运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院§1.4 质点运动定律

1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系

着重明确:

力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）.

JLU 物理与光电工程学院3. 牛顿第三定律

两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上.

2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.

JLU 物理与光电工程学院4. 力的独立作用原理:

如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响.

m F a 11r r =m F a 22r r =m F a n n r r =…

a a a a r

L r r r +++=21n

a m a m a m a m r L r r r +++=21∑=+++=i

n F F F F r r L r r 21),,(t r

r F r m i &r r r &&r ∑=力的独立作用原理指出, 力不可以是加速度的函数.

JLU 物理与光电工程学院5.经典力学中的力

1）在牛顿力学中, 力由牛顿第二定律定义. 牛顿第二、第三定律指出: 力是物体间的相互作用, 力的动力学效果是使受力质点产生加速度.

2）万有引力定律: 任何两质点间均存在相互作用引力, 方向沿两质点连线, 大小为: 2

/r m Gm F =3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观

（1）力学相对性原理:对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的.

JLU 物理与光电工程学院（2）经典力学时空观：经典力学中认为时间和空间都是均匀的、各向同性的；时间和空间是互相独立的；空间距离和时间间隔是绝对的，和参考系的选取无关，不因参考系的运动而变化.经典力学时空观又称绝对时空观.

（3）伽利略变换：伽利略变换是力学相对性原理和经典力学时空观的集中体现

'o v v v r r r ?='

'o v v v r r r +=a

a r r ='????

?===?=t t z z y y t v x x o '''''或???????===+='

'''''t t z z y y t v x x o

JLU 物理与光电工程学院§1.5 质点运动微分方程

一、微分方程建立

1. 自由质点的运动

限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为自由质点。)

,(),;(为已知且为合力F t r r F r m r

&v r r &&r =1) 直角坐标系:

()()()???

??===t z y x

z y x F z m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x ,,,,,,,,,,,,,,,,,,&&&&&&&&&&&&&&&三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：

可解得质点的运动规律。

r r r r t &r &r r r ===,,0时

JLU 物理与光电工程学院2)平面极坐标:

若质点在xOy 平面上运动:

??==y x F y m F x m &&&&()()?????=+=?),,,,(2),,,,(t r r F r r m t r r F r r m r

θθθθθθθθ&&&&&&&&&&&&或2. 非自由质点的约束运动

若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力.

一般采用自然坐标系.

F r m r r &&r +=主质点运动的约束微分方程：

JLU 物理与光电工程学院1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内

????

????+=+==)

3(0)2()1(2

b b n n R F R F v m

F dt

m ρ

τ(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解. b

τn 2) 非光滑约束

(1)(2)0(3)n n b b dv m F R dt v m

F R F R ττρ

?=+???

=+???=+??

222

2b n b n N R R R R R R R R ++=

+==ττμμ4个方程4个未知数,可解

JLU 物理与光电工程学院二、运动微分方程求解

两类基本问题：1)已知运动求力

2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。解体步骤：1）作图，受力分析;

2）写出方程，选坐标系投影;3）积分求解，分析解的物理意义.

JLU 物理与光电工程学院设沿x 轴的电场强度为：()

θω+=t E E x cos 0电子所受的力则为：

()

θω+?=?=t eE eE F x cos 0根据牛顿运动定律，电子运动的微分方程为：

()θω+?==t eE dt dv m dt

d m cos 022

1. 力仅是时间的函数,F =F (t )

例:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动

JLU 物理与光电工程学院()θω+?==t eE dt dv m dt

d m cos 022

设起始条件是：当t = 0 时，0v v =上式积分一次得：

()θωω

θω+?+=t m eE m eE v v sin sin 0

JLU 物理与光电工程学院振荡项与电场具有相同的角频率，且与初始条件

无关。非振荡项与起始条件有关，对波的传播特性无贡献，只能影响波到达的前沿位置。

ω()θωω

θωωθ++???

???++?=t m eE t m eE v m eE x x cos sin cos 2

000200上式积分一次得：

0x x =设起始条件是：当t = 0 时，()θωω

θω+?+=t m eE m eE v v sin sin 0

00dt

v =

JLU 物理与光电工程学院讨论:该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似

1) 为振荡项,电子在电场的作用下的受迫振动,产生电磁波,对电磁波的传播有贡献;

2) 其余部分描述电子的匀速直线运动, 对电磁波的传播没有贡献,仅给出电子的细致运动;3) 可以证明(在高频下)电离层中:

)cos(02

θωω

+t m eE 1

),(112

<+=?=r

r e e r e c

v n m ne

εμχχεωχ相速为电极化率为电子密度

因此,任何入射到电离层的电磁波都可以折回到地面,当

ω>>1时χe ~0, 即,微波可以通过电离层.

JLU 物理与光电工程学院2. 力仅是速度的函数F =F (v )

1) 研究质点重力场中考虑阻力的运动概述：普物中忽略阻力(零级近似):

/cos 2tan 2/sin cos :22

20020000gt h y x v g g y gt t v y t v x ?=?=?

???==自由落体

抛体θθθθ但速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂, 阻力的大小与物体的大小有关。详细研究是腔外弹道学. 一级近似, 抛体视为质点, 阻力R =-b v g m v b g m R dt

v d m r r r v v +?=+=运动方程:mg bv dv m bv dt dv m

x x

??=?=投影方程:

(1)(2)y

x P O

mg R v

JLU 物理与光电工程学院t m

b x x

x x x t m

b x x x x e

v dt

v v C v v t e

C v C t m b v dt m b

v dv ??===?===+?

=??=001011,0ln ln 时)

4()1)(()(:

mg e mg v m x b

mg e b mg v dt dy v t m

b t m

y y ??+=?

+==??类似地)

3()

1(0,0:0

t m

b x x t m

b x e b

v x b

m v C x t C

e b

m v x ?

??==?==+?=时再积分

JLU 物理与光电工程学院)1ln()()ln()(0

0002

2000x v y x x x v y x mv bx b g m x v v

bv mg bx mv mv b

m x v v bv mg y ?++=??+=(3)合(4)消去t得轨道方程:

L L L L

L ????=???=????++=?+?=+<<3

302022003

2200

030200220003

cos 3cos 2tan 32])(31)(21[)(

2)1ln(,1x mv b x v g x g x mv b x v g x v v mv bx mv bx mv bx

b g m x v v bv mg y x

x x x mv bx

x x v y x x x v y x x ??θ由若阻力较小(b 很小)或x很小:

可见:(1)若阻力较小(b 很小)或x 很小, 可以忽略x 3以上的项,

与真空中弹道一致

(2)当mv x 0-bx →0, y →无穷, 说明轨道在x=mv x0/b 处

变成竖直直线.

JLU 物理与光电工程学院P28,例1：质点在有阻力的空气中竖直下落

mg x mk x

m i x

mk v mk R ??=?=?=&&&r &r

r 若,

mg x mk x

m i

x mk v mk R ?===2

222&&&r &r

r 若积分后容易求得其解:t

k g e k g h x e k g x

??+=??=??)1()1(22&)

cosh(ln 1

)tanh(1

2kgt h x kgt k x

?=?=&R mg x

JLU 物理与光电工程学院1.19 质量为的小球以初速竖直上抛，空气的阻

力求：（1）上升的最大高度；

（2）返回到地面时小球的速度。解：取地面为原点，坐标轴oy竖直向上。（1）上升时：

运动微分方程利用

m 0v H m v dy dv

v dt dy dy dv dt dv dt

y d ===2

2g v

mk R =2

g v mk mg dt

y d m ??=

JLU 物理与光电工程学院得：积分：得：

(1) （2）下降时：

运动微分方程：将

代入dy dv v dt

y d =2

dy gv

k g vdv

?=+2

2∫∫

?=+H v dy gv

k g vdv

220

11ln 21

v k k H +?=2222

g v mk mg dt

y d m +?=dy

gv k g vdv

?=?22

运动微分方程

运动微分方程弹性体体积V ，表面积S ，密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量，t 为时间。弹性体在t 时刻的动量P （t) dV v dt d dV f dS t dt dP F f V f m F dV f dS t F F F dV v m v p V i V i s i i i V i s i i V i i ??????= += ?=?=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面 ******************************************************************************* 散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。???=??s V S d F dV F 散度：表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率，其表达式为▽·A 。 z R y Q x P R Q P z y x F ??+ ??+??=???????=??),,(),,( ，P,Q ，R 为F 在x,y,z 上的分量。散度定理的证明：S d F dV F s V ?=???????。令()R Q P F ,,= ，假设F =(0，0，R)，则需要证明 dS n R dV R s V z ?? ????=),0,0( 如下图，投影区为U 。 dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy dz R dV R U y x Z y x Z z D z ))],(,,()),(,,([)() ,() ,(底顶顶底????????-== S=S 底+S 顶+S 侧面

随机微分方程在物理学中的应用

科技大学本科毕业论文论文题目：随机微分方程在物理学中的应用院系：物理科学与技术学院专业：应用物理姓名：vvv 学号：0700000069 指导教师：xxx

二零一二年三月摘要牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，以及对模型精确性要求和实际问题复杂性认识的不断提高，不确定性因素越来越多的被考虑到模型的建立中，这就在微分方程的基础上引入了随机因素，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。关键词：随机微分方程；布朗运动；matlab模拟；

Abstract. Newton and Leibniz created calculus, in order to describe the mechanical dynamics, astronomy and other fields of physics, the establishment of a deterministic differential equation. Deterministic differential equations large number of practical problems in application. However, the actual physical phenomena in the study mathematical model to describe the physical phenomenon of a specific set of mathematical equations used to not be completely accurate. Practical problems of uncertainties abound and often the crux of the problem can not be ignored. Since the mid-twentieth century, a lot of uncertainty with the actual problems, and the accuracy of the model and actual problems requires understanding the complexity of continuous improvement, more and more uncertainty to the model to be considered in This is the basis of the differential equations introduced random factor

常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即. ()()()t A t t Φ=Φ， . 1 ()()() A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。 2.证明：因为()t ?，()t ψ分别是. ()x A t x = 和. ()T x A t x =-的解，所以 11 1 () ()()n k k k n nk k k a d t A t t dt a ????==?? ? ?== ? ? ? ??? ∑∑ ， 11211111122222* 121 ()()()n n k k k n n kn k n n n nn k a a a a a a a d t A t t dt a a a a ψψψψψψ==?????? ? ? ? ? ? ?=-ψ=-=- ? ? ? ? ? ? ????? ??? ∑∑ 因而 1111 112 2 1 1 (,)(,)(,),,n n k k k k k k n n kn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψ??ψψ ??ψ?ψ ψ?ψ?ψ?====?? ?? ?????????? ?-?? ? ? ??? ??? ? ? ???=+= ?+?? ? ? ??? ?-?? ? ? ??? ????? ???? ??????? ?? ∑∑∑∑ 11 111 1 1 1()0 n n n n n n n n n n n n m m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ?ψψ??ψ?ψ?ψ?ψ== === = == == = = -= += -=-=∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑所以 (),() ()()1 n t t t t k k k ?ψ?ψ≡≡ ∑=常数。 3.证明：设)t Φ(为系统. ()x A t x = 的一个基本解矩阵，则由定理2.11知 [ ]1 () T t -Φ是系统. ()T x A t x =-的基本解矩阵，由定理 2.4知系统. ()x A t x = 满足初始条件00()x t x =的特解为1 00()))t t t x ?-=Φ(Φ(，[) 0,0,t t ∈+∞由题可知)t Φ(与[ ]1 () T t -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0 k k t ?=>

第二章：动力学系统的微分方程模型

第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。 §2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。 1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。惯量（质量）= ）加速度（力（2 /) s m N 惯量（转动惯量）= ）角加速度（力矩（2/) s rad m N ? 2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。 x k F ?= 这里k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。 3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为： α x c R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。当1=α，为线性阻尼模型。否则为非线性阻尼模型。应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： ||1--=αx x c R 这里的“-”表示与速度方向相反

4.2 理想流体的运动微分方程讲解

4.2 理想流体的运动微分方程理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下

??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。一运动微分方程在流线上的积分形式在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1）对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）

第3章--振动系统的运动微分方程题解

习题 3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =? 其中 )(22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ?? ρcos )(22 Pa a g P C =+ 或 0cos )(22 =-+?? ρga a C 3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为： 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图

θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+ θθθθθθθθθθ ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ， θθθθθθθθθθ ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ 故微分方程为 0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ m g e m R e Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C 要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程 ??? ??--=-=-=④③② θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C 上述方程包含C x ，C y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。（2）本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能 222222 1)c o s 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+=

《常微分方程与动力系统》课程教学说明

上海交通大学致远学院 2016年秋季学期《常微分方程与动力系统》课程教学说明一.课程基本信息 1．开课学院（系）：致远学院 2．课程名称：《常微分方程与动力系统》 (An Introducation to Differential Equations and Dynamical Systems) 3．学时/学分：48学时/ 3学分 4．先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何；或线性代数、高等数学。 5．上课时间：星期五 6-8节(12:55-15:40) 6．上课地点：东下院 101 7．期末考试时间：2017-01-（02-13）考试周 8．任课教师：肖冬梅， xiaodm@https://www.360docs.net/doc/ae10842745.html, 9．办公室及电话：数学楼2305，54743151转2305 10．助教：何鸿锦，hehongjin000@https://www.360docs.net/doc/ae10842745.html, 11．答疑（office hour）：星期三晚18：30 – 20：30，数学楼2305室二.课程主要内容（如何可以，请提供中英文）除期中考试2学时+习题课2学时外，其余全是课堂教学第一章基本概念（3学时）主要内容： 1.1什么是微分方程？什么是常微分方程？常微分方程的分类 1.2什么是常微分方程解？什么是特解？什么是通解？ 1.3常微分方程建模：初始值问题和边界值问题 1.4关于常微分方程和解的几何看法：向量场、积分曲线重点与难点：常微分方程和解的几何观点，方向场和积分曲线的作图第二章一阶常微分方程的初等解法（6学时）主要内容： 2.1 变量分离法 2.2 一阶线性常微分方程 2.3 全微分方程（或恰当方程）和积分因子 2.4 替代法和某些可解的常微分方程重点与难点：全微分方程和积分因子，变换的技巧第三章基本理论（8学时）主要内容：

运动微分方程推导

以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导 1. 黏性流体的内应力黏性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力，因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。如在任一点取一微小的正六面体，如图所示，作用在平面ABCD 上的力有法向应力 xx p ，与切向应力xy τ和xz τ。应力符号的第一个字母表示作用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。流体场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。 2. 以应力表示的运动微分方程在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标。各应力的值均为代数值，正直表示应力沿相应坐标系的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此，

xx p yy p ，zz p 必为负值。由牛顿第二定律，x 方向的运动微分方程为： Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx p - xx p x ??dy )dydz ]+ yx τdxdz +[-(yx τ- yx y τ??dy )dxdz ]+ zx τdxdy +[-(zx τ- zx z τ??dz )]x du dxdy dxdydz dt ρ= 等式两边分别除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导，得到： 1 1 ( )zx x XX du P yx X X y z dt τρρ τ??+ + +=???? （1）同理，在y 方向，由牛顿第三定律得：

[()][)][()] yy yy yy xy xy xy zy zy zy y Ydxdydz dxdz dy dxdz y dydz dx dydz x dxdy dz dxdy z dxdydz dt p p p du ρρττ τ ττ τ + +-- + ?+-- + ?+ +-- ?=??? 等式两边同时除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导得： 1 1 ( )yy zy xy y Y y z x dt p du ρρ ττ+ ++ = ?????? （2）

随机微分方程的概率生成函数解法

辽宁师范大学学报 JOURNAL OF LIAONING TEACHERS UNIVERSITY 2000　Vol.23　No.1　P. 32-36 随机微分方程的概率生成函数解法　张焕玮摘　要：讨论了当难以求出随机变量的分布函数时,如何研究随机变量的数学期望、方差、相关系数等数字特征的有关问题,利用概率生成函数与概率分布函数及相应的数字特征的关系,给出了概率生成函数为时数学期望与方差的确定方法,并应用概率生成函数方法,证明了随机微分方程在边界条件之下的解为　而随机微分方程在边界条件之下的解为　P k(t)=e-λt(1-e－λt)k-1. 关键词：概率生成函数;随机微分方程;数学特征分类号：O211.63　文献标识码：A 文章编号：1000-1735（2000）01-0032-05 Probability Generative Function Method to Solve Stochastic Differential Equation ZHANG Huan-wei （Department of Basic Courses,Dalian Administrative Caders Education College,Dalian 116031,China) Abstract：It is discussed how to deal with numerical characteristics such as mathematical expectation,variance, correlation coefficient when distribution function of random variable can not be found.The relation between probability generative function and probability distribution function is used to give a method for finding mathematical expection and variance when probability generative function is .It is proved that stochastic differential equation has the solution P k(t)=1/k! e-λt(λt)k(k=0,1,2,…),if P0(t)=-λP0(t),P0(0)=1,P k(0) =0　k≥1.And, P k(t)=-λkP k(t)+λ(k-1)P k-1(t)(k>1)has the solution P k(t)=e-λt(1-e-λt)k-1 if P1(t)=-λP1(t), P1(0)=1,P k(0)=0(k>1).

质点运动微分方程

第3篇动力学第10章质点运动微分方程一、目的要求 1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。 2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。 3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。二、基本内容 1．基本概念：动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式：（1）牛顿第二定律：a m F =（式中，质点的质量为m ，所受合力为F ，其加速度为a 。）（2）质点运动微分方程 1）矢径形式：22dt r d m F =或F r m =，∑=i F F 2）直角坐标形式：∑=x F dt x d m 22，∑=y F dt y d m 22，∑=z F dt z d m 22 3）自然坐标形式：2n m F υρ=∑，d m F dt τυ =∑，∑ = b F 0 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。三、重点和难点 1．重点：（1）建立质点运动微分方程。（2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点：在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。四、教学提示 1．建议（1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。（2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。（3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。 2.建议学时课内（2学时）课外（3学时） 3．作业 10-5，10-12，10-14

。随机微分方程的数值解读后感

随机微分方程的数值模拟算法的读后感本文主要分为九个部分，对随机微分方程的数值模拟进行了介绍。这篇文章建立在MATLAB程序的基础上，主要包过随机积分、欧拉—丸山法、米尔斯坦法，强弱收敛性、线性稳定性，随机链法则。第一部介绍了随机微分方程的应用领域，研究需要的背景知识，以及下面几部分的研究你内容和参考文献介绍。第二部分介绍了布朗运动和计算布朗路径。首先规定了满足布朗运动的三个条件；然后用随机号码发生器通过for循环或randn(1.N)创建一维数组来模拟布朗路径；最后找出通过1000点布朗路径的函数，并与五个独立路径对比。同时也为下面的研究作铺垫。第三部分我们验证了关于布朗运动的积分并说明了与Ito积分与斯特拉托诺维奇积分的不同点。我们通过两种黎曼和来类比的得到ito积分和斯特拉托诺维奇积分。同时也给出了他们两个的区别，最后给出精确估计随机积分的办法。第四部分叙述了欧拉—丸山法怎样模拟随机微分方程的。首先引入自治标量的随机微分方程的积分式，通过变形，变量的重新定义得到EM法的表达式。后来通过一个在金融数学中资产价值的模型——毕苏期机定价模式的偏微分方程来进一步说明。第五部分介绍了强弱收敛性概念，在数值上证明了欧拉—丸山的收敛区间[0.5,1]. 第六部分通过研究米尔斯坦方法来校正欧拉—丸山的收敛性，使强收敛性为1。从第一部分我们知道欧拉—丸山的收敛性为1时才起决定性作用，但是前面满足条件的值是0.5。这一部分就通过米尔斯坦高阶法用在随机增量增加修正值的办法使收敛性为1。第七部分介绍两种不同的线性稳定性，进而强调随机分析不同与基本定积分。稳定性部分理论是依据变量趋于无穷条件子啊拟合的数值结果，这种数值方法应用于一些定性描述的问题上的，这种方法重现部分性质的能力也是可以分析的。关于稳定性的度量这里只考虑两种，均方数和渐进性。我们通过matlab编程改变参数值和步长来观察均方稳定性和渐进稳定性，最后得到参数和步长变化所对应的不同稳定性的区域。第八部分引出并证明随机链法则。在第三部分我们发现不只是一种办法可以对随机函数的积分的扩展，这种办法有点像黎曼积分的链式法则，然后对以前的式子进行改进，然后通过matlab编程实现。第九部分对重要结论简要的叙述。同时指出了一些不足，如没有讨论许多额外的条件，仅仅为了能产生我一定结果，没有提及到随机微分方程和有时间决定的偏微分方程之间的联系，没有注意到标量问题等。通过这篇文章的学习使我对随机过程有了一定了解，对matlab软件有了更深的认识。同时通过查阅专业数学字典和相关文献使我对专业英文论文的阅读能力有一定的提高。我相信一个暑假的努力对我以后研究生的会有很大的帮助的。朱园珠 2011年9月1日

动力系统的概念

动力系统的概念这一章是对于事实的调查，而且来源于应用于全书的动力系统理论。我们的主要目的是为后面的章节确定固定使用的常用符号和专业术语，并且回想一些常常在课本的前言中不被讨论的理论的一些方面。为了更容易的阅读，我们保持讨论时采用非专业术语，并尽可能地避免技术上的符号和观点。然而许多遗漏的细节可以从研究生使用的动力系统的课本的前言中找到，一些更加先进的课题仅仅在研究性的文章中涉及到。在某些情况下，我们将提供一些在更深的章节中关于这个主题的参考。另外，我们鼓励读者使用附录A 和B 作为基于不同的几何和函数分析的参考。流量，映射，动力系统对于任意的集合P ，一个变换群:P P t F →中的任意的一个参数t 属于实数，如果 ()x x F =0对于所有的x 属于集合P ，并且s t s t F F F ο=+对于任意的 ,t s , 属于实数都成立, 则被称为一个流。这两个属性表明t F 和它的逆t F -是不可以转化的。这一组合t (,)p F 叫做基于空间P 的一个连续的动力系统。换句话说，一个连续的动力系统包括一个可能状态集合和唯一决定将来状态)(x F t 的当前的状态函数x 的变化规则。通过x 这一点的变化轨迹是集合)()(x F U x t R t ∈=γ。一个固定点的流是一个点x 且x x F t =)(对于任意的R t ∈都成立。这个流的一个周期的轨迹就是通过这一点x 对于那些存在的正数T,并且满足x x F T =)(的这样的轨迹。如果用以上所说的映射族t F 定义只需0≥t ，且对于所有的t ，s 满足()x x F =0和s t s t F F F ο=+，则t F 叫做半流形。注：半流形通常是不可逆的，动力系统的一个典型的特征是在无穷大的空间中是确定的。当有单独向映射P P f →:且存在()f P ,时，离散动力系统是确定的。这样的系统还有一些性质即通过f 的迭代次数可以得出唯一的当前状态决定所有的将来状态()(),...,2x f x f 。这时x 的取值范围是确定的在集合()()Y Z n n x f x ∈=γ中，其中

动力系统综述

Xxxxxx U N I V E R S I T Y 《微分方程定性理论》实践报告所属学院：理学院专业班级：应用数学姓名：学号：xxxxxxxxxxx 实践课题：动力系统综述实践成绩：任课教师：

动力系统综述随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。动力系统是随时间而演变的系统。随着数学知识的不断扩充及科学技术的不断发展，动力系统被广泛应用于工程、力学、生态等各大领域，推动着社会的发展。动力系统是随时间而演变的系统。对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态，如平衡点或周期运动的数目和稳定性等会发生突然变化，这种变化称为分叉[2]。分叉理论主要研究当参数在分叉值附近变化时，系统轨线的拓扑结构或定性性态将如何变化。近几十年来，动力系统的分叉理论被系统而深入的研究，并得到了迅猛的发展，且广泛应用于物理、化学、生物、工程等研究领域中，分叉问题的研究己成为非线性动力系统研究的重点和难点之一。 1动力系统简介动力系统的研究起源于牛顿的经典力学理论.假设空间R n 的一个质点M 在时刻t 的坐标为),,,(21n x x x x =并且己知质点M 此时的运动速度为))(,),(),(()(21x v x v x v x v n =，并且只与坐标x 有关.那么质点M 的运动方程为： )(x v dt dx = （1）这个方程是一个自治的微分方程.更进一步如果方程(1)满足微分方程解的存在和唯一性定理的条件，那么对任何的初值条件00)(x t x =，则方程存在唯一解),,()(00x t t t =?。我们称x 取值的空间n ?为相空间，而称((t , x )的取值空间“n ???”为增广相空间.按照微分方程的几何意义，方程(1)定义了增广相空间中的一个向量场.解的几何意义为增广相空间中经过点),(00x t 的唯一的积分曲线[1]. 2 动力系统在力学中的应用稳定性是系统的一个重要特性。对系统运动稳定性分析是系统与控制论的一个重要组成部分，一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不能付诸于工程实施的。设系统的向量状态方程为: 0,)(),,(00≥==t x t x t x f x （2.1）式中：x 为n 维状态向量；),(??f 为n 维向量函数。

热传导+对流微分方程推导

热传导微分方程导热又称热传导，是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间，由于温度不同而引起的热量传递现象。此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递，没有明显的物质转移。热量可以通过固体、液体以及气体进行传导，但是严格来说，单纯的导热只发生在密实的固体物质中。 1 傅立叶定律傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为: q gradT λ=-? (2-1) 式中:q ——热流密度，是一个向量，2/()Kcal m h gradT ——温度梯度，也是一个向量，℃/m 。 λ——导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C o ；式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。 2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素导热系数λ（ /()Kcal mh C o ）是热传导过程中一个重要的比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。单位是：W/(m·K)。在上述假设前提下，建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程。 3．热传导微分方程推导在t 时刻w 界面的温度梯度为 x T ?? 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x T x T 22??+??=???? +??

单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz x T ??-λ ；单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ?? ? ? ????+??-22λ；单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz x T 22??λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz y T 22??λ 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22??λ 单位时间内流入六面体的总热量为： dxdydz z T y T x T ??? ?????+??+??222222λ (3-1)

运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程

JLU 物理与光电工程学院§1.4 质点运动定律 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系着重明确: 力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）.

JLU 物理与光电工程学院3. 牛顿第三定律两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上. 2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.

JLU 物理与光电工程学院4. 力的独立作用原理: 如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响. m F a 11r r =m F a 22r r =m F a n n r r =… n a a a a r L r r r +++=21n a m a m a m a m r L r r r +++=21∑=+++=i n F F F F r r L r r 21),,(t r r F r m i &r r r &&r ∑=力的独立作用原理指出, 力不可以是加速度的函数.

JLU 物理与光电工程学院5.经典力学中的力 1）在牛顿力学中, 力由牛顿第二定律定义. 牛顿第二、第三定律指出: 力是物体间的相互作用, 力的动力学效果是使受力质点产生加速度. 2）万有引力定律: 任何两质点间均存在相互作用引力, 方向沿两质点连线, 大小为: 2 2 1 /r m Gm F =3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观（1）力学相对性原理:对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的.

变质量物体的运动微分方程研讨(doc 6页)

变质量物体的运动微分方程研讨 (doc 6页) 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

变质量物体的运动微分方程及火箭运动专业：物理学学号: 0840******** 姓名: 秦瑞锋

变质量物体的运动微分方程及火箭运动秦瑞锋 (物理与电气工程系09级物理学专业,0840********) 摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律. 关键字: 变质量系统运动微分方程火箭动能定理动量定理一、变质量物体的基本运动微分方程在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统内的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量 )(m 2 t 和进入质点系的质量 )(1 t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t 在t=0时刻为m 0 ，则它随着时间的变化规律为)()()(2 1 t t t m m m m +-= ，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的可微函数，得到微分方程后，进行积分，问题可解决。设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。在瞬时t ，质点的质量为 m (t )，质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。在瞬时t +d t ，微粒与质点合并。于是质点的质量变为(m +d m )，其对Oxyz 的速度成为v +d v 。对于质量分出的情况则d m ＜0，即 dt dm 为负。 m 和d m 所组成的质点系在瞬时t 的动量为m v +u d m ;在瞬时t +d t 的动量为 (m +d m )(v +d v )。在d t 时间内，动量的增加t F p d ??=ρ ρ为： p d ρ＝(m ＋d m ))(v d v ρρ+－(m v ρ＋u ρ d m )。

微分动力系统的应用一

微分动力系统的应用(一)--竞争模型设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼. 设它们在时刻t 的尾数分别是x(t)和y(t). 假定鳟鱼的尾数x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x(t), 增长率为k; 即 kx t x =d d . (1) 由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k = a – by, 其中a>0, b>0是常数. 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程: x by a t x )(d d -=, 0≥x , 0≥y . (2) 同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程: y nx m t y )(d d -=, (3) 其中 m>0, n>0是常数. 当鳟鱼的尾数x(t) > m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)a/b 时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数y 将增加, 由方程 (2)可见鳟鱼尾数x(t)将减少. 现在的问题是: 设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x 0和y 0尾, 要研究这两种鱼的增长情况. 是否存在x 0>0和y 0>0, 使得这两种鱼能够和平共处, 长期共存呢? 首先可见方程组 (2), (3)有常数解

b a y n m x ==,. (4) 因此在t=0时鳟鱼x 0=m/n, 和鲈鱼y 0=a/b 尾时, 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说, 若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢? 由常微分方程的理论, 我们知道 (m/n, a/b) 是方程组的奇点, 我们只要分析这个奇点的稳定性就行了. 方程组(2),(3) 的向量场的Jacobi 矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是 ?????? ??--=???? ??----=00 b na n bm nx m ny bx by a J (5) J 的两个特征值为 ma ±, 因此奇点是鞍点, 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼的尾数将有大的变化. 方程组(2), (3)还有一个奇点 (0, 0), 向量场的Jacobi 矩阵在奇点(0, 0)的值是 ???? ??=???? ??----=m a nx m ny bx by a J 00 (6) J 的两个特征值为a>0, m>0, 因此奇点(0, 0)是不稳定的结点. 在奇点(0, 0) 附近的轨线当时间t 增大时都离开奇点(0,0). 另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道: (1): x=0, y>0, 对应的轨线是 mt y y e 0=, 表示鲈鱼的尾数呈指数增长. (2): y=0, x>0, 对应的轨线是 at x x e 0=, 表示鳟鱼的尾数呈