不能同时为0)，则1zz+=2222221a bi a ba bi a bi ab ia bi ab a b a b-⎛⎫⎛⎫++=++=++-⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭又1z=1=，即221a b+=若1zz+R∈，则22bba b=+，解得0b=或221a b+=，不一定满足221a b+=，故充分性不成立；若1z=，即221a b+=，则一定有22bba b=+，即1zz+R∈，故必要性成立.综上1zz+R∈是1z=的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题. 14．D 【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择. 【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故1z ≤； 又复数对应点的纵坐标大于等于12，故其虚部大于等于12. 综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题. 15．A 【分析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断. 【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为()1,0.若直线的斜率不存在，则,A B 两点关于焦点对称，故满足122x x +=； 若直线的斜率不存在，设直线方程为()1y k x =-联立抛物线方程24y x =，可得()2222240k x k x k -++=设()()1122,,,A x y B x y ，故212222442k x x k k ++==+，不可能等于2， 故此时不存在满足题意的直线. 综上所述，满足题意的直线只有1条. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题. 16．C【分析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题. 【详解】对方程：221045x y ⎛--=⎝ 等价于当2290x y +->时，22145x y -=，或2290x y +-=故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线12,l l 即为满足题意的直线；不妨联立方程22145x y -=与2290x y +-=解得2259y =，即可得53y =±， 由图容易知当5,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或53,3m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 直线y m =与曲线有4个交点. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题. 17．（1）2,0,4z i a b ===（2）2- 【分析】（1）将2i -代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数z ；（2）求出平方根λ，再求出22λλλλ-、、对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为2i -是方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一个根，故()()2220i a i b -+⨯-+= 整理得240ai b +-= 故可得20,40a b =-=， 即0,4a b ==故原方程等价于()2242x i =-=± 故方程的另一个根2z i = 综上所述：2,0,4z i a b ===.（2）设a bi λ=+，则22222a b abi i λ=-+= 即可得22,1a b ab ==解得1,1a b ==或1,1a b =-=-不妨取1i λ=+（另一解也有相同的结果）， 则222,1i i λλλ=-=- 故()()()1,1,0,2,1,1A B C -则()()()1,31,1132OA OB OC +⋅=⋅-=-=-.故()2OA OB OC +⋅=-.【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18．（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；（2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题. 19．（1）41(0,1),(,)33M N --（2）证明见详解；定值为3 【分析】（1）根据条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，将λμ+的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果. 【详解】（1）当1m =且1k =时，联立直线1y x =+与椭圆方程2212x y +=可得2340x x +=，因为M 点在N 点的右侧， 故解得40,3M N x x ==-代入直线方程可得11,3M N y y ==-故,M N 两点的坐标分别为()410,1,,33M N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. （2）当2m =时，椭圆方程为22132x y +=联立直线方程()1y k x =+， 可得()2222236360kxk x k +++-=设()()1122,,,M x y N x y则22121222636,2323k k x x x x k k-+=-=++ 对直线方程()1y k x =+，令0x =，解得y k = 故点E 的坐标为()0,k .因为,EM DM EN DN λμ==即可得()()1111,1,x y k x y λ-=+，()()2222,1,x y k x y μ-=+ 则1212,11?x xx x λμ==++ 121212121212211?1x x x x x x x x x x x x λμ+++=+=+++++ 2222222222366122232323343661232323k k k k k k k k k k ⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭+===---++++， 故λμ+为定值，定值是3. 【点睛】本题考查直线与椭圆交点坐标的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是对韦达定理的熟练应用，属基础题.20．（1）证明见详解；（2）1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）是，(),0p 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，由0=，即可证明；（2）根据点A 在抛物线上解得p ，进而写出D 点坐标，再根据点B 既在直线()222yy x x =+上，又在抛物线上，联立方程组即可求得B 的坐标；（3）写出直线AB 的方程，根据过点A 和过点B 的直线交于点D 得到的结论，整理化简直线方程，即可求得AB 恒过的定点. 【详解】（1）联立直线11()yy p x x =+与抛物线方程22y px =，消去x可得211102y y y px -+= 故2112y px =-，因为点()11,A x y 在抛物线上，故21120y px =-=则直线11()yy p x x =+与抛物线22y px =只有一个交点又因为0p >，故该直线不与x 轴平行， 即证直线11()yy p x x =+与抛物线相切.（2）因为点()4,4A 在抛物线22y px =上，故可得1624p =⨯，解得2p =由（1）可知过点A 的切线方程为()11yy p x x =+，即240x y -+= 又抛物线的准线方程为1x =-，故令1x =-，解得32y =， 即点D 的坐标为31,?2⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为过点()22,B x y 的切线方程为()222yy x x =+，其过点31,?2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭故可得()223212y x =-+，又因为点()22,B x y 满足抛物线方程， 故可得2224y x =，联立方程组可得222340y y --=解得221,4y y =-=（舍去，与A 点重合），214x =， 故点B 的坐标为1,14⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）由（1）得过A 点的切线方程为()11y y p x x =+令x p =-，可解得211p px y y -+=过B 点的切线方程为()22y y p x x =+令x p =-，可解的222p px y y -+=因为两直线交于点D ，故可得221212p px p px y y -+-+= 整理得()211212x y x y p y y -=- ①当过,A B 两点的直线斜率存在，则设其方程为：()211121y y y y x x x x --=--整理得2121122121y y x y x yy x x x x x --=+--，将①代入可得故直线方程为()()122121212121p y y y y y y y x x p x x x x x x ---=+=----故该直线恒过定点(),0p ;当过,A B 两点的直线斜率不存在时，1212,x x y y ==-，代入①可得12x x p ==过此时直线1:AB x x p ==，也经过点(),0p 综上所述，直线恒过定点(),0p ，即证. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线中直线恒过定点的问题，属综合性中档题；在本题中，要注意利用第一问中的结论去解决第二问和第三问.21．（1） 221412x y -= （2） （3）存在，9【分析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可； （2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理； （3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出,k m 的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,k m 之间的关系，从而利用,k m 是整数，对结果进行取舍即可. 【详解】（1）对椭圆2211612x y Ω+=：，因为22222116,124a b c a b ===-=，，故其焦点为()2,0±，椭圆的长轴长为28a =.设双曲线方程为22221x y m n-=，由题可知：28m a ===，解得212n =.故双曲线的方程为：221412x y -=.（2）因为直线AB 的斜率显然不为零，故设直线方程为3x my =+，联立椭圆方程2211612x y +=可得()223418210m y my ++-= 设交点()()1122,,,A x y B x y ， 则1212221821,3434m y y y y m m +=-=-++ 则1212y y y y +=-====234m =+ 又1212OABSOE y y =⨯⨯+故213234OABSm =⨯⨯+=(,t t =≥，解得2217344mt =-故211199344442OABt St t t ==≤=++当且仅当944t t =时，即3,t m ==.故OAB ∆的面积的最大值为（3）联立直线y kx m =+与椭圆方程2211612x y += 可得()2223484480k x kmx m +++-=()()2222644344480k m k m =-+->整理得2216120k m -+> ①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y 故可得122834km x x k +=-+ ② 同理：联立直线y kx m =+与双曲线方程221412x y -= 可得()22232120k x kmx m ----=()()2222443120k m k m =+-+>整理得224120k m --< ③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,C x y D x y 故可得34223km x x k +=- ④ 要使得0AC BD +=即可得()()31314244,,x x y y x x y x --=--故可得1234x x x x +=+ 将②④代入可得2282343km km k k -=+- 解得0km =.综上所述，要满足题意，只需使得： 2222412041200,k m k m km k Z m Z⎧--<⎪--<⎪⎨=⎪⎪∈∈⎩故当0k =时，m 可以取得0,1,2,3±±±满足题意；即直线方程可以为0,1,2,3y y y y ==±=±=±当0m =时，k 可以取1±满足题意.即直线方程可以为y x =±故存在这样的直线有9条，能够使得0AC BD +=.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.。