边界元
电磁场边界元
电磁场边界元
电磁场边界元法（Electromagnetic Boundary Element Method，EMBEM）是求解电磁场问题的数值方法之一。
这种方法通过将求解区域划分为
较小的子区域，然后在边界上构建基函数来逼近解。
与有限元法和有
限差分法相比，边界元法在处理复杂几何形状和不同介质交界处的问
题时具有较高的精度和效率。
边界元法的基本步骤如下：
1、将求解区域划分为较小的子区域。
这些子区域通常包括一个
内区域（计算域）和一个外区域（屏蔽域）。
2、为每个子区域构建一个合适的基函数。
这些基函数通常是基
于格林公式或复势理论的解。
3、将未知场量（如电场、磁场等）表示为基函数的线性组合。
这些未知场量仅位于边界上。
应用边界的边界条件（如连续性、
辐射条件等）来约束未知场量。
4、将求解区域上的场量表示为边界上的未知场量的线性组合。
这可以通过应用分域原理或复势原理来实现。
5、利用矩阵运算求解边界上的未知场量。
这通常涉及到求解一
个线性系统方程组。
6、将求得的边界上的场量扩展到整个求解区域，以获得内区域
和外区域的场量。
边界元法在许多领域都有广泛的应用，如电
磁兼容性分析、天线设计、电磁场计算等。
由于这种方法在处理复杂几何形状和不同介质交界处的问题时具有
较高的精度和效率，因此它在许多情况下是一种非常有效的求解电磁
场问题的工具。
边界元法的基本原理
边界元法的基本原理边界元法是一种用于求解偏微分方程的数值方法，它有很多优点，如精度高、计算速度快、易于实现等。
边界元法的基本原理是将求解区域分成若干个小区域，每个小区域的边界上有一些已知的边界条件，通过求解这些边界条件，可以得到整个区域的解。
边界元法的基本思想是将偏微分方程的解表示为某些基函数的线性组合，然后通过边界条件求解系数。
这里的基函数是指在整个求解区域内都有定义的函数，通常是基于极限定理或格林公式得到的。
由于基函数在整个求解区域内都有定义，所以在边界上的边界条件可以直接应用到基函数上，从而得到系数。
在边界元法中，通常使用的基函数是调和函数，即满足拉普拉斯方程的函数。
调和函数具有很好的性质，比如在整个求解区域内都有定义、在边界上等于常数等。
因此，使用调和函数作为基函数可以大大简化计算过程，并且保证了解的精度。
边界元法的求解过程可以分为两个步骤：首先是建立基函数的系数矩阵，然后是求解系数矩阵中的未知量。
建立系数矩阵的过程中，需要计算每个基函数在每个边界上的取值，以及每个基函数在整个求解区域内的积分值。
这些计算通常使用数值积分的方法进行，比如高斯积分、牛顿-科茨公式等。
求解系数矩阵中的未知量可以通过矩阵运算解出，通常使用高斯消元法或LU分解法等。
边界元法的应用范围非常广泛，可以用于求解各种偏微分方程，如拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程等。
此外，边界元法还可以用于求解力学问题、电动力学问题等。
由于边界元法具有很好的精度和计算速度，所以在实际应用中得到了广泛的应用。
总之，边界元法是一种非常重要的数值方法，它的基本原理是将求解区域分成若干个小区域，利用边界条件求解系数，最终得到整个区域的解。
边界元法具有很多优点，如精度高、计算速度快、易于实现等，因此在科学计算和工程应用中得到了广泛的应用。
边界元matlab程序
边界元matlab程序边界元 MATLAB 程序是一种用于求解边界变量问题的数值方法。
它基于边界积分方程，通过将边界的变量表示为边界上的积分形式，将整个域划分为边界上的离散点，并通过求解积分方程的线性方程组来确定这些离散点的值。
首先，我们需要定义问题的几何形状和边界条件。
这可以通过定义边界点的坐标和边界上的边界条件来实现。
然后，我们将边界上的每个点分配一个自由度，以便可以对其进行数值计算。
接下来，根据问题的物理方程或边界条件，我们可以使用边界元法的核心公式来建立线性方程组。
这个公式通常基于基本解函数，它是满足边界积分方程的解析解。
通过对每个边界点上的积分进行近似，我们可以将整个域划分为有限个小区域，并将整个问题转化为线性方程组的求解。
然后，我们可以使用 MATLAB 编程语言来实现边界元程序。
首先，我们需要定义边界点的坐标和边界条件，并将其存储为适当的矩阵和向量。
然后，我们可以根据边界元法的公式建立线性方程组，并使用 MATLAB 的线性方程求解器来求解该方程组。
最后，我们可以根据得到的解，计算任意点的值，并绘制出问题的数值解或物理量的分布图。
在编写边界元 MATLAB 程序时，需要注意数值稳定性和计算效率。
使用高精度的计算方法和迭代求解算法可以提高计算的准确性和效率。
此外，还可以使用MATLAB 的向量化操作和并行计算技术来加速程序的运行。
总之，边界元 MATLAB 程序是一种用于求解边界变量问题的数值方法，通过将边界上的变量表示为边界上的积分形式，并求解线性方程组来确定这些变量的值。
通过合理定义问题的几何形状和边界条件，并使用 MATLAB 编程语言实现边界元程序，我们可以得到问题的数值解，并可进一步进行后续的数值分析和应用。
边界元法 数值方法
边界元法数值方法边界元法是一种数值方法，它利用一系列准确的基本计算步骤来解决复杂的非线性问题，可以获得非常精确的结果。
边界元法的最大优点是它可以简化复杂的问题，并且数值计算精度高，在科学研究、工程设计、信息处理等多个领域得到了广泛应用。
边界元法是一种数值方法，用于解决多项式方程组、相对论、流体力学与热力学等物理方程。
它利用较为精确的基本计算步骤，获得较为精确的数值结果。
边界元法的计算方法主要有两类：Finite Difference法和Finite Element法，它们都建立在分区概念的基础上，应用于计算复杂的非线性问题。
首先，Finite Difference法是将物理空间划分为离散的若干区域，在每一区域上考虑若干个变量，然后利用有限差分方法进行数值计算，得到解析解、步进解或数值解。
优点是运算较快，但精度受网格节点限制，而且对于比较复杂的物理模型的求解，难以得到满意的精度。
其次，Finite Element是根据物理问题的性质，将物理空间分为若干节点，每个节点都有一些变量，然后用元模型的形式表示物理场，也就是说，它根据物理问题的特点，建立出对应的数值模型，然后用有限元法进行数值求解，得到精确的解析解或数值解，优点是精度高，适用于各种复杂的物理模型；缺点是计算复杂，运算时间长。
边界元法是在有限差分和有限元法的基础上提出的。
它是一种特殊的有限元法，它结合了有限差分方法简单且速度快的优点以及有限元法准确及适用性强的优点，并且提出了若干更复杂的计算步骤，提高了计算的准确性。
边界元法应用的领域十分广泛，如在热力学、流体力学和化学反应等复杂的物理系统中，边界元法可以得到较为精准的数值解。
它还可以用于研究和设计结构力学系统，此时可以获得结构力学系统的非线性行为等特性。
此外，边界元法还应用于信息处理、金融分析等领域，可以获得较为精准的解析结果。
显然，边界元法的最大优点在于可以将复杂的问题进行简化，以较快的速度得到较高精度的解析结果，在科学研究、工程设计、信息处理等多个领域有着广泛的应用。
声学边界元方法及其快速算法 孔夫子
声学边界元方法及其快速算法孔夫子声学边界元方法（Acoustic Boundary Element Method, ABEM）是一种用于求解声学问题的数值计算方法，它通过将边界上的声源和接收器的信息进行离散化，利用边界元法来模拟声场的传播和散射。
声学边界元方法在声学领域有着广泛的应用，如声波传播、声场散射、海洋声学等领域都可以使用声学边界元方法进行数值模拟和分析。
声学边界元方法的基本原理是把边界上的振动问题转化为积分形式的方程，然后通过在边界上进行积分来求解声场的振动情况。
声学边界元方法通常包括边界积分方程和边界元法两个部分，边界积分方程描述了边界上声压和法向速度之间的关系，而边界元方法则是将边界上的振动分布离散化为若干个节点，通过求解边界积分方程建立节点之间的关系来求解声场的振动情况。
声学边界元方法的优点是适用于复杂的几何形状和非均匀介质的声学问题，并且能够精确地描述边界上的声场性质。
在实际应用中，声学边界元方法通常用于求解声场传播和散射等问题，如水下声场的传播、地表声场的散射等。
声学边界元方法在求解大型问题时通常需要较长的计算时间，因为需要对边界上每个节点进行积分计算。
为了克服这一问题，研究人员提出了许多声学边界元方法的快速算法，以提高计算效率和求解速度。
孔夫子算法（Kong-Vector Fast Multipole Boundary Element Method）就是一种用于加速声学边界元方法求解的快速算法。
孔夫子算法基于快速多极方法（Fast Multipole Method, FMM）和边界元方法相结合，可以显著减少声学边界元方法的计算复杂度，并提高算法的运算速度。
孔夫子算法的基本思想是将边界上的节点按照空间位置进行分组，然后利用快速多极方法对每组节点之间的相互作用进行近似计算，从而减少了边界元法的计算量。
孔夫子算法通过引入多极展开和快速多极算法技术，将原本的N^2复杂度降低为O(N)，从而在大规模边界元计算中取得了很好的加速效果。
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法摘要：一、泰勒展开简介1.泰勒展开的定义2.泰勒级数的重要性质二、边界元法简介1.边界元法的定义2.边界元法的基本原理3.边界元法与其他数值方法的比较三、泰勒展开边界元法1.泰勒展开边界元法的定义2.泰勒展开边界元法的基本原理3.泰勒展开边界元法的应用领域4.泰勒展开边界元法的优点与局限性正文：泰勒展开边界元法是一种将泰勒展开应用于边界元法的数值计算方法。
泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数展开成一系列项的级数，可以近似表示函数。
边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，它将问题转化为求解边界上的积分方程。
将泰勒展开应用于边界元法，可以提高计算效率和精度。
泰勒展开的定义是：给定一个函数f(x)，如果存在一个正整数n 和一个正数R，使得对于x 的所有值，有|f(x) - f(x0)| < R，其中x0 是x 的一个展开点，那么f(x) 可以写成一个关于x0 的泰勒级数：f(x) = f(x0) + f"(x0)(x - x0) + ...+ R^n f^(n)(x0)/n!(x - x0)^n。
泰勒级数的重要性质是，当展开点x0 与x 接近时，泰勒级数的值可以很好地近似函数f(x)。
边界元法是一种求解偏微分方程的数值方法，其基本原理是将偏微分方程转化为边界上的积分方程。
通过求解这些积分方程，可以得到问题的解。
与其他数值方法相比，边界元法具有较高的精度和计算效率，尤其适用于复杂几何和材料特性问题。
泰勒展开边界元法是将泰勒展开应用于边界元法的一种数值计算方法。
泰勒展开边界元法的基本原理是将边界元法中的边界积分方程用泰勒级数展开来近似。
这样，原本复杂的积分方程可以简化为容易求解的多项式方程。
泰勒展开边界元法可以应用于各种边界值问题，如热传导、电磁场计算等。
泰勒展开边界元法具有以下优点：1.提高计算效率：通过泰勒展开，可以将复杂的边界积分方程简化为多项式方程，降低计算难度。
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法泰勒展开边界元法（Taylor expansion boundary element method）是一种数值计算方法，用于求解边界值问题。
它结合了泰勒展开和边界元法的优点，能够高效地解决各种物理问题。
1. 泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个光滑的函数f(x)，在某点x=a处进行泰勒展开，可以得到：%5E2+…)其中，f’(a)表示函数f(x)在点x=a处的一阶导数，f’’(a)表示二阶导数，以此类推。
2. 边界元法边界元法是一种求解偏微分方程边界值问题的数值方法。
它将偏微分方程转化为积分方程，并通过对边界上的积分进行离散化来求解。
对于一个二维边界值问题，我们可以将边界划分为若干个小区域，每个小区域上有一个未知函数值。
边界元法的关键是通过边界条件和积分方程建立未知函数值之间的关系，然后用离散化的方法求解这个关系。
3. 泰勒展开边界元法泰勒展开边界元法是将泰勒展开和边界元法相结合的一种数值计算方法。
它的基本思想是，在边界上选取一些点作为插值点，并利用泰勒展开将插值点附近的函数值与导数之间建立关系。
具体来说，对于一个二维问题，我们可以在边界上选取一些点作为插值点，然后利用泰勒展开将这些插值点附近的函数值与导数进行逼近。
通过对逼近方程进行离散化处理，我们可以得到一个线性方程组，进而求解出未知函数值。
泰勒展开边界元法的优点在于它既考虑了局部信息（通过泰勒展开），又考虑了整体信息（通过边界元法）。
因此，在处理某些复杂问题时，它比传统的方法更有效。
4. 应用领域泰勒展开边界元法广泛应用于各个领域的物理问题求解中，其中包括但不限于以下几个方面：4.1 电磁学泰勒展开边界元法在电磁学中的应用非常广泛。
例如，在求解电场分布、介质中的电磁波传播等问题时，可以使用该方法。
4.2 流体力学在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解流体的速度场、压力场等问题。
它能够较好地处理复杂的流动现象，如湍流、多相流等。
边界元法的基本原理
边界元法的基本原理1边界元法的概念边界元法（Boundary Element Method，BEM）是一种基于边界数值的解决外型边界值问题的数值分析方法，又称为边界元分析，是一类新型数值分析技术。
它由Boundary Element Method Research Group提出，被认为是积分几何方法（Integral Equation Method）的有限元分析方法，是基于数值几何的积分方程数值解法之一。
2基本原理边界元法的基本原理是指将物理过程抽象为具有一定几何形状的边界，对其的描述由一维的边界（边界缘）扩展为一系列的元构成的边界（边界元）。
边界元与体元的求解过程同理，即：为求解区域的问题，基于假设的准则，将整个区域划分为若干边界元，再分别为各边界元建立方程，得出每个边界元的应力值，通过约束条件，此时仍不能求解出空间（多边界）中的应力分布，通过边界元连续性条件，即建立边界元之间的线性组合关系，从而结合约束条件，求出空间中物体的应力分布，从而求解出最终的分析结果。
3主要特点边界元法最大的优点是求解简单，信息的输入相对较少，对计算机的内存及数据处理的要求也比较低。
虽然该法并不能提供完整的矢量场的分布，但具有节约时间及内存的优点。
另外，该方法可以方便地将边界源信息与上游的有限元分析结果联系起来，来实现同一复杂结构的分析及求解。
4应用范围另外，边界元法还具有一定的普适性，因此已经拥有了很广阔的应用范围，例如：大型结构的失稳分析，力学系统振动和热传导的非线性分析，连接模块的分析及设计，力学水力的长期波动及动态流场分析，固态与流态的界面分析，柔性结构的振动分析，以及其他复杂和难以求解的结构力学及流体分析。
总之，边界元法是一种数值有限元分析方法，它以描述几何形状的边界为基础，以建立边界元连续性条件为根据，将空间物体的应力分布求解出来，可以用来解决复杂外形边界值问题，具有计算量少、计算快的特点，目前已被广泛应用于力学水力、热传导及柔性结构振动分析等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f xdx 1来自圆盘上作用着点荷载，F = 1 有：
边界上作用力的分布
0 f x x 0 x0
f x dx 1
并假设：
以下引入∆函数：
1-20
1.2 边界积分方程方法简例
一维状态下, P和Q两点坐标分别为ξ 和x, ∆函数具有以下性质: ∞ 一维状态下, ∆函数具有以下性质:
1-2
1.1 边界元方法的发展及其特点
一、边界元方法的发展
1.可分为两个阶段： 第一阶段: 19世纪各种积分方程的出现 Helmholtz (1859), Rayleigh(1889), Kirchhoff(1882)提出各种边界积分方程. 例 如 : ax yx F x a K x, y d , 如 F x 0 齐次积分方程, 否则为非齐次积分方
∆(x,ξ)
ξ
x, dx 1
（1-1）
uxx, dx u
x ∆函数
多维状态下, ∆函数具有以下性质:
0 x,
x x
P, Q d 1
ξ为源点, x为场点
uQ uPP, Qd 0
0
xp
1
d 2u s EA 2 x, x p 0 dx
（1-9）
xp 为源点，x 为场点。 位移解为： a
a xp a x 2 EAa s u x, x p a xp a x 2 EAa x x p ,a
（1-10）
（1-6）
(a)
按加权余量格式, 把微分方程改写为积分形式:
1-23
1.2 边界积分方程方法简例
d 2u EA f x 2 0 w x dx 0 dx
l
（1-7）
其中,
w x 权函数，任意不等于0的函数.
利用两次分部积分, 上式可改写为:
1-26
1.2 边界积分方程方法简例
ux p Tu
uT f xu xdx
s l 0 s l 0 l s 0
（1-13）
对于域内无体积力情形, 有
u x p Tu s
边界未知量的求解:
uT
l 0
s l 0
（1-14）
方法I: 当Xp点(源点)从域内趋向于端点时, 有:
边界积分方程----边界元方法
1. 引
言
1.1 边界元方法的发展及其特点
岩土工程的数值方法
工程问题 数学模型 偏微分方程的边值 问题或初值问题 解析方法 数值方法
边界积分方程问题
解析方法
数值方法
FDM
FEM
EFM
其它
边界元方法
其它
1-1
1.1 边界元方法的发展及其特点
有限元方法： 有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问 题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单 元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的 平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题 被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算 精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 在岩土工程中，主要特点FEM应反映岩土材料的特点，如含结构面、流变、开挖 等。 软件有：ANSYS,ABACUS 有限差分法：FLAC3D FLAC3D是二维的有限差分程序FLAC2D的护展，能够进行土质、岩石和其它材料的 三维结构受力特性模拟和塑性流动分析。通过调整三维网格中的多面体单元来拟合 实际的结构。单元材料可采用线性或非线性本构模型，在外力作用下，当材料发生 屈服流动后，网格能够相应发变形和移动（大变形模式）。 FLAC3D采用了显式拉格朗日算法和混合-离散分区技术，能够非常准确地模拟材料 的塑性破坏和流动。由于无须形成刚度矩阵，因此，基于较小内存空间就能够求解 大范围的三维问题。FLAC3D是采用ANSI C++语言编写的。2009年Itasca公司推出 flac3dv4.0，预计2012年第二季度将推出flac3dv5.0。
Engineering Analysis with Boundary Element International Journal of Solids and Structures
Journal of Applied Mechanics, ASME.
Mechanics of Materials International Journal of Fracture
国内刊物有: 力学学报, 固体力学学报, 计算力学学报
1-4
1.1 边界元方法的发展及其特点
边界元发展史
1-5
1.1 边界元方法的发展及其特点
2.我国边界元方法的发展情况: 1978年开始,我们开始学习国外的文献。清华大学工程力学系的杜庆华、姚振 汉教授组织研讨班，推动边界元方法在我国的发展。 不同学科的发展情况： 水利工程： • 张楚汉院士（清华大学）发展了动力边界元方法，研究大坝与地基的相互作用。 周维垣教授（清华大学）发展了裂隙岩体渗流的边界元方法. • 张有天教授（水科院）发展了岩体地下水的渗流 岩土工程： • 王泳嘉教授（东北大学）发展了粘弹性边界元方法 • 朱合华教授（同济大学）地下工程的开挖 • 谭云亮的FEM和BEM耦合;刘承伦教授间接边界元方法. 近些年来，我在边界元方法及其在断裂力学领域，做了一些工作，主要包括： • 强奇异和超奇异积分的计算方法。 • 非均匀材料中的裂纹问题。
Q Q
（1-2）
1-21
1.2 边界积分方程方法简例
2.预备知识: 基本解
基本解在边界元方法中起着重要的作用. 在数学上, 把满足微分方程:
L u* P, Q P, Q 0
u * P, Q 定义为方程
L u* P, Q 0
（1-3）
（1-4）
的基本解. 其中L为线性微分算子, P和Q为域内的任一两点. 基本解可以这样 理解为: 在P点存在单位强度“源”时， 对域内任一点Q产生的影响。
1-22
1.2 边界积分方程方法简例
3. 边界积分方程方法简例 0
f x
问题的提出：
以下讨论图(a)所示的杆的拉压问题, 满足的微分方程为:
d 2u EA 2 f x 0 dx
边界条件:
（1-5）
l x
T x
u 0 0 或 T 0 T 0 u l u l 或 T l T l
1-7
1.1 边界元方法的发展及其特点
3. 局限性: • 适应性差, 没有通用程序。
• 处理弹塑性、动力学、含体积力的问题， 需要在域内划分单元，效率降低。
1-8
1.1 边界元方法的发展及其特点
1-9
1.1 边界元方法的发展及其特点
4. 一些岩土工程应用 • Map3D程序，见网站：，澳大利亚Mine Modelling Pty Ltd
1-6
1.1 边界元方法的发展及其特点
二、边界元方法的特点 1. 边界元方法的原理：偏微分方程边值问题边界积分方程(采用加权余量或 其它方法)-边界元方法(离散方法).
2. 特点:
• 降低求解问题的维数, 3D问题变 为2D问题, 2D变为1D问题. • 具有较高的精度, 原因: 仅仅对边 界进行离散, 域内点的值采用边界 上的 已知量计算得到. • 采用辅助解, 而该解为解析解.
Tu uT
s l 0 s l 0
l
0
d 2u s f x u x dx uEA 2 dx 0 dx
s l
（1-12）
上式右端
l d 2u s uEA 2 dx ux, x p dx u x p 0 0 dx l
于是, 式(1-12)为
1-18
1.1 边界元方法的发展及其特点
References on BIE/BEM
• •
杜庆华 等.边界积分方程方法——边界元法 力学基础与工程应用. 高等教育出版社, 1989 肖洪天，岳中琦. 梯度材料断裂力学的边界元分析（十二五国家重点图书），高等教育出版社，2011 1-19
1.2 边界积分方程方法简例
1-3
1.1 边界元方法的发展及其特点
1976年, Lachat JC 和 Waston JO 提出了有效的3D弹性力学的边界元数值方
法(Int. J. Numer. Meth. Engng 1976; 10:991-1005).
一些专集也相继出现, 促进了边界元方法的发展. 比较有名的有: • Cruse A. 和 Rizzo FJ. (1975) 出版了边界元专集. • Banerjee PK (1979-1986) 出版了边界元专集I-IV. • 目前, 有许多国际期刊刊登边界元方面的文章, 如:
b
程. 第二阶段: 20世纪边界元方法的出现 对于复杂的问题, 很难得到边界积分方程的解析解. 随着计算机技术的发展, 并借 鉴有限元方法, 边界元方法发展成熟. 边界元方法就是边界积分方程的离散形式. 弹性力学边界元方法具有里程碑 意义的两篇文章: 1969年, Rizzo FJ.发表了第一篇边界元文章(Quarterly Applied Mathematics 25(1):8395), 形成有效的分元数值计算方法.研究对象为2D弹性力学问题.
1-12
1.1 边界元方法的发展及其特点
1-13
1.1 边界元方法的发展及其特点